Full text of "Novi commentari Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae"

See other formats

■1.,  ^:!'-ll.>:! 


FORTHE   PEOPLE 
FOR  EDVCATION   j 
FORSCIENCE      , 

LIDRARY 

or 

THEAMERICAN  MUSEUM 

OF 

NATURAL  HISTORY 

Bound  it  1 

A.M.H.H. 

1916 


N  0  V  I 

COMMENTARII 

ACADEMIAE  SCIENTIARVM 

IMPERIALIS 

PETROPOLITANAE 

TOM.    XXr        ^ 

pro    Anno    MDCCLXXV. 


P  ET  B.O  F  O  L  l 

TYPiS   ACADEMIAE  SCIENTIARVM 
M  D  C  C  L  X  X  V  I. 


.wjcxjDO  a 


SVMMARIVM 

DISSERTATIONVM, 

QVAS    CONTINET 

NOVORVM  COMMENTARIORVM 

TOMVS    XX.     . 


a  a  MATHE- 


!.!¥]; 


:.Vi.     /     O 


l'L  V 


-.HHTAM 


"■f 


5  Ji^J^i^JJ^^^J^fS^Jf^-lWS?^*^»!^  -V  Sr^i^^^J.lx^JrY-WlWSJr^.lWS  5 

^   *    +    '<•    4»    +     *    •!•    •J*     4*    ■:■:■  *    +     ■*••!••{•     +    +    "J*    +    ^ 
•  j  >!*U  >!%i  >!*•<.  >.vt.  ^vt  *.^^  j,%t  j.  •«.  j-vi  •  ■••  j.  .<.  j.  .t.  j . %!.  !.'.<.  j,%<.  .!.*>  j,%«.  x.\<.  J.V  ^ 

*,^'  -'.^ •*-■*- '•S>-4;-$-«^'$— ^•^•-''.^•^-  -C-t>"^  •:i:'^  ->-:>  ^■'y-f^-i:--^-^-^  ♦'.•? 


MATHEMATICA. 
I. 

Aduerfaria    analytica    mifcellanea    de 
fraftionibus   continuis. 

Auftore  Dan.  BernouIIi  pag.  ^. 

Frndioniim  continiiarum  theoria  ,  quae  fupcr-ori 
iam  fcculo ,  ruinmorum  Gcometrarum  ,  Broun« 
cheri  ,  Wnllifii  ,  Hugenii  aliorumque  commeiuatio* 
uibus  inclariiir  ,  nounm  ,  etiaiti  hifce  tempnnbus  , 
praeclaris  llkiftrium  virorum  Eulerl  ,  BermuHi  ,  La 
Grangii  ,  in  ea  vberius  excolenda  ihidiis  celcbritatcm 
adipifcitur.  In  praeienti  diflertatione  III.  Audor  id 
potiflimum  operam  dat  ,  vt  cafus  examinet ,  quibus 
.expreiliones  fradionaks  infinitae  formula  fiaita  dcfi- 
niri  queani  fiue  algcbraica  fiue  iranfcendeutali.    Fx- 

I 

preflionis  in  hoc  genere  fimpliciflunae  i?i  ~\-  i 

m  -+-  etc. 
valorem  .ncuto  ratiocinio  ex  ipfa  conuergevtine  n  ole 
dedUcir;   fi   enim    fupponamus ,    illam    expreflionem 

a   3  coaiinuo 


continuo  magis  magisque  ad  ccrtum  et  determlna- 
tum  aliquem  valorem  ,  qui  fit  =S,  conuergcre; 
poft  numerum  infinitum  concatenatarum  eiusmodi 
fradlionum,  valor  exprefllonis  non  variabitur,  etiamfi 
a  fronte  fuperaddatur  noua  fradio  ^ ;  ita  ,  vt  iatn 
tota  feries  fit  ^;-~s  '  ^"^mobrcm  cx  praemiflb  ra- 
tiocinio  erit  —~-^  —  S;  adeoque  quaefitus  expreflio* 
nis  valor  S  rz:  ~  "'  ^  v  u  -j-  "'^- )  ^    defignante  m  nume- 

rum  quemcunque,;  ad  quem  valorem  termini  fradio- 
nis  continuae  eo  conucrgunt  citius  ,  quo  maior  va- 
lor  numeri  m  fuerit  adumtus.  Veritatem  huius  for- 
mulae  bina  exempLi  pro  m  numero  pofitiuo  tam 
rationali  ,  quam  irrationali  euoluta,  abunde  probant  ; 
afTumto  fcilicet  fit^no  pofitiuo  membri  radicaii?,  vt  fit 
S  in  — ,^-^  vf  «-t-mn  ^    5i  -yero  pro    (/;    numerum  nc- 

gatiuum  ~— «  affumere  placeat  ;  tum  ,  fiatuto 
membri  radicalis  altero  figno ,  fornrula  adlvbcnda 
erit  S  —  -"'-vu-^mM  .  adcoque  S  —  l^-^!;-^"'>. 

Adplicatio  huius  formulae  ad  cafum  fimpliciflimum> 
W  —  o  ,  qui  medium  quafi  inter  duos  praecedentes 
lenet,  binos  pro  S  valores  fuppeditat,  fcilicet  Si:  i ;  et 
S~-j.  Paradoxi  huius  cuolutioncm  tradit  111.  Au(flor, 
ex  principiis  fuisin  diflertatione  de  (eriebus  finuum  vel 
cofinuum  angulorum  arithmetice  progredicntium  prae- 
cedcntibus  nofiris  Commcntariis  infcrta  explicatis.  Prae- 
nuffa  folutio  ,  quamuis  et  plana  et  eltgans  ,  hypo- 
thcfi  tan^en  cuidam  innititur  ;  iflas  (cilicct  ex- 
prcfliones  ad  certum  ct  dctcrminatum  aliqnem  va- 
lorcm  magis  magisque  conucrgere  ;  ncque  igitur  in- 

concuflTa 


-^.1  (  0  )  1'^-  t 

concufla  ftaret  eius  praecifio ,  fi  fbrte  iftae  expreflio- 
nes  ad  terinioos  data  lege  pcreodice  recurrentes 
\tciin.iue  inter  fe  inaequales ,  coauergerent.  Alia 
igitur  et  a  priori  plane  diuerfa  aietliodo  idem  ar- 
gHiTientum  pcrtradlat  III.  Vir  j  fcilicet  fradliones 
continuas  fuccefliue  ,  a  fradione  vni  -  membri  pro- 
grediendo  ad  bimembrem ,  trimembrem  atque  ita 
porro ,  in  aequiualentes  conuertit  fradliones  fimpli- 
ccs  ,  quarum  tum  ifl;am  detegit  proprietatem  ,  \t 
numeratores  feriem  recurrcntem  fecundi  ordinis  con* 
ftituere ;  denominatores  vcro  lege  plana  et  obuia 
progrcdi  euincat  ^  quo  id  efl  adeptus ,  vt  pro  qua- 
licuiique  termino  N  fradionum  iftarum  fimplicium, 
qui  fraclioiiis  continuae  membrorum  numerum  N 
continentis  valorem  exprimit  ,  formulam  generalem 
afli^nare  valeat ,  quae  quidem  ita  deprehenditur  ex- 
prcflli :  Valor  fratflionis  continuae  fupra  memoratae  N 
mcmbra  complexae 

^:>a  (  ?/M-  V  [  4  +  w'  ]  )^  —  2  (  ffl  -  y  [  4  +  w;^  ]  )N 
^  ( ;/;  -i-  V  [  +  +  m'  ]  f-^'  -  (  w  -  V  [  +  +  »/"-  ]  )N-+-«* 
lam  vcro  cum  de  fradionibus  continuis  in  infinitum 
progrcdicntibus  quaeflio  fit  ^  id  potiflimum  quaeritur, 
quisnam  fit  huius  expreflionis ,  valor,  fi  fuerit  N-fs». 
Facile  autem  patet ,  fbre  tum, 

j)  pro  m  niimero  pofitim 

C  — l .  —  — JTt  -H  V(  ♦H-W^  ). 

■  m  _+-  V  V  +  -H  m-  )  2 

prorfus  ,  vti  priori   methodo  fuit  inuentum. 
2)  Pro  m  numero  negatiuo 

C  —  j —  —  m  —  ■•(♦-<-  m*> 

ra  —  y(*-«-iii»)  2 

adeoque 


«•  ->^.^    (    O     )   2-'F?- 

adcoqnc  fi  m-n-n:,  liabcbirur  S  cr  "  —  V-(j,,-tL^^  qi-ic- 
foriiiula  iterum  cum  ca  ,  qunrn  altcnpjnidihoJuS 
luppeditiuiit  ,  pcrfc^fle  cougruir. -^^  .;  n-.:;  .i;.;^:.  / 
At  runpliciHiiTujm  fait  frciftfo^ufti  conttnu"- 
rum  genus  ,  quod  111.  Audor  hic  cft  contempljius, 
in  quo  fcilicet  eadem  prorfus  fra6:io  in-  <|Uolibct  tcr- 
inino  recurrlt ;  fuccedit^  fecunda  harum  frfl(5l  onum 
fpecies ,  vbi  binae  fradioncs  akerno  ordinc  perpctuo 
recurrunt  ^  vcluti 

« ( 

m  -\-  q 


m  -4-  etc 
ciiius  valor  ita  exprimitur 

2  ;« 
quas  vocat  111.  Audor  fradioncs  continuas  fecundi 
ordinis.  Eadem  methodus  et  pro  altioribus  ordini- 
bus  (uccedit  ;  et  quotuscunque  fuerit  ordo  frinftioiuim 
continuarum  ;  valor  quacfitus  femper  aequaiioiic  qua- 
dratica  cxprimi  potcrit  ^  \nde  iOa  methodus  pro 
fra(f^ionibus  periodicis  egregii  vtique  \(us  trt.  Ad- 
plicuit  eandem  111.  Audor  ad  progrcdionem  poft 
periodicas  fimpliciflimam  ,  ponendo  in  fingulis  tra- 
^ionibus  \nitntcm  pro  numeratore  et  nunuros  na- 
turales  pro  dcnominaioribus  (e  inuiccm  (ubli^qucnii- 
bus ,  \cluti 
I 

2  4-   I 

3  -h  ctc.  liuius- 


*^S9.|  (  o   )  l-^<-  9 

hulusque  feriei  notabiles  detc,xit  proprietates ,  qua- 
rum  ope  valor  quaefitus  commoda  et  celeri  adproxi- 
matione  poteft  definiri ;  attamen  ad  eum  geometrici 
praecifione  dcterminandum,  conceflis  pracfcrtim  qua- 
draturis  vel  fignis  fummatoriis ,  noua  requiri  vidca- 
cur  calculi  artificia. 

II. 

Diftjuifitiones   vlteriores   de  indole 
fraftionum  continuarum. 

Auft.  Dan.  Bernoulli  pag.  24, 

Qui  ea  ,  quae  ia  praeccdente  III.  Audloris  difler- 
laiione  de  eodem  hoc  argumento  fuot  prolata, 
debite  perpenderit ,  facile  perlpiciet  ,  fracflionum  con- 
tinuarum  tlieoriae  ibi  propofitae  infigne  allatum  iri 
incrementutn  ,  fi  methodus  in  promtu  foret  ,  cuiuf 
ope  fradiiines  fimplices ,  fradionis  continuae  dato 
terminorum  numero  conUantis  valorem  expri- 
mentes ,  fine  operofa  earundem  conuerfione  analytico 
ahquo  artiicio  affignari  pofTent.  Tradit  igitur  111. 
Audor  iniiio  huius  differtationis  perupportunum  com- 
pendium  ,  quo  omnis  in  continuanJis  fratflionibus 
finplicibus  labor  infigniter  fubleuatur  ,  ita  ,  vt  cur- 
r.nte  veluti  calamo  noua  quaeuis  fradio  fimplex 
furmari  atque  c<Mifctibi  poflit  ,  iJque  qnacunquc 
tandem  .'ege  ,  reguhiri  fiuc  pro  arbitrio  variita  , 
'lom.}iX.  Nou.CoiTjm,  b  fra<ftio 


fra<flio  continua  progrcdiatur,  Qua  oci-af^orte  data', 
III.  A'Jdlor  de  f^iTic& ,  fraaione  CQr.tii;,\ia  Brouncher 
riana,  quae  .ia  iufiai^aiTi..  pro^u^^^i,  ejxoeftutn  iqAWf 
drati  rup,r/i,circulu<^  ei,J'^/u:j,ip(um(i  xnitate  epcpre^ 
fun,i  ,,ii)dici^t ,,  nonas  nrifert;  obferuationcsl)  et  notae 
corrcClio>ii  Waliifianae  nliam  fublUtuic  muItoeffiGaciio»' 
rem  ,  qua  fcilicct  efficitur  ,  vt  valores  pcrfpicuis 
pafTibus  ad  verit.atem  accqdant.  Regula  ,  quam  III. 
Audor  propo'.iit  pro  continuandis  fraiftionibus  illis  , 
qua^rdipjii^vjs  i  .fiipplicibu»  ^encrfllis-  efr  pio  /c^tTini- 
bus  qualibuscunque  fradionibus  continuis,  ad  indices 
arbitrarios  conftrudis  ,  iisqne  fuie  abruptis  fiue  in 
infinitum  continuatis.  Cafns,  autem  ,,  ibi-indices  vel 
periodico  recitrrnnt  ordlnc*,'*  vcil  conflanter  'iidem 
permancnt  ,^  foU  vidcntur  ,  qui  fradionem  continu4H« 
irifi'nltarri''reddant  Hiiutabilem  in  exprcdionem  fini- 
tam;''a  qUibuS  fi  difceHeris ,  non  nifi  idpropinqua- 
tioiVes  ad  verum  Vdlorem  obtincnt ;  tunjqne  de  eo 
potiflimun:^' quaeflio  eft ,  vtinam  abrumpcre  opera'r 
fioriemfit  confultias.  et  quaenam  ,  fi  adcuratiorem 
defidercs  dctermimitionem  ,  adhibenda  fi:  corredio 
minori  labore  dcterminanda. 

.Sequentes  111.  Audoris  obferuationes  ad  theo- 
riam  dc  frad:ionibus'continuis  fub  forma  gcncraliili- 
ijia  fpcdatam  pcrtinent  ^  et  quanta  in  iis-  traAandis 
adlilbcnda  fit  circumfpecflio  ,  notabilioribus  excmphs 
comprobant ;  ita  ,  v.  c.  fingulares  cafus  funt  ,  fi  in- 
tef  membra  fra<flionis  continuae  occnrrat  aliquoJ  , 
cujus  vtl  numerator  vcl  denominator  fit  zi  o  ,•    vcl 

fi 


o.  -  :!( 


fi    membrum    intermediiim    fit    negatiiium  ,    veluti 
— -^.  vbi  quidcm  (ollicite  dirplcicndumj  num  ifta  frad;io 

fit  —■>'  vel  ;±i^;  qui  bini  cnfus  ,  pcr  fe  iidem  ,  diffe- 
runt  tamen  ob  diucrfitatem,  quam  fcquentibus  mem- 
bris  inJucunt,  fi  talis  fradio  ncgatiua  fit  vuermedia  ; 
qune  ipfa  ^qnoque  ratio  eft  ,  cur  indices  -^  et  ^-| 
iiHcr  fc  diffcrre  fint  cenfendi  ,  vnde  vix  fiitis  prae- 
d^cari  poteft  ncceflkas ,  vt  ,  qui  proponit  fracflionem 
(jiiandam  continuam  ,  non  (olnm  valorem  indicum  , 
fed  et  formam  eorum  tam  ratione  terminorum ,' 
qiiam  fignorum  ,  •  di(lin<fle  exprimat  ,  ex  quo  et  id 
perTpicitur  ^  ieos',  qui  formas  fradlionales  femper  tales 
conftiiuunt  ,  vt  finguli  numcratores  vnitate  expri-' 
mantur  ,  minimam  huius  argumcnti  particulam  ex- 
haurire  ;  et  facile  in  errores  prolabi  pofle  ^  quod  111. 
Autflor  exemplo  comprobat. 

SuId  ftqem  differtationis  tlieoria  hic  propofita' 
comparatur  cum  Eukrianu  Tomo  XI.  horura  Com- 
ment.  tradita  ;  et  vfus  fradionum  coniinuarum  in 
euoJutione  radiciim  quadratarum  oflcnditur ,  vbi  id 
imprimis  peculiare  habct  111,  Audor  ,  vt  radiccs 
qiiadratas,  v.  c.  V  ^:,  V  13;  V  61^  etc.  fracHiionibus 
continuis  7«/i?r/(?n//;;  ordiniim  veluti'  primi '  ordinis , 
vbi  conf\anter  indices  psrmanent  iidem  ,  exprimere 
doccat. 


b  2  III. 


III. 

Solutio  quorandam  problematum  Dio- 
phantaeorum. 

Au£lore  L.  Eulero  pag.    48. 

Analyfis  fublimior  quantum  methodo  diophanteae, 
quantaque  haec  111.  Eiilero  incrementa  debeat , 
eos  haud  latent ,  qui  hoc  (peculationum  genus  non 
aduerfantur.  Tria  potidimum  in  praefenti  differtatione 
fohita  traduntar  probiemata  Diophantaea  ,  quae  ita 
denunciari  pofiTunt :  Inuenire  duo  quadratorum  paria 
* ^j yy  et  1 1,  uu , 

I     '  (xx-^-yy^^uuxx+ttjy)       \ 
▼t  fiat  •{  '2.){ttxx  +  uu}\y)(uuxx-^ttyj)}  quadratum 


t 


.tt  xx-\-uuyy  et  | 

'  uuxx  -\-ttyy  .         J 


Qiiod  ad  prius  horum  problemaium  attinct ,  id  ita 
reftringitur  ,  vt  tam  x  et  y  quam  t  ct  u  fmt  nu- 
nieri  primi  inter  fe  ;  quoniam  ,  quicunque  bini  nu- 
meri  pro  iis  fuerint  inuenti  ,  eorum  aeque  multi- 
pl.t  ,  vehiti  a  a:  ,  a/  et  (3  ;  ,  p«  quaefito  ,  vti  fta» 
tim  pafet  ,  .Tcque  fatisficiunt. 

Quod  fs  iam  formula  prior 

(  x  X  -i-yy  )  {t  t  XX  -^uu  yy  ) 
quadr.ito 

(  X  V  -hyy  y  xxyy{pp-+-qqy 

acquc- 


•»> 


(  O  )  |c|.-  13 


flcquetur ,  inde  Hatim  binae  litterae    t  tt  u  fe(}Ueati 
modo  expreffae  prodeunt  : 

tzzxy{pp~qq)-\-i.p  qyy  et 
ti-xyipp-qq)-!^pqxx 

•X  quibus  pro  ahera  formula  fit 

tyzizxyjipp-qq^-^-^ipqy*  ct 
UXzzX  xy  ipp  — qq)  —  i.pqx\ 

Cum  igitur  produdum 

{xx-^-yy^ittyy-^-uuxx^ 

«juadratum  fieri  debeat ,  omnibus  dcbltc  m  vfum 
vocatis    fequens    prodit  exprefTu)  ad    quadratum    re- 

duccnda  : 

^ppqqx-^pqipp-qq^X^y+ip^-Cppqq-^q^^XXyy 

')r^pq{pp-qq)xy-\-^ppqq/'y 

vbi  quidem  III.  Audor  cafum  fe  quali  fponte  «36- 
rentem  x—y  excludendum  iudicauit  ,  quia  fornnfula 
quadratum  eflicienda  hoc  cafu  foret  2(f^H-««), 
quod  nuUa  plane  difficultate  laboraret.  At  li  foio 
mula  illa  huic  quadrato : 

iipqxX'-{pp-qq^xy-^zpqyyY 

aequetur,  inde  fequens  coUigitur  folutio  problema* 
tis  (^  vbi  fcilicet  numeri  I  et  «  ad  minimos  terminos 
funt  redudi ) 

x=:zipp^qq)-^  t—Zip^-hppqq-h^^y 

j=^zpq  i  uzr{pp-qq'y. 

b  9  Huic 


itr  -^l  (,q)  lf€- 

Hj^ic  veco  folytipni  Vir  111.  alias  adhuc  pariter   in-  . 

fmite  patentes  adiecit ;  veluti 
X  —  p{p-\-iiq)i  t^p,[q-^'p.p)[pp'^'2.pq-\-:iqq) 

y—q{q-^^p)  i  uz:q(p-{-2q){qq-^r2.pq-\-2pp) 

et 

X=p(p-  £  q);    f—pCzp-^q^ipp-^zpq+nqq^ 

y^qi  ^p-'/iy%¥^.:q.lP'-  ^q)Cqq-<^pqi-3fp) 

quae  vero  folutio  ,  cum  a  praecedeiue  non  difcreper, 
111.  Audlor   ex  duabus  prioribus    folutiones     particu-. 
lares  ,  quomodo  facili   negotio  deducendae  fint  '■,  bre-' 
viter  oftendit ,  pluresque  fimpliciores  fubiungir. 

En  ergo  fpecimen  metbodi  ,  qua    III.    ■Etikrun 
vfus  eft  ,  ad  folutioncm   problematum    fupra    denuti-' 
ciatorum   perueniendi  ;  eandcm  enim  fohuionem  for- 
ti.untur  problemata   fequcntia  ,  ita  vt    non    opus    fit> 
recenfioni  huius  differtatioiiis  diutius  immorari.   Tan- 
tiim   enim    circa    problema    fecundum    obferuandun^ 
erit  ,  quod   infinitas    folutioncs    admittere    vidcatur," 
qilae  praecedenti  non  conueniant ;  quia  formula 

{t  t  X  X  -\-  u  iiyy  ){uux  X  -\-  t  tyy. ) 
quacratum  fiere  potcft,  ctiamfi   ncutra    praecedcntium 
fuerit  quadratum  ,  ad    cuius  rei  confirmationem  Cel. 
Auftor  hoc  adfert  cxcmplum: 

Jf  =973'i  ^==  2<^3  ;  '/  =  973  ;  u—  1841. 
Solutio  autem  huius  problematis  latius  patens  ita  fc 
habct  : 

X  ~  ^  n  -\-  6  m  ni  nn  ~m  ;  t  znm  x 

j'  —  3  111" -\-  6  m  m  nn  —  n*  i  u  —  ny. 

IV. 


IV.  ^^  ^•^'  • 

Sp^CLilationes  ,  AQal^f licae. 
Auftore  L.  Eulero  pag.  5p. 

Speculationes  analyticae  ab  1\\.  ^Eulero  hic    tradita^ 

fuper  formula    intcgrali  f  ~~f~ —  dx    verfaHtilf; 

Cum  enim  cius  valorem  ,  fi  a  termina  x-=:.o  vs-- 
que  aJ  terminum  x-\  extendatur,  inueniflet  z/p^,, 
haec  iutegratio ,  quippe  cuius  veritatem  per  me^ 
thodos  confuetas  oftendere  hadlenus  non  licuerat  ,■ 
haud  parum  attentionis  mereri  ipfii  videbatur;  quam^ 
ob'  rem  confiderationcs  ,  quae  fuper  hac  formula 
Viro  III.  fe  fe  obtulerunt,  hic  exponuntur,  variaquo 
inde  elegantifllma  deducuntur  Theoremata  ,  quorum 
praecipua  hic  ante  oculos  ponemns  ,  ledorem  vbe- 
rioris  inuefligationis  curiofum  ad  ipfam  difl"ertatio- 
nem  ablegentcs. 

Si  formulfl  Ji^I^^Ji  a  termino  xthO    vsque 

ad  terminum  x—\  extendatur  ,  eius  vaior  integra-- 
lis  aeqnetur  arcui  circuli  cuius  tangens  eft  n  ,  cuius 
theorematis  veritas  ex  confideratione    tam    exponen- 
tium  imaginariorum  quam  fequentis  feriei  eft  petenda, 
Cum  enim  fit 

V''     •■      I.     I.      (  I.-  .  •  •  ■<  I.  .  •  .  7 

inde 


inde  flatim  elicitur 


J  Ix  «         '  t  7  »  ' 

cuius  feriei  fumtna  maniferto  cft  A  tang.  n  ,  ita  vt 
pofito  »=i  fiat /liJf^-  — 5.  denotantc  tc  femi- 
peripheriam  circuli  ,  cuius  radius  —  i, 

S'\  formuh  fi^^H^l^-^i^  a  termino  x=:o 
ad  terminum  x  —  i  cxiendatur ,  eius  valor  int©» 
gralis  deprehenditur  efle  —  Wri^—^»  »n  quo 
igitur  nullus  arcus  circularis  occurrit,  etiamfi  in  hoc 
thcoremate  praeccdens  coatineri  videatur.  Manife- 
ftum  autem  eft  ,  dn.  q  l  x  ad  vnitatenn  reduci  non 
pofle,  nifi  quantitas  q  variabilis  accipiatur.  Ex  for- 
mula  autem  gencrali  ,  quomodo  huius  Theorematis 
integrale  deducendum  fit  ,  inueftigandum  iudicauit 
Vir  lll.  quem  in    finem    hanc    confiderat    formam ; 

/ ' . ,  quam  m   has  du.is  rcfuluit 

d  X  (  A«-*-^  -  a:P  "^^  )  dx{  x"-*-'  -  x^-*-^  ) 

J Tx ^ Lx '    ^"^- 

rum  vtraque  cum  formula  generali  initio  memorata 
manifeflo  conucnit  \  hinc  autcm  labore  haud  operofo 
ad  formulas  in  iheorematc  expreflas    peruenitur, 

x^  d  X  fin.  n  l X 
Si    formula   f ; a   termino  x  —  o 

■^  /  X 

ad  terminum  :*:  —  i  extendatur ,  ea  fempcr  huic 
valori  :    A  tang.  — —    aequetur.       Hic    obferuandum 

cft  ,  hoc   theorema  ad  primum  rcduci,  pofito  w  r  i  ; 

tum 


tiim  vero  quotics  " —  eundcm  indiiit  valorem  ; 
totius  etiam  formac  iiuegrales  intcr  fe  aequalcs 
euadent. 

,v«  —  x^      d  X      ab  .V  —  o  , 
Formula  / :  ^  •  -7- [     j     _     J    femper 

aequctur  huic  formuLic  : 

7  a         (3  -)-  n       g  -4-  -  1       g  -4-  T  W        j.- 

cuius  produdi  valor  per  ea  quac  Vir  111.  in  Mi^ 
lcclleneor.   Bcrolin.  Tomo  VII.  pag.  11+ circa  huius* 

modi   produdum 

a        c  -i-  b       a  -f-  fe      c_(_6-t-fe^       a  -^  •  k        C-H  bj^-j  k 
6~  ■  c  -i-a    •0-t-fe*c-f-c-f.fe    *  6  _t-  i  ft"  *  C  H-«t-  *  fe 

docuerat  ,  deprthenditur 

P  —  2  n. 


ctc. 


fl* 


Denotaiue  /  numerum  infinitum  formula 
2« '"  _  -P '    ^  s     a   5;  —  o  ■  « 

Denotantibus  litteris  5(,  33,  S  etc.    huiusmodi 
prodiKHiis 

51r=(a-(3)(ct-v)(a-(5")(a-e)  etc. 

23:3:((3-«)([3-Y)(p-(J)(p-e)  etc. 

e=(V-cc)(Y-^)(Y-o  J(y-0  etc. 

etc. 

Tom.XX.Nou.Comm.  c  littera 


18  -441  (  o  )  ^g2<- 

littera    vero    N    fit    =:  i.  2.  3.  4..  5. . . .  (  «— 2  )  , 
(emper  erit 

dx        X*      A-P      x"^      x^  ab  .v  —  o  ^ 

/^P^Si  +  ^  +  e+^-^-'^'-^  adA--x^  = 

V. 

De    Refblutione  Polygonorum  reftili- 
neorum ,  Diflertatio  (ecunda. 

Au&ore  A.  I.   Lexell  pag.  80. 

Cum  in  priori  de  hoc  argumento  Diflertatione, 
Clar.  Au(flor  modum  expodiiner  ,  quo  ad  ae- 
quationes  perucnire  licet  quibus  rLfoJuiio  vniuscun- 
que  figurae  redilineae  abfoluitur  ,  quatcnus  niniiium 
ratio  tantum  habetur  btcrum  ct  angulorum  iplius 
ambitum  conftituentium  ^  nunc  id  ipfi  piopofituin 
efl: ,  vt  quibusdam  fpeciminibus  doceat  ,  quomodo 
iftiusmodi  aequationes  tradliri  dcbcant  ,  vt  aptas  et 
commodas  fuppeditcnt  folutioncs.  Hunc  in  finem 
quatuordecim  Problemata  ,  quac  pro  rcfolutione  qua- 
drilaterorum  locum  hnbcnt  ,  cx  aequationibus  fup- 
peditatis  refoluenda  fibi  piopofuit.  Etiamfi  vero 
folutioncs  nonnuUorum  ex  his  Pn  blematibus  tam 
faciles  fint ,  vt  vnicuique  patefcnnt  ;  tamen  aliae  ea- 
rum  quasdam  aequationum  tranbtorinationcs  requi- 
ruut  ,  vt  in  Praxi  facilcs  ct  comii,odac  cuadant.  Sic 

fi 


(1  propofita  fuerit  ifta  quaeftio  ,  vt  cx  datis  tribus 
quadrihucri  lateribus  et  duobus  angulis,  qui  bina  ho- 
rum  lateruni  interiaccnt  ,  quaeratur  reliquum  latus  ; 
tum  fjcile  quidem  inuenitur  acquatio  valorem  hu- 
ius  lateris ,  per  data  latera  et  angulos  datos  expri« 
mcns  ,  vcrum  quum  illa  expreflio  ex  nimis  maguo 
termitiorum  numcro  fit  compofita  ,  in  eo  elaboran- 
dum  fuit  ,  vt  noua  quadam  quantitate  introdiidla , 
(olutio  ad  concinniorem  formam  reduceretur. 

Notum  e(l  in  rerohitione  triangulorum  ,  folu- 
tiones  nonnunquam  inde  fieri  elcgantiores  ,  quod 
plures  partcs  incognitae  trianguli  fimul  quacrantur  j 
fic  pro  quadrilateribus  quoque  iionnunquam  praeftat  ex 
iisdem  .datis  ,  plures  partes  quadrilateri  incognitas 
fimul  quaerere,  quam  vnamquamque  feorfim  inuefti- 
gare  ;  ita  fi  data  fuerint  tria  latera  quadrilateri  , 
cum  anguiis  inter  bina  interiacentibus  ,  bini  reliqui 
anguU  eadem  opera  inuclligari  poffunt  ,  quaerendo 
exprcffionem  pro  eorum  d:ffcrentia  ,  quippe  quum 
eorum  fumma  iam  per  datos  ani^ulus  determinetur. 
Opcrae  igitur  prctium  quoque  cfTc  duxit  Cl.  Audor 
Problemata  ex  hoc  gencre  oriunda  euolucre  et  ex- 
plicare. 

Tum  vero  vt  ea  ilhiflrarentur.  quae  in  priori 
DifTcrtatioiie  docuerat  de  refolutionc  Polygonorum  , 
quatenus  refpedus  quoque  habctur  ad  diagonales  vel 
angulos  laterum  cum  di:igonahl)us  ,  pro  quadrilatero 
tradcndam  ccnfuit  cnunierationcm  earum  folutio- 
num  ,  quae  locum  habent  ,  dum  diagonalis  quae- 
dam    quadrilateri  ,    vel  anguli  diagoualis  cum  lateri- 

t   2  bus 


bus  confiderantiir.  At  tamen  fatendum  efl  h.inc  enu- 
menuioiicm  cxigui  e(!c  \lus  ,  quuin  ad  coaijlean 
cognitionem  (olutionum  ,  quac;  pro  quadr  latero  lo- 
cum  habere  pofliint  requirntur  ,  vt  fine  d.kriniine 
refpecf^us  habcntur  ,  nd  omncs  redas,  quibus  quatuor 
puncta  in  eodem  plano  fira  iiitcr  fc  iungi  poflunt 
et  angulos  has  rcd:as  interiacentes.  Si  autem  quis 
huiusmodi  cnumcratioiicm  inire  vclit  ,  ncccrtum  e(l, 
\t  quinquc  omnino  (ohitio  lum  claffes  conltituat , 
prouti  nimirum  ,  eas  fohitiones  fex  ,  quinque  ,  qua- 
tuor  ,  trcs  vel  duo  ingrediuniur  hneae. 

Deniquc  vt  adliuc  eo  clarius  patefccret ,  qua 
ratione  aequationes  pro  refbhuionc  Polygonorum  ad 
\lum  accommodari  poflint  ,  (ub  fincm  huius  Diffcr- 
tatiunis  Audlor  nofler  difficihora  problcmata  pro  re- 
folutione  Poly^oni  quinque  laterurti  fibi  Ibhicnda 
propoluit ;  quorum  indole  probe  pcrfpccT:!!  ,  ficilh- 
mum  crit  pro  rcfohitione  Polygonoruin  altioruin 
ordinum  ,  fimiles   transformationcs  inuenirc. 

VI. 

Obferuatlones  circa   noiinin    et    fingu- 
Jare  ferierum  genus. 

Auftore   L.  Eulero  pag.  12^. 

Inter  res,  qoae  prima  fronte  attentione  noflra  haud 
dignae   videantur  ,  obfcruari  faepc  numero    quae- 
dam  ,  quae  attentius  pcrpenfae  ad  profundas  fpccula- 

tiones 


(  0  )  ^'4<*  ai 

tioncs  perduciint  ,  nuUus  corum  ,    qui    fubnnilioribus 

praccipue   f\nalyfeos   Uudiis   incumbuiu  ,    inticiabitur  , 

cum    plurimis    exemplis    et    adeo    liac    dilTertatione 

connrmari  paHU.     Contemplatio    enim    illius    nots- 

mac   quacflionis ,  qua  quindccim    ChrilHani    toiidem- 

que  lu.iaei   ita  ordine  (uit  coiiocandi,  \t   fi  ,  nume- 

landi   initio   in    loco    quocunque     conliituto ,    nonu5- 

quisL]UC   in   mare  fit  eiicienJus  ,     Iioc    (upplicium     in 

(olos    ludaeos    fit  cafurum  ,  Ili.  Eukro  anfam   prae- 

buit,  lioc  fini^ulare  progrelllonuin    genus  inuefligandi. 

Etiaiiifi   enira   liacc  quaeliio  in  fe  fpedata    liaud  dif- 

ficulter  rcfoluatur:  tamen  ,    fi  in  gencre    de    liomi- 

Dum   numero    indctcrminato  ,    ex    quibus    fecundum 

quemlibet  ordinem    et    numerum    quotusquisque    fit 

eiiciendus  ,  (ulcipiatur  ,    mox  inteiligetur  ,    quaellio- 

nem  inter    diffi:ilimas    efTe    referendam  ,    cum     non 

dctur   met'i()dus    Iioc     in    genere    praeUandi.       Quin 

etiam   eius.iem  generis  quacrtionem  ,     fi   ex    plurium 

fontium    numcro,  is   folus   pociiam   fit   fubiturus,  qui, 

portquam   nonus  vel  alius  quotus  qui-que    tx    ord.ne 

fuerit  eiccflus  ,  tandem   folus   fit    remanfurus  ,     atten- 

tione  mnximc  digiam  ccnfct    Vir    111,     \bi    fcilicet 

locum  nolle  opportet  ,    in  quo  numeratio    termina- 

tur.     Ad  omnia  haec  vbcrius  cxplicanda  ,    confidera- 

tur  cafus  ,  quo  ex  (erie    30    notarum    nonaquaeque 

delctur  ;  at  numcratione    acln     Jnftituta    indfcibus  |ue 

eicAorum  ordine  difpofitis  proJit    ferics  ,    quam    hic 

cum   indicibus  notarum  fubtcriptis  afpedui  exponemus 

I»   2,   3,4.,   5,   67,   8,   9,  10, 11,1:, 13, 14,15, 15,17. 18^19,20,21,22,23,24,25,25,27,28,29,50 
9,I8,27,(5,I(S,2<5,7,19,30,I2,24,   8,22,    5,23,11,29,17,10,  2,28,25,   l,  4,15,13,14,   3,20,21 

c  3  in 


«ar 


-3^.^  (  o  )  ^:c|<- 


in  qua  igitur  poflrerna  ferie,  quae  hic  ferles  eieSiionis 
vocatur  ,  nullus  plane  ordo  patefcir. 

Cum  autem  haec  feries  duabus  rcbus  determi- 
netur,  quarum  altera  a  numero  notarum  ,  alttra 
■vcro  a  numeratore  pendcat  ,  tota  qiiaenio  in  geiiere 
eo  reducitur,  \t  propofito  notarum  numtro  \na  cum 
numeratore  ipla  fenes  eiccSionis  inueniatur ;  cuius 
autem  (olutio ,  cum  in  gencre  expedari  nequeat  , 
111.  differtationis  Audori  plures  cafus  particularcs 
percurrere  vilum  eft  ,  fpe  treto,  fore  ,  \t  inde  kx 
qnaepiam  dete»^atur  ,  cuius  ope  regotium  confici 
poflit;  quem  in  finem  lcries  eicdionis  pro  diucrfis 
numeratoribus  iii  talibus  fdiematibus  expofuit,  quale 
hic  pro  numeratore  3  perfpicuitatis  gratia  appo- 
nemus 


Numerus 

Serics  ciedtionis 

notarum 

pro  numcratore  3 

I 

I 

s. 

>,i 

3 

3,  I,  2 

4 

3.  -r4»   I 

5 

3,1,5,2,4 

6 

3,<^,  4,  2,5,  I 

7 

3,6,  2j  7,  5»  I)  4 

8 

3,6,  1,  5,  2,  8,  4,7 

9 

3,6,  9,4,  8,  5-  2,7,   I 

lO 

3,<>,  9,  2,  7,  1.  8,  5.  10,4 

XI 

3,6,  9,  I,  5,10,4,1  I,   S,  2,  7 

12 

3,6,9,12,4,8,1,7,    2;ii,5,iO 

etc. 

etc. 

•vbi 


vbi  quidem  fecundum  lineas  verticales  et  horlzontales 
ordo  valde  efl  abftrufus ;  verum  in  vltimis  terminis 
progreirio  arithmcticii  ternario  crtfcens  occurrit,  cuius 
termini  numerum  notarum  {upcraiues  infra  eum 
funt  deprerti,  eadcmque  lege  progrediuntur  penuhimi, 
ante  peuukimi  ,  ctc.  Simih  etiam  modo  pro  nn- 
meratore  2  retflae  obhquae ,  ci  quae  pet  terminos 
vkimos  tranfit  paralltlac,  pcr  progreflioneb  arithme- 
ticas  binario  crelcentes;  pro  numeratore  4.,  per 
progreflio  les  quaternario  crefcentes ,  et  ita  porro  , 
progrediuntur  ,  ita  vt  ope  huius  legis  variis  a  Viro 
111.  exemplis  confirmatae  pro  quouis  numeratore  ec 
notarum  numero  nota  vkimo  eiicienda  facili  ne- 
gotio  aflignari  pofiit.  Et  quidem  in  genere  fi  fta- 
tuatur  nurnerator  ir«  ,  pro  notarum  vero  numero  y 
fit  vkima  eiicienda  rr  z  ,  tum  pro  numero  nota- 
rum  V  -}-  I  vkima  eiicienda  erit  z  -h  ;;,  dum  modo 
non  fit  z  -\-  n^  V  -\-  i  ;  fi  enim  lioc  cueniret , 
vkima  foret  vel  z  +  n  —  {y-\-i)^  \tl  z  +  n— zw-i- 1)  f 
vel  in  genere,  diuidendo  z -i- n  per  y-t- i,  refiduum 
ex  diuilione  natum  praebebit  indicem  notae  vhimo 
eiicienjae.  Quae  regula  maxime  notatu  digna  me- 
rito  ab  III.  Audlore  tanqium  infigne  Theorema 
fptdatur  ,  cuius  demonflrationem  etiam  hic  elegan- 
tiffime  adumbrat. 

Quaecunque  autem  fit  fimplicitas  huius  legis 
pro  notis  vkimo  eiiciendis,  Viro  lll.  tamen  non 
hcuit  earum  feriem  in  genere  exhibere  ,  cuius  rei 
ratio  manifefto  in  eo  eft  fita  ,  quod  teraiinorum  re- 

dudio 


duAio  pro  auouls  numeratore  perpetuo  ad  nlios  nume- 
ros  fit  !nllituenda,  neque  vUus  terminus  ex  praecedente 
abfoiure  diterminari  poflit  ,  etiamli  pro  cafibus  (pe- 
cialibus  ad  terminos  valde  remotos  pcr  faltus  pro- 
grcdi  liceat  ,  ita  vt  non  opus  fit  intermedios  euol- 
\iflc  ;  cuus  rci  iiic  exemplum  pro  numeraiore  9 
traditur  ,  in  quo  leries  \ltra  ter  mille  termiuoscon- 
tinuata  cll. 

Meditationes  circa    fingulare    {erierum 

genus. 

Auftore  L.  Eulero  pag.  140. 

Refert  hic  Vir   UI.    fe    in    commercio     iitterario , 
quod  olim  cum  Celeb.  Goldbathio  coluerat  circa 
leries   in   forma  hac  generali : 

contentas  verfatum  fuiflc  ,  cuiuimodi  fcrie^  ,  ctiamfi 
raro  occurrcre  (oleant,  parumque  vtil.tatis  polliccan- 
tur  ,  ideo  Ul.  diflerratioiHS  Audlori  omncm  ntien- 
tiotiem  mcreri  vidcntur  ,  quod  mcthodi  earum  fum- 
mas  inuefligandi  aliquando  Analyfi  infi^ncm  vluni 
affcrre  pofl^iint>  Trcs  autem  potiflimum  jdantur 
incthodi  diucrfne  ad  huiusmodi  fcrics  pcrueniendi  , 
quarum  quacque  hic  icorfiin  a  Viro    111.  cxplicatur. 

Hae 


Hae  autcm  methodi  ,  vtut  meyis  confijerationibus 
artiticiisque  analyticis  infiftentes ,  vberiorem  in  haC 
epitome  explicationcm  non  admittunt ;  vnde  ledo- 
res  rei  analyticac  periti  ad  ipfam  differtationem  , 
vbi  latiirimus  campus  et  fons  ad  moJum  foecundus 
aperitur ,  peculiare  fcrierum  genus  compkftens,  fuat 
ablegandi. 


'  ;'• .  "> 


,n 


^•^ 


•} 


Tom.XX.Nou.Comm.  d  PHrSlCO- 


PHYSICO  -  MATHEMATICA. 

L 

Formulae  generales ,  pro    translatione 
quacunque  corporum   rigidorum. 

Auftore  L.  Eulero  pag.  189. 

("^um  111.  Eiilerus  in  praeclaro  fuo  opere  ,  Theo* 
J  ria  motuum  corporum  rigidorum  ,  duplicem 
huius  argumenti  inueOigationem ,  geometricam  (ci- 
licet  et  mechanicam  ,  fimul  aggreflus  eflet,  quo  tota 
tradatio  valde  intricata  reddebatur  ;  hoc  loco  folam 
partem  geometricam  ,  vbi  fola  translatio  corporum  , 
finc  vllo  refpedu  ad  motus  principia  ,  per  mcras 
fbrmulas  analyticas  repraclentatur ,  fibi  pertra«flan- 
dam  propofuit;  quia  hoc  modo  ip(a  motus  deter- 
minatio  ex  principiis  mechanicis  multo  facilius  cx- 
pediri  potcft,quam  fi  vtraque  inuf fligatioconiundim 
fufcipiatur.  Primo  igitur  fitus  corporis  rigidi  ini- 
tialis  definitur  ,  quem  in  finem  111.  Auclor  pofi- 
tionem  fingulorum  pundlorum  per  ternas.  coordina- 
tas  inter  fe  normalcs  repraclcntat,  ideoque  ircs  axcs 
fixos  fe  inuiccm  normaliter  fccant(.s  coafiiiuit  , 
quorum  bini  in  eodem  plano  (unt  fiti  ,  quo  tcrtius 
normalitcr  infidit  ;  tum  igitur  ,  confider.uo  pundo 
corporis  qnucunque,  fi  ex  eo  ad  planum  deniittatur 
perpendiculum  et  ad  axcs  ex  pun(5lo  in  plano  ni^r- 
-V.   .-»■-.  ■  malcs 


rnales ,  manifeftum  eft  pofitionem  fingulorum  cor- 
poris  pundorum  commodiirime  per  ternas  coordina-. 
tas  determinari.  Totam  autem  iftam  repraefentatio- 
nem  ad  inucftigationem  mechanicam  magis  adaptari 
obferuat  Vir  111.  fi  pundum  illud  ,  in  quo  axes 
fixi  initio  conftituti  fe  inuiccm  normaliter  interfe- 
cant  ,  in  ipfo  corporis  rigidi  ccntro  grauitatis  acci- 
piantur  ;  tiim  vero  fi  tcrni  illi  axes  in  ipfis  axibus 
corporis  principaJibus  conflituantur.  Quibus  in  li- 
mine  notatis  II'.  Audor  ipfam  inueftigationem  ar- 
gumenti  propofiti  aggreditur  ;  faftaque  iam  transla- 
tione  corporis  quacunque  locum  confiderat,  in  quem 
punclum  illud  intcrfcdionis  fuerit  translatum  ,  voca- 
tisque  pro  eo  coordinatis /,  g,  ^,  fi  pro  alio  pundo 
quocunque  coordinatae  in  ftatu  initiali  fuerint  p,  9,  r 
in  fitu  translato  vero  x  ,  j  ,  z  ,  quia  diftantia  ho- 
rum  dunrum  pundlorum  eadcm  efie  debet  tam  ante 
quam  poft  translationem  ,  ad  ifiam  peruenitur  ae- 
quationem  : 

pp-i-  qq-i-rr  =  (x  -/)'-+-  {x  -  g  y-i-{x-hf , 

tum  vero  qiiia  dift.intia  inter  bina  corporis  punda 
qu  lecunque  in  fitu  translato  eadem  efle  debet  ,  quae 
fucrat  in  ftitu  initiali  ,  cx  his  conditionibus  dedu- 
cuiitur  valorcs  coordinatarum  .v,  /,  z,  qnos  induunt 
cafibus  ,  vbi  trium  qnantitatum  p  ■,  q  ^  r  duae  eua- 
nclccntcs  ftatuuntur  ^  ita  vt  hinc  patcat  ,  quonKjdo 
eae  a  finguiis  his  quantitatibus  pendeant.  Qiiihus  ex- 
peditis  omnes  hae  litterae  fimul  in  Cf^mpunun  du- 
ci|ntur  ,  tandemque  omnes  tranblauones,  quibus  fitus 

d  2  corporis 


corporls  rlgidi  BiJitari  potfift. }  per  fex  elemwta  de- 

terminantyr.    r:"}  ^-r:  r  •  ■•;if;-'- ;    . 

Deinde  cum  notum  (It,  in  transhtione  iofinite 
parua  fempcr  dari  quandam  lineam  retflam,  cuius  fitus 
parallelus  fit  ei ,  quem  eadem  re(5ta  in  Hatu  jnitiali 
habuit,  111.  Audor  explorat  ,  vtrum  io  tr.ioslatione; 
finita  etiam  detur  talis  reda  ,  quae  ip  vtroque  ftatUf 
eandcm  diredionem  feruet ,  quaeque  euidenKr  axem, 
circa  quem  corpus  gyratur  repraefentat.  Cum  au-» 
tem  haec  inucftigatio  ,  ad  aequationem  perducat  ,  dd 
qua  non  pateat,  quomodo  ad  nihilum  ftt  reducenda, 
delerit  eam  Vir  III.  aliam  viam  iugrediens  ,  cuius 
ope  facile  demonftratur,  quomodocunque  corpus  ngi- 
diim  tx  vno  fttu  in  alium  transferatur,  lcmper  dari 
eiusmoili  rtdam  ,  cuius  dirccflio  nullam  mutationen^ 
patiatur ;  etiamft  haec  vcritas  ratione  formulaiun^ 
aoalyticarum  pro  maxime  abfcondita  fit  habenda, 
Concepta  igitur  Sphaera  corpori  ligido  circumfcripta, 
cum  iplo  connexa  fimulque  mobili  ,  III.  Aixflor  fe- 
quens  theorema  demonftrat  :  Quomodocunque  Sphaer» 
circa  centrum  fuum  conucrtatur  ,  fcmper  alhgnari 
poteft  diameter  ,  cuius  dircdio  in  fttu  traaslato  coa-' 
veniat  cum  fitu  initiali. 


11. 


II. 

N"oua  methodus  motufTi  corporum  ri- 
gidorum  determinandi. 

Au£lore  L.   Eulero  pag.   208. 

Cohaeret  praefentis  differtationis  argumentum  cum 
eo ,  quod  iti  priori  pertradauerat  Vir  111. 
totaquc  eius  inuelHgatio  demonftrationi  theorematis 
in  fine  annexi  accepta  eft  referenda,  In  Theoria 
quidem  motuum  corporum  rigidorum  Ccleb.  Au(flot 
omnia  huc  pertinentia  feliciflimo  fucceffu  pertrada- 
verat  {  interim  tamen  folutiones  ibi  traditas  nimis 
intricaias  et  appUcationes  molelliirimas  effe  ingenuq 
fatetur.  Dcterminato  enim  motu  centri  grauitatis  , 
ad  quoduis  tempus  tam  pofuionem  axis  gyrationis 
et  axium  principalium  quam  ctlcritat^m  determinari 
opnrtebat ;  ad  quod  introdudio  plurium  quantita^ 
tum  vari;ib:iium  pol^ulabatur.  Haec  autem  incom* 
moda  euitantur  ,  li  infignis  illa  proprietas  axis  gy- 
rationis  in  vtroque  ftatu  inuariati  in  fubfidiuin 
vocatur  •,  quo  faAj  omnia,  quae  ad  dcterminationeni 
motus  huiusmodi  corporum  pertinent,  fine  tot  quan- 
titatibus  variabilibus  facili  negotio  abfoluuntur.  De- 
terminato  enim  motu  centri  grauitatis  in  ftatu 
initiali  ,  ille  quaeritur  axis ,  qui  in  fiatu  translato 
eandem  habet  diredionem;  tum  vero  definito  angulo, 
quo  corpus  circa  hunc  axem  fuerit  conuerfum  , 
ad  quoduis  tcmpus  fitus  corporis  accurate   innotefcit. 

d  3  Confi- 


Confiderat  igitur  Vir  111.  corpiis  in  flatu  ini- 
tiali  ,  in  eoque  pro  hibitu  accipit  pundum  quod- 
cunque  ,  per  quod  tres  axes  fixi  inttr  (e  normales 
ducuntur  ,  quorunn  refpedu  fitus  fingulorum  corpo- 
ris  pundlorum  per  ternas  coorciinatas  dtfinitur  ^  tum 
vero  ex  eodcni  pu:  do  tanquam  centro  fphacram 
concipit  circumfcriptam  ,  ip(b  cum  corpore  cohae- 
rentem  finuikiue  mobilem  ,  quo  omncs  inutftigatio- 
nes  ad  dodrinam  fphacricam  ,  in  (ubfidium  calculi 
hoc  modo  facilius  reddendi,  reuocari  queant.  Ktiamfi 
autem  tam  in  priori  difllrtatione  quam  in  ipfo 
tradatu  de  motu  corporum  rigidorum  tam  punduni 
illud  in  centro  grauitatis  quam  tcrni  axes  fixi  iii 
ipfis  axibus  corporis  principalibus  conftituti  fuiflent  : 
tamen  hic  nihil  referre  obfcruatur,  fi  omnia  in  alio 
loco  quocunque  pro  arbitrio  accipiantur.  His  prae- 
mjflls  ex  trigonometria  fphacrica  ftatus  corporis  ini- 
tia  lis  definitur  ;  tum  vero  ex  confideratione  eius- 
modi  radii  ,  cuius  dircdio  in  \troque  flatu  eadem 
eft,  determinatur  ftatus  corporis,  in  quo  elapfo  tem- 
pore  t  reperitur,  vnde  diuerfae  prodeunt  exprcfllones, 
ex  quibus  dcinceps  formnlae  generales  pro  trans-la- 
tione  quacunque  formantur.  Qiiibus  cxpofitis  111. 
Au<flor  nonnullos  fitus  principales  pundi  cuiusdam 
confidi  rat  ,  cx  qua  confidi.rntione  noucm  oriuniur 
exprcfl'ioncs  fpcciaks  translatoncm  huius  puncfti  de- 
terminantcs  ;  quac  idco  omni  attentione  funt  di- 
gnae ,  quod  cx  i;s  formuljc  gencrnlcs  pro  transla- 
tione  quicunque  nitidiftime  componuntur  ;  quae  in- 
flgnis  proprictas  in   thcorcmate  pcculiari    generalifll- 

mo 


«•> 


(  0  )  If2<-  31 

mo  compleditur ,  cuius  Teritas  ex  ipfis  calculis  an- 
tccedentibus  patelcir.  Hoc  theorema  fiibreqiiitur  ap- 
plicatio  fbrmularum  pro  translatione  inuentarum 
ad  coordinatas  orthogonaies ,  quae  fi  pro  (latu  ini- 
tiali  punfti  cuiuspiam  fuerint  X,  Y,  Z,  pro  ftatu 
vero  mutato  eiusdem  pundi  ftatuantur  a' ,  /  ,  2, 
exiflentibus  coordinatis  pro  pundo  illo  in  cenrro 
corporis  conrtituti  f  1  g  •>  h  y  adhibitisque  formulis 
traditis  nancifcuntur  pro  x  -,  y  ^  z  valores ,  qui  , 
quia  nimis  funt  intricati  ita  abbreuiantur ,  \t  fit 

.r  =/4-  F  X  -}-  F'  Y  -4-  F"  Z 

j  =g  4-  G  X  -j-  G'  Y  -h  G"  Z 

s-i^  +  HX-i-H'Y-i-  H"  Z 

Tbi  coefficientes  F  ,  G  ,  H  etc.  ab  angulo  conuer- 
fionis  aliisque  arcubus  per  fphaerica  ingreflis  pen- 
dent ,  et  ita  comparati  (unt ,  vt  fit 

FF+GG+HH  =  i  FF'+GG'+HH'zzo 

F'F'+G'G'+H'H'=i  et  F'F"+G'G"+H'H"^o 
F^i- "+  G"G"+H"H"-  I  F  F"+G  G"+H  H"-o 

Quo  autem  formulae  generalcs  pro  motu  cor- 
porum  rigidorum  a  viribus  quibuscunque  follicitato- 
rum  tradantur,  Vir  111.  corpus  quodcunque  rigidum 
conflderat  ,  cuius  fingulorum  elementorum  loca  pro 
ftatu  initiaii  per  ternas  coordinatas  X  ,  Y  ,  Z  de- 
terminentur  ;  et  denotante  M  mafllim  totius  corpo- 
ris  ,  eius  elemenium  quodcunque  characftere  d  /M 
defignatur,  cuius  elementi  locus  deinceps  ta<fta  trans- 
latione  poft  temporis  interuallum  t  per  ternas  coor- 

dinatas 


it  "^^.^  (  o  )  ^n^" 

dinatas  x  ,  y ,  z  definitur  ,  quas  igitur  vt  funAio- 
nes  tcmporis  fptdari  oportet ,  dum  priores  X,  Y,  Z 
tantuni  ad  llatum  initialem  refcruntur.  Quo  igiiur 
ex  priorum  huius  duplicis  generis  quantitatum  va- 
riabilitate  tam  motus  elementi  </ M  ,  quam  eius  ac- 
cclcratio  determinari  queat ,  111.  Audor  motum  fe- 
cundum  ternas  dirediones  fixas  fe  inuicem  normali* 
ter  dccuflTentes  reloluit ,  vnde  tam  ternae  elementi 
celeritates  quam  accelcrationes  fecundum  easdem  di- 
rc(ftioncs  dcfiniuntur.  Porro  omnes  vircs  ,  quibus 
corpus  hoc  temporc  foUicitatur  etiam  fccundum  ter- 
nas  illas  dirediones  refoluendo ,  fi  ex  omnibus  con- 
iundis  vires  oriantur  P,  Q,  R,  quia  iftae  vires 
fummis  omnium  virium  acceieratricium  aequari  de- 
bent  ,  inde  tres  nafcuntur  aequationcs  integrales ,  ia 
quibus  tempus  t  vt  conftans  fpedatur ,  etiamfi  in 
formulis  differentialibus  pro  celeritatibus  et  accelera- 
tionibus  id  folum  pro  variabili  fit  habitum.  Dcinde 
cum  omnia  virium  acceleratricium  rriomcnta  refpedu 
ternorum  axium  fimul  fumta  aequalia  rcddi  dtbcant 
momentis  ex  viribus  (ollicitantibus  rcfpcdu  axium 
dedudis  ,  inde  itcrum  tres  aequationes  oriuntur  ,  in 
quibus  fblae  quantitntcs  X  ,  Y  ,  Z  funt  variabiles, 
Formulae  autem  integrales  in  bi(ce  fcx  aequationi- 
bus  occurrentes  ,  quae  tantum  ad  (\jtum  corporis 
initialcm  referuntur  per  totam  corporis  n  affam  funt 
exteiidcndae  ,  vnde  certae  conflantes  a  figura  et  in- 
dcle  corporis  pcndentes  in  calculum  ingrediuntur , 
quibus  introdu(flis  nullae  allae  variabiles  adfunt  ,  nifi 
quae  a  icmpore  t  pendcant.     Cum  auiera  fada  fub- 

(litutione 


••> 


(    o   )    |?^<«  31 


ftltutlone  formuke  admodum  prolixae  prodierint , 
eas  concinniores  reddere  lll.  Audori  vifum  eft,quo4 
fit ,  ternis  axibus  in  ipfis  axibus  corporis  principali- 
bus  conflituendo ,  pundtoque  illo  pro  lubitu  affumto 
in  ipfo  centro  inertiae  collocando;  quo  faclo  quidem 
fbrmulae  minus  perplexac  oriuntur  ,  ex  quibu*  ta- 
men  in  genere  pro  viribus  fullicitantibus  plus  coa- 
cluderc  non  licet. 

Accedit  denique  applicatio  formularum  ad  ca- 
fum  ,  quo  corpus  nuUis  plane  viribus  follicitatur  , 
■vbi  folutio  ad  tres  aequationes  difiercntiales  primi 
grudus  reducitur.  Verum  cum  in  iis  quatuor  varia- 
biles  nimis  inter  fe  fint  permixtae,  quam  vt  quid- 
quam  generaliter  inde  concludi  poflit ,  cafus  fpecia- 
lior  confideratur ,  quo  corpus  circa  axem  fixum 
gyratur ,  quo  motu  corpus  gyrari  poteft ,  fi  axis 
gyrationis  in  aliquem  axem  principaiem  incidat ; 
quo  ergo  cafu  angulus  conuerfionis  tempori  fit  pro- 
portionalis,  vti  per  fe  efl  manifeftum.  Vcrum  etiam 
in  hoc  cafu  fimpliciffimo  plures  difficultates  mora;ii 
faceffunt ,  ita  vt  in  genere  euoiutionL*m  multo  mi* 
nus  tentare  liceat ,  etiamfi  nullum  fit  dubium,  quin 
etiam  in  gcncre  fuccedere  debeat.  Hoc  igitur  argu- 
mentum,  attentione  Geomctrarum  digiiifTimuai,  quod 
forfan  certis  artificiis  analyticis  adliuc  latentibus  ali- 
quando  fcliciter  abfolucre  licet,  aliis  111.  Eukrus  re- 
linquit  maximeque  commendat. 


Tom.XX.Nou.Comm.  e  \\\\. 


iir. 

Theoremata     nonnulla     generalia    de' 
^,  ^translatione  corponim  rigidorum. 

Auftore  A.  I.  Lexell  pag.   2^9. 

Cum   Illuflr.  Eiileyiif  iii  binis  Diffcrtntionibus  modo 
conimeinoratis  docirinam  dc  translationc    corpo- 
rum  rigidorum  expofuilTct,  inter  alia  Iianc    infignemt 
detexit   proprietatem  ,    quod   pro    quncunque    triinsla"- 
tione  corporis  rigidi  ,  fit  linea  quaedam   rc<fla  ,  quae 
fitum   teueat  parnllclum  ei  ,  quem    ab    initio    motusi 
habuit ;  fimulque'  animaduertit  ,.    \it  hoc   locumr  ha-> 
baat.  exprcflioncms  quandam!   Analyttcam     nihiioj  ae-' 
quiri   debere.     Q^iiamuis- igitur.  nullum   fupcreflct  du- 
bium  ,  quin  ifta  exprcfllo.  reuera   nihilo  fit  aequalis, 
quippe  quum  facillima  demonftratione    euinci   polfit  , 
in  omni   motu  corporis  gyratorio,  dari   rectam,quae 
prorfus  eundem   fitum   teneat   ,  ac   in    flatu    iniciali  ; 
tamen  id   adhuc    dcfidcrabatur  ,    vt    indepedcntcr    ab^ 
liac  proprietate  demonflrari   poflet  ,    ifiam  exprefllo- 
nem  Anaiyticam    cuanefccre ;    quum    igitur    Audor 
huius    Diflertationis    eiusmodi    dcmonflrationem    dc- 
texifl^ct  ,  eam  hcic  cxponendam  ccnfuit,   adicdis  ta- 
men   aliis   de  transhitione  corporum    meditationibus  , 
quae  infcruire  potcrunt  ad  ea,  quac   lliuflr.     Eu/cruf 
docucrat  ,   confirmanda.       Pracmilfo    igitur    primum 
Theorcmate  gcncrah  ,  quo  ex  datis    trunblationibus  , 

trium 


(  o   )  l?2-  31 

trium  pund^orum  fphaerne  quadrantibus  inter  fe  di- 
flantium  ,  translatio  alius  cuiuscunquc  puncfti  io  ea- 
dem  fupcrficic  ,  exprimi  pcflit  ;  oUcndit  Aii(flor  hu- 
ius  PifTcrtationis  quod  fi  haec  translatio  cuancfcat  , 
feu  pun(ftnm  illud  eundcm  locum  obtineat  ac  iii 
(latu  initiali  ,  irtam  expreiiionem  Analyticam  llludr. 
Eukri  prtuiire  ,  quac  in  omni  translatione  corporis  , 
nihilo  acquari  di-bct.  Ante  quam  vero  Audor  no- 
ftcr  id  dcmonllrnre  furcipiac  ,  quod  haec  formuU 
Analytica  fempcr  euanefcere  debeat  ,  \tcunque  cor- 
pus  lupponatur  motum  ,  primum  oftendendum  fibi 
prc^pofuit  ,  quomcdo  formulae  Theorematis  iftius 
-gencralis  adplicandac  fint,  ad  quanicunque  translatio- 
nem  puii<ni  alicuins  in  corpore  rij^ido  expritncndam. 
Totum  autem  hoc  negotium  eo  reducitur,  \t  duplex 
motus  quohaec  translatio  abfoluitur  ,  confideretur  ; 
inotus  oimirum  progrefliuus  quo  fingulae  corporis 
particulae  fccundum  diredliones  inuicem  parallelas  fe- 
runtur  et  motns  gyr.uoiins,  qno  corpus  circa  pun- 
dum  quoddam  fixum  gyrari  fupponitur.  Cognito 
igitur  motu  progreniuo  ,  qui  omnibus  corporis  par- 
'ticulis  communis  efi  ,  motus  gyratorius  per  formu- 
Jas.  ex  Theoremate  fupra  commcmorato  dcducendas, 
fjcile  cxprimetur.  His  abfolutis  AucT:or  huius  Dif- 
fertationis  infignem  ifiam  proprict.itcm.  fibi  demon- 
firandam  propofuit,  quod  in  omni  conuerfionc  fphae- 
rae  circa  ccntrum  ,  dctur  pundum  in  eius  fupcrfi- 
■cie  ,  quod  poft  conucrfioncm  in  eodeni  fit  fi^tU  ,  ac 
in  fiatu  initiali  erat.  Tum  vero  oftcndit ,  quomodo 
■inu^niatur    i-flud     pundum     cx    datis    translationibus 

e   1  triuai 


trium  pundorum  ,  quadrant  bus  inter  fe  diftantium. 
Praemiffis  itaque  his  meditationibus  ,  Tlieorema  irtud 
cui  praecipue  iieic  intentus  eft  ,  adgreditur  j  cuius 
quidem  duplicem  heic  adfcrt  demonnrationem,  prio- 
rem  Geometricam  ,  alteram  Analyticam  magis,  quae 
tamen  pofterior  non  prorlus  rite  fibi  conftare  poteft, 
nifi  ex  contemplatione  figurae  nonnulla  ,  quae  in 
ipfa  defiderari  pofTent  ,  fuppleantur.  His  vero  de- 
inonftrationibus  nonnullas  egregias  proprietates,  quae 
pundum  iftud  al  fitum  initialem  rediens  refpiciunr, 
cxplicandas  cenfuit;  tumque  demum  oftendit  quo 
rr.odo  ex  data  diftantia  huiiis  pundi  a  tribus  pun- 
«flis  Sphaerae  ,  quadrantibus  inter  fe  diflantibus  ,  et 
angulo  quo  conuerfio  fphaerae  fa<fla  eft  ,  per  formu- 
las  latis  concinnas  exprimatur  tranflatio  cuiiiscunque 
pundli  in  fuperficie  fphaerae  ,  quarum  formularura 
ad  translationem  quamcunque  corporum  rigidorum' 
facilis  cft  applicaiio. 

IV. 

Regula  faciliSj  pro  diiudicanda  firmi- 

jnitate  pontis  aliusue   corporis  fimilis, 

ex  cognita  firmitate  moduli. 

Auftore  L.  Eulero  pag.   r/i. 

In  hac  diflcrtatione  111.  Euleio  propofitum    eft    in- 
vcfligare  ,  quonam  firmitatis  gradu  modulus  pon- 
tis  aliusue  corporis  fimilis  praeditus  cffe  debcat ,    Yt 

ipfc 


ipfe  pons  ad  fimilitudinem  moduli  conf^i^us  fatis 
rob)ris  fit  hnbiturus,  quam  inueftigationem  ha^flenus, 
ni  fjllor,  intjdam  maximi  momenti  efle  minus  aey;re 
fatebcris  ,  cum  plerique  in  conftciendis  talibus  ma- 
chiiiis  opinions  du;fli  fuerint ,  pontem  ad  ^militu- 
dinem  moduli  exlUucflum  fatis  roboris  effe  habitu- 
rum  ,  fi  modo  modulus  fimile  onus  gcftare  vaieat, 
quale  ipfe  pons  fullinere  debet  ,  cui  autem  opinioni 
111.  diffvrtationis  Ausflor  ftatim  in  limine  obkrua- 
tionem  opponit,  quod  talis  pons  certe  non  ad  quan- 
tumuis  magnam  diftantiam  extendi  queat,  quantum- 
vis  etiam  roboris  modulo  conciliaueris  ,  quocirca 
pabm  eft  ,  firmitatem  pontis  neutiquam  a  firmitate 
moduli  fecuudum  principium  fimilitudinis  definiri 
pofle. 

Duplex  autem  virium  genus ,  alterum  fradio- 
nis  alterum  diuulfionis  ,  hic  accurate  perpendendum 
efTc  iudicat  Vir  111.  quorum  prius  potiliimum  lo- 
cum  habet,  fi  trabcs  adhibcnntur,  quae  fracflioni  refi- 
fiere  debeant  ^  polierius  vero  genus  locum  habet  ,  fi 
funes  adhibeantur ,  quorum  tenacitate  tota  machina 
ianitatur.  lam  cum  vis ,  quam  funis  fiiflinere  va- 
let,  a  tenacitatc  filorum,  ex  quibus  contortus  efl:,  pen- 
deat ,  fi  ea  in  variis  funibus  eadem  fit ,  patet ,  fir- 
mitatem  crjfiitiei  proportionalem  efiTe  dvbsre.  Dabi- 
tur  er^o  certa  longitudo  ,  quae  in  craflitiem  du<fta 
pro  menfura  eius  vis  ,  quam  funis  fuftinere  valet , 
haberi  potcrt  ;  quae  longitudo  ea  erit ,  q  Kim  funis 
habere  debet  ,  vt  ,  fi  verticaliter  fuf^endatur ,  a 
proprio    fuo    pondere    difrumpatur,      His    obfjruatis 

6  3  liL 


111.  Aucflor  breuiter  in    cauflam    cohaefionis    corpo- 

rum  inquirit  ,  quam  iii  vi  elaftica    Aetheris    potius 

i]uam  in  prefllone  Atmofpherae  quaerendam  eflc  de- 

•clarat  ,  quia  ,  ft  a  folo  pondere    Atmofphaerae    pen- 

-deret ,  de  quo  notum    eft ,    duo    marmora    \el    alia 

•corpora  polita  ,  inter  quae  nullus  acr    locum    inue- 

niat  ,  ad  le  inuicem  apprimi  vi    altitudiiii    Barome- 

tri  refpondente  ,  pro  craliitie    cc    pondus    coiumnae 

Mcrcurii  cuius  bafis  —  c  c  ct    aliitudo    z=.  k    cohae- 

fionem  fuperaret.     Vnde    fi  «  :  i  exprimat  ratiqnem 

grauitatis  mercurii  et  materiae  funis  ,    foret    Longi- 

itudo  illa  maxima  —  «/:  — aSdig.    cum   tamcn  fiue 

dubio  omnes  fere  funes  maius  pondus    luftinerc    va- 

leant. 

His  autem  circa  iflam  longitudincm  ,  de  qua 
notionem  abfolutam  habuiffe  pro  praefcnti  inllituto 
.fupcrfluum  foret ,  pracmiflis  ,  111.  Audor  iplum  ar- 
gumcntum  propofitum  aggreditur  ;  at  confidcratis 
duobus  fuuibus  ex  eadcm  materia  confc(ftis  fimili- 
qne  modo  tenfis ,  maior  ad  diflnntiam  A  >  minor 
vero  ad  diftantiam  a,  fi  V  et  v  dcnotcnt  vires, 
qu.is  maior  minorque  funis  fuflincre  vakat  ,  quin 
rumpatur  ,  hac  vires  duabus  partibus  conflare  liint 
ccnfcndac  ,  quarum  altcra  continct  pondus  funis ,  al- 
tera  vcro  onus  ,  quod  gcflare  valet.  Vndc  fi  p 
fuerit  pondus  m.inoris  fiuiis  et  P  pondus  m:iioris ; 
tum  vcro  ^ctQfint  oncra,  quae  finc  ruptione  gcllare 
vakant ,  erit  V  —  P  4-  Q  ct  v  —  p  ~{-  q.  Quod  fi 
igiiur  pcr  expcrimcnta  fucrit  exploraium  ,  quantum 
onus  q  minor  fuuis  gcflace  vakat    quin    rumpatur  , 

inde 


inde  flatim  onus  a  mniorc  fuflentatum  Q  definiri 
poterit ,  pro  quo  autcm  ,  nc  in  negatiuum  abeat , 
requiritur  vt  fit  q^^^p.  Ex  qua  limitationc 
ftatim  patet  ,  machinam  ad  fimilitudincm  moduli 
non  ad  quamuis  magnitudincm  augeri  poffe  ,  quia 
maximam  longitudinem  A  ~  ^-^  «  transgrediendo 
maior  funis  non  folum  nuHum  onus  fuflentare  va- 
leret,  feJ  adeo  proprio   fuo  pondcre  diue41eretur. 

Hoc  cafu  expedito  111.  Audor    in    refiflentiam 
inquirit  ,  quam   trabcs  aliaue  corpora  rigida  ruptioni 
opponunt  ,  quo   (ummo    cum   acumine    perado  ,    fi 
flabiliatur  longitudo  pontis  z=A,  moduli  zz  a,  pon- 
dus  moduli  z:p,  pontis  =  P,  9  et  Q  vero  defignent 
onera  a  modulo  et  ponte  ipfo  fuftentanda,  pcr  prin- 
cipia  iis  fimilia  ,  quibus  antca  pro  funibus   vfus  eft  , 
ad  hiHic    perducitur    aequationem    valorem    oneris  Q_ 
cxprimentem  :    Q^— n  n  {p -{' q— np)   ,.  vbi     «:  i 
rationem  dimenfionum  pontis   et     moduli    exprimit. 
Ex      hac      autcm      acquatione     confequitur    conditio 
^  >>  (  «  —  I  )p,  quem   limitem   onus  a    modulo    gc- 
(latum  co    magis    fupcret    neccffc    eft  ,    quo    maiora 
funt  onera,  quibus  ipfe  pons  fu(lentandis  par  efle  de- 
bet.     Ceterum  111.   Audlor  obferuar,  fi  pons  ad    per- 
fedlam  fimilitudinem   cx(\rudus  non  (iitis  roboris  e^Tet 
habiturus,  huic  defedui  remedium  afFerri  poffe,  dum 
cra^Titics  trabium  vltra  rationem    i:n  augcatur,  quem 
in    finem    tabulam     anncdendam    cenfuit  ,    ex    qua 
pateat ,  quotics  haec  ratio   augcri   debeat  ,    vt    ponti 
fatis  roboris  concilietur. 

Deni- 


4-»  -»5^.^  (0)1?^. 

Deniquc  quo  pons  impetuofitatl  ventorum  re- 
fiftere  queat  ,  tantum  opus  eft  ,  vt  moJulus  ei  refi- 
ftat  ,  quaidoquidem  impulfio  venti  fupcrficiei  in 
quam  agit  e(l  proportionalis  ;  quam  rationem  etiam 
firmitas  fiquitur  ,  qua  machina  veiito  refiftit.  Si 
autem  modulus  vento  non  fatis  refiftat ,  huic  de- 
fedui  facile  occurritur ,  dnm  latitudo  trabium  au- 
getur. 

V. 

De  gemina  methodo  tam  aequilibrium 

quam   motum  corporum  flexibilium 

determinandi  et  vtriusque  egre- 

gio  confenfu. 

Au£lore  L.   Eulero  pag.  285. 

Mcthodi  diuerlae ,  quibas  vtuntur  Geometrae  in 
icloluendii  praecipue  quacrtionibus  mcchanicis, 
faepcnumero  controucrfiis  anfam  pracbiiere  ,  quae 
deinceps  ,  rebus  debita  attcntione  pcrpenfis ,  cefTinte 
diuerfitate  ceflTarunr.  Hac  cadcm  forfan  (brte  ob- 
noxia  fuiffet  Theoria  aequihbrii  ct  motus  corpo- 
rum  flexibilium  ,  nifi  diucrfae  methodi ,  de  qui- 
bus  hic  fermo  cft  ,  vni  codcmquc  Aucftori  dcbcren- 
tur.  Mcthodum  fcilicet  'vniuerialcm  figuram  inuc- 
niendi  ,  quam  fihim  Cuc  perfede  flexile  fiue  vtcun- 
que  elaflicum  induerc  debet ,  vt  in  aequilibrio   ma- 

ncac  t 


ueat  ,  iam  prldem  tradiderat  111.  huius    diflTertationis 
Audor  in  Comment.   prior.  Tomo    111  ,    quae    au- 
tem    mcthodus     do»flrina    momentorum    innitebatur. 
Cum   igitur  deinceps  in  Comment.  nouor.  Tomo  XV. 
idem  argumentum  alia  methodo    ex    principio    lon- 
gilTime  diuerfo  tenfionum  ,  qua  fingula  fili  elementa 
afficiuntur  ,    petita ,    pcrfrad;afllt  ;    folutio    a     priori 
tantopere  diucrfa  prodiit  ,  vt   prima  fronte  vti  nul- 
lum  vel  leuem  faltem  confenlum  inter  eas  perfpicere 
licuerit.     Ne  igitur  haec    diuerfitas  ,    quod    ipfi    111. 
Aucflori  accidit ,  ledori  fcrupiilum   moueat ,    in    hac 
difiertatione  eeregium  confenfum  intcr  binas  illas  fo- 
lutiones  ab  ipfo  olim    tradicas   ex    diuerfifilmis    licct 
principiis  petitas  demondrare  fecum   conftituit. 

Propofita  igitur  figura  fili  cuiuscunquc  in  ftatu 
aequilibrii,  fi  more  folito  ad  axem  fixum  referatur  , 
eiusque  elemento  duac  vires  applicatae  concipianiur  , 
verticalis  fciticet  et  horizontalis  ;  tum  vero  iis  ad- 
iungantur  vires  finitae  ,  qujbus  filum  vel  in  altero 
vcl  in  vtroquc  termino  follicitatur  ,  ftatus  quaeftio- 
nis  eo  reducitur  ,  vt  figura  dettrminetur  ,  ad  quam 
filum  (e  componat  ,  dum  in  aequilibrio  conquiefcet ; 
vbi  pcrfpicuitatis  gratia  omnia  in  eodem  plano  fita 
concipiuatur.  Praemiffo  autem  hoc  quaeftionis  ftatu 
111.  Audor  vtramque  folutionem  tradit  ,  quarum 
prior  in  eo  confift;t  ,  vt  oninium  viriuai  elementa- 
rium  ,  quae  per  totum  arcum  funt  applicatae  mo- 
menta  inueniantur  ,  qnae  in  vnam  fummam  colltda 
et  elafticitati  aequata  acquationem  praebent  fi^uram 
Tom.XX.  Nou.Comm.  .f  fili 


N 


fili  feu  laminae  clafticae  exhibentcm,  Altera  vero 
folutio  ex  hnc  confidcratiGne  eft  petita  ,  quod  ,  quia 
l.Hiiina  clalHca  ob  vires  ipfi  applicatas  in  flatu 
quodam  vioiento  tenetur  ,  fi  portio  eius  quacdam 
icl(.caur  ,  altera  portio  (ubito  aiiam  figuram  fit  re- 
ceptuni.  Inquirit  enim  Vir  UL  in  eas  vircs  ,  qua« 
pundo  illo  rdedionis  applicatae  laminam  refedione 
facfla  in  codcm  flatu  retinere  vakant ,  ad  quod  ne- 
GtfiTario  duas  vires  requiri  declarat  ,  alteram  fecui;- 
du.n  tangentein  trahens  ,  altcram  vcro  normalcm 
Gum  vi  cladica  in  acquilibrio  verrantcm..  Quibus 
adhib  tis  quatuor  nanciicuiitur  aequationcs  iis  quae 
in  Tonio  XV.  Comment.  cxtant  fiiniles,  a  priorc 
autera  folutione  prorfus  diuerfae.. 

Quo  igitur  pulcherrimus  binoriim  folutlonum 
tantopcre  a  ie  inuiccm  diuerforum  confenfus  nulli 
dubio  rclmquatur  ,  IM.  Audor  cius  demonnraiioncni 
hic  fifiit  Gomplctam  ,  cx  qiia  luculcntcr  patcrcit  , 
priorcm  methodum  cum  pofieriore  pr.orfus  conuenire, 
Vbi  autem  probe  obferuandum  tfl  ,  ex  priore  me- 
thodo  neque  tenfioncm  ncquc  vires  normales  ad  cur- 
TiUuram  cuiusque  elcmenti  produccndam  requifitas 
cognofci  ,  dum  e  contrario  in  polieriore  folutione 
non  folum  figura  laminae  exhibeatur ,  fcd  'etiam 
flatus  violentus  fingulorum  laminae  clemcntorum 
dcclarctur.  Hanc  demonf^rationcm  fubfcquuntur  qua- 
tuor  eleganiiflima  theoremata  circa  egregiam  rcla- 
tioiiem  intcr  vircs  clementnres  ct  tangentialcs,  quam 
jpolkrior  methodus  fuppeditaucrat  j  quibus  adieda  clt 

dcuiquc 


deniqne  applicatio  ad  laminas  elafticas  in  ftatu  na- 
turali  iam  incuruatas ,  ad  quas  Vir  111.  ea  quae  de 
ftatu  aeqaiiibrii  \iolento  determinauerat  traasferendi 
iudicauit. 

VL 

De  preflione  fiinlum  tenlbrum  in  cor- 
pora  fubiefta  eorumque  motu  a  fri- 
ftione  impedito;  vbi  praefertim  me- 
thodus  traditur^  motum  corporum  tam 
perfefte  flexibilium  ,  quam  vtcunque 
elafl;icorum  non  in  eodem  plano 
fitorum  determinandi. 

Au(£lore  L.  Eulero  pag.   504. 

Per  ea  quae  in  praeccdentc  diflertationc  circa  Theori- 
am  aeqnilibrii  et  motus  corporum  flexibiiium  ex 
principiis  tam  Staticae  quam  Mechanicae  docuerat  Vir 
111.  lata  nobis  via  aperta  eft  ad  folutiones  omnium 
quaeflionum  ,  quae  tam  fuper  preflione  quam  motu 
funium  cylindro  circumplicatorum  proponi  poffunt, 
perueniendi.  Paflim  quidem  hoc  argumentum  iam 
a  Gcometris  fiut  pertradatum  ,  vcrum  ob  metho- 
dos  eorum  minus  dircdas  flmulque  nimis  rcftridas 
ct  fpeciaks  ,  folutioncm  dirciflam  magis  latiusque 
patentem  iurc  defideras.     Talem  igitur  hic  fiftit  Vir 

f  2  111. 


.4.4-  -^3^.^  (  o  )  |"4<" 

111  ex  theoria  generali  acquilibrii  et  motus  corpo- 
ruin  fiue  p^rfecflc  fltxibilum  Uue  vtcunque  elaltico- 
ru^n  petitam  ;  quam  thcunam  in  praeccdente  Com- 
ment.  Tomo  paj?.  350  111.  Auclor  ,  dc  nunu  tur- 
bmatorio  chordarum  miificarum  agcns  ,  expolucrat  , 
hic  autem  ,  ne  opus  fit  principia  aUunde  conqui- 
rere  m  iimine  brcuiter  repctic  ,  dcinde  tires  inue- 
ftigdt  ,  qnibus  funis  cyliMdro  circumducflus  fuperfi- 
ciem  fubicdam  in  fingulis  puntftis  premir.  jueter- 
minatis»  autem  omnibus  ,  quae  Uxum  habent,  quando 
funis  omni  eladicitate  ei  grauitate  ert  dcfiitutus  , 
Vir  111.  in  motum  funis  fuper  cylindro  fixo  inqui- 
rit  ,  quattnus  ille  a  fridio.^e  impeditur,  cuius  ef- 
fcclus  in  co  confiiht ,  vt  motus  funis  impediatur, 
ctiamfi  a  viribus  vtnnque  inaequaliter  tendentibus 
foUicitetur.  Cum  autcm  hae  inuefiigationes  eius 
fint  uaturae  ,  vt  finc  figurib  calculisque  annlyticis 
rccenleri  nequeant ,  Mathematum  cultores ,  quorum 
animi  ad  hoc  maximi  momenti  argumentum  pro- 
pcnJent ,  ad  ipfum  Au<florcm  abkgamus. 


VII. 


VJI. 

De  preffione  funiLim  tenfbrum  in  cor- 

pora  (iibie£la  eorumque  motu  a  fri6lio- 

ne   impedito.      Dillertatio  altera. 

Au£i:ore  L.  Eulero  pag.  ;^2/. 

Hic  111.  Eukrus  methodum  tradit  fimpliciorem 
magisque  diredam  hoc  infigne  problema  tra- 
dundi.  Cum  enim  (olntio  in  praecedente  diflcrtatione 
expofita  ex  tlieoria  vniuerlaliflima  motus  corporum 
tam  perfe(fle  fl.xibilium  quam  vtcunque  elaflicorum 
dcduda  ad  formulas  vaUe  iatricatas  perduxiflet,  quae 
autem  deinceps  elegantillimam  rcdudioiem  paflae 
erant  ,  flatmj  Viro  11!,  vifuin  efl  ,  aliam  dari  ■viam 
magis  naturalem  magisque  diredam  ,  cuius  ope  fine 
tantis  amba^ibus  (copum  optatum  attingere  liceat. 
Qiicm  in  finem  theoriam  illam  prius  ad  hanc  quae- 
fiionem  propius  accommodandam  quam  folutionem 
inde  deducendam  efle  iudicat.  Conflituto  autem  inde 
theorcmate  haud  late  patente,  eoque  ex  ipfis  aequi- 
librii  principiis  demonflrato,  quac  antea  demum  pofl 
plures  anfradus  obiinebantur  conclufiones,  hic  la- 
bore  haud  operofo  nancifcuntur.  Quin  etiarn  hinc 
motus  ,  quo  funis  fuper  cylindro  protrahitur ,  (i 
difcrimen  inter  binas  vires  ei  applicatas  maior  fuerir, 
quam  vt  aequilibrium  confiflcre  poflir  ,  accuratius 
detcrminare  licet ,  quam  ante   fa(^um    fuerat  ,    dum 

f  3  fri(^iO' 


fridioncm  durnnte  motii  eandem  mancre  aflumeba- 
tur  ,  quae  pro  aequilibrio  erat  inuenta,  Confultum 
enim  ibi  non  videbatur  Iblutionem  direcflam  cx  priii- 
cipio  generali  deducere,  quandoquidem  irta  inuelUga- 
tio  in  calculos  maxime  intricatos  illexiflct,  dum  hic 
theoremate  illo  ftabilito  folutio  direda  quafi  flne 
labore  elicitur  ,  quae  adeo  facili  negocio  ad  cafum 
transfertur  ,  quo  funis  vnam  piuresue  integras  reuo- 
lutiones  circa  cylindrum  compleuerit.  Hx  omnibus 
his  fit ,  vt  praefens  methodus  preflionem  funium 
determinandi  concinnitate  et  elegantia  fua  atientione 
Geometrarum  maxime  digna  fit  cenfenda. 

VIII. 

De  Viribus  Remorum   nouae   fpeciei  ^ 

eorumque  comparatione  cum  remis 

ordinariis. 

Au£lore  W.  L.  Krafft  pag.  -4;^. 

Remorum  vfitatorum  thcoria  ,  neutiqu;im  rinc 
obuia  ,  dudum  Ccleberrimorum  Gcomctrarum 
Eougeri  et  Eukri  profunda  indagine  efl  cxculta.  In- 
primis  autem  vtilifl^imo  huic  argumento  infignc  ac- 
ceflU  incrementu'^,  cum  rcgia  Acad.  Scicnt.  Parifina 
ci  ,  qui  n.uiigia  ,  praednim  maicira  ,  nullo  vento- 
rum  auxilio,  propellcrdi  modnm  detcgcret  maximc 
commodum  ,  piiblicuin  ad  aiinum  175 3  propofniflbt 
praemium.       Palmam  ccrtaminis  ,  grauifllmo  Acade- 

miac 


^¥.i  (  o  )  |c>.  47 

miac  iudicio  ,  111.  Dan.  BermuUi  retulit,  noua  re- 
n-.orum  (pccie  in  medium  prolata  ,  quae  remis  v(i- 
tatis  hnnd  fimplici  titulo  praeferenda  vidctur.  Ne- 
c]uc  tamcn  inde  ab  illo  tempore ,  egrcgium  hoe  in- 
ventum  ,  plena  optati  fucceflrns  fiducia  ab  llluftri 
iiiucntore  commcndatum,  ad  exameu  aut  vfum  pra- 
tticum  conClat  cfle  rcuocatum. 

Motus  igitur  rei  vtihtate,  theoriam  nouorum 
horum  remorum  plene  euoluere  eflTedusque  inde 
rperandos  ex  primis  mechanicae  et  anaiyfeos  principiis 
deducere  conftituit  huius  ,  quam  tradimus  ,  diflTer- 
tationis  Auclor.  Pracmifla  remorum  horum  di- 
ftinda  defcripticjne,  vires  inucftigantux  ,  quibus  ab 
atflioi.e  horum  remorum  nauis  in  curfii  fuo  diredo 
reuera  propulfjbitur  ;  vnde  principia  mechanica  duas 
fuppcdicjnt  aequationes  differentiales  ,  ex  quarum  re- 
(olutione  ,  datis  remigum  numero  et  viribiis  vna 
cuni  celeritate  manubrii  ,  fuperficie  pahTiuiarum  et 
refifttiuia   nauis  abfoluta,  ipfa  nauis  celeritas  definitur. 

Adplicat  Audor  inuentas  formulas  ad  cafum 
ab  111.  Bernoiiluo  examinatum.  Nauis  fcilicet  pri- 
niac  Glaffis  commode  quinquaginta  eiusmodi  remis 
inftrui  poteft  ,.  quorum  fingulis  decem  remiges  fint 
adplicati  et  palmula  annexa ,  cuius  fupcrficies  duo- 
decim  pedum  quadratorum  ,  quibus  pofitis  colligitur 
nauis  ccleriras  =:;  4,  83.  ped.  rhen.  tempore  vnius 
miiiuti  fccundi  ;  prorlus ,  vti  III.  BernouUi  ex  prin- 
cipiis  pbne  diuerfis  conclufit.  Subiunyit  Audor  ta- 
bulam  gcncralem  ,  quae  pro^  qualibet  refiftentia  na- 
vis  abloluia  et  remigum  uumero    velocitatem    nauis 

opc 


ope  nouorum  horum  remorum  propulfae  indicct , 
adiunda  velocitate  ope  remorum  ordinariorum  ipfi 
imprimenda.  Ita  v.  c  fi  duae  fint  naues  primae 
claffis ,  600  remis  vna  Bcrnoullianis ,  akcra  ordina- 
riis  inftrudlae  ,  fique  his  duabus  nauibus  propofitum 
fit  fpatium  percurrendum  vnius  milliaiis  ,  prior  hanc 
\iam  tempore  i**.  20'  ,  altera  aucem  tempore  a^  &' 
abroluet. 

DilTertatione  hac  iam  typis  impreffa  ,  Aucflor 
cffedlus  horum  remorum  ipfis  expenmcntis  explo- 
rare  eft  annifus  ,  cymba  ordinaria  duobus  eiusmodi 
remis  a  fe  inrtrudla  inlhtiuis  ,  de  quorum  fucceflU 
ilio  tempore  plura  (umus  expofituri. 


THYSICA. 


P  H  Y  S  I  C  A. 

I. 

De  Foramine   ouali  ^    eiiisqiie    vfu    iri 
dirigcndo  motu  fanguinis.     Obfer- 
^  vationes  nouae. 

Auaore  C.  F.  Wolff  pag.  55/. 

Pr)(l(]uam  ,  fyncmnds  Y:iforam  rangumeorum'  tft', 
(Uias  modo  dcttxerat  Fabriciuf  ab  Ac^APEN- 
DENTE  ,  valuuljiiim  in  venis  Gognitionc  riiliirudas, 
HarVAEVS  circulationem  ftnguinis  rtabiliuerat  ^  iti 
foctu  ,  cui  circuhitio  diuerCa  e(t  ,  magnus  illc  Vir 
cum  GalENO  (tatuit ,  fanguineir»  ,  a  corportS  ex- 
tremis  in  v^nas  c.uias  reditum ,  cx  his  porro  colligi 
omnem  in  finu  (Jcxtro  cordis.  Inde  partem  eius 
nltcram  in  dextruai  ventriculum,  alicram  vero- efus 
partcm  per  foraincn  ouale  ,  quod  in(culptum  efllt 
fcpto  linuum,  tranllre  in  finum  fini(trufr>  •  vnde  in 
vcntriculnm  finillrum  et  aortam  vlrcrius  pergcret , 
et  pcr  totum  corpus  ,  vnde  vencrat ,  denuo-  diftri- 
buerctur ,  intadis  pulinonibus. 

Hanc    fententiam  ,    vti    vniuerfam    fff    adultt) 

circulationem  ,  omnes  ,  ncmine   excepto  ,    ficile    ad- 

optarunt ;  donec  tandem    Cehberwnui    Mery  ,     R^- 

giae  Academiae  Scieiuiarum  Parifinue  Membrum  ,  Vir 

Tom.XX.Nou.Comm.  g  iDge-. 


~\ 


$Q  --i^.i  ( o )  in^" 

ingeniofilfirnus  ,  er  qui  nnilta  pulchcrrima  fcripfir, 
fan,miini  iii  foctii  ittr  prae(cribcrct  ,  Hariiaenno  iti- 
neri  e  ciametro  o;  p.ilitudT ;  cuni  (■inguineni  ,  non 
ex  dtxtro  in  finidruni  ,  fed  contra  cx  boc  in  illum 
liiuirn  per  foramen  ouale  traufirc  doccret.  Pluri- 
nuim  contra  hanc  opinionem  ,  multum  pro  cadem 
a  Ccleberrimh  \'iris  ,  eiusdem  Regiae  Academlae 
Menibris,  DvVERNEIO,  RoVHAVTO,  ipfoque  Fi?- 
nerabili  in  anatouua  WlNSLOVVQ  vt  aliis  fcriptum 
fuit.  DvVERNElVS ,  flrenuus  anatomicus ,  contra 
MeRYVAI,  RovhavtvS  in  caufa  principali  pro 
eodem  pugnauir.  M^INSLOVVVS  propriam  fenteii- 
tiam,  qua  aduerlarios  tonciiiaret,  propofuit ;  docert- 
do ,  ftnguinem  ire  promifcue  ex  finii  \froquc  in 
finum  \trumque  et  commifccri  propric  tantum- 
iriodo,  Hae  lites  diu  continuauemnr  ,  ct  fuo  iam  , 
quo  fcribebat  ,  tcmporc  lllii/lris  WlNSLOWVS,  an- 
nos  fere  viginti  illas  protraclas  Juilie  ,  quaeri-batur. 
Regia  Acadciiiia  ipfii  ,  iudicium  fercndo  ,  partcs 
MeRYI  fouir,  Deniquc  omnes  fcr.fim  anatomici 
et  phyfiologi  in  antiquam  GalenI  et  Harvaej 
icntentiam  redicrunt  ,  qua  ,  etuim  ad  nollrum  tem- 
pu&  vsquc,  (anguis  ex  finu  dextro  in  finillrum  tran- 
fire  creditur.  (  *) 

Tam   vero  hoc  ,    quod    Galenvs    defcripfir , 
quod  HarvAEVS  adoptauit  ,    vcrum    itct   languniis 

efle 


( •  j  Coiifer.itiir   Summi  in    anatomia  Viri  ,  Pfri/^uffr/f  Liberi 
Baronis  dt  HALi.ER,  Liemeiitor.    riiyfiol.  Tomus  VIII. 


cfTe  non  po(re,vti  non  magis  illud,quod  Meryvs  , 
et  illud  ,  qiiod  W^INSLOWVS  propoiuit ,  et  lan^ui- 
nem  omnino  nequc  ex  dcxtro  in  rinillruiii  ,  neque 
ex  liniliro  in  dextrum  finum  pcr  foramen  oualc  ire 
polfe  ,  id  vel  fola  cognolcas  dcmondratione  §phi  37 
huius  diflertationis  ,  quam  ,  cum  brcuis  acque  ac 
plani  fit  ,  non  dubitamus  hic  rcpetere.  "  Motus  fi- 
nuum  cordis  fynchronus  eft  ,  et ,  dum  vniis  (ynolen 
agit  ,  etiam  aker  eandem  exrcet  ,  dunique  vnus  in 
diallolc  elt  ,  etiam  altcr  in  cndcm  vcrfitur.  Qno 
ergo  temporc  vis  ,  fanguinom  ex  vno  in  nlterum 
finum  tranfire  ?  An  lylloles  ?  Tum  finus  vterque 
aeque  fe  contrahit  ,  et  proprium  ,  quo  rcpletus  e(l  , 
fanguinem  exprimit.  Non  poteft  ergo  fimul  fan- 
guinein  alienum  recipere.  An  diadoles  ?  H(;c  tem- 
pore  vterque  finus  dilatatur  ,  et  languinem  .  vnde- 
cunque  aducnerit  ,  alicnum  ,  recipit»  Non  poteft 
ers^o  eodcm  hoc  tcmpore  fuum  ,  queni  continet  ,  in 
alt«.rnm  cxpnmere.  Ergo  nullo  tempore  (anguis  ex 
\no  in  alterum  finum  traduci  potcft.  „  Scd  pliira 
huius  rei  ar^umenta  ,  fi  plus  quain  euidus  efte  cu- 
pis  ,  lcgas  §.  §.   35.    35.   37.  38.    39- 

No/Iro  ergo  Ait&ori  hiec  quidem  partxula  cir- 
culationis  fanguinis  in  foetu  rcferuata  fuit.  Hic 
enim  ,  dc  veritate  (ententiae  Haruaeianae  minime 
dubitans  ,  et  alias  ob  caufas  inquirendo  cor  infantis 
recens  nati  ,  ftruifturam  ,  inuenit  ,  organi  huius  cir- 
cuIation'S  li)ngc  aliam  effe  ,  quam  vt  vulgo  animo 
concipitur  ( §.   3.).       Detcifla    hac    ftrutflura  ,    nihil 

g   z  facilius 


f»  ->2^i    (    O    )    |'g?<" 

facilius  fuit  ,  qiiam  \crum  itcr  inJicare  ,  quod  fan- 
guis  in  foetu  facerct.  Organum  tr^o  pumwiiy  deinde 
et  moiwn  expiicuit  fanguinis. 

Vt  autem  ,  quo  cocpimus  ,  ordine  pcrgamus 
enarrare,  qiui  riUione  ad  illam  rem  perucncrit  ;  dif- 
fecfto  eo  ,  quo  par  c(l  ,  modo  ,  at  quo  communitcr 
fecari  non  (olet  ,  cordc  inturiis  modo  nati  ;  non  pa- 
rum  mirabaiur  continuo,  foramen  omnino  aliud  efle, 
quod  in  dextro ,  ct  aluid  ,  quod  in  fin  llro  l.nu 
patet-  lllud  ab  arcn  ,  qnem  irtiimum  VlEVSSENH 
\ocant  ,  et  valuuia  EvSTACHII  \  lioc  r.b  arcu  co- 
dem  et  valuula  foraminis  cualia  fi)rman  (  §.  4.  ). 
Videbat  facile  ,  nifi  viiluuiae  intcr  le  c(.hacrerent  > 
quod  tamcn  contra  omnem  verifimilitudinem  erat  , 
nunquam  fieri  poflc  ,  vt  finus  iiiter  le  comnuni- 
cent  (  §.  5.  ).  Examinatis  rcbus  gnauiter  ,  diflcifta 
dciiique  valuiila  fcraminis  oualis ,  vt,  quid  ,  fi  quid 
forte  ,  intcreflet  >  oculis  patcat  ,  manifcllo  apparuit  : 
Sinus  inter  fe  minime  communicare ,  fcd  vtnque 
finui  intcrpofitam  efie  vcnam  cauam  in^eriorcm, 
Foramcn  ,  quod  in  ccxtro  finu  appartt  ,  onficium 
efTo  liuius  vcnae  cauae  inttrioris,  quo  in  hunc  fmuin 
inferitur  ;  illud  ,  quod  in  finiliro  patct  ,  quod  pro- 
prie  foramen  ouale  vocatur  ,  finiilitcr  aliud  eiusdeni 
\enae  cauae  onficium  efle  ,  quo  in  hunc  finum  fi- 
niflrum  apcritur  \  adcoque  finum  vtrumque  cu;n 
vena  caua  quidem  inftriori  ,  at  minimc  inter  fe 
communicare  (  §.  6.  ). 

Dctracto 


->m  (  0  )  ^fI^-       .  ,5-3 

Detrnclo  lioc  velamine,  qiio  vcrci  liariim  par- 
tiiim  fabrica  tccl:.i  tiicrat ;  et  oculis  niiiK  v.iiau  no- 
\is  rem  intiicndo  ,  vidcbat  quoque  ,  vcnam  caiiam 
infcriorcm  ,  dum  externe  mo.lo  confideriiritur  ,  ad- 
fcendcndo  miniine  loli  dextro  ,  led  \Lrique  ,  iiaui  , 
et  mngis  potius  fmiltro  ,  quam  dextro  ,  relpondcrc  i 
vt  maiori  lui  p.irte  omni.io  in  liniilrum  ,  minor; 
in  dextrum  ,  fe  infcrat.  ( §.  7.  8.)  Vitulornm  de- 
inde  ,  et  aliorum  aniiralium  recens  natorum  corda 
confcrcndo  eaJcm  ■vbique  muenit.  Vbiqnc  reperit , 
foran  en  oaalc  nihil  aliud  elk  ,  quam  orilicium 
liaiflrum  venae  cauae  interioris ,  quo  fe  in  fini- 
rtrum  linum  aperiebat,  vti  dextro  in  dcxtrum.  Ht 
in  vitulo  quidcm  ,  quae  fimplicia  tantum  in  fociu 
humano  onticia  erant  ,  vcros  ,  licet  breucs  ,  ramos 
effe  ,  in  quos  vena  fe  diuidcrct  ,  et  quorum  dcxtro 
in  dextrum  ,  finiliro  ,  qui  foramen  ouale  diclus  fue- 
rat,  in  finirtrum  finum  infereretur.  (§.23.)  Atque 
Jiacc  ergo  \era  foraminis  oualis  natura  c(l ,  quam 
tamdiu  diirimulauerit.  Qiiod  fingulari  iUo  noiTiine 
foraniinis  oualis  falutatum  fuit  ,  nihil  aliud  ert  , 
quim  orific.wn  fmflrwn  veiias  canac  inferioris  \  quem- 
admcdum  innumera  aha  venarum  aeque  ac  arte- 
riarum    in    corpore    humano  orificia  dantur. 

Nunc  ,  quo  itinere  fanguis  progrcdiatur  ,  quis 
eft  ,  qui  non  videt  ?  (  Nam  faciUs  negotii  r;m  efTe 
putamus,  hoc  iter  definire,  quanuo  viae  notae  (unt  ; 
vt  contra  nihil  ,  quam  iilud  latentibu<>  viis  tentarc  , 
difRcilius  et   inanius   cfTc  ,    magiiura    HakV4.EI    ct 

g  3  Meryi 


S4-  *»¥.%  (  o  ) 

INrERYl  exemplum  docuit. )  Vena  cnua  inferior 
ciuobus  orificiis  ,  altero  in  dtxtrum  ,  ultero  in  fini- 
flrum  finum  ajreritur.  Hrgo  (nnguis  cx  vena  caua 
infcriori  partim  in  dextrum  finum  ,  per  onficium 
eius  dextrum  ,  partim  in  finiftrum  ,  per  eius  orifi- 
cium  finifirum  ,  progreditur.  Qiiae  portio  (anguinis 
in  dexirum  fiinim  Tenit  ,  ea  ,  C(  niunda  cuni  fan- 
guine  vtnae  cauac  (iiper.oris ,  rc(fla  inde  tnmfit  in 
\cntricu!um  cordis  dcxtrum.  Nec  guttula  c]uidein 
huius  innguinis ,  qui  femel  finum  dcxtrum  intrauit  , 
indc  rurfum  in  fini(kum  redire  potcfi.  (  §§.  cit.  35.  etc.) 
Quae  vero  portio  (inguinis  ex  vena  caua  infcriori 
per  eius  onficiurn  finifirum  -in  finum  finifirum  pcr- 
\enit  ,  ea  haec  efi  ,  c]ua  pulmoncs  libcrantur  ,  c]uae 
a  finu  dextro  ,  a  vcntriculo  dcxtro  ,  ct  conicqucn- 
ter  etiam  a  pulmonibus,  auermur  ;  qui ,  refpiratione 
carentes ,  eair»  iransmittcre  non  potuifknt.  l-rgo 
haec  portio  ,  in  finu  finifiro  coniunda  cum  fangnine 
vcnarum  pulmonalium,  reda  vcntriculum  finifirum, 
et  porro  aortam  ,  adit  ;  quo  dcnun  pcr  totum  cor- 
pus  d  (Iribuatur  ,  inta(5lis  puJmonibus.  {§.  34..  40. 
41.  42.   43.   44.  ). 

Neque  vero,  vt  fiicilc  vnusquisque  videt,  hoc 
nofirum  oii/icium  /iuijlrum  i\'nae  cauae  inferioris  illa 
obie(flio  tangit,  quae  ,  vt  fupra  dcmonfirauimus ,  /0- 
rawen  ouaie  eufrcit.  \'enac  caune  cnim  ,  tam  (upe- 
rior  ,  quam  inferior  ,  cum  finubus  cordis  motum  , 
\t  conlhit  ,  non  (ynchronum,  fcd  altcmuiuum,  ha- 
bcnt  ;  vt  va(;i  ncccffario  (c  crga    fc    inuiccm    habcrc 

oportct  , 


opnrtot  ,  qiioruni  altera  in  altcra  fuum  {iinguinem 
excutcre  vclis.  Dum  vena  caua  inferior  ergo  fyfto- 
len  cxercet  ;  finus  in  diaftole  Cunt  ,  et  langumem 
rccipiunt,  quem  illa  exprinut.  Dum  vena  vcro  iti 
diallole  cil  ,  nouumque  fibi  ianguinem  ex  ramis  luis 
coUigit;  finus  interim  lyflolen  fuam  agunt  ,  rcce- 
ptum^jue  Dnguinem  in  ventriculos   corJis    cxcutiunCr 

Haec  funt    primaria    huius    differtationis    mo' 

menta.     Sed   multa  praeterea  alia    in    eadem    conti- 

nentur  ,    quorum   tamen  cognitio  folis  illis  anatomi- 

cis  ad   palatum  efTe    potcrity    qui    finguli    quaeuis, 

quae  ad  noftrum  attinent  corplis,  quam   minutifUme 

fcire  cupiunr.      Ea  nunc  breuibus  verbis    ordine    re- 

cenrcbimus,      PofijaAm    idea    generalis    de    vera    fic 

didti  foraminis-  oualis  flrudtiira  eo  ,,   quo  fupra  enar- 

jauimus ,    modo    expofita    ei\  f    venae  cauae  inferio- 

ris ,    cuius    nonnifi    hirtoriam    tota    haec    differtatio 

propric   refert  ,  completa  defcriptio  traditur  ;    impri- 

niis   qua  ratione    duo    lua     orificia    ope    vahiularuni 

EvSTACHII  tt  yinus'  /ifi./lri ,    (  nam    ita  valuulamt 

furaminis  oualis   Ai.<fi:or  merito    appellat  ,  )    et    ope 

arcus,  illis  interpofiu  ,  producat.     (§.9.  to.  ii.  12.) 

Deinde  et  corda     adultorum  hominum,    et  embryo- 

nis    trimeftris    corculum,    quae    fingula    fequentibus 

pofiea  annis  diHgenter  confulcre  non  negledum    fuit  y 

conferuntur  ;  quo  mutationes  appareant  ,  quae  variis 

fub  vitae  perioJis ,    (  nam    perpetuo  hae  partcs  mu- 

tantur,  )  duobus  orificiis  venae  cauae  inferioris  con- 

tinguiit.     (  §.    13.   14.    15.   i(J.   17.   i8.    ip.    20.  ) 

Adiua- 


Adiun^-tiirque  fingularis  aunotatio  de  valuula  Ev- 
STACHII.  {  §.  2  1.  )  Pollca  d.fcriptio  venae  cauac 
iaitrioris  oriticiorumque  eius  in  cordc  vitulino  tra- 
ditivr,  qua  muJta  ,  quae  obfcuriora  in  homine  funt , 
iUuilrantnr  ct  explicantur.  (  §.  22.  23.  24.  25. 
&.6.  27,  28.)  iiain  iequitur  difrv^rtatiuncula  de  val- 
VwiJ  {Jwii  fjnitlri  >  quae  ,  hnud  f.itis  ccgiita  ,  pra 
fe'i'i!Uiu".ri  valuula  "vul  ;o  habcmr  ,  et  qii.im  ad  an- 
B,t.brium  potius  vcl  tubiilolarum  genus  pertinere  , 
aceuxariQribU!»  oblcruationibui»  ollencitur.  (  §.  25^. 
aov.  3it..  ).  Denifque  ,  quib.us  caufis  fadum  fit  ,  vt 
ecrw  de  forjmine  ouali  fe  tamdiu  ludmuerit  ,  ex- 
ploraiur  et  mcthodo  illuc  adfcribitur  (tdionis  haud 
coouenienti.  (  §.  3».  )  Aleliorque  fecandi  ratio  do- 
eetur  (  §.  33.).  His  abfoluitur  pars  prior  idifftr- 
tatioiiis,  aiiatomica.  Purtcrioris  ,  qua  de  motu  fan- 
^uinw  iu  foctu  agitur  ,  principalia  capita  diximus. 
r/  ^  ■  ■; 

II. 

Lychni  -  Cucubaliis    noiia    Planta    hy- 

brjda ; 

Aiiftore  I.    T.  Koelreuter    pag.    4-1. 

Votis  Acadcmiae  refponfurus  Ccl.  Koeheuteru^  ^ 
;Uiqua  tuorum  ,  circa  producljonem  plantaruni 
hybridariim  ,  tcntaminum  Commentariis  noHris  in- 
fercrni.ia  obtuht ;  in  quibus  vt  ea  ,  quam  Inicusiiue 
txkruit  5  diiigcnrii  atque    afliduitatc    pergore    vdit  , 

ctiam 


etiam  atque  ctiam  optabunt  omnes ,  quibus  Natura- 
lis  Scientiae  incrementum  cordi  elh  —  Nonduni 
Hiiitam  dioicam  cum  hermaphrodita,  diftincfli  prae- 
fertim  generis,  connubio  iungere  tentauerat  Nolkr ; 
quod  "vtique  experimentum  nouae  lucis ,  in  genera- 
tionis  theoria  ,  haud  parum  promittere  vidcbatur. 
Lychnidem  itaque  dioicam  cum  variis  aliis  ex  eo- 
dem  Ordine  naturali  plantis  combinans,  tandem  fuc- 
ccfTit  et  foecundum  fuit  adulterium  foeminae  huius , 
cum  Cucubalo  vifcofo  maritatae.  Hybrida  proles  ex 
illo  connubio  prognata  ,  quam  fub  Lychni  -  Cucu- 
bali  compofito  nomine  defcribit  Audor  ,  praeter  in- 
tcrmedium  habitum  ,  figuras  et  proportiones  ,  eo 
praefertim  notabilis  fuit ,  quod  flores  generationis 
organis,  maxime  ftaminibus  imperfedis  et  latentibus, 
impotentes  protulerit ;  vnde  vulgo  celebrata  genera- 
tionis  hybridae  regula,  fecundum  quam  virtus  patris 
in  corticalem  fubftantiam  eidemque  adnumeratas  vulgo 
partes,  viatrh  in  organa  meduilae  tribui  folita,  prae- 
dicari  folebjt  ,  infirmatur  maxime.  Neque  enim 
Pinilhim  perfc<fte  et  conftanti  numero  matris  ,  ne- 
que  Corollam  (  adinftar  patris )  corona  deltitutam  , 
flaminaue  perfeda  et  foecunda  exhibiiit  Lychni  - 
Cucubalus.  Imo  virtutem  mafculae  eflentiae  in  fe- 
minis  etiam  mole  et  colore  mutandis  ,  cuius  tamen 
primordium  et  fubflantia  certiirime  tota  matri  pro- 
pria  eft  ,  adeoque  in  matris  organa  adionem ,  aeque 
luculenter  comprobarunt  hybrida  in  laudato  cxperi- 
mento  produda  femina  ;  quemadmodum  talem  cfFe- 
^Tom.XX.Nou.Comm.  h  «Sum 


(Jlum   Gallinae  a    Phafiaao   foecundatae    oua ,    teftae 
coloic  rnutato  ,  indicare  quoque  folent. 

Longum  Cel.  Audor  addidit  experimentorum 
Catalogum  ,  quae  ,  licct  coniundione   plantarum  ae- 
que    affi.iium    inllituta  ,    fruftranea    tamen    fuerunr. 
Vnde  cautius  hypotheles    ftruere   difcent  li  ,    quibus 
hybridorum  genefis  adeo  facilis  videtur  ,  vt  non  fo- 
lum    intermcdias  ,    alienisque    fpeciebus     fimilitudine 
quadam   afhnes   plantas  natuiaii  diflimilium  fpecierum 
connubio  audader  tribuant ,    fed   etiam    gencra    tan- 
tum  fumma  initio  rerum    condita  ,    eorumque    adco 
difcordantibus    adultcriis    fuccelliue    copiofas  ,    quibus 
hod:e    obruimur  ,    fpecies    prognatas    fuifle    fingunt. 
Difcant  hi  experimentis  Koelreuteri  noflri  ,    quorum 
iam  illuftrem   numerum  et  egregias  feries  in  libellis 
fuis  germanicis  edidit ,  etiam  arte,  faepe  difScillinia 
elTe  maxime  affinium  plantarum  adultcria  ,  quae  Ifti 
folo  naiurae    fub    caflo    regimine    intcr   difljmillima 
genera  adeo  facilia  quondam  fuifle  imaginautur.    Di- 
fcant  etiam   hybridas  plantas  in  conflantcs  fpecies  vix 
irnuqam  euehi   poflc  ,   ineptitudine  partim    ad     gene- 
randum  ,  partim   degradatione    vel   degcncrationc   p>r 
fuccedentes   generationes  ,  ad    pracpondcrantem  altcr- 
Ttrius    parentis    habitum    perpctuas  easdem  dcncgan- 
tibus»     Vt  etiam    hic    fapientiorcm    Naturam    fuifli 
Tidcamus ,  quam  eam  fibi  finxctunt   Oblcruatorcs. 


IIL 


iir. 

Schacalae  Hiftoria; 
Au£tore  A.  L  Giildenflaedt  pag.  449.' 

Sohacalae  Turcarum  Gallorumque  ,  feu  Lupi  aurei 
_  Kaempferi  ,  quadrupedis  per  Turciam  ctlerfiam 
frequentifrimi  atque  pcr  percgrinatores  Cimigcratifli- 
rai  ,  attamen  Zoologis  hucusque  minime  rite  noii 
defcriptioni  pracmittitur  differtatio ,  de  animaJiLus 
domeUios  aiuiquillimis  atque  de  prototypis  torum 
feris. 

Ex  vltae  gcnere  hominum  primaeuorum  pro- 
babile  redditur  ,  Ouem  ,  Gjpram  atque  Canem  an- 
tiquillime  et  primo  omnium  in  numerum  anima— . 
lium  domeflicorum  liomines  rccepifle  et  cicurare 
tentaffc.  Idera  ex  varietate  numerofa,  qua  hodie  haec 
animalia  veniunt ,  probatur  ,  additis  infuper  cauffis  , 
quare  Canis  figura  et  habitus  Iiodie  magis  variet , 
quam  Caprae  et  Ouis. 

Prototypa  varietatum  Caprae ,  Ouis  et  CaniJ 
quaerenda  efTe  in  montofis  Afiae  minoris  ,  ceu  re- 
gionibus  primo  omiiium  in  globo  noftro  terraqueo 
per  homines  primaeuos   occupatis  ,  flatuitur. 

Hinc     quod    Mufmon     Veterum    feu    Muflon 
BufTonii  et  Capra  Ammon  Liunti    pater    varietatum 
Ouis  fit  coniirmatur. 
••"  h  2  Dein 


Dein  de  Rupicapra  et  Ibice  negatur ,  quod 
cx  illis  Cuprae  varietates  ortae  fint ;  fed  dedaratur 
illas  ex  Pafena  feu  Capricerua  Kaempfcri  ,  quae 
Capra  bezoartica   Liiinei  deriuandas  effe. 

Tandem  Canis  varietates  nec  ex  Hyaena  ,  nec 
ex  Lupo  ,  nec  ex  Vulpe  ,  fed  ex  Schacala  proue- 
nifle  ,  ex  ftrudlura  et  proportione  inteftioorum  ,  ex 
dentium  et  digitorum  numero  ,  ex  corporum  ma- 
gnitudine  ,  ex  pilorum  qualitate ,  ex  roftri  figura  , 
ex  inftiiidu  venereo  ,  ex  moribus  ,  atque  cx  patria 
ac  cx  ftatione  horum  animalium  ,  remotis  pariter 
difficultatibus  ex  Canis  latratu  atque  ex  cauda  eius- 
dem  plerumque  recuruata  oriundis ,   demonftratur. 

Adduntur  critica  circa  nomina  et  fynonyma 
Scbacalae. 

Sequitur  Schacalae  fecundum  partes  extern;is , 
fecandum  vifccra  atque  fecundum  ofla  defcriptio  , 
additis  faciei  ,  trunci  atque  extremitatum  ,  vifcerum 
aique  ofllum  dimenfionibus ,  indicatisque  afiinitatibus 
inter  Schacalam  ,  Canem  villaticum  ,  Lupum  et 
Vulpem  obfcruandis ,  quae  omnia  iconibus  ftaturam 
Schacalae  naturali  quadruplo  minorem  ( vid.  Tab.  XL  ), 
atque  figuram  inteftini  illius  caeci  (  vid.  Tab.  X.  )  , 
nec  non  eiusdem  (  vid.  Tab.  XIL  )  ct  Vulpis  (  vid, 
Tab.  XIII. )  cranii  magnitudine  naturali  delineatam 
ilfteatibus  illuftrautur. 


IV. 


IV. 

Chaus^  anlmal  Feli  affine  defcrlptam; 

Auflore  A.  L  Guldenftaedt  p.  4,83. 

Proponitur  nnimal  Zoologis  hucusque  ignotum  , 
ad  fclinum  genus  pertinens  ,  Caracali  BufTonii 
fummopere  affine  ,  in  campis  deprertis  arunJine  et 
arboribus  obfitis  circa  mare  cafpium  indigenum  ,  ibi- 
demque  obferuatum,  Chaus  appellatum.  InrtindiL 
atque  moribus  expofitis,  traditur  defcriptio  Chai  fe- 
cundum  omnes  partes  externas  \  additur  earundem 
men(ura ;  fequitur  anatomica  vifcerum  expofitio  ; 
tandemque  et  odlum  praefertim  cranii  determinatio 
et  dimenfio.  Coronidis  loco  adduntur  fpscifica  no- 
mina  animalium  quatuor  proxima  affinitate  ,  auri- 
culis  barbatis  fpedlabili  ,  coninnclorum  fc.  Lyncis 
Audlorum  ,  Felis  ru-flF.ie  Pennanti  ,  Caracalis  Buffonii 
et  Ciiai  noflri.  Iconibus  duabiis  repraefcntatur  Chai 
ftatura,  naturali  quadruplo  minor  (  vid,  Tab.  XIV.  ) 
ct  cranii  eiusdem  figura,  magoitudine  naturali  (  vid. 
Tab.  XV.). 


h  3  ASTRO- 


ASTRONOMICA. 

I. 

De  traie£lu  citlflimo  flellae  per  duos 

circulos  Almicantarath  datos  pro 

qualibet  eleuatione  poJi. 

Auftore  L.  Eulero  pag.   50^. 

Problema    non    adeo    folutile   in  praefenti  difTerta- 
tione  pertradandum    fulcipit     \  ir    Illullr.    quo 
fcilicet,  conftituto  meridiano  loci  ambobusque   Al.ni- 
cantarath ,  eiusmodi   ftella  quaeritur  ,  quae  motu  fuo 
diurno  paralklum  quempiam   percurrcns  ambos    Al- 
micantaratli  ita  fecet  ,   vt    angulus    menfuram    tem- 
poris ,    quo  ftella  fpatium   inter  hos  circulos  contea- 
tum  traiiciat,  cxhibens,  fiat  omnium  miniuius.    Ad- 
hibita  igitur  reftridione  debita  ,  exclufisquc  omnibus 
flcllis  poio  nimis  vicinis  vel  ab  eo    nimis    remotis  , 
quam  vt  motu  diurno  per  ambos  Almicataiath  tranfire 
poflint,  quia  angulus  mcnfuram  tcmporis  traiedus  ex- 
hibens  minimus    efle  debet,  111.  Audor  fccundum  me- 
thodum   maximorum    et    minimorum    aliam    ftellam 
quacfitae  proximam  concipit,  quac  alios  duos  Almican- 
taraih  in  aliis  pundis  traiiciar.    Et  cum  anguli  menfu- 
ram  temporis  vtriusque  traicdus  txhibentes  aequales  in- 
tcr  fe  effe  debeant,  ex  hac  minimi  conditione  acquatio 
«licitur  ,  pro  qua  adimplcnda  diftantia  ftellae  a  polo 


-    V- 


ita  dcfiniri  debet ,  vt  parallelus  inde  defcriptns  ad 
ambos  Aimicatarath  aequalitcr  inclinetur  f  atque  ex 
ip(a  liac  proprietate  lolutio  problcmatis  propofici 
elegantiliima  deducitur ,  cui  Vir  111.  aliam  merc 
geometricam  in  fine  fubiungit.  Vbi  probe  notandura 
eft  ,  hoc  problemate  foluto  famofillimum  illud  pro- 
blema  olim  agitatum  de  minimo  crepufculo  etiara. 
faciliime  relblui. 

IL 

De  cn*ciiIo  maximo  fixo  in  coelo  con- 

flituendo  ^    ad  quem    orbitae  planeta- 

rum  et  cometarum  referantur. 

AuQore  L.  Eulero  pag.  $og. 

In  tabulis  Aftronomicis  recentioribus  follicite  indi- 
cari  folet  progrcflio  annua  nodorum  euiusquc: 
planetae  ;  quantum  nutcm  adhuc  dilkmus  a  perfeda 
de  hoc  argumento  cognitione  exinde  patefcit  ,  quod 
Adroncmi  circa  quantitatem  huius  motus  tantopere 
inter  fe  diflentiant ,  vt  v.  gr.  CaflTinus  promotionem 
fecularem  lineae  nodorum  pro  Saturno  exifiimet  elTc 
~  i^  35'.  11"  ,  dum  a  Halleio  tantum  0°.  30'.  o" 
pro  ea  aflignetur.  Cuius  cnormis  dilTeufus  in  eoeui^ 
denter  quacrenda  ell  ratio  ,  quod  crror  aliqnot  gra- 
duum  in^  loco  nodi  patratus  quafi  nullum  in  latitu- 
dine  planetae  dilcrimen  pariat ,  ita  vt  ex  recentiorr- 
bus  obleruationibus  alic^uot  adeO'  feculis  .a  fc  inuicem 
>  dillan- 


diftantlbus  fimulque  exquifitifljmis  vlx  aliam  nifi 
jnancam  de  vero  loco  nodi  cognitionem  impe- 
trare  liceat,  quia  inclinationes  orbitarum  planetarum 
fld  orbitam  tcrreflrem  fiue  cclipticam  nimis  funt 
paruae,  quam  vt  eflfedus  ex  tali  errore  oriundus  di- 
ftinde  determinari  queat.  Maxima  autem  huius  in- 
certitudinis  lcatebra  in  inclinatione  orbitarum  plane- 
tarum  ,  pro  antiquioribus  tcmporibus  non  mious  la- 
tente  ,  mox  detegetur. 

Minus  quidem  circa  hanc  orbitarum  inclina- 
tlonem  ad  edipticam  inter  fe  diffentiunt  Aflronoml. 
Perperam  autem  ex  hoc  confenfu  iudicares ,  cnndem 
inclinationem  ,  vti  tacite  fupponunt ,  pro  antiquiori- 
bus  temporibus  locum  habuifTe ,  quia  non  folum 
nullis  obferuationibus  confirmari  poteft  ^  fed  ctiam 
theoriae  maxime  aducrfatur;  ita  vt  inde  quidem 
condudi  pofllt ,  recentioribus  his  temponbus  incli- 
nationes  orbitarum  talcs  fuiffe ,  quales  hic  afllgnan- 
tur ;  verum  hanc  conclufionem  ad  fecula  anteriora  , 
de  quibus  in  grauiflimis  tenebris  verfamur,  cxtendere 
non  licet.  Haec  autem  inccrtitudo  etiam  in  motum 
nodorum  redundat  ,  quoniam  ca  fubfiflente  nequidem 
ex  occultationibus  fixarum  ,  quippe  quae  (olae  ido- 
neas  illius  tcmporis  obfcruationcs  pro  motu  nodorum 
determinando  ,  fuppeditant  ,  aliquid  certi  condudi 
potefl. 

Haec  tanta  incommoda  iam  nonnulli  infignes 
Geometrae  hoc  argumcntum  aggrcdientcs  animad- 
verteruni  ,  fimulque  agnoucrunt ,  nihil  ccrii    ncque 

ex 


( 0 )  m^  c$ 

ex  obferuationibus  neque  ex  theori:t  circa  motum 
nodorum  et  inclinationem  crbitarum  planetarum  co- 
gnofci  pofle  ,  nifi  iiacc  elemciita  ad  circulum  minus 
lariabiiem  in  coelo  quam  ecliptica  referantur,  quem 
in  finem  acquatorem  Solarem  propofuerunt  ^  vcrum 
ob  piura  incommoda  ,  quibus  rcdudio  horum  cle- 
mentorum  ad  circulum  tantopcre  adhuc  incernjjii  , 
ab  ediptica  finnil  nimis  diucrfum  ,  iaboraret ,  eum 
acque  rcpudiandum  efl[e  lil.  de  qua  agimus  diflerta- 
tionis  Au<flor  autumat  ^  praefertim  cum  in  aliam 
ideam  incidiflTet  ,  hoc  ncgotium  conficiendi.  Si  enim 
pro  circulo  illo  fixo  ipfe  echpticae  fitus,  quem  certo 
quodam  tempore  obtinuit,  accipiatur,  manifeflum  efl;, 
loca  planetiirum  ,  quae  tempore  quocunque  fuerint 
obferuata,  commodifllme  ad  iflam  eclipticam  determi- 
natam  reuocari  pofl^e.  Proponit  igitur  Vir  111.  pro 
hoc  (copo  pofitionem ,  quam  ecliptica  initio  huius 
feculi  habuit  ,  quippe  quae  merito  tanquam  circu- 
lus  in  coelo  reuera  fixus  (pedari  potcft,  quandoqui- 
dem  femper  pcr  easdcm  itellas  fixas  tranfire  eft 
cenfendus,  ita  vt  tam  loca  planetarum  et  cometarum 
qnam  eorum  orbitae  commodjfljme  ad  eum  refe- 
rantur.  '    ^'    .'JfTibOaoa  otfonj  ?r..  ^ 

Conflituto  igitur  circulo,  maximo,  immoto,  po- 
fitioncm  edipticae  initio  h'nus  (eculi  exhibente,  111, 
Audor  in  pundo  aequinodlii  verni  (a  quo  fimul 
longitudines  fteilarum  eruntcomputandac)  ftcllam  fin- 
git  fixam,  notabilem,  quae  pcr-petuo  in  eodem  loco 
hacreat :  tum  vero  concipit  aliam  ftellam  a  priore 
Tom.XX.Nou.Comm,  i  qua- 


quadrante  remotam  ,  ita  vt  his    duabas    flellis    fixig 
pofitio  circuli    maximi   fixi  deterniinctur.       His    au- 
tem   conftitutis  Vir  111.   in  fitum  eclipticae  pro  alio 
tempore  quocunque  tam  ante    quam     poil    epocham 
illam  rcceptam  inquirit  ,    quandoquidem  hinc  omnia 
Ifjca  In  coelo  relpcdu  orbitae  terreftris  haftenus  de- 
terminata  ad  circulum  illum   fixum   transferri    pote- 
rtint.     Hunc  in  finem  regula  olim  in  adis    Beroli- 
nenr.  ab  ipfo  Viro    111.    de    variationibus    latitudinis 
fixiirum    agente  ,     tradita     in     fubfidium    vocatur. 
Cum  enim  ope  eius  regulae  ex  data    tam    longitu- 
dine    quam    latitudine    cuiuspiam    ftellac    fixae    pro 
initio  huius  fecuii  eius  locus  pro  quouis    alio    tem- 
pore  afhgnari  liceat,  inde  facile  loca  definiuntur,  \bi 
ambiie  fiellae,  pofitionem  circuli  maximi  fixi    detcr- 
minantes,  feculo  vno  elapfo  rcfpedu  eclipticae    repe- 
riuntur..      Manente    igitur  circulo  immoto  feu  pofi- 
tione  eelipticae  pro  Anno  1700  lU.    EuJerus    alium 
confiderat  circulum,  eelipticam   pro  Anno   i8oo    ex- 
hibentem;et  determinatis  mutationibus  inde  oriundis, 
quas  quidem  quam  minimas  efle  deprehenditur,  prae- 
cipuum  negotium  in  quaerendo  illo  pundo,  vbi  ambo 
cclipticae  fitus  modo  confiderati    fe    mutuo    interfc- 
cant,   verfatur.    Situ  autem  huius  pundi  pro  diucr- 
fis  epochis  determinato  ,  nuUum  plane  difcrimen   in 
eo  reperitur  ,  ita  vt  in  noftro   circulo  immoto  tan- 
quam  pundum  fixum  et  ideo  omni    attcntione    di-- 
gnum  fit  cenfendum  ,    quod  per   id  et    per  fui    op- 
pofitum  ecliptica  feinper  tranfeat  et  cir.cum  ca  motu 

angu- 


angolarl  conucrtetnr  ita  vr  bacc  duo  punifla  tanquam 
cardmes  orbixae  terreflris  (pe<ftari  queant.  Jpfa  auteai 
hacc  cjrdinuin  idca  111.  Auctori  modum  maxime  ido- 
iieum  (uppeditat,  veram  pof:tionem  orbitae  cuiusque 
pl.inetae  ad  quoduis  tempus  ex  cognitis  cardinibus  et 
promotione  (eculari  determinandii  hac  Ibla  reflridiune 
atiiiibira  ,  quod  numerus  lcculorum  non  nimis  ma- 
gnus  flatuatur ,  quia  alioquin  in  mctu  tcculari  et 
loco  curdinum  a  nodis  xeliqm^rum  planetarum  pen- 
deiite  quaedam  alteratio  oriri  pofTjr.  iJe  vlu  igi- 
tur  huius  fthcillin-,ae  carJiiium  idcae  maxiire  ad- 
di  clus  Vir  111.  in  cardincs  reliquorum  planctaru  n 
inqdiri';  veriim  cum  inde  taiitus  mier  tabula»  H.il- 
kianu^  et  CiflinKUvas  difTcnlus  patelcat,  vi  v.  gr.  h-ca 
cartHnum  prti  lcjue  vltra  i6o  dilcrepent  ,  et  motus 
fccularcs  adeo  in  pli^as  contraiias  vcrtaniur  ,  iflam 
difquifltionem  non  profequitur  ,  fcd  potius  in  fubfi- 
dium  emendationis  erroris  ex  fallaci  Aflronomonim 
hippofnione  circa  inuariabilitatem  inclinationis  orbita- 
rum  ad  cclipticam  orto,  in  qua  incertitudo  cardinum 
cft  quacrenda  ,  hoc  problema  fubiungit:  Datis  cardi- 
nibus  duorum  planetarum  cum  vtriusque  promotione 
fcculari  ,  ad  quoduis  tempus  tam  interftdionem 
qnam  inclinationcm  vtriusque  orbitae  determinare, 
fiquidem  haec  tlementa  pro  epocha  1700  futrinc 
cognita.  Accedit  denique  fupplementum,  vbi  formulac 
traduntur,  quarum  ope  omnia  f;iciliori  negotio  abfol- 
vuntur,  ita  vt  inde  eiiam  inutfligationem  cardinum  it 
motus  lecularis  reliquorum   planetarum   infliiuere  li- 

i  a  ccar, 


ceat ,  qiiibus  abrolutis  adhuc  fequens  problema  folui- 
tur  :  Si  tcmpore  quocunque  locus  pUinetae  in  coelo 
more  folito  fuerit  obfcruatus,  cius  fitum  ad  circuluna 
coftrum  fixum  in  coelo   reducere,   .  ,  jiii  ^ 

'   >'i'>lJiiii.  t         III.  .(lOiiOiTiinq 

Obfernationes  Aftronomicas  pro  deter- 

minando    fitu    Geographico    varioriim 

per    Imperium  Rufficum  locorum  a  ' 

Nob.  Chriftophoro  EulerO;,  Annis 

1/(59  et  ly/o  fa<£las,  recen- 

.i:et  A.  I.  Lexell  pag.  54.1. 

,   Til'.; 

um  in  noflris  Commcntariis  obferuationes  Artro- 
nomicae  pro  determinanda  Latitudine  et  Lon- 
gitudinc  plurimoruin  in  R,u(lia  locorum  a  Cel, 
Krap ,  et,  C!ar.  Iflenieff  atque  Inochodzoiv  fadae  , 
iani.  h.ibeanrur  cxpofitae  ,  Aucflor  huiiis  DifTertationis 
obferuatioucs  quoquc  Allronoinicas  a  Nob.  Eulero 
hunc  in  finem  inflitutas  ,  fuccindc  hcic  cxponcn- 
das  flatuit  ,  quo  fcilicet  mcHus  diiudicari  poflit , 
quam  fidcm  mercantur  detcrminationcs  cx  iftis  ob- 
■feruationibus  eliciendae.  Klae  autcm  dctcniiinatio- 
nes  fc  habent,  vti  fequcns  Tabula  ob  oculos  poni^j 


Vralfkoi 


c 


'^>¥.%  (  0  )  ^n< 


n 


Vralfkoi  G  ^rbiok  alLis  laik 
■;'■''  Tfchjrk.ifk    'i'    'i'    -, 

Tiiganrock  -.'■"-^■'- 
Krenientfchiick  -  - 
St.  Elifiibeth  -  -  - 
Sa  po r og ( k.i i'.i  Sie t fc ha 
S.imara  -  -  -  - 
Perewolotfchna  V* 


LatituJo. 


II' 


O' 


r- 


.1- 


GUichow 


)i»vl.i 


51 

4-,7-  13-'  <5. 

47.  12  40' 
49-  '  3.^i8 

48.  30;  10 
47V3i.;3  5 
43.  2^/3 5 
48"'  5  ».40 
5  I.  40.30 


Longimdo  Geographica  a 
MeriJiano    rarillno 
in  Teinp.  I  in  Gradibus. 

3''.  17'.  o"    49°- 15' 
2.  '30.    o     37-  30 

2.   25.15 

2.  4. 3  5 
2.  0.30 
2.  '.8.10' 

2.   12^     O 


2. 


8.    o 


35.  19 

31.    9 

30. 

;33;% 
"32. 


71 
2.^ 


De  his  vcro  detcrmioationibils  tenendiim  efl ,  quod 
eae  (|uibiis  Latitudines  exprLmuntur  ,  pvo  adeoi  ex- 
a(flis  .fint  -reputandaa  ,  \t  "vix  ^maitis  .quam  :  decem 
rcrupulorum  fecundorum  dubium  locum  habere  queat; 
nifi  forfati.pro  Callello  St.  Hliiabeth  incertitudo  ali- 
quanto.  nnaior  locum  inveniat  ,  quae  tam«n  .femiflTen 
minuti  primi  miniine  fuperabit.  Q^iiod  aute/n  Lpij- 
gitudines  heic  rccenlitas  attinet ,  illuc  quidcm  in  ge- 
ncrc  cum  aliqua  Lititudine  dccem  ,  vel  adeo  viginti 
fcrupulorum  fccandorum.  .iji  jempore  ,  iramo..pro 
nonnullis  locis  forfan  vnius  minuti  primi  ^,  ,.accipi 
debcnt.  ■  Determinationes  fcilicet  Longitudinum  pro 
fcqucntibus  locis :  Tfcherkafk  ,'  Tnganrock  ,  Kremen- 
tfchuck  V  St.  Elilabeth  ,  Gluchow  ,•  certiores  haben- 
dae  funt  ,  quam  ilLie  pro  'Vralfk  ,  Saporogfkaj;i 
Sietfcha  ct  Samara  ,  quarum  poQcriorcs  obfcruatio- 
nibus  aliquantum^dubiis^  innituutur,_  Pro  Cafteilo 
ai  i  3     ^  St.  Deme- 


St.  Demctrii  nnltae  quidem  exnant  pro  Longitudine 
determinanda  obfcruationes  ^  verum  quum  diftiiiua 
huius  loci  a  Tfclicrkafk  et  Tagaurock  pi.r  mcnlura* 
Geodaeticas  conftct  ,  in  procliui  cll  inde  Lon^iitudi- 
nem  luiius  loci  elicerc.  Compcrtum  fcilicct  eft,  di- 
flantiam  ititer  Tfcherkafk  ct  St.  Dmitrii  efle  27 
Verftarum  ,  vnde  fi  gradus  fub  aexjuatore  acllimetur 
efle  57260  Penicarum  GaHicarum  (  loiUs),  con- 
ficietur  diffsrentia  Longitudinis  inter  Tfchcrkifk  it  bt. 
Dcmctrii  circiter  23',  Simili  rntione  quum  Jill.in- 
tia  inrer  St.  Demetrii  et  Taganrocit  inuenta  fji  73 
Verlhrum,' chcierur  inde  difflrcniia  n.cnJiiiunuiii 
inter  haec  loca  s^J  circiter,  ex  quibu^  niciiHiris 
/dcmiim  fit  (lifierentia  Longitudinis  inter  Tuli-rtafk 
ct  Taganrock  1  .  1  2'  circitcr  ,  qnae  \ltra  quam  ipe- 
rarc  fas  erat  ,  cum  illa  confcnft,  quam  cx  oblirna- 
tionibus  Aftronomicis  deduxuTus.  Si  igiiur  Longi- 
tudo  pro  Kcherkafk  a  /Vleridiano  P.irifjn{>  aellime- 
tur  effe  37^30',  erit  illa  pro  Cartellu  Sl  Dcmeirii 

IV. 

De  obferuatlone  Eclipfeos  Solis,  Petro 

poli  die  ~  Aiigiifti ,  Anno  17/5 

inflituta. 


B 


Anftore  A.  I.  LexcU  pQg.  577. 

cuem  expofitionem  obrcruntionnm  circa  rclipfin 
Solis  die   15   Augulli  1-75  Petropoli    fatflarum, 

ia 


in  hac  DifTertatione  tradit  Clar.  Audor,  cuiiis  prae- 
cipua  momenta  habentur  fequentia  :  Praeter  finem 
Echpfeos ,  quem  fatis  exadle  obferuauit  Temp.  vero 
PetropoHtano  dic  25  Aug.  18^41'.  22",  varias 
quoque  inlhtuit  obferuationes  circa  partes  lucidas  di- 
fci  Solis  tt  dilbntias  cornuum  Lunae  ,  ex  quibus 
obfcruntinnibus  collegit  tempus  coniundionis  verac 
intcr  Solem  et  Lunam  incidinb  Temp.  Petropolitano 
vero  19''.  8'.  37'^,  fiuc  tempore  mcdio  Parifino 
17^  18'.  18",  exirtente  pro  eo  momento  Longitu- 
dine  SoHs  et  Lunae  5^  2°.  4.2'.  17"  ,  \nde  deducitur 
corredio  Tabularum  Lunarium  Cel.  Mqyeri  —  45" 
in  LongituJinem  ,  Latitudinis  correcflio  autem  non 
nifi  —7"  abfoluetur.  Comparata  deinde  obferuatione 
PetropoHtana  pro  fine  EcHpfis ,  cum  obferuationibus 
circa  hunc  finem  in  nonnullis  aliis  locis  infiitutis  , 
inuenit  diffv.rentias  Longitudinum  inter  Meridianum 
obferuatorii  Parifini  et  h.aec  loca  ,  vt  fequitur  : 
Lundac  a  Meridiano  Parifino  differentia  4.3'.  44-'' 
W.irfowiae  -  -  -  -  -  i*.  14.  38 
Regiomontis-  «       -         -        -  j.    12.  30 

Suecopolis  -  -  -  -  -  I.  30.  4-0 
Quod  autcm  primam  harum  determinationum  atti- 
net  ,  illa  in  exceffu  aHquantum  peccare  videtur , 
nam  ex  obferuationibus  pro  fine  EcHpfium  Solis  Annis 
1754  et  1769  Lundae  infiitutis,  Longitudo  Lundae 
multo  minor  coUigitur.  Medio  autem  fumto  omnium 
trium  dcterminationum  Longitudo  huius  loci  a  mc- 
ridiano  Parifino  fiet  43'.  30"  circiter.  Longitudo 
pro  Warlbwia  heic  inuciua  faltem  intra  decem  fcru- 

pula 


7»  ''>¥.i  (  0  ) 


<•»• 


pula  fecunda.  exada  \idetur  ,  prouti  obferuationes 
circa  Eclipfin  Soiis  A.  1^6^  Warfowiae  fadae  con- 
firmare  videntur.  De  Longitudine  Rcgiomontis  per 
obferuatioiies  Aftronomicas  luicusqiie  nihil  conflitit , 
verifimile  autem  eft  ,  heic  allatam  determinationem 
proximc  faltem  ad  vcritatem  accedcre.  Longitudo 
pro  Suecopoli  loco  Sueciae  munito  , .  qui  haud  pro* 
cul  ab  vrbe  Heiringforfia  fitus  eft  ,  eatenus  Jocum 
hjbet,  quatcnus  Elcuatio  Poli  huius  loci  fit  6o°.  5', 
quam  Audor  in  fuo  calciilo  fuppofuit  ;  caeterum  fi 
Latitudo  $'  diminui  vel  angeri  dcbcat  ,  Longitudo 
illius  loci  duobus  fcrupulis  fecundis  augcri,  vcl  minui 
debet.    ■  ' 

ofioijf:  "y, 

Obferuationes    Aftronomicae    in    vrbe 
Dmitriewfk  inflitutae ,    vna  cum  de- 
i»,  terminatione  latitudinis  et   longi- 
f     tudinis  huius  loci. 

Auftore  Petro  Inochodzow  pag.  59^. 

Referuntur  hic  cae  potiffimum  obfernationcs,  qiiac 
ad  pofitioneni  Geogrnphicam  vrbis  Dniitricwfk 
crucndam  infcruiunt :  idcirco  cxponitur  imprimis 
rccftificntio  Quadrantis  bipedalis ,  (  Londini  a  SifTuno 
falxcfadi  ) ,  ex  qua  prodit  trror  ab  altitudinibus  ob* 
feruatis  auflfcrcndus  i'.  z".  Quod  ad  latitudincm  at- 
tinct  ,    deducitur  ea  ex  22  altitudinibus  Solis  mcri- 

dianis 


'^P.i  (  o  )  ^M^'  TJ 

dinnfiS.5o°.  5'  s" ,  ex  altitndinibus  vcra  14 'fixariim 
15  0°.  5'.  10"  ,•  vnde  mediii  50".  5'- <S"  >  vt  certa  arta-I 
mi  poteft.  Pro  definicnda  longitudinc  obfcruatac 
funt  immcrfumes  et  emerfiones  Sateilitum  louis  , 
qinic  cum  calcullset  cum  obferuationibus  correfpon- 
dentibus  con  pnratae  pratbent  differenUam  meridiano-' 
rum  inter  Parinos  et  Dmitriewfk  2'^  52'.  27".  At 
eadem  e  duabus  Solis  eclypfibus  conclufa  eft  a^ 
52'.  11";  poftcriorem  determinationem  duplo  pro- 
babiliorem  atflimando,  longitudinem  defidcratam  fme 
fenfibili  errore  2^  52'.  16",  fcu  in  gradibus  43°.  4.' 
et  a  mcridiano  primo  <J3°.  4'  flatuere  licet.  Decli- 
natio  acus  magoeticae  ibidem  anno  1771  inuenta  eft 
6°  a  feptentrione  verlus  occidcntem. 

f.nrjicb 

VI. 

Qiiatuor  dellquia  Lunae  in  Dmitriewfk. 
obferuata  exponit  Petrus    Inochodzow 

pag.  (5ii. 

Ad  obferuanda  hacc  phoenomena  vfus  eft  Audor 
tubo  DollonJiano  trinm  pedum  .  et  obftrua- 
tionibns  fnis  fubiunxit  momenta  a  Cel.  Lowitz  per 
tubum   Quadrantis  25    pedum  notata. 

Primum  horum  diliquiorum  erat  die  \l  Apri- 
1771  ,  cuius  initium   obfcruauit  I.   i6^  V  2&".  t.  v. 

•t"om.XX.Nou.Comm,  k  Alierum 


•74' 


-»•1^.1  (  o   ) 


Alterum  die  5^  Odobr.  eiusdemanni;  initium 
hnins  eclypfis  notiiuit  1.  6'\3S'.  ii",  idem  fi^nauit 
L.  O^  38'.  5'j'^  finem  obleruauit  1.   8^  5+'.  44;"-  .   . 

Tertipm  die  f,  Apiil.  1772  j  eius  fiiiis  nmi- 
tus  ab  I.    8''.  53'.  25"« 

j  Quartum  denique  eodcm    anno    die    |?  -^f^tr.  t 

Cuius  potiora  momenta   haec  funt :  , 


ex  obfcru.  L. 
Initium         d''.  3  ;'.     6" 


,  Immerfio 
'''''  Emerfio 
finis 


7.    37.   4-3 
9.    21.      8 

10.    27.     o 


ex  obferu.  I,  * 


6\  31'.  31" 
7.    38.  31 
9.    20.    13 
10.    27-  13 


E  colhtione  trium  pofleriorum  eclypfium  cum 
obferuationibus  correfpondcntibus  prodit  longiiudo 
Dmitriewfki  a  Parifiis 

;       r         ex   3.      2.    52-30  ,  r, 

7/OXLVii         gjj  ^.   .  ^^    52    22  t"''3    f;j;,*IJ'lDX  J 

Mediuh^   2.    5*-  i7- 


/-■    !  )^    ■:  ^•.  .^'•"'y  t     '    ;iffnj .  ; 


muijJA 


VIL 


VJI. 

Obferuationes    Aftronomicae    in    vrbe 

baratovv   habitae  a  G.  M.  Lovvitz 

anno  177^.  pag.  621. 

OSferuationes  has  Vir  Cekb.  pro  determinandis  la- 
titudinc  et  longitudine  vrbis  S.irntow  inftituit  ; 
quarum  prior  prodit  ex  altitudinibus  fixarum  me- 
ridianis  ad  Aulirum  ct  Borcam  captis  57°.  31'.  33'', 
cadem  vero  colligitur  ex  alticudinibus  Solis  5i°.3i'  23": 
hint  fumto  medio  lUtui  illa  potefl  51^31'.  28". 
Quod  ad  longitudinein  attinet,  cam  non  nifi  ex  \nita 
immerfione  i""  Satcliitis  louis  collata  cum  calculo 
pro  Parifiis  deducere  licet  a*'.  54'.  42"  ,  \el  rotunde 
2^'  54-i'  »  adeoqiie  in  p.irtibus  circuli  43°.  40'  et  a 
meridiano  primo  6^°.  40.  Decimuio  acus  magne- 
ticae  pro  hoc  loco  rcp.rta  eft  3".  28^  verfus  occafum. 

VIII. 

Epitome    obfeniationiim    metcorologi- 

carum  Petropoli  anno  1775.  C^'- 

corr.  inftitutanim. 

Au£lore   I.  A.  Euler  pag.  626. 

Primo  leco  obferuationes   cxponuntur    barometrkae. 
Ahitudo    barometri     maxima    zn  19.   11     poll. 
duodecimal    ped.    regii     parifini   men(e  lanuarii ;   mi- 
^  k  a  uima 


7<y 


->l^.-b  (  o 


)  '^9^< 


nima  rr:  27  12  iricnfe.  Mjrtii ;  media  intcr  omnes 
obferiiatas  —  2  3;  I  c.  1  lurcs  a!ccnlu>  \el  dcfctndvs 
IMcrcurii  not.ibiiiores  vcl  (ulitanLO*  Cel.  Audor  fepa- 
iiitim  exponit.  Fx  obforuationibus  ilicrmometricis 
co'lijiitur  altitudo  rrdxima  ~  105.  grad.  Delisl.  menfe 
Au^udi  i  niiiuma  zripi.  men(e  lanuarii  adeoque 
n  axima  pcr  totuni  urinum  thcrmometri  \ariatio 
—  86.  grad.  Hicms  1  uius  anni  tam  rf^fpedu  dura- 
tionis  j  quam  vcheniciaiae  ,  muho  fuit  miticr  annis 
praeccdentibus  :,  aeilas  :iutcm  quoad  durationem  longe 
cahdior  anno  praeccdcnte^  ct  medium  frigus  hoc 
anno  flatui  potcil  —  147.  grad.  calor  autem  medius 
zz  139.  grad.  ;  id  eft  ,  ptr  dimidium  anni  altitudo 
thermometri  minor  tuit  14.7.  grad.  et  itcrum  ptr 
idem  tcmporis  interualhim  maior  gradu  139.  Hoc 
aniio  maxime  re.;nauit  ventus  ex  occidcnte  vel  Zc 
pliyriis  et  95.  numcrabar.tnr  dics  fer  ni.  Sub  tincnrv 
reccnfentur  reliqiia  phacnomena  ,  tonitrua  ,  aurorae 
borealcs  ,  atque  alia  ,  a  Ccl.  Auclore  hoc  anuo  ob« 
feruata. 

1) 


JL 


INDEX 


I  N  D  E  X 

DISSERTATIONVM. 


M  a  t  h  e  m  a  t  i  c  a, 

Dan,  Bernoulii ,  Aduerfaria    analytica    mifcelhiica    de 
fradioiiibus  continuis  pag.  3. 

Eiusdem  ,  Difquifitiones  vlteriores  de   indole   fracflio- 
num  coniinuarum  pag.  24.. 

L.  Euler ,    Solutio    quorundam    problematum    Dio- 
phantaeorum  pag.  48. 

Eiiisdem  ,  Spcculationes  Analyticae  pag.  59. 

■  -  T 

J.  1.  Lexell  j  De    Refolutionc    Pulygonorum    re^flili- 
neorum  ,  DiflTcrtatio  fecunda  pag.   80. 

L.  Eukr ,  Obferiiationes    circa    nouum    ct    fingulare 
ferierum  genus  png.   123.  '' 

P  hy/ic  0'Mathematica. 

L.  Eu/er  ,    Forrautae    general  s  ,      pro     translatione     , 
quacunque  corporum  rigidorum  pag.    188.     ■''  ' 

Eiusdem  ■,  Noua  methoJus  motum  cnrporum  rigido- 
rum  detcrminandi  pa.j.  208. 

k  3  A.  L 


> 


78  «^^.i  (  o  )  S'<^<- 

A.l.Lexell,  Tlicoremata  nonnulla  generalia  de  trans- 
latione  corporum  rigidorum  pa^.   239. 

.  .    ."  I  r  A  'xA  : 

L.  Eukr  ,  Regula  ficilis  ,  pro  diiudicanda  firmitate 
pont  s  aliuHse  corpi  ris  limilis  ,  ex  cognita 
firmitatc  raoduli   pag.   271. 

Eiusdem  ^  De     g-mina     ncihcdo     tam     aequilibrium 

::j  quam   motum   C(Tporum   flcxibilium   deicrmi- 

nandi  et   vtr-.usjuc  egrcgio  confcnfu   p.    2  8<5. 

EluSdsm  ,  De  preinone  funium  tenforum  in  corpora 
lubitda  corumque  motu  a  fridione  impe- 
diio  ;     vbi     pracferiim    mcthodus    traditur  , 

■  '  inoium   corporum   tam    pcrfcC^e    fiexibilium  , 

quam  vtcunquc  elalHcoriim  non  in  eodem 
■  plano   fitorum  dctcrminandi   pag.    30+. 

Eiusdem  ,  De  prefljone  fnnium  tenforum  in  corpora 
fubicd.!  corum  lue  motu  friclione  impedito. 
DiflTi-rtatio  ahcra   png.   327. 

W.L.Kraffr^  De  \'iribus  Remorum  nouac  fpeciei  , 
eoru.iique  (^omparationc  cum  rcmis  ordiiiariis 


ifij     m 


,^P  h  }  f  i  c  a. 


C.F.JVoff,  Dc  Forflmine  ouali  ,  eiusque  vfu  in 
ijirigcndo  niotu  fanguinis.  Obltruationcs  no- 
\ac   pag.   357. 

/.  T. 


/.  T.  Koekeuter  ,  Lychni  -  Cucubalus  noua  Planta 
hybnda  pag.   431. 

A.  L  Giildtnflaedt  ,  Schacalae  Hirtoria  pag.  449.         ' 
Eiusdem  ,  Cluus ,  animal  Feli  afiine  defcriptum  pag. 
483. 

AJi  ronomica. 

L.  Euler  ,  De  traieiflu  citiflimo  ftellae  per  duos  cir- 
los  Almicjntharath  datob  pro  qualibet  ele- 
vatione  poli  pag.  503. 

Eiusdem  ,  Dj  circulo  maximo  fixo  in  coelo  confti- 
tueiido  ,  ad  qucm  orbiiae  planetarum  et  co- 
metarum  rcferantur  pag.   509. 

Obferuationes  Aftronomicas  pro  determinando  fitu 
Gcographico  variorum  per  Imperium  Rudi- 
cum  locorum  a  Nob.  Chrijlophoro  Eulero  •, 
Annis  1769  ct  1770  fadas  recenfet  A.  1, 
Lexell  pag.    54-r' 

A.  L  Lexe/I y  De  obferuatione  Eclipfeos  Solis ,  Pe^ 
tropoli  die  5I  Augufli,  Anno  1775  inftituta 
pag.   577- 

P.  Inochodzow ,  Obfcruationes  Afironomicae  in  vrbe 
Dmitricwfk  inftitutae  ,  vna  cum  deti.rmina-' 
tione    latitudinib  et    longitudiuib    huius    luci 

pag.  593. 
,v-  Eiusdem 


8o 


->l^.-§  (  o  )  1>H<' 


Eiusdein  ,  Quatuor  dcliquia  Lunae  ia  D  nitriewfl^ 
obleruata  png.  (Sii. 

Obfergntiones  Aftronomicae  in  vrbe  Saratow  habitae, 
a  G,   M.  Loivitz  anno  1773.   pag.  621. 

l.  A.  Eider  ,  Epitome  cbrcruationum  meteorologica- 
nim  Fetropoli  anno  1775.  Cal.  coir.  infli- 
tutarum  pa^j.  626. 


-03   J5  iumi. 


-0  . 


i  -  M 


jO 


•  .1  .k 


i;il  :;-...»    <VVl    <• 


i.> 


I 


C     -t. 


WATHE. 


MATHEMATICA. 


Tom.XX.Nou.Comm.  A  ADVER- 


ADVERSARIA 
ANALYTICA  MISCELLANEA 

DE 

FRACTIONIBVS 

CONTINVIS. 

Au  (fl  o  re 
DANIELE     BERNOFLLL 

§.     I- 

Haud  dedignati  funt  -viri  llluftres  fummique 
Gcomctrae  fuperioris  facculi  Milord  Broun- 
clur  ,  Wallis,  Huyguens  aliique  theoriam 
fradionum  continuarum  commentari  atque 
in  vfus  fuos  conuertere  ,  quin  etiam  hifct  proximis 
temporibns  Gcomctrae  lagaciflimi  Eulerus  et  ife  la 
Grafige  ,  tot  fublimibus  liiucntis  cbri,  argumcntum 
illud  atithmeticum  haud  parum  promoucrunt  atqne 
ab  obliuionc  vindicarunt :  liceat  cgregiis  obferuatio- 
nibus  lcuiufculas  quasdam  fupcradiicere  ,  plerasque 
excerptas  ex  aduerfariis  olim  a  me  congeftis.  Nec 
mihi  propofitum  cft  rem  fyflematicc  profequi  nec 
pecuharcm  vfum  inhiare.  Frncliones  continuae  ab- 
ruptac  ,    aliud  non  funt  ,    quam  fimplices    fra<ftionei 

A  a  fub 


4  DE     F  RACTION IBVS 

fub  forma  plurium  fractionum  ,  intcr  fe  a  diuifione 
continua  concatenatarum  ,  quas  magnus  adliibuit  Hu- 
gucuius  ad  proportiones ,  pro  admifla  alicjua  aberra- 
tione  ,  fimplicifumis  numcris  cxprimendatj.  Exami- 
nabo  potilli  iium  fradioncs  continuas  data  Icge  in  in- 
finitum  progredicntcs  ,  cuiusmodi  celebrc  nobis  dcdit 
exemplum  llludris  Brounchcrus  y  argumcnti  huius 
Audor  ,  pro  dctcrminanda  rationc  inter  quadratum 
et  circulum  ci  inlcriptum  ,  quam  Wallifius  cx  pro- 
fundiflimis  abditis  cruerat  modoque  valdc  diucrfo 
expreiTerat.  Animus  erat  inquirendi  ,  quibusnam  iu 
cafibus  cxprcflioncs  nodrae  in  infiuitum  continuatac 
Talorcm  obtineant  communi  anaiyfi  dcterminabilcm. 
]Vliratus  fum  pauciffimos  efle  liofce  cafus  eosque  fim- 
pliciflimos ;  praetcr  hos  reliqui  omnas  ad  formuias 
tianrccndcntales  conducere  vidcntur  i  ncc  tamenjqunn- 
tum  cgo  quidem  fcio  ,  vllum  adliuc  a  Gcomctris 
prolatum  fuit  exemplum  ea.  de  re  aliud  quam. 
JBrounclicrianum^ 

§.  2.  Initium  ficiam  ab  exprcflione  fra^flionun» 
continuarum  nullibi  abruptarum  intcr  omncs  fimpU- 
ciflima  maximequc  obiiia.  Proponatur  fcilicct  ia- 
■wcfliijandu&  vaior  fcquentis  cxprciiionis 

m  -i-  ctc 


6 


.      CONTINVIS.  $ 

▼bi  m  indicat  numcrnm  qualcmciinquc  fiue  affirma- 
tiuum  fiue  negatiiium  ,  iiuegrum  aut  fiadlum  ,  ra- 
tionalem  aut  irratioiialem  :  Si  ponatur,  lianc  expres- 
fionem  continuc  magis  magisque  conuergcre  ad  cer- 
tum  et  dctcrminatum  aliquem  valorem ,  necclTc  crir, 
,vt  poft  numerum  infinitum  concatenatarum  fradio- 
Bum  ,  valor  expredlonis  haud  porro  varietur,  fi  no- 
\a  fupcrueniat  fradio.  Sit  itaque  pro  fradionibus 
infi.iities  repctitis  valor  expreflionis  —  S  atque  puta 
nouum  pracfigi  tcrminum  ,  ita  vt  qni  fuit  primm 
nunc  fiat  lecundus  ^  erit  tunc  valor  cxpreflionis 
^—L-^i     atque     fic     habcbimus    (  per    hypothefin  ) 

S=rtj_.  ,  fiiie  S*+7«S=i   vel  S :iz-^^!^^^^^^ 

T71-f-S    '  »  ) 

quae  folatio  vnicuiq^uc  obuia.  cft,. 

f.  3.  Verus  vtique  valor  cft  ,  qucm  modo 
dedimus ,  atque  fi  ad  cxcmpla  purc  numcrica  des- 
cendcre  lubeat,  hiculenter  apparebit  ,  quam  cito  plc- 
rumque  a  quauis  noua  aJicdla  fradione  exprefllo  ad 
valorem  iftum  approperet.  Sit,  verbi  gratia,  w— J, 
dabit  formula  noflra  ,  pro  cxpreiTione  infiniti-mcm- 
bri  ,  S  zz  ^.  At  fi  fumatur  valor  exprcflionis  fuc- 
ceflinc  pro  fradlione  prima  fimphci ,  dein  pro  fnidio- 
re  bimembri  ,  trimembri  et  quadrimcmbri  ,  obtine- 
buntur  valorcs  fpccifici  I ;  "  ;  i\*  et  ^f  J- ,  in  qui- 
bus ,  fi  numcratorcs  retineantur  ,  dcnorninatorcs  lola 
■vnitate  aberrant  ,  altcrnis  vicibus  in  defctftu  fiue  in 
excefTLi  ,  vnde  apparet,  quam  cito  fradiones  abruptae 
conucrgant  ad  propofitam  fradioncm  infinitimcm- 
brcm  ciusque  valorcm  S;  ctiamfi    pro    m    numerus 

A  3  lra(ftus 


€  DE     FR  ACtIONIB  VS 

fradlus  fuerit  aflumtus.  Praefati  autem  termini  nu- 
merici  pro  fradionibus  abruptis  fuccefliuc  detcrmi- 
nandis  facillime  continuantur  ,  quia  quiuis  numera- 
tor  noui  termini  eft  tripluin  dcnominatoris  \Itimi 
termini  ,  dcnominator  autcm  in  nouo  termino  eft 
triplum  eiusJem  numcratoris  modo  inuenti  vnitate 
audum  vcl  d'minutum  ,  prouti  index  noui  tcrmini 
fuerit  par  vel  impar. 

§.  4.  Vnicum  paritcr  fufficiet  exemplum,  quo 
appareat  nihil  obftare,  quin  pro  m  quantitas  afluma- 
tur  irrationalis.  Ponatur  ,  excmpli  can{a  ,  m  —  V  5: 
fic  dabit  fiirmula  in  fine  paragraphi  fecundi  expofita 
valorem  fradionis  infiniti- mcmbris  Szz.^-~-\  Si 
Tero  in  expreffiouc  propofita  fumautur  rucceffiue  va- 
lores  pro  fradionc  vni-membri,  bimembri  ,  tri- 
mcmbri  etc.  obtincbuntur  termini 

'.VSi  ;V5;  /jVs;  /,  V  5  ,•  A  a  >"  5 ;  ctc 

Vtamur  tcrmino  quinto  ^-'^^5  >t  vidcamus  qu:m- 
tum  diflct  ab  tcrmino  infinitefimo   S  —  '-^^.      tfl 

Tcro  y  5  —  2;  23(5o<?8i  ergo  aVa  V  5=0,  sSiiPpS 
et  5  —  0,381966,  qui  ambo  numcri  in  quinta  de^ 
mum  figura  in  diuerfa  abire  incipiunt.  In  gcntre 
apparet  quod  tcrmini  a  fradionibus  continuis  abruptis 
prouenientcs  tanto  citius  ad  valorcm  S  conucrgant , 
quanto  maior  affumtus  fuerit  valor  numuri  m  et 
licifiim  tanto  tardius  quanto  minor  efl  numerus  m. 

§.  5.  Dcniqne  etiam  quacritur  ,  quid  futurum 
fit  quando  pro  ;//  fumitur  nnmerus  ncgatiuus  ^  dico 
auum   tunc  quantitatem  radicalcm  ia  formula  para- 

graphi 


CONTINVIS.  7 

jraphi  fecundi  ncgatiue  cffe  accipiendam  atqne  fic 
fore  S  —  zUlrrJ^irtJU?  ,  vbi  fi  fumatur  numerus  m 
ncgatiue  oritur  S  —  nLn:sL*j±^^ ,    qui  valor  negati- 

ve  idem  eft ,  qui  fuit  in  paragrapho  fecundo.      No- 

tabile    mihi    videtur ,    quod    pro    cafu    fpecialifllmo 

m—  o  fiat  perinde  S  rr  i    et  S  n  —  i  :    Vidco    hic 

iterum  ,  qubd  pafllm  monui  in  pracccdcntlbus  diflcr- 

tationibus   occaflione    ferierum  ,    quas    fonnaat    finus 

vel  cofinus  arcuum  circularium  arithmeticc     progrc- 

dientium  ,    nempe  diftinguendum  eflc  inter    nihilum 

abfokirum  ct   inter  infinite  paruum  ;  In  priori  cnim 

cafu  fir  S  zi    -'—  ;  in   pofleriori  S  —  -h  i   atque    fi 

hanc  rem  prolequamur  per  (Ingula  cxpreflionis  mem- 

bra  ,   prouti  fecimus  paragrapho  tcrtio  ,    obtincbimus 

fuccefluie  pro  valoribus  expreffionis   abruptae    oo.  ^. 

°°  ^  etc.    Sic    tota   qiiaeftio  in  nmbiguo  pofita   ma,- 

net,     At    in    altero    cafu'   termiiii  numeio  impares'  y 

Ytcunque   magni  ab  initio  ,    continue  dccrcfcmit    cre- 

fcuntqne  termini    pares ,    don.c    nmnes    ad    eandem- 

magnitudinem  tandcm  reduci;ntur  ,  'quae  erit  proxi- 

mc  -+i  I,  prouti  minima  quantitas  aflumpta  m  fue- 

lit  vcl  pofitiua  vel  negatiua:. 

§.  6.  Erunt  fortnflc,  quibus  folutio  paragrapho 
(ecundo  expofita  minus  videatur  apodicflica  ,  nec  eos 
prorfiis  improbarem,  ideo  quod  non  fempcr  fatis  li- 
qneat  ,  exprcfilonem  defmere  in  valorem  conflanrcm 
ct  dcterminatum  ,  ctiamfi  ccrtum  fic  enm  efle  fini- 
tum  ;    etenim  poflct  tandem  exprefuo  couucrgcre-  ad 

termi- 


S  DE     FRACTIONIBVS 

terminos  pcriodicc  atqiie  data  lcge  rcciirrcntcs ,  Tt- 
cunque  inter  fe  inacqualcs,  prouti  nutum  clt  lcricm 
form:itam  ex  finibus  vel  cofinibus  Arcuum  circula- 
rium  arithmctice  progrcdientium  formare  huiusmodi 
perpetuos  recurlus:  hac  ratione  indudus  argumcn- 
tum  nodrum  aho  profequar  modo  a  priori  phnc 
diucrfo. 

Conuertatur  fuccefllue  expreffio  frndlloniim  con- 
tinuarum  in  aequiualeiites  fraftioncs  fimplices  ,  inci- 
picndo  ab  exprcfllone  vni-membri  et  pcrgendo  ad 
cxprelhonem  bimembrem,  trimembrem  ,  quadrimcm- 
brem"  etc.    Sic  fuccciriue  oricntur  valores 

m «m-i-t       m^-4-a  m       m*-|-imm-f-t_       m^-i-*n'-^~zm      vi»-^sm*--+-«rr.m4-i    ^f^ 

'  mm-i-t^vi^^-i^tm'  m*-^imm~i-t'  m^-i-^m^-t-fn'  m*-t-5m*  +  6v;m-)-i*  m'-(-6r7.5-t-»om2^-*u' 

Duo  funt  in  hac  progrelTionc  fraiftionum  fmiplicium 
notanda  ;  primum  e(l ,  quod  quiuis  numcrator  idem 
fit  quod  denominator  praccedcntis  tcrmini  ,  ita  "vt 
feries  numeratorum  eadem  fit  cum  fcric  dcnomina- 
torum  ,  hoc  lakem  dil^.rimine ,  quod  fccundus  nu- 
merator  idem  fit  cum  primo  dennminatore  ,  tcrtius 
iiUHiCratnr  cum  fecundo  denominatorc  et  fic  porro  : 
igitur  fufliciet  confidcraflc  fericm  numcratorum,  Sc- 
cunda  obfcruatio  ,  quac  hic  potifllmum  notanda  \e- 
nit  ,  in  hoc  coiififlit  ,  quod  praefata  numeratorum 
ferics  pcriineat  ad  claflcm  fericrum  rccurrcntium  ct 
quidcm  ad  ordincm  fccundum  ,  quando  qui^lcm  vnus- 
quisquc  tcrnunus  conflatur  ex  duobus  tciminis,  qui 
ilUim  praeccdunt;  fint  ntmpc  trcs  tcrmini  contigui 
qualcscuniiue  A,  B  ct  C;  dico  fore  C  —  w;  B -h  A  > 
quae    cfl    proprictas    fcricrum    rccurieutium   ftcundi 

ordinis, 


C  O  N  T  I  N  V  I  S.  9 

ordinis  ,  thcoriam  aiitcm  gencralifllmam  hnrum  fcrie- 
rum  carumquc  vfum  infignem  pro  radicibus  omnium 
acquationum  algebraicarum  facillimo  negotio  deter- 
n.inandis  docui  in  variis  fchediasmatis  ,  vctcribus 
Commentariis  infcrtis. 

§  7.  Ad  normam  pracmcmoratac  thcoriae  condrua- 
tur  pro  incognita  /  acquatio  fecundi  otdinis  jj-my-^- 1, 
cuius  ambae  ndices  funt 

Hac  ambae  radiccs  nos  co  conducent ,  vt  non  folum 
\alorem  termini  infinitcfimi  feri-^i  ncflrae  fcd  et  cu- 
iu^cunquc  tcrmini  ,  cuius  indcx  dcfignatus  fit  nume- 
ro  N,  indicare  poHkt.lis  absque  intcruentn  termino- 
rum  praecedcntium  ;  erit  enim  tcrminus  generalis 
feriei  

(W -f  V  4 -I- w  7/;X  N  /'///  — V  4  4-7«  W\f* 

— . — ;  +^(. — -. — ;  •■ 

coefficicntes  autcm  a  ct  §  detcrminantur  cx  duobus 
primis  (eriei  terminis  ,  qui  hic  funt  i  et  w  et  qui 
proucnire  debcnt  pro  cafibus  N  —  i  et  N  —  2  j  fic 
reperitur 

I  —  I 

a  —  -==  et  §  = 


V  4  +  7«  w  l^  4-  +  m  m  * 

qulbus  fubftitutis  fit  tandcm   terminus    gcncralis    fc- 
rici  nofirae 


Tom.XX.Nou.Comm.  B  Confir- 


jo  DE    FRACTIONIBVS 

Con^rmabitur  ifte  tcrminue  generalis  ,  quoties 
pro  N  numerus  aflumitur  integcr  ,  auamuis  calcu- 
lus  fiat  latis  taediolus  pio  numeris   maiusculi*.       i>it 

Nz=3^t 

{m-\-y  4-  +  m iiif  =:m'+^mni V4 -i-  ?/; m  +  3 ;w U  +  v? m) 

+  (4-  +  w')>'C4  +  w'), 
atque  pari^-er 
(»;  —  y  4- + m mf  —  w'  —  3  ?fi mV^-i  m m  +  3  w (4 -j- w w) 

hacc    poflerior    quantitas    fi    a    pnori    (ubtrahatur  , 
prodit 

<J  7//  W  V  4  _|_  ,;/  7«  _f.  (  8  -f-  2  W  »2 )  V  4 

quae  quanritas  diuidenda  ert  per 


•  m  m 


a^  V  4  -i-  jH  m  fi ue  per  81/4-1-  m  w, 

quo  fadlo  prodit  fimpliciter  ,  pro  tertio  termino , 
m  m  -\-  I  qualis  eO:  i\\  pracccdente  para-,rapho  ,  (i 
ad  folos  fpecftcs  numcratores. 

§.  8.  Quod  nunc  attinet  ad  denominatores  , 
lios  pro  quouis  termino  habcbis  ,  fi  inter  numerato- 
res  (umas  fcquentem  tcrminum  ,  id  eft  ,  fi  loco  N 
ponas  N  -I-  I.  Sic  itaque  quiuis  dcnominator  con- 
■vcnicns  indici   N  erit 

[m  +  y  4  +  ;«  ;a)^-^-'—  (;»  -  V  4  +  ;;;  mf-^* 

~~  2'^-+-'y4+~;;m 

Deniqne  fi  numeratorem  N  tefimum  diuidas  p3r 
denominatorem  N  tefimum;  habcbis  \alorcm  fradio- 
nis  continuae  N   membris  ~ 

a  (;«  4-  V4  4 ;;;  mp  —  1  (;;;  —  T'4  + ;;; mf 

</7i  -j-  V  4  +  m  m)^-*-'—  {ni  -  V  ^^imf-^'  *         atque 


C  O  N  T  I  N  V  I  S.  IX 

Atqnc  fic  habemus  tcrminum  generalcm  pro 
qualicunque  termino  fnidionum  fimplicium  paragra» 
pho  (exto  expofitarum  ,  quae  aequiualent  fradioni 
continuac  totics  repetitae  quotics  vnitas  continetur 
in  exponcnte  N ,  quam  fradioncm  voco  N  mcm- 
brem.  Igitur  Iincc  folntio  ,  cx  tiicoria  ferierum  re- 
currentium  pctita  ,  infinities  generalior  cft  folutione 
fupcrius  paragrapho  fecundo  expofita  fimulquc  vno 
intuitu  totius  argumenti  imaginem  repraefentat.  Ve- 
rum  ad  caufam   propero  principalcm. 

§.  9.  Quaeritur  nunc  tandem  ,  quisnam  verus 
fit  valor  cxprefiionis  nolirae  ,  fi  fradioncs  continuae 
in  infinitum  progrediantur  ,  :d  efl  ,  fi  pro  N  nu- 
merus  afTamatur  infinitus.  Dico  autem  duos  hjc 
effe  cafus  a  fe  inuicem  difiinguendos  ,  prouti  m  fue- 
rit  nurrerus  pofitiuus  vel  negatiuus.  In  priori  cafu 
fit  teiminus  primus  tam  iu  numeratore  quam  in 
dcnominatore  infinitics  maior  quam  terminus  fecun- 
dus ;  in  altero  contrarium  obtinet,  igitur  fi  fuerit /w 
numcrus  pofitiuus  ,  reiiciendus  erit  fccundus  tcrmi- 
iius  numeratoris  aeque  ac  denominatoris  atque  fic 
valor  formulae  generalis  in  praecedents  paragrapho 
cxpofitae  fit 

2.[??i-\-'V^-\-mm)'^  2 

n;  — -==-=-—   fiuc  — — — =^=. 

{m  +  y  ^i-^mjn^-*-'  m-^-V  ^-\-mm' 

Nec  valor  if^e  dififert  a  valore  in  paragrapho  fecundo 
vbi  ahera  methodo  iuuenimus 


S  =  ::^::^f*^i^;eftfcilicet 


-mTn 


B  z  quod 


12  DE     FRACTIONIBVS 

quod  fola  multiplicatio  per  cruccm  indicat.  Qiiod 
fi  fucrit  m  numerus  negatiuus  ^  rciiciendus  erit  pri- 
mus  tcriTiinus  reUuus  ad  fecundum  ,  tam  in  nume- 
ratore  quam  denominatore  formulae  in  praeccdcntc 
paragrapho  inuentae  ,  quo  fado  habetur 

—  i[m  —  V4-  + 111  m  )^  2 

-=— —  fiuc 


—  [m  —  ^^/^  +  jn  mf~^'  ;;;  —  V  4.  + ;;/ ;;;  ' 

in  qua  poftrcma  formula  fi  rn  murctur  in  —  w,*  ori- 
tur  negatiue  idem  \alor  ,  qui  afBrmatiue  valct  pro 
altcro  calu  ,  quod  idcm  in  paragrapho  quinto  dc-- 
monflraui. 

^.  10.  Simili  modo  pertradandae  erunt  omnes 
fradliones  continuae  infinitae ,  quae  vbique  perfede 
rccurrunt  pro  quauis  noua  fractione ,  vnde  indoies 
cxprefTionum  ncftrarnm  haud  parum  diluccbit:  Hxcm- 
pla  huius  animaducrfionis  lequentia  allegabo. 

I.    l 


T^  CtC.    =  =^^ 


II.    l 

»  -I-  » 

a  -+-  l 

»-t-ctc.  +  —  —  I  +  /3 

III. 


171  -+- '" 


711-4-"» 


IV.'' 


m-+.  CtC.  ~  —  *"  -t-  V  '  "t  -f-  ?i  m 


"•  "+*  CtC.  —  —  m-f-V.n-t-Tnw  ^ 


C  O  N  T  I  N  V  I  S.  la 


Y  .    _ 

-  m-+- 

Tl 

m  — 

—  n 

—  m  - 

•  n 

n 

ctc. 

—  v\ 

«n  — 

V* 

n  -4- 

-  m 

V 

-  1 
.  m 

■+■ 

n 

n. 

m 

K 
.  7/1 

etc.__ 
■  -  etc. 

Wl  »» 

VI. 

a 

m  — 

—  n 

—  m  — 

1  -4-  V  ''1  r. 

■■  — 

■  ♦  a 

VII. 

a 

w  —  V" 

Hl  — 

-  «  n 

Hac  variae  f()rmul:ie  varia  nobis  fubminiftrant  corolkria 
notatu  liaud  indigna,  quorum  praecipua  nunc  indicabo. 
§.  II.  (fl)  Ex  iribus  prioribus  exemplis  intcr 
fe  coUatis  apparct  ,  non  licere  terminos  fradionum  , 
id  efl,  numeratorem  ac  denominatorem  mutare,  et- 
iamfi  valor  vniuscuiusquc  fradionis  inde  non  mute- 
tur  ,  atque  fin^,ulas  fradioncs  per:e<flc  eodem  modo 
cflc  vbiquc  replicandas  tam  ratione  tcrminorum  qjam 
fi^norum. 

(^b)  Hinc  ctiam  fequitur,  diuerfa  ab  inuicem  cfle 
exemphim  quartum  ct  f.ptimum  ,  etiamfi   tradiOMes 

—  ct  — -  per  (c  fumtae  alias  rede  cenieantur  inter 
fe  aequales :  Notrtur  autcm  ,  numeros  n  et  m  poni 
per  fc  pofitiuos  in  formuiis  noHris  et  a  (olis  fignis 
praefixi'»  +  \tl  —  indicari  an  fint  afRrmatiue  vel 
net;at!ue     accipiendi.       Muratio    fradicms    -   in  "'^. 

m  —  771 

ri'Til    al-ud    t\\   quam   tern  iforum    multiplicatio  pcr 

—  t.  Scd  r  ullae  multiplicationc^,  quae  formam  fra- 
diunis  vUo  modo  ptrmutcft ,  aLmittcudae  funt. 

13  3  (<'•)  Ob 


j^4.  DE     FRCTIONIBVS 

(c)  Ob  eandem  rationem  difFcrt  exemplum  quin- 
tum  a  lexto  ,  qiiia  fcilicet  forma  diffcriuu  nb  inui- 
cem  fracflioncs   —  et  ^  ,  vtut  valore  fuo  eaedem. 

(d)  Tanta  vis  ineft  duabus  praecedentibus  notis, 
vt  valor  appofitus  in  cxcmplo  quarto  fit  femper  rea- 
lis  ,  qui  pocell  fieri  imaginarius  in  exemplo  (eptimo 
atque  idem  itnelligendum  cft  de  exempiis  quiuto  ct 
fexto, 

(0  Lex  gcneralis  thcoriac  noflrae  haec  eft  vt, 
quando  literae  n  fignum  negatiuum  praeponiiur,  idem 
fignum  fit  praeponcndum  iiterae  n  in  quantitate  ra- 
dicali  ,  ficuti  vidctnr  in  exemplo  fexto  ac  feptimo  : 
Verum  quando  fignum  negatiuum  numero  m  tft 
pracfixum  ,  ficuti  in  exemplo  quinto  et  feptimo  , 
tunc  nop.  foliim  fii^num  contrarium  ,  in  valore  fra- 
«flionum  continuarum  ,  pracponendum  e(l  litcrae  w, 
fcd  integra  quantitas  radicalis  lub  figno  negatiuo  ad- 
hibcnda  efT:. 

(/")  In  folis  exemplis  VI  et  VII.  emergens  va- 
lor  fieri  poteft  imnginarius  ct  fit  imaginarius,  fi  fue- 
rit  7i)>]^mm.     De  hoc  cafu  paucula  feorfim  dicam, 

§.  12.  Videamus  igitur,  quemadmodum  fradio- 
nes  continu.ic  infinitac  in  pracinemorato  cafu  fuam 
indolcm  ,  fiatum  fciiicct  imaginarium  ,  prodant  at- 
quc  hunc  in  fincm  vnicum  allcgcmus  exemplum. 
Ponatur  n—  i  et  m  ~  i  atquc  adeo  n  ^  l  mvt'. 
Sic  oritur  vaior  fradionum  pro  exemplo  fisxtn  §.  lo. 
„  —  ,-)-  V  — I  ^(.   pfQ  cxcmplo  (cptimo    —  '  ~'^~;:j  ; 

(^uod  fi  autem   iplic  cxprclfiuncs    ordine    luo    cuol- 

vantur, 


C  O  N  T  I   N  V   I  S.  15 

vantur  ,  pro^rediendo  ab  frnclione  vni-membri,  ad 
frudionem  bimembrem  ,  trimembrem  ,  quadnmem- 
brem  etc.  oiiuntur  fuccefliue  pro  \'troque  cxemplo 
fequcntes  tcrmiini 

—  I,  —  00.  o.  —  I.  —  00.  o  —  ctc.  In  cafu  priorc 
atque 

I.  -\--  00.  o.  I,  -I-  00,  o.  ctc.  in  cafa  pofferiore 

atque  hae  ambne  (eries  fic  in  infinitum  progrediun- 
tur  pro  fingulisi  trinis  terminis  (nbfequentibus  ,  nec 
adeoque  ad  valorem  fixi:m  conuergere  poffunt ,  vn- 
de  non  mirum  inucntum  valorem  radice  imagina- 
ria  exprimi. 

In   ipfo  limite    inter  vtrumquc  fiatum  ,  vbi  fci- 
licet  ell  n  zz  i  et  w— 2,  rciultans  ferres    termino-  -^ 

rum  iua  fpccie  abquid  intermedii  habet  ,  quando- 
quidem   pro  exemplo  iexto  inuenitur  ierics 


'   -  *.  -  I,  -  ctc. 


« 


quae  eadem  cum  fignis  affirmatfuis  valet  pro  exemplo 
feptimo,  cjuaeque  proprie  non  pertinct,  fiue  numeratorcs 
fiue  denominatores  fpecientur  ,  ad  recurrentcs :  attamcn 
vterque  terminorum  ordo  hac  gaudet  proprietare,  vt 
quiuis  tcrminus  compofitus  fit  ex  duplo  tcrmino 
praccedente  demto  ante  -  praecedentc.  Dcmonfiruui 
nutcm  in  vcteribus  Commcntariis,  fimili  titulo  omnes 
leries  ,  qiiae  dicuntur  ,  algebraicas  ,  pettincre  ad  fe- 
ries  recurrcntes.  F,x  praememonita  lcrie  termino- 
rum  pcr  fe  liquct,  fore  teniinum  infinitefimum  ae- 
qualcm  vnitati  fiue  neL^atiue  fiue  afRrmatiue  fumtae, 

prout 


i5  DE     FRACTIONIBVS 

prout  fermo  fit  dc  cxemplo  fexto  vel    fcptimo  ,    id 
quod  etiam  formulac  nollrac  appofitac  indicaat. 

^.  13.  Hadcnus  de  fradionibus  continuis  infi- 
nitis  earumque  valore ,  in  qiiibus  perfcdc  cadem 
fradio  haud  interrupta  vbiquc  rccurrat.  Pro^redior 
ad  ordinem  fecundum  ,  qucm  ita  voco  ,  quando  bi- 
nac  fradiones  altcrno  ordine  perpctuo  recurrunt. 

Ponam  duas  fraiflioncs  qunlescunjue  5.  et  L  , 
ex  quarum  perpctuo  recurfu  formetur  fracflio  conti- 
nua  in  infinitum  cxtenfa  fequentcm  in  modum 


n 


«  4-  ctc. 


m  

H 


quacritur  \alor  huius  exprcfllonis  cx  infinitis  fr.K^io- 
nibus  compofitac.  Sit  rurfus  valor  ifie  zz  S  atquc 
puta  duos  nouos  teminos  cxprcflioni  praefigi  fcruatii 
eius  le^^c  ;  hab.bis 

"  -4- 1         fiue   —5-^-«  s_  . 

p"^rs  m  ?  -»-  m  S  H-  «  » 

hacc  autem  mutatio  reftituit  pcrfe^Hic  fracflioncm  con- 
tinuam  propofitam  vtpote  in  infinitum  cxtcufam. 
Erit  igitur  — ^L£_r^-is —  —  5^  -^j^^q  inucnitur 

S  S  4-  "'P-^^-"  S  =  ^  ac  dcniquc 

C  n  —  mp  —  q  -^-V^mnp-f-'?  —  »)^ 

»771 

Ex  ifta  formula  fequcntia  dcfluunt  corollaria. 
(r/)  Si  ponatur  ^  —  «  et  p  =:  «,  obtinetur 

S  —  —  m  -f-  V  <  a  _f_  m  m 
M ~ , 

quod 


C  O  N  T  I  N  V  I  S.  f"7 

quod  confrrme  cft  cxcmplo  quarto  paragraphi  dc- 
cinii. 

(b)  5i  ^  ~  o  fit  S  rr  ^, ,  atque  fic  in  propofi- 
ta  exprefrione  fradioniim  coatiniiarum  fola  remanet 
fra<flio  prima  — ,  rcliquis  omnibus  euanelcentibus. 
Sed  fi  in  valore  S  accipiatur  quantitas  radicalis  nc- 
gatiuc  ,  fit  Szz—p)  qui  valor  rtiiera  hypnthefi  no- 
Urae  analyticc  fatisfacit  ,  fimul  autcm  applicationc 
fua  inutilis  e(l. 

(c)  Si  rcfcindatnr  prima  fradio  ^  ita  ,  vt  ex- 
prcfiio  incipiat  ab  fradione  ^ ,  indeque  prorfus  con- 
tinuctur  ,  vt  antc  ;  tnnc  mutabitur  valor  cxprefllonis 
mutatusque  eadem  mcthodo  repcritur  vt  ante  ;  Sed 
et  absque  vllo  nouo  calculo  inuenitur  ronueitendo 
fimphcitcf ,  in  pricjri  exprefllone  ,  litcras  «  et  q 
paniLr  atque  litcras  m  et  p,  atquc  fic  aher  iftc 
vali  r  expreflioiils  fraiflionis  continuae  ,  quem  vocabo 
<r,  fcqucnti   modo  exprimitur, 

_  17  —  p  m  —  •'-I-V»p7m  -4-  (p  m     ._  n  —  /f)' 

O    _  _ 

Simul  autem  ipfa  argumcnti  natura  facit  S—  -^ — , 
quod  cx  (ola  cxprefll  ne  pro--'ofita  patet  ,  vnde  plu- 
ra  compenoia  in  caicuHs  locum  inuenient. 

§.  14-.  Singulje  praeccdentis  para^raphi  fbr- 
mulae  cgrrgie  coiurahuiiiur  ,  fi  omncs  numcratores 
ponaruir  vnitati  ncquaics ,  kruatis  denommatoi  ibus 
m  er  p,  quo  fado  talis  ontur  cxprefiTio  in  infinitum 
continuanda. 

Toni.XX.Nou.Comm.  C  - 

nt 


tl  DE     FKACTIONIBVS. 


■ 

m  -h  '_ 

P  -t-JL 

m 


P  -4-  '_ 

n  •+■  ttc. 


ijuac  fupponit  n-zzq  —  ly  hisquc    fubflitutis    valori- 
bus  ,  prouenit 


S  — — —  atque  0-:=: 


p 


t 


i!tque  fimul  ,  fi  inucnti  valores  S  ct  o"  fubftituan- 
tur  ,  S  —  — —  ,  quam  fimplicitatem  haud  expedas- 
fcm  ,  nifi  illam  praecognitam  habuiflem.  Caetcrum 
ct  hic  ,  quod  iam  fupra  §.  1 1.  coroU.  (0  i"  ^afu 
fimili  monui,  probe  dilpicicndum,  an  quantitates  ra- 
dicalcs  negatiue  fint  accipicndae  vel  affirmatiue.  Quo- 
ties  tcrminus  *-^  eft  negatiuus ;  atqu2  fi  fimul  fue- 
lit  tJ  '^pp  ^  fiuc  p  <  ^  fiunt  valorcs  S  ct  o"  ima- 
ginarii. 

Excfnpl.    1.  dt  m—i  ct  p=  2;  habetur 

1  _». »_ 

tnm  etiam  ,  refcfto  primo  mcmbro ,  fit 
I 

'  -^L  '  —0"  —  ~ '  -*-^' 

>   -f.   I  a 

r-i-t_ 

Qaod 


C  O  N  T  I  N  V  I  S.  i^ 

Quod  fi  Tero  in  ifto    excmplo    fraftioiics    continuac 
inutentur  iii  fraiflioncs  fimplices   (ucccfliue  pro  rno 
duobus ,  tribus  etc.  nscmbris  ,  fit  rucccfrmc 

C      T  II»  II  rfrt-     II»         ♦  II 

^    *•    5«    ♦•  TT«   Tj-     ^l-     U     »•  J«  »•   TI-  1«  , 

Tbi  iam  quintus  tcrrainus  proxime  acccdit  ad  vcrum 
iauentum  valorem  indicatum. 

Exenipl.  2,  Ponatur  nunc  ,  retcntis  reliquis  dc- 
nominatoribus  ,  p  —  —  5^  liabcbitur 

*-_,_  —S—'-^-^.  Refedoquc  primo 

•-*-!.  membro  oritur  pro  expreirionc 

focia  — -  -T-\-^\     _ 

*-*-i-  -<T- \    Quod  fi  fra- 

*  "*'t  _  ,/e.  (ftiones  continuac 

fucccflTiue  permutentur  in  fradiones  fimplices ,  hae 
faris  cito  conuergunt  ad  dctenninatos  vaiores  S  et  cr, 
etiamfi  pro  priori  rautatum  fuerit  fignum  quantitati 
radicali  praefixum  ,  pro  altcro  retentum  ,  cuius  rei 
ratio  peritiores  haud   effugicr. 

Exempl.  3.  Sit  porro  prr  —  4,  pro  qua  pofi- 
tione  vtrobiquc  quantitas  radicalis  euanefcit  fitquc 
S~+2  ct  0"  —  —  j.  fradioncs  autem  fimplices  pro 
hoc  cxemplo  oriuntur  fucceifjuc 

I.  ♦.  \.  \.  \.  ctc.  pro  S  et  -i.  -i.  -|.  ~\.  -/,  -  ctc. 
pro  cr  vtcrque  quidcm  valor  ad  praefcriptum  acce- 
dit  ,  at  lentius. 

Exempl  4,  Deniquc  ponatur  pzz.—  2  ,  quae 
pofitio  facic 

C  a  $  = 


10  DE     FRACTIONIBVS' 

S  —  ^~^-_±   vcl  —  I  -  V-  I   ac  a-zz  =-Lj±.^Lr^  • 

vtcrquc  vakir  iiTi.igiiiarius  efl  ,  vnde  coUigcndum  cft, 
fr.i(flioocs  firrplices,  fracc  osiibus  continuis  Uicccflluc 
fubilitutjs  ,  ad  nulldm  conuer^cre  valorein  fixum  , 
quod  quidcm  ^x  ipfib  (radionibus  fimplicibus  rcful- 
ta''t;bus  confirinatur,  vtpotc  quae  (unt  i.  2.  00.  o.  i. 
ctc.  pro  valore  S  fimul^ue  —  ^.  —  i.  00. o.— 1.  —  etc. 
pro  valore  cr. 

§.  15.  Eadem  ,  qua  vfi  (umus  mcthoJo  ,  pcr- 
tradlari  poterunt  (racliones  continuac  tcrtii  vcl  cuius- 
cunque  altioris  ordinis  ,  in  quibus  nimirum  eacdcm 
fradioncs  ,  codem  ordme  (ub  coJcmquc  figno  recur- 
runt  po(l  quamuis  perioduin  ,  fiue  ex  tribus  fiue  ex 
pluribus  fradionibus  compofita  fit ;  hanc  oblcruatio- 
nem  vnico  illuftrsbo  exeinplo  ct  quidcm  pauhim 
compendiario.  Proponatur  ncmpc  cxprcfiio  in  inii- 
nitum  continuata 

""-+--  —  s. 


P  -*-  L. 

'"  -+-  CtC. 


Repcritur  talis  acquatio  S  —  — '-±t!L 


,y)<; 


fit  ,  verbi   gratia  ,  ;«  —  i ;  p  1:=  2   ct  ;"  rr  3  ,  habcbi- 
tur  S  ~  — '  -t-  y^z  ^  qiii   valor  faciUima  appropinqua- 

tione  contirmatur.     (^uod  fi  vcro  a^Tumitur  r  — pzzm 
obtincbitur  acquatio 

mw;SS4-SS^-//i'S-l-wS— WW/4-1  vcl  SS-^mS-.i 

vlI  S  =  =^^f'-^'"'"  , 

prou- 


CONTINVIS.  fti 

pr->u'i  iaiicninus  §.  2.  Efficictur  etiam  vt  yalor 
cmorjens  S  fnt  pure  rationalis  ,  fi  affiimatur  arbi- 
traria  p  r=  -  ^  tunc  enim  fit  timplicitcr  S  =  ^— ^. 
Ponatur  ,  excmpli  gratia  ,  w  —  2;  p  —  —  ij  r—  i; 
Hc  expreirio  recle  dispofita  proueaiet 


t 

a-+-  ' 


I 

2  • 


-S=:l 


.^  etc. 
Quotuscunque  autem  fuerit    ordo    fradionum     conti- 
nuarum  ,    id   e(t  ,    ex  qiiotcunque  mcmbris  perioJus 
quaeu  s  compofita  fit,  valor  S  fcmper  aequatione  qua- 
drata  poterit  cxprimi 

§.  16.  Qui  praefatam  contulerit  thcoriam  cuni 
Euluria.vi  (viJ.  nou.  Commcntar.  Acad.  Tom.  XI. 
pa^.  28.)  fimulquc  cum  ea  ,  quae  extat  in  elemcn- 
tis  AlgebrAe  Eulsri  vel  potius  in  additionibus  huius 
operis  ,  inulta<>  pafTim  obleruabit  concinfiones  ,  egre- 
gie  coiifpirantes  ,  etiamfi  methodo  diuerlii  erutas  ; 
moium  autcm  nollrum  fuis  pcculiaribus  aliquanJo 
gauJere  pofTe  commodis  proxima  occafione  exponam. 
Impracfcntiarum  non  nlio  fine  ne^otium  iftuj  fufce- 
pi  ,  quam  vt  examinarem,  quibus  in  cafibus  cxpres- 
fion  s  fraclionalcs  infinitae  formnla  definiri  poflint 
finita  fiuc  a^cbraica  fiue  tranfcaidentaU  ,  cuiusmodi 
e(l  Brounkcriana  a  quadratura  circuli  pcudens.  Sub- 
fivlium  ab  induclione  expcdabam  ,  adhibitn  mct:  odo 
§.  §.   <5,  7,   8  £t  9  expofita  ;    (pcrabam  ir.e  peruen- 

C   3  turum 


tt  DE     FRACTIONIBVS 

turum  ad  f-iries  rccurri.ntcs  altiorum  ordinum  qua- 
riicn  teraiinus  gcncralis  (eniper  clt  in  pocclUte  ,  at 
fpes  mc  P-feilit  :  Vidi  potius  (]uid  non  fit  quam  quid 
fit.  Nouas  oirus  (lim  disiiuifitiones  ab  exemplo , 
poft  periodicas  fradiones  ,  fimplicilVimo  ,  ponendo  ia 
fingulis  fracliumbus  vnitatcm  pro  niimeratore  et  nu- 
meros  naturales  pro  dcnoniinatoiibus  fmgulis  fe  in- 
vicem  fubfequent.bus :  Nempe  fradlio  continua  hacc 
eft  , 


1  -f-  '_ 
♦  -t-  ■_ 

4    -f.  tK: 


ncc  piuo  legcm  progreflionis  fingi  poflTe  fimpliciorem. 

§.  i7,  Analyfin  pro  hoc  exemplo  fic  rurfus 
inrtitui  :  Commutaui  fracniiones  continuas  in  fimpliccs 
incipicndo  a  fradione  \ni  -  membri  indeque  progrc- 
diendo  a.i  fiacflionem  continuam  bimcmbiem  ,  tri- 
membrcm  ,  quadrimembrem  et  fic  porro  ,  hoc  mo- 
do  oblinui  fuccefTiuc  fequentcs  \alores 

,    5     7     j«    isr     sr»     fij)6i     S660     sie^»t     jjjsSt'     5r»#»jfi    ««.- 

T>    5*    i3'    ♦5*    S'S*    119»'    V9''''   *<»o«*    >4275J'    T*f9^ii'    >31i3j»S«   Clt. 

In  his  fradionibus  tam  numcratores  quam  dcnomi- 
natores  notabih  gaudent  proprietate  communi  ,  cuius 
opc  absque  \llo  ncgoiio  in  immenlum  continuari 
poteft  fradionum  progrefllo  :  Sint  lcilicct  fiue  in  fe- 
rie  numeratoium  fiuc  ia  fcrie  denominatorum  tret 
termini  contigui  A,  B  ct  C,  fitque  index  termini 
C  —  «  ,  erit  C  —  n  B  -h  A :  fic  quintus  numcrator 
157  fit  z^s^^ao-i-^  paritcrque  quiutus  dcnomi- 
nator  ^25  ^  5  ^»  i3  4-  ^o.  Gaudet 


C  O  N  T  I  N  V  I  S.  43 

Gauckt  prjcterca  iftn  fracflionum  feries  hac  pro- 
prictiite  vt,  fi  bini  tcrmini  qualescunque  p?r  cruccm 
multipliccntur  ,  ambo  produda  (oLi  vnitate  difforant, 
fllteinis  vicibus  in  exccffu  ntque  defcdu  :  Sic  fi  nu- 
merator  termini  noftri  dcclmi  multiplicctur  per  dc- 
nominatorcm  vndccimi  ,   prodit  numerus 

4343594984-81S20 
atquc  fi  numcrator  vndccimi  multiplicetur  pcr  dc- 
nominatorem  decimi  idem  oritur  numerus  fola  vnj- 
tate  au(flus  ;  lequitur  exinde  ,  frndiones  mox  ficri 
intcr  fe  tantum  non  aequales ;  confirmatam  habebi- 
mus  hanc  confcqueniiam  ,  fi  fradlionem  quintam  ^l^ , 
param  a  prima  remotam  ,  comparemus  cum  vnde- 
cima  ^'^'^{It  qiiae  vltima  eft  a  nobis  computata  ,  vi- 
debimus  fradionem  priorcm  (uper  alteram  peccare  ia 
exccflTu  at  vix  fenfibili  ;  Sic  igitur  acquiefcere  pote- 
rimus  praefato  valore  (|i!*'fi  fiuc  fradione  decimali 
0,6978.  Dubium  non  eft  ,  quin  detur  formula 
verum  valorem  geomctrica  accuratione  dcterminans  , 
conceffis  pracfertim  quadraturis  vcl  fignis  fummato- 
riis;  at  eius  inuentio  noua  in  calculo  inftituendo  r«- 
quircre  videtur  artificia. 


DISQVI- 


DISQVISITIONES  VLTERIORES 
DE 

INDOLE  FRACTIONVM 

CONTINVARVM. 

Audore 
DANIELE     BERNOVLLL 

§      I. 

Cum  nuper  ,  datii  occafione  ,  thcoriam  de  frajflio- 
nibus  continuis  rununarcm,  incidi,  "vt  fieri  ple- 
rumque  (olet  ,  in  aliquot  huius  argun  enti  proprie- 
tatcs  ,  qnae  vifac  fuerunt  notaiu  digniores  ,  qua^quc 
partim  in  fuperiori  transaifiione  cxpofui  :  quas  rcli- 
quas  fcci  exponam  in  pracfente  ,  non  quod  aliioris 
indaginis  eas  credidcrim  ,  fed  quod  non  nKinincnm 
fuiflTe  indicatas  faepeque  non  rinc  matura  diiudicatio- 
ue  intcrpretandas  putem. 

Vfus  fraiflionum  continuarum  faepifTime  rcqui- 
rit,  vt  in  fracftioncs  fimplices  permutcntur,  iia  \t  hac 
fiant  fucccffiue  aequalcs  fradionihus  continuis  inci- 
piendo  ab  vnimcmbri  inicque  pro^re.icndo  ad  bi- 
membrcs  ,  trimembrcs  et  fic  porro.  iHio  dcdi  hu- 
ius  praccepti  excmpli  in  priori  iransadione  §.  §.  6. 
\6  et  17.  Obfirnani  autcm  hac  dc  re  legulam  ge- 
neralcm  pro  fiMcflionibus  coutinuis  quahbubcunquc  et 
\tcunquc  Tariabilijus. 

§    2. 


C  O  N  T  1  K  V  I  S.  25 


f.   2.  Fn(fi:ionem 

ccrtlrurim  Tub  forma 

>    ccn 

fi 

dc 

rr.lo  gcncralifllira  ,  q 

uae   ita  fe  hnlet , 

y  +  d 

6~-h 

e 
T+f 

(p  +  ctc. 

huius  adcoquc  rr.cmbra  , 

quac  Yocabo  indlcef, 

funt 

c        b        c        d         e         f 

ir  T  '  y'T  '  T  '  (?■ 

etc. 

Abfit  autc.Tij  vt  dicamus,  rem  efle  merae  curiofitatis 
numeratores 

a.  b.  c.  d.  e.  f.  etc. 

gener;ilit£r  exprimfre  ,  cum  fufficiat  vnitatcm  pro 
fingulis  numeratoribus  adhibere.  Conusrtamus  fradio- 
ncm  continuam  in  fradionem  fimplicem  ,  pro  vno  , 
ducbus  ,  tribus  ttc.  membris ,  atque  fic  habebimus 
fucccfliue  fequentes  fradiones  fimplices 

a  a  e_  cty  -i~nc  a  ^y  S  -^  a  c^  -^  e  t  d 

iT'  iTg  -f-a*  a67-(-£i  7  -+-">.-'  <J  g  V  J  H-  075  -*-  <3  c5  _+-  d  «  d-(-  6i* 
c^y^l^a-.5i-^atdt-i-a%ye-^ace  j_ 


.     a%y  i  i-y-oyi  i-t-adt^a^a.t-^bui-t-a%ye-\-bye-^aie 

Apparet  ergo  ,  quam  fiididiofum  foret  opus  ,  hafce 
fr.i(ft:oncs  multo  \hcriorcs  profequi  ,  cum  tam  nu- 
ineratorcs  quam  denomiiiatorcs  continue  magis  ma- 
gisquc  flant  comi-ofiti :  dccima  iam  fraclio  numera- 
torem  habebit  cx  quinquaginta  quinque  mem.bris  et 
denominatorem  ex  oiftuaginta  nouem  comporitum. 
Tom.XX.Nou.Coram.  D  Atta- 


acr  DE    FRACtIONIBVS 

Attamcn  non  alio  fine  totum  Aifcipitur  negotinm  , 
qu:im  vt  fi-aftio  remotior  rcpeiiiuur  ,  quac  vix  dif- 
fcrat  a  fradtio.iibus  (equentibusi  hacc  cnim  natuni  cfl: 
fradionum  continuarum  inlinitarum  ,  vt  nifi ,  vcUiti 
dati  opcra  ,  indices  i-.  |-,  i-.  ctc.  varie  iutor(iucantur, 
ad  valoreiTi  conuergant  conflantem. 

§.  3.  Cum  igitur  non  minus  neceflTarium  fit 
quam  operofum  ,  vt  fradio  continua  ,  plurics  nouo 
membro  auda  ,  in  fradlioucm  fimplicem  conuerta- 
tur^  peroportune  mihi  contigit  compendium  ,  quo 
omnis  in  continuandis  fraiflionibus  fimplicibus  labor 
infigniter  fubleuatur,  ita  vt  currente  veluti  calamo 
noua  quaeuis  fradio  fimplex  formari  atque  confcribL 
pofiTit;  compcndium  iftud  gencrale  cft  ,  quacunque 
lege  fradio  continua  progrcdiatur  fiue  regulari  fiue 
pro  arbitrio  variata,  id  e(l ,  vtcunque  progrcdiantur 
indices  fra<flionis  continuac,  quos  vocaui 

c       b         e       d        e       f      f 

r  •  G  "  7  •  ^  •  £  •  *  ^   ' 

Sinc  duae  vltimac  fradioncs  fimplices    iam    in- 
ventae  ^   et  ^   atque  denotet    ^^    indicem    fradlionis 

N  vi.  '  '4' 

fimplicis  proxime  fubfequentis ,  dico  fore  hanc  no- 
■vam  fra(flionem  —  ^~^:  Igitur  tota  regula  pro 
inuenienda  noua  fracflioue  in  hoc  confifiit ,  vt  nii- 
merator  vltimac  fracftionis  muitiplicctur  per  dcnomi- 
natorem  noui  indicis  atque  numcrator  pcnultimae 
fracflionis  pcr  numeratorem  noui  indicis  :  Sic  crit 
aggregatum  produiftorum  acqiiale  numeratori  no.iac 
fra^flionis  fiue  ~P(p^-l\l/",  atquc  fi  cadcm  pianc 
opvriitiUncuU  rcpctatur    cum  dcnominatoribus  inucn- 

tis 


C  O  N  T  1  N  V  I  S.  fl7 

tis  Q  ct  N ,  habcbitnr  nouus  dcnominator  zz  Qj^  +  N/: 

intcgr.i     niitern     fupcruenicns     fracftio     fimplcx     erit 

Pjj-^-jir      f^^  aliud  nou  requiritur  ,    quam  vt  in- 

ter  lcnbendum  praememorato  modo  literae  0  et  / 
iuxta  ponantur.  Secundum  hanc  normam  fiet  in 
praeccdcnte  paragrapho  fratftio  runplcx  lexta  — 

Pnicftantillimum  vtique  efl;  hoc  compendium  ,  fin.ul 
autem  (atis  obuium  ,  yt  mihi  \ix  pefuadere  poflim, 
a  nemine  aihuc  fuifle  ante  me  animaduerfum.  Quod 
fi  vcro  ,  relKftis  cxprtflionibus  analyticis  ,  ad  exem- 
pla  pure  arithmctica  ct  numerica  dcfcendamus,  quae- 
\'is  fraclio ,  cx  folo  \no  numeratore  et  dcnomina- 
tore  conllans  ,  fimplicillimam  poflulat  mnltiplicatio- 
ncm  per  numcrum  /  et  C|). 

§.  *+.  Expofito  non  obfla.nc  adminiculo  ,  tae- 
diofus  requiritur  calculus  ad  fradioncm  fimplicem  re- 
iDotiorem  determinandam,  quoties  indices  -.  ^-.  ~.  etc. 

maioribus  numcris  iisque  in  piogreflii  fiio  valde  di- 
vergentibus  exprimuntur.  Arripio  hanc  occaflcnem 
pauca  quaedam  dicendi  dc  famola  fracflione  continua 
Brounchcriana  ,  quae  omnium  prima  ab  Illuflri  Au- 
(ftorc  in  fcenam  produdta  fuit.  In  hac  fradione  con- 
tinua  ,  indices  ^  .  L.-l.  ctc.  ita  progrcdiuntur 

..  j  .-.-.-.  -^.    ca. 

Ipfa  antem  fradio  continua  in  infinltum  produda  iii- 
dicare  dicitur  cxceflum  quadriUi  luper  circulum  ei 
infcriptum  ,  vnitate  exprcfllim  :  At  certe  fradiocon- 

D  2  tinua 


it  r>E     FRACTIONIBVS 

tlnua  rcfultans  pro  aliquo  indicum  numero  hrc  la- 
borat  incommcdo  ,  \t  iion  lolum  ad  mngnos  proti- 
nus  perduc2t  numeros  ,  fcd  ct  ipfi  \:^lores  lento  ac 
vago  gradu  ad  \crum  accedant  ,  cuius  rei  ratio  po- 
fita  eft  in  magna  diuergentia  indicum  ;  fola  ('pcciofa 
rouitatis  gratia  cxprefllonem  Brounchcrianam  ab  obli- 
vione  cripuit :  Cum  autcm  non  liceat  absque  maxi- 
nio  labore  fradionem  continuam  ad  magnum  termi- 
riornm  numerum  euehere  ciusqi:e  \alortm  exploia- 
re  ,  WaUifiUi  corrcdtionem  adhibuit  pro  \liimo  inci- 
ce  5  in  quo  fubfiftere  placet  ,  ct  quidem  pro  cius  de- 
nominatore;  hacc  corrcdio  in  eo  confiflit  ,  \t,  loco 
binarii  ,  in  \himo  denominatore  ponat  binarium  au- 
ftum  radice  numemtoris :  V  i  huius  corrcdionis ,  fi 
in  feptimo  indice  fubfiflere  hibeat ,  hic  faciendi:s  crit 
—  _il2_  vel  zz.^  mutato  denominatore  2  in  15. 
Ergo  in  hoc  exemplo  feptem  indices  vcricre»  criint 

T         5         )5        49         «1  1:1         1*9    , 

Hi  indices  fubminif\i-ani  fcquentcs  fucccdiuc  fraw^lio- 
nes  fimplices 

s  •   Tj   •   75  •   78»  •   7734  •    ««iS5f   •  iaiiiii   j 

quarum  vltima  etfi  corrcda  valde  adhuc  dcflcit  a 
vcro  exprcfllonis ,  in  infmitum  continuatac  ,  valore. 
Quod  fi  vltimae  fradioni  vnitatem  addamus  ,  habe- 
bimus  proxime  valorem  quadrati  circulo  circum- 
fcripti  ,  pofito  ipfo  circulo  acquali  vnitati  ;  vnde  de- 
ducitur  ratio  quadrati  ad  circulum  infcriptum  vt 
3683780  ad  2971  loi,  quac  iuxta  minor  ert  iii 
ratione  proximc  vt  35?  ad  40.  Si  in  f;ptimo  lermi- 

no 


C  0  N  T  I  N  V  I  S.  2^ 

ro  con-ccllo  (qua  indcx  nntnralis  li?  mutatus  fuit  in 
i^)  non  ndhibita  fuiflct ,  \Itiina  fradio  fimplex  oritu- 
ra  fuiflTet  -'i^'s!s  j  cx  qr.a  dcducitur  ratio  inter  qua- 
dratum  et  circukim  \t  2027025  ad  15^89:10  qLine 
ratio  nunc  p:ccat  in  exceflTu  in  rntionc  proxime  vt 
27  ad  i6.  vnde  concludo  exprenionem  continuam 
Bronnchcrinnnm  infinitam  pcr  fe  tardifTime  ad  fco- 
pum  tcndcrc  nec  corrccflionem  vltimi  termini  a 
WalllfiO  defcriptnm  cfie  admodum  efficacem  :  nliani 
cxponam  corredionem  ,  quae  vifa  mihi  fuit  haud  pa- 
rum  cfiicacior  et  quae  quodammodo  inferuire  pote- 
rit  in  confirmntioncm  fingulnris  theorematis  Broun- 
chcriaii.  Coniiertnmus  fracliones  fimplices ,  omiflTa 
corrcdione  Wallifiana,  nempe 

•    •  Tf  •    7*    •  ?'*   •  '77li  •    liSiir  •.  isaB^ii 

in  frndiones  decimales ,  quae  erunt 

o,  5C00;  o,  15385  o,  38i<J  j  o,  ip77;  0,3441; 

o,  2181  ;  o,  3257  ; 

theorcma  autem  Brouncherianum  indicat  fracTtioneni 
0,2732,  ad  qiiam  progrefllo  fraftionum  fimplicium 
conucrgerc  et  denique  tantum  non  attingere  debc- 
ret.  Q.uis  huiusmodi  approximationem  dignam  labore 
exirtimct ,  cum  vel  vkimus  terminus  tam  enormi- 
tcr  a  vero  \alore  recedat  ?  Attamen  fi  inter  fingu- 
los  binos  terminos  contiguos  lumantur  media  arith- 
mctica  ,  hnec  facile  cum  theoremate  conciliabuntur ; 
tcrmini  intermeJii  fic  le  habebunt 

0,3-595  0,i577|  0,28965  o, 27095  0,281150,2719. 

D  3  Scpa- 


30  DE     FRACTIONIBVS 

5cp.irentur  hi  termini  in  duas  chnes ,  alteram  pro 
tcr.riinis  ordine  fiio  impnribus ,  akeram  pro  paribus: 
priina  clalils  conllabit  cx  terminis 

o,  32^9  ;   O5  ^895  i  o,  iSii  ; 
fecunda  ex  terminis 

o,  ^577  ;  o,  2709  ;  o,  ^7^9  ; 
In  vtraque  claffc  valorcs  pcrfpicuis  pafiibus  tendunt 
ad  fraclioncm  o,  2732  ab  IlUidri  BiOunGhcro  pro 
quatuor  fijiuris  erutam  ,  et  quidem  dercendendo  ia 
prima  claffe  ,  afcendendo  ia  fecunda  j  praefereuda  au- 
tcm  efl  daflis  fecunda ,  quia  eias  tern^.ini  multo 
minus  variabiles  Aint  ,  atque  fufficiunt  in  ilia  trcs 
termini  in  confirmacionem  thcorematis ,  cuius  de- 
rnonrtracio  diiecta  tot  Ipinis  obfita  ell.  Quod  li  au- 
tcm  medJa  arithmetica  inter  fucceffiuos  valores  fra- 
dionum  fimplicium  theorema  confirmant ,  idem  quo- 
que  confirmatum  habebimus  pro  progrtlhone  fra«ftiO' 
num  fimplicium  ipfuum,  quia  tandem  fiunt  inter  Ji 
;aequa]ps.. 

§.  5.  Qnjc  in  praegreflli  difTertatione  §.  §.  <J 
et  17.  expofal  ,  cafus  funt  particulares  regulae  no- 
flrae  generjlidimac  ,  §.  3.  huiutce  poflcrioris  trans- 
a6ionis  ,  expofitac  :  haec  regula  gencr;;lis  eft  pro 
omuibus  qualibuicunque  fradionibus  continuis  ,  ad 
indiccs  arbitrarios  confirudis ,  iisque  fiuc  abruptis 
fiuc  in  infinitum  continuatis.  Ergo  progrcfiio  fra- 
«flionum  fimplicium  in  gencre  tranfcendenter  recur- 
rens  efl  ,  quia  indices  habet  varibiles  et  pertinst  ad 
fccundum  ordincm  ,    qnia  quiuis  terminus  cx  duobus 

prae- 


C  0   ^i  T  I  N  V  I  S.  31 

praeccdentibus  conflruiturj  ncmo  nutcrn,  quod  fciam, 
docuit  cxprimcre  tcrminum  gencralcm  in  huiasmo- 
di  fcricbus  tranlccnjciucr  rccurrcntibus  ,  niii  (ludiofc 
cfiiciatur  ,  vt  indiccs  vel  recurrant  ptriodice  vel  coa- 
flaiuer  iidcm  permancant ,  quos  caius  in  prima  no- 
ftrj  diffcrtatione  pcrtracT:auimus  et  quos  folos  efls 
exillimo ,  qui  fractionem  contiuuam  in  inruiltuiTi 
continnatam  rcddant  mutabilem  in  expredioacm  fi.- 
iiitam  fiuc  al^ebraicam  fiuc  numericam.  Praetcr 
hofce  cafus  nihil  habemus  nifi  adpropinquatioaes  aJ 
Tcrum  quaefrtum  valorem  ;  tunc  ftutcm  dijquiren- 
dum  eft  ,  vbinam  confultius  fit  abrumpere  operatio-' 
nem  et  quaenam  corrccflio  adfifberi  polHt ,  minori 
labore  determinanda  ,  fi  accuratiorem  rei  dctermina- 
tionem  defidcremus :  Atque  in  hoc  negotio  rite  con- 
ficiendo  plurima  colligere  licct  adminicula  in  para- 
grapho  nortro  tcrtio  ,  fi  attentius  perpcndatur, 

§.  6.  Si  intcr  mcmbra  Vcl  indices  frasflionis 
continuae  aliquis  occurrat,  cuius  numerator  fit  —  o, 
hic  cafus  ctfi  pcr  fe  clarus  aliquam  meretur  atten- 
tionem.  Puta  frndionem  continuam  fuccefTiae  mu- 
tatam  in  fractioncs  fimplices  aequiualcntes ,  quarum 
duae  \Itimae  fint  rurfus  -L  et  L  ,  fuque  -^  i  iJex 
proxime  imminens  ,•  erit  proxima  fraclio  fimnlcx 
^K^IrS?  (^-  30;  pone  f-o,  habebis  ^.  Dein- 
ceps  nouus  fupcrueniat  index  qualiscunque  -  ,  habe- 
bis  proximam  fraclionem  fimpliccm  relukantem 
—  OT"^^/:'  P*""  ^^^^  feqoentc  indicc  qualicunque  ^, 
oritur  fcqueas  fraclio  fimplex  - p,<P>^ ."•_-+- p ? m. -h ^  ^-^  p,c 

omniuin 


31  D  E     F  R  A  C  T  I  O  N  1  B  V  S 


o 


omnium  linrum  frac^^ionnm  fimplicium  communis 
efl:  valor  q;  nec  adeoque  porro  variabilis  ,  quacun- 
quc  lege  variabili  indices  progrediantur :  Sint  ,  vcrbi 
gratia,  indiccs  pro  frndione  continuii  \.  l.  '.  i.  ?-.  i  ctc. 
Ex  his  formabuntur  frii(ftioncs  fimpliccs  ad  ducftum 
regulae  §.  3.  fcquentes  \.  \.  |.  *.  \\.  \%  ctc.  Ideni 
ctiam  fequitur  ex  fradlionibusTimplicibus  f  2.  cx- 
pofitis ;  fac  ibi  <"  — o,  fient  fingulae  fracliones  fim- 
plices,  quae  pofl:  fecundam  fequuntur  ,  ipfi  fecundac 
aequales  fiuc  —  ^-g  _^  ^ ,  fi  ,  deletis  terminis  in  qui- 
bus  eft  litera  t* ,  numeratorcm  ct  dcnominatorem  di- 
■yiJas  pcr  eorum  maximum  communem  diuiforem. 
Sic  pro  fradlione  fimplici  fcxta ,  quae  pnragrapho 
tertio  plenifiime  cxpofita  cft  ,  dcletis  praefatis  tcr- 
niinis  .  oritur  fradio 

■■e47Jf^-+-i'V5fCl>^ae6  t$H-*'*«$H-«6'Vt'$'-f-t'V<''f  H-ae757H-i'7«'/-+-o65-'H-^'j7' 

in  qua  tam  numcrator  quam  denoniinator  commu- 
nem  habent  diuiforcm 

facflaque  diuifione  oritur  fimplcx  fradio  — g— -^.  Egregie 
igitur  congruunt  cxprcfilones  nofirac  ipii  argumenti 
naturae.  Sequitur  ex  iudc  quod  error  ,  qni  cx  ab- 
ruptione  fradionis  continuas  commitcitur  ,  tanto  mi- 
nor  crt  ,  quanto  minorem  habuerit  numeratorcm 
indcx  proximus  quantoque  maiorcm  denominatorem. 
Cactcrum  hanc  annotationem  vnice  in  confirmatio-  • 
uem  formulae  noftnic  §.   3-  adiiccre  placuir. 

§    8.  Aliam  induit  frccicm    nrgumcntum    ro- 
flrum,  cum  ictcniis  deuominationibus  in  pracccdcntc 

pjr^iira- 


C  O  N  T  I  N  V  I  5. 


j  ■^\ 


parngrapho  aahibitis  poiiitur  (J)  —  o  ,  id  cfl:,  cr.m  iti 
indice  proxime  immincnte  ponitur  dcnominacor  :i=o. 
Sint  rurfus  pofl;  duas  vltimas  fraclioncs  ,  qiuis  voco. 
fimpliccs ,  77  ct  Q^  trcs  iiidices  proximi  ^- ;  j;^  et  -, 
ponaturquc  Cf)  zz  o  ,  mnnentibus  caeteris  qualibuicua- 
que  ;   prouenicnt  iftde  fequcntes  fraeT:iones  fimplices 

M_    P_     M/    M/_X-r-  V_l  W  f  X  u  -+-  P  ?  n.  -t-  M  f?n, 

N  •  Q.'  N/'  NVX-f-U,i      ^^-     Nj  AH.  -t-U-t  (A -»- Nj  «r 

Intelligitur  cx  dnabus  \ltimis  frndionibus  ,  qunrc  \n 
tertia  fratftione  retincndus  fit  ficlor  communis  /; 
ratio  ncmpc  el%  qnoJ  eiTcntialitcr  concurr.it  ad  for-, 
mandos  tcrminos  fcquentes ;  poftquam  autem  fraclio- 
nes  conrtrudae  funt  ,  tunc  demum  in  alios  vfus  li- 
cct  illas  ad  minimos  terminos  rcducere.  Exindc 
■yidemus  ,  pyimo  quod  \alor  nouae  fradionis  fimpli- 
ci?  5  indici  rcfpondentis  ,  cuiiis  dcnominator  ponitur 
acqu.Uis  nihilo  ,  fit  :=:  n"  ^"e  —  fradioni  flmplici 
ante  -  praccedcnti  ;  fic  fi  fcxtus  index  denominato- 
rem  habeat  nihilo  acqualem  ;  orictur  valor  quartae 
fradionis;   fccundo   quod  eadem   noua   fraiflio  non   fit 

exprimenJa  p;r  ^-  fed  pcr  -^7  ,  multiplicando  (ci- 
Itcct  eius  terminos  per  numcratorcm  indicis  uoua^ 
fradioni   refp  ^ndenti?.  r 

;  lam    vcro    qnaeritur  ,    qnomodo    ambo    haec 

praeccpra  conueniant  cum  f  rnuilis  §.  §.  2.  et  3. 
§xh;bitij:  id  vt  appareat  vtar  formula  paragraphi  tertiij 
in  qna  fiipponam  (|)-o;  pro  hac  fappofitione  con- 
trahitur  formula  g-^neralior  in  hanc  fp.cialiorem 


cuins  \alor  ,  tacta  diuifionc  per  /,  ell    quartus    tcr- 
Tonj.XlX.NciuComm.  E  minus 


3+  DE     FPvACTIONlBVS 

mintis  §.  2.  expnfuus.  '  Sic  igitur  exprefTioncs  no- 
ftrae  ^eneralcs  egregic  inter  le  eohaereiic^  venim  vt 
et  alteram  part.m  confirmemus  ,  nunc  ruppoi;cmus  • 
deiiominatorcsn  y  ,  pro  tertia  fracftionc  rimplici  , 
aequ.ilcm  nihilo,  vt  et  aliqnot  terminos  Itquentcs 
cxami;;are     pofllmus  :    fradtO    fimplex    tercia     §.     2. 

hacc  cft  a-^V-Z^"7-t-a~  i  P«ii'>tur  y  —  o  ct  prodibit 
tertia  fradiio  fimpiex  ^,  cuius  valor  e(i  —  ^  atqus 
adeo  -^z.  primae  fraftioni  fimplici:  fi  vherius  perga- 
tur  ,   habel)itur  pro  quarta  fratftionc  ,  pofito  y— o 

cJd^-t-ot"-'  '-^~i'  'Sic  igitur  habemus  pro  lecunda 
fracli-^ne  ~^_^o'i  P'"'^^  tcrtia  |y  atque  pro  quarta 
iTT^iTT^I^  »  ^'c  hae  tres  fradiones  rediflimc 
relpoiident     reguiae    noUnie    §.     3.    explicatae  ,     fe- 


a  c 


cus  atquc  ficrct  fi  pro  tcrtia  fradione  -^  poncre- 
tur  fimplicitcr  "--,  quia  poft  duas  fractioncs  fimpli- 
ces  coiitiguas  -£^^^0  et  ~  haec  cadem  regula  dat 
pro  fcquente  fr:i(ftione  fimplice  ^rr^p^TJ^AT»  cuius 
■valor  non  idem  eft  cum  vero  valorc  a c a  -^. ax,T->t^d » 
vnicus  e(l:  calus,  in  quo  conueniunt  ainbac  exprcilio- 
res  ,  nempc  cum   ponitur  c  —  \. 

Ei:  hifce  animaduerfionibus  intellginuis ,  qiiod 
fi  fradliones  contnuias  fuccefrme  omnes  trnnsformare 
Velimus  in  fradiiones  fimpliccs  eumquc  in  fintm 
quamuis  fradionem  fimplicem  formarc  ex  duabut 
pracccJentibus  frac1:ionibus  iami-.un  inuentis  ,  fccun- 
dum  regulam  nollram  §.  3.  dcicriptam  ,  quod  ,  in- 
quam  ,  non  liccat  fradioucs  fimphccs  rcfult.intcs    ad 

niiuo- 


C  O  N  T  I  N  V   I  S.  35 

rr.inorcs  terminos  rednccrc ,  ctinmfi  id  fieri  poffit. 
H:KC  omnia  vcnim  thcoriam  de  fradlionibus  continiiis, 
fiiie  abruptis  fiue  in  iniinitum  pro:;rcdiciitibus  ,  fub 
forma  geu(.r:iliflimii  fpc^flatam  illuflraut. 

$.  8.  Vnum  fupereft  hac  occafione  minime 
filcntio  praetcrniittendum  :  ncmpe  vt  omnis  circum- 
fp-tflio  adliibcatur,  quando  indiccs  occurrunt  ncgatiui. 
Si  aliquis  datur  index  negatiuus  ,  difpicicndum  erit 
an  negatiuus  ponendus  fit  ob  numcratorem  ncgati- 
\um  pofito  denominatore  affirmntiuo,  an  <  b  dcnomi- 
ratorcm  negatiuum  pofiLO  numeratorc  afRrniatiuo ; 
fin  in  fradlione  continua  abrupta  vkimus  indcx  fue- 
rit  ncgaiiuus ,  vterque  modus  eodem  recidit ,  at  ali- 
tcr   le  res  liabct,  fi  dc  aliquo  indice  intcrmedio  (crmo 

fit  5  tunc  cnim  intcr  fe  difFerunt  frr.dicnes  -— ^  ^^  — /» 
non  pcr  fe  (ed  ob  diucrfitatem  quam  feqiientibus 
rnembris  ni  fradlione  continua  iniiciunt  ,  igitur  quis- 
quc  analyfia  rem  omncm  accuratifilme  fccum  deter- 
ininet  :  optime  extricabimus  quacflionem  per  exem- 
plum. 

Scrmo  fit  de  fecunJo  indice  g-  ;  fi  quis  hunc 
indiccm  rcduccre  \elit  ad  duos  trientes  negatiuc 
fun  ptos  ,  nonduni  fatis  fuam  fcntentiam  aperuit;  an 

ponet  ^l  an  —^  \cl  cticm   — -    \cl  — -  ?    Singuli 

c.ifus  pro  rc  nati  locum  h/bcre  pofTunt  acque  ac  in- 
rumeri  alii  ,  ■■luandoquidcfTi  nihil  impcdit  ,  quomi- 
nus  litcris  b  n  5  numcros  fr:i(flos  lubfiituan  u> : 
igirur  ,  \t   tolbtur  omnis   ambi-uius,   rtquiritur  vt 

h   a  pro 


z' 


35  DE     FRACTIONIBVS 

'pro  quoiiis  indice  tam  numcrator  quam  dcnomin.itoTi, 
vinis.]U!sqiie  cum  fuo  vcro  figno  fimulque  cum  prae- 
fcriptis  tcrminis  ,  vt,  inquam  ,  haec  omnia  rite  in- 
diceatur  et  quidem  tam  ratione  fraiflionum  per  ie 
■affirmatiuarum  ,  quam    negatiuarum  ,    quand.iquiJe  m 

-etiam  inter  fc  difTtrre  cenfendi  funt  indices  ^-g^^^E^t 
Poftquam  finguli  indices  iioc  nojo  exacTte  fiicrun 
praefcripti  ,  crunt  ,  in  fradione  continua  formanda 
fingula  menibra  figno  rffirmatiuo  intcr  (e  conn{d:nca, 
Sic  fi  pro  fradione  formanda  tri  -  mcmbri  propo- 
nantur  tres  indiccs  i.  "^.  \  ,  fiat  «  =^  i  ;  a  —  i  ; 
bzz.—  2;^— ^-^c  —  2.  et  V—  I  formabiLuiuue 
fradio  continiia 


3  > 


*   "*"—  ,  cuius   valor  — 

quem  ctiam  formula  nollra  -^^^rFv-Hrr  (  §•  ~) 
rccle  indicat  ;  at  fi  indiccs  propunatur  a— i  ]  a-i; 
^—2,;  g  — —  3  j  f— 2  et  Y— I  ,  formabitur  fradio 
continua 

— '  -+-  ^  cuius  valore  nunc  rr  —  i  , 

quem  rurlus  eadem  formul.i  nofi:ra  optime  inJicat  ; 
{[  porro  indiccs  fint  formati  cx  valoribus  a  —  i  ; 
am;  Z»rr-2j  6=^-3;  (^' —  ^  "  y  =z  i  for- 
mabitur  fracT::o  continua 


1  H 2 


P  qua5  efi  rr:  j-  , 

idcm- 


C  0  N  T  I  N  V  I  S.  37 

idcmque  valor  deniio    ex    forinula    allegata    oritiir  , 
ciim  tamcii  fiaiftio  co;itiirLiji 


'  "^  ~   fit  r=>    fiiic    immediate    rurata  ,    fiac 
per    formulum    aeftimat;i  :   Aliiis  rurfLis  valor   oritiir 
fi  rctcntis  caefcris    d^jioairnationibus    ponatur     h  —^ 
et  S  ~  I ;  Itj  pro  fraclione  continua  liabemus 
I  ; 

^  +  L 

—  cuius  valor  =:  i^r  » 

qnem  iterum  exhiboi:  forraula  uoflra  fub  iisdcm    dc- 
nominaiionibu?. 

§.  p.  Ncc  dum  fic  omnibus  libcramur  anr.bi- 
guitAtibus  ;  poftquam  enim  pro  quouis  indice  frac^io- 
nali  ,  tam  nuir.crator  quam  dcnominctor  ,  vuusquis- 
que  cum  vcro  fuo  fiijno  fiue  ofHrmatiuo  (iue  nega- 
tiuo ,  fuerunt  probe  dcfiniti  ,  iiifuper  definicnduni 
crit  aa  talis  fraclio  fit  alfiimatiue  vel  rcgatiue  acci- 
picnda.  Nosautem  in  praefente  pcrtradlatione  qucm- 
ifis  indicem  (ub  figno  affiirmatiuo  adhibuimus  ita  , 
Tt  in  (raclione  continua,,  vnusquisque  numerator  (lib 
figno  -f-  additus  fit  praeccdcnti  [dcnominatori  ,   cum 

-tamcn  indici  fignum  negatiuum  praefixum  cfTe  prflir; 
fic  index  ita  fe    habere   poten    —  (r)    ^^^    ~  (  "~s  ^ 

'vel  —  (  3i"  )•  I"  huiusmodi  cafibus  liccbit  pracfatos 
indices  transformare  ,  absque  vlla  laefione  valoris  pro 
fracftioue  contioua  ,  modo  dcnominator  in  indice   ni- 

E3  bil 


35  DE     FRACTIONIBVS 

hil  mutetut ;  trjnsformatio  in  eo  confiftat   -vt   pona- 

tur  _j_  — g  ;  -f-  r  i  H-  ^  i  qi^o  ^-^^^'  omnia  aJ  hy- 
potheies  et  dcnoininationcs  noflras  parngraphi  (ecundi 
reduifla  habebimus.     Sic  fradio   continua 


paritcrquc  fractio  continua 


7 


Inde  deducitur  regula  ,  indices  fradionalcs  ita  fcm- 
pcr  cffc  pracfcribendos  vt  in  formanda  fraflione  con- 
tinua  fmguLie  fradioncs  iub  figno  affirmatiuo  inter 
le  cfTc  conncdlcndas  in  anteccflum  fupponatur  ;  hacc 
autcm  fuppofitio  nihil  demit  vniuerlalitati  thcoriac 
noftrac  femperque  locum  habct. 

§.  lo.  Vix  fitis  proedicari  potcfl  neccfTiras  , 
quae  pnftulat,vt  non  folum  ad  valorem  fradioiiis  fcd 
ct  ad  formam  eius ,  tam  ratione  fignorum  quam 
terminorum  attendamus:  Qui  indices  frndionalcs  for- 
mant ,  quorum  finguli  num.cratorcs  vnitatc  cxpri- 
muntur  ,  hi  minimam  argumcnti  particulam  cxhau- 
riunt  ,  imo  facile  (e  in  errorcm  praccipitanr,  quando 
theorcma  no'Irum  paragraphi  tcrtii  adhibeut  ad  va- 
lores  fradionuii)  continuarum  fucccfiuic  dtterminan- 
dos.     Hinc    ohferuationcm  excmplo  illuflrabo, 

Troblcina.  Quacritur  prcgrcfllo  indicum  fradio- 
nalium  tals  \t  fraftiones  continuae  inde  formatac 
fuccefliuc  valores  obtineant ,  qui  ita  progrediantur 
l.  2.  l  ^.  ^  *.  ctc.  Sint  indices  quacfiti  l  i  y  j.ta)-  ^^ 

for- 


C  O   N  T  I   N   V  I  S.  3p 

formabitur  iiide  fraclio  contintia  , 

I 

^  ^  -^  +  etc. 
cuius  valorcs  fuccclluic  ponendi  erunt  nequalcs  .'.i-*.^  ctc» 
hinc  deducitur  a  ~  2  ,  S  rz  —  2  pro  duobus  rermi- 
ni'^  initiLilibus  :  ex  his  llt  pro  tcrtio  termiiio  (  §•  3.  ) 
ty ^u.  —  i  liue  y  ~—  2  ;  deinceps  pro  termino 
quano  ■'  f  "^■-  r=:  *  (cu  0  —  —  2  ctc.  Sic  indices 
quiicfui  ^  I  V^t-^-  ^^^-  proueniunt  ^.  -;.-'  ::^.j!.~  etc. 
iplaque  fradio  continua   hanc    induic    formani 

— i  -i- .' 

— » -+- .« 

— i  -*-  _» 

-'  -^  etc. 

quac  fucccffiue  fequentes  fubminilirat  valores  feu  fn» 
(Ilioncs  fimplices 

I       I        ?        II       JO         fO  j. 

»•    3*     ?•     IS      4**     11  1«       >-'•*-• 

atque  hi  valcres  planc  funt  diucrfi  a  valoribus  pro* 
pofius  i-.  1. 1.  *  j.  f.  etc.  Errorcni  proditurum  non 
obfture  prouideram ;  vcra  obtinebitur  lolutio  ,  fi 
qUcicfiti  indiccs  gcneralitcr  cxprimuntur  iii^qife  vta- 
rr.ur  ad  normam  §.  3.  de(cr]ptam  j  fint  fcilicet  in* 
diccs  fradionnlcs  quaLfiti 
^    h     c    d     e    f       .. 

a  •  r-  7  ■  «■■  r-  (j  '^'•'" 

quorum  ftitim  duo  priores  vulg.iri  calculo  defermi- 
nentur  qui  dcinccps  docebnnt  tam  nnmeratores  quam 
denominatorcs  cum  veris  eorundcm  fi^nis,  hoc  moJo 

inue- 


4D  D  E     F  K  A  C  T  I  O  N  I  B  V  S 

inucnituf 
a—i  ;  b—-i  ;  C—-1  ;  dji—i  ;    e—~i  ;  f=^—'^; 

fin2;uli  aiitcm  dcnominatoUwS  fuint    —  z  j    funt     ita- 
que  veri  indices 

i_  zzl  rr_i.  izl  -rL-l  etc. 

atque  adeo  fr.i(flio  coiitinua  haec  crit 

24-—.  ., 

2  -+-  — » 

s  -t-  etc. 

cuius  fucceffiue   valorcs    Ie(;undum    pracfcriptam    Ic-r 
g-m  funt  II  l  *,.  l  |.  etc. 

Qiiod  fi  vcro  ,  cakulo  vul^ari  absque  fubfidio 
paragraphi  tcrtii  ,  finguli  numcratores  ponantur  —  i 
atque  fucccfliue  determincntur  dcnominatorcb  ^  rcpe- 
riuntur  \cii  indices  alitcr  cxpredi  ,  ncmpe 

"      L, i  —,  1,1.. ^  etc.  ■    ' 

j  *  —  2   2    ■ —  I   2    —  2 

tuncque  fradio  continua  fub  alia  formn,  quamuis  ae- 
quiuaUntc  ,  talis  ubtinctur 


in  qua  denominatorcs   fignui,n  altcrnant. 

§.  ir.  Scquitur  exinjc  |iaiu&mQdi  ■  fra^Ttioncs 
continuas  a  po/lerlori  formari  p^fiflc  ,  qunc  pio  quo- 
ttrhqne  n»om^/rorum  riumero  dato  praefciiptuin  <'bti.- 
lieant  valorcni  ^  fi  in  pracfiito  cxempio  numcru,.s 
HUmbrofum  dicatur  N-,  trit  \alor  fi;u;1iuuis  cour 
""■•■  t.nuac 


C  O  N  T  I  N  V  I  S,  41 

tlnnac  :=— ^^ —  atque,  fi  fiicrit  infinita  ,  afTurgct  ad 
\ni[;uem  ,  ijuod  coDforme  e(t  cxcmplo  qiiarto  pnra- 
gni.'hi  decMiii  prioris  difTcrtiuionis  ,  rekiflo  cnim 
pniTio  menbro ,  quod  reliquum  cl\,  fit  ——1;  ergo 
funiina  fiiiclionis  coiuuiuae  in  infinitum  continnatac 
{\t  zz  -^  zz.  i.      Sic  quoque  pro  "valoribus  (uccclli- 

■^'''  !•!  5  f-a-A  fiiint  indices    fradionales  t.t-i.{.t  i etc 
Pio  \aliribiis  i- 5- 1.  ?.  |  etc.  repcrientur  indiccs 
i_.  --.  ^.  - '-  ctc. 

qni  fr.idlionem  conrinuam  in  infinitum  extcnfiim 
furn-.anc 


"Vt  I  gi  praefcriptae  conforme  cft.  Si  velis,  \t  rc- 
currentes  valores  prodcant ,  J.  |.  j.  |.  i.  |  ctc.  j  afluiues 
indices  j.  |.  g.  l  5  5  etc. 

Qiuccunque  fingatur  lex  ,  qua  valorcs  in  fcric 
continua  pro^redi  ponuntur,  fi  ifta  lex  talis  fit,  \t  tcr- 
iliinus  infinitefimus  e^inde  intelligatur,  erit  fr.i<ft;o  con- 
tinu:i  in  infinitum  extenfa  prac.fiito  term:no  infinitefimo 
aequ;ilis  et  quia  non  dari  fradioncs  cortinuas  infini- 
tas  exiflimo,  quarum  valor  al^el^raice  determinari 
p(>frit  praeter  illas,  quarum  indicts  fradionales,  ccrto 
modo  ,  recurrant;  oportet  ,  fi  icdie  iudico,  vt  pro 
huiubmodi  cafibus  ,  quaefiti  indices  ftmper  defuiaut 
ia  tcrminos  pcriodice  recurrcntcs. 

§.    12.  Si  quis    intcgram    iiirc    tlieoriam     no- 

flram  confcrre  velit  cum   ea  ,  qnam   illnflris    yco.aie- 

tra  ,  Leo-.karJus  Eiients  expofuit  in    rofis  comiven- 

tari^  tom.  XI.    pas;.    33.    et  fcq.    ambas    metliodos 

Tom,XX.jNou.Coinin.  F  iioilra» 


4a  DE     FRACTIONIBVS 

noftras  vaLle  diuerdis  quidem  at  miniTie  cnntrarias 
dcprehcnjet,  fiinulqiie  intclligec,  quaiii  neccfle  rit,  vt 
iujicibus  tradionaliDUs  vtamur  generaiius  exprellis. 

Praelaudatus  Audor  multa  hnbet  de  eirlutmie 
tadk'tni  qiiadratavwn  per  fra&iones  comimias ,  at(]ue 
mcti.ojum  docec  ingeniclain  omnium  numerorum 
intcgrorum  radiccs  quadratas  ad  fracftioncs  coniinuas 
r.duccndi  :  Id  vcro  infinitis  modis  fieri  potcft  ,  nec 
eiiim  quacftio  per  fe  cll  detcrminata :  vcrunt.imcn 
fradioncs  co  uinuae  ,  quac  aJhiberi  pofTunt  ,  omncs 
eius  (unt  indolis  ,  vt  in.iiccs  periodice  recurrant 
iidem  eodemque  ordine  ,•  viide  non  male  rcducentuc 
ad  ordinem  ,  primum  ,  (ecundum  ,  teriium  etc. 
prouti  quacuib  pcriodus  vel  cx  viio  ,  vcl  exduobus, 
\cl  cx  tribus  tcrminis  ctc.  confliterit  :  Nec  ncccffe 
cft  vt  pcriodus  fempcr  a  piimo  termino  incipiat  : 
hoc  autcm  t:tuio  pracfcrendae  videntur  fradioncs 
continuae  ,  quae  ad  Hmpliciorcm  pertincnt  ordincm. 
Notctur  hic  ,  me  alio  ienfu  accipere  tndices  ac  fecit 
magnus  Eulenis  ,•  cgo  quidem  ,  vt  rem  gencralius 
exphcarcm  ,  pcr  indiccm  intclHgo  quamuis  nouam 
fradlionem  (Impliccm  in  fradionc  continua  cccurrcii- 
tem  ,  veluti 

0        b        c       li         <•         f     f,tf, 

«  e  >  0  £  4) 
memoratus  autem  Aucflor  cum  haud  alios  numcra- 
torcs  quiim  vnitatem  adhibere  condituiirct  ,  per  in- 
dicem  intelligit  (bhim  fradionis  denominatorcm  pro 
fubintellcd )  numeratorc  i  ncc  primuin  numerum  ia 
tabuli  iplius  propric  ad  fraiflioncm  continuam  per- 
liutrc  ceuli;ndum  puto.     Igitur  vt  fcrmone  commu- 

ni 


CONTINVIS.  45 

ni  vramiir  ,  ncccfTc  mihi  crit  indicibiis  Eul.rianis 
V,  e,  y  ctc.  hibditucrc  L  . '- .  i_  etc.  Sic  qiuindo 
jTonitiir  pro  V  7  (ucccrTio  iudicuin  2.  i.  i,  i.  ^.  j, 
I,  ;.  4.  mihi  fcnbcndum  crit  ,  fcruato  initiali  nu' 
mcro  ,  2.  T  .  T  .  T .  I  .  T  ttc.  -vbi  Incipicns  binarius  in- 
dicat  numcrum  adi!endum  fracflioni  continuac  rcgu-» 
lari  acquc  pcriodicac  quarti  oruiuis 
I 

14-1 

i4-r_ 

4-4-1 

1  -I-  etc. 
cuius  Ynlor  ,  fi   in  infinitum  continuata  ccnfentur,  fit 
—  —  2  4-  V  7-   crgo   fi   binarius   fradioni  continuae  ad- 
datiir  ,    oritur   ^7—  binario  eadem   fradlione   conti- 
nua  auiflo  ,    plane   vt  cxprimitur  in  citata   tabula. 

§.  13.  Notetur  nnnc  ,  qnod  in  praccedentc  pa- 
ragrapho  pracftitit  fr;;(flio  continua  qiiarti  ordiiiis,  id 
quoque  praefiare  pofTe  fracftioncm  continuam  primi 
orjinis  ,  fi  inodo  admittcre  \climus  numerum  fra- 
fttim  pro  numcratore  vbiquc  rccnrrcnte  ,  nempe  \ 
vel  3:4;  Si  cnim  (ornictur  fradio  continua  primi 
ordiuis 

5=3:4 

2  +  ,3  ;  + 


2  -h  T  :  4. 


2  -Hctc, 
dico  forc  V  7  rz  2  -1-  2  S  ,    vitlcatur   in  pracccdcnte 

F  2  per- 


44.  r>E     FR  ACTIONIBVS. 

pcrtradionc  §  9.  formnla  IV.  ponenJo  w  —  2  ei 
frrzs:^;  Nec  vlliis  cft  numerns,  cuius  radix  qna- 
dr.ita  non  podlt  infinitis  modis  per  fradioncm  con- 
tinuam  detcrminari  ,  qui;i  etiam  pro  denominatnre 
continue  recurrtnie  numeriis  fra<flus  adhibcri  poteft  ', 
Hc  fi  formctur  tradio  continua 

5  :  2  -4-  3  :  T(T 

5  :  a  +  3  ;  i^ 

5:2-+.  etc. 

inuenitiir  V^^rH-  a  S.  Incongrua  videbitur  Ini- 
iusmodi  fradio  continua  ;  attamcn  ideo  commcndabi- 
lis ,  quia  n  ox  admodum  ad  vcrum  valorcm  appro- 
y>crat :  Si  enim  \el  duo  fola  prima  membra  in  fra- 
iSlione  continua  fumuntur  ;  inuenitur  V  7  ~  |t| ;  eft 
autem  V7  —  2.6457  ^t  sJs  =  2.  54.5<J.  Sed  va- 
leant  huiusmodi  fnidiones  continuae  quantum  pos- 
funt :  pcr^o  ad  alia  exempla  fcopo  noftro  magis 
accommoJa. 

Pro  V1.3   adhibet  Ccleberrimus  Audor    fraclio- 
nem  continuam  quinti  ordincs  ,  hoc  uiodo 

y  13:^:3  +J_ 

i  +_r_ 

6  +  r_ 
I  +  ctc. 

Hulc 


C  0  N  T  I  N  V  I  S.  45 

Hulc  fubdltul  potcfl  fraclio  contiiiui  primi  ordinis 

y  1 3  —  3  -1-  2  S  vbi  S  —  -—  , 

3  +  t 

~3  +_f 

3  +  etc. 
Pro   V  6t    frndione   contiiiui  vtitur  idem   Au- 
Ctor ,  quae  pcrtinet  ad   ordinem    vnd^cimum  ,    cuius^ 
indices  funt 

I       I       t        t       I       I       I       I        I      r       J     pf-f, 

pro  vnaquauis  pcriodo ,  qu^ie  in  inlinitum  continuati 
deindeque  feptenario  aucla  dat  valorem  V  6i.  huic 
fradioni  continuae  ,  magno  labore  erutae  ,  fubftitui 
potell  fraclio  contiuua  primi  ordiuis 

7  +  3  ;erit  enim  y(Jr— 7  +  2$.^ 

7  +  3_ 

7  +  etc. 
Nihil   porro  impedit  ,    quo  minus  fradlione  continua 
Ttamur  prorlus  ne^atiua  ,  fiepius  eflicaciori,     Sic  in- 
■veuio  V'(Jo  —  8  -i-  2  S,  vbi  Sz::— _i_ 

8-1^ 

8-1^ 

s  —  etc. 
Si  in  irta  fradlione  contlnua  acquiefcamus  tribus  pr.o- 
ribub  tcrminib  ^   i.t 

Sir  ^^  2  Si::  — ^  atque  adeo  y  50  z=  8 -h  2  S  - ''=^. 

Quam  longe  exadilhmus  fit  ifle  valor  ,  inteliigitur 
ex  tabula  logarithmorum  ;  e(t  enim 

lo^.y^Q  — 0,55^0756  ct   lo^.  ^;;-=o,  88P0757 

F   3  et 


4<;  DE     FRACTIONIEVS 

ct  cum  incertus  fit  in  tabulis  numerns  \ltimfle  figu- 
rae  ,  nondiim  dici  potcft^  an  rcucra  ambo  logarithmi 
in  leptima  tigiira  diffcrant  ncc  ne. 

§  14.  Sic  itaque  abunde  \idcmus  totum  ncgc»- 
tium  infinitis  modis  (i:mpcr  abfohii  pofle  fradione 
continua  ,  qiinm  ad  primum  ordtnem  rcfcro:  Nec  ta- 
men  inde  concludendum  eli;,  non  dari  aditum  ad  or- 
dines  nltiorcs  ;  niCthodum  hac  de  re  plenifllmam 
exhibui  in  priori  diflertatione  paragrapho  13.  et  fe- 
quentibus ;  Vltcriorem  eius  explicationem  paucis  da- 
bo  pro  ordine  fecundo  :  Si  conflruatur  fradio  conti- 
nua  (ecundi  ordinis  ,  cuins  ambo  indices  initiales 
pt.rpctno  rccurrentes  fint  —  ci  ^  ,  oftendi  loco  cita- 
to  f)re  \alorem  fraftionis  continnac  in  infinitum 
continu.itae 


C 71—771  p  —  q  -f-  V  «  m  71  p  -t-  ("<  r  H-  '?  • 


u)' 


Inde  h.ibctur  ,  fi  quantitatcm  fi-;no  radicali  inuolu- 
tam  dcfigncmus  per  N ,  talis  valor 

,>>  -       y  N  —  —  «  ^-  w  /)  -4-  ^  -4-  a  w  S. 

Iflac  cxprefhoncs  egrcgie  contrahuntur  ,  fi  in  arrbo- 
bus  iniicibus  ponatur  numcrator  ~  i  •>  tunc  cnim 
limpliciter  obtinetur 

S-— ^—  atquc   VC/^p  +  VOi^P+aS 

fucrit  ,  vcibi   grat'a  ,  m—  i    ct  /)  —  2  ,  crit  S  — —  i 

4-V3,  adcoqne   V3—  1  +  S ,   \bi     ptr    S    in    hoc 

cicttiplu  intilligitur   Nultr  li-diunib  continuac,    cu- 

iuS 


C  O  N  T  I  \  V  I  S.  47 

iiis  inJ'ces  funt  \ .  l  >  j . ',  etc.  prorrus  vt  h.ib^t  E«- 
lerus   pro  liJO  iudicundi   niodo 

Vnicum  denique  fuperaddam  cxcmplam  pro 
frj(flionc  continua  rertii  ordinis  ,  dc  qna  egi  in  prac- 
cedcnte  differtationc  §.  15.  Sint  trt^  injices  ,  qui 
priniam  conllituuiit  pericdum  ; .  i  .  t.  ;  cx  his  for- 
mabitur  fradlio  contiiuin,  cuius  valor  Srz  —  6 +  "/4.1  4 
ergo  V41  —  (J -t- S  fiue  ::_  lenario  audlo  fradione 
continua,  cuius  indices  i .  i ,  i*  quem  valorem  etiain 
indic;it  tabula  Eulcriana. 


SOLVTIO 


SOLVTIO    QVORVNDAM 

PROBLEMATVM 

DIOPHANTAEORVM. 

A  u  c  t  o  r  c 
L.     E  V  L  E  K  O. 

Problema     i. 

Inuenire  d.vo  qnalratorum   paria  XX,  yy  ct  //,  WW, 
it.i   \t  tiim   (.V  .V  -\-  y  y^  (/ 1  x  x  -f-  u  ujy)    quatn 
[x  X  -Vy  j)  0'  «  -^'  X  ■{-  t  tyy)   fiat  numtrus  qiradraius. 

A  n  a  I  y  /i  s. 

1.  Primo  patct  ,  cjuiciinque  bini  numcri  tam 
pro  .r,  y  quam  jro  ;,  u  fucrint  inuenti .,  corum  ac- 
que  mulupla  vclnti  ax,  ay  ct  S;,  §  ?<  quaefito 
acquc  (atisfaccre  ;  ficque  probkma  ita  rcllringi  con- 
vcnict ,  vt  tam  x  ct  7  quam  /  ct  u  fint  numeri 
primi  intcr  (c. 

2.  Incipiamns  a  formula  priori  (xx-\-yy)[tt xx 
+  ?/Kj'j),  qu:ie  pofita  huic  quadrato  {x x +yyy x x  yj 
(p p  ■+•  g  '/)'   aequalis  fit 

ttxx-hu uyy zz. x xyy  [x x \yy)  (( pp - (? ^)* -K 2 P </)') 
\nde  coiicluditur 

tx-xyix  ipp-qq)  +  2iqy)i  uy=:xy{y{pp-qq)-tfqx) 
ficquc  crit 

tZZXyipp-gq^-^-ipqyyi  U—Xy{pp-qq)-ipqxX, 


PROBI.EMATA    DIOPIIAMTAEA.       4p 

3.  1:1.11   pio  altcra  formi.i!a  ,  cim   fit 
ty~xyj{pp-qq)-\-  ^pq/  i  uxzzxxj[pp-qq)-7pqv 

fiet 

ttjy-\-hUXX—xxy\pp-qq)*-^^p]Xy\pp-qq)^..],ppqq-/ 

+ ^yj  [  pp-qq^-^ipqxj  ^pp-C'^)i-^ppqqx* 

quae  forma  ,    quia   rnanifefto  pcr  xx^yj  cft    di- 
Tifibilis ,  abit  in 

{X  x  -4-  jy)  [X  xjj  [pp  -qq;-A-pq  xj  C^  -v  -jj)  {pp-qq) 

-i-^ppq  7  (.V* -  XXJJ  -1-/). 

4.  CiiiTi   nunc  hacc  formn.  pcr  xx-{-yj  ir.uU 
tipli;;Ua   nnmerum  qiia.iratiini   priicbcre    dcbe.it,    ha- 
bebimus  fequentcm  cxprcilionem    ad    qnadmtum    rc- 
ducendam: 
j^.ppqqx-^pq(pp-qq^x'y-{-{p"-6p'qJ-\-q')x"j'-^ 

-\-  ^pq( pp  -  q q)X  v' -{-  Arppqqj* 
quac  quiJcm  manifeQo  fit  qu.idnitum  ,  fi  x—j',  ve- 
nim  hunc  cafum  vtpotc  facillinuim  hinc  mcrico  cx- 
dudimus ;  fiquidtm  tt^ra  quatftio  liuc  rediret ,  \t 
2  {t  S -i- u  U}  quadratum  efnccrctur. 

5.  At  poncndo  illjm  formul.un  aequalcm  huic 
quajrato 

{^pqxx-ipp-  qq)  XJ  ^  zp  qjj)* 
deletis  termiiiis  p.iribus  fit 

{p-^Cyppqq^q')  xV  +  m{pp-qq)x/-{p'-r6ppqqM']xy 

--^pq^pp-qq)-^'/ 

hincque   ^pqipp  —  qq^J—  i^ppqqx 
rnJe  coUigitur  haec  (olutio  problcmatis : 
x~2(pp-qq)i  j~2pqi   hincqus  porro 
t  —  6pq'p*+ppqq-\-q')  et   U^- 2pq(pp^qq)\ 

TQin.XX.Nou.Comm.  G  6. 


53  P  R  O  B  L  E  Al  A  T  A. 

6.  En  Qv^o  roliitionciT)  piiina  infinite  patea* 
tem  ,  quoiiia:ii  niiineroi  p  ct  q  aJ  nrb.truirn  caperc 
licet  ;  reJiidis  fcilicet  niiirjeris  t  et  u  aj  minimos 
ttrmiwos ,  et  qiiia  parinde  elt  fiuc  fiac  polltiui  fiuc 
neg.it iui  lubcbimus 

xzzzipp-qq)',  t  —  -i (pp" -\-ppqq \- ?')  —  | .v.v  A^yy 
y-  2  p  ^/  ;  u  -•  {pp  -  q  qf  iz-,xx 

hincquc    repcritur 

X X  -irY y  —  ^p*  -\- ppq q  i-  ^  q' 
ttxx-^-uiivyzzxxyy^ivxi-vvXpp^-qqf^izxxlxvi-yyyjsXx-^-vy) 
uuxx^ttyy-^ppq  j[x'\'^ryjtP^-\-lppTI  H*")'  -{xx-\-yy  ,C,xx-\-yy)\ 

7.  Vt  ali.is  folutioncs  inucniamus  ,  ponainus 
fuperioris  formac   radicem   quadratam  : 

z  p  p  X  X  —  (p  p  ~  q  q)  X  y  —  2  p  q  y  y  -\-  A  jj 
cuiLis  quidraco  illi   acquali  pofito  prodibit  aequatio: 

( A  \  -^^pq)  yy-  2.  X(^pp-qq)xy  \-[^kpq-^ppqq)xxzzo 
hic  fi  Arr+p^  prodit  folutio  praecedcns  j  at  pofi- 
to   A  zz  p  q  fi' 

-^-  -ipqy  -\-  ^Kpp-q  qy.^'  =  o  , 

quae  cum   illi   pariccr  con^ruit. 

8    Poiiamus  \zz  —  2pp  proJibit-]uc  haec  ae- 
quatio 

(p/>4-i/"?)i'»'4-'/'p-'7'7)v/-(2/J7'4-y?).v.v  =  0 

quiie   psr  x  -f-  v  diui fa  dat 

(pp-^zp  q)  y-{2p  q  4-  q  q)  X  =z  0 

vndc 


D  I   O  P  li  A  ISI  T  A  E  A.  51 

vnde  flt 

X  —  p  (p  -\-  <i  q)  ct  y~q  (q  ^  z  p)  tum  vero 
U=::pqq{p  -i-z  q)(qq~h  ^pq-+-  2pp)' 

9.  En  ergo  aliam  folutionera  a  pracccdcnte 
diucrfam  ,  ct  infinite  patcntem  ,  qua  numcris  t  &t  u 
ad   minimos  terminos  rcdudis  fit 

X-p{p-\-zq);   tz=p(q-^2p){pp-^2pq-\-^qq) 
y  —q{q-\-2p);   u  =  ^(p-^2q)(qq-{-2pq+:ipp) 
hincque  reperitur  : 

XX-i-}jzzp"-\-^p'q-{-Sppqq-^'^pq'-^q* 

tt  XX  +  u  uyy  1=  (p-i-2  q)Xq^  ^py{pp-\-^q)\xx-\-yy) 

U  U  X  X  -\- 1  tjy  z=ppqq(Spp-i-Spq-^Sqqy  (xx-\-yy). 

10  Pofito  A~2pp  prodit  (pp-zpq)yy-{pp-qq)xy 
-^  (2  p  q  -  q  q)  X  X  —  o  quae  per  y  —  x  diuila  dat 
(pp  —  2pq)y  —  {2pq  —  qq)xzzO  ideoque 

xzzp{p-2q);  t  -p{2p-q){pp-2pq-\-3qq) 
y  —  q{2p-q);  u  =  q{p-^q)[qq-^pq-\-^qq) 
X X-\-yy—p"  -  ^ p' q-^  Sl  pqq  -  ^p q' -^-q' 

ttxx-\-uuyy—{p-  2  q)\2p-q  ^pp-^-qqT^xx-^-yv) 

uux  x-\-  t  ty  y  -  ppq  q{5  pp-^pq-\-  5  q  q)\^  X-^ryy)^ 

Hncc  auiem  folutio  a  praeccdente  ron  dif^ert,*  reque 
pofitiones  A  —  ^qq  et  Azr— 2^^  Iclutionis  diuerfas 
praebent. 

I  [.  Confiant   mctVodi  ,    cuarum    bencficio    cx 
■vna  folutionc    inuenia  alme  ciui  ptfiunt  j  \crum  cac 

G   2  ad 


5* 


P  R  O  B  L  E  M  A  T  A 


ad  cilciilos  nimium  intricatcs  deducunf.     Ita  rcpcri- 
re  iicet 

y -.{pp -^-  q q){pip P -A- q q)  ±_q  [^  PP -^-  q q)) 

conuenientcs  vcro  valorcs  j^ro  t  et  u  pjragr.    c  fi";- 
peditat. 

S  o  1 II  t  i  o     I. 

In  hac  lolutione  ratio  numcrornm  x  ct  y  cfl: 
|-— i.  ^''^"■-^  vnde  ex  cathctis   trianguli    reiftanguli 
inueniuntur;    tum  vcro  ratio  ~ —  '- 
folutiones  fimpliciores  funt : 


X  X  ■ 


XX 


^  j    vndc 


4- 
5 


X—  5,-  y:=^  2 
X—  7,-  7=  5 
X=:  5;j=  9 
a:—  3^  ;-— 10 
a-zr.  II  j  ^-zri^. 


6  .  Ji'— 15;  J—  7 
7°.  A-— i(>;  j'—  5 
8^  o:—  i6^  >'—  9 
.vrr    7;  J'^  «8 

.V—  13  j  /=^20 


9 

0 

10 


fzz      91 

^=:  24-7 
^^  399 
t—  4=7 
/=1147 
/=  871 
t—  217 
/=  273 
/r=i443 
/  —  2107 


«—    25 

«=  49 
«—  25 
«=  9 
«  =  1 2  I 

tt— 225 

u:=.    <?4 
z^zr    64 

«=    49 
«—169. 


S  o  I  u  t  i  o     II. 


Hic  ratio  numerum  .v  ctj'  cft  -zz^^JJ;''?' 
numcrorum  /  ct  «  vero  ±  —  fli^-'l^^-?--t;-f-±^L'?\) 
fi  numeros  x  ct  /  vt  datos   Ipcdcmus  ,  ob 


ppy-^-^pqy^qqx-^-  ^  p  q  x  ,  rcpcntur 


Vndc 


D  I  O  r  H  A  N  T  AE  A.  53 

vnJe  numerorum  x  «t  y  chanider  in  hoc  co.^fiflit  , 
vt  X  X  —  X  y  +j'j  fit  quiiJratiim  ;  cuiiismodi  nums- 
ri  cum  facilc  inueniantjr  j  fit  x  x  —  xj  i-yj  —  zz  ; 
erit-]ue 

t.  —  'L^^Ld^  -  — ^ .  fcu  1  -  ^^  ; 

tinc  fit 

(x:  -/)  (-  +  x-ij]  ~  [z^x-jy^zz-x-j)  {z  -.V)  (z+j-2x') 

^z+j-x^^iz-x-j) 

Tnde   M-JH-i^)  —  g-t-y  — y 
Deinde  eft 

hincquc  tandcm   elicitur 

_t_  . (z  -(-  a  —  y)  fa  s_— _*+:>) 

u  (2  _j- 3^  —  x;  (2  a  H^  * — >)■ 

Sicquc  pro  x  ct  y   eiusmoJi    numeris    inucntis  ,    vt 
fit  rationaliter  V  (.v  x  —  xy  -j-jy)  zz.  z  capiatur  : 
t^iz  +  x-fiiz-x+y^^xx  +  rj  +  ix-j^z 
u~  {z+y-x]i2z-y  +  x)z^xx+yy-{x~y]z. 
hinc  obtinctur 

ttxx+uuyy-:{xx+yy)[xx-ixy+yy-\-(x+y)zY 
uuxx  +  ttyyz^[xx+yy)[xx-^xy+yy-{x+y)z)' 
\el  etiam  hoc  niodo 

ttxx  +  u uYy—-Xxx+yy)  [x+y  +  z)\\z- x-y ]' 
uu  XX  +  ttyy—\'  xx+yy){  x  +y  -  z  )\  ^z  +  x+y  /. 

Num  autcm  quo  facilius  .valorcs  pro  .v  et  y  idoneos 

G  3  repe- 


5  + 


PROBLEIMATA 


repcriamus,  fpcdemus  .v  vt  datum  ac  ponamus  ii—y—v 
entque 

\bi  pro  quouis  valore  ipfius  x  aflunito  cafus  integri 
pro  y  (unt  crucndi :  notancum  vero  cU,  pro  .v  nume- 
rum  imparitcr  parem  afliumi  non  pofle,quia^'  quo- 
que  fierct  par  : 


X 


i- 
+ 

+ 

+ 


3 
3 
5 

5 
5 

7 
7 

7  + 

91- 

91  + 
II  — 

13  - 
13  1+ 
13 
33 


—  I 


5 

8 

8 

16 

21 

8 

15 

33 

40 

15 
56 

65 

24 

35 

85 
96 

35 

481 
o' 


+  «33!» 


7 

t 

45 

7 

19 

7 

34 

ly 

340 

'9 

81 

13 

»54 

13 

85 

37! 

1309 

37' 

214 

^3 

99 

61 

3591 

61 

445 

31 

891 

3' 

301 

'  91 

8C41! 

91 

801 

1 

43 

1729 

43 

404 

1C7 

T5730 

1 

1 1  *  / 

»3^9; 

u 


1 1 

54- 

55 

59 

3S5 

41 

l8p 

171 

1435 

190 

374- 
3S61 

194 
1045 

695 

853^ 

335 

19S9 

1161 


Froblcma 


D  I  O  P  H  A  N  T  A  E  A.  55 

Problema  2. 

Tnu?nlre  duo  qiiadratorLi  11  piria  xx,yyet  tt„uu, 
vt  (^/.v.v-i-««//;(«/^.v.v4-;//;  )  fit  numcrus  qua- 
drJtus. 

S  O  1  U  t  i  O. 

Hoc  problemi  caiidem  (ortitur  folutionem,  quod 
praecedensi ,  idcm  )ue  qu.itcrni  numeri  pro  .v,  >',  t,  u 
inuenti  (ati5f.iciunt.   Inde  ergo  folutio  limpliciflima  cft 

X—2  ;}'—$;    t—  II   i    uzz^S 

cx  qua   fit 

tt xx\uuyy  —  %^.9. 169  ;   uuxx-^ttjj—  34-^2  5 
iJeoque 

(  U  .v .V  -H  //  uyy )  ( // «  v x  -^  f  /  k  >- )  =  3  4-'  •  3  9'.  -  5 '• 
Ceterum  haec  folutio  non  folum  ob  cam  caufani 
tantum  elt  p.irticularis  ,  ob  quam  talis  erat  ,  fed 
etiam  hoc  problema  infiaitas  Jolutioncs  admitterc 
\idetur ,  qu.ie  praeccdcnti  non  conueniant.  Ficri 
cnim    potcll ,   \t  hacc  fonnula 

( t  txx -k-uuyy)(  uuxx^  ttjy) 
fit  quadratum  ,   etiamfi   ncutra    praeccdcntium 
( A-.v ^yy ) ( / ; .va;  +  uuyy)^  et  {xx-\-yj ) ( uuxx  +  ttjj) 
fucrit  quadratiim  ,  cuius  rei  vnicum    excmplum    dc- 
diflc  fnfficiat  : 

.v  =  97  3  ;  J=:2(>3  :  ^  =  973  5   u—\?,4,i 
cft  cnim 

a//.v.v-l-/0>'  =  --2  5- 2(S3'.973'  quadratum   dupHcatum 
//j:A-  +  tt«j7-2.  25.  14.1793'    quad.iaium  duplicatum. 

En 


55  PROELEMATA 

Hn  aihuc  riliam  folutionem   latius  patentcm 
X  zz  :^  n -i- 6  m  m  n  n  —  in-^  i  —  vi  x 

cuius  inuentionis  latio  facile  inttlli^itur,  pofita  cnim 
t~mx  et  u  —  ny  fit 

ttxx-^-uujy—mwx*-^ nn/  et  tiuxx-\-ttjj:z:xxj:y(itar,:^nn) 
ficque  ad  quadratnm   reduccnda  cfl    hncc  formula 

{m  m  -h  n  n  ){  m  m  x"  -^  n  n  y* ) 
quae  fadlo  x^^v-i-z  ttj^  —  v  —  z  aJ  iftnm     ful-Jtio- 
nem    pcrducit  :    hinc    autcm    pracccdcntes    folutioncs 
iion   obtincntur. 

Pj^oblciria  5. 

Iniienire  duo  quadratornm  pnria  xxyyetttnu, 
vt  tam  hic  numenis  t  i  x  x  -\r  u  ujy  quam  illc 
Ityy-^-uuxx  fiat  quadratus. 

S  o  1  u  t  i  o. 

Ex  modo  tradita  folutioiie  froLlcmatis  pracce- 
dcntis  Iblutio  huius  facile  adornatur  ,  pro  m  ct  n 
ciusmodi  numcris  fuiTicndis ,  \t  7nm-\-nn  fiat  qua- 
dratum.     Sic   fi   fiat  mz^^  et  «—3   rcpcritur 

.V—     851  ,     t  —  3  4c-f 

j' —  1551  ,     «=3(^5  3. 

At  cx  problcmate  piimo  multo  concinniorcs 
folutioncs  impetrantur  ,  quibus  adco  practer  biijas 
pracfcriptas  conditioncs  et  hncc  tcrta  r.dimplctur  ; 
\t  xx-\-yy  fiat  ctiam  quadratum.  At  folutio  fe- 
cunda  primi  problematis  \num  pracbct  cafum  ,  quo 
xx-^yy  fit  quadratum   fcilicct 

x—S-^y—  J  5  i  /  z::  i;p  ,•  «  =  »90 

Yude 


D  1  O  r  H  A  N  T  A  E  A.  $7 

rnde  fit 

1 1  X  X  -^  u  uy  y  zz  2*.  3*-   i7*-  29* 
tt  y  y  -A-  uux  X—  5'.  5*.  s'*  17*. 

Si  infiiper  adJita  fuiflet  hacc  conditio,  vt  ctiam 
A- X  —  A- j -h  >  J  foret  qufldratum  cadcm  (olutio 
rcgotium  conficcrct,  Huiusmodi  autcm  folutio- 
nts  clicentur  jquiierendis  numcris  x  ct  y  vt  haec 
exprefllo 

x'  ~  x^y-^-i  X xyy  —  X}''-^y*   iiat  quadratum 

ad  quos  porro  \'t  antc  numeros  i  ct  u  inutftigari 
oportct, 

Occafioncm  hoc  problema  Diophantaeum  tra- 
ftandi  prnebuit  problema  Gecmetricum  a  Schotenio 
propofiium  ,  quo  dntis  in  iriangulo  bafi  ,  perpendi- 
culo  et  rntionc  larerum  ip(;i  latera  quaerentur. 
Problema  hoc  geminam  admittit  folutioncm,  quarum 
\traque  \t  pracbcat  Intcra  rationalitcr  expreffa  , 
negotium  ad  problcma  iflud  Diopliantaeum  pcrduci- 
tur.  Si  cnim  bafis  trianguii  ponatur  zr  fl ,  perpcn- 
diculum  m  ^  ,  et  hucrum  ratio  nr.n  ;  vocatis  ipfis 
l.ittribus  mz  et  nz^  primo  neccflTe  efi  a  et  b  ita 
cxprimi 

a  —  {mm—nn)(xx-\-yy)  et  b=2mnxy, 

tum  vcro  pro  z  hacc  duplcx  cxprcfllo    rcperitur: 

z—V(,xX']-yy':,{{m-n)\xx-+  im  +  n"yy)  ct 

t;— V  (^.r-l-jy;  )((  w  +  «)' A-.V -i- ( w- «j  jj) 

Tom.XX.Nou.Comm.  H  quae 


sa      pro3Le:v1ata  Dio:^n\NrAEA. 

qaie  vt  ambae  fi.ant  rntionalcs  fiido  m-\-n-bim-n-ii 
nnfcitur  nodrum  prublcma  Diopliautiieum.  Cuius 
crgo  cafus  fimplitidimus   erit   fumto 

j;=3;  J=^S  ;  /  =  45  ct  ttirii  , 
▼ndc  haec  nafcuutur  data  : 
rntio  latcrum  m  :  n  zn  zS  :  17 
bafis  trianguli  «  nr  33  ,•  et  pcrpendiculum  —28  t 
Ynde  reperiuntur  ipfa  latcra  : 
v,l  m  z  —  —  et  n  z  —  ti 
vd  m  z  —  ~  et  n  z  —  ~ 

i  s 

flue  in  intcgris  fumta 

bafis  0  —  495  et  perpcndicula  ^—420 
obtinebuntur  latcra  rationera   28  :  17  tcnentia 

▼cl  ?n  z  zz:     700  et  «^—425 

vel   w«— 1092  et  nz-s:^CCZ' 


SPECv^- 


c 


SPECVLATIONES 

ANALYTICAE. 

Au(flore 
L.     E  V  L  E  R  O, 

nm  niipcr  inuenifrem    intcgrnle    huius    formulae 
differentialis  -, ,    fi  ita    capiatur    vt 

cuanefcat  porito  .v  — o,  tum  vcro  ftiitunrur  a'  —  x  , 
aequari  huic  valori :  l^:*i-i:  haec  integratio  eo  ma- 

gis  attentione  digna  mihi  videbatur  ,  quod  eius  ve- 
ritas  per  nullas  methodos  hadenus  vfitatas  odcndi 
pofler.  Quamobrem  nuUum  plane  efl  dubium,  quia 
ea  phuimum  in  receflTu  habeat  ,  et  ad  muha  aHa 
pracclara  inucnta  in  Analyfi  perducere  queat.  Haud 
igitur  ingratum  Geomctris  fore  arbitror  ,  fi  nonnul- 
las  fpeculationes  quae  fuper  hac  formula  fe  mihi 
obtulcrunt  expofuero. 

$  I.  Quoniam  ifla  integratio  fe  ad  omncs 
plane  exponcntes  pro  literis  a  et  (3  aflTumtos  cxten- 
dit ,  atque  adco  valorcs  imnginarii  non  cxcluduntur, 
ponamus  a  —  «V—  i,  et  ^  -zr  —  nV  —  i  ^  critque 
a"— A^— a"^"' .v~"^~',  quac  ft)rmula  cum  redu- 
catur  aJ  hanc  :  ^" '==  v— .  _  ^— n  z»:v— .  ^  notum  ert 
eiu?  vnlcrem  eflfe  —  2  V— i  fm.  « /.t  ;  quo  valorc 
fubiiituto  prodit 

n   V—    T   r^xfin.tlx. —    7,_j_tV— I 

*>       IX      — '  T~r^^::^i' 

H  2  Conflat 


^o  SPECVLATIOrTES 

Condat  antcnn  huiiis  formulie  /,-^-^£7  valorcm 
efTe  2  V^— I  Atang.  «,  quaiidoiuidcm  lumto  n  va- 
riabili  eius  diffcreiuiatio  dat 

J       ;  I  -4-t  V  —  '   a  d  n  V  —  i 

I  —  fi  V  —  I        ■      I  -f-  n  n       ' 

cuius  integrale  manifefto  ell  xV  —  i  A  tan^.  n;  hinc 
igitur  adipifcitur  (equens  Thcorema  : 

Thsorema   i".    Ifta  formula  intcsralis    jt^j^jj» 

a  termino  xz=zo  \sque  ad  terminum  x—  i  exten- 

fa    exprimit  arcum  circuli  cuius  tangcns  —  i  ^  vnde 

fymto  «1=  I,  erit  /ii^ili.*-fi  —  ^-  ,  denotante  1:  fe- 
niiperipheriam  circuli  cuius  radius  —  i. 

§.  2  Quamnis  autem  haec  integratio  ex  no- 
fira  forma  geuerali  ,  quae  aliis  methodis  inacccflj 
videtur,  fit  deJucla  :  tamcii  eius  veritas  per  rclola- 
tioncs  conluetas  fjquenti  modo  oikndi  potcrt  ,  fic- 
que  ex  hoc  cafu  integratio  generalis  eo  maius  fir- 
mamentum  accipiet ;  Cum  enim  per  leriem  lufini- 
tam  fic 

nl  X 


J  i  X  '  ^  I.    2.   I  I.    J.    i.    «. t 

confiat  auccm  efTe 

fdx{lxyzzxilx* -2.fdxlx  —  \-{lx)'  —  ixlx-\-2.  I  r, 
quae  expretrio  pofico  x  —  i  reducitur  ad  2.  i  i  fimi- 
li   modo  fiet 

fdx  ilxYzzx  'M'  ^fdx  [Ixfzzx  (/.v)*-+.v(/.v/+4-  3  fdx'Jx)\ 

quac 


A  M  A  L  Y  T  I  C  A  E.  6t 

quie    p')rito    X  z:  s  oi  l  i  —  o   pr.iebat    4..  3.  2.  i  ; 
eo-leaTiue    iti)1(>    crit    f  i  x  (J xf  —  6.  5.  4.  3.2.  i. 
Hi»  i^jitiir  fiii^uii»  valorijji   i.itcj;ralibiis    iatraJactiii 
proLieniet 

-  '  "* •    _  « ...  ^n^ «  —  Il5 


( 


H- f  -  ^' -f- etc. 
cuiiis   fcrlci  fumma  manifcrto  efl  A  tang.  ;;. 

§.  3,  Hic  cafus  nobis  andim  praebet  ctiam 
hnnc  formul.im  inregnlem  inueftiganJi  /i^ii^i-*; 
quae  quiJem  non  immediiite  in  noftra  forma  gene-. 
rali'  continetur  ;  et  quia  e(l 

cof  nlxzz.  I  -  "?"''-  -h  ""ISL^ tJlJ^ \-  etc. 

I.   :  ■•  2.  Z'  *  I.   :.   3.  4.  5«   6 

ex  priaio  tcrmino  oritur  fp^  ,    cuius  quidem    valo- 

reip.  oflcndi  cflfe  ialinitum.      Pro   fequentibus    autem  \ 

tcraiiniii  erit 

Jd  xlx  z=.  X  l  X —X  —  —J   et /^.r(/.r)'  — —  I.  2.  3  et 

fdx[lx)^ .— -  1.  ..  5  etc. 

quibus  valoribus  fubHitutis  obtinebimus 

/d  xcif'  nl  X  fd  X     ,     nn         n'      ,      n"         n' 
— T7 —'  Tx'^  ~~T  ~^T       r» 

quae  expreffio  manifefto  reducitur  ad  hanc  ; 

Quia  autcm  primus  terminus  h.inc   fammam    reddit 
infinitam  ,  hinc  fubtrah.unus  aham  fimilcm 

et  habcbiiiius 

/d  X  (c:>/.  ^  Ix  —  ^^f.mlx)  i    /  i  -f-  "  "^ 
l  *  t  *       I  -^  171  n» 

H  3  •tque 


<5a  SPECVLATIONES 

stquc  haec  integratio  non   minus  notatu  di§na  vide- 
lur  quani   praeccdens, 

4.  Cum  autem  in  genere  fit 
cof.  a-  QoC  b^  2.  fin.  e-±^  fin.  tr^  erit 
cof.  «  / .V  -  cof.  7«  /.v  :=:  2  fm.  !l=tiL  / x  fin.  "^  — "/.v, 
ita  vt  fit 

fui.  !:^'  /  ji-  fin.  '"-^  .  H-  «  « 


/^  A- 1— ^  =  i  7 


/  .V  *    I  -I-  w/  ?«  ' 

<]uod  fi  ergo  ponamus  mzz:p-\-q  ct  n—p-q 
fequens  adipifcemur  theorema  maxiiiic  notatu  dignum: 

Theorema  2.  Ifta  forma  integralis 
/fl  fin.  p  l  X  fin.  ^  /  .V  eft  =z  U  '-^tll=jm  , 

fi  fcilicct  iutegratio  a  termino  .v  —  o  vsque  ad  ter- 
minum  .v  —  1  extcnditur  ;  quae  intcgratio  co  n/agis 
eft  notatu  digna  ,  quia  in  ea  nullus  arcus  circularis 
occurrit ,  etiamfi  priorcm  in  fe  compkcli  vidcatur , 
quod  autem  fccus  fe  habet  ,  quia  {\n.  q  l  x  ad  vnita- 
tem  reduci  nequit  quin  fimul  quantitas  q  rcddatur 
variabihs, 

§.  5.  Operae  igitur  prctium  erit  inueftigarc, 
quomodo  ctiam  intcgrale  huius  theorcmntis  cx  fbr- 
ma  noftra  generali  dcriuari  queat.  Hunc  in  fincm 
confidcrcmus  iftam  formam  intcgralcm 

quae  in   has  duas  refoluitur 

cuius 


A  N  A  L  Y  T  I  C  A  E.  S^ 

cuius  prioris  valor  eft  /(*J-1+li),  pofterloris.  vero 
/(«-+4^),  iti  vt  babcamus 

Nunc  igitiir  ftituimus  azzpV—i  ct  |3r:— pV— i, 
deindc  y  —  qV—i   et  (^  — —  f/V— i,  vt  fiat 

.r*-x'^—  2>'-xfin./)/A;'  et  .v*''-^;^— aV- i  fin.^^/i; 

fic  cnim  noftra  forma  integralis  induet  hanc  for- 
mam  —  4/^^  An.  p /a' fin.  y /a:.  Pio  cius  antcm 
vnlore  repcrimus 

a+Y+i—i-\-Cp-q)V-i;  (3-l-(5^-t-i=rr-(p+<7)y-i;. 
(3-ty  +  i  — i+(7-piV-i;  eta+<5"+izri+(p-<7)y-i,. 
qiiibus  valoribus  fiibfcitutis  valor  integralis  prodit 
/  r_-^-  'a-+l!iI'^  —  —  7  /'-H^p  — ^?)*) 

vnde  manifcfto  fequitur  integratio  ponremi  thcore- 
matis 

f^i  (fm.  p  Ix  fin.  f  /  ^)  =  W  Cr^7-:f  > 

§.  6.  Hinc  occafionem  arripimus    etiam    hanc 
formam  gcneralcm  euohiendl 

cuius  valor  erit 

—  K"--^"^  -^  '1     1     /C«-t^_dt_L^  —  7 («-4-7 -4- Ofg-^-y-f^t) 

—  ^p  +7-+-  .^  "^  *  S3  -I-  5-+-  i^  —  '  (i}-+.7-HTH3^  J-t-  0* 

Nunc  itcrum  faciamus 

a  Z3  p  y  —  I     et    &  —  -  p  y  -  I  j 
tum  v<:ro 

y^qV  —  1     ct    J  —  —  ^y—  I,, 

fiet- 


<?^  SPECVLATIONES 

fietque 

ita  vt  ipfa  formula  integrulis  orintur 

4  V  -  jJ^Cm.pl  xco^.ql  X. 
Pro  valore  autem  integrali  babebimns 

vndc  valor  iniegralis   prodit 

Eft  vero 

^C  :-^;  Jft? ^  )  =  ^  V  -  1  A  tang.  (p  4-  ?  ) 
Codemqne  modo 

^■^--^Et  =^  *  ^  -  I  A  tang.  Cp  -  ^n 
qu"bus  valoribus  fubflitatis  refultat  irta  integritio  : 

/'^j^Cm.p/xcoi'.  q Ix  =  lAtan^.{p -\- q)-{-  'i  At:aiv^.(p-^). 
Cum  igitur  fit  ingenere 

A  tang.  a-^  A  tang.  A  =  A  tans;.  ^'j^^^ 
crit  fumma  arcuum  modo  inuenta  mAtjng. — *f-  — 
ct  valor  inteeraiis   iAtaner '^ ;  liinc  fcuucns 

S  ^«— PPH-1'2  ^ 

Theorema  3,  Ida  formula  intcgralis 

/j^  fin.  p/ATcof.  y /a: 

9  tcrmino  a*  r=  o  vsquc  ad  .v  zr  i    cxtenfa    acqualis 
cft  huic  valori  : 

;  A  tang.  'f^ — 


ANALYTICAE.  Cj 

f   7.  Qiiod  fi  crgo  fiimamus  q~pi  ob 
fin.  p  I X  co(]  ^  Ix  —  ,Cin.  i  p  I  x  , 
prodibit  ida  integratio  : 

U^  fin.  2  p  /.t  =1  'i  A  tang.  2 p  , 

id  qucd  prorlus  conuenit  cum  theorcmatc  primo  ; 
at  vero  etiam  ingencre  ad  Tlieorcma  primum  rc- 
duci   potcft  :    Cum   enim  fit 

fin.  <7  coli  b  —  s  fia.  (a  -i-  b)  -\~  ^  fin.  {a  —  b)  , 

formuh  nofira  in  has  partes  diuiditur: 

i/f^  fm.  {p-^q)l  X  4-  i/fl  fin.  {l>-q)lx. 

Prioris  igitur  partis  valor  erit  ex  theorematc 
i  A  tang.  {p-\-  q)  ^ 

poftcrioris  vcro  paitis 
—  i  A  tang.  (p-^)  , 

quae  (orma  vtique  reducitur  ad  eam  quam  hic  dedimusi 
§■   S.   Nunc  autem  integrationem   noftram    ge- 
neralcm 

aliquanto  gcncralius  ad  angulos  rcdncnmus  ,   poncndo 

vt  fiat 

A-«-.i«-.v'"(a''-^-'-A-'' >'-')-- 2  V-iA-^fin.r^/A-j 
tum    vcro  erit 

tt-t-  I     •    -4-  m  _4-  n  V  —  I 

C  -(-  1  I  -t-  17)  —  n  V  —  1     * 

quae  ^raclio  pofito  «— it(w+i)  reducitur  ad    hanc 
1^,^;Z:.     Ea   vero 

^^.JZ-^^^^^^-iAtang./^^iV-iAtang.^.  , 
-.  Tom.XA.iNou.Cumm.  I  fic^uc 


66  SPECVLATiONES 

ficque  impetramus  feqaens  theoiemj  : 

Thcoremz  4-.  Iil.i  formuLi  inte^ralis 
ril  x^  fin.  n  1  X 

J    l  X 

a  termiiio  a:  —  o  vsque  da  tcrminum  ^—  i  extenfa 
fcmper  aequalis  erit  Iiuic  valori :  A  tang.  _!!_-,  quoJ 

theorcma  fumto  m^  o  ad  primum  reducicur  ^  vbi 
inprimis  notatu  dignum  occurrit,  quod ,  quotics  ^^^ 
cundem  habet  vahirem  ,  totics  etiam  formae  intc- 
gralcs  aequalcs  intcr  fe  euadunc 

^.  p.  Verum  ctiam  hoc  theorcma  in  gcnere 
ad  primum  rediici  poted.  Si  cnim  ponatur  x'''-^'-^ 
erit 

x-^^  dx—  -^    et     Ixzz  -^^- 

his  valoribii&  fubnitutis  fiet 

quac  cnm  fimilis  fit  primo  theoremati  ,    cius    valor 
"  manifefto  eft  rr  A  tang.  ^^^^ ; 

quoniam  autem  hic  pofuimus  x^-^^—y->  ambo  ter- 
mini  integrationis  hic  etiam  erunt  y  —  o  et  y  —  \. 

§.  lo.   Pcr  hoc  crgo  thcorema  ,  cum  (\x. 

A  tang.  \  -H  A  tang.  \  —  A  tang  i  =  T  , 

pro  priore  erit  «  =:  i  et  7«  —  i  ,  pro  pofteriore 
vero  «=:  I  ct  m^i,  hinc  igitur  habebitur  ifta  in- 
tcgratio  : 

/J_^(A,'4-.r.v)fia./.¥zi7. 

Deinde 


ANALYTICAE.  67 

Deindc  cum  per  fericm  infinitam  fit 

^zz  A  tang.  :  -+-  A  tang.  i  -{-  A  tang.  A  -f-  A  tang.  -^s 

-H  A  tang.  j',  4-  etc. 

cuius  fcriei  terminus  generalis  efl  A  tang. -i- ,  habc- 

bimus  ha'ic   intcgnuionem  fatis  mcmorabilcm  : 

C]nod  eo  m^igis  e(l  notatii  dignum  ,  quod  ferics  in- 
finitn  x' -{- x' -i- x" -{- x^'  nullo  modo  ad  fummam 
finitain  rediici   potcrt. 

§.    II    Scd  rcuertamur  ad  nofirara    integratio- 
nem   principalem  ,  qua  cft 


l  X 

cuius  vcritatcm  etiaai  iioc  modo  ofiendere  licet ; 
ciim  fit  .■,«  — t*'^  denotantc  e  numerum  cu.us  loga- 
ritnnuis  hyperbolicus   —  t  ,  erit   pcr   fcriem   infinitam 

a,'"  —  I  4-  ?-^  +  «'^'  '  ^  }L  4-  o^llllJl  4.  aM  2  X  y^ 

hincquc   coUigitur  fore 

x^-x^-ia-^y-^  +  iaa-^^yi^-^-Ca-t-y^/^^^l  etc. 

quae   fcries  per  —_  multiplicata  ct  integrata  ,  ob 

fa  X  (  /  A'  )"  —  +  I.  2.  3.  .  .  M 
(\bi  fignum   lupcnus  \alet  ,    fi  ?;  cft  numerus    par  , 
inferiiis  fi   impar)  ,    pracbet   pofito    .v— i     lequcnttm 
Icr.em  : 

S  3  4  * 

quac  (cticb,  manifcfio  praebet 

/(iH-a)-  /(i  +  e):i:/«-^L. 

1  2  §.12. 


6$  SPECVLATIONES 

§  i2.  Qiio  valor  huius  formiihie  ruccimflliis 
cxprimiitar  ,  loco  a.  et  S  fcribamus  a  —  i  et  S  —  i , 
>ft  habeamus 

Quod   fi  crgo  rumamiis  arri?'^    ct     §  — f"  ,  nancifcc- 
mur  fcquentcm  iutegrationem  iutis  concinnam: 


^m        ^« 


f  dx    /  ^    ^  X  ):=zm  —  H. 

§.   13.  Inucftigcmus  nunc  integralc  huius    for- 
mula  difFcrcntialiS 

—  I  —  X  -T"  s,     —  A     ~\-  A      etc. 


I  +a-'' 


colli^itur  hinc  integralc  quaefitum 

'r       '  e^  "^'e -t-'-i     'p.-^-i^» 
vnJe  nancircimur  fequens  thcoren  a  : 

Thcorema  5.   Kui  formula  intcgralis 

a  tcrmino  .v  —  o  vsque  ad  terminum  x—  i    cxtcnf» 
femper  acqnatur  Ituic  formulau  logarithmiCae  : 

7  *_      €  -<-  g      tt  -t-  ^  n     6  ->-  :  n      *  "'-.^^'L    ctC 
£    *a-f-u*e-t-2i"«-t-j'i'6-»-»;i 

§.    14.  Cum  igitur  alibi  dcmonftraucrim>  huius 
proiucfli    in    intinitum  continuati 

"   ( "^  H-'"  ^   a-f-il!      e_;_fe-t_fc     a-f-]^      c_f-J-i_-> 


«-t-«    6-+-/i('e-t-«-f-k'i>-t-a((*«  -t-  4  -+-  i  k 


valo- 


ANALYTICAE.  6^ 


Talorem  acquari  huic  cxprcflloni 

/■  — it 


applicatione  aJ   nouram  cariiiTi   fid.i  crit 
«— a,  b  —  ^  ^  kz:z  n  ,  k  —  2  n 

hincque  valor  nolUi  produdi   infiniti 
fz^^-^dzCx-z'")   '"^ 


/  i-*  -  '  r/  S  (   I  -  ii'"  J    = '' 

quac  ambae  formulae  integralcs  a  tcrmino  « —  a 
\s.]uc  ad  terminum  z  —  i  iant  extcndcndac  ,  atquc 
hinc  colligimu*  fe-iuens  theorema. 

ThiOrema  6.  l(h  formula  integralis 

/"  — T"  (  n~)  1  ^   termino  .v— o  vsque  ad  termi- 

num  :»:  —  I  extenta  acqaalis  eft  huic  valoti  i^-  , 
exifteiite 

P— /s*""  rt^x;  (  I  -s^»  )    '^'      et 

Q^—fz''-'  d z{i  -  z""  y^ 

dum  fcilicet  etiim  hae  formuLic  integrafes  poflcrio- 
rcs  a  teriTiino  s  — o  vsquc  ad  tcrminum  z  ~  1  tx- 
teiiduntur, 

§.   15.  Sumamus  igitur  «—  i  ,  vt  formuLi  no- 

fdx    a;*  —  .'.' 
{[ti  integralis  fiat  — ; — . '■- , 

X  l  X      i  -^-  y. 

13  ac 


70  S  P  E  C  V  L  A  T  I  O  N  E  S 

ac   tiim  erit 

V—fdzii-zz)  =      et  q  —  Cdzii-zz)    '    , 
vnde   pro  a  ct    ^    fequentes    ca[iis    euohumu'?.       Sit 
primo    a  :=■  2.    et    6  =r  i     erit    P  —  A  fin  s  -  -  7   et 
Qms  — i>    i^eooue  —  —  ^    vude    colli^imub    fore 

J  dx   .  *_-^  ^  /  !L. 

§.    !<?.  Sumamus   nunc    c.  —  3   ct  ?  —  i  ,    vt 
fiat itaCa-—  I  )    hincquc    formula     noflra 

integralis  crit/y-|(.v-  i  ),    cuius  valnn.m  nouimus 
effe  n:  /  £   at   vcro  ex   formula   noftra   mMurali    ent 

V:^:  iti^^^ldzV^-zz^f^tl.^-JJrlU 
At  \ero  pcr  rcdudioncs  notas  cft 

r  z  zd  z —  1  f d  z  

■>  V  7—-Z  z         '     V  1  —x.  -  ' 

ficque  erit 

O  —  '  / ^5 —  •  •" 

vnde  fit  ^  — (^,  qui  \aIor  [perfcflc    congruit    cum 
ante  afl'i^naio, 

§.  17.  QuQ  iam  in  quantitatc  P  non  occiirrit 
cxponeiis  a  ,  in  altcro  vero  (^  tautum  S  occurrat  , 
(Uf3Lrius  tiicorcma  ita  iii  duas  partcs  dillribucri;  licc- 
b.t  ,  vt   iit 

Jr;,-—n  =  C-irz^-'dz{i-z^'^)  -      et 
dx  x^ -  •  L-  '5 

Jjx-i:^n-C-lfz''-'dz(l-Z-^)    - 

vbi 


ANALYTICAE.  71 

\bi  C  denotant  ccrtnm  conft;intcm  ,  qnae  autem  in 
difFcrcntia  dnarum  huiusmoJi  formularum  integra- 
lium  c  calculo  egreditur. 

§.   18.  PofTumus  ctiam  noftram  formulam    in- 
gralcm  principalem 

'    Xl  X   ^  ■'  5 

ita  transtormare  ,  \t  in  ea  exponcntcs  infiniti  occur- 
rant ,  quae  ob  hoc  ipium  attcntione  non  indigna  vi- 
dctnr.      Denotet  igitur  i  numerum  infinite  magnum, 

I 

et  quii  /.v  ita  exprimcre  licet,  vt  fit /.r  — i(vV' —  i), 
formula  nollra  hanc  induet  formam  : 

/— T (;i'-.^  )  =  /•-.. 

fX[x^—   I   ) 

Nunc  igitur  ad  exponentcm  fraflum  tollendum    fta- 

tnamus  x^  —  z  ^  vt  (It  x-s',  hincquc  ^  — '^f 
tum  vero  x^^-z"^"-  ct  .v^-2^' ,  er  quia  adhuc  iidem 
tcrmini  integrationis  habentur  zzlo  et  ^—  r,  hinc 
fequcns  theorema  refultat :: 

Thhorema    7.     Denotante-    i     numcrum    infinite 
magnum  i(h  formula  integralifr 

A  f  (  ^a'  —  -61 

a  termino  z  —  o  vsque  ad  terminum   srri.    extcnfi 
fempcr  aequalis  eft  huic  valori  /|-. 
§.   19.  Cum  fit 


2«' 


eric 


72  SPECVLATIONES 

erit 
f —  -  — —  + 

■^  Z{Z-  O  0.1-1 

eodemque  modo  eric 

i^'dz  I  I  I  I 

J  z[z-i)     ^i-i       6/-2       io;-3       fe^-4 
vnde  p.itet,  diffeientiam  haium  du.irum   (crierum  efls 
/?- ,  ita  li  luerit  a.  ~  z    et    §-i     prodibit    ifia    ia- 

tegr.uio 

dz[z''-z')        I            I            r             I  I 

f—, -^  n + -l- +—  fctc 4-- 

"^     Z\Z-\)  0.1-1         2i-2  -^-3  2/-4.  < 

quoniam   foquent.s  termini     per    feriem     pofteridrem 
tolluntur.    Conftatautcm  huius  fcriei  luinmam  cfic  h, 

§.  £0.  Plurima  ndhuc  nlia  confcdarui  ex  ifii 
intcgratione  memorabiii  deduci  poHcnt,  quibus  autem 
hic  ncni  imnK)rabor :  lcd  potius  ipCam  Analyfui 
qune  ad  hanc  integrationcm  pcrduxit  accuratius  per- 
pendam.  Confidcraui  fcilicet  potcfiatcni  x^  ,  cuiu» 
cxponcns  w  pro  lubitu  fiue  -vt  conftjn»  fiuc  \t  va- 
riabilis  fpc<flari   queai  ,  et  cum   fit 

t"  dx  _y^ 

idroque  fi  pofi  integrationem  fumntur  A'=ri  erit 
f^  x^  —  \;  quae  formuhi  trgo  lundamentum  con- 
ftituat  vndc  lequentia  deduccmus. 

f.   2  1.  Hanc  iim  fdrmulam  pcr  du   mulripH- 
catam  intcgremus ,  fpcd.ita  x  \t  confiante,  et    cuia 

luaima 


ANALYTICAE.  73 


x"" 


fumma  f  x'  d  u -=■ -r-^  ^  tiim   vcro  ccnfl.:t  h;!nc    intc- 

grationem  ab  altera  vbi  x  crut  variabilis  r.o'.i  tur- 
bari ,  habcbimus  iiutic  iftam  intcgrationem  f -~^x"- 
— /«  +  A,  \bi  A  denctat  conftantcm  pcr  intcgra- 
tionem  in^rtffam  ,  quae  igitur  e  medio  toHetur  ,  fl 
duas  huiusinodi  formas  a  fe  inuiccm  fubtrahamus , 
vnde  fi  primo  fumamus  u  zz  a,  tum  vero  ?f  —  (3  , 
et  ponerius  integrale  a  priori  (ubtrahamus ,  prodibit 
noftra  forn>a   principalis  initio  comir.emorata 

§.  22.  Simili  r.r.tem  modo  a  formula  intcgra- 
li /jj''^  A-"  — /«  H~  A  vltcrius  progrcdiamur ,  qua 
pcr  <-/  u  multipiicata  et    ex    fola     variabilitatc    ipfius 

u  intcgrata  ob  fx"du  —  '—  vt  ante  perueniemus  ad 
iflam   integrationcm: 

^rfe  •'*'■"  =f^  " ^"  -I-  A  «  -f-  E  —  K lu  -  tt  -l-  Au-{-B 
vbi  cryo  tcrnas  formulas  particularcs  ir.tcr  fc  com- 
binari  oportct  ,  vt  ambae  conaantes  A  et  B  ex  cal- 
culo  dcturbcntur;  quia  auttm  loco  A  (cribere  licct 
A  -f-  I   erit 

fxji%i  -'^"  —  u  I  u  -'r  A  u-^  B. 

§.  23.  Quod  fi  iam  denuo  per  d u  multipli- 
cemus  ct  mtcgremus,  miuatis  literis  ccnn.intibus  , 
quo  fcrn-.ula  concinnior  reddatur  ,  reperiemus 

^xj  ^  -^"  =  i  «  "  /  «  +  A  « ?/  -^  13  «  4-  C 
Tom.XX.Nou.Comm.  K  codem- 


74-  SPECVLATIONES 

eodemqne   modo  vkeriiis 

J    X{1  X)''  ^" 

ttc.  etc. 

Vnde  intelHgitur  ,  continuo  pliircs  cafus  particuhrss 
inuicem  coniungi  debere  ,  vt  onincs  qiiantitatcs  coa- 
Ibntes  A,  B,  C,  D,  ctc.  cx  calculo  cxpellaatur. 

§.  24..  Hoc  igitur  modo  cuoluamus  forniuLim 
§.  22.  inucntam  ,  ct  exponenti  u  tribuamus  hos  trcs 
\alores  :  a,  (3  et  y  ,  vt  obtincamus  iftas  tres  for- 
inulas> :. 

I.     f^-  X''  =  a  /  a  H-  A  a  4-  B 

II-  /(^P^^^P^P-^Af.  +  B 

vnde-  eliminando  B  duas    hafce    nancifcimur    aequa- 
tioncs : 

I-ir  =  a/a-|3/,3  4^A(a-p)  ct 

ll-IIl  =  (3/p-Y/y-t-A(p-Y) 

(I- lI;(P-y)- (11-111)  (a-p)=((3-y)a/a(f3-y)|3;.3 

-(a-|3)(3/|3+(a-p,y/Y 
quae  reducitur  ad  hnnc 

i((3-Yj  +  ii(y-a)+nu«-(3)=^|3-Y)«/ft-i-(y-«)p/(3 

+  (a-(3)Y/y. 

§.  25.  Hinc  igitur  pro  formulis  ad  iHud  gc- 
luis  refcrendis  conftituerc  potcrimus  fcqucns  thcore- 
nia  fundamcntale : 

Jhcore- 


ANALYTICAE.  75 

Theorema   8.  Ifta  formula   intcgralis 

Idl7  (^^  -  '^^^  ■"'  +  (y  -  «)  ^^  +  («  -  P)  ^•'^) 

a  termino  .r  —  o  vsque  ad  tcrcninum  x  —  1  exten- 
fx   femper  aequalis  eft  hnic  valori: 

(P  -  Y)  a  /  a  +  Cy  -  ^)  P  ^  (3  +  (a  -  P)  Y  ^  Y- 

§.  16.  Circa  h:inc  formam  imprimis  notafre 
iuuabit  ,  formlilam 

(^  -  y)  A-^  4-  (y  -  a)  :^^  -H  («  -  (3)  x^ 
non     foUim     per    .v  —  i   efTe  diuifibilem  ,    fed  ctiam 
per    .r  —  i)' ;   prius  inde   patet  ,    quod  pofico   .r  .:::  i 
fit  [3—  y-j-y  —  ct-i-a  —  prro 

podcruis  vero  ,  qund  cius  ctiam  differcntiale  poflto 
X  =  1    fit    a  i3  -  y)  -f-  (3  (y  —  a)  -h  y  (a  -  P)—  o, 

id  quod  n;itura  rci  poHuIat ,  quia  in  denommatore 
(/.v)"  pofuo  X—  i  continctur  quadratum  quantitatis 
euanefcentis. 

§.  27.  Quo  vis  huius  intcgrationis  gcneralis 
dnriu?  perlpiciatur  ,  cafum  euoluifTe  operae  pretium 
crit  quo  ponitur  a  —  «  +  2,  (3  —  «  -|-  i  ei  y  —  M 
quandoquidem   obtinebitur  ifla   integratio: 

.v''~  '  d  X  (x—  if 
f- (T^y z:(«+2)/(«-a)-2(«+i)/(«+i)+«/« 

■'«   -h  2)"H-'  71^ 


—      (,j  4-    1)^1-+- .)• 


K   2.  §.    aS. 


^tf       SPECVLATIONES 

§.  28.  Tnidlemiis  co.iem  moJ.)  formiiLim  ia- 
teg;ralem  gniJus  tcrtii  ,  in  qua  occurrit  {!  x)'  ,  tri- 
buendo  exponcnti  u  quauior  v;ilores  a,  (3,  y,  d ,  vndc 
oriuutur  fequcntcs  acquationcs 

I.     /■,4^-.v'=r=iaa/a4-Aaa-4-Ba-f-C 

"•    /".;'!--^'^-'Pt^^^-i-APt3^-B(3-|-C 

III.  /--^-^-a-^-'yy/y  +  AYV4-J]YH-C 

IV.  /-^-A-^  =  :^(J/^4-A<5(J-|-B^H-C. 
Atque  hinc  erit   primo 

I-.Ur=iaa/a-^f3f3/(3-+-A(aa-(3t3)-L-B(a-(3) 
\nde  fit 

i^3  =  ^-pF  +  A  (a  +  p)  +  B. 
Eodciiic)Uc   modo  crit 

quarum  formuhirum  difFcrcntia  dat 

qua  per  a  —  y   diuilii  prodit 
(i-ni (ir— ni)    —  aa;a:^,3.p:p  _  /(33;j3_.vvi>)   1.  a 

(«-13)  K<x—y)        (p— 7;  a-7;  2;«— ^„«_>j         ^  2>^_v  ,a_v/  ^^ 

codemque   modo  erit 

ai-im    _    "J[^il_  —  fPt3:(3_— v"WY'>  ^  (lVi>— 51L?^4.  A 
^_y,^^_Tj       (>— 5,y_6;  —  S  i^_y  (i3-Sj^         .  o-i;  ^jl-i)/  T'"'»' 

quae   p>-)(lrcma  a   fuperiori    fublaca   relinquit 

I  r    I  —  w    ^  _  r  «_:lI'L—^  _  ^   "  —  "t   )  j_  f   I"— IV    ^  — 

l^a-p)3^/         \3-7.(a— »'        H|3-y  ,1-6)'  ^  ^t7-d;,Hl-4) 
,.|a_(3|3i(3)x  ^  .P^jjLj^V^VJVN      p^.S/^r-^j:!!)^-!"^^^^^^'*^ 
(.TS^.a^/        ^a^3-v.,a-vl'      S  p-Y;  ilTIir'^^  =(7-6)1(3-5^ 

licquc  iam  omncs  ties  condaates  A,  B,  C  funt  cli(ac, 

j.  2.9. 


A  N  A  L  Y  T  I  C  A  E.  77 

§.   29.  QiDJ  fi   iaiTi   riiigiil;!   luiiiis    aeqiintionls 
mcmbra  cuoluantur  et  tam  fecundiiin   numeros  I,  U 
III,  IV    quam    fecundum     fiirmuhis    aa/a,  (3  (3 /3, 
yy/y,  S  S  I S'  iii,  ordinem  difpoiiantur  ,    obtincb:- 
tur  fcqucns  aequatio  : 

IL'*^  ^) U     "'  <"«  —  ^'      a.      rv  fa  —  J) 


g    —01    l_  III  Ig  —  Q!  I 


—     aa:£j£__,       -a  — ff  ,3i/,i_    ,       fa  —  6  7  Vj!>_^    ,       .a  — 5)65/5 

quae  acqujiio  pcr  a-  $  diui(a  ad  pulchcrrimam  vnU 
fjrmiiatem  reducitur  ^  quo  faAo  fequcn.s  nancilcimur 
theorema  ad    hunc  caUim  adcommodatum  : 

Th.orcma  9.  Ifta  formula  integralis 
dx    /■  ^ x^ 


+  .7-TT7-~75Tr.-^  + 


v)y 


(y-«)(y-pXY-^)      (^-«)(<^-l3:(<^- 
9  tcrmino  a"  —  o  vsque  ad   terminum  .v  —  i   cxten- 
Ij  aequarur  lcqucnti   fbrmulae 

aaja ,  p  3  / /3  i  yyiy  i J^J- /  S" 

»:«— P};a— -y  «  -5j  '•'  :(P-a'  .3-7,  ,3-5;  ~  ^y-x.y-^xi^i      :{5-x]  i—^S-y) 

cx  qu3  forma   pcrlpicitur  ,  quo   modo   ad  calus  magis 
compofitos  fdcile  progrcdi  liceat. 

§.  30.  Ad  hunc  moJum  etinm  prnecedcntes 
caTas  repra  (enfnre  opcrae  pretium  crit.  Ita  pro  di- 
vifore  /x  habebimus  fequentcm  formam  inte^ralcm  : 
^         dx         x^  A-3     __  J_a^  /j3_ 

^ x[lxy  '^^)  "^  ^"a.  —  a  -  (3  "^  p  -  a' 
Dcinde  thcor;;ma  §.  24..  allatum   ita  refcrctur  : 

K  3  J" 


•78  SPECVLATIONES 

dx    /• A« xP >y N__ 


(a-(3Xa-Y)^((3-aj,p-Y)^('V-a;(v-p; 
atque  iflam  formain   feqiiitur  illi    qu-im     iii     thcorc- 
matc  vltimo  retulimus. 

§•  3  r.  Niinc  igitur  hoc  ncgotium  in  ccncre 
cxpcdire  poterimus  pro  quacunque  poteftatc  iplius 
1,  X  ,  qui  in  denuminatore  furmulae  intcgralis  oc 
curr  t  ,  cuius  cxponcns  fit  —  «  -  i  ,  vt  numcrus 
membrorum  fint  rr  ;/;  rtim  igitnr  accipiantur  pro 
lubitu  numeri  a,  p,  y,  (J  ctc.  quorum  numerus  fit 
iz://,  ct  quaerantur   hinc   (equentcs   \alores : 

S{=  (a- f3)  (a- v)(a  -  5)(a  -  e)  (ttc. 
S8  =  ((3  -  a)  ((3  -  yl  (p  -  <5)  ,(3  -  e;  (etc. 

(E  =:  (y- a)  (y- (3)  ly- (5)  (Y-f'  (^'^c. 
©  zz  ((J  -  a)  ((^  -  (3)  ((^  -  Y;;  0  -  f)  (ttc. 
etc.  etc. 

tnm  vcro  ponatur  ciiam  breuitatis  gratia    hcc    pro- 
dudum 

I.   2.   3.  4.    5 (/i  -  2)=  N 

atque  obtinebitur  fcqucns  forma   integralis    gcncralis- 
iima 

a'— '/g       (3"-V(3        Y^"'^Y        ^V^ 

\bi  notandum  ,  ca(u  «  n:  2  lorc  N  rz  i. 

§•  32. 


ANALYTICAE.  79 

§.  3i.  Ad  haec  vberius  illuftranda  meminiflre 
iuuabit ,  me  iam  pridem  infigne  thcorema  arith- 
mcticum  demonHrnflTc  circa  huiusmodi  fradiones 
L_  -f  L  +  ^  +  etc.  quorum  numcrus  fit  vt  ante   —  n 

vbi  odendi  ,  omnes  fequcntes  formulas  nihilo  aequari 

I. 

II. 

III. 

IV. 

donec  perucniatur  nd  poteflatem  exponcntls  n  —  2; 
nt  vero  fumto  exponente  — ;;  —  i  Icmper  fore  de- 
mondrauimus 


1 

+ 

I 

-1- 

I 

H- 

T 

-^-  etc. 

— 

0 

a 

-\- 

91 

-i- 

7 

-+• 

3 

4-  etc. 

0 

?J5  4- 

Pi3 
55 

-f 

77 

+  ' 

3 

etc.  =: 

0 

2i 

-+- 

3- 
S5 

+ 

7' 

-f- 

6^ 
3 

etc.  _: 

0 

D£ 


dh: 

RESOLVTIONR  POLYGCNORVM 
RCCTILINEORVM 

DiSShRlAllO   SECVNiJA. 

A  11  c  t  o  r  c 
J.     I.     LEXELL  ^ 

I. 

Poftquam  in  priori  dc  hoc  nrgumento  Difrertiuio- 
ne  ,  vt  (pcranius  (iuis  dihicide  opoUiimus  prin- 
c-p;;i  ,  qiiibus  in  fubfidium  vocQtis  rcCulutio  Folyiio- 
norum  pcrficitur  ,  dum  rati )  tnntum  h.ib-.tur  late- 
rum  et  angulorum  eius  circuitum  includcntium  ; 
nunc  id  nobis  propofuimus,  vr  olleiidair.us  quoniodo 
acquationcs  pro  refolutione  Polygonorum  fubminiflra- 
tae  it;i  tr:ici;iri  dtbcnt ,  \t  npt;is  ct  commod;!S  fup- 
pediient  (olutioncs.  Qucm  in  finem  omnes  cafbs  rc- 
folutionum  pro  Tctragono  h.ic  reccnlendos  ct  di- 
Tab.  I  ninclc  cuolucndos  ccnfuimus.  Si  igirur  ABCD 
^'2  ^"  fit  quadribucrum  ,  ciusque  latera  A  B,  B  C,  C  D, 
D  A  refpcdliue  defigncntur  liticris  ^,  b^  f,  r/,  angu- 
li  autem  extcrni  a  A  B,  ^  B  C,  f  C  D,  rt'  D  A  in- 
digitcntnr  pcr  httcras  A,  B,  C,  J),  pro  refblutionc 
huius  quadrilatcri  fcqucntcs  quatuor  adipifcemur  ac- 
quationcs  : 

I.  d(i~aa-\-bb^-cc-\ ':.ahzo{.V,-\-z(ic co^.i^^-^rCyv^bc colQ 

II.  dd'\-cc\-^dcco[.'Dzzaa-\-bb-\-2abQO[.'^ 

in. 


DE  RESOL.  rCLYGON'.  RECTILIKEOR.   Si 

IIT.  ^fin.A  +  ^lln.CA-f  B)4<-rin  (A-f  EJ-C)~o; 
1  \'.  ^ li ii.  A  +  ^ fm.  ( A  +  B) - c fin. Dzz-O 

qiias  <]uein.idmod«iii  iradari  oportet ,  vt  pro  qna- 
\is  (]U;iellioiie  propofita  sptas  dcnt  folutioncs  ,  nviuc 
crit  difpiciendum. 

2.   Problcma   i.  Datif  latfrlbus  s,b,  c  fjzw  an' 
luiif  B,  C  inuenire  latus  d. 

Pcrfpicuum  cft  huius  Probkmatis    folutlonem    ex 
acquationc  noIUa  prinia  adornari  ,  per  eam  enim  fit 

^2'rt'=fl^l-i;i?+a-+ ifl^  cof.B-f- 2/7  fcor.(B-i-C)-f  2k  cof.C. 

Cactcrum  quum  cx  aequatioue  dum  fic  exprimitur, 
valor  ipfius  d  niinus  commode  inucftigctur  ,  neces- 
fum  cfi  vt  eandcm  in  tormas  aliquanto  commodio- 
res  transmuttmus.     P^ft  vcro 

(  a  fm.  B  -  (T  G  n.  C)'+ (i»  4- <?  co(.  B -f  <•  coi;  C)' 
quarc  fict 

dd-{a  fin.  B  -cfin.C)'  +  (i'  +  ^cof.  B+<-cof.C)% 

tum   igitur  fi   quacratur 

Taiig.  ^^.-'"^^-'^vS-^conrequemur  ^-&-t-«c,f.B-t-cc./.c, 

Vel  iiiutlligatio  ipfius  d  fequcnti  ratione  pcrtici  po- 
tent  :  quum   fit 

aa-^bbA  a-+  2tfi;cof.B+2  ^7f  cof.CB^-C)  +  2  ^t^cofCr^ 
t«+^„.,BH-o   "t- {c  t  ~-^—^]  +  > coni^-t  ».;,tf+  __--^j, <:-f  _^p 

quod  facile  pattbit  fa(fta  cuolutione  pofttnons  for- 
inae  ,  flatuamns    • 

'iom.XA.  iNou.Comm.  L  ita 


8i  DE    RESOLVTIONE 

ita  vt   hiibCcUur 

dd—ee-^ff-\'2.efcci?.['Q^Q),  hiii:|ii;    dilzzie-^-fy 

fi  igitiir  por.iunr 

4^/nn.UB4-C)'        r      r«      ^ 
^lir^^—  -  fin.  E   ,  fict 

dd—{c  -\-fi  cof.  E' ,  feii  d  —  [e-\-  f)  cof.  E. 

De  hac   auiem    (ohuione    obfcrn:irc    conuenir  ,    eam 

4.^Afn.UB-f-Cr 

femper  adhib^ri   pDfTc  ,  quia z valo* 

^  '  ^^  -+-  / ) 

rcni  fcmper  coiifcquicur  pofuiuum  ,  eumqne  vnitate 
iiiinorun.  Ncceflumenim  e(t  ,  \t  e  ct  f  limul  V;i- 
lorcs  fui2  pofitiuos ,  (eu  negatiuos  fortiaiuur  ,  tnm 
vero  euidens  elt  ,  quod  {e  -{- f  f  ^  ^  e  f ,  Jiincque 
tanto  magis  [e-^-ff  >  4  ^/"fin.  '  (B  -+-  CY . 

3.   Problenia.  2.  Datis    laterikus    a,  b,  d    ciim 
avgtdis  B,  C  inuemre  laius  c. 

Huic  problcmati  fohicndo  aequatio  noflra  prima 
infcruit  ,  vt  autcm  fohuioni  aptior  euadat  ,  noietur 
eam   fic  expiimi  pofTe  : 

(rf  kof.C+^cof.(Bi-C))V(flrin  (B+Cj+Z^  fin.C^^-^^viidc  coUigitur 

(<;-f-^cofCH-ffcor(B-f-C))'=i'j''^-(<?fiu.(.B-hC)4-i'fin.C)'  hincque 

<-+kof.CHtfcor(B-HC)z=V(^</-(rtfin.'B+C)-i-Z'fin.C)') 

— V^^Hflfin.^B+CH/^fin.CX^y-flfin.^B-i-Cj-^^fin.C). 

Quum  autcm  fignum  radic:ile  fua  natura  (ambiguum 
fit ,  et  quaniitutcm  tam  negatiuam  ,  quani  pufitiuam 

indi- 


POLYGONORVM  RECTILINEORVM.     83 

indigitct  ,  intclligitur  cx  hac  neqiiationc  binos  ipfius 

c  viilorcs  colligi  ,    quod  quomodo    cxplicari    debcat  , 

haud   praetcr  rtm   erit  ,  \t  hcic   oflendamus.       JJum  Tab.  I. 

in  quadnlatcro  A  B  C  D    d..ntur     latcra    A  B,  B  C,  ^'S-  ** 

AD    ct    aiiguli    ^BC,    cCD    et    quaerendum    fit 

C  D,  liquct  hoc  latus  inueniri    fi     ccntro    A    radio 

zzA\)    defcribatur    circulus  ,  in  interfedione    enim 

huius  circnli   cum    rcda   pofitione  data    CE,  dabitur 

pniKftum    ].),  ex  quo  ob  dupliccm   intcrfedionem  cir- 

culi   cum    rcifta   C  Ii ,  binos  conicquimur   \alores    la- 

teris   incognifi  C  D,    vcl   C\J      Quod  autem    h;irum 

l.nearum    val'"re«'    pcr  acquationem   (upra   allatam   tx- 

primantiir  ,  fic  o(knditur.      Ex   pun<flo     A     in    C  D 

iioncahs  ducamr  C  E  ct  pi.r  B    iffi    C  E    parallcla 

B  G,   tumqiJc   tnt 

CE- f  ABcof.ABG+BCco(.BCi-=-flcof.(BfC)-^cor.C,  nec  non 
AE  — cfin.(B  +  C)  +  ^fin.C,  cx  quo   colligitur 
DE=:V(A1/-AE^)— V(rfr/-(afin.(B+C;+^fin.C)'), 
hincque  f  — CE+DE,  ex  priori  valore  fiti-  — CU' 

cx  poflcriori  c  —  C  D.     Cafu  quo  D  E  ~  o,  hoc  eft 

r/—  tf  fin.  (B  -f-  C)  -i-  i»  fio.  C  ,  vnica  tantum  locum 
habct  folutio  eritque  pro  ca  c  —  —  a  cof.  (B  -f-  C) 
—  b  cof.  C  ;  vt  autcm  problema  fit  poffibile  ,  prae- 
fupponi  •  debct  quod  a  fin.  (E  -\-  C)  -\-  b  fin.  C  non 
exluperet  ^,  quod  quidem  pro  quadrjlatero  fempcr 
cbtinet  ob  d  fm.  D  —  6  fin.  C  4-  a  fin.  (B  +  C). 

4.   Problema   5.  Datis  htcribus  a,  c,  d  et  an- 
gulis  B,  C  imumre  latus  b, 

L  2.  Pro 


ftf  DE    RESOLVTIONE 

Fro    hoc    Problc;natc     niluendo    adhibcatur     iftg 
transforniatia  aeqiuitianis  nollrac   primac  : 

dd—iif-hacoi.B-^fcoi.Ci-^^aCin  B-tffin.C)' 

■vnde  colliyitur 

fc+^cof.lS+^coLCrVf^-aun.B+t-GaOy+tfrin.B-cfin.C), 

hinc  ob  ambiguitatcm   figni  radicalis  ,    duplex  pro  k 

prodibit  \alor  ,  \triusque  aurcm  ratio  IcquLBti  modo 

Tab.  I.  cxplicafur  :    P^r   pundum   B   rcdne  BC  ducuniur   li- 

'■■  ^'   i)CAc  B  A  —  c,  B  F  —  r,  quae  cum  B  C  taciunt  aa- 

gul>'S  L'  B  A,  C  B  F  reCpediue  aequaks  aogulis    da- 

tis  B  et  C,    pcr    punclium    autcm    F    agi,tur    linea 

reda  E  F  D  parallela  ipfi    B  C  ,    quo    f.vflo    liquet 

j:nn(flum  D  quadrilatcri  ir.ncniri  dum  ccntro  A    ra- 

dio  A  D  —  <^  dcfciibatur  ciixuUis  rcdam  EF  inter- 

f€ca.ns  iii  putldiO  D;  nam  fi  pcr  D  ducaiur  D  C  pa- 

rallela   ipfi  B  F,    p.ueb:t    in    quadiilatcro    ABCD 

angulos  cxternos  C'  B  A,  G  C  D  rclpeduie     acquale» 

•ellc     daris    B,  C  ,    tumque     ciTe    latus    A  B  :::^  <7 , 

C  D  rn  '\  F  =:  r  .   A  D  rr  ^.     At  circulns  ccntro  A 

radio  zn /i' dcfcriptus  reirtam    EF    in    binis    pundis 

int.rtfcare  potefi  ,    ilt  y^iiuv  ahcra  intcrfcclio    b'  et 
dudi.t,    D'  C    parallcla    ipfi    B  F    aliud    conlcqucmur 

quadrnatciura  ,    quod    t.imen  pro  noUra   fii^ura   pro- 

prie  loquendo  ad  noftram  quacftionem   non  pcrtiuet, 
^nzm    m     illo    quadrihtcro    anguli    intcrui    A  B  C , 

13  C  'i'    re-iicdliue    acquivntur    angulis    datis    B,  C. 

Caetcrum  fi  cx  A   in  E  F  normalis  ducatur  ,    A  H, 

facile  demonftratur  eiTc  : 

A  E  —  f  fiu.  C  —  a  fin.  B  ideoque 

ED-- 


POLYGO^^O.IVM  RECTILTNEOHVM.      85 

ED—  V{Jci  -{c  Cv^  C  -a  fin.  By)  ,  tumquo 
F  K  —  <7  cof^  B  +  f  cof.  C  ,  hinc  aurem    fict 

Ahcr  :uKe  n    valnr  quo 

^— -v/./8'J-(4-rin.C-flfin.B/)-/?cor.B-^cof.C 
pro  !ioc   can.1   fit     incon^rnus  ,    quum    fit    negatiuus 
m  —  D'  F.      Caeterum   vt  lo'uLi()   fit   poinb  lis  ,     in- 
telligitnr  lunc   pr:ie(cr;bi    conditioacm  ,    vt    habeutur 
i^  >  f  fin.  C  —  a  fin.  B- 

5.   Problemn   4.   D^z/V  o:mifbus  qmdrilateri    la» 
Hrlbus  et  a'!guh  B  inumrii  angulum  C. 

Hunc  in  fincm  cuoluarur  iile  terminus  aeqna- 
tionis  noltrac  prim.ie  ,  qui  continet  cof.  (B -j- C)  , 
quo  fadt )  conleqnemiir  : 

dd—aa+ifb-{-cc{-^  a  b  col.B-fa  ^cof.C^^-Ftsfcof.B)— 2  <r  a  fin.Cfin.B. 
Vi  hinc  coRimoJe  elici  que.u  angulus  C  ,  ftituamus 
Tang.F  — -li-?^  ita  vt  fit  ^  +  acar.B^afiti.Bcot.F, 
tumque  adipi(ccmiir  : 

fc^flf^Z>+^r+-2fl£'cof.B+£fl^g-fCcof.Ccof.F-fin  Cfin.F),  fiu* 
dd-aa-^rbb-^-cc-V^abcoL^^-^-zac^:!!!!^^!!  eft  vero 

<a-4-^fr-F-2«6col.B— a'fin.B'cor.F'H-«'fin.B*—  «^^'■'•^. 

qiure  prodibit 

i^inicr-v-'"^;';^'-^  --  flf  g^coC  (C-f-  F). 

H.iec    autetn    aequatio    in  fcquentca    facilc   transfor- 
matur  : 


tC  D  E    R-ESOL  V  T  lONE 

ex  qnibus  inuenitnr  : 

v.  4^^(in.B         y       -.•       4«i-fin.iiuu.F 

^  '    Jtn.P  '  ^       '  Jm.  F 

Tab.  I.  Si     duda     intelligatur    A  C     diagonal  s    quadrilateri 
Fig.  4.    A  B  C  D,  facile  cohlKibit  cffe   angulu.n   B  C  A  =  F, 

hincque   F  -i-  C  =::  i  &o°  -  A  C  L,  uieo.-ue  L  (K  +  C) 

ii:  90°  —  i  A  C  D,  quare 

Tang.  UF+C;-  cot.  ^  A  C  D. 
Hacc   igitur  folutio  eo  rtduciuir  ,   vt   inucfligato 
Tang.  B  C  A-  Tang.  F  =  ,  "^^"'^  , 

quaeratur  Tang.  -J  A  C  D  pcr  fonni!l.un 

"^"  C^  +  W  +  '^^  ('■  -^  JTT^  "^^  ' 
quo  fit^o  crit  ang.  C  zz  i  80°  -  B  C  A  —  A  C  D. 
Cactcrum  patct  tang.  I  (  C -4- F  )  hcic  ambiguum 
efle  ipfiquc  valorcm  taui  negatiuum  ,  quam  pohti- 
\um  tribui  polTc  ,  quapropter  pro  C  biuos  quoquc 
habebinnus  \alorcs  ,  quorum  fi  vnus  exprimatur  ht- 
tcra  C,  altcr  pcr  C;  ncccflum  cfl:  vt  lit 

O  zz  360°  -  C  -  a  F  , 

cll 


POLYG0NO.1VM  RECTILINEORVM.     87 

ert  enim 

tang.KC4-F)=r-ta:ig(i8D°-'[C-|-F3}--tang.KC'-f-Fy, 

idcoquc 

3<jo°  _- (  C -f- F  )  — -f- C -f- F  ,  fiue 
C'rr36o°-C-2F. 

Ratio  iiiuem  lniius  ainbigiiitatis  efl:  manifLrta  ,  dum 
connderamus  luper  dingonali  AC  conftrui  pjflc  tri- 
angulum  A  D'C  ipli  ADC  fimilc  ct  aequale,  tum 
autcm  fitt 

ang.  h'Cc—  360'  -DCtr-2BCA, 
cft  enim 

-:  (  D  C  t'  -f  i:'  C  c  )  =  A  C  r  =  1 80  -  B  C  A. 

6.  Problema    5.      Datis   latcribus    a  ,  b  ,  c    et 
anguHs  B  ,  D  inueuire  latus  d. 

Pro  hnc  probkmate    inferuit    aequatio    fecunda , 
per   quam   fit  : 

dd-\-  2 c dco^L.T) -\- c c~a a -\-  ^abzol^-\- b b 

hincque 

dd-\-iicdco{.'D-\-ccco^\y-aa-\-iabco^.'K'\'  bb-cc^n.Tf^ 
in  Jocum  autem  ipfiu» 

a  a  -{-  "2.  a  b  coi^Q-^-  b  b  ^   fubflituatur" 

[a-\-b)^  —  ^ab  fin.  \  B'  ,  ita  vt  fit 

(^-f-<7cof.D)'rz(fl4-^;;-6'ffin.D'-4fl^fin.iB', 
hincque  fiet : 

d^ccoa:-=.-V{a^b-\  c^xn,Y))[a^b-c^m.T))v(  —^-^-^^         --\ 

'    \^^x\-b^ci\\\A)){a-\-b-Qi\^.\:^)J 

pofito 


%%  DERESOLVTIONE 

pofito  iwquc 

; ~, ^ — r.T—  fin.  E   , 

confcJjucmur 

</-i  ccol.D  —  <.o(.Ey{a-\  ^jf  <rfir.  D)(<7-i-/i-cfin.D> 

Tab  I.  5'S!i"''r'  raiiicale  indicat  dupliccm  pro  d  inucniri 
Fig.  5.  valorcm  5  dudlu  fcilicet  quadriJateri  ABCJ)  diago- 
nali  aC,  dcfcrib.itur  (upcr  ca  Kgmcstum  c  rculi  qucd 
fufcipiat  dngul:'.m  CDA~i8o-D,  critquc  pun- 
<ftiim  D  quadnlatcri  in  circumftnntia  luiius  K'gmt:iiti, 
i.bique  inucnictur  vbi  ciicuius  ccntro  C  raJio  i^  c 
defcriptus  hoc  fcgmcatum  interrecct ,  dnm  igtur 
duo  liiibcntur  punda  intcrf:dionum  D  ,  D'  ,  bini 
emcrgent  \:ilorcs  lateris  d  ,  OjUorum  vinis  A  D  altcr 
A  D'.  Notandnm  autem  eft  ,  duda  C  E  normnli 
in  A  D  ,    ficri   E  D  —  —  ^  cof.  D  et 

AE—V(^C-CE')-V(aa'\-^^bco\\B-{-Ob-C(;Cu).T)") 
quam  ob  rem  cflfe  debebit  <f  —  E  D  -h  A  E  ,  qeo- 
rum   valorum  prior  cxprimit  A  D  ,  aUcr  A  D'. 

7.  Problcma   6.      Dctls  ommbus   latcribus    qua- 
drihteri  et  angulo  B  ,  inueniye  cnguhm  D. 

Huius  proWcmatis  (olutio  cx  acquatione    fccunda 
pcnJet  ,  pcr  quam  fit 

d d -\-  ^ c dcolT) -\- c c~  c a -\-  iabzolC-\-bb  ^ 
ideoqu» 

_    r    r\  ta-^-lh  —  c<  —  rfrf-i-;a?'fef.  B   . 


a  C  J 


cacte- 


POLYGOXORVM  RCCriLTNEORVM.      89 

caetcrum  vt  commodiiis  detcrminari  qucat  angulus  D, 
feqiieiite^  ai^i  brc  licet  transform.uioiics : 

pcr  qtiam    fit 

!L  {d -c)" -^ ^cdcof.yh' -(ia-b)" -^  ^a bcoC'^B\ 
ex  qua  colligitur  : 
coCliy-^-^JX^-b-^-d-c^^a-b-d-^-c^i-^abcof.lBy 

hinc 

\   Jc-hd+a-\-b)(c-{-(f-a-b)A  4-obCm  \V^ 

vel  potius  (i   placet  iftas 

1    (d-\-cf-^c(iCin.yD"—{a-bf-h^abcof.lB\ 
^cdCia,  s  U*—Cd-\-c-]-a-byj-i-c-a-\-b)-^abcoi.lh'i 

IL  id-cf-\-^cdcoL'iU'  —  [a-\-by-^ab[m.[  B\ 
CX  quo 

j\c  dcoi. 'jy-^a  +  b-^-d-  c){a-\-  b  -  d-\-c)-  ^ab  {'in.lT^"; 
tumque   vcro 

, __  (Jd-^-c-^-a-h^^d-^-c-a  +  b^ -^abcof. :  B* 
t2ns.',D  -(^a-\-b-rd-7j~(^-\-b-d\rC'}-^ab^,W' 
Ponatar  nunc 

4^^cor:B' 


tan:i.  0'  — 


((i-t-c-\-a-D}^a-\-c-a-\-b)* 

4-abC\n  :B' 

tane. -yi  :=: , : 

{a-f-b-\-c  —  iiy^u-\-o>-\-u-c} 

Tom.XX.Nou.Comm.  M  erit- 


fO 


DE    RESOL VTION  E 


critqiic 

vnde 

tang.  i  D  rr  cot.  [  B.  ^'J  V  '^. 

Ob  \aIorem  tang.  [  D  per  fignum  radicale  indicatum, 
inrelligitur  angulum  D  dupliccm  conlcqui  \alor(.m, 
quorum  C\  prior  dicatur  D,  altcr  habebitur  D'^36o-D. 
Tab.  I.  Nam  fi  triangulum  ABC  cx  datis  lateribus  AB,  BC 
l'j^-  4.  et  angulo  ABC  coriftruatur  ,  fupcr  cius  bofi  bini 
conftrui  potcrunt  triangula  ACD,  A  C  D  datorum 
lat  rum  ct  fi  angulus  cxtcrnus  ad  D  pro  triangulo 
ACD  littcra  D  exprimatur,  angulus  externus  ad  D' 
in  quadiilatcro  ABCD'  exprin.etur  per  360°- D. 
Kem  autem  omnino  ita  fc  liabcrc  haud  oblcurum 
cuadct ,  fi  attcndamus  ad  ea  ,  quae  de  acccptione 
\ocis  anguli  extcrni  in  Didcrtatione  priori  monui- 
mus. 

8.  Problcma  7.  Datis   lateribiis    a ,    b ,    c    ct 
afigiJis  B,  C,  inuenire  angulum   A. 

Solutio  huius   problcmatis    pcr    aequatlonem    no- 
flram   tatiam   perficitur  ,  ex    qua  habctur 
afin.A-|-^fin.(A-f-B)H-i-fin.(A  +  B4C)iro,  fiue 

fin.  A  (  a4-  ^  cof  B  -\-  c  co['.  (  B  -H  C  )  )  rr 
- cof  A  ( /> fin. B  +  <; fin. CB4- C;} , 

hincque 

f„     p.     A  —  ^/'>.B-cJin.(B-4-C) 

lail^.   t\  —  ^-|-^  ^^^  B  -H  c  coj.  (  B  H-  C  )  ' 

qiiac  fornr.ula  licct  ad  computum  incundum   fatis  fit 

apta, 


rOLYGOXORVM  RECTIL.NRORVM.      9» 

apta  ,  fequens  t.imea   transformatio    qiioquc    adhibcri 
poterit ,  quaerjtur 

ri<i    R  /    f    _i_  c  An.  (  B  _f-  C  )  \ 
e_  _  i/Yn.B-Hcflt.fB  -t- C  )   _    U^^-  ^  V    '    H 6/,,:.^- ^ 

a  6j»:.C-Haji/i.;B^C)  ^        p        .      ,      .ijin.^  n -^  c  )  \ 

iin.  V-  (,  I  ^i         ^-^,^ -g —  ; 
eritque 

-ffin.(B-f-C)__  -^fin  (B-hC)' 
""S-      —  rt_t-^col.(B-i-C;-  iH-l-cou(B+C)* 
Ex  hac  autem  poftrema  formula,  pofito  -— tang.  F» 
facile  deducitur 

tang.(KB-+-C)  +  A)  =  -tang.l(B  +  C)tatig.(4.5VF). 
Pro  hoc   problcmate  dc  valore  anguli  A  ,    nulJa    re    Tab.  I. 
manet  ambigiiitas  ,  ceu  ex   ipfa  contemplatione  figu-  ^'S-  *• 
lae    appnrer.       Nam     datis    angulis    externis    ^BC, 
rCD  et    Literibus     AB,  BC,  CD  ,    anguius    «AB 
perfede  detcrminatur 

9.    Problema    8.    Datis    lateribus   a  ,  b ,  c  ^; 
anguUs  A  ,  C  inuenire  anguiwn  B. 

Aequatio   tertia  cuoluta  dat 

flrin.A+fin.(A+B)(^-t-fcor.C)  +  <;cor.(A+B)fin.Cz:o. 
Quod   '^i  igitur  ponatur  tang.  E  —  ~]^^^  ,  fiet 

tffin. ^^'-^(^^''(fin.CA  +  B^cof.E+cof.^AiBTiD.E^-o  vcl 

flfin.A-+'j;j^fin.(A-}-B-hE')=:o,  liiiicque        Fig.  0. 
fi  n.  ( A  H- B -i- E )  =r  -  ±ii^V- il?LL . 

Quod  fi  quadriliitcri   A  B  C  D  dingonalis   B  D  co  ici- 
piaiur  du(fla  ,  fiet  tang.  CBDrz  ^-^^- ,  ideoque   E 

indij,it-ibit  angulum  CBD,  hinc  autem  coududetur  efle 

iVl  2  AH-B 


5>2  D  E    R  E  S  O  L  V  T  1  O  N  E 

A-4-B+E  =  ^BD-|-i8o°-BADm8o°-|-BDA, 

quod   omnino  rede   fe  haber,  cft  cnim 

fin.  B  D  A :  fiii.  B  A  D :  :  B  A  :  B  D  ,  tumque 
fm.  D  C  ^  :  fin.  D  B  C  :  :  B  D  :  C  D  , 

quare  componeiido   rationes 

fin    B  D  A   —  B  A./tri.B  \  D.//1.  PBC 

CD.jm.DCc  * 

feu   introduftis  exprtliionibus    analyticis 
fin.  B  D  A  -  'Juii^^JL^, 

cjin.C 

$i  ponatiir  A  -h  B  +  E  :z=  180''  -j-  F  ,  facile  p.Ue'^ 
arcum  3<)D°—  F  eunJcm  habcre  fiiium  ac  180  +F  , 
ficquc  pro  B  duphccm  prodire  valorem  ,  quorum 
prior  c(t  Br:i8o"H-F-A-H,alrcrB'-36o"-(A-hh-fF). 
Idcm  vero  ex  contempl.iiione  figurae  inanikftum  rcd- 
ditur  ,  dcfciipto  etenim  tiinngulo  B  C  D  pro  quo 
dantur  bina  latcra  BC,  CD  cum  angulo  BCJ), 
habebitur  pu;(fluin  A  quadnlatcri  dcfcribcndo  lupcr 
dia9;onali  B  D  (egmcntum  circul  ,  cniod  fufcipit  an- 
gulum  —  180°  —  A  ,  ct  centro  B  r.idio  zz  a  ciicu- 
lum' ,  pro  A  enim  affbmi  potcrit  altcrutrum  puii- 
<flum  interfeiflionis  huius  circuli  cum  illo  (cg-iiento, 
\nde  (ponte  conficitur  pro  angulo  B  binos  emer.;erc 
valorcs.  Sint  binae  hae  Mtericcflioncs  A  ,  a'  et  du- 
cantur  lineac  Z?BA  ,  ^'BA',  fi  igitur  anguhis  3BC 
pro  noftra  figura  defignetur  pcr  B,  crit  Z)'BC  =  B', 
qiiare  oportct  e(fe  Z>' BC  — Z^BC— 1  80°— 2F.  Ell 
"vcro   F~BDA  ,  quare  ficri  oportec  : 

^^'BC-Z-BCn  ABA'=  iSo^-^BD  A  , 

quod 


POLYGONORVM  RECTILINEORVM.     93 

qnod  fic  demonftratur  :  iunda  A  A'  patct  eflTe 
ABA'ziiSo°-BAA'-BA'A=  i8o-2BA'A   ob 
BA  — BA',  hinc  AB A'  — 1H0-2 BDA  ,    ctt  enim 
BDA  =  BA'A. 

10.  Problema  9.  Datif  lateribus    a,  b,  c    e$ 
angulif  A  ,  B  inuemre  aiiguiujn  C. 

Ex  ae4Uiuiune  tcrtia  (latirn  deducitiir 

fin.  (  A  ^  B  H-  C  )  =  -  "Jia^^nihlLs^ll , 

qiine  formula  coirputo  inflitucndo  liuis  corrmcda  ett, 
interim   haec  tr.insformatio  adhibcri   poflet.      Ponatur 

7-nn.(A-l~B)  — cof.Atan^'.  E  ,  critque 
fin.  (A  -i  B  +  C)=:-^-(rm.  A  +cof.  A.tang.E)r-"-^|^. 

Valor  angiili  C  cx  formula  propofita  duplex  prodif, 
uam  fi  poiiatiir  A-f-B+CriSo^-l-F,  h.ibtbimus  qiioque 
ahum  v.ilorcm  pro  C,  per  qucni  fit  A+B-iC— 360  -F, 
anguli  cnim  ibo-i-F  et  360*^— F  cundem  prorfus 
hjbcnt  finum.  Hoc  auieni  cx  confirudlione  figurae 
fiicile  iUudratur  ,  dudis  enim  redlis  BC,  A  I)  qu:ie  Tab  I. 
cum  d:ua  1  nca  AE  — ^  faciuiit  ani^ulos  «AB,  ^BC  ^'S-  7« 
acquales  datis  A,  B,  caotaqne  B  C  rr  ^,  fi  centro  C 
ra.iio  ziz  c  defcribatur  circuhis ,  pro  qi.arto  puncflo 
quadnlateri  D  accipi  potcll:  ahcrutra  inttr[ed:io  huius 
circuli  cum  recla  AD  Sint  iftac  interledioncs  D,D', 
tumuut  cfiedehebit  IKf- fyC<;-— 2F— 180°.  Duda 
autem   CK  normali  in  AD,  fiet 

DCt--D'C6-DCD'=2DoE,  vnde  DCErF-po^. 
Eft  aurem 

F:=^BC-i-flAB-f-i-CD-i8o'_::i8o"-CDE, 

iVl  3  hoc 


94  DERESOL  VT  I  O  N  E 

r 

hoc  e([  F  — ADC,  quare  liquet   quoque  effe 
DC-r-DCt— 2F- 180  =  2  ADC-180. 

XI.  Problema   10.  Dutn  lateribin    a,    b,   c  ez 
anguUs  B  ,  D  mienlre  angidum  A. 

Solutio  ex  aequatione   noftra    quarta    deducitur , 
per  quam   fit 

fin.  A  (  £2  -f-  ^  cof.  B  )  4-  ^  cof.  A.  fin.  B  =  <:  fin.  D, 
hinc  fi  ponatur  tang.  E  rr -*^'^^-^  fiet 

*  o  « -f-  6  co/ .  B 

^  fin.  B  (  cof  A  H-  fin.  A.  cot.  E)  —  c  fin.  D  ,    feu 
jin.l-  ^^'^-  (  A  +  E  )  =  f  fin.  D  ,  vnde  coUigitur 
fin  (  A  -H  E  )  =  "^Jiii^/^liE 

^  ^  bjl:i.  B 

Pro  hac  formula  obferuare  conuenit  ,  quod  E  defi- 
Tab.  I.  gnet  anguluni  BAC  hincquc  habcatur  A-^h-aAQ^ 
F"g-  5-  facile  autem  pjtct  efle 

fin.  £7  A  C  :  fin,  A  D  C  : :  C  D  :  A  C  tumque 
fin.  i;  B  C  :  fin.  B  A  C  : :  A  C  :  B  C  , 
\nde  componendo  rationes  crit 

f.n     ^    \    C  ■  C  r.  ■in,  \  D  C.//n.  B  ..  C 

lin.  fl  A  L  _  — ^^^-^^^-^^ , 

feu   introdutflis  exprciruMiibus  asialyticis 
fin.  ^  A  C  =  "Ji?;^;/'^-?.     (^uum   pofito 
cJvuv.(l2iL.—  ^n-\.  a  AC, 

bjin.  a  ' 

pro  A-+-K  fiimi  potcrit  \el  ^AC,  vcl  iSo-d-AC, 
patet  hinc  pro  A  binos  prodirc  valores ,  priorem 
A=:^AC-BAC,  akcrnm  A' —  180"-^ AC-B AC, 
qucid  pcr  conflriidicncm  Geomciric.im  cgregic  confir- 
mntur  ,  dum  lupcr  AC  lcgmentum  circuli  concifli- 
tur  dcCcriptum  ,  quod  lulcipit  angulum   ::i:i5o°  — D 

ec 


PCLYGOOTRVM  RECTILTNEORVM.     $ 


j 


ct  centro  C  nidio  ir  r  defcribitiir  circulus  hoc 
legmcntuiii  in  pmi(ftis  D,  D'  inttrlccans.  Dndis 
enim  adis  a  A  D  ,  «'  A  D' ,  fiet  rt  A  B  =:z  A  ct 
rt'  A  B  =  A'  ex  quo  tflc  oportebit 
A-A'rrtAB-«'AB=DAi:i'=;tfAC-i8o'=^AC-CAD' 
luncfl.i  autcm   D'D  ob  CD'i=CD  ,  piitet  effe 

C  A  D  -  C  D'  J)  —  C  D  l;'  idcoque 

«rAC-CAD^^AC-CDD', 
at    in    quadrihitero    A  C  D  D'    circulo    infcripto    eft 
omniuo  ^'aC-CDD',  hinc  aAB-a'AB-aAC~a'AC, 
quod  per  fe  eft  miinifcftum, 

12.   Problema   1 1.  Datis  laterlhus  a,  b,  c   et 
angulis  A  ,  D  iniisnire  angidwn  B. 

Per  aequatiotieni  quartani   fit 
fin.(A-t-B)  — e.fin.D-^fin.A.' 

Eui'ens  antem  efl:  hinc  pro  B    binos    produci    valo- 
res  ,  nam   fi   ftatuatur   ?-fin.  D— 2- fin.  A  —  fin.  E    erit 

0  0 

\el  B  — E-A  ,  vel  B'— iSo  — E  — A.     Katiohuius 
duplicis  \aIoris   pro  B  ex  confiderationc  figurae  quo- 
quc   rcdditur  manifcfta.      Si  cnim  dud.ic  concipiantur 
A  B  ,  A  E  quae  cum  reda   pofitione  data  A  D  an-  Xab.  I. 
gulos  condituunt  «AB  ,  EAD  aequales  iplis  A  et  D,  Fig.  8. 
tumquc  relccentur  AB  —  b  ct   AE  — £•,  atque    per 
pundlum   E  ducatur    E  C  C    paralkla    ipfi    A  D    et 
centro  B  radio  =  b   fecctur    haec    rccla     in    pun(flis 
C,  C,  nec    non   per  C,  C  agantur  Iincae  CD,  C'D'     . 
parallJae     ipfi      A  E  ;     patct     bina     illa     trapezia 
ABCDjABCD'    conditionibus    Problcmatis    fatis- 

faccre, 
u. 


95  DE    RESOLVTIONE 

facere      Pro  noftra  autem    figiira  fiet   angulus 

E=:A-Hlini8o°H-BCG 
ideoque    qudm     E    exlupcrcc    iSo°,    paiumus 

A  -i-  B  =:  I  80°  ^  F  , 
jta     vt    fit     F  —  B  C  G  ,    eflcque    debebit 
A-h+Wzz  360°-  F  ,  hinc 
B'  —  360'-  B  C  G  -  ^  A  B.     Ea  vero 
B'  =:  360'  -  ^  B  C  et  B  3:  ^  B  C  , 
pro   pollcriori   valore  facilc  condat  efle 

^BC=:BCG4-BADzri8o'-f-BCG-flAB, 
de   priori  autem   p.itct  cfic 

^BO  =  BC'G-i-BAtf-BCG-|-BA^ 
ob  B  C  —  B  C.     Idcoqu^  pofito  B  C  G  =:  F  ,  erit 
B  —  I  So°  -^  F  -  A  ct  B'  zz  360°  -  F  -  A. 

,    13.  Problema    12.   Datis  latevibur   a,  b,  c   et 
fffigulis  A  ,  B  ,  inuenii-e  angulum  D.  • 

Ex  acquationc  quarta  ftarim  dcJucitur 
fin.  D  z=  ^  fin.  A  -f-  J-  fin.  {  A  -f-  B  ). 
Tab.  I.  vbj  jg  duplicitate  anguli  ])  obferuandom,  quod  fi  vniiS 
'^'    ■  eius   valor  cxprimatur  per  D>alttrum  fnre  D'z:i8o-D. 
Nam  fi  conflruatur   triangulum   ABC  cuius    dantur 
bina  latera  kV>-a^V>Q-b  et  anj^ulus  ABCnSo^-B, 
tumque  ducatur  rcdla  akV)  quac  cum   AB  tacit  m-\' 
gulum  rtABrr  A,  inuenictur  punclum  quadrilatcri  D 
jn  interfeclione  huius    rc(fl.ie    cum    clrculo   centro   C 
radio  — ^  defcripto.     Suit   autcm  binae  interft^fliones 
.     D,  D',  cx  quo  bini  valnrcs  anguli  D  prodibuiit,  altcr 
=:CDG,  altcr  =rCD'G  ,  ell  vcro 

CDG+CD'G=:C  DG-fC  U  Az=  1 80. 

14-. 


FOLYGONORVM  RECTILTNEOKVM.     $7 

14,  Problcina  13  et  14.  Datis  quadrikfm  an- 
gnlis  et  lateribus  a  ,  b  ,  inucmre  latus  c  ,  i;et  datis 
tingJis  it  luteribus  a  ,  c  inumre  latus  b. 

Pcr  aequationem  quartam  fit  cz.' '"'  ^  "^  jf^ d-^— 
et  ^-'^i"'- F-"~-^#^.     PJtet  autem  pro  i*  et  i;    nuUam 
adclL:  ambiguitatem    moJo  anguli    quadrilateri    pror- 
fus  funt  dcterndiati  i   fi  eiiim  dentur  anguli  Tetragoni 
et  bini  eius  latera  ,  reliqua   quoque   latera    non    nifi 
"Vnico  modo  determiiiari   poffunt.       Et    primum   qu:- 
dem  li  dentur    quadrilat<.ri    lat.ra    AB,  BC    parct  Tab.  I. 
dudi  diagonali  AC,  tnangulum   ABC  prorfus   de-  ^'S-  •«■ 
term'nari,  pro  triangulo  auttm  ADC  dari  dingona- 
lcm  cum  anguli>  ,    quare  akerutrum   rdiquorum     vt 
CD  non   nlfi   vnicum   recipere  potelt  valbrem.       Sin 
dentur  latcra   AB,  CD,  conipiatur     per    B    ducta  j--^.  7. 
BH  parallela  et  acqualis  ipfi  CD,  ec  iungutur  AH, 
runc   in  tnangulo   ABH,    ex    datis    binis    lateribus 
AB,  BH    et    angulo    ABH  ,    cognofcentur     anguli 
BAH,  BHA,  et   latus  AH,  hinc  vero  ob  daros  an- 
gulos  BAD,    BHD  dabuntur   in    triangulo    AHD 
omncs  an^uli  cum   latere  AH,  ex  quo  eruitur  laius 
HDr::.BC  cuius  quo^uc  non  nifi    vnicus   efie   poteft 
valor 

15.  Solutioncs  fnpra  allatac  ad  cas  quaeftiones 
praecipue  fpedant  ,  quibus  ex  datis  quibusdam  par- 
tibus  cognitis  1  etragoni  ,  pars  quuedam  finguiaris 
inco^nita  ,  htus  nempe  vd  angulus  feorfim  inuefti- 
gari  dcbct  ;  at  fi  ex  iisdem  datis  plurcs  partes  qua- 
drilatcri  fimul  dcterminandae  luut ,  quaeftiones  non- 
Tom.XX.Nou.Comm.  N  nun- 


pS  PE    RESOLVTIONK 

Bunquam  aliquanto  compendio  abfoliu  poflfunt.,  qua- 
Tum  igitur  folutiones  ne  aliquid  in  hac  dodrina  dc- 
fijcrctur  ,  heic  quoque  explicabimus : 

Problema  T.  Datif   lateribus   quadrihteri   a,  b,  c 

et  angiilis  B,  C,  inuemre  reliquos  angulos  A,  Q 

et  reliquwn  latus  d. 

'/ 

Hcic  in  id  imprimis  intenti  crimus,  "vt  bini  anguli 

A,  D  fimul  determinentur  ,  quod  facile  fieri  potcft  , 
inijdu  coium   ^.u^iiurcaiui     dlffciciiiiu  ,      fumma     ciiiui 

iam    cognita    habetur    zz  360*  —  B  —  C.     Qiioniam 
igitur  per  aequationem  noltram   tertiam  cfl 

flfin.AH-^fui.(A+B)4-<^iin.(A4-B4-C)  =  o 

fi  loco  A    fcribatur    A-i-B  — B,    fiatque    euolutio ,' 
prodibit 

«fin.(A  +  B)cof.B-tfCof(A+B)fin.B  +  ^fin.(A+B) 
+  ffin.(A+B)cof.C+fcof(A+B)fin.C-o 
cx  qua  aequationc  dcducitur ; 

Tano-    fA  -I-  Rl  —      nJ;r..B  —  c/m.  C        " 

quum   vero  fit   A  +  B  =  360  —  C  —  D  ,  fict 
A-1  B=rUA  +  B-C-D)+iSo°,  vnde  coUigitur 

Tang.  ■  (A-D+B-C) -- ^^i^^-^-^.  , 

cx  qua  acquatione  ob  datim    diffcrcntiam    i  (B  —  C) 
innotefcet  a(A  — D).     Porro  fi  confidcrcmus  effe 

V  A     n^  -  'Tang;.  l  ( A-D+B-C)  -  Tang.  J  (B-C) 
Tang. ,  ( A     D)  _  ,^^3,,^  .  (A-D>B-C)Tan£.aB-C) 

tumque 


POLYGONORVM  RECTILINEORVM.     p^ 

tumque 

fin.B-rin.^(B+C)cor.:(B-C)+cof^B+C)rin.;(B-C) 
cor.B=cor.'(B+C)coU(B-Cj-fin.UB+C)rin.'(B-C) 
fin.C--fia.|(B-l-C)co(:'(B-C)-co(.'(B+C)rin.-(B-C) 
cor.C=cof.UB+C)cof:(B-C)+fin.;(B+C)fin.i(B-C)     : 

perfpiciemus  effe 

flfin.B-<rfin.C:=(^  -^)fin.i(B-f-C)cof  KB-C) 

+-(a+-Ocof.HB  +  C)fin.^(B-C) 

&+-<7ConB  +  ^cor.C=:^+(^+^)cor^(B+C)corKB-C) 

-  (fl  - i")  ^in.  ■  (B +- C)  fin.  i (B  - C) 

ex  quo  coUigetur  fiida   neccflliria  reduclione 

_ (a-c)  fin.i(B+C)-^>fin.i(B-C) 
Tang.  KA  -  D)  _  ^^_^^^  ^^,_ .  (B+C)+^col.  l  (B-C)' 

Gietcrum   haec  formula  aliquanto  ficilius  fic  inueni- 
tnr  :   quum  fic  pcr  aequationem  quartam 

a  fin.  A  --  f  fin.  D  =  -  ^  fin.  (A  -f-  B)  ,  fiuc 
cfin.A-^-fin.D  =  -i-^fin.aA-D+B-C)  =  ^(fin.;(A-D)corUB-C) 

+co(;:(A-D]fia.i(B-C}) 
confequimur 

i  (^-^)(fin.  A+fin.D)  + 1  (fl+0(fin.A-fin.D)  = 
(^-^)fin.  UA+D)  cof  ',  (A-D)+(«-<r)cof. '  ( A+D) fin.  l ( A-D)=: 
^'(fin.^^A-D^cof.^B-C^+cof  ;(A-D)fin.i(B-C))  , 

\bi  fi   prLieterea  notctur  effe 

fin  \  (A+0)— fin.^  (B+C)  et  cof.  i(A+D)zr-cof  ^  (B+C) 

confequemur 

T       V A  _ n^ - ^!^^ (B+C) -Mi-U (B-C) 
iang.,(A     ^J-^^+^.cofKB+C)+i;cuf.UB-C)* 

N   z  Si 


loo  DE    RESOLVTIONE 

Si  in  hiic  formula  poniuur  b  zz  o  ,  quo  cafu  Tetra* 
fgcnum  iii  trianguUim  abic  ,  fict 

Tans.i(A-D)-;^^;Tang4(E+C]=^^°Tang.i':A+D), 

quae  eft  iam  diu  cognita  trian'a,uli  prcprietas.  Simi- 
1i  modo  fi  ponatur  B  —  o ,  fiet 

Tans;.  i  (A  -  D)  zr  ^^1=^  Tang.  ',  C 
itcrum   pro  triangulo.     Prattcr  has  formulas  inucfti- 
gandae  A  —  D  infcruientcs ,    etiam    (equentcs    notari 
niercntur : 

fin  ^'A  —]')')  —  (a-— c»)iin.(E-j-C,'— 67.>i.[B-C)-f-'-Q3i"m.C~;i'c/fn.B  „-,1 
"'•^      ~       *   ^*  — o'-4-i'-f-:--t-:n6co.E-+-:nccoJ"(BH-C;-J-:deC3/.C 

Tan?  (A  -  D)  —  (a' — c')r/n.(B-t-C:— iVm.(B--C?-H'-fl6jm.C — 2hcjm.i 
^*  ^  ''        (9^^c"-)  c3j.(B'-f-C;-H-6-coj.(B-C)-H-'!C-(-:aico/.C-t-jf':co/".B 

quae  formulae  inde  dcducu.itur  ,  qucd   fit 
Tans.  A  —  —    (^'/'''•'B-t-cJ"'-(B-4-ci      _j. 

^*  a  H-  i  wj-  B  -(-  c  coj.  (B  -j-  C) 

Tanp-  7) —  —  J,^/^"'  c  -K_a/m  (b  ->-  C))  _ 

^*  -^  —         c  -i-bcoj.  C  -+-  c  co/.  (B  -+.  C)  • 

Si  in  formula  pro  fui.  (A  —  D) ,  ponatur  h  —  o 
quo  cafu  Tetragonum  in  trianguhim  nbit ,  fict 

<\n  /"  A  _  n^  —       t"^  —  *=')■/'«•  '3  -+-  C)        —  (c'  —  <>';/z>!.;a-4-  D) 

iiu.  ^A      iv;  —  5i-_f.c^.t.7icco/.:B..+-C)  — a^ 

quae  eft  cgregia  trianguU  proprietas ,  haud  vulgo 
cognita.  Inucntis  per  formulas  pracfcriptas  omnibus 
anguhs  quadrilateri ,  latus  d  per  acquationcm  quar- 
tam  qr.aeri  pollct  ,  praellabit  tamcn  formularum 
heic  allatarum  vfum  adhibere.  Scilicct  cx  §.  z, 
dcducitur 

dd  -  {a  fin.  B  - c  fin. Qf  -\-(b~\-a cof.  B 4-  ^ cof.  C)' ; 
inucnto  igitur 

Tang. ;  (A  -  D  +  B  -  C)  =  ^^^  ,  Set 


POLYGOXORVM  RECTILlNEORVM    lox 
a  fin.  B  —  r  fm.  C 

Dcnique  ob 

d  d  -{(  a  -  c)  ^m.\[V,  ^  Q)  -  b  dn.  \  {B  -  C))* 

+  ( (  fl  H-  O  cof  ■  (  B  +  C  )  +  Z;  cof.i  (  B  -  C  )  f 
il  quaenuur 

T        ..A     T^^      ^^-^)fi"-'(B+C)-/>rin.:(B-C)    ^ 
Tans..(A-D)==^^^j^— — — — ,  fiet 

_  (^-Orin.KB-^-C)-^rin.KB-C) 
ftii.  i(A-D)  • 

1(5.  Problcm;!   IL  Daiis  hueribus  a,  b,  d  et  an- 
gulis  B,  C  inuejligare  rehquos    angulos    A,  D 

Qiiia  hoc  cafu  anguli  A,  D  in  difpnri  funt  ra- 
tionc  (ufficiet  altcrutrum  corum  quaeriuifle  ,  angii- 
lus  autcm   D  facillime  inuenietur  per  hanc  formulam 

fin.  D  —  ^ -^"'-  ^ -^-^ ^^^^'  ,  quo  inuento  crit 
Ar=36o'-(B4^C  +  r)    ct  ,- —  i£!i:JL-=|i^: i£=hDJ 
vcl  fi  placct 

frr-^cor.C-^cor.(C+B)-^co(:(CH-B-f-D). 
Siquidem  \ero  angulus  D  duplicem  rccipit  valorcm, 
li.juet  omnino  pro  c  binos  quoquc  prodirc    valores. 

17.  Problcma  IF.   Datis  lateribus  a,  c,  d  et  an^ 
gulis  B,  C  inuenire  anguhs  A,  D  ^^  latus  b. 

Pcr  aequationem  quartam  habebimus  pro  hoc 
Probkmate 

flfi^.B-HflTin.^AH-B^-f-fin.Czro,  ex  quo  colligimus 

N   3  fin. 


102  DE    RESOLVTIONE 

fin.  (A  ^-  B)  =  ^  fin.  C  -^  fin.  B  ,  tum  vero  fict 

z,  ^  _  (o  Un.  A  -f-  cfin..  (A  -f-  B  -+-  C) ) 

Practcrea  notare  iuuat  ob 

B  +  A^s^o^-C-D.cffeB+AiriSo^-ivB-C^A-D) 
et  fin.(B-l-A)— -fin4(A-D  +  B-C),  ita  \t  fit 

fin.  ^A  -  D  +  B  -  C)  =  ^  fin.  B  -  f  fin.  C 
Qiium  pro  fumma  angulorum  A,  B  ex  aequatione 

fin.  (B  -\-  A)zz^  fin.  C  -  |-  fin.  B 

duplex  prodeat  valor  ,  ncceffiim  omnino  efi  vt  proil- 
ti  vnus  vcl  alter  horum  valorum  adhibeatur  in  ae- 
quatione  nofira  pro  b  ,  koc  latus  duplicem  fortiatur 
valorem. 

i8.  Problema  IV.  Datis  omnibus  Tetragoni  hte- 
ribus  et  av.gido  quopiam  B  ,  reliquos  inuenire 
aiiguhs. 

Si  per  Probl.  6.  innentus  fucrit  anguUis  D,  rc- 
liquum  ;(t  vt  quaerantur  anguli  A  et  C  et  quuin 
eorum  iam  cognofcatur  fumma  —  360°  —  B  —  D  , 
tantum  opus  cft  vt  diffcrcntia  A  —  C  inucftige- 
tur  ,  quem  in  finem  fequenti  modo  procedere  Jicct. 
Quum  fit 

flfin.  A  -f-  b  fin.(A  +  B)  -\-cfin.  (A  -+-  B  4-  C)zr  o 

^;fin.C-i-rtfin.(B-HC)-H^fin.(A-hB  +  C)zro 

fi   prior  aequatio  per  </,  pofierior  per  c    multiplice- 

tur  et  produdorum  capiatur  difFcrcntia  ,  hacc  prodi- 

bit  acqiiatio  : 

a.^i^in.A-beanC-^bdan.lAiB^-aefin.^B  fC)  — o. 

Simili 


POLYGOXORVM  RECTILINEORVM.    105 

Simili  riUionc  ob 

flcof.  A  -f-  Z^ coH  ( A  -f  B)  4- rcof  ( A  +  B-f-  C)+^=  o 
^cor.C-H«cor.(B+C)+^cor,(A-fB-i-C)+<;— o 

miilriplicata  priori  aequatione  pcr  d ^  pofleriori    per 

c    et  fiimta  difftrentia  conlcquemiir 

adco[.^-bccolQ^bdco(.{k-{-B)-ac<:o{'{l^-\-C)-^dd'Cc-o. 
Ex  priori  fit  ficla  euolutionc  tcrminorum  fin.  (A  +  B), 
fin.  (B  +  C) : 
{ad-bc^[bd-acyoi3ySv\  A+fin.C)+i  [ad-^bcMhd+acYoL  Byfin .  A.-fin.C  >  zz 
+  Ufl'z>-dr^)  fin.  E  (cof.  A +cor.  C)- ^JZ^  +  ^fXcol.  C -^cor.  A)z:  o 
fiue 

L  (fl^-^^-l-(^^/-^f)cof.B)fin,|(A  +  C)cor.,'(A-C) 
+  («^  +  /?£-+(^^+flir)cof.B)cof  i(A+C)fin.^(A-C) 
+  (6^-tff)fin.Bcor.UA  +  C)cof^(A-C) 
-(^^  +  ^i-)fin.i(A+C)fin.ifA-C)  — o. 

Ex  pofieriori  autcm  euolutis  tcrminis  cof.  (B  +  A), 

cof.  (B-j-C)   confequcmur 

IL  (^^/-^<r  +  (^^~^t:)cor.B)cof.KA  +  C)cor.,'(A-q 

-(^r/-f  ^(.'  +  (Z;^+flf,cor.B)fin.^A+C)fin.^A~C) 

~(rf'^-a^)fin.Bfin.:(A+C)cor.^(A-C)-(Z'^/-itff;fin.Bcof^:A+C)fin.:(A-C) 

-i~dd—  cc—  o. 
Fadis  vero  ifiis  combinationibus 

L   fin.  ■  (A  +  C)  H-  II  cof  ^A  -f-  C)  ^  •     ■ 

l.  cof.  I  (A  +  C)  -  IL  fin.  i  (A  -j-  C) 
ad   fcquentes  pertingemus  aequationes  : 

{ad-bc-yjjd-ac) co(.  I^) cof.  \  ( A  -C) - {b d^  ac)  fin.  E.  fi n  i  (A  -  C) 

-^Cdd—cc^coi.l-iA-^Oj—o 
(ad-{-h  +  ',b'd+  <rf)cof  B)fin  !(A-C)+  (^^/-«^ ) fia Bcof.^fA-C) 

-1- (<;  t' -  (/^)  fi  n.  ^  ( A -f- C)  z=  o. 
Lx 


lo^  DE    RESOLVTIONE 

Fx  quarum  aequntionum  vtmuis,  qiiaeri  pofTct  A-C, 
ob  cogiiitum  anguluni  B  et  A -f-C  — 360°— B  -  U; 
\crum  quum  hae  formuiae  fatis  fint  complicatas  , 
rnultiplicLtur  prior  pcr  fin.  5  (A  +  C)  et  polleriot 
per  cof.  ~  (A  +  C)  et  lumatur  eoium  fumiivj,  tum- 
quc  trit  : 

(a  d-bc-\-{(ib-ac)coCB)  fin.  .:(A  +  C)cor.  ;(A  -  C) 
■^(bd-a  c)  11  n  13.  cof.  i  (A  +  C  jcof. ,  (A  — C) 

+  (fl</-fi'^  +  (i'^+tff)corB)cof.i(A-f  C)nn.;(A-C) 
-(^^+cr^-)fiii.Bfin.  ;(A+C;fia.KA-C;3io. 

Vbi   fi  obfcructur  cfTe 

fjn.,(A+C)zifin.KC+D)  et  corUA+C}--cof.'(B+D) 
tumque 
{S~ffc''col  B  "in.,l(A+C)+fin.Bcor.  i(A+C')— (fl'^'-/70fin.;-(D-B) 
{db^ac  (co;  B.col.5(A+C)-fin.B.  fin.UA+C))--(tfH-tfi-.col.;(i;-B) 
fitt  cn|.;(A-C)(;a^-^f)fii.KB  +  D)  +  (/^i-fl(,-;fin.i(D-B))  — 
fiii.;(.\-C)((«^+^Ocor.^(B+D)  +  (/>pr/+rtOcof  UD-B)),  fea 
_  (r.<^-^c-)fin.i(B+D)  +  (^^-^Onn.  'q^-B) 
1  an^.  i  ( A  +  C)  _  (:^'^,.)co[.i(B+D)+(6^+af)cof  ^D-B) ' 
Cacterum   haec  forinula  rr.ulto  ficilius  inucniri    pot- 
cfi  ,  diicendo  diagonalem   A  C    quadi  iljteri   A  B  C  D, 
nam   fi  d  fFcrentui  angulorum  B  C  A,  B  AC  indicc- 
Tali   T.  ti,!-  p;  r  ]vi   i;t:  difTerenti.i  angulorum    D  C  A,  C  A  D 
*'^-  *    pcr  N,  erit  1  (A  -  C)  --  1  (M  +  N)  hinc 

Tang.  ■,  M  +  Tang.  i  N 
Tang.  i  (A— C)  — n, -^r 7-7-  > 

conftat  aurem  cffe 
Tang. :  xM  zz  Tang. ;  B  ;  "  J'  et  Tang. '  N  z: Taog.  L  D.  ^-^^  ;  hinc 

Tang. 


POLYGONOPvVM  RECTILINEOaVM.   105 

^^•^^'^—  CflT^)y  H-}col.i  b.coi.  s  D-(tf-z>jc/-f;  iia.iii.liu.  i  D 

qii.ie  formiil.i  omnino  cum  fuperioii  congruit ,  tum- 
que  tt  hoc  modo  cxprimi  poteit  : 

Tang. ,{..     L, _ ^^_^^ , ^^^_^^^ __ , ^_ ^^  ^^_^.^ .^  ^^^^^ .  ^^  j—jT^  • 
Porro  quiim   fit 

Tang.  ;(A  -  C+ B  -  D)  _  7+ 7,^(1:^qT^„7.-.  ^  j:rB) 

fiet  hinc 

Tang.KA-C  +  B-D)_  ^^.^-jI^^^.I^jI^r^^^DZ^^q:^- 

Cacterum  inuento  anguio  D,  faciiii.nc  iaucaietur  A 
ope  (orauilac 

a  fin.  B  +  .^Tin. ( A  4-  B)  +  i'  fin.  ( A  -4- B  -f-  D)  —  o. 


19.  Probltma  V.    D^;/j  lateribuf  n,  b,  c  ^;  <7«*. 

B,  D  iuuenire  reliquos  angu/os  A,  C  -?;  /^i/wi  d. 

Qiiiicratur  primum  angulus  A  ope  formulae  ex 
aequ:U:one  qiiarta  deduccndae 

fln.  A  :^  -4-  i'  cof.  Bj  4-  ^  cof.  A  fin.  B  —  ^-  fin.  D, 
ponenco  nimirum 

Tnng.E  — -i^"--t„fietquc  fin.(A-^E)r:'-4v^'^  , 

tum  \cro  fponte  innotcfcit  angulus 

C  =  360"  -  (A  -+-  B  -H  D). 
Latus  antcm  d  habtbitur  per  formulam 

J  . «  Jin.  C  —  a  iin.  B 

/"-..(A-hB) 

Tom,  XX.  Isou.Comm.  O  Cacte- 


io6  D  E    K  E  S  O  L  V  T  1  O  N  E 

Caeterum  pro  hoc  cafu  tradi  quidcm  poflct  forn^.uU 
valorcin  ipfius  Tang.  ^  (A  —  C)  exhibcns  ,  quac  ta- 
mcn  complicatior  ert,  quran  \t  hcic  iradi  nicrcatur, 

20.  Vt  ca  mclius  inteliigantur  ,  quae  in  prio- 
ris  Diflcrcfitionis  §.  z6.  monuimus  de  cnumci.Ttione 
ioiutionum  Polygoai  ,  quac  locum  habent  ,  fi  re(pi- 
ciatur  ad  eius  diagonalcs  ct  angulos  di.igonalium  cuntl 
Jateribus  Poiygoni  j  pro  Tetragono  adferrc  placet  ex- 
pofitionem  c.iruin  folutionum  ,  quas  piaeter  an^ulos 
et  latera  quadrilateri  ,  diagonalis  quacdam  eius  \cl 
anguli  huius  diagonalis  cum  lateribus,  ingrediuntur. 
Antcquam  vero  hanc  cnumerationeni  iradere  liceat » 
primum  fequentes  regulac  gcncralcs  quibus  fundatur  , 
erunt  praemittcndae. 

I.  In  quacunque  folutione  Polygoni  duo  ad  mi- 
nimum  inueniri  debent  lineae,  quantitos  enim  linea- 
rum  ex  meris  angulis  dcterminari  nequit. 

ir.  In  omni   folutionc  Polygoni  ,   dum  pcr  dia- 

gonales  in  triangula  concipitur  rcfolutum  ,  non  plu- 

rcs    quam     trcs    occurrere    delent    partes   ad    vnum 

idemquc  triangulum  pcrtincntcs;    nam  fi  plures  oc* 

currcrent  vti  quatuor,  quarta   illa   pars  ex   nibus  re- 

liquis  iam  determinari  ccnlcnda  efc  ,  idcoque  cxcl.ifa 

hac  parte  ,    in  folutionc  tot  non  repcrircntur  quan- 

titatcs  ,    quae    ad  Polygonum  dctcrminandum  requi- 

Tab.  T.  runtur.      Sic    fi    in    qu.idriljtcro    A  B  C  D   ponatur 

Fig.  <).    cfle    inucfliganda    acquatio    intcr    latcra     A  B,  B  C, 

j..^        C  D,  D  A  ,  diagonalcm   A  C  et  nnguluui  B;  intclli- 

gitur  id  rr.iaime  eSci  pjflc ,    fiquidem    pro    trian- 

gulo 


POLYGONORVi\l  RECTILINEORVM.    107 

gnlo  A  B  C  angulus  B  ex  latcribiis  A  B,  B  C,  A  C 
iam  pcrfcdc  determinntur  ,  pro  triangulo  autem 
A  C  D  alterurrum  latcrum  C  i>,  D  A  cx  diagonali 
A  C  et  altcro  htcrc  ,  rainime  detcrminatnr. 

21.  Ponamus  pro  quadrilatero  A  B  C  D,  latc- 

r.i  \t   ante    indigitaii    littcris ,    (7,  b^  c^  d  ^    angulos 

litteiis  A,  B,  C,  D,  dingonakm  A  C  littcra  e    ex- 

primi,  angulos  vero  BCD,   ACD  per  littcras  y, 

'y'.     Si  itaquc  quaerendac  fint  folutiones  ,    quas  dia- 

gonalis  c    \el    anguli     y,  'y'    ingrediuntur  ,    ftatim 

patet  bina   carum    gcncra    conftitui    polTe ;    qucrum 

prius  continet  cas  Jblutiones  ,    quas  diagonalis  e   in- 

greditur ,  poRerins  illas  in  quibus  noii   quidcm    hacc 

diagonalis  ,    lcd   tamcn    \el    \tcrque  ,    vel    altcrutcr 

iingulorum  y,  y'  rcpcritur.      Pro  priori  genere  ob- 

feruandum  cil ,  angulnm  A  fcmper  \na  cum  diago- 

rali  in  folutione  adcfle  dt.berc  ;    quum  enim  folutio- 

rcm  fex  omnino  partcs  ingrcdiantur  ,  et  earum  par- 

tium   quae  ad    triangula    ABC,    ACD    pcrtincnt, 

non  nifi  tres   occnrr.rc    prfiuit ,    quarum    iam     \na 

habetur  diagonalis  A  C  vtriquc  triangulo  communis, 

intelligitrr  practer  lianc   partcm    binas    tantum    cc- 

currerc  poffe ,    ad  vnumqurdquc    triangulum    perti- 

ncntcs  i  quare  ncceffum  c(t  vt  faltem  fcxta  pars  re- 

periatur  ,    quae    ad    ncutrum     horum     triangulorum 

pcrtincat  ,    cuiusmodi    efl:    angnhis    A  vcl  C.      Pro 

pofieriori  autem  gcnere  ,    non  videtur  hanc  rcgulam 

eflTe  ftabiliendam  ,    vt  angulns  A  \el   C    fblutionem 

femper  ingrediatur  ,    f;c  nullum   quidem  ell   cubium 

inter    has    fex   partcs  a-,  h,  Cy  d^  y,  D  aequationem 

O  i  iiuie- 


icS 


DE  R  f/so'l  V  T  ro'-::  E 


inucniri  poffe  ,  quod  fi  praeftiirc  licet  ,  nec  nccclfa- 
rium  crit  ,  \t  aiigulus  pcr  qi:cm  tranfit  diagonalis 
m  foUuione  occurrat. 

2  2.  Pro  priori  gencre  rubdiuifiu  folutionum  iii 
certab  claflcs  ex  eo  prineipio  deduci  ptncft ,  c]'ood 
practcr  diagonalcm  e  vel  c]uatuor  ,  \el  tria  ,  vcl  bi'- 
na  ,  vcl  rar.tum  vnnm  qnadrilatcri  latus  foUuionem 
ingredi  queant.  (^uo  principio  adhibito  fcquentes 
confcqucmur  lohuionum  prioris  generis  Clalks  cc 
ordincs : 


Partcs  Tetrngoni 
fo!ut.  ingredicntcs : 
I.  Claflis.  Ordo  I.  a,b,c.r/,e,^ 


II.  ClalVis 


1.  a.h..c,  e,A^l) 

2.  a,b,c,  Cy  A,  C 

5.  a ,c>^<iCfA.,y' 


IV.   Claffis 


Partcs  Tctrngoni 
foliu.   ingredientcs 
Orco  .1.  /7,^,^,  A,C,D 

2.  ^;,^;t', A,D. Y 

3.  ^,f,  c,A,B,C 

4.  f/,f,<?,A,B,D 

5.  a,c,c.  X,B,y' 
6  r/,c,-,(f,A,y,  D 
7.  a,c,  e,A,yC 
S.  a,(/,e,  A.BX 
9.  a,d,e,k,  1*,D 

10.  a,r/,e,A,]],y' 

1 1.  <7,^,^,A,y,C 

12.  r,f,^,A,l;:D 

13.  l'.c,e,A,h,y' 

14.  l^,c,c, AyC.y' 

Intcr  has  folutlonum  fpccies  nonnullae  funt  ,  quae 
tantam  inter  fc  habcnt  nfHnitatcm  ,  vt  dubii  fimus 
an  non  ad  vnum ,    cnudcmque    ordinem    rcfcrendac 

fint , 


1.  ^7,f,A,B,C,D 

2.  a,e,A,y,C.rj 

3.  b,e,A,B,C,r> 

4.  ^,r,A,y,C,D 


rOLYGONORVM  RrCTILINEORVM.   109 

fmt  ,  huiusmodi  fiint  tcrtinc  cLiflis  prdo  tertius  ct 
qiurciis,  nani  in  aequationc  quam  pio  ordine  tertio 
locum  habere  rupponimus,  fi  in  locum  ipfui?  C  futH- 
ci:uur  360  —  (A+B+iJ))  coiircquemur  aequnrio- 
rn.m  pro  orclme  quarto.  Simili  r<itione  orJo  oda- 
vus  et  nonus  inter  ic  conueuiunt  ,  tum  vcro  pro 
claffc  quarta  ordincs  •  ct  4,  hoc  modo  conlentient 
cum   I   ct   3. 

23.  Solutionum  fpecics  a  nobis  inucntac  non- 
niliil  ditferunt  ab  lis  ,  quas  C-!eb.  Lamhert  atrulit  , 
cuius  dilcrcpantiae  ratio  c[\ ,  quod  in  cuumcrationc 
nb  lp(o  facla  praetermiifi  fiiit  ordines  tertiac  cbins  8 
et  quLirtac  2  et  4  ;  at  eodcm  iurc  cxcludcre  debnis- 
fet  ciariis  rertiae  ordincin  quariuiii  ,  quem  tarreii- 
retinuit.  Si  ie;itur  fiis  c(t  tcrtium  et  quartum  crdi- 
rcm  terti;ie  cladis  feorlim  confiderare  ;  ncc  dubitare 
quidem  licct  ,  qu  n  (irdines  tertiae  clafiii  8  ,  9  ct 
qnartac  1,2  vcl  3  ,  4  pro  (eparatis  hnbcnJi  fint. 
Pro  hoc  quidem  gencre  loiutionum  euidcnter  patet 
nngulos,  quos  diagonalis  AC  facit  cnm  latcribus 
A  Ji ,  A  i)  ,  cu[n  anguhs  B  C  A,  A  C  D  fimul  con- 
fidcrari  non  p -(Te.  Nam  fi  anguli  I)  A  C  ,  B  A  C 
expnmantur  pcr  a,a',  euidcntcr  oriendi  potcft  ,  a 
cum  y  vd  y'  ad  eandem  (olutionem  concurri-rc  non 
po(fe  in  c]ua  rejxritur  anguhis  A  et  d  Qi^onalis  e. 
Non  cu  II  y',  quia  fic  pro  trianguio  ACDiam  tres 
haberentur  partes  ,  f,  a,  y',  pro  altero  vero  triangulo 
biiiac  ,  e  ct  A  —  a  —  a' ,  aJc(fe  igitur  adhuc  deberent 
binae  partes  eiusdcm  tnanguli,  quod  ficri  ncquir.  Sin 
dcntar  a  cum   y,  ob  A— a^a',  res  eodem  rcdibit. 

O   3  24. 


110 


DE    RE.^OLVTIONE 


54.  Sequitur  tI:  ens  cxpendainus  foUitlones  , 
qiiae  nd  poflcrius  referendae  funt  genus ,  in  quibus 
noii  ipiit  diagonalis  ,  fed  vna  vel  phircs  angulorum 
quos  cum  lattribus  Tctrngoni  f;Kit,  occurrunt.  Sub- 
diuifio  in  clolfes  ex  eodcm  principio  adornabitur , 
quo  (upra  vfi  fumus  ,  confideratione  nimirum  late- 
rum  Tolygoni  ,  quae  in  lolutionc  reperiuntur  : 
Partcs  Tetragoni   foluticncml  Paries  Tctragoni  lolutioncm 


ingredicntes 
Ordo.  I.  (i,biC,d^A,y. 
Claffis  I.  s..a,b,i-,d,y,D. 

2.a,b,c,d,y,cc 
4-  ajKi\(f,y.,C. 
j.  a,b,c,i\,B,y'. 
•2.a,b,c,^,Y),y 
3.  a,b,c,Pi,Y)SY'. 
4.a,b,c,A,C,y. 

5.  fl,b,c,/\,D,  a. 

6.  a,b,c,A,C,a. 
•7.a,b,c,h,a,y. 

Claffis   11.  S.  a,b,c,A,a,y' 

9.  <7,&,r,C,B,  a 

10.  (7,b,c,C,\),ct. 

11.  a,b,c,C,D,a'. 
1  2.  a,b.c,C,D,y. 
i:i.a,b,c,C,a.y 
14.  a,b,c,h,D,a 
1  $.  a  b,c, li,D,y'. 
16.  fl,^,r,B,a,Y'. 
il.a,b,c,\\a,y. 


ingrcdicntcs 
OrciO.  \?).  a,b,c,D,a',y^. 

Ciaffis  III.  ~i7^,X,B,D7y. 
Z'  a-jb, S,D,C,y. 

3.  ^,f,A,B,C,y. 

4.  a,c,  A,B,C,  a. 
$.  a,c,  A,V>,D,y'. 

6.  a,  i-,  A,B,D,y. 

7.  a,  t',  A,15,  l),  a. 

8.  a,  c,A,V,,a,y'. 
9.a,c,A,C,a,y. 

10.  a,  c,.\,D,a,y. 
ii.a,  (J,A,V>,C,y'. 

12.  a,(f,A,\l,C,OL, 

13.  a,d,A,r,,D,y. 

14.  <?,</,  A,B,I),  a. 
i  5.  a,(f,A,^,a,y'. 
16  a,d,A,C,a,  y. 
i-!.a,d,\^,C,D.y'. 

18.  a.,d,V>,C,D,a. 

19.  a.d.?>,C,ci^y. 
10.  «,</,B,  {),a,y. 

Parics 


rOLYGONORVM  RECTlLINEORVM.   m 

2.$.  Infignis  diueiTitas  intcr  has  folutioncs  et 
illas  quas  Ccl  La?nbirt  cx  hoc  genere  reccnfuit ,  indc 
quidcm  potiHlmum  prouenit  ,  quod  CcLb.  hic  Geo- 
nietra  omnes  cas  (olutiones  praetermittcndas  cenfuit , 
in  quibus  non  occunit  angulus  A  cum  aliquoangu- 
lornm  C,  y,  7',  vel  viciflim  C  cum  A,  ct,  a' j  etfi 
autem  haec  praefcribatur  reguia  ,  tamen  binas  foki- 
tiones  inter  nortras  repcriemus ,  quae  in  enumera- 
tione  C^-1.  Lambert  non  comparent  ,  priniam  videli- 
cct  atque  fecundam  tcrtiae  claffis.  JMinime  tameti 
dubium  elfe  potert,  quin  inter  has  partes  <7,  ^,  A,  B, 
1),  Y',  vcl  «,  i?,  A,  C,  U,  y'  aequatio  inueniri  poliit; 
id  quod  cx  infpciflionc  figurac  darum  fit  ,  nam  li 
fuppoiiamus  ex  datis  <? ,  ^  ,  A  ,  B ,  y'  quaerendum 
cffe  angulum  D  ,  liquct  huius  quaertionis  fohitionem 
omnino  in  potcftatc  efle ,  in  triangulo  enim  A  B  C 
ex  datis  lateribus  <7  ,  ^  et  angulo  B  inucnietur  an- 
gulus  a' ,  qnare  dum  pro  triangulo  A  C  D  dantor 
biui  anguli  y'  ct  a  —  X-al  ,  inuenietur  tcrtius  -  D. 
Similitcr  li  cx  datis  <7  ,  ^  ,  A  ,  D  ,  y'  quacrendus 
fit  angulus  C  ,  cx  datis  D,  y'  inuenietur  a  ,  hinc- 
que  a'  —  A  —  a  ,  tumque  in  triangulo  A  B  C  ex 
catis,  a,  b^  aJ  innotefcct  angulus  y,  proinde  Q-y-\-y'. 

:i(5.  Ex  his  quae  modo  docuimus ,  conllat 
quam  infignis  varietas  folutionum  oriatur  pro  co 
cafu  ,  qno  diagonalis  quaedam  Tetragoni  vel  anguli 
eius  cum  lateribus  Polygoni  ,  conuderantur  ^  at 
teneudum  eft  maiorem  adhuc  prodire  folutionum  di- 
verfitatem,  fi  ad  binas  diagonales  et  angulos  harum 
diagonalium  cum  iatcribus  Pulygoni  aitendatur  ,  ha- 

rum 


,te         DE  re5clvtio::e 

riim   igitijr  foUitionum  cniimerationem  heic  tradcre  , 

co  minus  neccfliim  diicimi;s  ,  quod  non    lolum    (atis 

complicatos  requireict   laborcs  ,  (td  etiam  quia     haec 

cnumcratio  parum  conferre  videtur  ad  dtdriiiam  dc 

ThK  T.  U)Uiti(ine   rciygonoruni   in  gfnere  ,  illuflrandam.   Qui 

ris-  9.   autem    completam     enunKraiioncm    fuliuio.iUm     pro 

Ittragono  adumbrarc   velit  ,  cnm  via  ab  hac  proilus 

diuerla  inccuere   dcbcrc   cxiiHmamus';  propofita  euim 

figura  A  B  C  D  iii   qiia    bina    quaeuis    puncfla    lineis 

rds  luntHia  lupponuntur  ,  ita    vt  fex  omnino  in  hac 

fit^ura  c-entur   lincne  et  duojccini  an^uH,  is  qui   per- 

fcclam    enumeratiouem    (olutionum    pro    hac    fi^ura 

tradcie   vitlt  ,  de  eo  follicitus  cfTa  dcbct ,    vt    omncs 

niodos  ex  juir.it ,   quibus  cx  odoJecim    partibus    figu- 

rae  propofitae  ,  fex  diffimiU   rationc  intcr  Ic    combi- 

nantur;   ilhs  lamcn   rcguHs   probe  obfcruatis  ,    vt  has 

combinationcs  biuac   irJrem   ingreuiantur   lincac,  tum- 

qu2  vt  quo(voaocnn";ne    hae    partcs    accipi-mtur  noii 

plurts  qiiam   trcs  ad  vnum   idcmque  trianguium  rc- 

fcrantur  ,   vti  ctiam   per  fe  p.uct    non    plurcs    quam 

binos  angulos  ad    vnum    idemque    punsflum    locatos , 

occurrerc   dcbere.      <^uud    autcm     nullo    f.clo    dilcri- 

minc    linearum  ,    h.inc    enumcrationom    abroluendam 

exilUniannis  ,  id  ca  de  cauffli  fit  ,  quia   in  noilra  fi- 

gura  omnino  tria  Tctragona  conih^erari  poflunt,  quo- 

runi  p-iriium    cft    A  B  C  D  ,  jecundr.m    A  C  B  D    et 

leYUim  A  C  D  B  ,    ideoquc    cnumeratio    folutionum 

ita  inflitucnda  cll,  vt  aequc  adplicari  poflit  ad  vnum 

ac  alterimi   horum   qnadrilatcrorum.     Dilpcrtitio  au- 

tcm  lolutiununi  in  claflTcs    petcnda    cft    cx    numcro 

linci- 


POLYGONORVM  RECTILIXEOilVM,   113 

linfflriim  ,  qiiae  foJurioncm  ingrcdinntur  ,  ideoque 
quinqiie  confequemur  ciaflls,  prouii  ia  foliitione  (ex, 
qumque  ,  quatiior  ,  tres  ,  aut  binae  reperiuntur  li~ 
iieae.  Ratio  auteni  angulorum  ,  qui  cum  his  lineis 
ingreJi  debent  ,  ex  confideratione  linearum  omiflli- 
rum  optime  deduci  pofle  exiflimamus.  In  fingulis 
autem  ciaflibus  di(crimen  folutionum  deducere  licet 
ex  relatione,  quam  intcr  fe  tenent  lineae  lolntionem 
ingreflae  ;  flc  pro  Claflc  tertia  \bi  quatuor  occurrunt 
liiuae,  dilcrimen  folutionum  ex  eo  oritur  ,  cuod 
lineae  omifl^ae  fint  vcl  continuac  vcl  difcrctae.  Pro 
ClaflTa  Quarta  tres  lineae  quae  in  foliitione  adlunt 
Tcl  trian^ulum  conflituunt  ,  \el  non  ,  et  pro  clafle 
•quinta  binae  lineae  quae  (oiutioni  intunt,  Tel  con- 
tinuce  funt,  vel  difcretae.  Si  ad  .huiusmodi  cautio- 
ncs  attendatur,  cxLflimamus  enumerationem  omniun 
folutionum  pro  Tetragono  .modo  ficilliir.o  et  maxi- 
me  pcrlpicuo  tradi  pofle  ,  quam  tamen  hac  cccafione 
iulcipere,    noflri   non   efl   inftituti. 

27,    \n  ioluiionibus  quibus    ad    partes    in    cir" 
cnitu   quadril.ueri    \el   aliu!»   Polygoni   conflitutas  ,  re- 
fpicitur  ,     ad    acquationcs  altiorcs  quam  Iccundi   gra- 
dus  non  peiuenitur  ;  at  pro  filutionibus  quibus  confide- 
rat.o  diag  -nalium  inifucttur  acquationcs  aJeo  biquadra- 
ticae  bicutn  inuenicnt,  id  cft  FrolJcmata  nlia   arque   alia 
ocrurrcnr,  ouae  quiituor  tiiucrlii!-  admittunt  loJutones, 
id    qncd  exemplo    vberius    declarabimus.       Statuan  us 
ex  dat'S  qnntnor  lineis    AB,  BCCD,  I>A  et  nngnio  Xab    I. 
B  A  C     inrtftii';indam     cfle     lineam     B  1).       Prin  i  m  F.<i   10. 
itaqre  tx  d:'t:s  latcribus  AB,  BC    et    angulo     B     C  "•  ^*  ^* 
Toni.XX.Nuu.Cuiiun.  P  triau- 


114  DE    RESOL  VTION  E 

triangiili  BAC  quacratur  latiis  AC;  patet  vero  pro 
AC  binos  prodire  poffe  valoies  diiicrfos,  fi  tutrit 
anguliis  BAC  acutus  et  BC<^  AB  ,  fint  hi  valores 
AC,  AC  Conllruantur  fuper  AC  trif.ni^ula  ADC, 
AD^C,  quorum  latera  AD,  DC  data  habeiitur  ec 
iungantur  DB,D'B,  quo  fado  binos  habebnnus  va- 
lores  ipfius  DB.  Tum  vcro  fimili  ratione  (uper  AC, 
defcribantur  triangula  AC'D",  AC'D"  ,  quorum  la- 
tera  A  D"  =:  A  D"",  D"  C  -  D'"  C  data  et  iungan- 
tur  BD'',  BD''',  hae  lineae  binos  reliquos  valores 
quaefitos  fuppeditabunt. 

28.  Antequain  hiiic  dc  Tctragono  mcditationi 
finem  llatuam  ,  fi)luciones  binorum  Probleinatum  ad- 
ferre  placet ,  quorum  prius  notatu  dignum  elt,  qnia 
relationem  exhibet  omnium  linearum  quadrilatcri  , 
alterum  vero  qnia  praxis  Gcodcfiae  pracprimis  ilU 
Problemati  inititur.  Sit  igitnr  propofitum  Froblcma 
fcqucns  ;  ex  datis  laterihus  Ttiragoni  AB,  BC,  CD, 
A  D  f ;  (liagonali  A  C  ,  (juaerere  diagonakm  B  D, 

Lincae    A  B,  BC,  CD,  D  A,  AC,  BD    rcfptdiue 
Tab.  I.  Jefignentur    littcris  a,b^c^d^  e^f  ^  anguli   vcro  BCA, 
^'^"  ^'   aCD,  BCD    litteris    yV^C.      Qimm    igitur    fit 
C— Y-+-7'  fict 

col'.C  — cof. y  cof.  y'— fin.y  fin.  y',  liincquc 
fin.  y  fin.  y'  —  cof  y  cof  y'  —  co(.  C  , 
fumtis  autcm  qnadratis  hacc   rcrniiabit  aequatio  : 
fin.y'fin.y''-cofVcofy''— icof.Cco(.yco(.'^-'+cof.C% 
eft  vero 

fin.  y'fin.  y''  — cof.^y'  cof  y''— i-cof.  y'-  cof.  y'\ 

cx 


rOLYGONOrvVM  RECTILINEORVM.   115 

ex  quo  fiet 

I  -cof  Y*-coC  Y^^rcof.C'-  acof.Ccor. ycof. -y'»  ^iue 

1 4- 2  cofXcor.  Y  cof.  y'  — cof.  C'-fcoC  y' +cof  y'^« 
Conflat  aiitcm  efie 

coCCr^^^icof.Y:=^-4^;:=^^  corY'=^^7^; 
his  igitur  valoribus  (ubftitutis,  fequens  prodibic  ae- 
quatio  : 

~  4  6=  e^  ~  4C'«- 

fiue 

quae  aequntio  licet  fit  biquadratica  ,  tamen  vt  qua- 
dratica  tradari  potcfl:,  qnum  in  ea  non  nifi  quadrata 
linearum  ^,  ^,  f  etc.  occurrant.  Simplicitatis  igitur 
gratia  loco  quadratorum  ex  litteris  a,b,cetc.  ipias 
has  litteras  fcribere  li(.ebit  ,  tum  autem  fada  euolu- 
tionc  nuflra  aequatio  hai^.c  adipifcetur  formam  fatis 
concinnam  : 

ac  (  b-\-  e  +  d-hf-  a  -  c)-\- e  f  [a  +  b+c+d-e-f) 
-hbd{a+c+e-{-f-b-d)  =  abe-\-ecd-\-afd+bcfi 

vbi  ohfcruandum  littcras  a^b^c  ctc.  non  indigitare 
"ip(as  lineas  AB,BC,CD  etc.  fed  earum  quadrata. 
Pro  hac  aequatione  notarc  conuenit  ,  producla  ifU 
,ac,efybd  inuoUiere  lincas  difcretcis  ,  haec  vero  abe^ 
ecd,  afd,  bcf  ^  inuoluunt  lineas  ,  quae  ad  trianguU 
formanda  ccrto  modo  concurrunt.  Caeterum  quo- 
modo  ex  hac  acquationc  quadratica  dcterminari    de- 

P   2  beat 


iT^  DE    RESOLVTIONE 

b'.at  quantita?  /,  qinim  heic  vt  incojnltam  fpccli» 
iiius  ,  latis  e(t   pcrfpicuum. 

29.  Dam  [n  campo  ;il  qiio  dimctiendo  occu- 
pantur  Gco  ctae  ;  ita  pkrninque  procejcre  foleit , 
\t  flnunita  data  baO  A  D  et  mciifuratis  angulis 
B  AD,  CaD,  BDA,CD-V  inde  eiiciant  diftant  am 
B  C  tt  rcliquos  flgurae  quadnlatcrae  angulos.  Hinc 
Gvg,o  fequens  cxoritur  Froiilema  :  /i  in  Tctragom 
ABCD  coguitum  fuerit  litur  AD  — ^1  cwn  angiilir 
BAD-A,  CADrza,  CDA-D  ct  BDArr^,  /«- 
<ve>!iye  Ltus  BC^^b  ct  ar.gulos  ABC-B,BCD^C. 
Ex   trianguio  BDC  babetur 

BC^ED  +CD'-2:BC.CD.  cof  BDC,  cft  \ero 
BD;AD::nn.A:rin.(A+<J);CD:AD::nn.a:fiu(a-l-D), 
tum    vera 

coL  B  D  C  i^  cof.  D  cof.  S  +  fin.  D  fin.  S' , 
quibus  valorihus  (ubditutis  fiet : 
^^ri^^f  ..-■^'''•';-+,-^"-^ - ,-^'Vr'"""  iT(cor.Dcor.(J-f  n n. D fi n.^)l 

Comraodior  autcm  inuenictur  folutio  ,  fi  ita  proce- 
damus,  quafi  cx  datis  tribus  latcribus  AB,  CD,  AD 
ct  nngulis  BAD,  CAD  quacrcrc  vcllcmus  l.itus  l-.C, 
tum  fcilicct  fi  AB,  CD  exprimantur  per  a.c  cuu- 
fequemur:     . 

hb-a\  fN-  d''^  2  adzo[.A-\-  2  <7<rcof  (A-i  T>)-2cdcolT)y, 
ex  qua  formula  facile  coUigitur 

fc6-(flfin,A-<^fin.Dy+(dr-«cof.A-<:cofD)\ 

hiuc^iue 


pCLYGONORVM  RECTILTXEORVM.    117 

hincqix  fi  rt.uuatur 

Tj.ic>  k  —    '"'"•  ^  --lli::  P— -  ,  pro-iiVif 

X  j.i^.  r    —  ^ — a.-J,- A  —  c  cjj.  D    '    ' 

t   afin.  V  — cni.  D    — -  J  —  a  CJ(.  A  —  e  nf.  -^ _ 

—  J.a.  F  eoi.  I*  *  „ 

lam   vcro  cciiiU.it  efTe 

djiii*--,  et  ^  —     ^  '"" «         ita  vt  fiat 

«-  c )  W'  \fruS  Jm. !  1  -f-  r>)-~  m.  a//-.  p./' ". '  ^  -»-  ^ )   ,  . 

\bi    {[   notetur  eflre 

fin.(A4-<J]fin.^a+D)r'rin  (a  i-D\Tin.Acn{.^4-corA.fin.o) 
-firin.^A-f  (5  jdin.Dail.a  fcot.D.tlu.a), 

denominator  hanc"  aJipilcetur  fornvim  :  ' 

i  fin.  (  a  -+-  D  )  (  lin.  A  cof.  6  -  cof.  A  fin,  <J  ) 

-I-  i  fin.  (  A  -^  ^  )  (  fin.  D  coC.  a  -  cof.  D  fin.  a  ) 

:=i(in.(a-t-D)rin.(A-^)  +  ;rir..(A  +  5)fi".(.D-a). 

Hincque   fiet" 

^'  ji  .^  a  _(-  D  )jZa.;  A  — S  ;_^jin.;  A  -|- 5  lj"i.[  D  —  a) 

^i:;<2rrin.(a  +  Djlin.^A-5)-Hnn.^A-i-5)fin.(D-a))Sec.F. 

Praeterea  fiet  angulus  B  C  D  n:  i8o°—  D  +  F  ,  id 
quod  intclligitur  fi  reda  BC  produda  concipatur 
dum  rcc^lae  A  D  occurrat  ,  angulus  enim  harum 
rcdtiruiii  erit  -F^  fimili  ratione  ficr  ABCr.  So°-A-F. 
Dj  numeratnre  fi)rmu]ae  pro  Tang.  F  exhibitae,  no- 
tari  quoiue  mcrctur  eum  fic  exprimi  pi  ffe  : 
fiii.  (A-a-D-f(J)-h  cnf  i  A-S  )  fin.  (  a  +  D  ) 

—  cof  (D-  a  }  fin.  (  A  -f-  5  ). 

30.  Tnfiituti  nnfri  rntio  nunc  quiiiem  noa 
fert ,  \t  omncs  cafus  lointionum  pra  Pe:,r.igin(»  hcic 
cuuluamus  ,  vt  taincn  adparcat  cuuinoUo  hac  lolutio- 

P   3  ces 


iig  DE    RESOLVTIONE 

nes  fint  fufcipi^ndae,  obferuationes  quasdam  circa  ae- 
quationes  pro  Pentagono  locum  habentes  lieic  adfere- 
mus  ,  qutbus  pcrpenfis  non  (olum  qiiaeftiones  pro 
Pentflgono  facile  folu^^ntur  ,  fed  via  quoque  praepa- 
retur  ad  (olu-tiones  aliorum  Polygoiorum  exfequen- 
das.  Pro  Peutagono  autem  iequcntes  habemus  ae- 
quationes : 

I.  cc  —  a-^-b^-hc^+^^+^abcof.B  +  aacccC  (B  +  C) 
4-  2 fl dcoi. (  B  +  C  +  D}  +  2  bccol.  C+  2 ^^coC  (C-f-])) 
-{-zcdcof.  D 

II.  ee-i-  zedcoi.  E-^-dd—aa-^-bb-hcc+a.abcoC.B 

-+-  2  a  c  coL(B  -\-C)+  2  b  c  coi.C 
m.  a  fm.  A  +  ^  Cn.  (  A  4-  B  )  -h  ^  fin.  (  A  +  B  4-  C ) 

+  d  fm.  (A  +  B+C  +  D)— o 

IV.  rtfin.A  +  ^fin.^A  +  B^+c^fin.CA  +  BiCj-fl^fin.Ero 

V.  rtfin.A  +  ^.fin.(A  +  B)-tfin.(D+E)-</fin.E=o. 
De  tribus  pofieribus  fiue  ex  iis  latera  ,  feu  anguli 
detcrminari  debent  ,  vix  quicquam  monere  nectiTe 
cd  i  fiquidem  huiusmodi  detcrminatio  facillima  cfi  , 
nec  complicatiores  reqivrit  opcrationcs  ,  quam  qui- 
bus  ia  paribus  cafibus  pro  quadrilatcro  \C\  fumus. 
De  prima  autem  aequatione  fi  ex  ea  nhquod  late- 
rum  ,  vtpote  ^,  vlI  a,  vcl  b,  dcterminandum  fit 
notare  iuuat,  quod  fub  his  formis  commodc  cxpri- 
mi  queat  *. 

I.  ^crr;rt+^7corB  +  <rcof(B  +  C)  +  ^cof.(B  +  C+D))= 

+  (^0n.B4ffin.(B  +  C)  +  ^fin.(B  +  C+l)))= 

a.  ee  —  {b-{-a  cof.  B  +  c  cof  C  -+  r/ cof. (  C -f-  D  ))' 

H-  (  a  fin.  B  -  c  fin.  C  ^  ^  fin.  (  C  H-  D  )  )*. 

Liquct 


FOLYGONORVM  RECTILINEORVM.   119 

Liqiict  Qutem  hinc  fiue  e  ,  feu  a  tt.  b  facile  inue- 
niri  ,    pro   iniieniendo  (cilicet:  e  ,  ponatur 

.fictque 

f  =  (^fin.B+rfin.(B-fC)  +  ^nn.(B  +  C  +  D))Cofec.F. 

Tum  vero  habcbitur  per  priorem  earum 

flmili  ratione  inuenitur  by  per   pofteriorem. 

Si  cx  prima  aequationc  fit  quaercndus    angukis    B,' 
fada  eiiolutionc  tcrmiuorum  qui  hunc  angulum    iii-         -  / 
voluunt ,  (latuatur 
ri";  -^-^4"  — r-T  =  Tang.  G,  tumque  obfcruetur  eflc 

^'+t-'+/"+2^t-cof.C  +  2^^('cor.(C+-D)-+2frt'cofD 

-(^+^xor.C+rt'cor(C+D;/+;c-fin.C+^rin.(C+D)r 

=  ^lIi!lL£.-±±I^^lc_,^^  ,   i^j„^  •^j.g^  gg^  aequatio  prima 

ee  —  «'4-'WVV£^d//n.^CC+D)}2_^  ^,  ^  ^c_f;,..C-f-d  /''"•fC-HDJ^cof .(B+G) 

tumque 

cx  qua  aequatione  ycI  alia  huic  aiiuloga  facile  de- 
tcrminatur  angulus  B.  Dcterminatio  autem  anguli 
C  maximam  facedit  operam  ,  atque  ita  (ufcipienda 
vidctur;  fa,fla  euohuione  lerminorum  qui  angulum  C 


inuoluunt  ,  (latuamus 

-     X<1  nv    T    

c  -^  d  coj.  D 

quo 


Tuog.  I  =3  ^^- B_  ^  Tang.Lzz    ''-'' 


,«0  DE    RESOLV  TIO  N  E 

<]no  f.K^o  erit 

ita  vt  fit 

zcoCCiaccoCB-h-adcoCiB-^-D^-^-bd  co{.D-{-hc) 
-2fin.C(rt(:  fin.B  +  ^rf  fi  i.(B-+  D  }-i-hd  fu.D) 
—  2(«^fin.B+«^Iin.(B+D +^y/fiii.D/i-;;^_g-| 

Hinc   fict 


1) 

X)' 


eezz 


fli/in.B*  _i      d*/M.  D' 


"/'"•  ^'  ^-  ^y'"- ''-'  +  2  ( ^ t-  fi n.  B  H-  ^ ^ fi n.  (B -f-i5) 


iam  obreriictnr  cfTe 

flffin.B+arffin.^B+D^+^^r/fin.D-flfin.BV+i/cofB) 

+^fin.D(^+flCol.B) 
—  a^fin.B.fin.Df^J^-^"i^  +  *-^-^'!>-^)-«^fin.B.fin.D 

(cot.  1  +  CUt.  L) 
quocirca   bnnc   adipifccmur   acquationcm  : 

ex  qua  quoniodo  dcterminari  dtteat  angulus  C;  iara 

fpontc  li  ]uct. 

3r.    Pro  acqontione    fccunda    obfcrucmus ,    cam 

fcqucnf.hns   cx;',riiiii    p 'flc   iViOJJb : 
I.  (e+dd+icdci:\.'^.  —  [l+a<io\.Y.+cco\  C)'+(^/fiii.B— f  fin.C)' 
a.  ee-\  dd+ze dco\.  1-  —  ((-+/' (.()l.L+fcoi.(B4-C)/+>fin.B+f'in.,B  vC))\, 

Ex  harum    piiori  iac  lc  dctermiiatur  latus  b,  quum 
fit 
(Z;4-flcoI.E+f.cur.Cy~(f +«')'- (ufiii.B-ffu\C/-4f^fin-^^-'» 


POLYGONORVM  RECTILINEORVM. 


121 


fi  enim  pon;Uur 

^g^fin.jF/ 

(e-\-d^aa.B-c  hn.Cj(f+/'/-«  lin.B-K  liu.C)—    "'  ^  » 

prodibit 
b+acol.B+ccoi:.C-coCGVie+ii+aCm.B-cCw.C]ic+d-a^i^3+cCin.Cy 

Simili  fere  rationc  ex  lecunda    exprcfiioiie    dctenri- 
nutur  latus  a^  tumque    ex    Ttrauis    elici     pott-ll    e. 
Si  quaerendus  fit  angulus  E,  ilia  acquatio  : 
^ed{in.{E'=iie-{-dy-{a{\n.B~cCin.C)'-ib+acoiB-{^co(.Cy 
commode  adhiberi   poteft ,  nam   fi    ponatur 


f?)  _*_  •  cof. 


B-4.cid/.cL  —  fin.  H'  ,  fiet 


(^  _^  df  —  ,^jjn.  B  —  cjm.  C;« 

4^ ^lin.  i  E':=((^-|-^/-(^fin.  B  - <r  fin. C)*) cof.  H\ 

Vt  au^em  ex  aequatione  hac  (ecunda  eliciatur  angir- 

lus  B,  fiat  euolutio  termiaorum  hunc  angulum  in- 

\olaontium  ,  \t  fit 

V4-2  f  ^coi.  E-t-/zifl'-i-Z>*+/+  2  ^^cof  C+ 2  tf  cof.  B  [b+ccoCC) 

—  2aciia.B.Cm.C. 
lam  quaeratUT 

Tang.K:^^-i^-^-,  eritque /^*+/+.  J.cof.  0-^,^^ 

Vnde   cnnfequimtir 

^'+ c  f  ^cof  E  4-^' -  «' +'=^^^'1!^+ 2  «f  g-f  cof  (B -f- K) , 

Iiinc   fit 

(<H-<'_4r^fin.iE'z(rt-l^?)'+4fli|;:;;^cof'(R4-K)*ct 

(r-^  '+4^^cof  i  v:-  {a + j;;;  •^'^j-  4 « t-^-^^  ^''^-  *  (^  ^  ^^''» 

cx  quibus   iundim   lumtis  coUi^itMr 

Tang  ;(B4-K)  zz li -^ — -, 

ie+d;^[a-y^)-^td[in.lE" 

lom.XX.  Nou.Comm.  Vl  ^^^^^ 


122  DE  RESOLVT.  POLYGON.  RECTIL. 
hinc  fi  ponatur 

confequea.iir 

Tang.  [  (B  +  K)  =  cot.  lE^j^.V  ^^^. 
Vel  ctiam  facilius  forraii  hcc  modo  ,  llatuatur 

^^'^-:^-coCM%  vt  fit  {c+dy^i.ed{:in.iE'=:ie+dyanW. 
(jf+a) 

critque  hinc 

Tang.|(B+K)'--^        ^""'^ 


(<f  H-  <•/)•  fin.  M*-  («  -  '^y 

Tnde  Tang.  i(B  +  K)  fatis  commoie  cxprimitiir. 
His  igirur  formulis  adliibitis  rcfolutio  Pentagoni  fa- 
cile  abf^luitur  ,  et  pro  Polygonis  ahiorum  ordinum 
regulae  his  fimiles  facile  inuc.niri  poffunt  >  quibus 
exponendis  immorari  non  cft  neccflc. 


OBSER- 


OBSERVATIONES 
CIRCA     NOVVM    ET    SINGVLARE 

PROGRESSIONVM 

G  E  N  V  S. 

A  u  c  to  rc 

L.     E  F  L  E  Fy.  0. 

I. 

Inter  res  faepenumero,  qnne  attentione  nofira  haud 
dignae  videantur  ,  obferuantur  quaedam,  quae  fa- 
tis  profundam    iifueftigationcm    requirunt  ,    ac     uoti 
parum  (ubUmibus    fpeculationibus    occaficncm    prae- 
ben  .     Quod  cum  plurimis  exemplis  confirmari  poS' 
fit ,    tum    nuper    etiam    iple    fum    expertus ,    dum 
quaeftionem    illam    tyronibus    notiffimam  ,    attcntius 
contcmplarem ,  qua  quindccim   Clirilliani  totidemquc 
ludaei  ita  ordine  funt  coUocandi  ,  \t  fi  ,    numerandi 
initio  in  dato  loco  fumto  ,    nonus  quisquc  vcl    deci- 
mus  in  mare   fit    eiiciendus ,    haec    poena    in    folos 
ludaeos  fit  cafura.      Quae  quaeftio  etiamfi  in  fe  ni- 
hil  habeat  difficultatis  ,  tamcn  mox  vidi  ,  fi  in  ge- 
rcrc  de  hominum    numero    quocunque  ,    ex    qu  bus 
ron  nonus  led  fecundum  alium    qucmuis    numerum 
quotusquisque  fit  eiiciendus  ,    proponatur  ,    difficilli- 
mum  fore,  ordinem  eorum  ,  qui  continuo  eiicientur, 
afllgnarc.     Neque  adco  methodus  conllat  hoc  in  ge- 

Q,  2  nere 


tij^  N  O  V  V  M 

rcrc  pracftandi  ,  tametfi  qiiniiis  cafii  oMflto ,  dum 
numcraiio  aclu  inlHtuitur  ,  (olutio  f!ic  UiiTie  obtine- 
tur.  Ex  hoc  genere  haud  parum  curiola  mihi  \i- 
deriir  qu.ieflio ,  fi  v.  gr.  ex  plurium  fontium  nu- 
mero  is  (olu!'  fit  fupjlicio  iifficiendus,  qui,  poftquam 
nonus  quisque  vel  (ecundum  alium  nurrerum  cx 
ordine  fucnt  cxemtus  ,  tandcm  \ltimo  folus  fit  rc- 
rnanfurus ;  hic  (cilicct  maxime  intcrcrir,  ante  noffc 
illum  fatalem  locum  ,  iu  quo  numeratio  illa  \lti- 
ino  tcrminabitur,. 

2.  Quo  omnia  quac  Fi'c  inueniganda  occur-- 
runt  ,  clarius  perfpiciaiuur  ,  cafum  illum  pcrpenda- 
mus  ,  quo  cx  (eric  30  notarum  nona  quaeque  ex~ 
pungitur,  quod  negotium  numeratione  aclu  iulbtuta 
ita  commodiffime  reprae(entatur  :: 
I     a34j6"78    p  10  1  I  12  13  14.  I  s  i(5i7  1  8  15  :o  n  2  2  2  ^24.  •!?  if?  !7i8  2^  30 

I  I    I   I    I    I    )    I  I  1   I    1   (    M    I  I    i    I    I    M    I    I   I    I    I   I    I    I 

23  20  28:4i+4.7i2iipi6i025272Ssi8    2    8  29jOi3lSii22<5     32117    P 

Hic  fupcriores  numcri  indicant;  quoto  loco  a  primo 
computando  quacque  nota  fit  pofita  ;  inferiorcs 
Vtro  numeri  oltcndunt ,  quando  quaequc  c  iciatur  , 
duin  fcilicct  continuo  nona  quaequc  cxpunginir  :  Ita 
patet  ,  primo  nonam  ,  fecundo  decimam  oftauam  , 
tertio  victfimam  fcptimam  ,  quarto  fcxtam  ,  quinto 
decimam  (extim  ct  ita  porro  expungi  ,  donec  \lci- 
mo  dclcnda  (upcrfit  (ola  victfima  prima  ,  qui  adeo 
foret  locus  ille  fatalis  ante  memoratus.  Si  indices 
eiedornm  ordine  difponantur  ,  indicesque  notarum 
iublcnbaijtur ,  haec  lerici  piodibit, 

Indiccs 


PROGRESSIONVM    GENVS.  125 

Indices  eicdionis 

#,i8,27,',I<J,:<J,7,I^,  i',t:,24,   5*,^^   s.^  3,i  i,2P,i  7,io,   r,:S,^5,    i,  4.15,13,'-},   3,2o,Ji 

lndices  naiurales. 

Hanc  poftremam  rtri.m  vocabo  7?/7m  eie&ionis ,  qmti 
ea  indiciU  ,  quota  nota  e;iciaiiir  primo  ,  (ccundo , 
tertio  etc.  ita  (cilicet  primo  eiictur  nota  9"^,  fccun- 
do  18'^'*,  tertio  27"",  quarto  6''',  quinto  \6"  ct  iti 
porro  ,  doncc  \ltimo  trigtfimo  nempe  loco  eiiciatur 
nota  viccfima  prima.  Vbi  quidcm  meminifle  opor- 
ttt ,  poflquam  numerando  in  iaie  notarum  ad  fi- 
ncm  futrit  peruenium  ,  mimerationcm  iterum  ab 
iniiio  continnari  ;  ex  quo  intclligitur,  notam  trige- 
iimam  primam  conuenire  cum  prima  ,  et  fi  cuius- 
quc  notae  index  fucrit  n  cidem  quoqne  indices 
»  +  30,  n  +  60,  «4-90  etc  conuenirc  funt  ccnfendi,. 

3.  Si  hanc  feriem  «icdionis  ccnfideremus,  vix 
vIluiTi  ordinern  in  ea  deprehendere  licet ;  tres  qui- 
dcm  prini  termini  9,  18,  27  lecundum  differen-.' 
tiam  y  afcendunr ;  et  quartus  quoquc  6,  quia  cum' 
36  connenit ,  eandem  kge.n  fcquitur.  Quintus  autem, 
qui  efl  \6  vel  46,  dtnario  praecedentcm  fuperat, 
quia  in  numcrando  iam  vnus  fciLcat  9  Itu  39  efl 
deletus ,  ideoque  non  numeratur.  Ob  eandem  ratio- 
nem  a  tcrmino  qainio  \6  ad  (extum  26  etiam  10, 
at  a  fexto  26  ad  (eprimum  7  feu  37  iam  11  nu- 
mcranrnr ;  ficque  laltus  continuo  fiunt  maiores , 
quia  phires  n^itae  iam  delctae  trjnfiliuntur  j  quo4 
opcrationem  aclu  inftitucndo  (ponie    ciucct ,    ctia'-  fi,. 

Q^  3  ordi- 


ta^  N  O  V  V  M 

ordincm  h:irum  differentiariim  audarum  vlx  afTigni- 
re  liceat ;  generatim  certc  hic  nihil  omnino  definiri 
pofTe  vidctur.  Circa  finem  autcm  imprimis  hacc 
lerics  eiciflionis  ita  fit  irregularis  ,  vt  nulli  prorfus 
legi  ndftn(5la  videatur.  Eum  in  finem  autem  hanc 
fcricm  hic  expofui  ,  quo  clariiis  omnes  difticuhatcs , 
quibus  perlcrutatio  eius  impcditur  ,  perfpiciantur , 
h.iecque  ip(a  feries  ex  ludicro  principio  enata  attcn- 
tiona  noftra  non  indigna  videatur. 

4.  Hacc  autem  fcries  eiedionls  fpecialis  dua- 
bus  rc'jus  detcrmiaatut  ,  quarum  altera  in  numero 
notarum  ,  qui  eft  30,  altcra  vero  numeratore  ,  qui 
cft  9  coiitinetur.  Qiiocirca  in  genere  quaelHo  huc 
redit :  vt  dato  notaruni  numero  vna  cum  numcra- 
tore  ip(a  feries  eieclionis  exliibeatur  ,  cuius  folutio'- 
nem  cum  iii  genei.e  fperare  nequeamus  ,  in  cafibus 
particularibus  attentioneni  noftram  cxerceri  conue- 
niet ,  num  forte  legem  quampiam  detegere  videa- 
mus.  Ac  primo  quidem  patet  ,  fi  numerator  fucrit 
vuita6 ,  fericm  eicclionis  ipfam  fore  feriem  nnme- 
rorum  nsturalium  i  ,  2,  3,4  etc.  quoniam  cnim 
primus  ouisque  eiicitur  ,  primo  loco  primus  tcrmi- 
rus  ,  fecundo  fccundus  ,  tertio  tertius  et  ita  porro 
eiicitur,  ita  vt  \ltiina  nota  fimul  fic  terminorum 
eicdoruin  vkimus. 

5.  S'x  igitur  numcrator  r=  2,  ita  vt  fccundus 

quisque  eiiciatur  ,    feu  cicdio  fccundum  alternos  in- 

ftuuatur ,    ac    pro    notarum  numcro  feries  ciedionis 

ita  fe  habere  depreheuduuLur: 

numerus 


numenif 
notaruiv 

2 
2 

3 
4 
5 
6 

7 
8 

9 

lO 

ii 

13 

14- 
J5 
i5 


PROGRESSIO>^VM    GENVS. 

fcrics  ciccHiionis 
pro  numeruLorc  a 


»27 


I 

2j4,  3,  I 

2,4,1,5,3 

2j  4,  ^,  3,  I,  5 

2,  4j  ^,  It  5»  3,  7 

2,4,^j  8,  3,7>5>  ^ 

2,4,  ^,  8,  I,  5,  9»  7,  3 

2.45<>,  8,  10,   3,   7)  i,  9,  5 

4,  <5,  8,  10,    I,  5,9,  3,  11,7  y 

4,5,  8,  10,  12,  3,7,  II,  5,  i,P 
4,5,8,  10,12,  I,  5,9,  13,7,  3)  " 

4,5,8,10,12,14,3,7,11,1»    9,5,13 
4,5,  8,  10,  12,  14,  I,   5,9,  13,  3,  11,7,  15 

4,5,  8,  jo,  12,  14,  i^,  3,7>  II,  15,  5,  13,9;  i> 

Hoc  fchema  infpicicnti  ftcile  crit  pluribus  modis 
ordincm  quenJam  oblcruarc.  Virimi  icilicct  tcrmi- 
ni  manifcflo  tenent  progrclilonem  arithmeticam  bi- 
riario  crcfcentcm  ,  dummodo  termini  yui  numerum 
Botarum  ciT:nt  fuperaturi  ,  infra  cum  deprimantur  , 
numero  fcilicet  notarum  inde  detraflo.  Ita  cum 
prirno  habeatur  i  ,  pro  fecunda  ferie  \itimus",  qui 
forct  3,  binario  fubtrado  ad  vnitatem  reducitur  j 
hunc  fcquitur  3,  ct  fequens  5  numerum  noiaruin 
\nitate  fuperans  ad  vnitatem  reducitur  ,  et  ita  por- 
ro.  Si.mili  kgs  progrediuntur  termini  penultimi , 
lum  vero  etiam  antepenuUimi  ,    r;tt]ue    iidto    omnes 

ab 


tii 


N  O  V  V  M 


numerus 
notarum 

I 

2 

3 

4 

5 

6 

7 
S 

9 

lO 

1 1 

12 

13 

15 
i6 


ab  ^ltimis  acquidiftantes.  Qiioniam  igitiir  omncs 
rt<fliic  obliquae  ci  ,  quae  per  tcrminos  \ltimos  tran- 
fir  parallclae  ,  pcr  huiusmodi  progrtflumes  arithme- 
ticas  pro  numero  notarum  iiuuihitas  tranleunt ,  hinc 
iftae  leriis  quousque  lubucrit  facile  continuantur. 

6  Exponamus  fimili  modo  fcries  eicdionis 
pro  numeratore  rz  3  ,  ac  lex  prc^rcfliQnis  multo 
znagis  abfcondita   prodibit 

feries   eiedionis 
pro  numeratore  3 
I 
I,  a 

3,  2,  4»    I 
3,  I,  5,   2)4 
3,<5,  4,    2,  5,  t 

3,^,  2,    7>  5    1,4 
3,<5,  I,    5,  2,8,  4,  7 
3,  6,  9,  4,   8,  5'  2,  7,  t 
3,^,  9>   ^»7,  I,  8,  5,  10,4 
3^  ^j  9)  '>  5,  10,  4,  I  «1  8,  2,  "7 
3,6,  9,  12,  4j  8,    J,7>  2,  II,  5,  10 
3,6,9,12,2,7,11,4,10,    5,1,    8,13 
3,6,  9,  12,  1,  5,  10,  14,  7,  13,  8,  4,  ii>    2 
3,  6,  9,  12,  15-  4>  8,  13,  2,  10,  1,  11,7,   14.  5 
3,  6,  9,  12,  15,  2,7,  II,  i6,  5,  13,4,  14»  10,  I,  S. 
ctc. 

Intcrim    tnmcn  ctfi  fccunc^um    lineas   hrrizontalc?  ct 
verticiiks  ordo  maiiis  cll  .iblUufus  ,    lanun   in    '^lti- 

111  is 


PROGaESSIONVM    GENVS. 


«5p 


mls  Iterum  progreflio  arithmetica  fe  proJit  fecun- 
diim  ternarium  crefcens;  iiaccque  eadem  kx  quoquo 
in  penultimis  ct  antepenultimis  vt  antc  depreliendi- 
tur  ,  cx  quo  et  has  feries  facillimc  continu.ire  licet, 

7,  Circa  hanc  legem  in  tcrminis  vltimis  lo- 
cum  habentem  dubitare  aniplius  non  poterimus , 
du:n  ea  adhuc  pro  numeratore  4  obrcruetur.  Pari 
ergo  modo  leiits  eieftionis  iudc  creiflas  repracfea- 
lemus 

jiumerus|  feries  eicdionis 

notarum  |  pro  numeratorc  4. 


o 

4- 

5 
6 

1 
8 

9 

10 
II 
12 

13 

14. 

15 
X6 


4,  I, 
+j  3> 

45  I, 


3,  a 

5)  2»  I 

I,  3,  <^,   ? 

^»  5,  7,    3,    2 


4,  S,    5,    2,   I,     3)  7i     <» 
4,  8,    3,    9»    ^.     5>   7>    2.     r 
4,  8,   2,    7,    3,    10,  9,    I,  6,    5 


4>  y,  i> 


II,  7,  3, 


5,  ic,  9 


4,  8,  12     5,    10,  3,  I  r,  7,  6,    9,     2,    1 
4,  8,  12,    3,    9,    1,7,    2,  II,  IJ,  13,  <J,    ? 
4.  8,  12,    2,    7,    13,   5,  1  I,  6,    I.  14,  3^  i->  9 
+  ,8.12,     1,6,11,    2,  9,   I  5,  1O1  5,  3,  7,  14,  13 
4,  8,  12,  16,  5,  10,  15,6,  13,    3,  i4>9)  7,  II,  2j  I 
etc. 


Hinc  crgf^  Lx   illj   in   f.ricbus  ob'ique  defcendentihus 
loai.XX.  Nou.Comin,  K  prur- 


X3d  N  O  V  V  M 

prorfus  conflrmatur  ,  quae  fcilicet  hlc  Aint  arlthmc- 
ticae  quaternario  crefccntcs ,  dum  termini  numerum 
noftrum  fuperantcs  infra  eum  deprimnntur.  In  ferie- 
bus  autem  horizontalibus  et  verticahbus  ordo  fit 
continuo  intricatior.  Quin  etiam  ipfa  rei  natura  iii 
(I;riebus  horizontahbus  nuUam  progrcflionis  legem 
patitur  ,  proptcrca  quod  eae  ,  cum  omnes  numeros 
iiotarum  numero  non  maiores  fucrint  complexae,  \I- 
teriori  continuationi  aduerfintur  ,  ita  vt  continuatio 
tanquam  imaginaria  fit  fpccflauda. 

8.  Kn  ergo  infigncm  legem  ,  cuius  ope  pro 
quouis  nnmcratore  et  notarum  numero  ,  nota  vlti- 
mo  eiicienda  aftignari  potcli  Exiltentc  fcilicct  nii- 
meratore  zrn ,  C\  pro  notarum  numero  v  vltima 
eiicicnda  fit  z,  feu  indici  z  refpondcjt  ,  tum  pro 
numero  notarnm  v+  i,  vltima  ciicicnda  erit  z-{-fi> 
fiquidcm  non  fit  Z'i-n'^v-\- i;  at  fi  ^ 4- « > >'1-|- 1 , 
vltima  crit  .s  +  «  —  v  —  i  vel  ::  -H  «  —  2  (v  4-  i) 
■vcl  z  -{-  n  ~  ^  (y  -{-  1] ,  vel  generatim  diuidcndo 
z -\- n  per  y  +  i ,  rcfiduum  ex  diuifione  rclidum 
dabit  indiccm  vltimae  notae  eiiciendae.  Vbi  notetur, 
fi  diuifio  nihil  rclinquat  ,  tnm  pro  rcfiduo  o  fcr.bi 
notarum  numerum  v  -\-  i.  Cum  ergo  pro  nuincro 
notaru.n  n  co£;nita  fuerit  vltimo  ciccfta  ,  pro  omni- 
bus  notarum  numeris  maioribus  vltimo  cieda  facilc 
per  hanc  regulam  afiignabitur.  Perpctuo  autem  fi 
vnica  fuerit  nota  ,  e.idem  quo:]uc  erit  \himo  ciccla, 
feu  fi  fuerit  v  —  t  ^  crit  z  zz.  \  ,  vnde  fcquentes 
omncs  fine  vllo  negotio  rcperiuntur.  Quae  rcgula 
eo  raa^is  cft  iiotatu  di^na ,   quod  finc  cicctior.is  or- 

dine 


PROGRESSIONVM    GENVS.  131 

dine  cognlto  ftatim  vltimo  ciiciendam  exhibcat  ,  ct- 
iamfi  ea  manif;fto  ab  ordinc  antc  eicdaium  pen- 
deat.  Quamobrem  haec  rcgula  mcrito  tainjuam  in- 
fignc  Theorema  fpedari  dcbet ,  in  cuius  demouftra- 
tioncm  inquirerc  omnino  operae  erit  pietium. 

9.  Scquenti  modo  autem  eius  demonftratio 
commodi(hme  adftrui  videtur.  Confiderctur  notarum 
numcrus  y  4-  i  ,  vnde  fecundum  numeratorem  n 
prima  fiat  ciedlio  ,  quac  cadct  ,  in  notam  n  ,  fiqui- 
dcm  fuerit  «  <C  v  4-  i ,  vel  in  notam  «  —  ce  (v  +  1) , 
qui  indices  autem  omncs  indici  n  aequiualcnt.  Ex- 
pungatur  ergo  haec  nota  ,  vti  haec  pundorum  ferie* 
A  indicat 

"^ I    •     ••••••• 

ac  notae  praecedcntcs  i,  *,  3  .  .  .  .  (n  —  i)  ad  fi- 
ncm  adiungantur  indicibus  numcro  v -\- 1  audis , 
Tt  prodcat  ifta  punclorum  fcries 

it-t-t     n-f-i    n-i-j  »-+-1     »_f_t  v-j-» 

MJ     «•••  •  •  •  •••••  •  •  •••  a 

in  qua  notarum  numerus  eft  v,  quneqnc  fcrics  ab  ea, 
vbi  numerus  notarum  crt  v,  quam  ita  rcpracrento, 


alitcr  non  differt,  nifi  quod  ibi  indices  numcratorc  ft 
funt  aui^i.  Vtrinque  ergo  eiedionts  fccundum  nu- 
meritorem  n  fadae  in  easdem  ordine  rotas  cadcnt  , 
ac  fi  eicdlio  vltima  in  ferie  C  incidat  in  notam  cu- 
ius  index  ell  s,  ea  in  ferie  B  incidct  in  notam  cu- 

R  2  ius 


13* 


N  O  V   V  M 


iiis  inJex  eft  «-+-«;  id  qnod  etiam  in  ferie  rota- 
riim  A,  qiiaruip.  numerus  cft  v -\- i  eueniet.  Quo 
ip(o  ventas  noltri  Thcorcmatis  euincitur.  Sinuil 
autem  inde  patct ,  quoii  liic  de  notis  vltimo  ciectis 
c(l  dcmo!.lUa:um  ,  idem  de  penultimis ,  antepenulti- 
mis  oiTiniuUsque  orainibus  ab  vltimis  aequidillanti- 
bus  valcre.. 

iQ.  Huius  igitur  regulae  ope  ftatim  pro  quo- 
Tis  numeratore  fcries  eiedionis  formare  poterimus  f, 
cuius  Ijjecimen  pro  numeratore  5  hic  appoQO 

numerusl  ferics  eicdionis 

notaruml  pro  numeratorc   5 


I 

4-. 

3 
4 
5 
6 

7 
8 

9 
10 
1 1 
la 


1,  2- 

2,  3,  I 

I»  3,4,    2 
5,    I,  3,  4.  *• 
5,   4,6,   2,    3,   r 
5,  3,  2,  4,   7,   I,  ^ 
5,   2,  8,  7,    I,  4,  d,  3- 

5,    1,7,  4,   3,  <J,  9j  2,  8 
5,  ic,(J,   2,    9,   8,  I,   4,7i  J 
5,  10,4,  11,7,    3,  2,  5,   9,  I,  8 
5,  10,  3,  9,  4,  12,  8,7,  II,  2,  (J,  f 


12.  Etfi  aurem  fcries  notarum  \lfimo  loco 
eie£larum  t;im  fimplicem  ac  facilem  legem  fcquitui: 
tamcn  hoc  niaxime  mirabilc  \fu  \enit  ,  quod  iti 
gcQcre  hanc  (criem  nullo  modo  exhibtre  liceat.  Vc- 

luti. 


PRCGKESSIONVM    GENVS.  135- 

luti  fi   pro  numcratore  fcries   vltimo    cicdorum    ita 
repracfcutctur 

rum.  notarum    i,   2,  3,  4,  5,  5,  7,  8,  9,  10, .  .  .v 
feries  1.  A  B  C  D  E  F  G  FI   I    .  .  .  N 

nouimus  quidcm  fore  A  vcl   i  vel  2,  feu  Azin-aj 
vcro 

Br=A-f-«-3/,  C:=B4-«-4?,  DzzC-I-n-si  etc. 

Ycrum  tamcn  hinc  generalitcr  tcrminum   N  afllgnare 
non   valcmus  ,    propterea    quod    in    fingulis  littera  i 
dctcrminatum    numeruin    deiiotat ,    tantum    fcilicct  ,, 
vt  terminus   indiccm     fupra    fcriptum    non     fuperct.    ' 
Hin:  etfi  detcrmiiuuio'   Dn C-!-w— 5/    niliil     habet 
difficultatis  ,  tamtn  fi   vehmus  pro  C  fuum   vaiorem 
B  +  «~4i   ponere  ,  vt   prodcat    D— B+sn— 4.;— 5« 
hinc  nihii  concludcre  pofll.imus  ,     quandoquiJem    ge- 
minae  httcrae  i  valorcs  non  innotelcunt.     Caufa  igi- 
tur,     cur  in  genere   circa   hanc   lcri^m    nihil  definire 
liceat  ,  in  hoc   confiftit,  quod  continuo    tcrminorum 
rcdudio  ad  alios  numeros    fir    inftitucnda.       Facilius 
hoc  intelligetur,  fi   perpendamus  ,  nullum  tcrminum 
ex   praecedente  abfolutc  determinari  ,    fed    ad    plures 
interdum  conditiones  efle    refpiciendum  :    Scilicet    (i 
qpartus  detur  C,  quintus  eritvelC  +  «  nifiC  +  n^5f 

vel  erit  C-+-n  — 5     nifi  C-|-«>  10 
veL  erit  Q-^-n—io  nifi  G-i-n>i5 

CtCc^ 

R   3  quem- 


,34  N  O  V  V  M 

qucmlibet  autem  terminum  ad  fuam  debitam  for- 
mam  deprimi  oportet  ,  antequam  ex  eo  fequentem 
ope  regulae  demonftratac   eliciamus. 

13.  Pro  cafibus  autem  partlcuhribus  ad  tcr- 
ininos  \alde  remotos  pcr  (liltus  progredi  licct  ,  vt 
non  fit  opus  onincs  intermedios  euoluifle.  Scilicet  fi 
pro  nnmeratore  «,  indici  k,  qui  hic  notarum  nu- 
mcrum  fi^nificat  ,  refpondeat  terminus  a  ,  tum  in- 
dici  y -H  A*  refpondebit  terminus  a-\-nx  ^  dum  fit 
a-Vnx^^v-^rX  fcu  .v^^^^":  quin  adhuc  hic  termi- 
nus  rede  fe  habet  ,  fi  .v  vnitate  nugcatnr  ,  hoc  eft 
fi  A'  >  ''-^^  ,  \t  cxceflfus  vnitate  fit  minor  ,  tum- 
que  indici  v-\-x  refpondecit  tcrminus  (^n-\)x-v-\-a. 
Simili  modo  ab  hoc  per  faltum  ad  rcmotiorem  ter- 
minum  peruinire  licet  ,  faltus  autem  continuo  fiunt 
maiores :  per  fingulos  autem  (altus  tcrmini  in  pro- 
grcfiione  arithmetica  fecundum  numerjtorem  «  cre- 
fccntc  procedunt.  Ab  initio  quidcm  fiuguli  termini 
feorfim  (unt  definicndi  ,  fiatiin  autem  atque  ad  in- 
dices  numeratore  maiores  peruenitnr  ,  calculus  per 
faltus  commodius  infiituitur  ,  cuius  fpccimcn  pro 
rumeraiore  9  opponam  ,  \bi  pcrpctuo  numeruin 
y  —  a  per  8  iia  diuidi  oportct  ,  vt  quotus  nimis 
magnus  accipiatur  :  tum  enim  ipfe  quotus  dabit  va- 
lorem  ipfius  .v  ,  ct  rcfiduum  erit  tcrminus  pcr 
hunc  faltum  (equens : 


Serics 


PRCGRESSIONVxM  GENVS.  135 

Series  pro  numciatore  9 

Indiccs    1,2,  3,4)  5,  ^,  7,  8,  9,  lo,  u,  12, 13, 14,  i5,t<J,  17,1  s 
termini.  I,  2,  2,  3,  2,  5,  7,  8,  8,    7,    5,    2,11,   <5, 15,    8,17,    8 

indices     20,  22,  25,  28,  3  =  »  3^,40,45,  5i,  57,<?4,  7=,  81 
tcrmini.  <5,    2,    4,     3,    7,    7,    3,    3,    6,     3,    2,     2,    2 

OiliiUS        jg      ,,  ,.  ,^         ,g  ,^         j,         jj        ,5         j^         jj         j^ 

indiccs    91,103, 1 16,130,145,155, 185,208,234,254,297,334 
termini.    x,    5,      7,      3,      I7      7,      2,       i,     i,     7.     7,     5 
oaltus     ^j       ^^       j,        g,       6^        ,5        ,5       ,j        ,,7      ,j^ 
indices     375,  423,  475,  535,  <5o2,  677,  752,  857,  964,  1084 
termii:ii.     8,       8,       i,        5,       7,       5,       8,       5,       5,       i 

OailUS         ,3j  ,^j  ,^j  ,j,  ,  y  24+  575  jj^j  j^j 

indiccs     1220,1372,1544,1737,1954,2198,2473,2782,3130 
termini.      5,       i,        5        5,        4,        2,        4,       3,        5 

etc. 

14.  Haiic  ergo  feriem  facili  labore  vltra  ter- 
millc  tcrminos  contitiuauimus  ,  ac  fi  vlterius  pro- 
gredi  velimas  ,  ex  numeiis  poQremis  3130  ct  5 
calculum   ita  inliituimus: 

ab      3130         Hinc  Ihltus  per  391    terminos    porri- 

fubtr.        5  gitur,  indequc  terminus  cuius  index 

-^     ;  e(l    3521    crit  vt   rcfiduum   indicat 

ab      35-1         Hic  faltus  fit  per  440  terminos,  vnde 

fubtr.         3  oritur  index    3521 -f- 440— 3951 , 

c >  „  - !,  r^  cui    refpondet    terminus    2,    rcfidio 

■  \      indicatus. 

1 2 1 

440  ^  ^  ab 


135  N  O  V  V  M 

ab        39^^ 

rubrr.  2     Hinc  coUlgitur  pro  indice       4455 

— TT"  tcrmiiius         i, 

8)39  5  9 

Ab  hoc  autem  faltus  foquens  \lrra  5000  extcndi- 
tur  ;  neque  tamcn  viaeo,  quQmodo  huius  fcriei  t.r- 
minus  verbi  gratia  dccics  millefimus  vtl  adeo  ccn- 
ties  milkfimus  nifi  ialtibus  hoc  modo  continuenJis, 
afhgnari  polTit  r  in.lices  quidem  pcr  hos  faltus  cre- 
fcentes  fccundum  progrcflioncm  gcometricam  in  ra- 
tione  8  :  9  proxime  crcfcunt  ,  fed  quia  h'  c  tantum 
proxime  fit  ,  hinc  iiullum  jubriiiium  pro  continua- 
tione  obtinetur. 

15.  Hinc  crgo  pro  qunuis  notnrum  •niimero, 
dummodo  5000  non  lon^e  fnperct  ,  inquam  ci  £tio- 
nis  fors  podrcmo  c;idct  :  tx  (erie  lcilicct  hic  per 
ijlius  cxhbita  is  tcrmiiuis  qu.icri  dclet  ,  qui  indici 
notarum  nnmcro  acqu.li  rcfpomict.  Pcrietuo  lcili- 
cct  index  proximc  nanor  iu.njtnr  indcque  progrcflis 
aritlimetica  vsqne  ad  indiccm  propofitum  pcr  diffj- 
leniijm  9  continuctur  ,  qujd  in  iionnuUis  exuiiplis 
declarari  cxpcdict. 

I.  Qnacratur  fer'ci  illin*  rcrnvnn?  ccnrefimu> : 
Proxime  infcrior  indix  p.  r  (.,ltns  ijuentus  cfl  jji  , 
cni  C(  nnenit  tcrmi:  n-  i.  l.im  mdc  aJ  cmtifliMim 
funt  loca  9,  ct  nnnics  noncni  (<  n  81  ad  illum  t.r- 
ininnm  i  aoiicicnto  pmdit  tcrn  iinis  cci  tifinMis  82. 
(^uarc  fi  cx  ccntum  luniiLub  is   fii   lupplKio  affiucn- 

duS, 


PROGRESSlONVM  GENVS.  137 

dus  ,  qui  poflquam  rcliqui  per  numcrationem  ad  9 
fueriiit  libcra,  tandem  folus  reliuquatur,  haec  poen* 
in   82''""*   ordine  incidet. 

If.  Vt  terminus  soo'""  rcperiatur  ,    calculus    ita 
inftituatur : 

200 
Index  proximus  1S5     tcrminus       £ 
15   per  9  dat   135 

tcrminus  quaefitus     137 

III.  Qiiacrntur  tcrminus  500*"  : 

500 
Indcx  proximus  475     terminus       1 

2$  pcr  9  dat  225 


tcrminus  quacfitus  zzS 

JV.  Qiiftcratur  tcrminus  millcfimus : 

1000 
Jndcx  proximus     9(J.>     tcrminus       5 

3<)    per  9  dat   354 
tcrminus  quaefitus  329 

"V.  Quaeratur  termiuus  5000"""  : 

5000 
Index  proximus  445 <5"     terminui         r 
54.4  pcr  9  dat  4^9^ 

terminus  quaefitus  4697 
17.  Confidcratio   luiius-mooi   fericrum    tam   fa- 
cili  negotio  tora  andarum    non    Juium    cft    lucunda  , 
Toni.XX.Nou.Coiiim.  S  ied 


138 


N  O  V  V  M 


fcd  ctiam  non  parum  ad  numcrorum  naturam  tan* 
topcre  nobis  adhuc  ablconditam  fdicius  perlcrutan- 
dam  conferrc  quicquam  pofle  viJetur.  Eximium 
certe  hoc  eft  exemplum,  et  omni  attcntione  dignum, 
quod  fcries  tam  lcui  opera  non  lolum  formari  fed 
etiam  quousque  libuerit ,  continuari  poflit  ,  cum  ta- 
men  eius  natura  et  vera  indoles  nobis  maneat  pror- 
fus  incognita  ,  nequc  vt  aliae  ad  terminum  genera- 
lcm  rcuocari  poflit. 

II.  Simili  modo  etiam  pro  numeratore  6  ordines 
eiedionis  fubiungimus 


Scries  ciedionis 
pro  numeratore  6 

2.  I 

3.  2.  I 
2.  I.  4-  3 
I'  3-  2«  5-  4- 
6.  I.  3.  2.  5.   4 
6".  5.  7.  2.  I.   4.  5 
6'  4-  3.  5.  8.   7- 
6.  3.  I.  9.  2-   5- 
6.  2.  9.  7.  5-    8. 

II.    I    6.    I.    8.    4.    2.    II.   3-   7.    5.    lo-  9 
16.  Viciflim  autem  fi  detur  ordo  eiedorum  , 
qui  ab  vltimo  rcgrcdicndo  flt : 

z,  y->  X,  V ,  u  ,  t  ,  s  ,  r  ttc, 
ex  co  pro  quouis  numcratorc    ct    quolibet    notarum 
■umcro ,  initialis  ordo  notarum    umcfligan    potcriic. 


Numerus 
notarum 
j. 
2, 
3. 
4- 
5- 
6. 

7. 
8. 

9' 

10. 


f^  T 


4- 
I. 


8.  7 
10.   4.    3 


PROGRES^IOMVM    GENVS.  139 


Qiiod  quo  clarius  nppareat  ,  fit  numerator  =:  4  et 
pro  quolibct  notarum  nuniero  ordo  notarum  fequca- 
ti  modo  fe  habcbit  : 


multitudo  notaruin 


I 


ordo  notarum   iuitialis 


2  zj  zy 

3  X  zy 

4  X  ZJ  V 

5  zy  V  u  X 

6  V u X  t  zy 

7  t  zy  s  v  u  X 

8  v  u  X  r  t  zy  s 

9  zysqvuxrt 

10  xrtpzysqvu 

11  qvuoxrtpzys 

12  zy  s  nq  'V  uo  X  r  t  p 

13  r  t  p  m  zy  s  n  q<v  uox 

14  uoxlrtpmzysnqv 

15  71  q  vk  u  0  x  l  r  t  p  vi  zy  s 

16  zysinqvkuoxlrtpm 

17  tpmkzysinqvkuoxlr 

18  X  l  r  gt  p  m  k  z y  s  i  n  q  vkuo. 

Confidcratio  horum  ordinum   non  folum    eorum    na- 

turam   f.itis  liiculenter  dcdarat ,  fed  ctiam  plurcs  iu- 
fjgnes  fpeculationes  fuppeditarc  poterit. 


S   2 


MEDI- 


MEDITATIONES 

CIRCA    SINGVLARE 

S  E   R   I   E   R   V   M 

G.ENVS. 

AiKflbrc : 

L,     E  V  L  E  R  0. 

111  commcrcio  Jittcrario  ,  quodolim  ciim  Illiiftrijfr«- 
mo  Goldbacbio  coliicrum  ,   intcr  ulias   varii  argu- 
ircnti  fpeculationcs ,    circa  Icrics- in  hac    forma    gs- 
nerali. 

I,         iNi,        I        i^i  II        I 

comprelicnnis  fumus  ^erfuti,  caium.que  fummas  fcru- 
tati=,  Tamctfi  autcm  huiuj-modi  lerics  raro  occurre- 
rc  folent  «  parumquc  \tilitatis  polliceri  vidcntur , , 
inuefliiiatione6^  tameiv ,,  ad  quas  earum  confideratio 
nos  pcrduxerat  ,  co  magis  dignae  videntur  ,  vc  ab 
obliuione  et  interitu  vir.dicentur  ,  quod  methodi,  qui- 
bus  ea  cccanonc  iumus  vfi  ,  multo  Jatius  patcnt  , 
ic  fortafie  nliquandi:)  Analyfi  infigncm  vfum  afflrrc 
pofTunt.  Non  igitur  tam  ipfam  hanc  fcriem ,  ctiam- 
fi  in  fe  fpcdata  ncutiquam  fperrcnda.  videatur,  quam 
varias  methodos  ,  quac  ad  tius  {iimmationem  pcrdu- 
cunt  ,  hic  exponcre  conllitui ;  quae  quoniam  ex  com- 
pnercio  illo  epiflolico  runi.  dciumta  ,  kcftores  hic  fla- 

tim» 


MEDIT.  CIRCA  52RtES  SIMGVLARSS.  i^v 

tim  iii  limine  monitos  vclim  ,  has  iiuicuigatioiv.s 
maximani  partcm  acumini  IlliiQniHmi  GoUbachli 
cfTe  atuibuendas.  Tres  aurem  potinTimum  vias  ad 
huiusmodi  (eries  dcducunt ,  quac  quoniam  intcr  fc 
inaximc  funt  diuerfae  ,  vnamquamTJe  fcorfim  expli- 
cabo  ,  quo,  quantum  quaelibet  pracftct,  faciiius  pcr- 
fpici  poliic. 

Prima  Mcthodus 
ad  huiusmodi  fcricx  pcrucniendi. 

I.  Si  habeautur  duac  feries  quaccunque  ,  qua~- 
rum  fumma  coniict:- 

X -H  <T  4- ^ -i- ^  -H  <^ -h  ^  W- etc.  =;  /     ct 
i4-a-hS-i-y-|-c5'-|-£-+-  etc.  =:  u 

tum  vero  infuper  (eriei  ex  his  conflatae   fumma    (\t 

cognita  fcilicct  r 

1  -\-aa.-^bt^cy-\'d^-\'et-\-'  ctc.  —  v ' 
tum   illis   r;ricbus    in   fe    multiplicandis  colligitur : 

i  +  tf.r+al+^Ci+a+g^+i-^i+a+gfy^etc.r^ 
+  i-t-a(i+a)+§(i+a+^}-fY(i-|-«+ZH-^)etc.S  —  "  +  * 
quod  quidem  per  fe  eft  manifcflum  ,  quuniam  in 
his  dunbus  pofterioribus  fericbus  occurrunt  produ<5l4 
fingulorum  terminorum  primae  fcriei  pcr  fiuguli)» 
fccundae  ;  id  tantum  noretur,  produtflii  cuiusque  icr- 
niini  primae  ferici  pcr  terminum  rcfpondentem  fe- 
cudae ,  vehiti  i  i,  a  a,  b  'S^  e  y,  d i  ctc.  bis  occur- 
r^Tc  ,  quae  quia  in  producli)  tu  lemcl  tantum  repc- 
riuntur ,  idcirco  ad  id  infupcr  fcricm  v  adiungi 
oportcbat. 

S  $'  2.  Quod 


14-2  MEDITATIONES  CIRCA. 

2.  Qiiod  fi  iam  feriei   i  +  — +  — +  —  +  etc. 

234- 

in  infinitum  continuatae  fummam  per/—   defi^ne- 


mus ,  vt  fit 

I  I  1  I  X 


^  +  ::^+::^  +  7^'+7^  +  ^t^.  — / ^^  et 


I      I      I      I  I 

i  +  ^+  rs  +  ^  +  yi  +  ctc.~/^ 

fimilique  modo  pro  ierie  liinc  conflata  : 

I  X  I  I  I 

•*"  >i  T  V  "** 

atque  ex  his  fequentes  duas  fcrics ,  quae  in  forma 
propofita  continebuntur  ,  ibrmemus: 

i+|^Ci+fj+^(i+f.-i-^,)+^(i  +  ^+^+^J  +  etc.-P 

£X  principio  fupra  llnbilito  habebimus: 

I      -I  I 

P+-  Q.^f'Z^i'f-Zi  -i-fz^;^ 

vnde  fi  alterius  harnm  duarnm  nouarum  fericrum 
fumma  vndccunque  conftaret  ,  hinc  alterius  quoquc 
feriei  fumma  afii'^nari  pofict.  Summas  autcm  ferierum 

I  1  I  .1 

I  -i-  ;:;s  -1-  T^  •+-  T^  H-  etc.  feu  f^ 

hic  vt  cognitfls  fpc<flamus  ,  quandoquidem  qucties 
exponens  ;;;  eH  numtrus  par  ,    hac    iummac    a     nc 

per 


SERIES    SINGVLARES.       143 

pcr  pcriphcriam  circuli  fiint  dcfinitac  ;  pro  cafibus 
autcm  quibus  m  efl:  luimerus  impar  ,  fummac  vcro 
proximac  facile  rcpcriri  poflTunt. 

3.  Qiiando  cxponcntcs  m  et  tt  fumiintur  ae- 
qualcs  binae  ferics  inuentae  conucniunt  ,  hocque  ergo 
cafu  fequcntem  fummationem  adipifcimur  : 

I  r,r  ri        r,       rri 

r  ,  I 

Quocirca  fi  cafus  particulares  confidcraturi  ponamusr 
I  4-  I  -M  H-  I  -4-  ^  4-  etc.  =:  A  =/4 
I  -}-irH-p  +  7:-H^4-etc.— Arr/i, 

i-H^-}-i5  4-i,  +  ^-4-etc.:=B=/i, 
»  -V- h^  +  ^-H  ^  4- ^T  +  etc.=:  C  z:r/i, 

I  +  b  +  h  "^  T^  -f-  h  -i-  «c.  =  D  =/•!.. 

etc, 

fimilique  modo  porro  ; 

/^  =  E,-  /L::3F,  /L,  =  G,-  /l,z=:  H^  /Iro-I  etC 
Iiinc  confequimur  fequentes  fummationes  : 

H-KiH-n-i-i(i4-  ^+O-f-etc.rriAA+IA 
i-+i.(i-f-^)-h^(r+i,-i-i,)  +  etc.  =  .LAA-f-^C 

^  +  ^(i-H^)-Hb^i-f-f,4-y-i-etc.  =  ^BB+iE 
^-l-It(r-f-i,)4-i,(r4-i--f-i.)_|_etc.-'CC+iG 
^+^(H-:-r)-4-r*(r4-L-,_i^)_^etc.zi^DD+'I 


i^^  MEDITATIONES  CIRCA 

vbi  quidem  notari  conuenit  ,  prinnae  feriei  fummam 
A  cfie  infiiiitam  ,  reliquas  Tcro  omnes  finita?. 

4.  At  fi  exponentes  m  et  n  funt  innequales  , 
hoc  modo  feries  formac  ,  quam  conteniplanuir  cbu- 
iientur  ,  quarum  quidem  neutrius  fummam  Icorfim' 
hac  mctliodo  definire  licct  ;  verumtamen  ambarum 
iuncftim  fumtarum  fumma  exhibcri  potcft  ,  \ti  cntc 
oflendimus,  Quod  quo  planius  rcdjf.tur ,  fimul:]nc 
fcribcndi  compendium  in  v.funi  Yccctur,  huius  fcriei 
fummam 


hac  fcriptione /;;^i  r -lij  indicemus ,  ita  ,vt  pcrmu- 
tatis  cxponentibus  habeatur  /3i(^yj    His   notjtis 


inucnimus  fore 

Quodfi  ergo  aliunde  alterius  hnrum  fcricrum  fummj 
innotuerit  ,  hinc  aitcrius  ferici  fumma  ciit  cognita  ; 
atque  plus  cx  hac  prima  mcthodo  concludcrc  noa 
licet ,  ex  quo  ad  lecundam  euoluendam  pro^jrcdior. 

Sccimda  Mcthodux 
ad  hmusmodi  fcrics  pcrucnicndi. 

5.  Scruata  pracccdcnte  notundi  ratiune  pcrfpi- 
cuum  cfl  ,  quantitatcm 


r 
J    o."»  •/    <vt  ~^ J   ^m 


*d 


SERIES    SINGVLARES.       14.5 

id  fcquciues  fcrics  infinitas  rcdu:i ; 

etc.  etc. 

totomqne  negotium  iam  hinc  redlt,  Tt  fingulac  hruC 
feries  comnioJe  fummentur^  quo  iplb  -vberrimus 
cimpus  aperitur  peculiarc  fcrierum  gcnus  complc- 
fteas  ,  quod  ob  concinnitatem  per  fe  omni  attentio- 
rx  diguim  vidctur  ,  etiamfi  cum  iaftituto  noftro  noa 
taiii  ardo  vinculo  efftt  conncxum. 

6.   IJa^  autem  fummationes  commodius  inucfti- 

gari    nequeunt,    quam    fin-^ulos    terminos  ,    quorutn 

I 
forma  eft  —;;r, uy  ^"   fracfliones  fimpliciores  rc- 

X    (  X  -\-  ii  ) 

foluendo.  Pcr  ea  autem  quae  de  hoc  arguinento  in 
Introducfl.one  ad  Analyfin  tradidi ,  pattt  ,  hanc  fra- 
«Ttionem  ia  fcquentcs  dilcerpi : 

I       t  n  I  n  (n  -\-  1)       r 


^n'  j^m         j_^r.-H.-^^.m_,   -i-      j    ^a"-^''  X''' 


n(  ;i4-i)(«+2  )       I 

•   ctc. 


i.2.:^a"^'    'x"^ 


Tom.XX.NtvjCQmm.  T  -+- 


14^  aiEDlTATlONES  CIRCA 


m(m+  I  )(w4-2)  I 

=t  "  I.  2.  3^™^"'  (.v+^)'^-'  —  ^^^* 
Tbi  tcneadum  eft  ,  in  inferiori  ordine  fignum  fu- 
perius  -f-  valere  ,  fi  ;/;  fit  numerus  par  ,  contra 
vcro  fignum  inferius  ;  tum  \ero  vterque  crdo  noii 
\lter!u£  continuiiri  dcbet,  quam  vsque  ad  tcrminos  vbi 
exponens  potcfiatam  ipfius  x  et  x  -{-  a  &d  vnitatem 
fucrit  diminutus. 

7.   Hinc  igitur  priuio  fummam  huius   feriei 
I  i_ _^ J_ 


definirc  licet  ,  dum  in  forma  modo  cxhibita  loco  x 
omnes  numeri  i,  2,  3  etc.  in  infinitum  fubfiituun- 
tur ,  et   in    vnam    fummam    colhguntur  :    Qiioniam 

cnim  omncs  termini  ex  formula  A.  -^-  nati  dant  fe- 

X 

riem  cuius  fummam  per  Af-j,  exprimimus,  ex  for- 

I 

mula  autem  A  .—— x  prodit    ferics    cuius  fumma 

^X  —\-Cl  j 

eft  A/^x-A(H-7r+;x  •  •  •  •  -^^l  ^"'^» 
noftrae  fumma  ita  fe  habcbit ' 

I      I  _       n  I  n[n-\-\)  i 

«(«4-i)(«-h2)  ^     I 


SERIES    SINGVLARES,        i^-^ 

—     1.2.3«"'-+-^     y^a-r,  itetc. 

III  I 

-+-J^  (  '  +7^+^  + +  ^) 

W  I  I  ,  X 

>h  ^^  (  I  +  ^Ti— 7  +  ^;r:r7  +  .  .  . .  4- ^V:::^  ) 

W/(w+l)  II  I 

■^  rl^-'^^  '■^^- =  "^  I^  "^-  •  • ' +^^^) 

m(m+i)(f;2+z)  i  i  i 

■^     i.2.3«™-+-^^^^^"2'"-^'^3''-^'^-'*'~^^^i^^ 

etc. 

vbi  fignis  fiiperioribus  efl  vtendnm  ,  quoties  m  eft 
nnmcnis  pnr  ,  contm  vero  infcrioribus,  Exprefllo 
autem  haec  lemper  ell  finita  ,  quoniiim  vtmmque 
terminorum  ordinem  tantum  vsque  ad  /^  continuari 
conucnit. 

8.  Tribuantur  iam  quoque  litterae  r?  omnes  vfl- 
lores  ab  vnitate  in  infinitum  ,  vt  in  vna  fumma 
conpleclamur  omncs  (eries  infinitas  prioris  ordinis 
§.  5.  ad  finiftram  notatas  i  atque  earum  fumma  ita 
reperietur  repraefentata  : 

nO}-\ri){n+z^    !_   r — 

1.   2.   3       J  z''-*-'-J  z""-'  ""^* 
T   2  -+- 


145  MEDITATION^ES   CIRCA 

Z         -^  "       / 

m       I        ,1       fft       I  I 

~T~    T  y  ^m  _(_  i-y  ^n  —  I     ~l  /  ^m  ^  I   C  .  n  —  i    J 

m(m+i)       I  _        i_  —  ?;;rw4-t )      i_     _i 

I._  ~  ^  1.-  .<,  j 

f7;(;/;+i)(;«-r2)       i i  v/m-\-itm\-i)      i  i 

^^         !•     '^.     J  -«  "J  i.     _.     j  ,«  ^ 

etc, 

Similiqiie  modo  pcrmutandis  exponcntibus  m  tt  n 
fumma  orietur  altcr.us  fcricrum  ordinis  ad  dex- 
tram    §.     5.     difpofiti.        His    igitur     exprcflionibus 

II  I 

coniundis  quantitns  f  -^^  f—a,  —f^,.,^^  i°  fequentenv 

formam  transmutatur  ,  quam  pcr  duas  partes  exhi- 
bcri  conucnit. 

P^irs'  prior. 

w         I  I       in        j  7 

j    \         ~i      I  j/  ^ni  -t-  1«  /  ^Ti  —  t     ~r"  ~y  ^~*~^  ( -,n —  I  / 

W(CT+  I )  II        —  w(w+ 1 )         I  I 

"^        T       ^.  ^^  itl  *^/  ^m-+-T'  /  r,n  — T  "•"  ~        ^      /  ^rn  ^TT  C     n  —  »  / 

_toCw+iXw4-2)     I  T     -_?<;;;+!  )(??/+£)     i         i^ 

T       2       «  l^   ~i"  ^j/  ^m-t-j-/  ~'i— I  "~l~  -       „       .  /  ^T.-f-j  V -,;.—» / 

ctc. 


SERIES    SINGVLARES.       n^ 

vbi  figna  fuperiora  valent  ,  fi    m    fit  numerus  par.,. 
inferiora  vero  fi  m  fit  numerus  impar. 

F/7rj-  altcra. 
+  ( I  ±  r  ]/':j-/:^  T/^r,  ( ^ ) 


<S(  .*< 


."^""^'^^       i_     ^r__L_r     '      —  nC«+i)._i     ,     2 

_«(/;  + i)(ff+a)  I         I    __ »(;;+! )(«+0       i  i   . 

etc. 
\bi  figna  fiiperiora  valent ,  fi  n  nuraerus  par ,    con- 
tra  vero  valent  inferiora. 

8.  Piont  ergo  exponentes  m  et  ?i  fuerint  vel 
parcs  vel  imparcs  ,  hae  cxpreriioiics  ad  pauciorcs 
tcnninos  rcducuntur  ,  erit  fcilicet 

P(irs  prma  Ji  m  fit  numcrus  par. 

II  21  m        T  I 

AJ  ^  l^  J  1  *  J 

^m[m-V\  )       I  i_     m(ffl+i)       i_  .    i    . 

_  (ffl+0(ffl  +  ^)  r__L_  .      ^      V 

etc 

T  3  fiiic 


,50  MEDirATIONES  CIRCA 

fiue  hoc  modo 

^  y  ^w7    ^n   "1  T       »>  -^    <y'^  -t-  »  •/  «.f^  —  » 

«W  «W  X*  ^  /S^  A4 

/'//rx  />r/7;/^  /  m  ft  mimcrus  impar : 

'2.m      1  I        zm[m+i){m-\-z)      i         i 

1  .V  •>»  1  t        <",        ^  'W  .6 

II       7«     I         I         m{tft-\-\)     I         I 

Pro  pojlerlor  Ji  n  ^^  mimerus  pnr. 
r—    r—      i^*Ldli2  r— r     ^ 

^      /      ,vl       •   )     r,-^       ~T-  y      ~1    -f-    J    •      y         ,v"l   » 

2«(«+i)(;;+2)(;;+3)        i _^i 

I.     2.     3.     4.       ^u^*-/^™-*  etc. 

.A-(-^--r— /— )-^^/—  r—  -etc 

f/z/T  pofiencrji  n  y?/"  jnnncrus  impar. 
_'Ji  r  _i_  /^_i c;;;;;-}-i )/;+;)      i        j. 

r—f—'    -r-L—(-L-\    "C^^+ 1 )     I       I 

+y^T  yn^+yA^n-t-.  (.<n— .  ;H       '^3^  ^  ~^^'  ^f^^  "^    ''^^' 


SERIES    SINGVLARES.        151 

10.  In  his  formis  notafle  iiiuabit,    fcries    for- 
mac  ,  quam  hic    confideramus ,  /  -^  (  —  )  non   fo- 

lum  occurrere,  fed  etiam  omnes  ita  efle  comparntas, 
Tt  fumnia  exponentium  [x  -H  v  Tbiquc  fit  eadem 
—  »»  +  »•  Quo  circa  noUras  inueftigationes  ita  in 
ordines  diflribui  conueniet  ,  vt  omnes  refohitioncs  , 
in  quibus  fumraa  exponcntium  7n  -\-  n  cfl  eadem  , 
ad  eundem  ordincm  refcrantur  :  quandoquidem  in  iis 
eaedem  fcries  ,  quas  hic  euohicre  conftitui  ,  occur- 
runt  ,*  atquc  fi  theorema  in  prima  methodo  erutum, 
quo  el^ 


in  fubfiJium  vocemus ,  hinc    fmgulas    ferics    formac 

II 

noflrae  f^^(—;)  feorfim  definire  potcrimus.      Cum 

nutem  exponentcs  w  et  ;/  vnitate  minorcs  efle  ne- 
qucant  ,  pro  primo  ordine  eiit  w -l- «  —  2  ,  pro 
fccundo  in  4-  «  —  3  ,  pro  tertio  ;«  -f-  «~  4  et  ita 
porro  :  cum  autem  fit /|  infinita  ,  pro  fcriebns  qua- 
rum  fumma  eft  finita  hoc  infmitum  ex  calculo 
egredi  debct. 

Ordo  primiis  quo  m  -i-  n  z=  2. 

II.  Hic  ergo  vnico  modo  eft  ?«— i   et  «— ij 
expreflio/|./-2— /ij  in  fequentem  reloluitur  : 

Prior  autem  mcthodus  dat 

^/i(>}::=^/i-A4-/^ 

quae 


15*  MEDITATIONES  CIKCA 

qiiac  pmefcnti  formae  rcpiignnre  \idctur  :  Tcrum 
ciim  f).^  fit-  infinita  ,  cius  rclpcclu  vtique  pars  al- 
tera  /-^  pro  euaaefcciite  cft  habenda.  Quam  ob 
caudim  hinc  nihil  ad  iuftitutum  noflium  conclu- 
dere  licct. 

Ordo  fccuiidus  quo  ejl  m-i-n  =  3. 

12.  Hic  iteram  vnico  modo  eft  w— 2  et  «-r, 
quandoquidem  permutado  liorum  cxponentium  nul- 
lum  difcrimcn  affcrt.  Q_uare  hacc  expreflio /^./^— /^ 
refoluitur  in  hanc  : 

a/^.A-/£T(i)-^/i.-A  +  a(p)  +  l/ir(l) 

quae  contrahitur  in /'^(jj  ).  Pcr  minorcra  autem 
methodum  efl: 

/^(i)-^/ifj:)=/pA4-/^ 

▼nde  fequi  vidctur: 

/;-(5)  =  =^/b 

quac  conclufio  etfi  eft  certa,  vti  deinceps  viccbimu?, 
tamcn  hinc  ob  infinita  ci  laiis  confidere  non  Jicer. 
Hrit  crgo 

H-i,(i  +  0+i,(i+'+;)  +  ^(i  +  i  +  H-*)=:=/^ 
—  2(i-|-^+-.-t-^-f-^-hetc) 

quac  acqualitas  vtique  omni  attcntione  cfl  digna.' 

•Or.k> 


SERIES     SINGVLARE3.       x5.3 

Ordo  tcrtiiiy  ,   quo  m  -•-  «  —  4. 

13.  Diio  cnlus  hic  (init  confidcrandi  ,  quoriim 
primus  c(t  w  —  3,  et  n—i^  \ndc  forma  /'—.ji^ 
—  f-^  in  hanc  re(bliutur  : 

H^/kr  (j)  -  'fb  'fk^+n  (>)+l/^  C>:+/k7(i) 

ita  vt  fic 

^/"f  (^)^/'^  (y^)  vi  (^)==/kr  •/;'+/^ -A-/^- 

Ex  prima  aiitem  methudo  habetur 
/^(r)+/r(>)  =  ^kr-/r-{-/^  . 

quae  a.qualitas  ab  illa  ablata  rclinquit 

Altero  cafu  eft  /«  zi  2    et    «  —  2  ,    vndo    colligitur 
f'i^'fk^  ~/b 

"        ^=^^^./^-/iT(p)-=/^(^) 
+    ^/?-/b~/b^)-^/j^(7) 

U  cquc  prrro 

^/-^y  +  4/i.(^)  =  3/^./^+/^. 
At  niethodus  priia  dat 

^fb^rd^fb-f^-^r^ 

\nde  concludimus  fore 

/^(p)  =  ^/b-/^+i/^ 

"/^(r)==^yb-/b- 

Supirior  vero  conclufio  fuppcdirat 

Tom.XX.rNou.Comm.  V  quae 


154.  MEDIATIONES  CIRCA 

quae  etiarn  veritati  eft  confcntanea,  cum  Cit /'-./'— 
—  !^  et  f—^  —  ^^i  ita  vt  ctiam  piior  cafus  noa  ob- 
llante  infinito  ad  vcritatcm  pcrducat  ,•  quod  tum  fo- 
lum  a  vero  aberrare  videtur  ,  quando  infiniti  qua- 
dratum/^./^,  vti  in  primo  ordinc  vfu  venit , 
in  calculum  ingreditur;  quo  ipfo  condufio  ex  crdi- 
nc  fccundo  deduda  iam  liaud  mediocritcr  corroboratur, 

Ordo  quartus^  quo  m-^-  n—  $. 

14.  Sit  primo  w— 4  ct  «  zz  i  ,  vnde  prodit 
pro  /^^  .fL.  -/L_  haec  cxpucflio  ; 

-^fk^  ♦/?-  ^-f~  'fk  +/k-  (i-0  +/^^  (.-)  +/b  (^r) 

+/b(i-) 
vnde  colligimus 

fk  ip)^fbi^-^rh(i^^f^'n+^fb-fb-fb' 

IVlctliodus  autem  prima  dat 

/UjJ+/b(ir)3=/-L.^./^+/^. 
qua  aequalitate  ab  illa  abl.ita  rcflat 

fb  Cf^  +fb  (y^  -fb  iy)==^fb  -fb  -fb ' 
Secundo  autem  fit  f«  — 3  ct  «—  2,  ac  pto/j-. -/^i 
-/b  reperitur 

-^/b.A+/r,  (3,) +3/^.(7) 

+  =/b  ./b  +  ^/^-/i-/k^  (i.)--/  ^  (p)-3/^  (^) 
Jdeoque 

fb  (7^)  +/r^  (ji)  =/r,  •  fh  -^fb  P»^^^-^"^ 


SERIES     SINGVLARES.        155 

prcrfus  vti   prima  mcthodus  pracbct  ;  hinc  crgb  fit 

Scorfim  autem  hinc  ferierum  /i-^  (-,)  ct  /l-(-)  fum- 
niae  non  definiuntur.  lufra  autem  oftendemuSj  eflc 
/^(^j^S/^./b-S/^  et/L,C^):,:-,/L,./L, 

+  T/iT. 

Ordo  quintus  ,  quo  m  4-  «  =  5. 
15.  Sit  primo  w— 5   ct  ;;— i ,  eritque /-.-./i 

-/?  =  +/£s(;-) 

-  ^/r.  'f~.  -  ^A^./L-r +/I  ^y +/5.  (5.)  +  r^^ 

+/;-T(p+/;^cir) 

vndc  fit 

/^  (p)  +/5.  (>}  +/.^  (i-,)  +/,4  (^)  +  ^fh  Cy)  = 

/b-.a  +  4/^./^-/^. 

Cum  autem  prima  mcthodus   det 

/4(p)-i-/^C)=:/i,./^H-/L, 
hiiic  terminis  infinitis  eUdcndis  fit 

/'.-a  (>)+/bc>)+A:-,(>)+/L-.  (^M=4/:-.  ./.^-^/i-.. 

Secundo  fumatur  m-\  et;/r2  eritque /'-./i-,-/'-gr: 

+  ^/fc-/T.+«/b/;.-/;-,(>)-=/;-,(;y-3/i,(» 

-+/k(j-) 

V  1  fiue 


1S6  MEDITATiONES  CIRCA 

fiue 
/b  (p)  +  ^fh  (p^+^fhr(^)  +  8/1,  (j)  = 

Sit  tertio  m  zz  ^  et  «—3,  et    quia    ambae    paites 
fiunt  aequalcs ,   habitur /i^  ./^  — /ij- — 

-  '-/b  •/^+  =/«-  (pl-^^f-  rp+  i"-/p  (p  fea 

=A4(^^)-f-6A^(i,jH-i2/p(j):=ic/i,./i, 

H-/^-/£T-/^ 

cum  quibus  coniungantur  hae  duae  cx  prima  n.eiho- 
do  ortae : 

f^  (j-J  "^f^  ^pi  — /^  •  /rr  +/^ 

hincque  fingulae  leries  foimae    noftiae    ita    dctcrmi- 
nantur  : 

/  h^  \p—-  3  /  ^  •f^  ~  i/jT  •/■£7  —  i/jr 

/^f^)  =  -'^/i../:,+/^./kr+9/5r 

/^l^)   —      a/lj./jr+i/^ 

/  z^  IjT/  -—  +  5  /  £r  •/  ^  ~"/  ~  •/  ^  ~"  3/  ^ 

tum   \cro  aequationcm    prirr.o    inucntam    auhibcndo 
obLinctur 

/5^  —  '/i>  •■' a» 
id  quod  ob  /1,  -  l^f'-  -  ^^  ct  /,V  =:  ;;.    vcritati 
eft  confenianeum. 


SFRIES     SINGVLARES,       157 

Ordo  fcxtuy ,  quo  m-\-n-=zi. 
16.    Sit    prinio    tn  zn  6    et    n—  i,     €ritqne 
f  -^  -J  2  "'J  ^  -' 

+fi(f.)+fk^ip)+fb^;'^)+fh(p'+f'^ip)-^fr.(^ 

vnde  colUgimus  lianc  fleqiiationem 

fii^+fb(j^+fbi^+fk^(^+fbip)^ 

fb-f^-^^fb-fb+^fkr-fb-fb' 
Cum  vero  fic 

/i(y+/^^P^/b-/4+/£-  ^^it 
/i.  (p^  +fb  j:^  +/^  ^^  +/^  ^)  -/i^  0)  = 
=  /kr-/j^+-/^-/^-=^/;.. 
Eft  "vero  etiam 

/^5.)+/bC^)=/^-/^+/^  ct 
fb  ip)  +fb  '^p^  ^fb  'fb  +  b 

Tnde  habtbitur 

fbi^-^fb-fb-fb-Pi^-fb 

Sit  fecundo  ;/;— 5   ct  «=  2,  critiue  f'r'-.^f!-  ^z: 

-+  ^/.-^/-s  -^  6/L,.  ^^  +  io/j,./i 

-/^  ^y-^/^  ^)  -  3/j,  ■>)-4/  h  y-5./l.  Cp) 
■?ndc  coliigitur  haec  aequatio  : 

V    3  /1. 


I5S  MEDiTATlONES  CIRCA 

/L^  (_)  -+-2/1,  (i,)  ^-  3  /^.  (p)  -4-  3  Ars  (;-=)  = 

qiuie  per  ante  ex  mcthodo  prima  allegntas  redncitiir 
ad  lianc  : 

Sit   tcrtio  w  rr  4-  er   n  z=.  3i  (^rk  f- .  f- —f'~  — 
-'^^•/^-^^b-/=-^/^(^)+3/b(^)  +  ^/h(p) 

+  ^o/:-,(;-). 

Vndc  colligitur 

fbi^-^^fb^p^-^^fb^P^-^fbfb-fb  ^^ 

/^.  (jt)  4-  2/:t(>)  =  4/r../.^  -  ^/b 

quae  cum  ante  inucnta  congruit ,  ita  vt  hinc  nihil 
noui  condudi  pofiit.  Hinc  crgo  tantum  dctermina- 
tur  primo  ferici /^^  (-)  runima,  tum  \cro  hae  duae 

coniuiicflim  /^  Ct^) -H  a/b  (-^)  i  fii^  autcm   vtraque 
(eorfim    innotefcerct  ,     tum    ctiam      binac     rcliquac 
fb  ip)  ^^  /b-  ^p)  i"i'Ote(ccrent. 

Ordo  fcptimits ,  quo  m  ^-  «  —  8. 
•17.   Sit   primo  m—-j  ct  nzz:  i  ,  crit 

Jir-f\-fi.'~ri^^) 

I  ■z^     J  ^  J  i.*  '  J  X.*  ~  '  zi' J  2r 

H-/;  (5>)  -h  /b  (^)  4-/^  c^)  -h/i.  (>)  +  /^  (i, ) 

^-AV(>.)4-/^(;-) 

quuc 


SERIES     SINGVLARHS.       159 

c]uac  \ltima  linca  abit  in 

ficquc  crit 

/5.<j)=  ^rh-fi,  -f^-fy  + u~.fi.  ~s/^. 

Secundo  fit  fn  —  6  et;«  —  2,  erit  f'~  ./i^—fL-  — 

+  =  fkr-  fi*  -^^fr*  -fb  -i-  ^^  ly  .  /"^ 
-/b  (>)  -  ^/^  (P  -  3  /.W  (i,):-  4/|r  (j:)  -  5  /,V  f>) 

-^/jr(i) 
fiue 

/^  (5^)  +  =^ /^  (j3")  +  3/^  (^)+ 4-/^  (i,)4- 6/L,  (I,) 

-M./L,(j)=:i3/^./|r+/^+6/,4./i.} 
quae  reducicur  ad  h:;nc  : 

=  /^(i.)-t-5/^(^)+i^/,V(j)  = 
+  12/^^.7^- =i/i../^+i/^./i.-^/^. 

Sit  tcrtio  m^S   et  «  :=  3»  erit /^  ./L^  — /i^  — 

-  xo/^./^  +/^  (,-,)  +  5/^  (>)  + 15/3  g 
+/r.(r*^+3/b(i.)+^/55:(>'+'o/i»(^)+i5/;-r(j) 

vnde  fit 
/5r(5T)+3/|.(;-)  +  7/^(A)+i5AV(>)  +  30/^(^)- 


^0/i^./^+/j../b  +  6/^-/5^-/^ 


fiuc 


^/ 


x5d  MEDITATI0N2S  CIRCA 

Sh  denique  f/;  :=:  4.  ct  «  —  4  ,  eritque 

hincquc 

qu:\e  aequatio  cum  pracccticntc  candcm  continct  de- 
tcrminarioiiem  ,  ac  rcducitur  ad   hanc    proprictatcm  ; 

quae  valoribus  a  me  irucntis  J~  —  "^]  et  /"-,  "=-  JlU 
egregie  eft  conrormis.  Sin  autcm  haec  \ltiina  ae- 
quatio  cum  ca(u   /cundo  conkiauir  ,    inde  colligitur 

Vr.(j)=:4/^/^-4y^/p+8/L-./i,-7/-     lCU 

y^(^)=/^./:,-/^./^+^-/i^' 
qui   valor  cum  c.itu   primo  collatus  praebet 

quae  aequatio  ctiam  vcritari  cft  cnnrcntanen.  Hinc 
practer     (cricm  f~  (^  )    ct    dctcrminati(-ncs    primae 

methodi  ,  tantum  hanc  vnicam  nouam  dctcrminat.o- 
ncm  confcquimur: 

rcquc  crgo  fummas  harum  Lricrum /jX'-;)  ct/ji,(^) 
feorllm  dcflnire  licct. 

Ord* 


SERIES     SINGVLARES.       iCi 

Ordo  o^hiivs  ,  quo  m  4-  n  —  9. 

iS.   Pro   hoc  ordine   mcthodus  prima    has    dat 
acounnoiics : 

/i:(p)+/£^(p)=/p-/^-f/^ 

/^(5^)+/^(>)=/^7^+/^       . 

/^(ii)+/b(5^)  =  /"^-/"b+/^. 
Sccunda   autem    methodus    praeterea    hns    Aippeditat 
cictcrminationes  : 

/^(^):=5/^-/i../b-/?/"£^-/s^/^ 
=/l:(^)+5/b(>)+ 5/^(^)1:=  lo/^./U 

.  /k3(iT)  +  3/^C^)  =  ^/^-/b+^/b-/^-^^/b- 
Cum  igitur  in  hoc  ordine  8  occurrant  ferits  for- 
inae  quam  contemplamur ,  hae  feptem  aequaiiones 
omn:biis  dcfiniendis  noa  iutTiciunti  fin  autem  aliunde 
praeter  feriem  yL.^)  vnica  reliquarum  iummari 
pLfiTct,  omnium   plane  fummae  hinc  innotefceient. 

Ordo  nomis ,  quo  m-f-nmo. 
19.   Ex    prima    mctliodo   pro    huc    orJine   has 
confeqiiimur  aequationes : 

A(>^-H/-(j)=^/i./b+/^ 

f^Ay.    .\  p^^r^-fb-^-fi^- 

/£.:i.)-^/bi5.)==/b-/^-^^-^ 
/^(5.)==^/^-/^+^/^ 

Tom.XX.Nou.Comiti.  X  qiio- 


i6i  MEDITATIONES  C1IIC\ 

quoniimi  igitur  9  fcries  hic  occurrunt ,  pro  carum 
lummatione  lccunda   mcthuJus  primo  dat 

reliquarum  vero  quatuor  aequationum  ,quac  inde  ac- 
duciinttir,  duae  nihil  aliud  deiiniunt,  pratccr  notam 
rtlationem,  qna  c(t /^,  —  t?/^.  ./^j  ,  rcliquac  \ero 
duae  pracbent 

/l.  (  ^  )  -r/p  (  i:  )  z=.  6f'-  ./i,  -/'-,  .  f-  -  \fAr. 

^r.r[y^)  +  lf'-.M^i^f'-.f'^,  --isf^.f^ 

+  S/1  ./-  +-3  3y>. 
ita  vt  \na  determinatio  adhuc  defit  oaincs  fcrics 
huiiJS  orL-inis  fumnumdas. 

20.  Circa    detcrminationcs ,  quas    hacc   ftcunda 
inethoLUs  luppeditat,  iequentia  oblcruacda  occurmnt: 

Primo  ronnifi  in  ordine  primo ,  fccundo ,  tcr- 
tio  et  qninto  omnes  ferits  noftrae  formae  dcfiiiiun- 
tur  ;  in  rcliquis  omnibu^  vna  detcrnunatio  dctlt  ,  quo- 
minus  on.nes  krics  10  pcrtincniei»  luaimari  qucant  ; 
ita  vt  fi  alinndc  Mlis  deierminatio  luppLicrtt  ,  totum 
ncgotium  confici   poflct. 

Dcinde  itiam  pro  iis  ordinibns  ,  quibiis  v: -\- n 
efl  numcrus  par ,  imprimis.  notari  mcrctnr  ,  quoJ 
hacc  n  cthodus»  ciusdtm  rclarioncb  intir  lumn^as  po- 
tcltatiim  paruim  /-  ,f'-yj's  ^^^-  patcaciut  ,  quas 
olim  ex  principiis  maxiiiiC  diucrfis  crucram  ;  cinn 
timcn  liic   quadraturae  circuli  ,  a  qua    hae    lummac 

pcndcnt, 


SERIES    SINGVLARES.       kSj 

fCnclent ,  nulhi  ratio  habcatur,  Ex  quo  ctiam  ex- 
ptcftiire  licuidet  ,  pio  ordinibus  ,  quibus  w  4-  «  cfl: 
nunicrus  iii)p.ir  ,  fimilcm  rcLuionem  intcr  iummas 
potcHatum  impnrium  prodire  debuifTc  ,  quod  aurem 
louge  fccus  vfu  venit  ,  cuni  dcteiminationum  ,  quae 
pro  his  ordinibus  reperiuntur  ,  quaedam  plane  intcr 
fe  conueniant  ,  vt  nihil  prorfus  inde  concludi  queat. 
Quod  cum  piMcter  omnem  expedationem  cuenerit , 
iftc  dcfc<flus  plenne  dcterminationis  omni  attentiona 
dignns  eft  cenlcndus, 

21.     Tcrtio  obferuandum  eft:,  in   omnibus  or- 
dinibus  vnam   (enem   nolhae  formae   (cmper    perfede 

I        I 

dctermiDari ,  cam  fcilicet,  quae  formula  y"^_^r;^(~) 

indicatur  ;  cum  aurem  cius  determinationes ,  prouti 
m  -h  «  tucrit  numerus  impar  vci  par ,  aliam  le- 
gcm   (cquautur,  cas  fcorfim  hic  ob  oculos   ponanius: 

Pro  orAinihis  quihiix  m-^  n  cjt  numcrus 

par. 

/l^  '  y)  —   ^Jp-J^-  " J  ^  'J  i>  "^  ^J  a"V   io~*y  'z^J^i 

2    J     2.'° 

/irr  {  S  )  —  S/t'  -/i''»  '■/i^-/r»  "^  3/i*  /b  'fir-J^ 

-\-  ij  —6  'J  ^6  ~~  —J  jri 

etc. 

X   %  quae 


iC^  MEDITATIOMES  CIRCA 

qnac  exprcfliones  ita  ad  paritatcm  niimeri  m  et  n 
funt  adrtvidac  ,  vt  ad  imparcs  per  inicrpolationeni 
transfcrn  neiueant. 

Pro   ordhiihus   quihiis-  m-{-vi  cjt   numcrus 

impar. 

/^(^)  =  4/s^-/b'/^-/^-/^ 

/^  (^  )  =:  5  /b  -/^  'fb  -fb-fb-f^  Jh 

/^(^)=:<^/kn-/^./b-/^-/?-/lv-^p 

~/?  •/ ^ 
ctc. 
Hic   autcm  nihil  impcdit  ,    quominns  hae   exprefllo- 
nes  etiam  ad  ordines  pares  transferantur. 

2  2.    Interpolatione    autem    rite    inftituta    hae 
fummationes  pro  omnibus  ordiuibus  ita  fe  habebuut: 


^fhih-  sfb-fb-r^ 


a/^(0==  ^fh-^fb-f^ 
^fhi^)^  nf^-^fb'f^'f^-fb 

afbiy)^    ^fb--fb'fh--fh'fb 

^f^{;^)zz   9Jb-^fb'f^-^f^'fb-f^'f^ 

^f'-{^,)-iof~--.r^.r:^-'-^fb-fk^-^~ftJb 

a/i,(^).rxi/^-2/L,./i,-2/i,./-i.-a/^/^ 

— /p  '/zs 


SERIES     SINGVLARES.       16$ 
YiiJc  iii  generc  (i  ponatur  vi  -\-  n  ~X    crit 

^ ^z^  ( 7 ) = ( ^  +  0/rx - a4 ./ ^'~  -f~  ./^3^ 

~/ ^  'fz%^^ ~fZ\^2  •/"•• 

25.  Qiio  minus  autem  haec  interpolatio  in  dii- 
bium  vocari  poliit  ,  comparentur  hae  exprcflioncs 
pro  ordinibus  paribus  cum  ante  exliibitis ,  indeque 
obtinebuntur  fequentes  relationes : 

5  /-=  '^f-.f- 

J  J   z*^  ^  z-       J    Z^ 

9f^.-^rb'fb-^^-fb-f'^ 

ii/^oi=4/?-/b-^^>^S-*-/^« 

i3/,^z.4  b  •/L-o-V-  ^fb-fb  H-  ^/^  •  rb 

etc. 

qnae  cum  iis  ,  quas  olim  elicui,  perfeifle  confcntiuut. 
Si  cnim   ponamus 

/^  z^  a  7r=  ,  /^  -  e  ttS  /,hr  =  V  7r\  /^  =r_^^  tt*  , 

f^  —  e  7r'°  etc. 
erit  vtique  quemadmodum  demondraji 
5  §  —  2  a  a 
7  Y~  4  a  § 
9  <5"  —  4  a  y  -{-  i  S  ? 
II  £  —  4.a  5"  -h  +  Sy 

13^  —  ^ae-i-^SiJH-cyY 
ij-vj  —  4-a  <^  -f-^ge-i-^y^' 

etc. 

X  3  «4. 


i6€  MEDITATIONES  CIRCA 

a4-  Pfima  mcthodus  tantum  pro  orJinibu» 
paribus  vnius  leriei  in  nortra  f  riiu  ^cncrnli  con- 
tentae  fummam  praebucrat ,  quae  pofito  m-'rn—2^t. 
ita  fc  haocbat 

tll  I  T 

Nunc  autcm  opc  fecuncli  mcthodi  praetcrc.i  cx  quo- 
\is  ordine  "vnam  feriem  formae  nodrae  fummarc 
\alcaius  ,  atque  adco  in  ordmc  m  -f-  «  ~  S  omnes 
has  fcries  fummare  licuit.  Exquo  fufpicari  hcct , 
hanc  lummationem  quoque  in  omnibus  ordinibus 
fuccederc  ,  ctiamfi  fecunda  methodus  negotium  non 
penitus  conficiat :  plurimuni  aurem  iam  pracflitum 
cenlcri  dcbct  ,  quod  fi  cuiusquc  ordinis  vnica  ferics 
practer  binas  memoratas  vndccunquc  (ummari  poflct, 
indc  ftatim  omnium  reliquarum  fumnias  confcqui : 
Res  quidem  ita  le  habet  in  ordinibus  hic  cuolutis ; 
at  fi  vherius  progrcdiamus,  plurcs  vua  detcrminaiio 
nes  deficcre  dcprciicnduntur. 

25.  Quo  autem  clarius  ratio  aequntfonnm , 
quas  tam  prima  quam  fi:cunda  mcthoJus  pro  quoU- 
bct  ordinc  fuppcditat  ,  pcrlpiciatur  ,  formuljs  noftrns 
auhuc  fuccindius  ita  lepraclcntcmus ,    vt    pro  ordinc 

I       I 

quocunquc  w  -|-  «  =r  X  loco  /3:  .  t  fcTibatur  vcl  p^ 

vel  ^*,  qujppe  quac  duae    fnrmulae    ob    jx-f-fnX 
pro  acquiualcntibus  funt  habcndae.      Similiquc  modo 

pro 


SERIES     SINGVLARES.        i^i 


pro /;j^  fcribatur  p^  i  tiirn  vcro  loco  formulae 


1      I 


fcribatur  q^  \  hiiictjuc   aequationes    lingulorura    ordi' 
nuni   magis  euadcnt  perfpicuae. 

Pro  ordine   m  -\-  n—  % 


q-^q—p-^p 


y-f  (/"— 2/> +p— p    leu  q—p—p 


I     —  2 


Pro  oruinc  m  -\- n  —  ^ 


>  .  4  '  J 

q-\-q  -p+p        -  •    '    ■    - 


2q  :z:p  +/) 


qi  g  -j-q  =2p  +p~p 
q^-]'Zq'zz  2p'-pM-p* 

+  1+2        4-2 


i'ro  ordine  m  -\-  n  zz  $ 

q  +  q' +q'  +  q*  =  ■^  p'  +  2p"  +p--p' 


(  .= 


—  I  —2 


y°-l-2(7'  +  3/=r2p'-H6/;  " p +p 
-  I      —  3  -  6 


Pr 


ro  orui.-e  //;  -4-  «  —  o 


I     .         4     .  5 


qVq^q  +q  -\-q  =mp  +^p  +p-p 
+  I 

/  +  ^/'— p'  +  p*f/-f2./*+3/+4^*— 2p'  +  6/>*-p'+p' 

+  I      +4-  +  2 

^'+3'/V(5/--    6p'+p'-p\ : 

+  1  +3     +(5  +6 

Pro 


rLq-p+p 


i6S 


q  +  q'z:p-\-p^ 


lyiEDITATION^ES  CIRCA 

Pro  ordine  ?fi  -f- ;;  —  7 
q]+  q-\-  q\  q"-\q-\-q—^  //+  2  /+  zp^p-  p' 


—  I 


—  1—5  — 10 

q-v q—p\-f      q-v 3 /+  5 q-\  i o /  =    6/;*+  2op'+//-/ 

—  I       +4      —lO  —2     — ?o 


q+q  :zip-\-p 

^  +^  —p  +/> 


Pro  ordine  wi-T-«~  8 
q  \  q  +  q  +  ?*  +^/'-f  <?'  +  /—  2p'+  2  p*+  2  p+p-p* 

+  1 
17'+ 2  ^'+ 3  ^/*+ 4^ '+ 5 /+<5 /— 2p'+<^p'+ 1  o/)^— p'+p' 
+ I +6  +2 

<7'+9=p*+//j    (^^+^^^+^^y^+iov^+is^-  6  p*+ 20//+ p'-p' 
I  +1+5+15  +10 

2q—p'-\-p*'  9*  + 4 /+10^*  20/—   2  p*+ 20  p'-p*+p* 

+  1+4-    +10+20         +2      +20 
hoc  ergo   modo   idas  aequationes    quousque    lubucrit 
facilc  continuarc  liccr. 

Tcrtla  McthoHus 
ad  Imhismodi  fcries  perncnicndi. 

z6.    Haec    methcdus  rnnili»  tcrc  ci\   pracceden- 
ti  ,  confidero  enim   lericm 

I  ^      ^    i^  L^^'^ 

f^n^'l-^--^rn-^-m  "+ "^  f~  _  T  ,'V   ' 

culus  vnlor  modo   (upcriuri  cxprcflus  eft 

modo 


S  E  R  I  E  S     S  I  N  G  V  L  A  R  E  S.        169 

modo  autcm  in  §.  pniec.  -vfituo  zz  q"  - p"^ -^ "  ;  dc 
quo  notctur  effe  per  mcthoJum  primam 

q^^^q^^  —  p^^p^-^^^ZZp"^  /)"'-*-■*  ob  p"*  —  p\ 
lam  huius  formae 

j_.  i_         i_  l_ "N 

X 

quilibct  tcrmiuus  continctur  in  hac  forma;-— — 7^—^ 

quae  vti  vidimus  §.  6.  refolaitur  iti  has  partes : 

j_  I       _n I         «(«+-!)_  _£_      «(«4-i)(^'+^)     I 

ig^*  A?"~  I «''-'-  aP^""^  iTaZ-^^v"-^'"  I.  2.  3  a"+'"A;'"-*    ^^ 

II               f»             I          .   w(?^:+i)        I 
j_  — _i _J_ . -4-etc. 

—  «''*•  (a  +  A'}'*  —  ,  ^™-H-  •  (;f+-«)''-'  —1.2  ^™-^'     (A-+a/-=— 

vbi  fignorum  ambigiiorum  valent  figna  fuperiora , 
fi  tn  cft  num.erus  par  ,  infcriora  vero  fi  »;  eft  nu- 
merus  impar ;  tum  vero  vtramque  progreflionem 
eousquc  continuari  conucnit  ,  donec  in  fuperiori  fa- 
doris  i,  jii  infcriori  vcro  factoris  ^-^  cxponens 
euajat  vnitas. 

27.  Vt  igitur  fcrici  propofitae  fjmmam  cbti- 
ncamus ,  in  formulae  euolutae  fingulis  tcrminis  tam 
loco  a  quam  lojo  x  omncs  numeros  muurali  ordi- 
ne  progredientes  ab  vnitate  in  inflnitum  fuccefliuc 
fcribi  omncsque  terminos  inde  oriundos  in  vnam 
fummam  colligi  oportct.  Tura  autem  pro  terminis 
iupcrioris  partis  cuolutae  forc 

Tom.XX.Nou.Comm.  Y  / 


i7o  MliDiTATIONES  CIRCA 

t  I  r         .    I  ^    ^  _ 

etc. 
pro  tcrminis  autem  iafcrioris  partis  euohitac 

A- X f f —C i — \  —  fi"^-*-'— 0""-»-'— o''-'— 6' 


m-t-7i 


ctr. 


His  igitur  rubftitiu's    v;\lor    fcrlei     nodrac  ,    qui    eH: 
~  q^  —  ^"'-4-'^  tuoluitiir   in  lcqucntem   exprcfllonem  : 

Cum  autcm  fit  />f^  zr  r/^  -4-  (?"-*-"'* '^  - /"  "^ %  h:ibe- 
biiTius 

^  _  ^._  .  ^^«  _  .^^  ,^n  -^  .  J  ^  n_ln^_0  ^^._,  .^  ^^n^,^  _  «i.n^  'H:^^-.  ^^„^,  j 
,      71    >,m  H- 1  __    n  (n  -f-^.)  .  m  -4.  n  .     n^. -h  .)(n-<-0    m_^ 

_f-  ^"  -{-  ?"  o"  -  ■  -4-  '!Ll!IL-'tl)  ^«  - '  -j-  !li!L:+-j:ijlrt:ii  ^''- • 

qp ;,"«-+-'»    qi   !«/,'"-♦-'»  -p  mjnn-jj  .  tn  4-^  —   t7i  (m  -+-  _. )  (m  -t-  ^)  ^m  -^  n^ 

2  8. 


SERIES     SINGVLARES,       171 

cS.  Antequam  ad    ordincs    fiipra    confidcratos 
dcfccniJanuis ,  cuohiamiis  in  gcncre  aliqiuis  cafus. 

I.  Sit  i^itur  m  —  X  ct  aequatio  inucnta  indnot 
hnnc  formam  : 

o  -  q  -  q""  -  q''-'  -  q""-^- -q^np''-^' 

fcu    q'  -^q   -^-q* -{-  q""  ZZ  n  //  "^" ' 

cxponcntc  ordinis  cxidentc  ;;  -|-  i  ,  ita  vt  fit 

qv.^  q^-^^-^zzp^-^-f-'. 

II.  Sit  7«=zc,  ordinisque  exponcjis  «-f-2,  vt  fit 
^f<-_l_  ^"H-^  — M- —  ^p-_|_pi-t-=  cj  aequatio  noflra  fiet 

o  = //'- ;i  v'? -f- 9''-^')  +  </"+ 2  <?''-'4- 3  v^-^+^^'-^ . . -f  «? 
fiue 

III.  Sit  ;;;  =  3,  ordinisquc  cxponcns  n -\-  3,  \t 
fit  (t^-\-  q""-^^  —  ^  —  p^-\-  p""-^'  ct  acquatio  noflra 
erit 

Tt(n  ~  0  fn-^-i 

_  ^'^-  3  ^'— '  _  c;  7'—-  -  loq"-' ^""Jl^-^^q 

1      n  (b  -t-  i)[rt  >4-a)  /j"-*-' 

flUC 

^n^3^n_,_^^^n-= +(«-±X"^-=L5^'4-!fc'y-f  ;;9^-»-' 

—  n  r^n  -t-  r)  ^n-H^  _*j  -+- W       — n^L+liJ^n-h» 

5  r  1.  a      * 

vel    h(5C  modo  diflinctius: 

f -1-3  ^?"—  4  6  q'—--r  I  o  f -^ -f-  "-^V 

_  y'  _^  «  (<^'_|-  yiH-')  _"J:HH)^"-t-'  — n(nn-Hs)^n-f-r^ 

Y   2"  '  "        IV. 


,•74  JVIEDITAT.ONES  ClRCA 

IV.  Sit  w  ~  4,  ordinisqne  exponens  «-4-4,    et 
aM._l- 0«-+-*  — fi  —  t>^^-p''-+-*,  tt  neqiiatio  noftra  fict 

_j      Tt  (n  n  -4-  0  y  n-f-* 

n  fit  -f-  OJn  -4-  i)  (i  -4-  ?)  /,"-+-♦ 

1.      2.      ;•       ♦  * 

fiue 

4-?'-«  (/4-  (2'''^')  -l-  — ■^'(<?'4^^''-*-')  -^^-i^^^-tti^ /■+-*. 

29.  Euohiainus   ttiam    fimJi    modo    qiiosdnm 
cafus  pro  cxponente  «. 

I.  Sit  primo  n— r,    et  ordinis  cxponcns  w-f-x, 
cr"tque  noftra  nequatio 

vndc  patct  ii  m  fuerit  nimieius  pnr  ,  quo  cafii  fa- 
pcriora  figna  valcnt  ,  ictam  acquationem  fiexi  iden- 
ticam  ;  at  fi  w  fit  niimcrns  impar  habcbitur 

q'  -  q'^^  ,y^_  ry' -  q"^  Z=Z  l  p"^-^'. 

II.  Sit  «  —  2  ,  crdinisquc  cxponens  ;«  -H  2  >  *' 
acquatio   noftra  crit 

o-5'"-2?"-'4-3(/'"-^-4'7'"-'  ....  Tmq     'hl{m-\-2)i 

--/__4-3<?*-   -4^' .-I  w;y'"-^'-i(v;-t-i}S^ 

-4^  ^'  4-^  /;/  7  -j-  (y;  _}-  1 )  p"  -<-^ 

\bi  (upcrior  ambiguitas  vakt  pro  valoribiis  p.iribuS 
ipfius  7/;,  infcrior  pro  imparibus»  lam  pro  variis 
vaUribus  i^fius  vi  b.abcLinuis. 

Primo 


SERIES     SINGVLAFvRS.         173 
Pfimo  pro   valoribus  paribus 

ni  —  6;  q  -'■!  -\'q    -H  +'/  -V  —.P 
m-Si   q  -  q  ^H* -q  -{  q* ~q  -Vq* -q*  -\p 
ecc. 

Deinje  pro  valoribus  imn.iribus: 

w— i;  q—ip* 

w=3;  3/  +  /  — 37*rr3// 

OTz=5i   5 /-/-/+ 3^'- 5 /  =  4p'  ^  , 

m-n;  7f-3/4-^'+37'-3?*i-5/-7'?  =5p     ,,  .. 

wzipi  9^-5/+3/-/-?'  +  3/-55'+7'?  -9?    -^P 

etc. 
III.  Si  ponamus  «  —  3    ringuli  cafus    commo.Muft 
pcrpcnduntur,   funtque  primo  pro  m  numero  impan 
w  — i;  q"-^-qz=.^:^p^ 

m  —  3',  (5/-f-o^'-f'3'7*— ^?*=7/>* 

m=s;   x5<7'-.5^'_i_<5<7*_7^'_^lor/-i5/rri3?>* 

W— 7i    2Sq—i^q''\-l2q^—l2q'-irl2q^—'i6q'-t2\q*—2%q'z:Zlp"' 

etc. 

pro  ordinibus  vero  imparibus': 
m—2i  3^'+-<7  — s/^^sp' 

»»—4.5    \oq~-2q^—2q*+6q^—ioq*~Sp^ 

m^6;  ^i  q'—9q''+3q*-\-3f—9q^+i5<i'--'2-^^*-'^sp'-       ,^         , 
w-8;   36<2'-2o</'+i2/-.i/-4.'/-ii-/-2o/4-2S/-3^^   ::24P 

ctc. 

hic  pro  vtio^ue  orJine  formii  acquationis  in    genere 
exprtflTi  itd  lc  habcbit  : 

Y  3  fi 


17-f 


MEDITATIOMES  CIRCA 


fi  m  fit  nurreriis  par 

fi  m  fit  numerus  impar 

///  (w  +  1 )  7'- (w ?''^  -  3  w^  y'  +  (w  w -  5  ;;;4-  1 2)  y*-  (;;; m-Tm-r-- 4)  ?' 
(mvi  —  9jn-\-^o)q'—{mvi-  iim-\-6o)q  .  s.  .  .  —;;;(;;;+  i)?'^-*'' 

m  m  -♦-  ♦  ni  — (-  ?  |^m-)-j 

30.  Nunc  iam  fingiilos  ordines  pcrcurramus  , 
atque  acquationcs  per  metiiodum  fcaindum  inucntas 
opc  formulae  p^  —  <?''  4-  q^-^"-'  -  p"^-^"-  ad  fimiles 
formas  ,  cuiusmodi   hic   fumus  nacli  rcducamus. 


mcih.  '. 


Ordo  m  -^n  — 
mctb.    JI. 

Ordo  ;;;  -|-  ;;  z=  4 


mctli.  iir. 


1  T  4. 

'.q  -zq  -p 


q-^-q^—p^p'  1  3  7'  -  ?'  =  4p* 

2  f — p' -HpM  ^?'- 4  7'=^  ^P 

crgo  q  —\p    ct  q  —\p''  ob  p^—Xp'   crgo  <?'— ip 
Ordo  ;//  -4-  ;;  —  5 

qc=:3p''pi  q'  =  -lp'-i-5P^-,  R  =':  P 
Ordo  ;/;  4-  "  —  <5" 


37'-H?'-39*~3p 


S^^^-^^+S^^-^^^*^/'*!    '7^+<?'-4-^*-i-'?'-5p] 
S^'-2a'+5?'— S</'— 8//  '  ^q^-^-zq^-^-q-^q^Cp 


2  ^  — p  -i-p 


12^+6^  —  n  ^  —  i4p 


6q"-\-:iq-6q—lp  ^ 
cf_cf-\-q-q=\p 


SERIES     SINGVLARES.        175 


Ergo 

q-f-\p'-.   cf-p'-]f:,   q'z:z\f+\p'-  ^«-p«_p^4_|/ 

q—-lp-\-^p-'.p  *^ 

q'-lp'-'./i    ^/zz-lp'-^p';   /zr'/-ti/i   q^^lV.f-f. 

OrJo  7n  -{-  n—  7 


q-\-q-p^-  p^   q'+q  -^q+q^+q  z6p 
q"+q*-p\p'    4^'+  3  /  -  ^  (/|—  Op 

q  -t q-p'-\-t'  W+  3q*-^  (?'—  0 / 


^\+q\+  q   ■\-q'-\-q'z=i6p' 

5  q~+-3q  +''■  q-^  y— 5  «/^-lo/ 

\icqy  2y'+r/Vf!/'-io/zi4-// 
ic</'— 2^'— =  (7*4-6y*-io(7*-8// 
I    5 y  -  /  -  (? M-  3 7'-  5  <?*  =  t/ 


vii.]e  concluditur 

9  =-f    4/^^-      />^-  p^ 
q—^  iop^+  S  p'+2p' 
q*  ::z+-i&  p^ —lop' 
q'^— -11  p'^+ 10  p'-\-p" 
q'  —  +iip^—    4/  — 2/. 

Ordo  ;;/  -1-  «  —  8 

3/-  /+3/-  q'+lq-q-  8/ 
I  2 «/ — 2  7^-9  /—4  <7'+7  q—  I  2  /—  I  S  /)• 
30/         -i-9'/'-6y+i  5/-3o/rz3b/>* 
40^"         -i-4/— S?'+2o/— 40/— 42p* 
/+  '/'+    /-i  </'+    q'  +       q  -  7  p* 
Oq+^q+Zq^^^q  +  q^   -   6  q   —\Sp* 
i5/+5?'+3/+/+-  5  9*-i5/  — 25/ 
£o{/'  *    ■+'2.q-Aq^+iGq'^-ioq—zip* 

S^t-Sq+Oq^-iq+lcq-iSqziLy^p* 


q  ^-q^p  -\-p* 
q^^cf-p'  -^p* 
q'^q'  -p'  -\-p' 


hinc 


176  MILD1AT10>3ES  CIRCA 

hinc  repcritur 
q   -  \p    -p   "p   -  ,p 

q'  -f  -p'  ^{p* 
rcliquae  acquationcs  omn^s  coalefcunt  in  Iv.inc  vnicam: 

j^  q  -^  10  q*  zz  10  p'  —  ^  p*  ob   7  //  zz  6  p* 
ncque  crgo  haec  tcriia  rnetlioJiis  plenam    dctcrmina- 
tionem  fuppeditat  ,  cum  tamen   pro  caiibus  m+n~$ 
et  JW -+-«:=  7  cff^t  largita. 

Ordo  w  H-  «  —  9. 
Hic  cpe  tertiae  methoJi  omnia  dctcrmincntur  idque 
Tuico  modo  \  vti  fcquitur 

^•=+5p*-  P*    -  P'  -P" 

q--  V  //+  7/+  -P'  +  4  p* 

<?'  =  -'»' p*+35p'   *     +5P* 
q*=:+'l'  p'-35p    *     -4p* 

9'=-Vp*+2i//  +  p'  +  ^p* 

^' =+'///- C^p'-2p'- 4  P* 

praetcrmiffb  ordine  dccimo  obrcriio  ctiam  vndeci- 
mum  pcrfc<fte  determinari  poflc  j  calculo  c:.im  fub- 
Gudo  reperitur 

q    =:    6p    -   p      -  p    -  p     -  p 
^5*— —  27p"+   9  p'+2pM- <^p*+4p* 
^•zr+83/)"-    3^P    *      -i5p*-<5/ 
5'— -'i'p"+   84;»'  *      42ip*  +  4p' 


SERIES     SINGVLARES.        iTT 


^'zr-82/?"+    ^Op'-\-p--+i^P^  +  6p' 
^'— 4-28/^"—    %  p^  —  ip'  —6  p'  —  j^p\ 


31.  Si  has  neqii.nioncs  ntientins  contemplcrnur, 
iii  cocfficieiitibiis  priu.i  termini  /?"  haud  diiTicuUer 
fequentem  ordiiiem  deprchendimus  ^ 


»;  -+-  w  —  1 1 
£7zz:  io.<5—  6  2, 


7;;  -f-  n  --  9 

C    >  -4-  ■ 


.  7  -4- 1 


8.  5  —  52,ioz:<5.    4— 42. '—4, 


•  0»    3 

9  1 


83  :=  9-  2 7  +  6  3.  •/  =:  7. '/  +  5  3.  I S  =  5.  1 0+4(3.  V  =:  3-  in-S 
'l'  -  8.  S3  -64-  'r:=^<J.  V  -5|4.  17  =  4-  i8-4|4.  2  r  2.k'-3 
i'- 7- 'a'+<5'5.'ri=5."'+5'5.  iirs- »7+4  eft  enim 
i' -6.i^-6  6.  Vzz4.'r-5^.  3r2.ii-4V=  =  p*+p+p' 
T  =  5-\*'+6l7.  V=:3.-V+  5'^ftenim  ?z:-3p'+p+p*+p' 


82  =^.'r-6|8.  4  -  2.V-5!  ^ 

2S-3.82+6ctt  cnim   y— -4y/-f-p-hp'-l-p^-l-p* 
30.   5  —  2.28—6 
€ft  cnim  ^-5;+pn-p*+p'-fp*+p' 

32.  Tcntemns  hinc  ncqnationcs  pro  ordine 
m  -\-  n—  13  cxriunrc  ,  ()uandoq'iidem  frmiil  kx 
progrcdion  s  pro  altioiibus  ordinibus  impanbus  pt-r" 
fpicua  ledditur  : 


Tom.  XX.  Nou.  Ccmm. 


q  = 


17« 


MEDITATIO  :j:5   Cli\CA 


f;;rr+A/>;;-      p-p\~       p'-p'-p' 

q   —  +  \Lp    —    330  p     * 


^   —  —  Fp    +  4.52  p' 

(j    —-\r^p    ~    462  p 

^'^-H/>   330  // 
q*  —+  Ip"-   165  p 

^^  =-K/>^  4-    5  5  />  +;>  + 

./  —  \-Lp''—{ii~i)p'-2p'- 


A- 


2  Bma  A  -7 
3,C— iiB+7 
4D=;ioC-7 
5+:=z  9D  +  7 
(5  F  =    8K-7 

jG-   7F  +  7 

8H—    6G-7 

9  I  =    5H  +  7 

ip  K=:"  4  I  —7 

I.1L—    3K  +  7; 


A 

— 

7 

B 

77 

* 

C 

— 

a 

D 

357 

E 

— 

544 

F 

— 

1715 

G 

^i — 

€77 

3 

H 

77~' 

<5"43 

I 



35S 

K 

^IZ 

3 

L 

; 

79 

• 

-^704-  8  /)*  *  -ep* 
+  (55+28!/)^  *  4-^p* 
-(28+56)^*  *  ->,;,* 
+  (  8+70  p"+p'+^p* 
56  f-^p'~ip* 
2S  p'+6p'+Kp* 

sp'-^P*-xp* 

pro  incogniiis  cft 
X=r  e 

K  —  y 

«-    6 

•VI  —  <^  -    I 

videtiirque  efTc 

y— 1L5;     >t— 15 

$  —  20  •     i  —  20 

e   =15;     e=:i5 
^rr    (J+i^  -»}r=(5. 


33.  Qiio  ordo  harum  aequntioniim  chrius  pcr- 
fpiciatur ,  atqne  anomaliae  hic  occuremes  euancfcaur, 
fecundum  fingulas  ordines  impares  ilhs  aequationcs 
ita.  repraefentemus : 


Ordo 


5ERIES    SINGVLARES.       179 


Ordo  w  H-  «  —  3 
2  B  ~  2  A  —  2 


=  3 

2  B=:4  A  — 3 


f-^Ap^ 

Ordo  ff;  -h  «  rr  5 

y'  zr:  -  B  />'  +  :?  /)' 

/  -  +Cp'-3p'+/)"-|3Cn  3B+3 
^  i:^  -Dp'-|-;)^4-p  kD=  2B-  3 

Ordo  171  -}-  «  ~  7 

A  =  ^-^=r  + 
2Br:^6A-4. 

.   _     .      .  .  3Crz5B+4- 

^'=-ljp'+iop' *       +p' 

^'-+tp'-   5p-^f+P 
q  —  -Fp'+     p'+    p'+p 


/rr  +  A/-     p--   p' 

9*==-iy+   5P'+  =  P 
«  =rfCp^  — icp'  * 


4D-4C-+ 

5E  =  3D+4- 
6  FzraiL  — 4 


A- 


9  -(- » 


=  5 


Ordo  m  -\-  n—  9 

q-+^p'-     />V     -P^ 
/=-Bp'+    7/+2p'  +4^»* 
q^zz+Cp^-zip^     *     — 6p* 

/— -Dp'+3  5/>'    *     +(4+iy 

y*rr+lp'-3  5p;     *     -(i+4)pVp^ 
y'rr-Fp'+2ip'     *     +       6  p*+p^ 

y'n4G/^'-  7p'-2p'  -       4P*-^p' 

f ':r--Hp*+     p'+  p*     +         p*-\^p  ',  8  Hrr  2  G  -  5 


2Br=8  A-5 
3C-7B+5 
4D-6C-5 
5Erz5D+5 

6  F  — 4R-5 

7  Grrs  F+5 


Ordo 


'J  — 
^  = 
*  - 

?'r 

a 

0    - 

j     —- 

7 

q    ■- 

5 

4 

z 

<i  - 
^  -= 


.13,0  MIZDITATIOMI^S  CIKCA 

OfJo  ;/;  H-  ;;  —  ii 

(?'  =-B/)"+      y/)'+^pV  6/)*         ++P* 
r/' zr-l^C//'—   35/)'    ^'    -i5/>*         -6/ 
/  — — D//'+  84./)'   *    +(2o+-iy+4,'/ 
/— +Ep"  — 126//   *     — fi5+(5)p*    * 
17'  =— Fp"  +  i26/)'    *    +(61-15'/)'    *   -f/>' 
/z::+G/y'—    b4/)'    ''f    -( 1+2 (>)//- 4/)' -J-// 
/7' rr-Hp"+  36p"'    *   +       .  1 5/'*4-<5p'-+-p' 
9'  3r+  1  // '  —      y/)'  -  zp—  (>p-i,p\-p 

q  =z-Kp"+        /+  p'+  p*+  p^+Z» 

Crdo  7;;  H-  ;j  z:  13 
+A/^-      p'-  f^  p*  -  f-       p" 

-_B-./'+    iip'+2y+  sp*  +  4f-{-        6p' 

r-Kp'-    5  5p'    *    -  2hp''-.6f'-      I5p' 

i-Dp  '+ 1 6 5p'  *■  -tf  5 <5^  -t- 1  )p'4- 4p'+     2 o; ' 
r4-Fp"-3  3op*    *   -(7o-l^8;p*^  *f    —       1 5p 
:-— Fp'*+452p'   *    +(5(J+2  8>.\  *    +(6+i> 
:+Gp"-^6i//     *    -('^S+^^y   *    _(i+6)/)°+p 
:-ilp''-l-'J3c/    *    M(S+76)/.*   *    + 
r  +  lp"-i6.5p'     *    -(i  +  5<5V>*-4p'- 
r-Kp"+   5  5p'.    *+  2  8.p'+5p'+ 

z+  Lp'  '-f    t  \p'-  2p'—  8  p*  -  4//— 

:-3i;>"+       p'-l-  p'-t-  p*+  p'-f 


f)* 

6 

u  - 

6 


15/^     1p 

2  0p  -f-p 

I  5/'  -fp 

6p+f 
«  . 


2 

2B;:roA  -J5 
3C-  pB-hC) 
41)3  sC-5 
5K=  71;^ 
6Fr  <5E-»<J 
7G-  5F+6 
SH=;  4G-*6 
91=  3H+6 
loK-  2T-5 


5B=:i2A— 7 

3C-11B-H7 

^DrrjoC- 7 

5E=  9D+7 
6F-  8E-7 
7G=:  7F4-7 
SH=   6G-7 

9i-   5H-f7 
\c\\—  4I  -7 

I  f  I,=   3^'+7 
»2,M—  cL— 7 


34.  Hic  co.fliicntcs  ipftns  p'   a    le^^c    fcqiicn- 

tiiirrt  «'laii^c   p:vrai)in   r^ccJerc  ^Xidtiuiir  >,   lUn»    il    i:1^ 

ord  nc  m  ^\- n  —   13    tx  binomii    ad    digniiatcm     ii 

ticiiati  cocffi(.icntibus  forinentur  ,  dum    fjqucnte»    cx 

!  digiii- 


S  E.R  in:  S     S  [  M  G  vr  L  A  H  E  S.       ^^^x 

■<li^mwti->U5  S,  6  forrnantur.  At  iiJcni  ijla- aicfix- 
cienra  hoc'  moJo  repr,ic(oiicari  puiruut  ,  vc  cuiii  le- 
qucntium   Icgj  coiiarc.iiiL : 

— i-hrio-^i)-^45  +  io)+(i  2o-}-4>)— (210+120)  ctc. 

hic  crgnr  rationc  ncqaatic)n:s  ordinis  w-f-o~i5 
exhibcbo. 


OrJa  w  -f-  «  r=  15 
9"— 4-Q"— <55-l-i2]/      *      —  4-5     ;>*    -6p'-         -28/ -15/ 

^'^=- -'/^'^+; 22 )--h(f <?:/)' *   +fi2o-f-iy  +4./)'+      56//a,;o/ 

y'°-+E/)"- +95+2  20/)*  *  — (210-H10)/)*  ^J'^'  -       -7o//-i5y 

/^-^-y^Kvps  +  l-P^/  *  +(252-1-45)/)*  ^' +;-5<^+iV^'t-  ^/)' 

^y' =+G,/'-(9  2  4+792^"  *  —(210+120)/;*  *    _(284-8)y/      * 

^' nr-H/^^+C^^^+pa+^P*  *  +(i  2oi-2  lo)/)'  *  -j-(8-i-2  8)/)*      *    -l-/.' 

(j*  z=-\-\p"-^gS^192)p"  *  -(45+252)/)*  *  -(i-f55)/-   6p'+p* 

^/ r:-K/>"4-:220+;95/)'  *  4.(1 04-2 lol/)*  *+         70/)  + .  5/4-/)* 

{/     =+L/)"-(<56-i-2  20)p'     *        -(H-iooy_4;,'     _  56y/_2o//  4/)' 

'i''=:-W(i2-h<56)/>'   *     +  ^S/^^+S/)'    +  2  8//4-i5//^/)' 

^/-+Ny'-;i+-i2)     /)-2//-  io/>*-4/>'  -  Sf>'-  6/-P* 

q  --Op'-\-  p+p'    +  /+/+  i>+     p'-|-p 

Atque  nunc  lex  progrcnionis  non  nimis  eft  com- 
plcxj  ,  eamquc  facile  ad  altiores  ordiocs  accommO- 
dare  licet. 

35.  Cum  autem  haec  lex,  quatcnns  inductioni 
innititur  ,  minns  certa  -videri  poflct  ,  omnia  plane 
dubia  toIle'itur  >  li  loco  pjtcftacum  pariuni  ipfius  p 
imparcs  iucrojucayrar.     Crnn  lciticct  pro  ordinc  vn- 

Z  3  decimo 


i8t 


MEDiTATlO>4ES  CIRC\ 


decimo  poteftatibus  p\  /)*,  acqniiialcant  impa'cs  ^' 
et  />'.  J.^cinde  etiain  cocliicieiuts  A,  B,  C,  D  etc. 
multo  rimpliciori  Jege  exhibcri  poflTunt  ,  cuae  im- 
mediate  ex  co..fficiein:bus  binomii  nd  eanc  m  di^^ni- 
tat(;m  ,  ciiius  ordinis  i(bie  aequatioiies  quacruatur  , 
ekuati  ,  fluit  ,  hoc  modo : 

Ordo  m  -\-  nzn  1 1 


^'•-1(14-11) 

^—(1-55) 

q'  ^5(1-462) 

/  ";(i+33o) 

q'  -  .:(»-i<55) 

q'  -i{i+5  5) 
q    — 1(1-1 1) 


P    \P 

[—1—1 


P 
—  I 


+2'++ 


— I 

+    8+- 


—    I 

+   6 

-I  -6J-15       j-28—   8 

*  +4+20+1+55+28 

1*     —  I  —  1  5- 6  — 70— 5<^ 

*  +1  +6  +  i5'+5:;+70 

^       4.    —1—20  — 28 56 

+15+  8+28 

-6-1—8 


—4- 

1+1   +6 


■i+i 


+  1 


+    1 


+;)=P 
+/-p' 

+/-/ 


In  qualil)ct  fcilicct  colunina  veiticali  cocfficicntes 
binoniii  ad  dignitatem  vnitate  infcriorem  eltuati 
tum  n  (unnmo  deor(uiii  quum  ad  imo  furfum  lcri- 
biintur  ,  ct  vbi  bini  concurnmt  in  vnam  lummam 
colli,>;untur. 

36,  Hinc  iam  li.cbit  pro  omnibus  ordinibus 
imparibus  rem  in  gcncre  definirc  ;  at  quoniam  hic 
cocfricicntts  binomii  f ;  tcflntiim  cccununt ,  vt  bre- 
vitari  confulamus  ,  fci  .'namus 

«(«—i  )[n—  1).  .  .  .f  n—  V  -\-\) 

i.  a.  ^        .      .      .      .  V  ^^^ 


Yt 


SERIES     SINGVLARES.        183 

Tt    flt 

w;o)=iin:i)-niw(?)ii:-—— ;<3)-  — -  •— etc, 

vbi  obferuafll-  iiui.ibit,  li  v  fuerit  miior  qu.un  «,  eflTc 
ftmncr  7i  (k)  ~  o  ,  at  fi  v  —  «  fore  «  («)  —  i  et  ge- 
ncrdtim  :  n  (v)  —  n  {n  —  y  ).  Huc  igitur  notanJj  ra- 
tioui  reccpta  aequationes  generale!»  ita   le   habcbant 

Ordo  ?;i  -i-  «  jr:  X 

\nde  concludimus   fore  ia  gtncrc 

I,  Si   y  fit  numcriis  inipar  ' 

^^  -i-Ov>^-v-iA    +->>-V-i;3     +4(>^->'-i)y   4-6(X-v-i)V 

II,  fi  j^  fit  numcrus  pat 

^        '   ''  — o(X-v-i)S'^— ii^X-y-1  S^  — /^f^X-v-ijy  — <SiX-v-i)y 

Termini 


184-  IVIFDirATIOKES  CIRCA 

Termini  nutem  harum  flequntionum  non  xltra  fbc- 
nniUim  p^~%  quae  vltmum  piatbct  terminum, ccjii- 
tinuari  dcbcnt. 

3  7.  Hne  nutem  fun  mntioucs  Ircum  non  hi- 
bent  ,  nifi  exponens  oidinis  ;;i-f-«— X  fiitrit  nume- 
rus  impar  :  ideoque  harum  r.cquutionum  ope  lum- 
mas  omnium  (erierum  iu  hac   forma  contentarum 

v7*^rT+^,^+^„:4-^Xi+  7a+^.:4-^Xi+7.+  ^,+  ^  etc 

exhlbcre  licet,  fi  modo  «/ -f- «  n:  X  fit  numerus  im- 
;par.  Iftae  autem  (ummae  definiuntur  pcr  (ummas 
potenatum  rcciprocarum  ,  quas  liUcra  p  fcquciiti 
modo  rcpracfcnto  \t  fit 

p'^=i-|-^4-^-4--x^--^-h  etc.    atquc 

^"zp''r(i+^,+ ^+^+ctc.  )(»+"„+ ^-V^  +  etc.) 

Duos  autcm   hic  cafus    diflingui    opnrtet  ,    prout    m 
fucrit  numerus  vel  par  vel  imp.ir  ^    habcbitur   tnim 

I.  CaTu  quo  VI  cfl:  numerus  par 

4-6("-i7    r  +X-3^(«-i)?   X-. 

4-6(;;;-i^S^ ■\\h-^tm-i)V 

II. 


SERIKS     SINGVLARES.        i^$ 
II.  Ctifu  quo  m  cfl:  numcrus  impar 

-6(^«-i)S^ -(X-3)(w-0V' 

Seciindiim    hanc    legcin    terminus    \Itimum    fequcns 

ficret   \.         ,  icP^j   '^^^  notetur    fciripcr  effc 

(X-  i)(«-i  )  i  vX-  i).^«-  i)  — X(;z)  =  X(w}. 

SS-  At  (\  ordinis  cxponens  w  H- «  jr  X  fuerlt 
nuTierus  pnr,  hae  formulae  neutiquam  locum  haberc 
pofT.int ,  cum  cnfu  impantatis  formne  /),^',  j!)\p^  etc. 
ob;)"'  — p"  ctiam  has  parcs  p',p\p^ctc.  in  (c  com- 
phdiintur  ,  quod  nutcm  cafu  quo  vi -\- n  eft  nume- 
rus  par  ,  ncn  eucnit.  1  rcs  autcm  methodi  hic  \fi- 
tirne  fiimmis  ordinum  parium  dcfiniendis  nou  (ufn- 
ciunt ,  cuai  ctiam  tcrtia  pro  oidine  odauo  non 
omn.s  detcrminationcs  fuppeditct.  Etfi  autcm  pro 
ordinibus  quarto  ct  lcxto  fummac  fupra  funt  afii- 
gnatae ,  in  iis  tan  en  nulhi  lcx  perlpicitur  ,  vnde 
pro  orJinibus  fequentibus  conieduram  deduccre  licc- 
rct.  Katio  huius  difcriminis  manifcfto  in  co  efHlta, 
qi'od  prn  ordinibus  •  paribus ,  binae  quaeuis  harum 
formularum  p\  P'->p*->  p^  ctc.  intcr  fe  comp.irari 
queant ,  hacque  compaiationcs  pcr  methcdos  nolfras 
jndiccntnr  ;  quncirca  eae  dctcrminationcs  ,  quibus 
indigemu»  ,  deficere  (unt  ccp.fendae.  Ko  magis  igi- 
tur  cfl  mircudum  ,  quod  in  crdinibus  imparibus 
Tom.  XX.Nou.Comm.  Aa  nulla 


iS6  MEDIT.  CIRCA  SERIES  SINGVLARES. 

nulla  plane  ratio  aflignalibis  inter  formiilas  p\  p*,  p' 
p* ctc.  iiiiercedat.     Interim    tamen    nullnm    e(l    du' 
bium  ,  quin  aliae  dcntur  mcthodi ,  quibus  feries  or- 
dinum  parium  fummari  queant ,  ctiamfi  trcs  liic  ex» 
pofitae  minime  fufficianr. 


rHYSiCO- 


P  H  Y  S  T  C  O- 

MATHEMATICA. 


A  a  a  FORMV- 


FORMVLAE   GENERALES 

PRO 

T  R  A  N  S  L  A  T  I  O  N  E 

Q  V  A  C  V  N  (^  V  It    C  O  R  P  O  R  V  M 
R  l  G  I  D  O  R  V  M. 

AiKflore 
L.     E  V  L  E  P.  O. 

Qu;iiido  corporis  cniiisqiie  rigidi  motum  detcrmi- 
nari  oportct  ,  tota  i.uRlligatio  commodc  in 
duas  partcs  dillinguitiir  ,  altcram  geometricam  ,  al- 
tcram  mtchanicam.  Iii  priore  enim  parte  fola 
translatio  corporis  cx  dato  fitu  iii  .ilium  qucmcun- 
que  ilne  vllo  rcfpcdu  liabito  ad  motus  principia 
pcr  formuliis  anaiyticas  repraefentari  debet ,  quaruin 
ope  pufuio  fii-guloruin  puiic^torum  po(l;  translatio- 
ncm  cx  carum  piifitione  initiaii  dcfiniri  qucat,-  quae 
eri;o  inuedigatio  vnicc  ad  Geomctriam  vel  potius  ad 
Stcreomctriam  crt  rcferenda.  Facile  autcm  intelligi- 
lur  ,  fi  ifta  inucrtigatio  ab  altcra  ,  quae  proprie  ad 
Mechanicam  pertinet  ,  (cparetur  ,  tum  ipfam  motus 
detcrminationem  ex  principiis  motus  multo  facilius 
cxpcdiri  poflb  ;  quam  fi  vtraque  inueftigatio  coniun- 
ct:m  fulcipiatur.  Cnm  igitur  in  tradatu  meo  de 
motu  corporum    rigidorum  hanc    \tramquc    inuefti- 

A  a   3  gatio- 


ipo     FORMVLAE  PRO  TRANSLATIONE 

gationcm  fimul  rufcepifTem,  vnde  tota  tracflatio  noa 
parum  molcfta  et  intricata  efl:  reddita  :  hoc  loco  fo- 
lam  partcm  geometricam  accuratius  cuoluerc  confli- 
tui  ,  quo  deinceps  pars  mechanica  faciliori  negotio 
expediri  poilir. 

§.    2.  Vt  igitur    primo    fitum    initialcm    cor- 
poris  rigidi  accurate  definiam  ,     pofitionem    fingulo- 
rum  ciu8  pundorum   morc  folito  pcr  tcrnas  coordi- 
Tab.  II.  natas  inter  fe  normalcs  repraefcntari  conueniet,  Hunc 
^'S"  ^*    in  finem    ccnftituo  tcrnos  axes  fixos  lA,  IB  et  IC 
fe  inuicem   in   pundo  I    normaliter  (ccantcs,  quorum 
bini    I  A  ct  I  B  in  ip(o  plano  tabuhie  fint  fiti,  tcr- 
tius  vcro  I  C    hinc    plano    perpcndicularitcr    infifiat. 
Nunc  confidero   pundtum  corporis  quodcunque   Z,  C3C 
quo    ad    pLunuii    A  I B    demittatur    perpendiculum 
ZSi  tum  vcro  cx  pun^fto  S  ad    axes    lA    et    IB 
ducantur  normales   S  P  ct  S  Q  ,  ac  voccmus  coordi- 
natas  IP  —  QS— p,  PS  —  IQ  —  ^  et  ipfum  per- 
pcndiculum  S  Z  n  r,  cui  in  axe  I  C  aequalis  capia- 
tur  pcrtio  IRrrri  ita  vt     pur.dum     Z    reperiatur 
in  diagonali   I  Z  parallclepipedi  rccflanguli  ,  qucd  ex 
lateribus  1  P,   I  Q  ct     I  K    formatur.        Hoc    igitur 
moJo   pofitio  fingulorum   corporis   puncflorum     com- 
modKTnriC    pcr    tcrnas    cooruinatas  p,  q-,  r,  dctcrmi- 
nabitur. 

§.  3.  Quo  nutcm  dclnccps  ficilius  ifia  reprae- 
fentatio  ad  ir.r.clligationcm  mcchanicam  accommoda- 
ri  pcflit  ,  puncftum  I  aptifrimc  accipitur  in  ip(b 
ccntro  grauitatib  (cu  potius    aiertiae    corporis    rigidi 

propo- 


CORPORVxM  RTGIDORVM.  191 

propofiti  ;  fic  enim  iftud  infigne  commodiim  impc- 
tramus  ,  vt  pofita  maffiila  corporis  in  Z  exiftcntis 
—  dM,  per  totam  corporis  extenfionem  fiat 

i^./p^M-o.  z\fqdM=:o.  3^/r^Mz=o 
fiquidcm  hacc  integralia  per  totum  corpus  cxtendan- 
tur,  Practcrca  vero  mnximam  vti]itatcm  afferet  , 
fi  terni  axes  1  A,  1  B,  I  C  in  ipfis  axibus  corporis 
principalibus  conftituantur  ;  tum  cnim  ctiam  valo» 
res  trium  fequentium  formularum  intcgralium  pari- 
ter  per  totum  corpus  extcnfi  nihilo  aequales  red- 
dentur  ,  quippc  quae  funt 

4°. /p^^M  — o.  s°.  fprdM  —  O.  6".  fqrdM  —  o 
haecque  taiitum  hic  in  tranfitu  notafTc  iuuabit,  quan- 
doquidem  pars  geomctrica  ab  iltis  acquationibiis 
neutiquam  pendet. 

§.  4.  lam  fa<fla  quacunque  corporis  translatio- 
ne  confideremus  primo  locum  i  ,  in  quem  pundum 
corporis  I  fuerit  translatum,  pro  quo  vocemus  coor- 
dinatas  If  —  f^  fgzzzg  ct  g  i  —  b  ;  tum  vcro  pun- 
clum  2  ex  fitu  initiali  translatum  fit  in  2;,  pro  quo 
Ihtuamus  coordinatas  I  x  —  .v,  x  y  —  j  ct  y  z  —  z  , 
ac  primo  qnidem  ftatim  manifefium  efi  ,  diftantiam 
i  z  etiamnunc  aequalem  effe  dcbere  diftantiac  I  2  , 
qua,  cum  efTet  'Vpp-^-qq-^-rr,  nunc  vero  fit 

iz-y{x  -fy-\-(j  -gy-\-  {z-hf 

liabebimus  hanc  aequationem  ; 

pp-^-qq-^-rrzr^x-ff-^-^y-gy-^-^z-by. 

Practerea  vero  iiecelTe  eft ,  vt    diftantiae    inter    bina 

corpo- 


7:^1      rORMVLAE  PuO  'IKANSLa-^IONS 

uMporis  pundtii  quaecunque  in  fuu  translato  ctiam- 
r.Uf.c  ae()ualeb  rint  dilVantiis  eorundem  pupdorum  in 
ficu  initiali,  cui  condiiioni  fcquenti  modo  iatisfaciemus. 

§.  5.  Sumamus  pundum  z  in  eo  loco ,  in 
quem  punclum  P  cx  ftatu  iniu.ili  fiierit  tran&Iatuir.: 
hic.  enim  iion  conluhum  \iticti;r  fi.uram  nnliram 
toc  nouis  lineis  duccndis  onerare.  D«-inde  etiam  in 
ipfb  flatu  initiali  pundum  Z  vblcunquc  libuerit  ac- 
<ipi  potefl ;  vndc  fi  {urcftum  Z  in  pui.cfto  P  acci- 
piatur  j  etiam  pundum  z  in  fitu  translato  locum 
jpfi  P  rcfpondcntcm  cxhibebit. 

§.  6.  Cum  i^iiur  pundum.  Z  in  pundnm  P 
incidat  ,  fi  fiat  q  zz  o  et  r  —  o,  quoniam  in  gcncre 
tcrnas  coordir.atas  x,  j,  z  tanquam  certas  funiflioncs 
ipfarum  p,  q  et  r  confidcrare  licet  ,  quomodocun- 
que  hac  funtf^ioncs  fuerint  comparat.ie  ,  fi  in  iis  fa- 
ciamus  q-o  et  rz.o  hae  coordinat.ie  neceflario  tales 
formas  accipcre  dcbebunt  , 

X  zr/+  F/)  ,  >'  —  g  4-  G  /)  ,  z-h-{-  Up. 

Quia  enim  ponimus  ^  —  o  ct  r  —  o  fnectnta  p  vt 
"variabili,  coorJinatne  a\,  y,  z  onencere  debcnt  fitum 
in  quem  iinea  reda  IP  fucrit  tran^lata^  qnae  cum  fit 
rcda  ,  ea  in  fitu  translnio  crit  1  nca  rcjfta  ipfi  ac- 
quulis  ,  ideoiue  co  )rdinatae  x  j,  z  pofitionem  hu- 
ius  lineac  ri(flac  iz  cx[rimere  dcccnr ,  \ndc  ,  cnm 
fumro  pno  ttiam  pnnClum  z  in  i  incidere  dJKat, 
cuitiens  cll  ,  qLantitatcs  .1,  r,  z  i'a  pcr  Aariabilcm 
P  dtfiniri  debcrc,  \t  ptiHvp  =r  o  fir.t  .r-/,  y  — g 
ct    z  —  b.     Tiim  vtio    CjUia  acquatio  dcbet  cffc  pro 

iii.ea 


CORPORVM  RICDORVM.  193 

linca  rc(fln,  nliac  fbrmne  locum  hii.bere  neqiieunt,  niU 
<}uas  llatuimus :  fcilicct 

\bi  litterac  F,  G,  H  certas   defignant    ccnflautes    ab 
indole  translationis  pcndentes. 

§.  7.  Statim  autem  manifcftum  cfl,  ifias  con- 
flantcs  if.i  comparatas  cfTe  debcre,  vt  interuallum  i  z 
acqu.ile  lit  intcruallo  IPnp,  vnde  fequitur  illa 
tleterminntio: 

i  s'  —  F>'  -{-  G'  p'  -f-  H'/)'  —  p  p 

qnam  ob  rcm  uecefTe  ell:  \t  flt  F'-h  G"-!- H'— s, 
Quod  fi  ergo  fumamus  F  —  fin,  ^  ,  f.cri  debet 
C'  -H  H'  —  cof.  ^^ ;  hanc  ob  rem   (latuamus 

G  —  coC  c,  fin.  -v]  et   H  —  co(.  ^'  cof.  "vj  ,  ita  vt  fit 

F  —  fin.  <^  ,  G  cof  4  ^'"'  "VI  et  H  —  cof.  <^  cof.  y\. 
Hoc  ergo  mcdo  trcs  iitterae  iilae    F,  G,  H  ad   duos 
tantum   angulos  <^  et  >]   funt  rcducluc, 

§.  8.  Simili  modo  fumamus  nuiiC  pundlum  z 
in  eo  loco  ,  in  qucm  pundrum  Q  ex  (w^  initiali 
fuerit  transl.itum ;  at  vcro  puncftuni  Z  in  puncflum  Q_ 
cadit  fumcndo  />  —  o  ct  r  —  o.  Hoc  ergo  cafu  rer- 
nae  coordin.itae  .v,  r,  ~  ita  pcndtbunt  a  (o!a  varia- 
bili  ^,  vt  fado  q  zr.  o  itcrum  fiat  xinf^y  —  g  et 
2  — /?  ;  quamrbiem  ,  cum  aequotio  etiam  dtbeat 
t^^c  pro  linea  r^cla  ,  coordir.atac  tniem  foTiiam  iia- 
bebunt: 

Xz=.f-\-Y'q  ,yz=:g-V-Q^q,    Z-h-\-  VJ  q 
Tbi  ergo  ob  iz  zr.  q  ctiam   efle  oportet 

F'F'-HG'G'4-H'H'-i 

lcnii.XX.Nou.Comm,  Bb  au 


IP4-      FORMVLAE  I  RO  TRANSLATIONE 

cui  conditioni  commoJe  per  biiios  angulos  ^'    et    V 
ita  fatifcfiet  ,    vt  fit 

F'z=fin.^',  G'zrcor.^'fin.V,  H'  =  co(.^'cof.V. 
f,  9.  Sumamus  nunc  pundum  Z  in  R,  qnod 
cucnit  Uatuendop^o  et  q—c^  vnJe  fi  iam  pun- 
dlum  z  exhibcat  locum  ,  in  quem  pundlum  R  erit 
translatum  ,  pio  coordinatis  eodcm  modo  quo  antc 
adipifcemur  tales  formas  : 

.V  -  /--V-  F"  r,y-g-^-Q"r,  z:=Lh^  H"  r. 
Xu  quia  effe  oportct 

jr//  F"  ^  G"  G"  ^-  H"  H"  —  i 

pcr  binos  nouos  angulos  4''  et  yi'  fiatuere  porcrimus 

F"rrfin.<^",  G^-cof.^^iia.-vi"  ct  U"=col.<''cor.V'. 

§.    lO.  Qnoniam  igitur  coordinatarum  .v  ,  ;•  ct 

z  valores  nacli  fimius  ,    quos  induccrc  debent   iribus 

cafibus  cuolutis  ,  vbi  trium  quantitatum  p^q^r   dnae 

euanefccbant,  perlpicuum  liinc  efi  ,  qnomodo  coordi- 

tae  X,  y-,  ^  ^  fingulis  quanutntibus  p,  q,  r  pcndent. 

Quamobrem  ,    fi  omnes  idne  litterac  fimul  in  com- 

putum  ingrediantur ,    ita  vt    its    punflum    corporis 

quodcunque  Z  indicetur,  cui   in  fitu   traiitlato  refpon- 

dcat  pundlum  s,  coordinatae  x,  y,  z    (cqucntes    ha- 

bere  dtbtbunt  valoies : 

x—f-\-  F/>  --h  r'^-1-  F"> 

y  =:g~\-Qp-\-Q' q-\'Q'' r 

z  —  h -\- n  p  '\-  IV  q  i-  H"  r 

Iias  antem  nouem  litteras  vidimus  rcduci  ad  ^y.  ao* 

guloS    <^,    -^l,    ^'    t^,    L^',    -»)''. 

f     II. 


CCraORVM  RIGIDORVM.  ipj 

$,  II.  Sumamiis  nunc  pundum  Z  in  ipro 
pundo  s  iti  vt  fit  r—Oy  nc  fi  in  fitu  trarsl.ito 
ifti  pundto  refpondcnt  pundlum  z,  pofito  r  zr  o  ter- 
rae  coordinatae  ita  fe  hiibebunt: 

X-f-^-Fp^F^q,  J=g-\-Gp-^-G'q,  Zzzh+Ep-\-lVq. 
Vbi  necelTe  eft  ,   Tt  fiat   difiantia    iz    diftantiae    IS 

acqnalis  >    quae    cum  fit  y  p  p  -^-  q  q  ^  hinc  nafcctur 
ifta  aequatio: 

et  flida  euolutionc  fict 

pp-\-qq=pp  (FF+GG+HH)  -{-qq  (r'F'+G'G'+  H'H') 
-I-  2;>/7(FF'-l-GG'4-HH'> 
Cum  igitur  fit 

FFH-GG-hHH-i   et  F'F'  +  G'G'-l-H'H'c=i 
fupereft  ,  \t  euadat  F  F'H-GG'h-HH'zzo. 

§.  12.  Fodem  modo  patebit,  fifumamus^ro, 
tum  ilhim  proprietatcm  locum  haberc  debere,  vt  fit 
F  F"  -f-  G  G"  -t-  H  H"  zi  c  :  nt  fi  ftatuamus  /)  =:  o  , 
indc  refuhabit  ifta  acquatio  F'F"-+-G'G"+H'K."zro. 
Quibus  rribus  conditionibus  cum  fucrit  (atiiftclum  , 
tota  translntio  erit  dcterminnta  ;  ac  noftrae  formulae 
pro  omnibus  corporis  pundlis  easdem  cxhibebunt  di- 
ftantins  in  fitu  translnto,  quns  tenuerunt  in  fitu  initiaii. 
§.  13.  Subftituamus  nunc  in  his  acquntioni- 
bus  valorcs  ante  inuentos  ,  ac  prima 
FF'-hGG'-|-HH'— o  dnbit 

fin^nn/'-j-ccf.^cor^'fin.'vifin.v/-|-co(.<^cof.^'cof.'yicof.V~o  fiue 
Cn.4rin.(^'+cof.^col.<^'cor.(>i-'yi' -o  cb  co(.>]Cof  v/+fin.v,rin.^,l'-CGf.('vi-  V)'j 

B  b  a  quae 


iq6     FORMVLAE  ?AQ  TR4NSL\T10:^S 

quiic  aeqiiatio   pcr  cof^-^ol.i^'  diuini  pneb:t 

tiiiij;.  ^  ta.13.  ^'  —  -  coC  C/]  -  y/).  '■ 

Eojcin   moJo  bi  i.ie  rtliqu.ie  ae^]U:itioncs  dabunt 
ta!i-<'c.i-.ii.^"--c.. •.(>)'-  1"/  ct    t.n,'  ^"ui  ■,.^--cor.^V'->,). 
Px     hs    i;^'tur    tr'bus    acqu;iti(in:bus    ternai  nnguloi 
^,  ^'   ct  <^"  determiiuire   licebit  ,    ita  \t    omnia    ptc 
tcruos   ivigul.)»  -/],  V)',   •>)"  dcfiniri  qiicant» 

§  1+  Q.iod  quo  f.iciliub  ficri  poiik ,  multi- 
plicem.is  ii.is  tr  s  aequationcs  in  (e  ii)U'cem,  vt  fiat 
tan.',.4^"ta  ig''ta  1^,'  ^"'— -coi;(-vi-Vj<^or.^V-V')cor.('vi''-'>l). 
Vnde  (latim  patct,  mfi  prod.idaiii  horum  trium  to- 
finunm  fjcrit  ne^atiuum  ,  ca(um  e.Te  inipoliib.lem  ; 
quocirca  ante  o  miia  necelTe  c(l  ,  vt  horum  cofi- 
nunm  vel  viius  vcl  o  nncs  trv.b  (iut  ucc^atiu:.  Sta« 
tuamiis  igitur  breuitatis  gr. 

cof  (>i  -  '4')  cof.  (V  -  -vi")  cof  (v)''  -yi)  —  -AAy 
yt  nancifcamur  tanjj.  ^  tang.  <?'  tang  ^''  —  A,  quae  ae- 
quario  per  finguLis  praecedentes  diuifi    nobis    iuppe- 
ditat  liQS  valores :. 
tans.  ?•'  =  ^_--,  i  tang.  4  =  ,,j=^- ;  tang.  ^'=1  -^^, 
hoc   ijiiur   modo    omncs    nouem     coefficicntes    initio 
aflumti   F,  G,  H,  F',  G',  H',  F",  G",  H",  per  (blot 
ternos  anguU>  v,    y\',  V  dttcrminantur   hoc   modo  : 
F   =ifm.<^  ,  G  =:co(.<  fin.v)  ,   H  -cof-^  cof  vj 
F'  =:lin.<^',   G'=:cof^'  fi;i<^'  ,    H'-co;.^' cof.V 
F"  =  fin.^"",  G"z=cof  ^"(in.  n",  H"zrrol.<^"co(.>i''« 
§.    15     Omnes  igitur   tr.uislationcs  ,    quibus   fi- 
tus  CQrpocis  riiiidi  mutari   potctl ,  pcr  lcx.    elcmenta 

dctcr- 


C01P0AV31  RIG  DORVAI.  197 

dJteriTJiari  pifT.nt.  Priino  c.iim  tcrnae  coordinatnc 
/,  g,  h  deier.niu.Mt  traiisiationcm  par.di  1  in  z  , 
qu.ie  er:i>  pciiitjs  ;i  nodro  arbitfio  pcnJeit.  ]}ein- 
dc,  qao  nodociin  \wz  corpus  circa  hoc  punclDm  i  fue- 
r't  interca  coiuierdim  ,  eius  fitus  per  ternos  anaiildS 
>1,  "^^  1"»  p(-'nitus  detcrmiiiatur;  (umto  cnim  ia  l;ca 
iuitiali  elemjnto  corporis  quocunc]ae  Z,  tuius  pofi« 
tio  per  tcrnas  coorJinatas  j),  q^  r^  detinitur,  id  in  fita 
trani>l.'.to  rcpcrietiir  in  pnnvflo  z  ,  cuius  pofiiio  pcr 
iilas  tcrnas  coordmatis  detinietur: 

X  :=:  f -\- ¥  p -\-  F'^-4-  ):"  r 
y  ~g-i-G  p-i-G'!/'^  G"  r 
X -l -^ll  p -'c- W  q -i- II"  r. 

§•  16.  Quo  autem  magis  conuincamur ,  per 
has  formulas  omnia  qiuie  aJ  tranblationem  pertine.it 
pcrfcdj  detcrminari,  totnm  negotium  etiam  fequeuti 
moJo  ablolui  poccll.  Concipiamus  in  flatu  ini;iali 
praetcr  pundnm  Z  aliud  quodcunque  Z'  ,  in  fii^ura 
quidcm  non  ex.^r^ififim  ,  cuius  locus  his  coordinatis 
definiatur  p',  /,  r'.  Hmc  autem  puniflum  transla- 
tum  fic  in  z',  cui  refpondeant  coordinatae  A*',  j',  zf, 
quarum  ergo  valores  ita  exprimentur 

x'  r:  /  -f-  F  /;'  H-  F'  r/  -f-  F"  r' 
y  =:g-\-Gp'  -h  G'  y'  -H  G"  r' 

z!=zh-{-  U  p'  4-  II'  ^'  -i-  H"  r'. 

Quibus  pofitis  natura  corporum  rigidorum  pofluTat  i 
\t  inreruallum  in  fitu  traaslato  z  z'  ne.]uale  (it  in- 
teruallo  Z  Z^  in  fitu  initiali  ,  qnandoquidcm  iii  his 
corponbas  omnia  interunlla  inter  bini    corani    pun- 

Bb  3  aa 


ip$  fOrmvlae  pro  trakslatione 

da  qiiaccunquc  pcrpetuo  candcm   cuantitatem  feri^are 
dcbent. 

§.    17.  lam  vcro  difbntiae  punclorum  2  et  Z' 
in  ftatu  initiali  quadratum  cft 

(/>'-;'r-H(9'-^)'-H(/'-r)' 

in   Hatu  amem  tran^lato   qundratum   d'ftantiae    inter 
pundla  z  ec  z'  tit 

quod  er^o  ex    tribus    fcqucntibus    quadrntis    compo- 
nitur 

H-(H(i.'-/))-+-H'(9'-ry)+H"C;'-r))' 
quorum  crgo  lumma  aequalis  efle  debet  illi  formulae 

(^/_p;^-(,/_^y  +  (,'-0'- 

§.   18.  Euolutis    nutcm    tcrnis    illis    quadratis 
fcqucns  exprcfl'10  refultabit 
i     (/)'-/)  )'(FF^-GG^-HH) 

.(<7/_^y(y:'F/_^G'G'-HH'H') 
(,./_^)^(F"F"+G"G"-i-H"H") 
.o(p/_p)(9/_^}(FF'-+-GG'-i-HH') 
„(^/_p)(;/^;)(FF"H-GG"-t-HH") 
„(^/_^)(r/_,-)(F'F"-f-G'G"-f-Il'H") 
quamcbrem  ,  \t   ifta  exprcflio  priori 
ip'-p)'^{cj'-qy-hir'-ry 
rcddaiur  acqualis ,  quomodccunque  coordinatae    />,  q, 


r, 


CORPORVM   RIGIDORVM.  199 

r^p',^')r',  fiierint  afTumtae  fex  fequentibus    conditio- 
iiibus  latisficri  oportcc 

I.  FF-|-GG-l-HH=i 

II.  F'F'-hG'G'-f-H'H'=  X 

III.  F"  F"  +  G"  G"  4-  H"  H"  =:  i 

IV.  F  F'  -I-  G  G'  4-  H  H'  zr  o 

V.  F  F"  +  G  G"  4-  H  H"  =r  o 

VI.  F'  F"  -4-  G'  G"  -4-  H'  H"  =  o. 

§.19  At  \ero  ornnes  iftas  fex  conditiones 
iam  in  lupcri;)ribns  noimpleuimus  ,  vbi  oftendimus, 
quemndmodnm  omncs  hi  nouem  coefricientes  pcr 
Itrnos  angulos  >),  y\',  >)"  determinari  quennt.  Ex  quo 
co  cl,\rius  imcUigitur  ,  f^lutioncm  noftram  quacrtio- 
nis  circa  translationem  quamcun-iue  corporum  rigi- 
dcrum  penitus  efle  dcterminatam  et  adaequatam  j 
ita  \t  in  parte  gcometrica  ,  quam  motns  talium 
corpornm  decerminatio  puftulat,  nihil  amplius  dtfiuc- 
lari  pofnr. 

§.  20.  Quomodocunque  autcm  translatio  cor- 
poris  fi:crit  fafta  ,  qua  punc^um  corporis  I  in  pun- 
dum  ;■  eft  translatum  ;  notum  eft  fi  tfanslatio  fae- 
rit  infinite  parua  ,  tum  (cmpsr  in  fitu  transjjto  dari 
quacdam  rtcta  i  z  ,  cuius  fitus  parallelus  crit  ci  , 
quem  eadem  rccla  in  ftatu  initiali  habuit,  ita  vc  , 
fi  punclum  I  quicuiflTcr  ,  ifta  reda  penitas  immota 
mannfnt.  Euidens  autcm  eft  ,  iftam  redlam  reprae- 
fciuare  axcm  corporis  circa  quem  gyrntio  fuerit 
f^icta  ,  dum    corpus    in    fitum    trand.uum     penicnit. 

Qjam- 


aoo     FCRMVLAE  PRO  TRANSLATIONE 

Quamobrem  maximi  momenti  crit  inucftigare,  \trum, 
fi  translatio  fucrit  finita  ,  etiam  dctur  talis  axis. 

§  21.  Manifeflum  aurem  efl  ,  vt  rccla  iz 
etiam  nunc  parallela  fit  redae  IZ,  ad  hoc  rcquiri 
tres  iftas  conditiones : 

vnde  nafcuntur  hae  aequationes : 

r  —  Up-^-W  q-^U''r 
cx  quibus   aequationibus  litttrns    p,   q,  r    eliminflrl 
oportet.     Valores  autem  ipfius  p  hinc  dedudi  cruut 

P'  (7  _4_  F"  r       (  I  —C')n-i-C"  r        (  ,  —  H''  )  r  —  H'  ij 
-T^F  —  »  C  '  H 

Horum  \alorum  primus  fecundo  aequaius  illam    da- 
bit  rationem   inter  «7  et  r  ,  folicet 

n_  C''CF  — O  —  r"G 

.      F  CF'  — ('  —  F){i  — C  ) 

nc  primus    valor    tcrtio   aequatus    pcrducit    ad    Iianc 
relationem  : 

n_  (  I  — -F  )  fj^  H^^Jj—  T''H 

j-  —       i'ir-+-H'(.  —  p) 
Hos   igitnr  duos   valores  rcucra   intcr    fc   arqnari    nc- 
cefTc  eft  ,  fiquidem   tnlis  axis  gyrntionis  dntur. 

§.   0  z.  Qnod  fi  autem  hos  duos  valores    inter 
fe  aequaks  ponam.up,  perueniemus  ad  iftam  aec^uatio- 
nem: 
(i-F)F'€H'+(i-F)F'G"H-f'i-FyT-G')F"H-Hi-FXi-H".F'G 

-}-(i-FyG"H';i-F;(i-G'Xi-H"}-o 

cuius 


CORPORVM  R1GID0R.VM.  201 

ciiius  aeqiiatioiiis  omnia  raembrii  factorc  communi 
gaudent  (  i  —  F  )  ,•  ho:  er^o  per  diuiiiciiem  lubliio 
rcmanebit  ilb  aequuio: 

F''GH'-}-FCTl-h(i-G'}F"H+:i-K",F'G+(i-F,G"H' 

-(i-F)'i-G'Xi-H";r:io 

qune  fingulis  membris  euolutis  dat  hanc  aequationem 
o  -  _  I  +  F  -  F  G'  4-  F  G'  H" 
4^G'-  FH"-FG"H' 
+  Fi"4-F'G  -F'GH" 
-G'H"-F"G'H 
+  G"H' 
+  F'H. 

Hic  autcm  non  liquet ,  quomodo  ifta  exprcflif^ 
ad  nihilum  redigatur  ;  ac  nimis  tacdiofum  forct  loco 
litterarum  F,  G,  H  ,  corutn  vaiorcs  pcniius  cuolu- 
tos  fublhtuere. 

§.  23.  Millii  igitur  hac  inuenigatione  ,  quo- 
niam  pro  translatione  quacunquc  tormulas  dedimus, 
quaruni  ope  cx  data  cuiusque  punc^ti  pofitionc  iii 
luuu  initiali  eiusdcm  pofitio  in  flatu  translato  afli- 
gnari  poteH,  fcopo  qu  ai  PiObis  propofucramus  plenc 
faiiifecimus  ,  ita  ^r  in  ha:  parte  nihil  amplius 
ccfidcr.iri  queat ,  cmi  tota  Jiacc  iiuieftigatio  in  de- 
trrminatione  9  cocfncicntium  F,  G,  H,  F',  G',  H', 
I",  G'',  H''  contineatur. 

Additamcntum. 

§.   24,   Cum   formulac  ,  qins  fuprn   pro  quouis 

fitu  tran^hito  dcdimus,  maximc  fiut  gcnerales.,  ct  omnes 

Toui.XX.  x\oa.Comm.       '        Cc  trans- 


i.0  2     FOaMVLAE  PRO  TRAIslSLATIONE 

trjnsLuioncs  in  fe  complc<fl;intiir ,  miuim  vider'"de- 
bjt  5  quod  cx  illis  haud  pJtcat  ,  vcru;n  in  omni  fuii 
tiiinslato  talis  dctur  rcda  /s,  quac  eandcm  di- 
rctflionem  teneat  ,  quani  in  fuii  initiali  liabiiu.  Ae- 
qaaLio  enim  §.  2Z,  inuenta  tantopcrc  cft  implicata  , 
vt  nimis  moicrtum  foret ,  loco  fuigularum  littera- 
rum  vaiorcs  quos  ipfis  affignauimns  fubftituere.  In- 
terim  tamen  aliunde  certum  eft  ,  quomodocunque 
corpus  rigiJum  cx  vno  fuu  in  alium  transfcratur  , 
femper  dari  ciusmodi  rcdam  ?  s ,  cuius  dircdio 
nullam  mutatioiKm  patiatur.  Ad  hoc  enim  dcmon- 
ftrandum  concipiamus  corpori  rigido  ,  cuiuscunque 
fucrit  figurae  ,  fphaeram  circumfcribi  cum  ipfo  con- 
nexam  fimulque  mobilem  ,  quae  centrum  'habeat  iii 
puKflo  I  ,  quo  facilius  iOam  inueftigationem  aJ. 
dowtrinam  fphaericam  tradncere  liceat.. 

Theorema.. 

Qimwdocufiquf  fphaera  circa  centmn  fuum  cofner' 
tatur  ,  fefnper  affignari  potejl  dimctcr  ,  cuius 
dircctio  in  fitu  translato  conucniat  cum  fitu 
initiali. 

Demonilratio.. 

Tab.  II.  §.  25.  Referat  circulus  A,B,C  circulum   fphaerae 

^'£-  -•  maximum  qucmcunquc  ,  in  ftatu  initiali  ,  qui  fida 
translatione  peruenerit  in  fuum  a,b,c,  ita  vt  pun- 
{tA  A,B,  C  ran?lata  fint  in  pun(fla  a,b,c\  pundum 
autem  A  ^\i  fimul  interfedio  horum  duorum  cir- 
culoruTi.  Quo  pofito  demonflrandum  cfl ,  femper 
dari  pundum  O  ,  quod  pari  modo  rcfcrctur  tam  ad 

ckcu- 


CORPORVM  RTGIDORVM.  »03 

circiilum   A,  B,  C  qiiam  ad  circiilum  a^h.c.   Ad  hoc 
igitur  necefle  cfl: ,    vt  pnmo  dillantiae     OA  et  Oa 
fint   inter  (e  aequales ;  dcinde  vero  ,    \t  etiam   arcus 
OA  et  O  <?  ad   illcs    duos    circulos    aequjliter    fint 
inclinati  ,  fiue  vt  fit  angulus  O  ahzz.  angulo  OAB: 
crunt  ergo  etiam  complemeuta  ad  duos  rcdos  ,  hoc 
eft  anguli  O  a  h.  et  O  A  a  inter  fe  aequaks.     Quo- 
niam  autcm  arcus  O  a   et    O  A    lunt  ncqunlcs  ,  erit 
quoque   angulus     O  a  P^.  -—   angulo    O  A  «  ,    ideoque 
OAa—  OAa;  vnde  patet ,  fi  anguhis  <z  A  a    bi- 
fecetur  arcu  O  A  ,   tum  punftum  quacfitum  O    aH- 
cubi  in   ilto  arcu  A  O  forc  fitum  ;    quod    igitur   re- 
perietur  fi  arcus  aO  ita  ducatur,  vt  anguhis  AaO 
acquahs  euadat  angulo  O  A  <2'.     Jnterkctio  euim  ho- 
ruin  arcuum  <iabit  punclum  O,  per  quod  fi  ducatur 
diameter    Sphaerae  ,    eius    pofitio    in    litu    translato 
ctiamnunc  cadem  crit ,  quae  fuerat  in  ficu    initiali. 

5.  £<J.  Ad  hoc  punclum  O  fiiciliiisdcfiniendum-» 
bifecari  poteft  arcus  \a  in  pundp  M,vbi  confiitua- 
tur  arcus  M  O  ad  A  a  nornnalis ;  tum  \ero  duca- 
lur  arcus  AO,  ita  vt  aiiguium  ^  Aa  bifecet  ;  at- 
quc  interfcclio  horum  arcuum  O  monfirnbit  pun- 
<flum  quaefitum.  Hic  cbferuatur  ,  fi  arcus  a  a  ae- 
quahs  capiatiir  arcui  a  A,  fore  a  pundum  Sphaerae, 
<3Uod  h(X\  translatione  peruenerit  in  pun^um  A  , 
quamolrcrn  ific  angulns  a  k  a.  bifecari  debet ,  non 
"Vero  cius  dcinceps  pofitus  ^AB. 

§.    :7.   Vulgo   quidem    punctum    I    ( fig.  i.  )  j-.j'^- ^^ 
ad  quod  pofitlo  corporis  initialis  refertur,  Aimi  folet 

C  c  2  in 


CC4 


FORMVLAE  PRO  TRANSLATIONE 


jn  cius  centro  giauitfltis.  Verum  cx  dcmonrtr.nionc 
data  apparet  ,  vcritatem  tbeorerriatis  ctiam  fubfiQerc, 
quodcunque  aliud  pundum  pro  ceiitro  Spliacrae  fi;c- 
rit  adumtum.  Quamobrcm  ,  (i  in  corpore  riijico 
loco  I  accipiatur  pnnctum  quodcunque  ,  per  id 
femper  duci  pntcrit  linca  rc(fl;i ,  cuiiis  poficio  iu  fitu 
trans'ato  non  crit  immutata  ;  quin  eiiam  niiiil  im- 
pedit ,  quo  minus  iflud  pundum  I  adco  cxira 
corpns  accipiatur.  Quamobrcm  caucndum  c(l,  ne  ifta 
infigrjis  proprietas  tanquam  ccmro  giauitatis  propria 
fpedletur :  ideo  criim  tantum  puniftam  illud  1  iii 
ipfo  ccntro  gnuitatis  corporis  conllitui  folet ,  quo 
formiilae  analyticac,  quibus  motus  talium  corjorum 
definitur,  fiuat  fimpliciores. 

^.  28.  Cum  igitur  folidiffimis  ratioaibus  fit 
cuidlum  ,  in  omni  fiiu  translato  fempcr  dari  eius- 
modi  lineam  rcdVam  i  z  ,  cuius  direclio  non  difcrc- 
pct  a  diredione,  quam  eadcm  rcda  1  Z  in  fitu  ini- 
tiali  tenuit ,  etiam  ccrti  cfle  poirnmus,  aequatio- 
nem  §.  22.  dntam  femper  locum  efle  habitunrn  , 
pofl.quam  fcilicet  loco  omnium  littcrnrum  valores 
aflignati  fuerint  fubflituti  ^  hoc  enim  fa<flo  ncccfl^irio 
euenire  dcbet  ,  vt  omnes  plane  tcrmini  fpontc  fc 
mutuo  tollant  ,  ctiamfl  hoc  ex  fcx  illis  conditioni- 
bus  principalibus  ,  quibus  fatisfieri  oportuit  ncuti- 
quam  apparcat.  Quamobrem  ifla  cximia  preprieta?, 
cuius  Ycritas  gcomctricc  tam  facile  cfl  oflcnfa  ra 
tione  formularum  analyticarum  pro  maxime  abfcon- 
cita  eft  hab^nda  ^  atque  ob  hanc   ij^fam  rationcm  cx 

ca 


CORPORVM  RTGIDORVM.  205 

«a  'pnlchcrrima  incrementi    pcr    toijm    mcchanicam 
mcrito  expcddre   poirunuis. 

§.  2r?.  Intcrim  tameii  formulis  ,  qu.is  pro  ilKs 
litteris  maiiifculis  fnpra  inncnimus,  cilii^cntius  cuo!u;i- 
mus,  quo  indc  forfitnn  facihus  per(pici  queat,  qnemad- 
ir^odum  aequatio  iila  5.  2:.  data  adimpleatur.  Introdi:- 
(ftisautem  fex  anguhs  ^,  4';  ^^^ ;  y],  •,)',  V  P^f  ci"os  illas 
§.  14..  cxpieflimus  ,  ti-nios  priorcs  per  pollcriorcs 
ita  dcterminauimus  ,  vt  pofito 

—  cof  ('y;--*i').cof  (v)'--V)'''j.cof:('yi''  — >!)— AA    e/Tct 
tang.<^"--^^  — :  tang.<^--77^^  ;,^;  tang.<^'r:— =^^ — 

vnde  ergo  tam  finus   quam   cofinus    illorum  angulo- 
rum  dcduci    oportct. 

§.  30  Quod  quo  ficilius  iicri  poflit  ,  loco  an- 
gnlorum  --i  ,  v/  et  yi^^  introducamus  alios  angulos 
l,e',0'',  ita  vt  fit  yi--^'—^^';  V  -  V' zr  0  ct 
V'  —  "^—^'  ,  vndc  patct  fore  0  -+-  $'  H-  d"  —  o  , 
ita  vt  hi  trcs  noui  anguh  tantum  duobus  aequiua- 
leant;  ideoque  hinc  cx  angulis  v\ ,  y\^  et  V'  vnna 
mancbit  indefinitus,  qui  fi  fiicnt  >]  crit  V  —  >l  —  ^'^ 
ct  y\^*  —  y\-\~  ^*.  \\s  igitnr  anguhs  introdiidis 
erit  A  A  —  —  cof.  ^  col.  0'  col.  O''',  hoc^uc  valore  ad- 
hibito  habcbimus 

tang.^''  =  -y-^-?^«l, 

tans.  /  -_  V_«/.«'cor.r 

tang.^^^-V---'"^^. 

O    ^  co'.  6' 

^.    3 1.   Ex  his  formul  s    pro    tangrntibus    in-' 
Tcntib  culhgamus  formula:  pro    fimbiib    ct  cufiiiibus, 

C  c   3  ac 


2c5      FOFvMVLAE  PRO  TRANSLATIONE 

ac  pro  primo  quidcm  erit 

Uii.i,      —        ^/cqf.i"  -coj.ScoJ.i'     "-*■    ^^'«S  Vcoj.l"-c»j.«Mj.«" 

Cum  autem  fit  ^''  —  —  d  —  0'  crit 

cor.  e"  —  coC  (  0  4-  5' }  -  cof.  0  cof.  e'  -  fm.  ^  fin.  O' 

quo  valore  fubnituto  fiet 

fimiiique   modo 

Atque  hinc  iam  perfpicuum  elt  ,  pro    binis    rcliquis 
angulis  fore 

fin.^  --Vcot.e'cot.e'^  ct  cof,2;  -+V'7^J'I^^ 

fin.<^'==-Vcct.e'^cot.0    ct  cof^'-+Vi-cot.e"corJ 

fin.^''— -Vcot  ecot.O^  et  cof^^^n-f  Vi-cot^  cor.e^. 

^.  32.  Quod  fi  nunc  iCii  \alorcs  cuoluti  fub- 
fiituantur  loco  angulornm  ^  ,  ^^  ct  <^"  ,  formulac 
pro  noucm  litttris  F,  G,  H,  f ',  G^,  H' etc.  fnpra  in- 
Tentae  feqiicnti  modo  exprimentur,  poftquam  lcilicet 
breuitatis  gratia  pofnerimus 

cot.  0  —  ;  i  cot.  6'  -  /'  ct  cot.  0''  —  t^' 


/,// 


F  n-v'/'/';  G  =:fiii.->i  Vi-/V^  H  -cof.T)  y-i-iU 
F'  --Vl"l  \    G'  zfin  V  V7T"7  ;  H'  i:cof -V]'  vT^"7 


F"--V//'   ;    G"::fin.V'Vi-//'  ^  H"zcol.V'Vi-^^'. 

f    33    Verum  etiamfi  hos    valorcs    in    acqua- 
■  tione  §.   2  2.  iublUtuamu?,  iiuUo  lamen  iiiodo  pcrfpi- 

citur  4f 


CORPORVM  RIGIDORVM.  207 

citur  ,  quomodo  fingula  eius  membra  fe  mutuo  de- 
ftruere  que.inc.  (^unmobrem  necefTc  erit  ,  infuper" 
eius  conditionis  rationem  iiabcre,  quod  fit  $-f5'-|-0''-o; 
vnde  intcr  littems  t,  t' ,  i"  i(h  rehuio  nafcitur  ,  vt 
fit  tt' -^-tW-^rtt^'  —i  ,  fiue  vt  fumma  produdlo- 
rum  ex  binis  vnicite  acquatur.  Praetcrea  vcro 
etiam  ad  eam  conditonem  eft  attcndenda  ,  qua  erat 
V  =  "^^  —  ^^'  ^^  ^"  —  '0  -i-  ^' ■>  atque  Iiis  conditioni- 
bus  rite  obferuatis  et  per  calculum  euolutis  nullum 
dubium  fupereffo  potcft,quin  ifta  aequatio  adiniplea- 
tur.  At  vero  ncmo  facile  ftupendum  hunc  laborem 
in  fe  fu;i:ipere  volet ;  quamobrem  egregia  ifta  pro- 
prietas  omnium  corporum  rigidorum  multo  magis- 
ardua  eft  cenfcnda  ,  et  Gcometris  pulcherrimam  oc 
cafionem  praebere  potcft  ,,  vires  fua&  iii  ifta  proprie--^- 
tate  penitufe  enucleanda  cxercendL. 


NOVA 


NOVA  METHODVS 

M     O     1     V      M 

COR  POR V  M 

R    I    G    I    D    O    R    V    M 

DETERMINANDl. 

Aucfiorc 
t.     E  V  L  E  R  O. 

§.     I. 

Qiianqiiam  in  traclatu  mco  de  motu  corporum  ri- 
gidorum  ifam  Theoriam  fatis  fclici  fiicccflu 
cxpediiii  :  tamen  fitcri  cogor  ,  folutioncs  quas  dcdi 
non  folum  nimis  cffe  intricatas  ,  fcd  ctiam  applica- 
tionem  ad  quosuis  ca(us  particularcs  niaxinie  cffe 
inoledam  et  plurimis  difficultatibus  implicatam.  Poft- 
quam  enim  motum  ccntri  grauitatis  determinafllni  , 
cjuod  quidcm  nulla  laLorabat  difficultatc  ,  ad  quojuis 
tempus  tam  pofitioiicm  axis  gyrationis  quam  ccleri- 
tatcm  difiairi  opart.biU  ;  dcinde  vcro  imprimis  fitum 
ternorum  axium  principaium  nffignarc  ncceffc  crat  , 
ad  quod  ingcns  nnihitudo  quantit.itum  variabiliuui 
in  calculum  introduci  dcbcbat. 

Haec  tanta  incommoda  etiam  fagaciffimus 
Gcometra  la  Gnwge  animaducrtifle  videtur  ,  duiii 
hoc  argumentum  in  Commentariis  Academiae  Bo- 
lufiicae  pro  Anno   1773    aha    mcthodo    tracTiJndum 

fufcc;':t  , 


DE  MOTV  CORPORVM  RIGIDORVM.  209 

fiifcepit  ;  cuius  quidcm  profundiflur.as  mcditationes 
maxima  cum  auiditate  perluflrarc  lum  conatus,  verun- 
tamen  a  me  impeirare  non  potui,  vt  omncs  eius  calculos 
penetrarcm.  Statim  enim  primum  Lemma  ita  me  de- 
tcrruit ,  vt  ob  dcfcdum  oculorum  nuUo  modo  fperare 
potuerim  ,  omnia  artificia  anaiytica,  quibus  cd  vfus , 
perfcrutari. 

§.  2.  Cum  autem  nnper ,  dum  partcm  gco- 
metricam  ,  cui  ifla  iiuicfligatio  innititur  ,  accuratius 
cuoluendam  fufcepi,  hanc  iiifignem  proprietatem  dc- 
monllrafTem  ,  quoJ  ,  quomodocunque  corpus  rigidum 
€X  flatu  initiali  in  aiium  quemcunque  flatum  fuerit 
translatum  ,  in  co  ftmper  talis  sxis  afligHari  pofllt , 
cuius  dircd:io  in  vtroque  flatu  maneu  inuariata:  haec 
pulchcrrima  propriLtas  mihi  flatim  vifa  efl,  eximium 
fubfldium  fuppeditare  ,  vndc  omnia  ,  quae  ad  mo- 
tum  huiusmodi  corporum  pcrtincnt  ,  multo  facilius 
et  fine  tanta  firragine  tot  quantitatum  variabilium 
definiri  ponfcnt.  Foflquam  enim  motus  centri  gra- 
"vitatis  fuerit  definitus,  in  flatu  in;tiali  ille  quaeratur 
axis  ,  qui  in  flatu  translato  etiamnutic  candcm  fcr- 
vat  dircdionem  ;  tum  vero  quaeratur  angulus  ,  quo 
corpus  interea  circa  hunc  axem  fuerit  conucrfum. 
Hocque  modo  ad  qnodiiis  tempus  fitus  corporis  per- 
fcde  cognofcetur  ,  ita  vt  tota  inuclli^atio  ad  deter- 
minaticncm  iflius  axis  pro  quouib  tcmpore  cum  an- 
gulo  conucrfionis  reducatur,  quan.obrcm  iftam  idtam 
hic   adcuratius  (um    pcrlecuturus. 

§.  3.  Confidcrcnuis  igitur  corpus  in  flatu  fuo 
initiali  ,  jn  quo  pro  lutiitu  accipiair-ua  punclum 
^.  Tom.XX.NouComm.  Dd  quod- 


Zio  X>  E     M   O  T  V 

quodcunque  ,  .per  quod  ducamus  tcrnos  nxes  fixoa 
intcr  lc  uormahs,  quortim  relped:'.!  iitiis  fin^ulorum 
tlcmcntorum  corporis  more  folito  per  ttrn.is  coor- 
dinrstjs  deliniri  queat.  iljud  quidcm.  puiKftuin  ia 
.traclaiu  meo  in  ipib  centro  grauuatis  corporis  con» 
ilicui  ;  \eruin  uunc  niiiil  referre  obfcruaui  ,  fi  in 
alio  quocunque  loco  conrtituatur.  Deiiide  et.am  ne- 
<:etrc  non  ett ,  vc  .tQini  illi  axcs  lint  rimul  axcs 
jprincipalcs  corporis  ,  fed  perinde  ac  ipfum  illud 
-punclum  pcnitus  arbitrio  relinquunttir.  Id  tantum 
hic  notaflc  iuuabit ,  calculos  icquentes  multo  iore 
fiiciljvues  ct  coiicinniores ,  fi  illud  puntftum  in  ipla 
xentro  incrtiae  r.ccipiatur  fimulquc  tcrni  axes  fuerint 
.'principalcs  ,  pro  ihitu  fcilicct  corponi  initialis.  Tur»; 
vcro  ex.- il!o  pundo  tanquam  centro  corpuri  Sphaera 
circur.iicribi  concipiatur,  cum  iplb  corpore  firmiter 
cohaerenset  cum  iplo  fimul  mobiii?,  cuius  radius  vnita-- 
te  indicetur,  vt  hoc  modo  omncs  .inuciligatioiics  ad  do» 
«flrinam  fphacricam  rcuocari  queant,  quandoquidcm  hoc 
patflo  onines  calculi  multo  farjliui  expediri  poarunr. 
Tab.  IT;  §.   4.    Repracfciitct  igicur    triangu^um    iphacri- 

Fij-  3.  cum  .A.BC  odantcm  fphacrae,  cuius  centro  aalcripta 
inieliiuatur  Httera  1  ,  vnde  redae  edudae  I  A  ,  1  B 
et  IC  referant  tcrnos  ilios  axes  fixos ,  ita  vt  arcus 
AB,  BC,  CA  fint  quadrantes  inter  fe  angulos 
redtos  A,  B,  C  connituentc*.  Tum  vero  ad  fitum 
fingulorum  elemeiitorum  corporis  cognofccndum,  per 
quoduis  corum  duclus  intclligutnr  radius  l,Z,et  ex  futi'- 
<<a:o  2  agantur  terni  arcus  Z  .A,  Z  B,  Z  C,  qui  vocentur 
2  A  —  ^  ,  Z  B  =.>!  ct  Z  C  =::  0  i  tum  enim   fi  di- 

fiantia. 


CORPORVM   RTGIDORVM.  tfiK 

flnntifl  eleTncntl  corporis  Ji  centro  I  drcatnr-  zrj«» 
wrnnc  coor<iiivawe  axibiis    1  A,  I  B,    I  C    pnrallelaQ 

eriint  s  col.  ^  ,  s  col.  y\  ,  s  col.  0  ;  quibns  cri^o  fitui' 
curusc]iic  clcmenti  iu  (latu  inrtiflli  more^  iblito  dettjr» 
minalntur.  &.rap€r  autcm  cx  natuara  inauguU  Spli^c-» 
rici   A  B  C  eric 

cof.  <^'  -h  cof.  -»1'  -4-  cof  d*  —  I  ; 
prtcterea  vcro  ex  iphacricis  notcntar    fequeatcs    5c- 
terminarioncs-  ^ 

coCBAZ-f-J;  cof.ABZ  =  *f  i   cof.BCZz:;' J- 

fm  BAZ  =  -'^  i   fin,ABZ=^^  ;  ;fin.BCZ=g-f 

Porro  Tcro  ent 

cor..AZB=-;f|*3i  cof.B  zc=-;g5i'icof.czA=-5;:|*', 

fio.  A  Z G=H^^!- ,-  r.n,  B ZC=+^,.-|«.,,-  (!n.  C Z  A-=+,t5;1-, 

$.  5.  His  pro  fiatu  inltiali  dcfiniUs  confidere-: 
nius  flatum  corporis,  in  quo  clapfo  temporc  —  f 
rcperieturj  ac  primo  quidcm  in  qucmcunpue  locum 
ccutrum  I  fucrit  translatum  ,  quandoquidcm  cius 
detcrminatio  nulhi  difficultate  laborat  ,  cius  locus  co- 
gitationc  faltcm  in  pubclum  I  transfcratur ,  (imulque 
ctim  co  totuiD  corpu** ,  motu  (cilicet  fibi  paralklo. 
£t  quoniam  in  fitu  tra-)slato  (^mpcr  datur  talis  ra.'* 
dius  ,  cuius  dircdio  CBdem  eft  atquc  in  (iatu  iuitiali, 
fit  O  in  fupcrlicie  fpbaerica  id  pundum  ,  quad 
tam  iu  liatu  ioitiali  quam  in  transJato  poft  tempus 
t  uuni'em  locum  occupat,  ita  vt  radius  canc^cm 
dirciflioicm  obiincat  pro  vrroquc  corporis  (i.uu,  Pro 
eius  cTgo  fitu  ducantur  ad  angulos  arcus  OA,  OB 
et  OC,  qui  vocentur  OA  — a,  OB::-S  ct  OCrry, 

D  d    2  (^UOS 


s 

coj,  a 


21  £  D  E     M  O  T  V 

quos  ergo  tanqiiam  cert-is  fiindiones  temporis  f 
fpediri  oportet  ,  atque  cx  his  naiicifcemur  fequeiues 
detcrminatioiies  : 

cof  O  A  B  =£;  i  co(.  A  B  O  -  ;i|^  ;  cof.  B  C  O  =r  f; 
fin.  O  A  B  ^fi  i  fin.  A  B  O  :=  ";]  ,    fin.  B  C  O  =:  J„.^ 
Purro  vero  erit 

cofAOB=-^^^-^'-^4-,-  co(:BOC=-^^«^'/-^;  cof.COA=-^f  ^-^ 

jtn.  xjin. )   '  Jm.  sjiiL.  y  '  Jvi.  ajin.  y 

Infupcr  vero  crit  vt  ante 

cof  ct  +  cof.  e'  +  cof.  y'  —  I. 

§.  6.  Sit  iam  <$)  ille  anguliis  »  per  qnem  t<y-' 
tum  corpus  tempoie  ::-"::^circa  radium  1  O  fuer:t  coii- 
verfum,  ita  vt  angulus  (^  etiam  fpedandus  fit  tanquam 
fundio  tcmporis  t  ,  dum  arcus  primnm  introdudli 
<^j  -v^,  0,  tantum  a  vnriabilitate  cuiusque  elcmcnti  cor- 
poris  ad  quod  rcferuntur  penJent.  Puncflum  igitur 
fphaerae,  quod  initio  erat  in  Z,  nunc  elapfo  tem- 
pore  ~t  ita  transl.itum  erit  in  s,  vt  dudis  arcu-' 
bus  OZ  et  Oz  futurus  fit  angulus  Z  O  ;s  —  (J) 
cxKknte  O  c  —  O  Z.  Hinc  ergo  fi  illius  pundii  z 
quaer.intur  diflantiae  ab  anguiis  A  B  C,  c<igno(cctur 
\erus  fitus  in  qucm  radius  corporis  1  Z  a  fitu  ini- 
tiali  elipfo  tempore  —  t  crit  translatus.  Quamobrein 
pro  motu  corporis  perfeclc  cognofccndo  totum  ne- 
gotium  co  rcducitur  ,  vt  pro  quouis  tcmpore  clapfo 
~t  tam  fitus  pundi  O  fiuc  arcus  a,S,Y  quam 
angulus    ZO;i~(P    dctcrmiiicntur  ;    quaiidoqu.idem 

hoc 


CORrORVM  RIGIDORVM.  213 

hoc  moio  ai  quoJuis    tcmpi.is    verus    fitns    fingulo» 
ruin  corporis  elemj.itor  um   iillij;nari   potcrit. 

§.   7.  Cum   igitur  dift.uitiiic  pundi  z  abangu-  Tab.II. 
lis  A  B  C  ante  omnia    debeant    indngari  ,    inutUige-  Fig.  4. 
mus  primo  dirtantiam  A  z  ;    quod  quo  facilius    fieri 
poflit  ,    in  figura   nullas    alias    lincas    repraeCentomus 
praeter  e:s,  quae  ad  hunc    (copum     refcruntur.      Ac 
primo  quidem    quaeri    debcbit     quantitas    arcus    O  2 
ex  triangulo   OaZ,   in   quo   liabentur   arrus   OA— ct 
et    arcui     2  A  —  <^.      Praeterea   vero  definiri     pote- 
rimus  angulum  O  A  2  ex  angulis    BAO  et  BaZ, 
cum  fit  OAZzrBAO— BaZ   ideoque 
fin.OAZ  =  an.BAOcoCBAZ-cor.BAOliii.B  A2 

jhi.xjin.i, 

cofOAZ  =  cor.BAOcor.BA24-fin.  BAOfin.  BA2 

-—  c:/.  g  :o<:.  y)  -f^co/._ 7  ^o"-  S     g  j     t a U  '^   O  i\  Z  —  '^^■^'  "^-^  ^  —  "/■  ^ SSLJ' 
juuaim.C.  '     O'       ■"  co/.  g  co/.  yj -H  co/.  V cjj . ftl 

quibus  notatis  per  fphaerica  fiet 

cof. O  Z  zr  cof  a  co(.  ^  -H  cof  §cof  7]  -+-  cof.  y  cof  0   et 
tan  '-^.  A  O  Z  rr "^  c"/-  ^  —  c^/-  e  w/. « 

•^'  Jin.  X-  cof,  i  —  coj.  a  (  coj.  g  cj/.  v)  -+-  cs/.  >  coj.  t  f 

§.   8.  Ponamus  autem  ad   abbreuiandum    angii» 
lum  O  A  Z  =:  A  ,  ita  vt  fit 
fin.  j!^  —  ''''/' v '^^'^  ^  —  "'^- ^  '''>'•  ^  •    cof,  A  —  '^°^'° ""''^ "*"  "^'  "^  '^' ^ 

JiJi.  a;j!.i.^  '  *  JW.ajifi.  ^. 

et  tang.  Arz^^(^-^^:i^-^l''-.\  ; 

•^  coj.  g  C3j .  T)  -f-  eoj.  7  COJ  .-  &  " 

pro  quaefitis  autem  fit    arcus    O  Z  —  2    et  angulus- 
A  O  Z  —  O,  arque  integrale  O  A  Z  erit 

cof.  Z  —  cof.  a  cof  ^  -4-  fin.  a.  fin.  ^  cof»  A  et 

ting.  O  =z  r -/"-H"-^.     .-^  „ 

13  /in.  a  oj.  S  —  cqf.-ajm.  S  coj .  ,v    " 

D  u  a  "«nde 


nf  D  E     M  O  T   V 

\ndc  fi  looo    A    \iilor    inucntos    fcribatur  ,  prodibit:' 
\ti  inm   inucnimu» 

cq(.  "Zzz  cof.  a  coC  ^  -+-  cof  t  cof  vj  -4-  cof.  y  cof.  9-  ct 

tailgi  O  -^:!  .  cq:.yco).y\—.coj.^coj.d 

O'  /tn.  a'  cjj;  ^  —  eaj.  a,  (  co/.  6  coj.  r)  _f_  C3( .  >  coj.  >  )   * 

§.  p.  H;s  iam  inucTitis  aggrediamur  trianga- 
liim  rphaericum  A  O  ~ ,  in  quo  cot;nofcimus  bin»' 
latera  OAma  et  Os—  Z,  vna  cum  angulo  in-' 
terccpto  A0~  — O-t-Cp,  vnde  col!i>iimus 
coC  A  z  —  cof.  a  cof.  Z  -+-  fin,  a  fin.  2  cof.  (O  -h  Cp) 
quae  ej;Jo  eKpreflio  reducitur  ad  hnnc  : 
COC  A  5  ^  cof  a  coC  Z  -h  fin.  a  fin.  Z  cof.  O  cof,  (^ 

—  fin.  A  fin.  Z  fm.O  fin.  i 
wbi  iam.  dcfiniuimus  cof.  Z.  \crum  tarh  fin.  Z 
quam  iin.O  et  cof.  O  non  li.ibcntur  cuoluti ;  ncque 
vcro  conducit  hns  quaa.titates  immcdiiite  ex.  inventis 
dcriuarc  ,  quoniam  perueiiircmus  ad  figna  radicalia, 
quac,  vtrum  pofitiue  ail  negatiue  capi  debdani  inccr- 
tum  jivanGrct;  Quamobrcm  hanc  ciioluiioiiehl  fe- 
qucnti   moJo  inftitui  conucuiet. 

§.   lo.  Ex  txiau^ulo  A  O  Z   flatim   dedivcimus 
hanc   proportionem  : 

fin.  A  :  fin.  Z  —  fin.'0  :  fin.  ^  ,  vnde    coUi^itur 
fin,  O  ir'^-'^"-^  ,  qui  diuilus  pcr  tanjj.  O  praebct 

COf.  O  Jt"-  a  cof-  i  —  co/.  g  f/n.  j  tvt  \ 

jm.Z 

Ex  quibus  ergo  formUlis  fpontc  fe  prodnnt  illaelpfae 
fbrmulae  ,  quibus  indigcOiUS  :  (lilicct  ftn  Z  lin.  O  ct 
fin.  Z  cof.  O  j  quarc  ,  fi   p ro  coU  Z   inuci.tum    valo- 

rcm 


CORPORVM  R1G-^TX)RVM.  «15 

Tfm  Tirt)fiitnam««,  perueniemns  iid  ift;im  cxprcflTiOncrrj; 
col.  A  a  — ■  coC-^' co(.  .^-f- fin.  a  eof.  ei  (i  IV  ^  cof  A 

-j- fin.  a' cof.  (p  co(.  i^,  —  fiti.  acuf.  a  cor.Cj^rui.^coCi. 

—  fm. a,,fin.(P  fin.  ^  fin.  A. 

Elifo  it^itur  nngulo  A  ifta  exprclTio    fcquentem    iii~ 
duet  formam  v 
corAsncora^cor.^^+cor.acor&ror-vjH-cofacorYCof.S- 

4-fin.a'cor.(pco(:<^-coracor.4)cor.gcoi;>i-coIacor.(pCorYCO^"^ 

-rin.Cpcof.YCof.-vi-lfin.CpcoCeccf.S-,. 

§.  II,  lfi;i  exprefllo  co  magis  e(l  notatu  digna, 
quod  non  folum  nullis  inquinata  fit  fradionibus,  fed 
cti.ini  in  fingulis  terminis  tantum  occnrrant  cofinii^ 
trium  angu'.orum  ^,  -vi  et  3-  finibus  penitus  exclii- 
fis.  Hanc  ob  caufllim  fingulos  hos  terminos  fecun- 
dum  irtoS'  tenioS'  cofiuus  ordinemus ,  ficquc  impetra^ 
bimus- fcquentem  formam-: 

cof  A  s  —  cof.  <^(cof  a" -Hfin.  d* cof  Cj^+cof  ^ifcor  a cof.lp 
—  cof  acof  fScofCl)  -cof  y  fin.CP)r4-cof.3:(cofacof.'y' 
— cof.acof.  Ycol.  (|)4-cof  {3  fin.  (p) 

•irbi  meminifie  iuuabit  ,  angulos  i^,  Vi,  'B-  tantum  ad 
fitum    initialem    fpecflire,    iisque    locum    cuiu^libec 

-clementi  corporis  definiri  ,  neque  igitur  a  tempo- 
re  pen.ere  ;  dum  contra  reliqui  anguli  a,  p,  Yj  ^ 
limt.  fundiones.  ipfius  temporis  *  .lantum.. 

'$.  12.  Fa(^a  hac  euolutione  pro  arcu  Az 
fupcrfluum  plane  foret  ,  fi  fimilem  inueftig.Ttionem 
pro  duobus  rdiquis  arcubus  B  5  et  C  e  -inl^itDcrc 
■ftUemus.  Cum  cnim  tria  puncfta  A,B,  C  fint  inte* 

r« 


ii.i6 


D  E     M  O  T  V 


fc  pcrnnitabil-ia  ,  tnntiim  opus  erit ,  \t  tnm  anguU 
^,  -y),  S-,  quaiii  a,  (3,  y  (ccundum  ordincm  promo- 
vcnntur ,  dum  interea  nngulus  Cj)  idcm  conferua- 
tiir,  IIoc  igitur  modo  rcpcricmus  fcqucntcs  expres- 
fioncs 

cor.Bsrzcof.  v)(cof.(3M  nn.p'cof.(J^)-hco(3rcor|3cor.Y. 

—  co(.j3co(.YCol.Cp  — co(,afin.4);-i  cu(.^(coi.pco(,ct 

—  cof.  pcof.  a  cof  Cp-f-  co{.yC\t),(p) 

cof.  Cs^cof.  3-  (cof.  y'4  fin.  y'  C(i(.  Cp)-fcor  <^(cor'y  cof  a 

—  cof.  Y  cof.  a  cof>  (f)  —  co(.  (3  fi  n .  <$>; 4-  cof.  •>)  ,cof.Y  coi.^ 
— cof.  V  cof  p  cof.  C|)-h  cof.  a  fin.  Cp), 

§.    1 3.  Statunmiis  nunc    brcuitatis    gratia    pro 
fitii  trnnblato  pundi   Z 

-  ex  qnoriim  \nloribns  coordinatne  pro  ifto  pundo  dcin- 
ceps  formabuntur,  Cofinus  cri^o  horum  trium  ar- 
cuum  hic  iundlim   aipedui  cxponnmus 

cor.^'z:cor^(cofa'-ifin.a'cof.CpH-cof.Vcof.aco(.p(i— cof.Cp)— cofYfin.Cp) 
-i-cofS-(cof.acol.Y(i— cof.CpJH-col  pfin.Cp) 

co(:V=coI.>]^cof.p'-frin]3'co(.C|:'H-coi.3(col.pco(.Y(i  — cof.Cp)— cor.afin.(I)) 
-f-cof  ^(coCacc  f  p(i  -co(,Cf:)-hcofYfin.CD} 

cof.S'-cofS-(c()i;Y'-|-fin.Y\ofCl)>4co(.^(cn(acoi.Y(i-cof,Cp)-cof:|3fin.Cp) 
•  co(.  '0  (cof  p  col.y  ( I  —  cof  (p)  -\-  cof  a  fin.  Cp). 

§.  14.  Opcrnc  prefium  Ivc  erit  nonnnllos  fi- 
tue  principnks  puntfti  Z  contcmplnri.  Sumamus 
igitur  primo  pUKftum  Z  in  ip(o  purdo  A,  ita  vt 
fit  <^no  ct  71  -  :&  — 5)0°i  vnde  pro  fitu  pundis 

Ciit 

cof 


CORPORVM  RIGinORVM.  £17 

cof.^'rrcor.a'-f-fin.ft'cor.4)— i-fin-a'(i-  co(  (^) 

col.V  =  cor.acof.pCi-cor.Cp^H-cof.  vf'"-^ 
co(.S'i::cof  acor.Y(i-cor.Ct))  -  cof  pfin.O 

Simili  mo.lo  fi  pun<ftiim  Z  capinriir  iii  puntfto  B  , 
ita  vt  fit  ^—3- -90°  et  -viro,  tum  erit  pro  fitu 
pundi  z 

cof.  ^'  —  cof.  «  cof.  p  (i  -  cof.  (^]  -  cof.  y  fip.  0 
cof  V  -  co(. (3'-i-fin. (3'cor.  (J) n  i  -  fin.  (i\i  -coI.Cp) 
cof  3-' —  co(.  pco!.  y  ( i  -co(.  (p)--hcof  a  fin.Cj). 
Sin  aarem  deniquc   pnndlum   Z  capi.itiir  in   pvncSoC 
tum   locus    pundi   z   ita  dctcrminabitur  ,   vt  fit 
cof.  ^'  r^  cof  a  cof  7(1  -  coL  0)  H^  cof  (3  fin.  Cp 
cof,  >)'—  cn(.  (3  ca(.  Y  (i  —  co(.  CP)  —  cof.  a  fm.  Cj) 
cof  ^'  =  I  — .fin.  y'  (i  -  co{.  (t:). 

§.  15.  lilae  noucm  formul.ic  ideo  omni  atten- 
tione  lunt  dignie  ,  qupd  tx  iis  formulae  gencrjles 
pro  cof  ^',  cof.  v)',  col.  S'  ex  illis  tn.m  pulchre  com- 
p;-)nn"ntnr.  Minitefinm  enim  cO  ,  f)rmulum  gcnc- 
rtlem  pro  cof.  <^'  compofitam  ((Te  ex  tribi's  f<;imi- 
1'8  fpjci.ilibus  pro  cof.  <^'  moJo  inuenii'=.  Simili  1.  O  o 
formiila  gcneralis  pro  cof.  ">]'  corrpontur  cx  tcrnif 
f)riTiul'S  lpcci<ilibus  eiusdeiri  nominis.  Tandem  ct- 
iim  formula  generalis  coC  3-'  componitur  ex  tcr  :is 
fpecial.bus  pro   eodem  .  angulo. 

§.    16.    iTaec    infignis    proprietas  ,    quac    inter 

tranylarinne?  punclorum    A,   B,  C    ct    alius    cuiusuis 

punefti   Z  inrcrccdit  ,    maxime  cfi  memoratu    digna  ; 

Tom.  XX.Nou.Comm.  Ee  atque 


21$  D  E     M  O  T  V 

atquc  omnino  meretur,  vt  diligentins  perpendatur  ; 
quam  ob  rem  eam  in  fequenti  Theoremate  genera- 
Ilflirro  compkifti  conueniet ,  cuius  vcritas  ex  calcu- 
lis ,  quos  modo  abfoluimuii  (iitis  elucet  ,  dum  alias 
profunuiffimas  indagationes  pofiularet. 

Thcorema. 

§.    17.    Si   rph:icra  circa   ccntrum    fuum    fixum 

Tab.  II.  \'tcunque  de  fini  fno  dcturbctur,  vt  tcrna  eius  pun- 

Fi^-  5.   da    A,  B,  C  in  eius  fupcrficie  quadrantibus  a  fe  in- 

vicem  diftantia  transfcrantur  in   punda   a^  b,  v;  tum 

aliud  pundum   quodcunque  Z  ita  transfcrctur    in    z 

vt  fit 

I.  cof.;s  A  —  cof.  2  A  coC  «  A-l-cof.  2  Bcof.  a  B-f-cof  2C  cof./7C 

II.  cof.^^Bzzcof.ZBcof.  ^B-i-cof  ZCcof  Z^C-l-col.ZAcof.^A 

III.  cof.  ^  C  =  cof  Z  Ccof  f  C-i-cof.  Z  A  cof  c  A  H-cof.ZB  coI.cB. 

§.  18.  Qiioniam  pundla  litttris  maiusculis  et 
minulculis  defignata  inter  le  permntare  licet  ,  ita  vt 
minufculac  pertineant  ad  {\<uuni  initinlem  ,  maiulcu- 
lae  vcro  ad  flntum  muiatum  :  aequationcs  ctiam  lc- 
quentcs  veritati  erunt  con(entancae 

I.  cof,  Z  tf  —  cof  z  a  co(.  A  rt  -f-  co(.  z  b  cof  kb-\-  cof  zcco^.  A  6 

II.  cof  Z^— cof  5;i>co(.B^"i-cof  sr  cof  B^ -f-co<.::£7Co(  ^a 

III.  col.Zt-  — co(.x:ccoi'.Cf-i-cof  sffcofC^i-t-cof 5rZ7C0(. C6. 

Applicatio  horiim  fymptomatnm    ad   coordi- 
natas  Orrhogonales. 

§.  19.  Appliccmus  nunc  omncs  formulas,  quas 
hadcnus  inucnimus,  ad  tcrnas  cooidiuatas,  duxtftioni- 

bus 


CORrORVM  RIGIDORVM.  219 

bu8  fixis  I  A,  I  B,  I  C  pamllclGS.  Ac  primo  qui-  T^th.  II. 
dem  pro  ftatii  initiali  coiifidercmus  elcn;entnm  cor-  '^'  ^' 
poris  quodcunqnc  in  Z,  pro  cnius  loco  ftatuamus 
coordinaias  I  X  —  X,  X  Y  :=  Y  et  Y  2  zz  2  ;  vn- 
dc  {[  diftantia  iflius  pundi  2  a  centro  I  vocetur 
zr  r,  euidcns  eft  ,  fi  iftud  pundum  2  in  eo  fphae- 
rae  radio  accipiatur  ,  qui  ante  pcr  punclum  2  tran- 
fibat ,  fore  X  —  x  cof..^,  Y  z::  s  cof.  y),  Z  —  s  ccf.  3-. 
Hinc  igitur  erit  x'2zXXH-YY-h2  2.  Simili 
modo  pro  radio  illo  10,  cuius  direcflio  in  llatu 
translato  non  mutatur  ,  ternac  coordinatae  inter  fe 
crnnt  vt  cofinus  angulorum  a,  p^  y,  quas  autcm  iii 
fi^ura  exprimere  non  efl  opus. 

§.  20.  lam  clapfo  tempore  rz:  t  ,  quod  per- 
petuo  in  minutis  fecundis  exprimi  affumimus  trans- 
latum  fit  centrum  corporis  I  in  pundura  /  ,  pro 
quo  voccmus  coordinatas  I/zz/,//  — ^,  i g  —  h. 
Punc^tum  autem  ,  quod  ante  fuerat  in  2  nunc  re- 
periatur  in  :: ,  pro  quo  vocemus  coordinatas  I.vrza;, 
xy  —  y^  j  z  —  z^  et  quoniam  iflud  pundtum  z  per- 
inde  fc  liabet  refpcdu  puncli  /,  vt  in  pracccdentibus 
figuris  pundum  2  ad  ccntrum  I,  ita  vt  fit  diflan- 
tia  iz  —  s:  vt  ante  manift-ftum  efl  cffe  debere 
J— /=:Jcor.^',  j'— ^zzxcof  vi',  c  — ^  — j-cof.S-'. 

§.   £1.  Quod  (i   iam     loco    horum    cofinuum  , 
valorcs  fupra  inucntos  fnbrtituamus  ,  ob   sqoL^—X^ 
s  cof  'i^iz:  Y  ,    s  cof.  S-  —  2     nancif:cmur     fequentci, 
valorcs  ; 

E  e   2  x-:-  f 


tso  D  E     M  O  T   V 

:ez=/+X(cora'-l-rin.a'cof.(|))4-Y(cor.rtCor.(3(i-cor0)-cofYrin.0) 
4- Z  (cof.  a  cof.  Y  ( I  -  coi.  0) -i- coi;  p  a  n.  Cp) 

j=g-|-Y  (cof  j3'4-rin.p'cof  (p,4-Zfcof.(3cof.Y(  i-cor(t))-cof.a  fin.0) 
-H  X  (cof.  a cof.  ^ ( I  -  cof. (|))  -|- cof.  y  fin.  (p) 

5;— /^'-t-ZCcof.y^+fin.v^cufCpHXCcofacofY^i-cofCp^-cof.l^fin.Cl); 
4-  Y  (cof  p  cof.  Y  ( 1  -  cof.  Cp)  -i-  cof  a  fin .  Cp). 

^.   22.  Quoniam   autcm   inae    expreniones    ni- 
mis  funt  complicatae,    ponamus  breuiratia  gratia 

X  =  / -+-  F  X  -H  F'  Y  -j-  F"  Z 
j':=^-f-GX-f-G'Y-4-G"Z 
5:=rZ?-|-HX-+-H'Y-i-  H"  Z 
ita  Tt  fit 

F  ■=.  cof.  a'  -h  f.n.  a'  coC  Cp 

G  —  cof.  a  cof.  (3  (i  -  cof  Cp)  -f  ccf.  y  fin.  Cp 

H  —  cof.  a  cof  Y  (^  "  ci»f  0)  —  coi!  (3  fm.  Cj) 


F': 

=:cof 

a. 

cof.  (3(1- 

Cof. 

(p)- 

■■  cuf  Y 

fm.^. 

G' 

=  cof 

^' 

-f-  fm.  p' 

cof. 

0 

H' 

zrcof 

^ 

cof.  Y  ( I  - 

-  cof  (p) 

H-  cof. 

a  fin.  Cp 

F"  —  cof.  a  cof.  Y  (i  -  cof  Cp)  -f  col.  f3  fir.  Cp 
G"=r  cof.  (3  cof  Y  ('  —  cof  Cp)  -  cof  a  fm.  Cp 
H''  —  cof  y'  -H  <»"•  V'  col.  Cj). 
§.   23.  Cum   iam  dillantia    puncli    iz    ctiam- 
niinc  aequalis  efTe  dcbcat  diftantiae  l  Z,  idooque 
{X  -/;  -i-  ( y  -gy  -h  (::  -  h)'  -X'-\-Y'-^Z\ 
calculum   inftituendo  compcrictur  rcucra  f(ue 
FF-|-GGh-HH=:i      FF'H-GG'-hH  H'rro 
F'F'-l-G'G'-i-H'H'=:i     t'F"H-G'G"-f-H'H"-o 
F"F  "-4-G"  G"  4-  H"  H"-  I     F  F"-i-  G  G"  ^  H  H"rr  o. 

Atquc 


CORPOaVM  aiGlDORVM.  221 

Atquc  de  hoc  futis  fufnus  cert',  ctiamfi  calculua  non 
pariim  ticret  molellus. 

Formulae  generales  pro  motii  corporum  ri- 

gidorum  a  viribus  quibuscunque 

follicitaroruin. 

§.  24.  ConfiJcrcaHis  igitur  corpus  qnoJcunqiie 
rigiJum  ,  inquo  pro  lubitu  ccrtum  pur.dum  pro 
centro  1  fucrit  afTumtum,  ct  cuius  ternae  diredioncs 
fixac  1  A,  1  B,  IC  in  fitu  initiali  ,  fe  inuice.m  nor- 
maliter  dccuflcnt  ,  quorum  refpedu  fingulorum 
corporis  elementorum  loca  per  tcrnas  coordinatas 
X,  Y  et  Z  determincntur.  Dcfignctur  autem  eie- 
mentum  corporis  in  puniflo  Z  conftituti  charadlere 
d  M  ita  -vt  littcr.i  M^  denotct  ma(I;im  totius  corpo- 
ris  ;  \bi  ergo  probe  notctur  ,  has  trcs  variabilcs  X, 
Y,  Z  tantum  ad  ftntum  corporis  initialem  pertine* 
re',  neque  vllo  moJo  a  tempore  t  pendere. 

§.  25.  His  igitur  pro  ftatu  initiali  conftitutls  , 
vbi  corpori  motus  quicunque  imprelTus  fuifle  cfl:  conci- 
piendus.  Hunc  in  fincm  ponamus  elapfo  tempore  t  cen- 
trum  corporis  I  perueniflc  in  /',  elemcntum  vero  dM, 
quod  in  pundo  Z  confiJcrauimus  translatum  fuifle  in 
puncflum  z,  cuius  lccus  pcr  coordinatas  x,  j,  z  fu- 
pra  afllgnatas  definiatur  ;  locum  autem  centri  i  per 
coordinatas  /,  g,  h  exhibcri.  Hic  igitur  non  foluni 
tres  quantitates  f.,  g  ,  h  certae  erunt  fundiones  rem- 
poris,  tam  cx  motu  corpori  imprcflTo  quam  ex  viri- 
bus  follicitantibus  dcterminandae  ,  fcd  etiam  littcrae 
F,  G,  H  cum  fuis  dcriuatis  tanquam    tales    funftio- 

E  c  3  nes 


242  D  E     M  O  T  V 

nes  eriint  fpciflandae ;  quandoquidem  per  angulos  «, 
|3,  y  et  (J),  qui  funt  fundioncs  temporis  ,  expri- 
muntur.  Totum  ne^otium  enim  eo  redit ,  vt  tam 
ex  motu  corpori  initio  imprcflb  ,  quam  viribus  (ol- 
licitaniibus  ad  quoduis  tempus  tam  valores  littcra- 
rum  /,  g,  h  quam  nngiilorum  c,  (3,  y  et  CP  eli- 
ciantur  ,  quippe  quibus  inuentis  motus  corporis  pcr- 
fcde  cognofcetur. 

§.  S.6.  Cum  nunc  elementum  corporis  quod- 
curque  in  gcncre  confidiratum  verfetur  in  pundo^, 
cuius  locus  per  dupplicis  gcneris  quantitates  variabi- 
les  exprinutnr,  qiiarum  trcs  X,  Y,  Z  referuntur  ai 
k)cum  Z,  quem  in  (b.tu  initiali  obtinuit :  reliquac 
vero  (unt  tundiones  tcniporis.  Kx  harum  polkrio- 
rum  igitur  varinbilitate  tam  motus  huius  elen.enti 
quam  eius  accckratio  determinari  potcrit  ,  id  t]uod 
commodidnne  fiet ,  fi  eius  niotum  fecundum  tcrnas 
dircc^ioncs  fixus  1  A,  1  B  ct  1  C  refoluamus  ,  vnde 
primo  ternas  ccleritates  eiuidem  elementi  ,  hincque 
porro  etiam  accclcrationcs  fecundum  easdem  dircdio- 
nes  definire  liccbit.  Snmto  igitur  folo  temporc  t 
pro  variabili  ,  frnuilae  (J-^)  ,  (^)  ,  (i^)  dabnnt  il- 
las  ternas  cderitatcs,  diffcrcntinlia  autcm  fccunda 
iiS^),  (— ?),   C~^-)  accdcraticncs. 

§.  27  (^uod  fi  nunc  fmili  modo  omnes  \i- 
ros  ,  quihus  corpus  hoc  tempore  follicitatnr  etiam 
fccundum  iflas  tcrnas  dirciftioiies  relbhuintur  ,  att]-ue 
cx  omnibus  coiiiuncftis  pr>)  dircdionibus  1A,1B,  IC 
\ires  ciiantur  P,  Q  et  R,  pcr    principia    motus  nc- 

ccfle 


CORPORVM  RIGIDORVM. 


«    T  •^ 
-  -  J 


ccfTc  eft  ,  vt  ifl;ie  vircs  fleqiientiir  rnn-^mis  omniiim 
Virium  accelcratricium  ,  quie  cx  omuibus  corporis 
elementis  </ M  iundim  fumtis  nufcuntur.  Scilicct  fi 
g  denotct  aititudinem  laplus  grauium  vno  mmuto 
fecundo  ,  loco  2g  autem  fcribamus  Jitteram  /,  quo- 
iiiam  littera  g  lam  tanquam  funcflio  temporis  iii 
ca'culum  ingrcditur  impetrabinius  trcs  acquationcs 
fequentes; 

/d  M  {"Ap)  =:  i  P 

/^  M  {\\n  =  i  q 

fd  M  (^-L?)  zziK  ' 

\bi  fignum  integrationis  foLis  variabilcs  X,  Y  ct  2 
reipicic  ,  ita  vt  in  liis  intcgiationibus  tempus  t  tan- 
quam  conlbns  fpcdari  dcbcat  ,  etiamli  in  formulis 
differentialibus  id  lolum  pro  Yanabiii  eft  Iidbitum. 
Practerea  vcro  etiam  omnia  mon-enta  virium  acce- 
leratricium  refpcdu  tcrnorum  axium  fixorum  fimnl 
fumta  aequari  (jcbent  momentis  ,  quae  ex  omnibus 
\iribus  foUicitantibus  rcfpeclu  eorui;dem  axium  de- 
ducuntur ;  quairobrem  deligremus  ifb  momenta  , 
qnae  cx  omnibus  viribus  ioUicitantibus  pro  ternis 
axibus  lA,  I  B,  IC  nafcuntur  ,  littcris  S,  T,  V, 
ita  \t  his  quaniitaiibus  per  i  nuuiiplicatis  fumn,ae 
omnium  momentorutn  elsmentarium ,  quas  fuigulae 
Kires  acccleratrices  fuppeditant  aequari  dcbcant. 

§,  28.  Cum  it^itur  elemento  ^M,  qiiod  in 
pundo  z  concipimus  ,  primo  applicata  fit  vs 
=:  ii  M  0~^)  fecundum  diredionem  1  A    agcns  ,    ex 

ea 


ja^.  D  E     M  O  T   V 

ca  nullum  nafcltur  momentum  pro  huc  axe  ;  pio 
axe  autcm  IB  nafcetur  momeiitum  —  z  d  M.  {^-^) 

et  pro  axe  IC  momentum  =r;'^M(j^\  Si- 
mili  modo  ex  vi  acceleratrice  fLCundum  dir.ftionem 
I  B,  quae  c(i  d  M.  (~^)  nafcitur  mome ntum  pro  axe 
l  k~zdM  (~,^;  ,  at  pro  axe  1  C  momentum 
—  a'^M(^/)"  Deniquc  ex  vi  accekratrice  fccun- 
dum  I  C,  quae  cft  ^  M  (y,~)  nafcitiir  rr.omcnium 
pro  axe  I  k  —  ydM[\^)  et  pro  axc  I  B  mcimcn- 
tum  -zzxdM  (—?)'  Hinc  igitur  pio  quolibct  axe 
habemus  bina  momenta  clemcntati;i  ,  qune  in  partcs 
contrarias  vergunt  ;  vnde  pro  axe  1  A  fumma 
omninm   momentorum  elcmentarium   erit 

-^fzdM  C^^>)  -fjdM  i'/^:')  -  i  S. 

Eodem  modo  pro  axe  I  B  obtincbimiis  hanc  acqua- 
tionem: 

fxdMi:^)--fzdM{\';)-=:iJ,_ 

Tertia   vero  aequatio  erit   pio  axc  I  C 
fydM{'-l^)-fzdMi:\^^^)-i\}. 

f  >:().  Htc  ivjirur  raiionc  fcx  nndi  fumusae- 
quationcs  ,  qnas  iiic  coniundim  coi.fpitftni  cx^^o- 
nanius 

].    fdM{\L-)-iY     \\.fzdM(^-^^)-fydMi^-±^)~t'^ 

II.  fd  M  (^^-A^)  -  ;q    V.  fx  ./M  (^,^/)  -/^^M(V?r'^)- /T 

III.  fd  M(iif)-  /  R     M\.fydM{^^^-)  -fzdM{^J-?)^i\2' 

In 


CORPORVM  RIGlDOaVM.  225 

In  quibiis  formulis  integnilibiis  foLic  littcrac  niaiiis- 
culac  X,  Y  ct  Z  pro  \iuiabil.bus  habentur  ,  duni 
contra  in  forniulis  diffcrcntialibus  fohie  quantitates  a 
temporc  t  pendentcs  tanqiiam   variabiles  fpcduntur. 

§.  30.  Vt  nunc  irtas  formulas  rite  cuoluamus, 
pro  ternis  coordiHatis  a*,  j,  z  valorcs  contracflos  §. 
22.  datos  adhibeamus  ,  et  quoniam  in  formulis  dif- 
fcrcntial.bus  quaatitatcs  X,  Y,  2  vt  conftantes  (pc- 
^antur  habcbimus 

l^'  =  ^"A^^  -^  X  (V.f)  -f-  Y  i'^;^)  -1-  2  (115:') 

Facile  autcm  intclligitur  ,  fi  iftos  valores  in  fupe- 
rioribus  (cx  acquationibus  fubflitucre  veilemus  ,  for- 
mas  maxime  diffnfas  efFe  prodituras ,  quas  tameti 
operae  pretium  erit  hic  adhibuiffe. 

§.  31,  Subilituamus  crgo  adu  loco  litterarum 
X,  j,  z  et  formularum  (^) ,  r/^ >)  gt  C^^)  valo- 
res  ante  euolutos,  ct  fex  aequationes  noftrae  fequenti 
modo  exprimentur  : 

_l_  {q^')fZ  d  M 

II.  /qr=(^^^)/iM4-(^^,f)/X^M+(4f  )/Y  d  M 

_f-(V,-^'j/Z^M 

lII.;R-(^^,^)/^M-+-(^-^«)/X^M-f-('^')/Y^M 

^i.'i^-)fZdm 

Tom.XX.Nou.Comm.  Ff  IV. 


125 


DE     MOT  V 


IV.  is-(!^^.^rdm 


^  (  HddG-GdrfH  ^/-j^»  ^  M  -1-  (  H.liijC'*GMi_Hl  ^jy- Y'  ^  M 

;/Z'</M 


/H"  ddG"  —  G"  d  d  H' 


/H'  ■•)  'i  G'   —  C'  d  d  H 


d  *» 


O/X  Y  ^  M  -f-  (Hj:Aic-G^L'iH  )/xY  ^  M 
(H'-'dC"-C"ddH'j  /  Y  2  </  M  H-  (H-o^^c-c^ddH^^yY  2  rf  M 

(HddG"  -C"ddH.  fXZdm-h  (H"idC-CddHN  /X  Z<^M 

V.  ?•  T  -  (/^-f  ^^0/^  M 


dl^ 


(^lddH-Hddf^^J-XdM 

C/ilHl-_H^)/Y  ^  M 


(HiJL-^jiirj/x  d  M 


/Pddb  — bddF'j  f^  ^  ]V1 
/F"ddb  — bddF",  fZd^ 

^  (.LilH  -  H_i£? )/x^ </  M  -j-  (gldAH'-_H',-jdP^,  /  Y ^  ^  M 

/F"ddH-'  — H"ddP".  fZ'  d  M 
.F'  d  d  H  -HddF'^  /-X  Y  ^J'  M 

( FlfLlH'-  H'ddF")  fYZd^l 


.pd^_H^HMlFNyX  Y  (/  M 

,F'd  dH"-H".^dP' ,  /  Y    Z  </  M 
V      '       d  I»  ' 


d  1  = 

/ 

TTP 


^p , , H"-. H"dj.F^^/ X  z^M+c^^^-^^^r^^^i/xz^M 


VI.  z  U  =r  [BiMsr-fJlI)fd  M 

■  ^  (^F  -X^;/X  ^  M  +  (^^3^)  /X  ^  M 
^  (ldi2'':^"FMd_,)/Y  rf  M  +  (c:^-/£i£')/ Y  ^  M 


■^ 


CORPORVM  Rl€lDORViM. 


227 


^  ^ciAZ;^-j^c^y  X2r/M4-(2^|^')/XZr/M. 

§.  32.  In  his  fex  aequatioiiibus  formulae  in- 
tegrales  ,  quae  tantum  ad  Itatum  corporis  initialem 
referuntur  ante  omnia  pcr  totam  cor^-nris  mafliim 
lunt  extendendae  ;  vnde  earum  loco  iii  calculum  in- 
grcdientur  ccrtae  quantitates  conlkntes ,  quas  ex  fi- 
gura  et  indole  cuiusque  corporis  definiri  oportet. 
Veluti  pro  primis  irembris  flatim  prodit /i/M  — M 
vbi  M  maflam  totius  corporis  deuotat.  His  igitur 
conflantibus  loco  formularum  intcgralium  in  noflras 
acquationes  introdudis  ,  aliae  variabiles  non  amplius 
inerunt  ,  nifi  quae  a  folo  tempore  t  pendcnt  :  fem- 
pcr  enim  aflTumi  poteft,  omnes  vires ,  quibus  corpus 
follicitari  jonimus,  ad  quoduis  tempus  cfle  datas. 
Qnoniam  vero  hac  fcx  aequationes  tantopere  funt 
comphcatae  ,  praecipue  fi  loco  litterarum  F,  G,  H  etc. 
fuos  valores  fubflituere  vellemus ,  in  genere  nihil 
praetcrea  hinc  conchiderc  licebit. 

§.  33.  Ratio  autem  ,  cur  iflae  aequationes  tam 
prolixac  euaferunt  manifeflo  in  eo  eft  fita  ,  quod 
tam  pundlum  I  quam  ternos  axes  I  A,  l  B,  IC  in 
flatu  initiah  prorfus  pro  lubitu  afllmifimus.  Si 
enim  pundum  I  in  ipfo  centro   grauitatis    fcu    po- 

F  f  2  tius 


aaS  D£     MOT  V 

tius  inertine   collocamus  ,    ob    naturam    hiiiu«    ccntri 
ftacim   illae  tres   formulae   integrales  euaneCcnnt 

/  X  </  M  =  o,  /  Y  (^  M  =  o,  /Z  ^  ,r.  -  o . 
Si    dcinde     praetcrea     tcrnos    axcs    1  A,  1  ]^,  J  C   in 
ipfis  axibus  corporis  principalibus  coiifliiuanuis,  tum 
etiam    trcs   requeiites  tormulae  integrales  in    nihilum 
abeunt 
/X  Y^M:^  0,/X  Zr/M  -o.fYZdU-o 

quibus   igitur  omnibus  membris  deletis  nolkac  aequa- 
tioncs  iam   mirifice  contrah.ntur. 

§.   34.   Remanebunt  avitem     tantum    iflae    trcs 
formulae  integraks 

/X  X  fl'  M  ,  /Y  Y  r/  M   et  /2  Z  ^  M, 
qucrum  valores  per  totnm  corpus  extenfos,  fi  ponamus 
/XX^/Mz::A,  /YY^AlirrH,  fZ'Ldb\-Q 

fex   noUrac    aequationes    aJ    (equtnies    formas    rcdu- 
centur 
I.  iV-  M  iY^J).    II.  /•  Q_=  M  {\^^).    III.  i  R  =  Al  {^^J' ) 

IV.  ;•  S  =1  M (L±±^^-AAAb)  +  A ^^l±A2-~o±an^ ^ 3 ^^^-_o'^^ 

.      fy  I  H"  d  d  C"  —  C"   d  d  H"  >i 
-H  ^  ( dlT—  J 

V.  i T  =  M  [lAA^-^^ )  +  A  (Ll^^-r_H_lAf j  +  B  (F^^jIh'^- iLliLI' ) 

.  I  .  Q  .F"ddH"  — H'^iidP"\ 

VI   i  U  ~  M  (Liii^-ms]  _|_  A  (^AfL!  -iJ-ilP)  a.  b  /CMdp'—  fm  d  c  \ 

,      /-•    C"  d  d  F"  —  F''  d  d  C"n 
-+-  ^  ^ d  ,»  ^)- 

PIus  autem  hinc  in  gcncrc  pro   \iribus    follicitanti' 
bus  quibuscunque  concludcre  non  licct. 

Appli- 


CORPORVM  RIGIDORVM.  «29 

Applicatio  harnm  Fonmilarum  ad  cafumquo 
coi-pus  nullis  planc  viribus  lullicicarur. 

§.  35.  Conflituto  igitur  punclo  I  in  iplo  cnr- 
poris  centro  grauitiuis,  tern:ie  autem  reclne  I  A,  I  B, 
1  C  fimul  corporis  axes  priucipiiles  rcferant  ,  Jum 
fcilicet  in  ftatu  initiali  vcr(abatur,-  atque  elapfo  tem- 
pore  =t  ob  omncs  vircs  P,  q,  R  et  S,  T,  U 
cuanefcentes   habebimus  pruiio  ilbs   tres  aequationcs: 

I.    MC^^-/)i=:o,    II.    ^l  ('//)- C,   III.  M(^^f/)i:o 
quae   fcmel  integratae  praebcnt 

dt  '       d  t  nf 

ex  quibus  formulis  cognofcitur,  motum  centri  graui- 
tatis  eflTe  acquabilcm,  idLOiue  lili  nequalem  ,  qui  ipfi 
initio  fnerit  imprcffus.  Hinc  autem  porro  integran- 
do  colligitur 

f—  a  t  ,    gzz  b  t     n  h  —  c  t 

flcque  Yia  a  centro  grauitatis  defcripta  erit  linea 
recla   1  /. 

§.  35.   Tres  autem   reliquae  aequationcs  ita  fe 
habebunt 

TV  r^—  A  (HdiG-CJiH)  i  T5  {WidG'-G"dW')  i^  (}l"ddG"~G"JdH") 
IV.  o_A  — 3-,5 -f-r>  ^^y,  -hl.   ^-^5 

V  O  ~  A  fT'''^^— HJdF)    ,    g  iV'ddH'-H'dJV')i     Q  [P"ddH"-.n"ddr") 

VI  O  —  A  t^ddFrt-^diG)    ;    -n  {G'diV'-V'dlG']    i    Q  {C"ddV"-V"JdG"_) 

Vnde  pcr  integrationcm    ftatim  deJucin  us  fcqucntes 

m-A[Hc/G-GdU)\Bi\VaG'-G'dlV)+C{\VUiG''-mn'') 
S3^//rA(F^[I-IWF)  +  E.,FVH'-HWl')+C(P'WH"-K'W") 
€(ft-  A  fic/F-F(,G) -\  BG'c/[ '-FVC;  +  C(G"</F"-i: "^G'') 

t  f  3  vbi 


£30  DE     MOTV 

\bi  conrtantes  5(,  33,  (E  imioliiunt  motum  ,  qui  cor- 
pori  initio  praetcr  motum  centri  grauitatis  fuerit 
imprcfTus. 

§.  37.  Tota  igitur  folutio  perduda  eft  ad  iflas 
tres  acquationes  differentiales  primi  gradus  ,  quae 
cum  praetcr  tempus  t  tantum  concincnt  trcs  var  a- 
bilcs:  rcilicet  angulum  (|)  cum  angulis  a,  §,  y,  qui 
vti  iam  obferuauinius  duobus  tantum  aequiualent , 
quoniam  c(l 

cof  (x  ^-  cof.  S*  4-  cof.  y*  =:  I  , 

vnde  patct  ,  problcma  cffe  dctcrminatum.  Quod  fi 
enim  integrationes  fuccefTcrint  ,  ad  quod  vis  tcmpns 
iftos  angnlos  affigivarc  iicebir.  Cognofcetur  cniir. 
pcr  angulos  a,  S,  y  pofitio  illius  axis  corporis  qui 
pofl  tempus  t  eandem  liabet  diredionem  ,  quam  ini- 
tio  habucrat.  Deinde  vcro  angulus  0  oflendct  , 
quantam  conuerfioncm  totum  corpus  circa  iftum 
axem  I  O  fubicrir,  quemadmodum  in  prima  parte 
fufius  explicauimus. 

§.  38.  Qiio  autcm  facilius  ipfos  hos  angnlos 
in  tres  noftras  aequationes  introduccrc  queamus,  quo- 
niam  omnia  pcr  cofinus  angulorum  a,  S,  y  com- 
moJc  cxprimi   pofTunt ,  flatuamus  brcuitatis    gratia 

cof.  a  —  p  ,  coi;  g  —  (/  et  cof.  y  —r  ^  ita  vt  fit 
pp-\-qq^rr—  i    idcoque 
pdp-\-qdq-\-rdr  —  o, 

Hinc  igitur  fcqucntcs  h.ibcbimus  detcrminationc  pro 
litteris  maiufculis  F,G,  Hctc.  in  nollras  acquationes 
ingredicntibus 


CORPORVM  RlGlDOi^^M.  231 

F  =/)/)( i-cof.4))+cof.Cpi  F'-/'7;i-co(.Cp)-rrin.(p); 

F"-pr(i-col.Ct))4^rin.Cl) 
G=/)^(i-cof.(|))-|-rrin.C|)  i  G' -qq{ i-coi.(p)-\-co{:(P); 

G"-qr{i-'C0i.(p]~piu,.(p 

U  =r/)r(i  -cor4))-<7  ^iii.Cj)  ^  H'=:q)\i-coi'.(P)+p{in.(p  i 

H"— n-(i-col.:l))i-col.(p. 

§.  39-  Videninus  igitur  ,  quomodo  hos  \aio- 
rcs  commodiflime  in  nolhis  ;iec]iiiUion:bus  lubftituere 
quenmusi  .vbi  ft.itim  iiitelli^iriir ,  formuhim  prnniim 
H  d  G  —  G  c/  U  oriri  ex  difFercntiationc  fradlionib  ^ 
omiffi  diuifione  pcr  quadratum  denominatoris.  Cum 
igitur   fit 

C    pq  (t  —  cof.  $1  -Kr/in.  ^ 

H    ~"   pr{>  —  co> $.j  —  <2 /ifu. $ 

diffcrentiationcm   morc  lolito  inflitucndo  prodibit    fe- 
quens  fonna: 

pp{  I  -zo{.(];)\\rdq-qdr)-prrd(p[  i-co{.(p)- qqd<\x\.(p[  i-cof.Cp) 
-pqqdp^ i  coi. (P}-{w\.(^\ijdr-rdqrrrdpi\\\.(^{ i -cof.Cl)) 

qnae  contrahitur   in   liai.c  forn  am  : 

irdq-qdr)[pp{i'Co\.(pr\-^^^-^')-(lpK  i  -/>/))nn.Ct):  i-cof.Cj)) 

— /)(i— p/))^q);i  —  col.  Cp) 

quac  exprcffio  crgo  efl   valor  formulae   UdG'—Gd\\. 
§.   40,   Secund.1  fornuHa  \i'dG'-G'dW,  dt^Ju- 
citur  cx  differentiatione  fraclionis 

C^  —  qq[t  —  cof.  (P)-t-_c°/.  <P 

H'  5  r  ( 1  —  eq;.  (Jj;  -<-  p  jin.  (B 

vnde  oritur  fequens  exprefTio  : 

qq{i- cof.  Cl))'( rdq-qd r)  -  cof  Cj) ' i  -  cof. Cj)) '^«'/H -r^^) 
-(/rr/Cpfm.Cp^-nn  (|)(  i-col.Cl)'  {ipq dq -qqd p') 
+;)ry^uCp^i-cof.Cp,-/)r/Cp-^^;)fin.(I)cul.Cl)      quac 


23  i  DE     MOTV 

quae  reducitur  ad  (equcntem  f)rmam: 

-dp fin.  0(  7?(  I  -cof. (|)) -f  cof  (^  +dq{i  -cof. (J); (r ^^ 
— rcoI.Cp  i+^<7^+2/)^fui  (^'-^i/r^i-col.CpK^^^i-col.cP) 
-fcol.4))-<^C^(^rfin.(p-p^</(i-co(.(I))+p). 

§.  41.  Tertia  denique  formula  Yi"ddQ"-Q" ddVi'[ 
formabitur  ex  frndione 

C^' q  r  [i  —  cpj.  $)  —  -piin,  (J) 

H"  r  r(i  — co/.  (pj  ^^~co/.  cp~ 

Sufficiet  enim  has  tres  formulas  euoluifle  ,   quoniam 
fequentes  per   analogiam    indc    deducerc    licebit  j    at 
difFcrcntiatione  indituta   prodit  ifta  forma  : 
n(  I— cof  ()))'( r^<7  — 9  ^r)—/)rr</ (pco(.Cl)(i— cofCp) 
^prrd(^(\v\.(^'  -^-  {qdr~hrdq)coi:  (p(  i— cofcj)) 
4-7>v/Cpfin.(I)  ol  (p+^r^(i)(ui.(pvi— col(p;— ^/pfin.(pcof(p 
— ;)fl'Cpcol.(p'-/;(/^fin.(I)'+2_prr/rfin,(p^i-coI.(I)) 
-rrd'/)fin.(p(i-col.(p) 
quae  contrahiiur  in  illam 

-r//)fin.(p(rr(i-co(.(p)-Ho(.(p)-f-r^<7(i-cof.Cp,(n-(i-cof.Cp,+cof.(J)) 
+rt'r(i  —col.  (|))(2/)rfin. Cp  —  (/rr-i-^/coI.(p(i  +  rr) 
+</(p(ryrfin.(p-i-/)rr(i  -  col.  (p ) -/; ). 

§,  42.  Subflituantur  nunc  hi  valores  in  ae- 
qnatione  ^[dt,  ac  prodibit  fequcns  acquatio: 
^\dt  —  —Adp[i  -pp)  fi  n.  (p(  I  -coi;(p)+ Ar^y/V^(  i  -cnf  (|))' 
H-  fin.  (Pf-Aqdrippi  i  -  co(.  (p  )^-H  fin.  (|)  )' 
-  A  «'(p^ /) ( I -/)/»;  I  -  coi:  (p)-Bdp  fin.  (p.//./,  I -col  (p) 
+col.(|))  i-B^^(i  -cu[.(Ptrqq-rco[.(p{i+qq)^:ipqC\n.<^) 
-B^^r(i-col.(|))(</^(x-col.(p.+  coi:c|))-B^/(p//rfin.(p 
—//^7;  I  -  cof  (p;-|-/))-G//.' fii).(p  (rr(  I -co(.(pH-cofCp) 
+  C  r  rt'  ^  (  I  -  cof  Cp )  (  r  r  (  I  -  cof  (p  )-f-  cof  (p) 
+C//r(i-co(;cpy2/)rfin  Cp-^rr  +  jco(.CpCi4-rr)) 

+Cr/Cp//rnn.Cpf/;rr(i-cof .)-/)).  .  Ex 


CORPORVM  RIGIDORVM.  233 

Ex  hac  autem  aequatione  binae    reliquae    fbrmaUuQ' 
tur  ,  (i  littcre 

A,B,  C,p,  (/■>  r  promnuentur  primo  in 

B,  C,  A,«7,  r,  p  ,  Iccundo  in 

C,  A,  B,r  p,<f. 

Formj  auteni  illa  etiam    fequenti   moJo  commodius 

exhiberi   potert 

^ift—-{-^ipim.(p(i  -cof  (pX^  pp-  Bq  q  -Cr  t) 
+(fpCi['i  (^:o{  (p(  \-B-C}-A£/piw.(p+rt/q{i-<:ol(pf{A/p 
+  B^^-fCrr)+;-^7cof.Cp(  i-cof.(|))  (  A-  B+C) 
-^  A  r  d  q  (1  -  c(  i'.(p]-}-2Bpq(/qC\n.(p[  i  — cof.Cj)) 
^  q  (i  r{  i  —  cof.  Cj))"(A/>/)-t-B  ^y-f-Crr) 
—  ^^rcof.Cpd-cof.Cl^HA  +  B-Bj-A^rt^rCi-cc  f.Cp) 
-\--iCprfir  fi  11. (p;  I  - coi;  (P]^p(/(di ( r - cof  (p  (A/)/4  B7? 
-i-Crr}-9r^(I)>in.(|),J3-C)-/Y-sP  A+Bi  C)h  Apa(p^o[.(p. 

§    43-    Quia   auteni   in  h\%    aequntionibus    iam 

per   fe    valde  prolixis  variabiles  />,  ^,   r  et    (J)     nimis 

inter  fc   fimt   p. rmixtne  ,    qiuim    vt    redilntio  gcnera- 

lis  (ulcipi    qncat  ,  euolu.inui5   antc  omnia   cafnm,   qiio 

corpus  circa    uxem   fixum     gyruri     pctilli     t]ui     cum 

Comienire   icbcat  cum  axc    fiif.ra  confidLrato   IO,an- 

g  uli   a,  b,  y   idco-iue  ctiain  liiierae  />,   q^  r  pro  con- 

llantibus   luiit    bftb.iuiae  ,   vruic  dcletis   mcinbris,     vjUMC 

d  fFcrentiaha   (ip,t/t],dr  imp*ic,iiTt  ,    tcrnie  acqn^uio- 

ncs  ad   hunc  c*{iifT)   cruiit 

91^//— /)r/C4)(i  -C(>f,(lJ>  {A/j/i  +  .B./f^Or^-^f^a^^^Ji^iB^O) 

-p(/(k>i  A  4  K-l-C  )+.A/  i/(^:..  ,i^ 
^di—qd(P:  I  — cof.  (p  (    pp-^Wff^-Cri ;— /Ar/($)  C^M) 

—  qu  H>  A  -t  B  --f  C  +  By  «•  ^nK.  (p 
Tom.  XX.  No!  C^mtuii.  Gg  ^^/ 


234-  D  E     M  O  T  V 

^dt-zrdpC  I  -cof.Cp  X  ^pp+Bjq^Cn^-pqd^pCi  ;i.(t>(  A-B) 

-rr/(p(A  +  B  +  Cj  +  Cr^Cpcor.(p. 

§.  44..  Cum  i^itur  corpiis  tnli  motu  gyrari 
poflic  ,  fi  axis  gyrationis  incidat  iu  aliquem  axem 
principalem  ,  ponamus  eum  inciderc  in  axem  I  A 
iia  vt  fK  ]5  —  I,  ^  —  o,  et  r  zz  o,  vnde  trcs  noftrae 
aequationcs  cuadcnt 

$1  rt^rriz  A  ^^:t) ; I -caf.Cp) -/^4^ (A +B-f;C)  +  A^$ cof.^J 
fiue 

51  r/  ;  =r  -  r/  CD  (B  -H  C) 

33  r/  f  —  o 

Hinc  igitur  ftatim  patet,  hunc  cafum  vtique  locum 
bab;re  pofTe  ,  fuintis  conrtantibus  ^  ==  o  et  (T  —  o  ; 
tum  vero  ^Cp  — "^^^',  quamobrem  angulus  <$>  tem- 
pori  erit  proportionalis,  feu  motus  erit  vniformis,  vti 
per  fe  elt  manifeftum. 

§.  45.  Porro  vero  etiam    notum   eft ,    corpus 

circa  omnes  axes  libere  gyrari  pofTe  ,  fi  omnia    mo- 

menta  fuerint   aequaliJ  ,  hoc  eft   A  —  B  ~  C  ,  vnde 

hae  produnt  aequationes 

^L:z:-2pd(p;  ^—-zqd^i  ^±=-2rd(p 

Tndc  manifeftum  eft  fore  ^-f-  quantitatem  conftantem, 
ideoque  motum  gyratorium  acquabilem.  Quod  (i 
ergo  ftatuatur  J-?-— a,  hinc  rcperiemus  ipfas    quan- 


d  t 

titatcs  p^  qyVj  erit  enim 

ii  —  _  _a .-,  —  _    55    .j.  —  _     '^ 


quare 


CORFORVM  RTGIDORVM.  235 

qiurc  cum  fit  p  p  -\-  q  q  -{-  rr—i   erit 

ricqiic  omnia  per  ternas  conlbntes  Si,  ^,  (E  funt   de- 
terminata- 

f  4d.  lidem  valores  prodire  debent  ex  tribus 
Bodris  aeqiiationibus,  fi  etiam  quantitates  /),  r/,  r  vt 
variabiles  rpcdaiuiir  ;  pro  cafu  A  —  B  r::  C  j  tum 
autem  aequatio  prima  crit 

—2dri  I  -cof.4))f^-prfin.(J)}~  s/f^/Cp 

quae  ob  pdp-\-qdq-\rrcir~o    reducitur    ad    hanc 
fbrmam  : 

I.  ^^— -  2  fl'/) fin.  Cp4-  2  (1  -  cof  (p)(r  dq  -qdr)-2pd(P 

vnde  duae  rcliquae   per  analogiam  erunt 

II.  -^-  =  -  2  dq  fin.(I)  +  2  (i  -  cof.(|))(p</r-  rdp)-2qd(^ 

III.  ^^^'-^— -  2 ^/r  fin. Cp-f  2(1  -Qo{.(^)[qdp-pdq) -  2rd(^ 

atquc  iam  certi  effe  poflumus,  his  aequationibus  ali- 
ter  (atisficri  non  pofle  nifi  modo  ante  expofito,  quo 
piq,r  fint  quantitates  conrtantes  ,  angulus  vero  (J) 
tempori  proportionalis. 

§.  4.7.  Ad  hoc  onendendum  eliminemus  primo 
elcmentum  d(^  ,  ac  I.  ^  —  W.p   praebet 

fjiAL~^^l_  —  -:^(,n.(^l^qdp-pdq)-^dr{i-Qo(.(^) 

SimiliiT;odo  II.  r  — III.  ^  dat 

©jj j -c^dt  — _  2  fin.Cp^rrt'?-^?^^-' 2 ^/ Ci  -  cof  (t)) 

G  g  a  quibus 


^35  D  E     M  O  T  V 

quibus  adiiuig-i  pateft  haec  combinatio  :  III.  p  —  I.  r 

quae  dat 

Ipdj -±rd±  —  - z  fin. CP (p ^r- r ///;) - 2 ^7 ( I  - cof  (^) 

Atquc  nunc  quidcm  euidens  cft,  his  aequationibus  (a-: 
tisfieri,  llatuendo  quantitates  p,  q^  r  conftantcs,  In- 
terim  tamen  hinc  non  liquet  ,  quod  nulla  alia  fo- 
lutio  locum  habcrc  polht.  Ouam  ob  rem  hinc  ena- 
fcitur  infigne  Problema  analyticum  ,  quomodo  haec 
lolutio  ex  irtis  f  rmulis  deriunri  dcbcat  ,  id  quod 
Gcomctris  imprimis  commcndari  mcretur. 

§.  48.  Ob  has  igitur  difficultates  ,  quae  ia 
cafu  facillimo  ,  •vbi  A  — B  — C,  morjm  ficeirunr,, 
multo  minus  euolutionem  generalem  tcutare  licebit ; 
quare  y  cum  aliunde  certi  fimus  ,  etiam  v\  gencre 
iiiccedere  debcre  ,  quandoquidem  eam  ope  prioris  me* 
thodi  y  qua  olim  (uni  vfus  ad  finem  perducere  con- 
tigit,  nullum  eft  dubium  ,  quin  certa  dentur  artificia 
analytica  nobis  adhuc  incognita  ,  quae  ad  hunc  fco- 
pum  pcrducere  valeant.  Quia  vtro  talia  artificia 
iion  folum  maximam  figacitatem  ,  fed  ctiam  aciem 
oculorum  poftulant  >  hanc  iiiuclligationcm  aliis  re- 
linqucrc  lum  coadus  ,*  quandoquidcm  hoc  argumen- 
tum  (unuiia  attentioue  Gcomctrarum  dignum  cft  iu- 
dicandum. 

§.  49.  FortafTe  etiam  ron  p.irum  ad  felicem 
fucccflum  conferre  poterit  ,  (1,  antequam  U)fo  litte- 
rarum  prin:o  introduiftnrum  F,  G,  H  \aK)res  fuos  (ul>- 
ftituamus  ,  caruni  rclutioncs  muiuas  accuratius    pcr- 

pcn- 


CORPORVM   RIGIDORVM.  237 

pcnd;imu5  :  f()rfitaii  enim  hinc  iam  via  commodior 
felc  o:r-ret  hoc  iiegotuim  conficiendi.  Cum  igitui* 
ill.irum    litteraruin  valores  inuenti  fint  ifti 

Y  =zpp(i~col.(p)  -^coi'(p  ;  ^{~pq(i-coi.(p)-rCiu.(pi 

¥"-pr{i  —  cof.Cpj-i-^fiii.Cl) 

G=:pq{i-<:oi:.(pj'^rCin.(pi  Q-qqii-coi^p^-^-coC.^p:, 

G"~^/r(i-co(.(p)-pfin.(p 

B=pr{i-  (in.(p)-qco(.(^  ,•  H'i-?r(i  -cor.(p]-f-prin.Cl);- 

H" = r /- ( 1  -  coi:  Cp) -i- col  Ct) 

ob  pp-hqq-\-rr)=i  erit  F +  GM- H''— i  +  2Cof.C|). 
Tu.n  ve>)  inter  reliquas  fex  harum  litterarum  binae 
egrcgiae  intcr  fe  conueniunt  ,  vnde  fequuntur  fequen- 
tes  relitiones 

G  +  f  —  2p  q^i  -coC  Cp) 
G  —  V  —  2  r  fin.  (t) 
H  +  F"  13  2/)r(i  -  cof  Cp) 
—  H  4-  F"  —  2  y  fin.  (p) 

H'+G"—  2  ?r(i  -cof.  Cp) 
\M  -Q"  —  2  p  fin.  Cp. 

hiiic   igitur  porro   erit 

GG-F'F'-F"F"-HH  =  H'H'-G''G"-4p^rfin.Cp(i-cof.Cp> 

Pnieterca  vcro  h  nc  eiusmodi  combinationes  formari 
poterunt  ,  in  qaibus  folus  anguhis  Cp  infit  5  cuius^ 
movji   furt 

!£^r^»;,:^.=  ,(,  +  coi.0) 
^V:tS—  =  =  ( .  +  cof.  $;. 

G  g  3  Caete- 


238  D£  MOTV  CORPOaVM  RIGlDOiiVM. 

Caeteriim  hoc  argumentiim  digiiiffimum  vidctiir, 
quod  orani  (Uidio  excolitur  ;  cum  inde  noii  Iblum 
in  Mechanica  ("cd  etiara  in  Analyfi  egregia  incremen- 
ta  expedari  queant. 

§.  50.  Anrequam  hoc  argumcntum  pcnitus 
deferam  fortafle  haud  abs  re  crit  annotafTc  ,  tcrnas 
acquationes  §.  4^,  (atis  commode  ad  duas  reuocari 
poffe ,  dum  variabilis  f,  cuius  diffcrcntiule  taiuum 
ingreditur  penitus  ehminatur,  id  quod  faciliime  ef- 
fici  potcrit  primam  aequationem  per  p  ,  iccundam 
per  q  et  tertiam  per  r  multiplicnndo  ^  tum  euim 
prodibit  fequens  nequatio  fatis  concinna  : 

vnde  flatim  fit 

d  t  —  — i_A  J..$ 

qui  valor  in  duabus  tantum  acquationibus  fubf^itutus 
fnppcditabit  duas  nouas  aequationes,  in  qu  bus  tantum 
tres  variabiles  iufunt  ,  quarum  bina  pcr  tcrtiam  de- 
tcrminari  oporteret :  interim  tamen  nulla  via  patet  , 
quomo'o  hoc  comniode  pracftnri  poflit  ^  praccipue 
hac  ratione  folutio  iila  fimplcx,  quae  iam  a  priori 
conftjt,  prorfus  excluderetur.  Quia  enim  quantitates 
/j,  q,  r  funt  conftantes ,  angulus  vero  Cp  tcmpori 
proportionalis,  neutiquam  ficri  potcfl  ,  vt  i(Ic  nngu- 
lus  per  quantitates  p,  </,  r,  cxprimatur.  Ilanc  igi- 
tur  ob  cauflam  i(\a  inucfljgatio  omnino  dc(crenda 
videtur,  praccipuc  cum  huius  quacflionis  ope  metho- 
di  oHm  vfitatae  iam  complctam  folutioncm  elicue- 
rim  ,  qua  igitur  acquiefcere  dcbcmus. 

THEORE- 


THEOREMATA  NONNVLLA 
GENERALIA 

D  K 

TRANSLATiONE    CORPORVM 
RIGIDORVM. 

Audore 
d,     I.     LEXELL. 

Clum  Illuftr.  Euleru^  de  tranr-ktione  corporum  ri- 
'  gidorum  nuper  agens  ,  elegantiflinnani  hanc  de- 
tcxiffet  proprietatcm  ,  quod  in  quacunque  trani.latiG- 
«e  corporis  rigidi  ,  femper  detur  linea  reda  ,  quaer 
fitum  tcneat  parallelum  ei  ,  quem  in  (latu  initiuli 
habuit  ;  fimulque  oftendifTet  vt  hoc  locum  inueniat, 
cxprtflionem  quandam  Analyiicam  ad  nihilum  redi- 
gi  debcre  ,  quod  tamcn  quomodo  fiat  ,  ob  termino» 
qui  hanc  expreflionem  ingrediuntur  complicatiores  , 
aliis  pcnitius  cnudeanJum  relinquere  eft  coadus  ; 
admonitione  itaque  llluflr.  Viri  incitatus  in  animum 
induxi  ,  vt  demonftrationem  inueftigarem  ,  qua  per- 
fpicue  oftendi  poflet  ,  acquationi  ifli  Analyticae  in 
omni  translatione  corporis  rigidi  fatisfieri  ,  ficque 
etiam  ex  principiis  Analyricis  cgregiam  iftam  \eri- 
tatem  prorfus  extra  dubium  poni  ,  quod  in  fitii 
translato  detur  talis  re(5la  ,    quac    parallelum    teneat 

fituni 


♦  40  I^E   TRANSLaTIOXR 

fifiim  ei  ,  cuem  in  fljtu  inirinli  habuit.  ITum  igi- 
ti)r  hanc  dta.Oilbarioucin  heic  cxplicandam  conflitui, 
e  rc  cilc  ciixi  nonnull^s  quoque  :il,:is  metiitationcs 
ce  trnn>l:.t.one  c(rp<irum  pratmittcrc  ^  [aitini  quia 
iid  idam  tleinoi  f\raLioncm  iiiucnicnc:tm  v;am  inihi 
praeporareiunt ,  tum  tt.am  quoU  inkruire  poterunt, 
aci  ea  vbc-r'us  cdnfirmMvJa  ,  qune  llluiir.  Lukiut  lie 
huc   traubluiicnc  docuit. 

Lemma     i. 

2.  Suwth  m  fnjci/iiie  Jf/rociicir    trihns   lurclh 

A,  B,  C   ouadruiuibus  a  jc  imiia^ii  iijJor.libus  ,  //  bi-' 

Tab.  l]I.  j,,^  quMCWUjue  alia  pivcta    JM,   N    ;n    eadiin     'uUr/icie 

et^"'.  ^    ^fA^^t^  I  ^"^'^  ^^'^^^  f^ »  ?''''■'"  '^^^^  ^^^^  ptificiis  A,  B,  C 
eircubus  cinu.nrum  moxitnoutr,:  iitv.ganmr^  erit: 

cof.  M  N  -co^  A  IVl  co(.  A  N  +  col.  B  ^'\  col.BN -fcolXM  cof.CN. 

Dcmionflratio. 

Corcipiantur  arcus  A  M  ,  A  N  prodii<fli  v«cue 
<3um  circiilo  maxin.o  BC  occurrant  in  P  ct  Q, 
Quum   igitur   fit 

col.AlN-<o(.AI\T.cof.AN4fin.AIVlfin.ANcof.,V^AN, 

Fig    j.  ongiiJ"«  311  Tcm   M  A  N  .fit   \d  —   M  A  C  —  N  A  C, 
vcJ   MAC-+-bAC  \tiumqi!e  hunc  caium     fccrfim 
couficieaibamu^.     Sit   i^iJtur  friv.o 
M  A  'N  =  M  A  C  -  N  A  L  >  tri.tque 
col.  M  A  N  rr  coC  M  AC  cof.  N  AC-f  fin.  A;  AC  fin.  N  AC) 

Jioc  jgiun-  Afllcre  pro  cof.  Al  A  N   luUbiuio ,  ccnlc- 

queniur 


CORPORVM  RIG  DOaVM.  2ji 

quemur 

cof.  M  N  —  cof  A  M  cof.  A  N  -f-  fin.  A  M.  fin.  A  \<l 
(cof.  M  A  C  coi:  N  A  C  +  fiii  M  A  C.  fiii  N  A  C). 

Eft  vero,  fiii. AMcof.MAC— coCMP.cof.PC— cof.MC 
fin.  A  N  cof.  N  AC— coC  NQ.  cof.QC—  cof. NC 
fin  AM.fin.MACz=col.MP.<o(.BP- cofBM 
fin.  AN.  fin.  N AC— co(.  NQ_.col.BQ=  C(  l.BN  Tab.  iir. 

cx  quo  euident(.r  coUigitiir  ,  Fig.  2. 

co(.  M  Nzzcof.  A  M.cof.  A  N+col.BMcof.  BN +co{.CMcof.CN. 

Secunc/o  fi  fit  M  A  N  zz  M  A  C  -f-  N  A  C  erit , 

cor.MAN— cof.MACcof.NAC-fin.MACfin  NAChinc 

cof.  Al  N  —  cof  AM cof.  AN-Km. AM.fin. ANfco(.M  aC. 

cof.  N  AC-fin.  M  A  C  fin.  N  A  Cj, 
tum    vcro  crir 

fin.  A  Al.  cof.  M  A  C  =:  cof  M  P  cof  C  P  —  cof.  C  M 
fin.  A  N  co(.  N  A  C zr: col.  N  Qcof  C  (^—  cof. C  N 
fin.  A  M.  fin.  [\1  A  C  =  co(.  M  Pco(  B  P  ~  cof.  B  .M 
fin  A  N.  fin.  N  A  C^-  cof.  N  Q.cof.  BQz:-cof  BN 

cx  quo  etiam  nunc  fit 

cof.  M N  —  cof  A  M.cof.  A N H-cof.BM  cof  BN-f-cof.CM cofCN. 

Theorema     i. 

3.  Si  f^lhnera  circa  cehtrum  fuum  fixnm  vtcwi- 
que  conuer.atuy  ,  ^ot  puncta  A,  B,  C  quadrantibus  in- 
ter  fe  di/iantia  perueniant  in  pun6ta  a,  b,  c,  tivn  pun- 
6fum  quodcunque  Z  ita  transierctur  in  z,  vt  fit 
cofjzArzco^.ZAcorAfl+cofZBcof.  A^+cofZCcof.A^ 
cof  c  B  -  cof  Z  A  cof  B  a  f  cof  ZB  cof.  Bi+cof  ZC.  co{  hc 
cof  2  C=  cof  Z  A  cof  C<z+col.ZBcnf  CZ^+cof.ZCcof  Cf. 
Tom.XX.Nou.Coinm.  Hh  Demon- 


242  DE  TRANSLATIONE 

Dcmonftratio. 

Quia  (itus  pundi  z  refp^du  pundorum  ^,  b, 
c  idem  ert,  ac  fitus  pundi  2  rclpedu  pundorum  A, 
B,  C,  erit  z  a  ziz  Z  k;  z  b  —  Z  l^;  z  c  ~  Z  Q,  Per 
Lemma  autem   modo  demonflratum  conllat  efle 

cof.s  A=rcnr.Q;«cof  A^r-Hcof.xi^cof.A^-f-cof  crcof  A<; 

cof.  i:  B  rr  col. z  a col.  Ba-\-<o[.zb  col.BZ^-hcof  Cf cof  B^ 

cof.  c;  C  n;  cof.  s  tf  cof  Crf -+-corx:i^  colX^-l-cof  st' cof.C^: 

vnde  fi  pro  za^  zb,  zc   fublbtuantur    Z  A,    Z  B, 

ZC,    prodibunt    aec]ualitates    in    Theoremate  ncftro 

cxpreffie. 

4.  Confimili   quoque  ratione  oftendi  potcfl  cfle  ; 

cof.  Za~ cof  z a cof  a  A  +  cof  zb cof.aB+cof.cf  cof  ^C 
cof.  Z  ^  —  cof.  ^a  cof.  b  A  4-cof.  cZ^cof./^B+cof.tfcof ^C 
COf  Z  £•— COf  CflCOf.  fA+cof  :2^cof.  ^B-l-cofc^coffC 

per  quas  formuhis  pundi  Z  in  flatu    initiali    fitus , 

ad  puncfla  <7,  b,  c   determinatur. 

5.  Si  pundum  z  in  iplum  Z  incidat  ,  ideo- 
que  Z  fit  pundum  quod  port  conuerfionem  fphac 
rae  eundem  tenet  Ctum  ,  ac  in  flatu  initiali  ,  aequa- 
tiones  fupra  in  Theoremate  allat.ie  ,  in  has  transfor- 
mabuntur: 

cof  ZA(cof.Aa— O-fcofZBcofAZi-fcorZCcorAt-zro 
cof  ZAcof.B^4-cof  ZBCcof.BZ^-O+cofZCcofBt-o 
cof.  Z  A  cof  Cd!-f  cof  Z  Bcof.  C^+cof  ZC(cof.Cr-i)rzo. 
Nunc  fi  breuitatis  gratia  ,  loco  harum  aequationum 
fequentes  adhibeantur: 

L  ax-^-^y-^-yz-zio;    U.  aJ x-\-g,' j -+ y' zzzo  ; 
IIL  ft"A'  +  (3V  +  Y'-  — o  vbi 


CORPORVM  RIGIDORVM.  24.5 

vbi  X  —  cof.  A  2 ;  y  =:  cofl  B  Z ;  z  —  cof.  C  2 
a  — cof.Aa— i;  (3~corA^;  y— cof.Af;  a'— cof.B^; 
^'-cof.BZ'-!;  v'=co(:B<r;  a'<-cof.Cai  (3"-cor.C^; 

cx  prima  et  fecunda  inter  fe  comparatis  ,  obtiucmus 

tumque  ex  prima  ct  tertia 

vnde  per  priorem  colligitur 

i  =  0^t^  «  P"  poneriorem  y^^fg^f^Z, 
quibus  valoribus  inter  fe  aequatis  ,  prodit  haec  ae- 
quatio  : 

(a  y'- a' y)  (P  a"  -  a  (3")  =z  (a  y '  -  a"  y)  C(3  a' -  p' a) , 

quae  euolutione  fada  iu  fequentem  contrahitur: 
ap'Y"-aY'(3"-a'|3y'-a^'|3^Y"l-a"Py  +  a'|3"Yz:o. 

Introdii(flis    vero    nunc    pro   a,  p,  y  etc.  valoribus 

quibus  acquaies  fupponebaatur,  acquatio  nofira  fic  ha- 

bebitur  expreffa  ; 

(cofA^-i)(co(.B^-i)(cof.C^-i)-cof.Brcof.C^(cofA«-i) 
—  cof.Bfl  cof.AZ» (cof.CiT- 1)— cof C^cof  Ac\'cof  B^— i) 
■4-  cof  C  a  cof.  A  b  cof  B  f  -f-cof  B  a  cof  A  c  cof  Ci»— o. 

Haec  autem  aequatio  pcrfede  congruit  cum  illa  ex- 
preflione  Analytica  ,  quam  lllunr.  Euknts  in  Difler- 
tatione  de  translatione  corporum  rigidorum  §.  22. 
adfert  ,  modo  obfcructur  quantitates  per  F,  G,  H  etc. 
ibi  cxprcflas,  hcic  ita  indigitari  ,  vt  fit  : 

H  Ii  2  F  =: 


44-4.  OE  TRANSLATIONE 

F— cof.  Ao;  G  ncoCB^;  H  —cof.Ca 
^'—coiAbi  G':=:col.IU;  H'-co(.  C^ 
F^'zzcor.Ar;  G":i:co(.B<;;  H^r.cofCr. 

Quamuis  autem  ex  ipfa  DiflTeriaiifine  m  >do  allata 
haec  identitas  non  perkdie  innotefcat  ,  ii^fri  occafio 
d;ibitur  ortendendi  ,  qund  illa  omnino  iocum  h:ibeat. 
Intcnm  obferuare  iuu;U,  rchniniies  illas  pro  licteris 
F,  G,  H  etc.  ab  llluflr,  Eukro  allatas  in  §.  1 8. 
D  (Tcrtationis  fuae  ,  omnino  locum  habtre  ,  fi  his 
littcris  valores  mox  adignati  tribuantur.     Eft  cnim 

I.  cof  A  a -i-  cof  B  a  -h  cof.C  a  —  i 

II.  cof  A  ^'-4-cof  B  6'-|-cof.C^'=  1 

III.  co(.  A  c'h-  cof  B  c  -\-  cof  C  f '  n  I  , 
tumque  per  Lemma   noftruai    l  : 

IV.  cofAacof  Ai>+cof  B^cofB^  +  cof  CizcofC^^ofai— o 

V.  cof  A  a  cof  A  f + cof  B  <2  cof  B  f  +  col.  C  a  cof  C  f  ~  cof  ac  —  <^ 

VI.  cof.A^cof  Af +cof  B^cof  Bt  +  cofC^cof.C(r  — colJ^f-o. 

6    Qiiod  fi  iam  demonrtrnri   queat  ,     in    omni 
conuerfione  fphaerae  circa  centruiii  fuum  fixum,  ex 
prcflionem   illam 

(i-cof.A^)(i-cof.B^)(i-cofCt)+cofE<rcofC^^i-cofAfl) 
-4-cof  Af  cofC^(i— cnfB^)-f  cof  A^col  B^/(i— cofCf) 
— cof  A  b  co(.  B  f  col.  C <z  —  cof  A  cciA.  C  b co(.  B  a 

ad  nihilum  rcdigi  ;  patcbit  omnino  exiflcrc  in  cius 
fuperficie  aliquod  pundlum  2,  quod  pof\  cnnucrdo- 
nem  in  eodcm  fit  loco  ,  ac  in  (fatu  initiali  rcperie- 
batur.     Vcrum  antequam  hanc  dcmonflrationem    iuf- 

cipia- 


[CORFORVM  RIGIDORVM.  i45 

cipiarriis  ,  operne  pretium  erit  expUcare  ,  quomodo 
formuUic  Thcorematis  nclhi  prinu  ad  exprimenduin 
translationem  pundi  cuiublibct  in  corpore  rigido  ad- 
hibcri  que;int.  Hcic  autcm  obfrruamus,  omnem  tr;ns- 
lationem  corporis  rigidi  duplicis  cflTe  generis  ,  quo- 
rum  prius  eam  compleiflitur  loci  mutationem  ,  qui 
omnes  corporis  particulae  fecundum  dircclioncs  iinii- 
cem  parallelas  feruntur  ,  quae  translatio  alioquiii 
noininc  motus  proi're(liui  vemre  (bltt.  Policrius 
vero  translationis  genus  iii  fe  continet  conueriionem 
corporis  circa  pundum  qunddnm  fixum  ,  vbi  qui- 
dem  perinde  eft,  fiue  hoc  pur.dum  intra  ipfum  cor- 
pus  ,  fou  extra  id  aflunii  concipiatur.  Mentem  igi  p.'  '^^" 
tur  fi  primo  abflraliamus  a  motu  progrefliuo  ,  f)lnm 
coiiucrfioneni  circa  pnndum  fixum  coiifivierantes  , 
conc  pianuis  pundum  ilhid  fixum  eflTe  in  I  et  per 
hoc  piuKflum  duci  cernos  axts  I  A,  1  B,  I  C  inter 
fc  nurnutles  ,  ad  quos  fitus  pundi  cuiuslinet  cor- 
poris  Z  ,  in  flatu  initiali  reteratur  per  tcrnas 
coordinaias  IX,  XY,  YZ,  tum  vero  (uppona- 
mus  coiuiernone  corporis  fada  circa  pundlum  1  , 
pundum  Z  perueniflTe  in  z^  huiusque  fitum  dcter- 
minari  per  coordinatas  I  .v,  x  y,  y  z^  exifiente  di- 
flaiitia  Xzzz.  IZ,  quam  diflantiam  littera  xdcfi^ne- 
irius.  Si  nunc  intell't;atur ,  (phaeram  cum  corpore 
no(\ro  firmiter  effe  conncxam  ,  cuius  centrum  fit  iii 
1  et  (cniidiametcr  aiqualis  ipfi  s^  axes  vero  1  A,  p. 
1  B,  l  C  occi  rrcre  huic  fphacr.ic  in  pundis  A  ,  B,  C,  et  4. 
haccque  pu  cfta  conuerfione  corporis  facla  circu  1  in 
puuda  a,  by  c  ptrueuiflrc;   facile  patct  ani^ulos   Al«, 

H  h  3  B  1  «, 


24<J  DE  TRANSLATIONE 

Blz,  C  I  -  Fig.  5.  refpcAiiic  aequales  efle  arcubus 
AZy  Bz,  C  z  Fig.  4.     Atqui  cft 

J-l  =:  cof.  B  1 2;  =  cof,  Bz;  ff  —  cof  C  I  2;  — cor.C;^; 

j^  =  cof.  A  I  c  z=  cof.  A  2  , 

quare  fi  dicantur, 

I  X  —  X  ;  x}'zz}'-^jz:=zz^  confequemur 
^  —  cof.  Bz;  ^—QoCCz:  ~  z=cof.Az. 

Simili   modo  fiet 

fl  -  cof  B  Z  ;    f  /  -  cof.  C  2  ;  f-l  =  cof.  A  2  , 

vndc  fi  I  X,  X  Y,  Y  2  refpecfliue  exprimantur  per 
litteras  X,  Y,  Z  obtincbimiis : 

^  —  cof.  B  Z  ;  ^  :=:  cof  C  2  :  ^  =r  cof  A  2. 

Hitic  opc  foimularum  Tlieorematis  noftri  primi  , 
fequentes  pro  .v,  j,  z  deducimus  exprefiiones 

zzzZ  cof.  A  a  -f-  X  cof.  A  i>  -+-  Y  cof.  A  c 
x:=zZ  cof  B  a  - )-  X  cof  B  Z^  4-  Y  ccf  B  c 
j  —  Z  cof.  C  ^  4-  X  cof  C  t»  -h  Y  cof  C  c  , 

vnde  patet  modo  coguofcaniur  coordinatae  puncfli  Z 
pro  flaru  initiali  ,  et  translationes  puniftorum  A,  B, 
C  in  puiK^a  a,  b,  f,  etiam  fitum  pundi  2  transla- 
tuni  in  z  ,  facile  dctcrminari  poffc, 

Tab.  III.  7-   ^-"^   ^'   ''^  translatione  corporis,  etiam  mo- 

Fig.  c.  tus  progrcrfiui  rationem  liabere  velimus  ;  concipi.i- 
mus  interea  diim  corpus  conucrtitur  circa  I,  ipfum 
lioc  pun(ftum  peruenifle  in  ;,  ciusque  pundi  fuum 
dcterminari  per  ternas  coordinatas  \f->fg,gh  ^^'^'' 
r£fpc(ftiuo  littcris  /,  g,  h  exprimamus.    Ueiude  pun- 

(flum 


CORPORVM  RIGIDORVM.  2+'/ 

fliim  Z  transliuionc  fa<fla,  iam  in  z  eflo  concipmtur, 
ct  fitus  huius  pundi  z  determinctur  pcr  coordinatas 
Ix',  x'y,  j'  Zi  quas  pcr  littcras  x',  j',  z'  refpcdiue 
defignemus  ,•  quo  fado  leui  attentione  adliibita  pate- 
bit  elfe  in  Fig.  6.  I.v'— I/— I.v  Fisj.  5  ,  finuli 
modo  x'y  —  fg^xy  ^  tiimquc  z  y  -  i  g  —  zy  ,• 
quod  omnino  rigorofa  demonftratione  firmari  pote- 
rit  ,  fi  modo  per  i  dudac  concipiantur  tres  lineae 
i a^  ib^  ic  parallelae  ipfis  I  A,  1  B,  IC;  quas  ta- 
mcn  in  noflra  figura,  nc  nimis  euaderet  complicata, 
non  expreirimus.  Hinc  igitur  colligimus  x'zz.i-\-x-^ 
y  —  g-\-y  i  ^  —  h  -\-  z,  quare  {i  valores  modo  pro 
Xjji  z  inuenti  adbibcantur  ,  has  exprefliones  pro 
x',  y,  z'  confequemur  ; 

x'  =/-+-  X  cof.  B  ^  -H  Y  cof.  B  £•  M-  Z  cof.  B  a 
y  z=  g-h  X  cof.  C  ^  -f-  Y  cof.  C  <r  -4-  Z  cof.  C  ^ 
z'  =:  h-\-  XcoL  Ab-\-Y  cof.  A  ^  -H  Z  cof.  A  a, 

ita  vt  pro  dcterminandis  .v',  j',  c',  translationem  tam 
puntfli  I  per  ordinatas  /,  g,  h  cxpreffam  ,  quam 
conuerfioncm  corporis  circa  pundum  I  per  arcus 
A  <?,  Bi^,  Cc  determinatam  ,  cognofcere  oporteat. 
Formulae  autem  hae  allatae  fi  conferantur  cum  iliis, 
quas  Illudr.  Eitlerus  inuenerat  §.  10.  Diflertationis 
ftepius  commemoratac  ;  nunc  omnino  euidenter  con- 
ftabit ,  litteris  F,  G,  H  etc.  cos  tribuendos  eflc  ra- 
lorcs  ,  quos  ipfis  fupra  alfignauimus.  In  formulis 
vero  his  pro  x',  y,  z'  licet  nouem  occurrant  quan- 
titates  ad  translationes  pundorum  A,  B,  C  fpcdan- 
tes  y    tamen    quum    reliquae   ex  his  tribus  cof.  A  a, 

COfr 


245  DE  TRANSLATIONJE 

col  B^,  cof.  C  <^  ,  vti  mox  videbimus,  detcrmincn- 
tur  i  iitus  pundi  s  pcr  fex  clementa  coordinatas 
fcilicet,  /,  g,  h  et  arciis  A  rf,  B  ^,  C  c;  pcrkde  de- 
terminatus  effc  cenlebitur. 

Problema. 

8.  Pro  quacunque  conuerfione  Jphaerae  circa  cen- 
trum  juutn  jixum ,  tnucmre  pw.Clum  in  eiur  fupetjicicy 
quod  pojl  conuerfionem  in  eodcm  reperiatur  loco^  ac  ([uo 
erat  ante  conuerfmem. 

S  O  1  Ll  t  i  O. 

rpgij   jjj  In    fuperficie    fphacrae    accipiatur    arcus    qui- 

Fig.  7.    cunquc   A  B  ,  qui   per  conuerfionem  Iphacrae   '\n    a  b 

peruenifle  iupponitur  ,     ita  vt   punftum  A  pcrucuc- 

rit    in  a  et    B   in  ^  ,    iungantur  autem    A  c  ,    V>  b 

arcubus  circulorum  maximorum.      Bileccntur  hi  ar- 

cus  A  <7,  B  ^    in  pundis  E  ct   F  ,    atque    ducantur 

arcus  b  Z,  F  Z    normales    ad    A  a,  ?tb  ,    quorum 

inutuus  occurlus  in   Z,  dabit    pundu.n  ,    quod    pull 

conuerfionem  in  codem   rcperitur  loco  ^    ac    in    litii 

initiali    trat.        Qiium     nimirum    fit    A  E  ~  <7  E  , 

ang.  A  E  Z  —  ang.  a  KX  ~  90"  et   E  Z    coirmunis 

triangulis    A  E  Z,  a  E  Z,    fict    A  Z  r^  r/  Z  ;   fimili 

mouo  crit   B  Z  ~  i>  Z.      lam    in  tnangulis    A  Z  B, 

flZZ^^cIlAZ-flZ,  BZ  =  ^Z    tt  khzz  ab  , 

cnt  igitur  ang.  ABZzzaZ^Z    et    BAZ^^^^Z^ 

cx  quo  pntct  pundum  Z  rcfpcdu  arcus  ab   perftde 

cundcm  tcncre  fitum  ,  ac  refpedu  arcus  A  B,  ideo- 

quc 


CORrORVM  RIGIDORVM.       .     249 

que  hoc  piin(rtiim  iii  codcm  efle  loco,  ac  nntc  coii- 
YciTioncm  erat. 

9.    Mirum    fornin    alicui    vidcbitur  ,     quod 
huius  Problematis  refolutionem  adgrefTus  fim  ,  ante- 
quam  demonlbaucrim  fdrmulam   illam  §.   5.  alfatam 
ad  nihilum  redigi  ;  quippe  quum   videatur  hanc  fo- 
lutiontm  nequaquam  in  poteflate  effe  ,  nifi  exprefllo 
ifta  in    omni    conuerfione    fphaerac    locum     habeat. 
At  primum  quidem  obferuandum  cft,  licet  Problema 
ipfum  lolutionem  admitterc  non  queat  ,  nifi   aequa- 
tio   ifta    §.   5.    vera    fit ;    tamcn    ipfam    folutioncm 
Problematis  independenter  ab  hac  acquatione  adornari 
pofTe  ,  tumque  ex  ipfa  indole  folutionis    ficile    per- 
fpici  >  an  fempcr  ct  omni    c^sfu    locum    habeat.     In 
iiodra  quidem   foliuione  ,  nullum    dubium    eil:,  quia 
arcus  EZ  ct  tZ  normales  ad  A  a  et    Bb  fe    in- 
tcrfcccnt  ,  vnico  excepto  cafu  ,  quo  coincidunt;  tum 
\ero  arcus  illc  P^  Z  F   tranfibit  per  puncTtum  in  quo 
arcus  ABt  ab  fe  interfccant  ,  immo  iftud   pundlum 
intcrfedionis  iam   cum   pundlo  Z  coincidet ;  dubitare 
igitur  non  licet  ,    quin     Prol  lema     nollrum    fempcr 
\eram  et  realcm  admittat    folutionem.       Deinde    ca 
quidem  de  cauflli  praeprimis  hanc    folutionem     heic 
adornandam    cenlui  ,    vt    rrodurn    mihi   patefaceret , 
quo  ex  datis  arcubus  A  a,  B  b,  C  <;  dctcrminationcm 
pundi  Z  fufcipcrem  ,    quac  inucftigatio  mihi  infer-  Tab.  irr. 
virct  ad  detcgendas  relationes,  quae  inter  arcus  A  ^,  ^'S-  3- 
Bb,Cc    et    Ab,  Ac,  Ba,  Bc,  Ca,  Cb    inter- 
ccdunt. 

Tom.XX.Nou.Comm,  11  10, 


«50  DE  TRANSLATIONE 

lO.  Vt  nunc  intelligatur,  quoinodo  pundum  Z 

per  arcus  A  a,  B  ^,  Cc  determinctur  ,    fupponamus 

hos  arcus    bifecari  pcr    arcus    E  Z,  F  Z,  GZ    ipfis 

refpediue  norniales  ,    qui  arcus    EZ,  F  Z,  GZ    iu 

eodena   pundo  Z  concurrent ;  tum   vero   erit- 

fin.  A  Z'  fin. i  A  Zc  r  fin.  1 A «%  fin.  BZ\  fin.  \BZb'- fin. ', B b'  ec 

fin.CZ'.rin.-;CZ^'— fin.iCr',  ideoque  ob  AZa=BZ^z:CZo 

fin.iAZ«'(fin.AZ'+fin.BZ'+fin.CZ>fin.iA«+fin.lB^'+fin^C<r\ 

Hinc  vero  dedncitur 

fin.iAZtf'(3-cof.AZ'-co[.BZ-cof.CZ')rfin.,^A«' 

-+-fin.iBi»'-f-fin.jC<;\ 
quae  ob 

cof  A  Z'  -h  cof.  B  Z'  H-  cof.  C  Z'  —  i  ,, 
in  fequentem   abit  acquiuionein  : 

2  fin.  ',AZa  =:  fin.  ^  A  o'  +  fin.  lBb'  +  fin.  ■  C  f\ 
Cuius  loco  etiam  haec  adhibcri   potcft, 

2  cof.  A  Z  rt  =  cof.  A  a  ~\-  cof.  B  b -\-  cof.C  c  —  i. 
Deindc  vero  coiligitur. 

,  _    fin.iAc^ gfin-]A  o]_ 

fin.AZ.__^^^  ,^2:«^-fin.'Afl=+.fin."B6>fin.iC<rS 

2  fin.  ■  B  ^' 
fin.  B  Z-  =  fio.  i  A  tf^  -^-  fin.  ^  B  ^^  -f-  fin.  |  C7  ' 

2  fin.  i  C  f' 
^"-  C  ^'  =  ftirTATV  fin.  ^  B  ^'  -i-  fin.  '  C7' 
tumque  omnino    fpontc  ifta  conditio  impletur^  vt  fit 
fin.  A  Z=  -I-  fin.  B  Z'  -H  fin.  C  Z'  =  2. 

ExprefiTioues  vero  hae  fequenti  quoque  ratione  tr.ins- 
foraiari  poterunt :  quum  fit  a  fin. 


CORPORVM  RIGIDORVM.  251 
Sjln. :  A  a            

afin.  AZ'—  I  — cof.  2  A  Z;  2  fin.  ^  Aa'— i  —cof  A<«  ; 
2fin.  ■  B^'=:  I  -cofB/>;  2  fin. ^  CV z^  i  -  cof  Cc, 
confequimur 

I  -cof  2  A  Z  n: ^  c  -  co/^v^ hincque 

I  — co/.  A  a  —  C3/.B&  —  coj.Cc    >    »""«-4"^' 
COf  -^  A  Z  —  ^  '^"f-  -^  ^  —  co/.  B  6  —  coj.  C  c  —2 
—    ^ — co/.Aa  —  coj.  B  6 — co/.  Cc    3 

■fimilique  modo 

cnf  o  'R7'—  '^'^JBy^cof^jVa^-roOC^--^  .  -^r  „  r-V  —  3W/^C£- cofAc-co/te-i 
tui.  2 Hi. —  ^ _  ^gj_  ^  ^  _  ^,^^_  g^  _  ^,gy  ^^  ,     w  .  - \-      _.^_ „j^^^_ C0J.B6-  co/.Cc 

ideoque 
cof..AZ+cor.=BZ-Kor..CZz::»^,*M±*££rj|=-i, 

omnino  \ti   cfle"  oportet. 

II.  Vt  vcro  iam  quoqiic  p.iteat  ,  qua  ratione 
arcus  ,  Ad),  Af,  B<2;,  Bf,  Ca^Cb  per  Aa,  B^,  Cf 
determinenrur  ;  priinum  hos  arcus  ,  per  ipfbs  A  Z, 
B  Z,  C  Z  et  angulum  A  Z  a  dctcrminemus.  Con- 
fiJt  autem  e(fc 

cof  A  a  —  cof  A  Z^  -h  fin.  A  Z^  cof  A  Z  a 
cof  B  ^  rz  cof  B  Z'  -i-  fin.  B  Z'  cof.  B  Z  ^ 
cof.  C  c  =  cof  C  Z'  -i-  fm,  C  Z'  cof.  C  Z  f. 
Porro  eft  TP_^b  „1^ 

cof,  A^  — cof.  AZcof.  ^ZH-fm.  AZfm.^Zcof  A  Z^,  Fig,  4, 
vnde  ob  bZ^BZ  et  angulum   A  Z/l?- A  ZB-B  Z^, 
colli^imus 

cofA^=cor.AZcof.BZ-i-fin.AZfin.BZ(cofAZBcofBZ^ 

+fin.AZB,iin.BZ^). 

.  li  2  Eft 


25  2  DE  TRANSLATIONE 

Ell  vcro 

Tab.  III.       cof.  A  Z  B  =r  -  cot.  A  Z.  cot.  B  Z  , 

■^'o-  ^"     ex  priiicipiis   Sphaericoruin  ,  hinc 

fin.  A  Z.  fiii.  B  Z  cof.  A  Z  B  n  -  cof.  A  Z  cof.  B  Z. 
Porro  habetur  quoque  ^in.  A  Z  B  "  ^^_-'^°^'.J— ^ ,  id 
quod  fcquenrem  in  modum  demonftratur.  Produca- 
tur  arcus  B  Z,  vsque  dum  circulo  maximo  AC  in 
R  occurrat ,  eritque 
fm.AZ.fia.AZB=fin.AR  =  cor.CRzi:^?^--^^=z;f-" 

Hinc  itaque  colligitur 

fin.  A  Z.  fin.  B  Z.  fin.  A  Z  B  =  cof.  C  Z. 
SubQitutis  vero  his  valoribus,  prodit : 
cof.  A ^-cof.  A  ZcofBZd -  col.B Z^)-l  cof.CZ  fin  BZ6. 
Simiii   modo,  ob 

cof.Ba  =  cor.BZcof.«Z-f  fin.BZnn.flZcof.BZ^, 
quum  fit  <2Z— AZ  ct  BZ(7  :z:BZ  A-[-AZ(2,  col- 
ligitur 

cofBfl:!  cof.cz  cof.AZ-ffin.EZrin.AZ(cofAZBcofAZ« 

-fin.AZB.fin.AZrt), 

quae  ob 

fin.BZfin.AZcof.AZB  — -cof  AZcofBZ  ct 
fin.  B  Z  fin.  A  Z  fin.  A  Z  B  =  cof  C  Z, 
reducitur  ad  hanc 

cof  B a-zoi.  A  Z cof. B Z( I  -  cof.  A  Za) - cof.CZ  fin.  A iLa, 
Simili  modo  has  confcqucmur  expreffiones : 
cof.Af~cof  AZcof:CZ(i-cof;CZO-col.BZ.fin.CZc 
cof.  Ca  —  cof.  A  Z.  cof  C  Zf  i  - cof.  CZt)  f  cof  BZ.  fi n .  C  Tj: 
cof.Bt-  =  cofBZcof.CZ(i-cofBZ^)-Hcof  AZ  fm.BZ^ 
coi:C^z::cof.BZcofCZ^i-cof.BZ^)-cofAZfin.BZ^, 

vbi 


CORPORVAl  RIGIDORVM.  253 

\bi  anguH   A7.a,  B  2  ^,  CTc  qiiia   inter  fe  aeqiu- 

les,  promiicue  adhiberi   pcfliiiir.     Porro  binas  harum 

forniularum  intcr  fe  conibiuando  obtincbimus  : 

cof.  A ^ -i-  cof.  B  ^  =r  2  cof.  A  2  cof  B 2 ( I  —  cof  A 2 a); 

cof.  Ab  —  cof.  B  fl  =  2  cof. C  2  fin.  A  2 « 

cof.A^-+cof.Cflz=:2Cof.A2cof.C2(i-cof.A2^)^ 

cof  C«-cnf  A  c—  2  cof.  B2  fin.  A  Za 

cor.B^-l-cof.;CZ;3=2co(.E2cor.C2(i-coCA2tf)  ; 

cof. B r—  cof  Qb—z  cof  A  2.  fin.  A  2 ^. 

Dcnique    esrcgia     illa    hinc     coUigitur     proprictas  , 
quod  fit 

cof.  A^'— cof.  Ba^  cof  B/—  cof  Qf'—  cof  Qa—  cof  A^* 
—4. cof.  A2. cof» B2cof  C2  fin.  A2(/(i  —  cof  A2fl) , 
fiue 
cof.2A^-cof  2B<x=cof2Bt-con2Ci'— cof.iCa-cof  2Ac, 

12.  Si  in  \aIoribus  fupra  pro  cof  A^,. 
cof  B  ^,  cof  A  f,  cof  C  (7,  cof.  B  ^,  cof  C  Z^  inuentis, 
lcco  cof  A2,  cof  B2,  cof  C2,  cof  A2a  et  fin.A2« 
fubflitunntur  eorum  valores  per  toi.  A  a,  cof.Bi^, 
cof. Ct;  exprcfll  ,  cofinus  priorum  iflorum  arcuum, 
quoquc  per  arcus  Ao,  BZj,  Qc  hnbcbuntur  dcfiniti.. 
Vt  autem   hoc  ficiUus  fiat  ,  pon.imus 

€\n.lAa  :zza,\  fin.iB^^  — [3;  fin.lC^r^zzy  , 
ex  quo  colligitur 
coLAZ-ylXl~-->  cof  B2=y«±^P  •  cof  C2-y  2±fc?:, 

p-*-V-+-a  «-»-^-1-7'  a-t-p+V» 

tumque 

i-cof  A2rt=a+(3  +  y;  fin.i  A2«=:y«-±?^^  hinc 
cof  i  B  2  ^  ~  yi-'^.r^-?-±Jp.  et 

fin.  A  2  fl  —  y  (a -f- p  V  y)  (2  -  a  -  (3  -  y). 

113  His 


^5+  DE  TRANSLATIOME 

His  igitur  valoribus  fubftituti?,  confequemur : 

cor.A^-Vf(3-i-Y-«'^y+°^-P^+'^''(«+(^-v)(--«-p-Y) 

cof-B«=V((3+-Y-*Xy+a-p)-V(a+(3-YX2-a-f3-y) 
cof.  Bf=:V(a+p-Y)(a+Y-(3)-f  y(p+Y-a;(2-a-(3-  y) 

cof.aziV(a+p- YXa+Y-P)-'^''^^  ^r-«)>-'^-P-Y) 
cof.Cfl=V(p+Y-*X|'34-a-Y)+-'>^(a+Y-P)(=^-a-p-Y) 
cof.Af-V((3hY-a)(p+a-Y)-V(a+Y-PX^-a-P-Y)- 
Vbi  quidem  obfcruare  conuenit  ,  hos  \alores  figurae 
noftrae  effe  accommodatos  ,  caetcrumque  binos  inter 
Te  e(fe  pcrmutabiles ,  ita  vt  fi  pro  cof  A  b  adhi- 
beatur 

V((3+y-«)(Y+«-P)-"^(«-^|3--y)(  2-a-|3- y)  , 
tum  ftatuendum  effe 

cof.Bfl=:V(p+Y-0(Y+'*'  P;+V(a-4-(3-Y)[2-«-(3  -y)  -, 
vnde  coUigitur  produda 

cof.  A  b.  cof.  B  a  ;  cof  B  r  cof  C  (5>  5  cof  C  o.  cof  A  c 
femper  rationaliter  per  a,  (3,  y  exprimi.  Fiet  autem 

cof  A  Z».  cof  B  tf  =:  4  a  (3  —  2  (  a  -i  (3  -  Y  )  ? 
quac  valoribus  dcbitis  fiiblHtuiis,  in  hanc  abit 
cof  A^.col.B^-col.Aa  coiiBZ^-cofCi',  fimili  modocolli- 

gctur  cffc, 
cof.Bf  cofCfccorB^.cofCf-cofA^  ct    - 
cof.C<7cof  Afrcof  Cf.col.  Aa-col  l^b  , 

quas  aequntiones  infra    indcpendentcr    a  confidcrationc 
pundi  Z,  demonflrabimus. 

L  e  m  m  a    II. 

Tab.  III.  13-  Si  comierfme  fihacvae  circa   centrum  fimm 

Tig.  9.    fixuvi-  puncta  A,  B,  C  quadrantlbus  imcr  Jc  dijlaniia, 

per- 


CORPORVM  RlGlDOaVM.  255 

peruenerint  in  pun&a  a,  b,  c  et  m-cuum  A  B,  a  b ; 
AC,  nc;  B  C,  bc  inierje&ioncs  fmt  in  punCtis  y,  p,  a; 
erit  an-us  B b  —  ang. Apar^C[3c;  Aa-Bab-Cac; 
Cc^Ayaz^zByb. 

,   Demonflratlo. 

Ducantur  arcus  B(3,  ^p  et  ob  nrcus  ABrBC-po", 
erit  quoque  B(3zi9o''  er  ang.  B(3  A  — 90°,  tum  vcro 
ob  baz:ibc  —  ()Oy  erit  item  b^-^o^  et  ang.^(3Ar9o, 
\nde  deducitur  Bp A^^j^^rt  et  B<^b-^.^a-^  atqui  ob 
BPirr^P  — 90°,  mcnfuia  anguli  B(3^  eft  arcus  Bi^; 
liinc  idem  arcas  aequabitur  angulo  A(3^,  Simili 
plane  ratione  oftenditur  effe  A  a  =  ang.  B  a  ^  et: 
Q  c  ~  ang.  A  y  «. 

L  e  m  m  a    IIF. 

14..  In  Tetragono  ACcb,  quod  componitur  ex 
areubus  circulorwn  maximorum  in  Juperficie  Jpbaerica^ 
Ji,  fuerit  A  C'—  b  c  —  90°  ,  erit'. 

cof  AZ^^rin.ACf.  fin.^<7C-cof.C^.CQr.AC^.cof.i»^C. 

Demonflratio.. 

Ducatur  arcus  ^C,  eritque 
cof  A^z:fin,^C.cof.  AC^,  hincque  ob  ACfcACr-^Ctf", 
zo{.kb  —  fin.  ^C(cof.A  C^.cof.  ^Cf+fin.  AC<;.  fin.^Cf)* 
lam  notctur  efle  : 

fin.  b  C.  fin.  bQc^{\^.b  cQ  et 

cot.  ^  C  c  =  —  coC  C  f .  cot.  b  cC^  hincquc  etiam 

fin.  C  ^.  cof.  ^  C  f  —  —  cof.  C  <r  cof  ^  <•  C  , 

his 


2S6       '         DE    TRANSLATiOXE 

his  igitiir  valoribus  fubftitiuis,  fit 

cof. kb~ fu;.  AC c.  fin.  bcQ  —  cof. C c cof.  A C c. zo[.bc C. 

Theorema     II. 

15.  Si  conuer/iofw  fph^erae  circa  ccntrinn   fuum 

fixwn  ^  puncta  A,  1B>  C  quadrantUms  intcr  fe  dljlantia 

Tab.  III.  peniencrint  in  puncia  n,  b,  c,  et  du£li   fupponamur  ar- 

Fig.  4.  cuf  circuloruni  niaxiviorum  ^    A  a,  A  b,  Ac  Bn,  B  b, 

B  c,  C  n,  C  b,  C  c,  fequcns  .expreffio  fewper  ad  nihiium 

redigetur 

Cl-cof.A«)(i-cof.B/?Xi-cor.CO+cor.Bfcor.C/7(i-corArt)-cor.Akof.Kfcor.Ca 

+con  A(rcof.Ctf(  I  -cof  BZ^Kcof.  AtcoI.CkoI.B<? 
+coI.C^cof.  Bc[  i  -co(-Ct). 

Demonflratio. 

Ex  clementis  Trigonometrinc  Sphaericae  con- 
ftat  ,  effe  in  triangiilo  A^a 

cof.Apfl— cof.Atf  fin.(3Art:  fin.(3t/A— cof  (3Atf  cof.(3M , 
hinc  ob 

A|3rt— B^;  (3Afl:=BAfl-9o°^  ^aA  —  bak-\-^o', 
ita  \t   fit 

fin.{3Artz:-cofBArt  cr  cof  p  A  ^-fin.B  Aa,  tumque 
fin.(3flA  — cof.^^  A  et  col.p^  A--fin.^^A,  colligitur 
cof  B^ zr fin. B  A rt fin. ^fl  A  —  cof  A a  cof  B  A a.  coCbaA. 

Simili  ratione  cx  confideratione  trianguli  A  y  a  de- 
ducitur  , 

cof.  A  yfl  — cof.  Aa.fin.B  A^.fin,  Z?jA-CQf.BA/z.cof^'<7A, 

fcii 


CORPORVM  RIGIDORVM.         ,257 

fcn   ob 

ang.  A  ya~arc,  Crj  col^C^—  cof  Aa.fin.BA^r.rin.^^A 

—  cof.BArt-.col.^flA. 
Si  prior  Iiarum  acqiuuionum  multiplicctur  pcr  ccf. 
A  tf,  obtincbimus 

cof.Artr  corBfccof.'  A^.fin.BA^.fiiT.  ^^A-cof  A«\cor.BA^.cof  iJ^aAj 

hjnc    i.;itur    fubtradii    polleriori    nofirn   acquationc  , 
colligitur 

cof.Aa.cof.  B^— cof.  Ct"  — (i  — corA«')cofEAffcor/^rtA 

31  fin,  A  a'  cof.  BAa,  cof.  ba  A^ 
fltqui  eft 

fiq.  A  ffcof  B  A^  — cof  B^j  ct  fin.  Ar^of.-^-^A— cofAZ', 

fitt  igitur 

cof  A  a,  cof.  B  b—coi.Cczz  cof  A  b.  cof.  B  a. 

Porro  cx  confideratione  trianguli  B  y  (3  coIHgitur  : 

cof  BY^-cofCfncofB^.fin.AB^.  fin  «^^B-cof.AB^.cof  ^^B, 

tumque  ex  tri.ingiilo  Bai? 

colAa-coCBab  —  coCBb.an.CBbAin.cbB-coCCBb.CQCcbB. 

Prior  autem   ob 

ABb  —  CBb-9C°ctabB  —  cbB-h9o\ 
in  ifiam   transfonr.atur  , 

cof  C  ^  —  fin.  C  B  ^.  fin.  ^3  B-cof.  B  ^.  cof  CEZ;.co(.^^>B, 

multiplicata  liac  aequationc  per  cof  B  b,  et  fubtracfla 
inde  illa  pro   cof  A  o,  colligimus  demum  : 
cof  Bb  coi.Ci;-coLAa  —  {i-coi'.Bb"]coi:.CBb.cof.cbB 

^fin  B^'.cof  Ct^.cof  f^B. 
Tom.XX.  Nou.Comm.    •  Kk  '     Lx 


Ex  quo  rrianifello  ddducitur 

cof  Zb:  cof,  C  i-  —  coi:  A  </  zr  co£  B  r.  cof.  C  k 
Sinvifi  nuf-or.c  qacrque  olbaditur  cOk;  , 
-  cot^  A  a  roi.  C  f  —  cof.  B  b  —  col.  A  r  cof,  Q  a, 
DeiiiLic  pro  quadrihtcro  AC  c  b^  habemus  pcr  Lem- 
ma   noiiiiim   III  : 

coC  Ab=^  fin.  A C c:  fin.  ^t'  C  -- cof.  C^-.  cor  A  C r.  cof  b c  C 
et  pro  quadrilatero  c  C  f  B,  vi  eiusdcm   Lemmatis: 
eol. Ki7—  fjn. BCV.  fin.  flt  C  —  cof.Cf.corBCr.cor.^rfC. 

Qiiuni  nunc  fit  BCf  — ACf  — 90°^  acQ—bcQ—c^o^r 

obtiucbimus  y 

cof. B^n^cof.  AC<:. cof. iuC  -cof.Cf.  fiii.  ACc.  fin.^fC, 

hincqne 

col.  A  b.  cof.  C  t'  +  cof.  B  ^  =  C  r'-  cof  Cf')  cof.  ACc-.cof.kC 

—  fin.C(r\cof.ACr.coI  bcQ^ 

liue  ob- 

cof  A ^  ~  fin.  C c. cof  ACf  et  cof.Ci?— fin.Cc.  cofZ^tC, 
cof.  A  b  col.  Qc  -h  cof,  B  a  rr  cof.  A  c.  cof.  C  b^ 

Simili  ratione  dimonftrajitur  cffe : 

cof.  A  b;  cof  B  f  —  cof.  B  b.  cof.  A  r  -f-  cof  C  a , 

mnhiplicaia  it^itur  priori  aequations  pcr  cof.  B  «  ct 
porteriori  pcrcol', Ca,  addiiisque  producftis  ,  coule- 
quemur  : 

1.  coC  A  f.cof  Ci^.cof  Ba-— cof  A^.cof  B^.cof  CtM  cofBa'' 

2.  cof.  A^.  cof  Br.cof.CG— cof  AccofC^.cofBij-KofCrt',  hinc 

3 .  cof.  A  b'  cof  B  f.  coC  C  a  +  cof.  A  c  cof.  C  Z^.  c of.  B  a  — 

of. 


CORPORVM  RIGIDORVM.  259 

cof  A h  ccf  B  rt.  cof.  CiT+cor  A r coC Cacof.B b-\-co{.Ba-\-zo^.Qa~ 

cor.A^  cof  Brt^.cof.Cf  +  cof  Af.cor.Crt.cof  Bi'-!-  i_cofA«',  ob 
\       cof  ka  -\-  cof  B  /  +  cof  C  a   —  i. 

IntroJ.ucntur  nunc  iiic  \nIor  pro 

cof  A  b.  cof.  B  c.  co(.  C  fz  -f-  cof  A  c-.  cof  C  b.  cof  B  ^, 
iu  cxfTedionc  nortr.i  nd  nihilum  rcdi^^cnda  ,  cuius 
rcliqnos  quoqne  tcrmiros  cuolutos  fl;uu:muis  ,  vt  eo 
nielius  appnrer.t  ,  quomodo  fui^uli  iniiiccm  fc  de- 
(iriiant.  Ad  nihilum  li^itur  rcdigi  (Jebcbit  hacc  cx- 
prt  Ifio 

i-cnf.Afl+cof.'P^cofCf-Ci..f  A^cofEZ^cofCr-cofBt-cofC^+coY.B^cofC^.cof  A« 
-cof  r5^-+cof  Art  cof  Ct-  -cnf  Aicof  C^f+cof  ArcofCa  cof  Li^ 

-ccI.Cf-icof  A<?cofB^  -cof  A^cofB^^-cof  A^ccfB^.col.Ct- 

— cof  Ai^col  Btf.cofCt; 

-  T+cof  A  a,  — cof  At-cof  Ctf cof  hb 

Dektis    autem    terminis,  qui     mnnifcflo    fe  tcllunt  , 
obferucjnus  ctiam   pcr  demonftrata  efle: 

—  cof  A  « -1- cof  B  b. cof  Qc  —  cof  B c.  cof  C  ^  ~  o, 

—  cof  B  ^  -+-  c  of.  A  ^.  cof  C  f  —  cof  A  c.  cof  C  ^  n  o, 
— cof  Ct--f-cof  Aff.cof  BZ'— cof  AAcof  B<?z:.  o. 

Dcnique  ctiam 

cof  A^'— cof  A^cof  BZ'.cofG--fcof  A^.cofBi-cofCfco, 

ita    vt    iam     perfedlc    euidum   fit ,  formulam  iflara 
propofitam   nihilo  acquari, 

Alia  Demondratio.  ^ 

16.   Qunm   prior  demonflrmio  Geometricn    fit 
et  ex    confidcrationc    figuiae    deduda  ,    nunc    aliam 

K  k   2  infiiper 


y 


iTo  D'^  TrxANSLATIOME 

infiipcr  adt^amns  Aiulyticam,  quippe  quae  aequatlo- 
nibus  in  §.  5.  aU.uis  inuitctur.  iix  accjuationc  igi- 
ti:i-  IV  deducimus, 

cof.  A  a  cof.  Ab-{-  cof.  B  a  cor.  B  ^  —  —  cof.  C^  cof.  C  5 

ct  lumendo  quadrata  , 

cof.  .Aa'cof.  Ab''-\-  co(.Ert'co(.  E^^+a  cof.  Aii.cor.E^.  cof.A^cof.  Ba- 

cof. C <3' co(. Cb'zz{i—  cof.  A a'—  (o(. B ^  ) ( i  —  co(.  B ^' - cof.  A  b^) 

per  acquationcs  1  et  IT.  Euolutione  igitur  fl\(fta  po- 
ftcrioris  mcmbri,  et  dcli.tis  tcrminis  ,  qui  (e  mucuo 
Killunt  ,  con(cquem.ur  : 

2cof  .Aflcof  B^cof  A^.co(. B^—  i— cof.A^'— cofBa'— cof  B^' 
-  cof.  A  b''  -{-  coC  A  a'  co(.BZ>'  4-cof  A^'co(.  Ba'— cof.Ca* 
4-  cof  Cy'  —  i-f-cof  Aa\cof.BZ?'-hcoI.A^".cof.l}a'. 
Q^iiiim  igitur  fit , 
■ul  \         cof-  C  a'  -h  cof.  C  b'—  I  —  —  cof,  C  6-* 

■     h;ibibimus 
2cofA«ccfB/;cof.A^.cofEai:cofAfl'cofEt'4cof  A^'ccf.Efl'-co(C<r\ 
tumquc 
(cof.  A ^cof  B.fl  —  cof  A  tf  cof  Bby  —  cof  C/ ,   et 
cof  A  ^cof  B^  — cof  Artcof.Bi^^rr^hcof  Ct.'. 

Quum    liic     pro    cof  A  i  cof  B  a    duplex    reperiatur 
'    valor ,    ruio    idius    duplicitatis  ita  explicari    potcfl , 

\t   fi  concipiatur  pundum  c'  quod  ipfi  c  e  diametro 

eft  oppofitum  ,  cfTc  oporteat: 

cof.  A^.cof. B^ncof  A^cof  B^  — cof  Cf    et 
cof.  A  ^.cof  Ea  —  cof  A  b.  cof.  B^^-hcof  Ct'. 

Ex 


CORPORVM  RIGIDOIIVM.  £oi 

Ex  meris  autem  iflis    principiis    AtKilyticis    minime 
cemoi.lUari  potell,  afluiiu  debere 
'    cof.  A  b.  cof.  B  «  zr  cof.  A  a.  coL  B  Z>  —  cof.  C  c , 
non  vcro  item 

cof  A  If.  cof.  B  a  =:  cof.  A  a  cof.  B  ^  -h  cof  C  c  ; 
quicquid  tameii  fit  fiipponamus  priorem  aequationem 
lccom   habcre.      Tum   vcro  quoque  eundem  in  mo- 
diUTi  oflendi   pcteft  ,  efle : 

cof.A  c  cof  C  «zi:  cof  A  a  cof  C  ^ — cof  B  i»  et 

cof  B  c  cof  Cbzz cof  B  b  cof  Cc  —  cof.  A  a. 
Porro  obferuetur,  praetcr  illas  aequationes  §.   5.  alla- 
tas  ,  etiam   fequentes  locum  habere  : 

VII.  cof  A«'-l-cof.  A^'-f-cof.A/~i , 

VIII.  cof  Bfl'-4-cof  BZ^^-l-cof  Bf'z=i  , 

IX.  coC  Cfl'-|-cof  C^'-+-cof  Cf'=^  I  , 

X.  cof  A^cof  B<2-i-cof  A^  cof  B/^-1-cof  A^cof.BiT  —  o-, 

XI.  cof  Btf.cof  Ctf-r-cof.BZ>.cof  C^-i-cof  Btfcof  C^~  o  , 

XII.  cof  Atf.cof  C^H-cof  A^.  cof  C^-i-cof  Ai"cof  C^  — o. 
Nunc  pcr  aequationcm  X  colligimus  r 

cof  A//'. cof  B  Z;*-j-cof  A t'cof  B <;""-l-2Cof  A -5.cof  B fcof  B 3.cof  A  c 
—  cof  A«\of.  Ba*—  (i— cof  A  i^"— cof  Af'Xi— cofB/b'— cofBf') 

pcr  aequat»  VII    et    VII L      Hinc    fadi    euolutione 
prodit : 

2  cof  A  h.  cof  B  c-cof  B  ^  cof  A  f  —  1  —  cof  A  ^'—  cof  A  c* 
-cofB/-cofBf'.+cof  AZ7'cofrE/"+cofB'^".cofA<r'r:cofAi2* 
H-cofB^'-  I  -i-cof  A  h\  cof.  Bt-'-|-cof  BZ^^cof  A<r' 
—  co(.  A  Z''.  cof  B  c'-\-  cof  B  //cof  A  c"'-  cof  C  a, 

K  k  3  per 


a^2  DE  TRAN5LATI0NE 

per  neqnat.  T.  §•  5-  Manifeflo  a-utcm  hitic  colligw 
tiir  ; 

(cof.  A  b.  cof.  B  t  —  cof.  B  b.  cof.  A  r)'  —  cof.  C  a\ 

ideoque 

cof.  A  h.  cof  B  t;  -  -cof.  B  b.  cnf  A  c  —  ^:-  cof.  C  a  , 

\bi  quidcm  cx  neqnationibus  noftris  Annlyticis  mi- 
nime  decidi  poteft  ,  quodiiam  fignum  pro  cof,  C  a 
valeat.     Statuanuis  tamen  effe  , 

cof.  A  b.  cof.  B  f  r=  cof.  B  b.  cof  X  c  -\-  cof.  C  a, 
ideoi)ue 

cof  A/&.cofB<rcof.Cj:iicof  B^.cof  A  rrofCfl-f-cofCfl\ 
Simili  vero  modo  demonftrari  quoque  potcft  cfle : 

cof.At-.cof.C^.cof.B^— cofCrcuI.Ai&.co(.B«-i-col.Brt\ 

Tum  Ycro  r<.liquum  opcris  in  eo  confilkt ,  \t  hi 
yalores  In  noftra  exprelfione  ad  n;h:Kim  rcdigenda  , 
fubftituantur ;  quod  ncgotium  in  priori  dcmonllra- 
tione  iam  exfccuti  fumus ,  ideoque  hic  repetae  fii- 
pcrfluum  foret. 

17.  Antequam  vlterius  progrediar  ,  Gi.oiTctris 
haud  ingratum  fore  exillimo;  fi  hcic  oiJucicc  expo- 
fuero ,  quibus  ratiociniis  ad  demonflrationcm  iHam 
priorcm  pcrdudus  fum.  rrimum  i_^itur  confidcrata 
ilTa  cxprcfilone  ad  niliilum  redi^cnda ,  cNidimaui  iii 
eo  pmifiinuim  eflc  chiborandum  ,  vt  rcliquae  quan- 
titates  enm  jngrcdicntcs ,  pcr  tria  llcmcnta  n;mi- 
rum  cof.  A  a  ,  cof.  B  ^  ,  coi.Qc  exprimi  pofiTcnr. 
Lurn  vcro  in  fincm,  bina  ifia  quadrilatrra  B  A  tf  ^, 
Q  A  a  c,  pio  exquircndis  \aloribus  iploruin  ccf.  A  ^, 

cof. 


CORrORVM  PvIGIDORVM.  s.^'^ 

cf>CB^,  conftdcr.tnda  aflrumfi.  Qimm  ciiim  in  Tab.  IIT. 
priori  b;U)ercm  quntuoD  latcra  Goguita  ,  A  a,  B  <!>  ,  ^''^"  ^^" 
A  B  —  9D°  <.c  «  6  :=  90",  et  in  poUeriori  itc;n  qua-» 
tuor  latcra  cognita  Aa,  Cc,  AC  — 90"  etrtf— 90°, 
i:im  cogitare  coepi,  quomodo  iinguli  B  A  a,  AaA, 
C  A  ^,  c  a  Ay  ope  arcuum  A  a,  B  If,  Cc  detcrmina- 
ri  poflcnt  ;  illa  fcilicec  relatione  in  vfum  vocata  , 
quod  lit  C  Aa  zzB  A  a —  po°  et(raA  —  baA-\-'go°, 
Hoc  igitur  agens  ad  iibs  binas  perdudus  fum  ae- 
cjuutiones : 

eof.B^fin.BA^.fin.^aA— cof.Ai/.cofBA^.cor.^^A. 

coLC  <r  zzcof  x\  a,  fin.B  A  4.  fin.^  (2  A- cof  B  A  tf.cof.^aAy 

qirarinn  ope  has  binas  alias  colTegi  , 

cof  BZ^.cof.  Afi!  — cof  Ct  —  fin.  Afl^cofBAtf. cof^flA 
Gof  BZ?— cof  Ai7.  cof  Cf.  rrfin.  Aa\  fin.  BAfl.fin.Z?«A. 

Si  ex  his  acquationibus  ehminetur  angulus  B  A  ^; 
obriiTcbitur  acquatio,  quae  praetcr  aicus  A  ^,  Bi^,  Cr, 
non  continet  nifi  anguium  b  a  Ay  vnde  ob  cof.  A  ^ 
~  fin.  A  a.  cof  b  a  A  ,  in  procliui  erat  aequationem 
inticnire  ,  quac  praeter  A  a,  ,B  b,  C  c,  non  continct 
nifi  A  ^.  Verum,  quum  liac  ratione  ad  aequatio- 
iicin  perueniretur  biquadraricam;  leui  adhibita  atten- 
tionc  ,  pcrlpexi  tanto  molimine  non  effe  opus ,  quia 
€x  i(la  aequaiione  : 

cof.B^.cof  Aa-conCf^fin.A/.coCBA^.cof^^A, 

ll.itim  deducitur  valor  produ(fli  cof  A  ^.  cof  B^. 
Simili  ratione  ,  qaum  produc'^.i  coC  A  e.  cof  C  a  et. 
c. /f  B  f.  cGf  C  ^  determinentur  ,  nunc  id  lantum  re- 
ftubat  ,  vt'  quoquc  iCla   produda 

cof. 


^^4.  DE  TRANSLATIONE 

coH  A  h  cof.  B  c,  coC  C  a ;  cof.  A  r.  cof.  C  b.  cof  B  a  , 
pcr  elementa  tria  A  ^,  B'^,  Cc  exprimercm  ;  vbi 
quidem  poft  nliquot  tentamina ,  Yidi  rem  perfici  , 
quia  prius  aequatur  ipfi 

cof.  A  r.  cof.  C  a.  cof.  B  ^  -j-  cof.  C  a  , 
et   porterius  ipfi  . 

cof.  ^  b.  coC  B  a.  cof,  C  c  -\-  Gof.  B  c*, 
idcoque  ambo  coniuii(flim   huic  cxprefiioni: 
cof.AZ^.cof.  BflcofC<:+corAc-cof.CflcofB^+cor.Bfl'+corr<?'=z 
cof.  A^.  coi",  IXa.c-o^X c -\-coLPiC.QoLQ acvX  ^b-\-i  —  col.  A  a\ 

quaq  exprcflio. .iatn  ita  comparata  cft  ,  vt  ficiU  ne- 
gotio  per  meros  cofinus  ipforum  A  r;,  B  ^,  Qc  cx- 
primi  queat ;  quod  tamen  pro  d(.monltiat  o  c  ipla 
exfequcnda  minime  e  re  eft  ,  vti  cx  autccedeuLibus 
patct. 

'    ;     18.  Videamus  nunc,  quomodo  valorcs.  ipforum 
cof-^^A  i^  ,  cof  B  a  etc.    per    elcmciua    i(ia,  cul.  A  a  , 
cof.  B  ^,  cof  C  r  cxprimantur.     Hunc  in  tinem,  con- 
fideremus  formulas  : 
'  cof  B /;.  cof  A  tf — cpf.  C^  =;  fin.  A  a*  cof  B  Aa.  cof  ba!i 
cof.Bb  —  cof  A  a cof  Cc  —  fin.  A a' fin.  B  A]a fin. baA  ^ 
ex   quibus  fumendo  quadrata  colligitur  : 
col.B/^^cof  Aa^-f-cofC^^-icofA^cofB/uofCrzfin.Aa^.cofBAaVof/^^A" 
cof Bi^'+coI.A«'cof  C<r""-2cof  Afl  cof  BZ- cof Ctzfin, Afl*.fin,BAfl'fin /jA'. 
Sumta  igitur  differcntia   Iiarnm    acquationum  fit : 
fin.  A  flXcof.  Ci-'— cof  Bb^)-  fin.  Aa\  cof  B  A  a\  coLbaA* 

—  fin.  BAa^fin.Z-^yA') 

et 


CORPORVM   RIGIDORVM.  z6$ 

et  quum   fic 

cof.BAa' cof. ha\'~- dn.BAa  Cm.baPi^—coC.BAai-  cof.A^jA'— r, 
obtiiiebimus 

coC  C  c"  -  coC  Bh" .—  fin.  A  a  (cof.  B  A  «'  +  cof. baX'-i ), 
hincquc] 

cof. Cc'--  cof.  BZ^H  fin.  A^'-  fin.  A«'c  cof.  B A«'+cof  /;a A') 

=:=cof.A^*-4-coCB<?* 
Erat  vero 

cof.  A  b.  cof.  Ba  —  cof.  A  a.  cof.  B  ^  —  cof.  C  c  , 
proinde 
(cofA^-hcof.Bfl)'=cofA^'+cofBa'+2cofA/;.cofB.=cofCc-' 

-corB^'+fin.Aa"+2cof  AflCof.B/i-icof  Ct"i-2cof.C(r 

-fcoI.Cf-cofBi^^-cof  Afl'+2CorA(2.coI.B/;j:(.i-cofCf/ 

-(cofBA-cofAfl)\ 

Si   iam   vti  §.    12.  pon.imiis 

I— cofCc'— 2y  ,  I— cofB/'— 2^  ct   I— cof.Ad;— 2«, 
confcqucmur    • 

(cof.  A  ^  -h  cof.  B  fl)'  —  4  y'  -  4  (a  -  (3)', 
ideoque  cxtrahendo   radicem 
coCAb-HoCBa-zV[y'-(a-^y)-iyiY-a-^^,{yiA-^). 

Deinde   habebitur 

(cof.A^— cnf.Bt^)'— i+2cofCf+cof.Cf'— cofB^'-cof.Art' 
-2Cof.Artcof.B6.=:(i+cof.C6f-(cofAfl+cof.B^)\ 

Quum   igitur  nunc  fit 

i+cofCtf-— 2(it-y)  et  cof Atf+cofB^=:2(i-a-(3), 
fict 

(cof.  A^— cof  Ba)'  — 4(  i— y)*  — 4(  i— «  — P)*, 
hincque 

cofA/^-cof.B^r2V((i-y)'-(r-a-j3y)=ayCa+(3-YX2-a-(3-y), 

Tom.  XX.Nou.Comm.  L 1  Nunc 


z66  DE  TRANSLATIONE 

Nunc  igitur  colligimus, 

coi.B^z-V^lY-cxtpXY+a-pj-V^Cct+p-YXs-a-p-Y) 
tumiiie  fiiiiili  modo: 

cof.  I3t"V'a+(3-Y)(^-^-p+Y'+"^^lP+y-^^^-^-P  V) 
co(.a-v^(a+p  Y  (^-P+-V)-^(P  i-Y-«X2-a-p-Y) 
cof.Ca  =  V((3+Y-ttKi3-Y+«^^"^^(^+V-PX2-a-[3-Y) 

cofA<;-V(p»-Y-<'(P-V+«)-"^l*+V-(3)(^-a-P-Y)- 
Oa-iniiK)  Yti   (upro  §.  12.  inucnimus.     Praeterea  hcic 
quo  ]ue   iiau.1    praetcr  rem   erit  ,    vt  obferucmus  ,  ob 
(cof  A/?  i  co(.Brt)'— (i— cof.Gf— (cof  B/'— co(.A<7)' ,  fieri 
cof.A/;+cof.B<7i:2V(fui.^C6-^-fin.(i^^Yin.i^LL:^i^) 

/(fin.iCt-^  +  fui.  ■(Aa+BA)nn.-'(Aa~B^)) 
—  '^{  (m.'^Qc  -fin.  K  A«  +  B^)fin.'[Aa-B^j), 
eoJemque    modo 

.^         ,(cof.'C/+coC^(Afl+B/:'^cof.KAfl-B^»)) 
^^^•A^-'^^'-^^^='^(cof^C/-corHA«+B^)cof^(AaB6)). 

19.  Hic  quoque  occafione,  operae  pretium  erit> 
nonnullas  notalTe  relatioiKS ,  qiuic  qiiidem  ad  inllitu- 
tum  nodrLiin  propric  non  Ip-danc ,  elcgantia  tamcn 
fua  fe  valde  commcndant.  <^uum  igitur  fupra  in- 
veuiffcmus 

cof.  B  A  a  cof  ^  «  A  -  cjA^r^Bi-coA££_  ^^ 

fin.  B  A  fl.  fm.  bak  -  cjrBfe--^g.Ao.coj.cc   ^ 

hinc  colligimus 

coi,  (B  Aa+^^i A)  —  cod  B  A a.  cof  ^ a  A  —  fin.  B A^r  fin.  hak 
=  -(cof.B^  +  cof.CO'-^f  i-'  -_eMi±-£il£^. 

Jjmiili 


CORPORVM  RIGIEORVM.  2(^7 

Simili  ratione  confequemur 

coilB\a-ba\  )-col.BAa  cof.^^^A-f  fin  B Aofip.^flA 
=  (  cor.  B  A  -  cof.  C  . )  t*  t  ■  ii'  =  ^,^$p. 

Quum  vero  fit 

(cori3f+c<)f.C/?)'=rfi-cofAfll'-fcof.B^-cor.C(r)*  et 
(cofBt--cof.C^)'-(i+cof.A«)-(col.BZ;+coI.C(r)*, 

hinc  concludemus  cflTe 

(co(.B<r-i-cof.C^/i::(i-cof.Art)'(i-cof  (BA<7-^flA)') 

—  (i-co(.A«)'fin.  (BA<?-^aA)\ 
vnde 

cof.B(r-hcofC^r(i-cof  Aa)fin.(BA<7-^M)  ,     fimiliquc 

modo  fiet 
cof  Btr—  cof.C^rC  i+cof  A«)fin,(BA«+^aA). 
Similes  exprcfTioncs  pro 

cnf  A  c  -[-  cof  C  n  ,   cof  C  a  —  cof  A  C 

inuemri  poffunt ,  quas   hic    exponere    nihil    eft    ne- 
ce(fc. 

20.  Si   Z  fit  pnnftum  ,    quod  poft  conuerfio- 
nem   fphaerae  eundem  occupat  locum  ac  in  ftatu  ini- 
tiali  ,  lupra    vultmus  ,  effc  dcbere  : 
cof  ZArrcof  Z  A.cof  A^+cofZB  cof  A^+cofZCcof.A^ 
co(.ZB-cof  ZA.col  B^+coi  ZB  cof  B/^+cofZCcofB<r 
co(.ZC=:co(  ZA.cof   fl+cofZB.cof  C6+cof  ZC.cofCtf-. 
In  prima   harum   aequationum,  loco  cof  A  ar,  coi.A^, 
cofAf,  introdnc;intnr  corum   valorcs  ,  qui  (unt  ; 
cof  Aa  =  cof  A  Z'  +  fin.  A  Z'  cof  A  Za 
cof  A  ^  =:  cof  A  Z  co(  B  Z  +  fin.  A  Z  fin.  B  Zcof  A  ZZ» 

cof  A  f:=:cof  AZcofCZ  +  fin.  A  Z.fin.CZcof  A  Zt', 

L  1   0.  hocque 


a55  DE  TRANSLAriO.ME 

hocquc  ra(f^o  fiet 

cof.  A  Z  :=co(:  A  Z'  +  cor  A  Z  fin.  A  2\-of.  A  Z^ 

+cu(:AZco(.BZ'+co(.BZrm.AZriiiBZcorAZ^» 
+co(.AZ.co(.CZ'+col.CZ(in.AZUu.CZco(.AZt', 

quac  ob  cof.  AZ'-}-co(.  BZ"H-co(.CZ'zz.  i  ,    , 

reducitur  ad  hanc  forniam  : 

oz^fin.AZ.cof.AZ.cor.AZ^+rin.BZcofBZcofAZ^ 

-V-(in.CZcof.CZ.cof.AZf  ,  vel 
fin.2AZcof.AZ^+fin.2BZcof  AZ^+fin2CZcof.AZi--o. 
Simili   modo  has  obtincbimus  aequationes: 

ozrin.2AZco(BZ«+nn.-BZcorBZ^+fin.2C2cof.BZi: 
orfm.zAZccf.CZw+fin.^BZcof.CZZ^+fin.iCZcof.CZf. 

Tab.lII.  21.  Si   in   fupirticie   fphacrae,  punda   A,   B,  C 

Fig.  II.  quadrnntibus  intcr  (e  diflcnt  ,  pundumquc  O  fit  id 
ipfum  ,  quod  pofl  conuerfionem  (phacrac  in  eodem 
reperiatur  fitn  ,  ac  in  fiatu  initiali  erat  ,  turnquc 
punjftum  quodcunque  fupcrficici  fphacricae  Z  poft  con- 
\erfionem  perueniffe  (upponatur  in  z^  quacritur  vt 
diflantiae  A  s,  B  ;;r,  C  z  pcr  difiantias  A  O,  B  O, 
C  O  ct  angulum  2.  O  z  exprimantur.  Heic  igitur 
quum  O  idcm  defignet  puncflum,  quod  §.  1 1.  per  Z  in- 
dicauimu!-;  facilitatis  gratia,  nunc  ponamus  AOzx, 
BO—  (3,  CO  =  7  et  anijulum  Z  O  z  —  <p  ^  crit- 
que   vti   §.    1 1  : 

cof  A^  — cora^(i-cofC^)-Hcof  Cp 

c()f.B^-c()f:p'(i-cof  (j:)H-co(:C> 

cof.  Ct-  — co(.  yXi-  col.  Cp)-|-rr((.Cp 
co(.Ai^-cof  aco(.p(i-co(.Cp)  +  cof.yfin.Cp 

cof. 


CORPORVM   RIGIDORVM.  ^Cc, 

cof.  B rt  —  cof.  a  cof.  (3 C I  - coC  0)  -  cof.  y  fni.  0 
co(.  B(.~ cof  (3 coC  V (i  — cof  Cj))  +  cof.  a  fni.^p 
co(. C/» rrcof. pcof  y(  I  -cof  (p) -co(.  a  fiii.  (p 
coC  C a  —  cof.  a cof.  Y  ( .  -  co  (.Cp)  \  cof.  (3  fin.  Cp 
coC  A  £•  ir  cof. a cof. Y  ( I  - cof.  (pj  —  co(.  p  (in.  Cf), 

Qiiiim  igitur   fir 

conAc  — cof.  AZcof.Aff+cof.BZcorA^+coCCZcof.A^ 
cof.B^  — cofAZcof.Ba-i-cofBZcofB^^+co^.CZcofBt,' 
cof.  C  2  zr  cof.  A  Z  cof.Cfl+  col.BZ  col.  B^+cof.  CZ  cof.C^-. 
fi  dicatur  kZ  —  ^\  liZ^^/\^CZzzQ  tumque 
A  z  —  ^';   B  z  —  yi' :,  C  s  —  6' ,  confequemur: 

cof.<^'z=:cof.<^c(5(.(p  H I -cof.Cp)(cof  (^cof  a^+cof.^vicof.acof  (3-i- cof.  0cof  acof.Y) 
-^  fin.  (p  (corS)co(.  Y  -col.  OcoC  P) 

cof.V^con>i:of.(I)+(i-cof(|))(cofv]coC(S'-+-cof.^cof.aconp+cof.kof  (ScoCy) 
+  fin  (pCcof.^cof.  a  — co(.  <^col.  y) 

cof.0'rrcoC9c.iC(p4-(i-coC(p)(co(.0cofY'+cof^cof.acofY+cof'vicofj3coCY) 
+  fin.  (p(,co(.  ^coC  (3  -  cof, -kicoC  a), 

quae  ctiam   fic  expnmi   poffuiit : 

cof  ^'-coC(^(cofa'+fin.a'coC(I))-f  coC>](coCacof  (3(  I -coC(|)) -fcof  Y  ^in.  4^} 
+  coC  $  :c()f  a coC  Y  U  —  coC (p)  - co(.  ^  (in.  (p  ) 

cof.  V— coC^^iCcof  (3'-|-fin.(3'coi.(p)-i-co(.^(cofaool.(3;i— coC(p)— cofYfin.(p) 

+  c<)C0,co(.(3cof  y('  -coC(p)-i-co(.a(in.(p) 
cof  d'— cof  ^(co(.YVfi-.Y'cof  (P  -fcoC^(coCaco(  y{  i-cof(p)-t-cof(3fin.(p) 

+  co(.  yi  co[.  (3  :oC.  y  ( i  —  coC  (p)  —  coC  a  fm.  (p). 

2  2.  Denique  cum  fupra  *.  7.  locum  transhi- 
tum  pundi  z  ptr  cuordinatas  x',  j' ,  z'  ita  defini- 
■vimus ,  'vt  fic 

L  1  3  a'=:/ 


a7o  DE  TRANSL.  CORPOR.  RIGIDORVM. 

x'—f-+  Xcof.B^-hYcof.B^H-Zcof.Bfl 
y  — g-f-Xcof.L^-+-Y  cof.CfH-Zcol.Ca 
s' —  /?-+- X  cof.A  6 -i- Y  cof.  A  ir -i- Z  col.  A  <2 ; 

fi  hic  pro    cof.  A  <7,  cof.  A  ^  etc. ,    valores    ipforum 
fubrtituantur  ,  fict 
3yzr/"4  X(co(  p'i fui,(3'col.Cp)  fY(cor(3cof.Yf  i-cof.cP)!-  cof.afin.Ct)) 

-f-Z(cof  acof  (3(i -cof  Cp) -cof  Y <!"■'•  ^) 
y— g+X(cof.pcofY  i-co!CJ))-cofafin.Cp)+Y(cofY'+fin  Y*cof.4^) 
-|-Z(cofaco(.Y(i-col.:i))+cof(3fm.(I)) 
-  /?  -h  X   (  coC  a  col.  p  (  I  -  co(.  (p  )  -f-  cof.  y  fin.  (p  ) 
+Y(cof.acof  y(  i-cof.Cp)-cof  p  fin.Cf))^  Z(cof  a  +  fm.a  col.CP). 

Hincque  modo  iam  cognolcantur,  translatio  pundi  1 
per  ordinntas  /,  g,  h,  ec  diUantiae  pundi  O  ab  A, 
B,  C,  quae  per  a,  (3,  y  cxpnnuuuur  ,  nec  non  an- 
gulus  quo  conutrfio  f:i(fta  eft  Z  O  2  —  Cj)  ,  eiiam 
translatio  cuiubliDet  punfti  corporis  z  expcdite  aili- 
gnari  potelt. 


>/  — 


REGVLA 


■'•*¥.i>  (  o  )  >•?*<-  2^j 

REGVLA     FACILIS 
PRO  DIIVDICANDA 

FIRMITATE   PONTIS 

ALIVSVE  CORPORIS  SIMILIS  EX  COGNITA 
flRMITATE  MODVLl. 

A  u  c  t  o  r  e 
L.     E  V  L  E  R  O, 

§.     r. 

Orta  eft  nnper  haec  quaeftio  occafione  pontis  pe- 
rennis   trans  fluuiuin   Neuam  conflruendi.  Cum 
enim   plures  hoc  opus  aggredi  fuiflent  conati  ,  atque 
in  hunc   fincm   modulos  confecerint  ,    ad  quorum  fl- 
militudinem   ipfe  pons  exflrui   pofTet  ,     plerique    funt 
arbitrati  ,  pontem    fatis  firmitatis  effe  habirurum  ,    fi 
modo  modulus  certo  firmitatis  gradu    fuifTct    praedi- 
tus.       Putarunt    fcihcet,    fi     modo    modulus     fimile 
onus  gcliirc  valerer,  quale   ipfe  pons  fuflincre  debeat, 
tum   nuilum  efle  dubium  ,  quin  ipfe   pons  fccuudum 
fimilitudinem  moduli.   exflrudtus    latis    rol)oris    cflet 
habiturus.     Hanc  autcm  concluflonem  efTe    fallacem  , 
exinde  fatis  eft  manifeftum  ,    quod   talis    pons    certe 
non  ad  quantumuis  ma;nam  diftantiam,  veluti  vnius 
pluriumue  milliarium  extendi  queat ,    quin     prv.pno 
pondcre  corruat  ,  quantumuis  etiam  roboris   modulus 
habuifTc  videatur.     Ex  quo  perfpicuum    eft ,    firmi- 

tatcm 


i^i      DE  DliVDlCANDA  tlRMITATE 

tatem  pontis  neutiquam  cx  firmitatc  moduli  fecun- 
dum  principium  fimilitudinis  dcfiniri  pofle.  Quam 
ob  rem  ,  quemadmodum  cx  firmitatc  moduli  firmi- 
tas  ipCus  pontis  quantumuis  magui  cognofci  qucat  , 
hic  accuratius  fum  inquifiturus. 

§.  2.  Firmitas  autem  tam  ipfius  pontis  quam 
moduli  \tique  componitur   ex    firmitate    fingularum 
partium    ct  modo,  quo  inter  fe  funt  coniuncflae  ,  ac 
y  diiudicari    dcbet    cx    -viribus    quas    fuftinere   valent , 

quin  disrumpantur.  Duplicis  autem  generis  hic  oc- 
currunt  vires,  quibus  talcs  machinae  refilkre  debent, 
quarum  alttrae  tendunt  ad  partes  a  fe  inuicem.  di- 
velicndas  ,  altcrae  \cro  ad  eas  frangendas ,  feu  a 
compage  rcliquarum  abrumpendas.  Prius  genus  po» 
tifnmum  habet  locum  ,  fi  funes  adhibeantur  ,  quo- 
rum  tenacitate  tota  niachina  innitatur  ;  quando  au- 
tem  niachina  tnibibus  inter  fe  coniunclis  conftat , 
altcrum  gcnus  potifllmum  locum  habet  ,  ■vt  fcilicet 
tnibcs  fr;idioni  fiuis  rcfiftent  ,  nc  a  viribus  quas  fu- 
lljnere  dtbent  abrumpantur.  Vtrumquc  igitur  hoc 
genus  accuratius  cfi  pcrpendcndum  ,  vt  diiudicare 
valeamus  ,  quanta  vi  fingulae  partes  tam  diuulfioni 
quam  (radiuni  refiflant. 

§.  o.  Quod  igitur  ad  gcnus  prius  pertinct  , 
confideremus  funem  crafiitici  datac  ,  ac  vidcamus. , 
quantam  tcnfionem  fiiflincre  valeat  ,  antcquam  rum- 
patur.  Ac  primo  quidcm  manifcflum  cfl  ,  iflam 
\im  a  tenacitate  fiiorum  ex  quibus  tiinis  componi- 
tur  pendcre ,  quae  fi  in    variis  funibus  fuerit  cadcm, 

quando 


PONTIS  EX  MCDVLO.  273 

quando  fcilicet  fimili  modo  cx  fil:imcntis  fiicrint  con- 
torti  ,  euidens  eft  ,  eorum  firmitatcm  eo  fore  ma- 
iorem  ,  quo  fuerint  cralfiorcs.  lt;i  fi  crafllties  talis 
funis  \occtur  zr:6'f,  vis  quam  fuftinere  valebit  , 
qaiin  rumpatur  proportionalis  crit  ipfi  c  c.  Dabitur 
igitur  certa  qiiaedam  longitudo  L  ,  vt  produdum 
\j  c  c  pro  menfura  eius  vis  ,  quam  funis  fudinere  va-' 
Jet  iiabcri  polfit ;  vbi  manifcftum  eft  ,  quantitatem 
iflam  L  a  tenacitatc  filamcntorum  pcndcre.  Quo- 
iiiam  igitur  lioc  produdum  V.  c  c  mafl;im  ideoquc 
pondus  eiusdem  funis  refert ,  fi  eius  longitudo  effet 
—  L,  hinc  patebit  ,  quantam  longitudinem  funis 
habere  debeat  ,  vt  vcrticaliter  fufpcnfus  a  proprio 
pondere  diuellatur. 

§.  4.  Quoniam  ifta  longitndo  L  a  vl  ,  qua 
minimae  particulae  fingulorum  filorum  intcr  fe  co- 
haercnt  ,  feu  potius  a  quapiam  caufla  cxterna  ad  fc 
inuicem  compriniuntur  ,  pcndct  ,  fi  haec  compreffio 
a  folo  pondere  Atmofphncrae  oriretur  ,  quo  noui- 
mus ,  duo  marmora  polita  inter  quae  nullus  acr 
rcperiatur  tanta  vi  ad  fe  inuicem  apprimi  ,  quae  re-  ' 
fpondeat  alticudini  B.iromctri  ,  quam  ponamus  zr  ife, 
pro  craflltie  iiz  c  c  cohaefio  fuperari  poflet  a  ponde- 
rc  coUimnae  mercurii,  cuius  bafis  cflTet  ~  c  c  tx  al- 
titudo  —  k\,  vnde  il  mercurius  «  vicibus  grauior 
(latuatur  quam  materla  funis  ,  foret  vtique  L  —  fi  k 
ideoque  —  2  8  dig.  At  vero  cxperientia  fatis  decla- 
rat,  plerosque  funes  multo  maius  pondus  luftinere 
pclfe  ,  vnde  patet  ,  cauflam  cohaefionis  n^n  in  pon- 
dere  Atnofphacrac  efle  quacrendam  ,  fed  potius  in 
Toni.XX.Nou.Comm.  Mm  vi 


174-      DE  DIIVDICANDA  FIRMITATE 

vi  elaftica  aetheris  ,  qua  omnia  corporj  in  contadu  , 

\bi   Aethcr  penitus  cxcluditur  ad  fe  iuuicem    appri- 

muntur.      Ac    phira  quidem  cxprimeiita.  oftendunt ,. 

iftam  vim  Acthcris    propemaJum    millies.   iiiaioreiii 

flatui  debere  quam  preflionem  ,  Atmorphaerae ;  ficque 

facile  intclligitur  ,  dari  eiiismodi  matcrias  ,    pro  qui- 

bus  longitudo  L  ad  mill?  a^,ue  aceo     phircs    ped^% 

affurg^cre  qneat.    .  ,r 

■  ^-   5"-'t:Q."^ccunque    autem    fuerir    cauflli    firmi- 

tatis  ct  cohacfionis  corporum ,    pro  praefcnii  inllitu- 

to  plme    oon    efl    opus .  illam   longitudinem  L    ab- 

folute   nofTe ,     quoninm     hic   non  de  ablblnta     firmi- 

tate     cuiuique    mpreriae  ,'   ex  qua.  irachinae  conipo- 

ui    folent  ,    agitur  ,    fcd    tota    praefens.  quaellio  tan- 

tym,  verfiUur  circa  comparationcm  roboris  ,  quo  va- 

rii  funes  ex  eadem   materia  conf^^di  fuerint  praediti. 

Quantacunque  igitur  fuerit  ifla  longitudo  L,    fi    dua 

fuiies  fimili   modo  confe<fli  inter  fe    comoarandi    oc- 

currant  ,  qucrum  alterius  craiiities.  fit    fCf     alterius. 

vcro  —  CC,  quoniam    vires ,    quas    geHare    valent 

funt  Lcc  et  LCC,  eae  vtiqnc  inter    fe    erunt    vt 

^  <• :  C  C  ,  ideoquc  tenebunt  rationcm    craflltici.    At- 

quc  haec  ratio  fufficit ,  ad  comparatignem   inter  fir- 

mitatcm   plurium  funium.  iniUtuendam,  fi  mcdo    fi^ 

mili  rationc  fuerint  compofiti  ,    atque    vircs    quibus  ■ 

tales  funes  tenduntur  fimili   rroJo  fuerint    applicaii ;  ■ 

id  qund  tuto  aflumere    poflTumu.s    quandoquidcm    iii 

omnibus  huius  generis  machinis  moduli  ad  pcifcclam 

,p  ,   TT    fimiiitudinem   parari  folent. 

Fii^.  7."  §•  ^'  H'S  praemifiis  confiJercmus    duos    funcs 

«t  8.      a  f  b  ct  A  C  B,,  iion  fohim   i.x  fimili  matcria  con- 

fcdos 


PONTIS  EX  MODVLQ.  2'?5 

fc(?los  fcd  ctiam  fimili  modo  tenfos  ,  quorum  mino- 
ris  cr;i(ritie6  fit  —cc^  maioris  vero  r;CC;  pro  mi- 
rorc  nutcm  didantia  a  b  —  a  ^  pro  maiorc  ciftantia 
A  B  zr  A.  lam  dcnotet  c  \im,  quam  minor  funis 
gclhire  vnlct  quin  rumpatur  ,  V  vcro  vira  quam 
maior  fulUnere  valeat  ,•  ac  dummodo  liae  vires  fi- 
nnili    modo    fucrint  applicatae  ,    manifeftum  eft  fore 

V  :  V  —  c  c  '.C  C,  ita  \t  fit  V  —  —  'y ,  \bi  quidem 
dimenfioncs  ^  ct  A  non  alitcr  in  ccnfum  veniunt  , 
nifi  quatenus  fimilitudinem  crafiitiei  fcquuntur, 

§.  7.  Vires  1;  ct  V  duabus  pnrtibus  conftare 
funt  cenfcndae  ,  quarum  altera  contmct  ipfum  pon- 
dus  vtriusque  funis  ,  cum  partibus  quac  ipfis  \i 
compagis  lunt  coniunclae,  altera  vero  ccntinet  onera 
quae  \terque  funis  gellare  debet  ,  et  quae  ipfis  dein- 
ceps  \cl  imponuntur  \el  appenduntur  ,  hunc  ipfum 
in  fincm  ,  vt  firmitas  maioris  ex  firmitate  minoris 
concludi  pcfllr,  Sit  igitur  p  pondus  funis  minoris 
et  F  maioris,  atquc  ob  fimilitudinem  manifcflum  efl: 
fore  p'.?  —  abc:Ps.BQ,  ita  vt  fit  P  —  ^ A  lam 
per  experimentum  explcretur,  quantum  onus  minor 
funis  fuflinerc  vakat  quin  rumpatur,  fitque  hoc  onus 
~  q  \  atque  hinc  definirc  poterit  onus  Q^,  quod  ma- 
ior   funis  gcflare  valebit  finc  ruptione. 

§.  8.  Quoniam  i^itur  totne  vires  «y  et  V  vtrin- 
que  fuftinendae  aggrcgatis  ex  ipfo  ponderc  et  onere 
aequalts    funt    ccnfendae:    habebimus    v  —  p -\- q    et 

V  — P-j-Q:    vtrinquc  enirn   licebit     ipfum   pondus 
cum   onere    coniungerc.      Quare  cum  fit  V  —  |^.  1; 

M  m   a  erit 


i^6      DE  DIIVDICANDA  FIRMITATE 

erit  V-^(l-ff(p-hq).  Vnde  cum  fit  Pz=:Af^p 
rcpcrictiir  onus  ,  quod   maior  funis  geftare  valebit 
Ql=:  5i^  (p -i- ^)  -  ^^^P  =  ^:^  (P -I- ^)  -  ^ />). 
Ex  quo  Ibtim  p;Uct  ,  nifi  fiicrit   p -\- q  )>  '^ p    fitrc 
y  ^  ^  "-"  p  maiorem   funem  non  folum  nullum  onus 

fuftiuere  poflTe,  fcd  etiam  proprio  pondere  disruptum 
iri  ,  etiamfi  minur  fiuiis  fatis  notabile  onus  gcllare 
potucrit.  Sicque  maniferto  iam  e(t  cuicflum  ,  ad  fi- 
militudinem  moduli  ipfam  machinam  non  ad  quam 
\is  magnitudinem  augcri  pofle  ,  fed  maximam  longi- 
tudinem  A^,  quam  ciiamnunc  obtinerc  Iiceat  efle 
A  r:::  £-=t-^.  fl ,  qiiam  fi  transgrcdi  voluerimus  ,  ma- 
chinani   plane  confiflcrc  non  poffe. 

§.  p.  Hinc  iam  haud  difficulter  diiudicare  po- 
terimus  ,  \trum  ope  funium  pontem  transfiuuium 
Ncuam  ,  cuius  latitudo  cll  circiter  looo  ped.  Rhe- 
nan.  conflrucre  liccat  ntc  ne.  Hunc  infinem  confi- 
ciatur  modulus  ad  longitudinem  quantunniis  cxiguam 
\eluti  £0  pedum  ,  cui  ipfe  pons  perfeifle  fimilis  eflfe 
dcbeat  ,  ita  vt  fit  ^—50,  ac  nifi  ifle  modulus 
onus  fuftinere  qucat ,  qnod  plus  qnam  49  vicibus 
■fuperet  propriuni  ponJus  ,  pons  plane  fubfiflcre  non 
poterit.  Ac  fi  fortc  hoc  fucccflcrit:  tamen  ccrtum 
cft  5  fi  latitudo  fluuii  adhuc  cfllt  maior  ,  talem  pon- 
tem  nnllo  mo.^o  locum  habcre  poflc.  fracterca  ve- 
ro  non  (ufHcit  ,  vt  pons  proprium  pondus  fuflincre 
queat  ,  fed  ctiam  neccflo  cfl  ,  \r  infignia  onera  gc- 
ftari  \alcat  ,  idcoque  valor  ipfius  Q  cx  noflra  foc- 
mula  rcfultans  dcbitum  naaciicatur  valorem. 

§.    ro. 


POMTIS  EX  MODVLO.  277 

§.    10.   His  dc  firmitate  ranium  cxpeditis,  per-  Tab.  II. 

pcniamus  ,    qiiomodo    trabes    aliaue    corpor.i    ri^ida  ^'^"  ^' 

ruptioni   rclirtanE.      Coufideremus    igitur  triibem   A  C 

E  F,  iam  tantopere  inflexiim  ,     \t    lantum     non     in 

A  C  abrumpatur.        Referat  igitur  angalus  A   C  A' 

m.iximam   hanc   inflexionem  ^    quam    luflinere   valet, 

ita  vt  tibrillae  extrcmac  A  A'  uoo  amplius    clonga- 

ri    qucant  ,     litque    /   ida   extenfio   maxima  —  A  A' 

ct   L   vis  ,  qua  (efe  contrahcrc  coneutur  ,    atquc   nia- 

Difcfhim  c(t  ,  hanc  vim  L  cam  ipiam  cffe  vim,   qua 

ante   vidimus  funes  diuiilfioni      rcfidere  ,    ita     vt  ,    fi 

toca  trabs    fecundum    longitudinem     A  E    traherctur 

a   VI  ,    quac  eius  pondcri  ,    fi    longitudinem    halieret 

—  L  cfTet  acqualis  ,  tum  tantum  noa  penitus  diuel- 

kretur» 

§.    II.  Ponamus  nunc  crafTitiem   trabis  AC-t', 
dum   lcilicet  trabs  circa   pun(flum  C  abrumpi  concipi- 
tur  ,  latitudinem  vero    trabis    cfTc    :rz  b.      IMunc    in 
fpatio   A  C  capiamus  abfcifTam  indefinitam  C  V  —  x  ^. 
\bi  crgo  fibnllarum  longituiio  erit  P  P' —  ^  ,  qua- 
rum  crgo  vis    contraliendi    in    eadem     ratione    erit 
minor  ,    quam  in  cxtremitatc  A  A'  ,  ita   vt   ifta  vis 
futnra  fit  —  ,•    haec   fgitur  multiplicata  per    clcmen- 
tum  Pp—dx  dabit  vim  elementarem  ^-^^—    qunm 
demro  per  latitudinem  trabis  multiplicari  oportct,  vt 
prodeat  ^A^lJE^     Quoniam  vero    motus  quo  abruprio 
peragitur    fit     circa    axcm  C  ,  monicntum  if\ius  vis 
elcrncntaris  refpecflu   huius  axis  erit  rr  ^i^EJ^iLf^  cuius 
intcgraie    ^j-^   pcr  totam  crafliticm    trabis    Iliitucndo 

M  m   3.  Tmt" 


t7S      DE  DIIVDICAMDA  FIRMITATE 

X  ::z  c  extenfum  praebebit  totnm  iromentum  virium 
quibus  trabs  ruptioni  refillit,  quod  ergo  crit  —[hbcc. 
Quae  expreflio  cum  conftct  quatuor  dimcnfionibns, 
ternae  exprimunt  aliquod  volumen  ,  cuius  pondus 
vi  abrumpenti  aequatur  ,  quarta  vcro  dimenfio  cxhi- 
bet  longitudmem  vcdis  ,  qua  ifta  vis  operatiir.  Qiiod 
fi  ergo  hacc  trabs  a  tantis  viribus  follicitctur,  qua- 
rum  momentum  rcfpedu  pundi  C  lupcrct  valorcm 
formulae  \hbcc  ^  trabs  in  hoc  loco  certe  abrum- 
petur. 

§.   12.  QuoJ  fi  iam  in    modulo    hac    dlmen- 

fiones  b  et  c  rcternntur  ad  fingulas  tmbcculas  ,  qua- 

rum   firmitas  ruptioni  rcfiClere  dcbct^   pro  ip(o   pontc 

autcm  Htterae  B  et  C    finniles    dimcnfioncs    trabium 

quibus  conftat    cxprimant  ,    virium    mon.cnta ,    qui- 

bus  tam   modulus,  quam  ipfc  pons  fradioni   rcfiiiant 

inter  fc  erunt  vt  bcc  ad  B  C  C.      \  bi  obferuari  de- 

bet  ,  aclionem  virium   in  eum    tendere    fcnfum  ,    vt 

trabes  fecundum    craflitiem    A  C    rumpere    conentur. 

Si  enim  fccundum   latitudinem  ,  quam  ponimus   zizb 

\im  fuam  excrerent,  momenta  virium  inter  le  forent 

■vt  bbc  ad  BBC 

§.  13.  Sit  nunc  longiludo  moduli  — <?,  ipfius 
pontis  autem  z:z  A  ;  tum  vero  dcnotet  i'  lummam 
omnium  virium  ,  quas  modulus  fuftincrc  valet , 
quin  rumpatur  ,  littera  vcro  V  dcnotct  lummam 
omnium  virium  ,  quarum  a<fkioni  etiamnunc  rcfi- 
fterc  valct :  vtroque  autem  cafu  omncs  iflas  vires 
fimili  modo  pcr  totam  longitudinem  tam  moduli 
quam   ipfius  pontis  diftributas  cfle  lupponimus.    Quo 

pofito 


PONTIS  EX  MODvLO.  279 

pofito  maniftfliim  eft  momenta  omnium  harnm  vi- 
num  t.im  in  moJulo  quam  in  ponte  foic  iiiter  fe 
\t  rt-yjAV,  vncle  concludinuis,  hanc  infignem 
proportionem  ,  qua  dle  oportet 

av.AV  —  bccBCC, 

\Dde  fcquitur 

^  .  V —  .  -^. 

f.    14.  Confidcremus  nunc  hic  vires    verticalcs 
qunrum  adioncm  pons  fudincre  debet,  et  quae  oriun- 
tur  t.im  a  proprio  pondere  pontis    quam   ab    oneri- 
bus  ,  quibus  furtentandis  par  efle  debet  ,    pro    quibus 
ergo  litterae  c  et  C  referent  craflitiem  trabium  qua 
viribus  vcrticalibus  refiftunt  ,  dum  altera  dimcnfio  b 
latitudii^em    earum    repraefentar.      Statunmus    igitur 
primo  pro  modulo  eius  proprium  pondus  a  firmitate 
fc(kntandum  ~pf    onus  vero  quod  infupcr   gcfiare 
valeat  ~  q  ,  quod  ergo   per  expjrimenta    facilc    ex- 
plorari  potcrit  ,    dummodo-  per  eius ,    longitudinem 
Gontinuo  maiora    onera    imponuntur,    donec    cedere 
incipiat.      Pro  ipfo  nutcm   ponte    defignct    Jittera    P 
eins  proprium   pondus ,  Q  vero  fit  fumma   omnium 
oncrum  ,  quae  pons  gefiare  pofiTe  poflulatur  j  quibua» 
pofitis  ,  erit  vtique 
'v—p-\-q    et    Vr=P-4-q,. 

"vnde  nofira  proportio  ita  fe  habebit; 

vn-de  pro  ipfo  ponte  dcducimus- 

ex 


aSo      DE  DIIVDICAKDA  FlRMITATE 

ex  qiia  aeqiiatione  ergo  fiimma  omnium  onerum 
qiiae  pons  geftare  valebit  detcrminari  poterit  ,  quae 
fi  minor  fucrit  quam  requiritur,  audiwScr  pronun- 
ciarc  poterimus,  pontem  (ecundum  modulum  exflru- 
erdum  non  latis  roboris  elTe  habiturum. 

§.  15.  Quoniam  igitur  ipfum  pontcm  fccun- 
dum  modulum  finiili  rationc  et  ex  fimiii  matcria 
conllrui  aflumimus  ,  cius  proprium  pondus  P  le 
habebit  ad  pondus  moduli  vt  A  B  C  ad  a  b  c  -^  ficque 
ex  cognito  pondcre  moduli  p  colligitur  ipfuis  pon- 
tis  pondus  P  — ^y^^^/j;  cx  hoc  ergo  valorc  fequitur 
fore  Q^-  °A^^^  [p^q)  -^-^^j,  Huius  igitur  re- 
gulac  ope  cx  firmitntc  moduli  ,  prouti  pcr  experi- 
mcnta  fucrit  exploratum  ,  hoc  cft  cx  cognitis  pon- 
dcribus  p  ct  q  aflignari  poteft  totum  onus  Q^,  quod 
ipfc  pons  fupra  proprium  pondus  fuftincre  valebit. 
Ante  omnia  igitur  cauendum  cfl,  ne  pars  ncgatiua 
^~^p  maior  euadat  parte  pofiriiia  yk^,  Cp  -\-  'i) , 
quoninm  alioquin  pons  plane  fubfiflere  non  poflTet  , 
fcd  proprio  pondcrc  corrucrtt,  Ne  ig'tur  lioc  eue- 
niat  omnino  neccfle  eft,  vt   fit  p -h  q '^  -^""^ p,  ideo- 

§,  i5,  Quod  fi  iam  nflTumamus  ,  ipfum  pon- 
tcm  prorlus  et  fecundum  omncs  dimcnfioncs  fimi- 
lem  eflc  iroJuh).  (  Facilc  enim  iniclligitur  ,  no- 
ftram  formulam  ctiam  locum  haberc  poflTc,  quamuis 
tcrnae  dimcnfioncs  maiorcs  A,  B,  C  non  planc  can- 
dcm  raiioncm  tcncrciu    ad    minores  a,  b,  c,    dum- 

modo 


PONTIS  EX  xMODVLO.  c8i 

modn  difcrimen  non  fuerit  fatis  mngniim  )  ftatiia- 
miis  fin^uhis  dimenfiones  moduli  (e  IvAbcre  ad  di- 
meniiones  ipfius  pontes  vt  i  :«  ,  critque  ergo 
A  zz  II  aj  B  ~  II  b  et  C  ~  w  r.  Hinc  igitur  habe- 
bimus  iltam  aequntionem   pro    oncre    Q_   dcfmiendo : 

Q_:z::  n  Cp  +  q)  —  n  p  fiue  Q^— n  11  {p  +  q  —  n p) 

vnde  patet  ,  vt  pons   confincrc    podit  ,    ante    omnia 

neceffe  cflc ,    vt    fit    <?>(«— !)/>,    quia    alioquin 

.proprio  pondere  in  ruinam   laberetur.    Practerea  vero 

neccOe  eft,  vt  onus  a    modulo  gcftatum   q  eo  magis 

fupcret  hunc  limitcm   {fi  —  ^)  pj    quo  maius     fuerit 

fumma  omnium  onerum  Q,    quae  ipfe  pons  geftare 

ponfe   poflulatur.      Ita  fi   e.   gr    n  fuerit    ~  30  ,  ue- 

celTe  e(l   vt  fit  q>  29/);     vnde  fi  fuerit    q  —  ^o p 

erir    Q^—poo/),-  fin    autem  fit    q—.sip    prodibit 

'Q~i83o/):at   fi    fit^~32p    fiet    Q^—iioop 

etc^     Ex  quo  intelligitur  ',    fi  modo  q  aliquot  vici- 

"bus  fupcret    hmitem    29  p    tum    pontem    iam     fatis 

notabile  onus  Q  fufiinere    poflTc  ;    quoniam   pro  qua- 

'libet  \ice  incrcmcntum  capit  rr  900  p. 

§.  17.  Quod  fi  hoc  mo-io  pons  ad  perfeAam 
fimilitudinem  iroduh  exnrudus  non  fatis  roboris 
habiturus  rcperiatur  huic  dcfcdui  remedium  afFerri 
potcrit  ,  dum  crn^hties  fakem  trabium  ,  quam  lit- 
tera  C  defignauimus  vltra  rationem  i  :  n  augcatur. 
Quanquam  enim  hac  ratione  non  amplius  perfeda 
fimilitudo  inter  moduhim  fubfifiet  :  tamcn  condufio- 
nes  ,  quas  no(^rae  formulae  fuppeditant  nihilo  minus 
valebunt  ,  dummodu  difiimihtudo  won  fuerit  enor- 
mis  ,  atque    oncra  vtrinque    aequabihter    per    totam 

Tom.XX.  Nou.Comm.  Nn  lon- 


28a      DE  DIIVDICANDA  FIRMITATE 

longitudiiiem  diflribuantur.  Quemadmodam  enim 
piMitem  cum  nioduio  coinparauimus,  nulia  neceditas 
\rgct  ,  vt  omnes  tcrnae  dimtniiones  a  ,  b  ,  c  ct 
A,  B,  C  eandem  prorlus  intcr  fe    teneant    ratiunem. 

§    iS.    Maneat  igitur  ratio  longitudinis  ff:  Azii :» 

fiue   A  ~  «  ^  ,  eadcmque  ratio    etiam    pro    latitudine 

retineitiir  vt   lit  13  — n^;    vcrum   pro  crafiltic  fta- 

tuatur  C  —  c  f,       Hiiic    igitur    formula    noUra     pro 

'onere  Q  (§.  i5.)   innenta  fequenti   modo    fe    habcbit: 

(^zz:  z  z  i  p  -{-  q  )  —  12  n  z  p. 
Ex   liac  igitur  aequationc    fi    onus    n     ponte    gertan- 
dum  Q  fuerit   praefcriptum   dcfiniri   potcrit    quautitas 
incognita 

Hinc  igitur  ,  ft  rircuindantiae  permittant ,  vt  in 
conliruftionc  pontis  craifities  trabium  tanto  maioc 
capi  qucat  ,  huc  modo  ponti  futhciens  firmiias  coii- 
ciliabitur. 

§.  19.  llhiftreinns  hnnc  formulain  quodam  excm- 
plo  ,  CL  luinamus  huitudincm  fluu:i  tricies  lupcr.ire 
longitudincm  moJuIi  ,  liuc  clle  n  ~  30.  Suuiamus 
porro  pontcm  tantum  roboris  liabere  debere  ,  vt 
fuftincre  ,  qucat  onus  ~  3600  p  ;  moJuh)  autem 
explorato  tantum  prodiilfe  </  ~  30  p  ,  vndc  fi  pons 
pcrfcffle  liiiulis  conlitcrcrur  mojulo  ,  proJirct  tan- 
tum  Qrrpoo.  p  quain  ob  reni  in  noftra  formuLi 
faciamus   q  —  ^op  et  Qzrs^oop  ac  rcpcriemus 

pDQ.  -H  V  900'.  -h  4.  31.  3600 

*y    —     —  ■■  ■  11.- -■    ■  .  -     -       -    _ 

a.  3i 

quae 


PONTIS  EX  AIODVLO.  283 

quac  rcducitur  ad 

900.  -|-  30  V900  -f-  16.  3  £ 

s  — ;; 

cuius  valor  ergo  rcpcrietur  2—32,595,  vnde 
perfpicitur  ,  hoc  ca(u  pontcm  (atis  firmitatis  cfTe 
adeptiinini  ,  duminodo  craHities  trabium  32?  \ici- 
bus  maior  fumatur  quam  in  modulo  ,  dum  bmae 
rcliquae  dimenGones  tantum  tricies  maiores  (uman- 
tur  ;  quo  pado  difcrimen  ,  quo  a  fimilitudine  rece- 
ditur   vix  animaduerti    poterit. 

§.  20.  Hoc  igitur  rcmedium  etiam  in  vfum 
vocari  potcrit  ,  quamuis  mcdulo  per  experimenta 
explorato  onus  q  muito  mmus  repertum  fuerit  , 
quam  ^9  p-  Qiiod  vt  gcncralitcr  o(kndamus  pona- 
mus  experimenta  in  modulo  infiituta  praebuiffe 
(ji  :=;  (  X  —  I  ) /> ,  inanentc  onere  ab  ip(b  ponte  ge- 
ftanao  Q^  — s^oop.  Cum  igitur  hinc  fit  p  +  q-^^Kp 
habebitur 

000-1-30  "1''^  9004- 16  A  ,  , ^ 

z—- -^ zjif  (30  +  y9oo+i6X). 

Hic  igitur  incipiendo  a  vak.re  X  =r  33  dontinuo 
minores  aflTumamus,  et  valorcs  ipfius  z  inde  re(ul- 
tantcs  in  fequcnti  tabula  exhibeamus 


N  n   a 


a84-     DE  DIIVDICANDA  FIRMITATE 

X  '^-(X-i)/>'srri-'(3o  +  V9oo-+-i6X) 

~~  30,  81 

31,68 
32,  S5 

33)  5S 
34,  <5a 

35,7+ 
3<5,<5i 

38,  23 
39,63 
41,  14 

42,79 
44>  5S 
46,  54- 

48,70 

§.  21.  Ex  hac  igitur  taLula  colligimus ,  (i 
firmitns  moduli  tantum  praebucnt  <7  rr  20  />  ,  quo 
cafu  cxftrudio  pontis  penitus  repudiauda  videri  poflet: 
tamcn  ci  (atis  roboris  concihatum  iri  ,  fi  modo 
crafluics  trabium  fccundum  ratiomm  1:48,70  mul- 
tiplicetur.  Similiquc  modo  etiam  in  aliis  cafibus  , 
\bi  pontcs  vd  alia  Iniiusmodi  opcra  fccundum  mo- 
dulum  cxlhui  proponuntur  ,  facile  diiudicari  pote- 
rit  ,  vtrum  fatis  firmiiatis  rint  habitura  nec  ne  ,  at- 
que  adeo  poftcriori  cafu  firmitaicm  pro  lubitu  au- 
gcrc    liccbit. 

§.  32.  Vcrum  quia  pontcs  etinm  impetui 
\cntorum  fitis  rcfilkre  dtbLUt  ,  cxploran  ctiam  de- 
bcbit    modulus   ,     dum    tortillimo    vvnto    cxponitur. 

(^uod 


33 

3-p 

32 

3i/> 

51 

3op 

30 

29/) 

^9 

28/> 

28 

^lp 

2r7 

26  p 

26 

25  p 

25 

2^p 

24 

23P 

23 

22  P 

22 

21  p 

2^. 

20  p 

;-(*0 

ipp 

rONTIS  EX  MODVLO.  aSs 

QiioJ  fi  cnim  cius  impetum  ruflincrc  valcat,  ctiam 
ccrti  cflc  poterimus,  ipfum  pontcm  a  taJi  vento 
nulliim  damnum  cfTe  pafTurum.  Cum  cnim  im- 
pulfio  venti  eiusdem  fuperfjcici  fit  proportionalis  > 
ideoque  rationem  i  :  n  11  tcneat  ,  quoniam  firmitas 
qu.i  vento  rcfiftitur  candem  rationem  fequitur  ,  ma- 
nifeihim  e(t  ,  ipfum  pontcm  eosdem  venti  impetus 
fultiucre  pofTe  ,  quibus  modulus  rcfificrc     valnerir. 

§.   ^13.  Sin  autcm  forte  eucniat  ,  vt  pons  noa 
fatis    roboris    liabere    dcprehendatur  ,    tum     eius  vis 
vento  refificndi  facile   augcri    potcrit  ,    dum    latitudo 
trabium     maior    accipietur  ;    imprimis    autcm     vtilc 
crit  ,  ponti     in  vtroque    termino    maiorem     tribucre 
latitudinem     quam    circa     medium  ,     vt    hoc    modo 
vento  quafi  forniccm   offcrat  ,    quo    eius    impulfioni 
multo  fortius  refillat.      Vix    autem    hinc    quicquam 
mctuenduni   videtur ,  dummodo    ratione    prioris    ge- 
ncris  fitis  babuerit  roboris ,  eique    infuper    fufficiens 
laiitudo  iribuatur. 


Nn   3  DE 


DE 

GEMINA  METHODO  TAM 

AEGLVILIBRIVM 

QVAM  MOTVM  CORPORVM 

FLEXIBILIVM 

DKTERMINANDI, 

ET 
VTRIVSqVE  EGREGIO  CONSENSV. 

Autftore 
L.     E  F  L  E  R  O. 

Iam  iti  Tomo  lU.  Convncntarlonim  prlorum  Acade- 
miae  Imperia/is  expolui  mcthodum  \niucr(uLm  , 
inucniendi  figuram  ,  quam  fihim  fiue  pcrfcdle  fle- 
xile  fiue  infupcr  eUifticum  a  potentiis  quibuscun- 
que  follicitatum  ,  inducrc  debet ,  vt  in  aequilibrio 
conquielcnt.  Mcthodus  autem  haec  dodrina  momcn- 
toruai  innitcbatur  ;  quandoquidem  fumma  omnium 
momentorum  ,  quac  cx  finguhs  vinbus  foUicitanti- 
bus  nalcuntur,  pro  quouis  fili  pundo  cum  cius  cla- 
fticitate  vbique  in  acquiiibrio  confilkre  debct.  De- 
intie  vero  non  ita  pridcm  in  Tomo  XV.  nouorum 
Commentariorum  longc  aliam  mcthodum  tradidi    cas- 

dem 


DE  APqVIL.  ETMOTV  CONP.  FLXIB^L.  237 

dem  quacftiones  refniuendi  ,  qn:ie  nocit^ni  tenfionum 
qua  fiiigula  fili  elementa  afficiuntur  crnt  innix;». 
Formulac  aiitcm  quibns  hacc  lolutio  poHcrior  coa- 
tinetur  ,  tantopcre  a  (olutione  prit)ri  diiii  krc  viden- 
tur  ,  vt  pnmo  intuitu  vix  vlliim  cenlenlom  peripi- 
ccre  1  cca:  i  cuius  diuerfitatis  ratio  maniKfto  in  eO 
e(t  po(ita  ,  quod  hacc  duo  principia  ,  alcLrum  (cik- 
cct  momentorum  ,  akcrum  tenfioaum  tantopcre  a 
fc  inuicen^  dilcrepant  ,  vt  niliil  commui>e  habcre 
viucantnr.  Quin  etiam  ,  nifi  pro  huiusmooi  proble- 
matibus  dcterminatis  tx  vtraque  mcthoao  eadem  pla- 
ne  (olutio  eliccretur,  merito  quis  dubirare  poHct,  num 
irtae  duae  methodi  intcr  fe  conucnircnt  ,  quod  qui- 
dem  dub;um  me  ipfum  non  fem.el  haefitanteiTi 
reliquit.  Quam  ob  rem  Geomctris  munus  haud  in- 
gratnm  me  efTc  oblaturum  coifido,  fi  egrcgium  coa- 
fenfiim  intcr  haec  duo  principia  toto  coelo  a  fe  in- 
■vicem  diuerfa  dilucide  demonflraucro. 

■  t 

Status  quacflionis. 

§.  2.  Propofito  filo  quocunque  A  M  B  ,  fiue  Tab.IV. 
perfcdlc  flcxili  ,  fiue  vtcunque  eLifVco  ,  cui  in  fin-  ^'5-  ^- 
gulis  elementis  vircs  quaecunque  tuerint  apphcatae  , 
fit  A  M  B  eius  figura  ,  quam  in  ftatu  aequiiibni 
induit  .  eaque  more  (blito  ad  axem  fixum  A  E  re- 
feratur  per  coordinatas  orthogonalcs  A  P  rz  .v  et 
P  M  —  ^'  ;  ipfe  autcm  arcus  ponatur  A  M  rr  J"  ,  cu- 
ius  elemento  M  m  —  d s  duae  applicatae  fint  vires 
ekmentarcs  ,  akera  fecundum  diri-dionem  M  P  fol- 
licitans  zzVds,  altcra  vero    lecundam    dircdionem 


^SS         D£  AEQ.V1L1BRI0  ET  IVIOT^^ 

2\1  Q  axi  paiMllelam  zrQ.r/j;  qiiibus  viribus  elcmen- 
taribus  adiungi  opportet  vires  finitas ,  quibus  filum 
vel  in  altcro  tantum  terniino  ,  vel  in  vtroque  folli- 
citatur.  Practerea  vero  ratione  clanicitatis  lilum  ita 
comparntum  concipiatur  ,  vt  fi  ad  ckmcntum  M  tn 
radius  curuedinis  fuerit  =:  r,  conRniatio  huius  cur- 
vaturac  portulet  virium  momentum  zr  ^.  Quo  au- 
tem  curuaturae  ratio  facilius  Ivabeatur  ,  ponamus  an- 
gulum  A  M  P  zr  Cp,  quem  lcilicet  tangcns  curuae 
cnm  applicata  condituit ,  eritque  angulus  Js\  m  p 
—  (p-j-^/cPi  hincque  perfpicuum  eft,  radium  ofcnli 
in  M  fore  ~  ^  ,  ficque  momentum  elaflicitatis  erit 
iA^.  His  autcm  pofitis  crit  fin.  (pzr^  et 
coC  0  —  Jf  ,  exiftcnte  d  iziL  d  a'  -\-  d/.  Confli- 
tutis  igitur  his  viribus  determinari  debet  figura  ad 
quam  filum  fe  componet  ,  et  in  acquilibrio  con- 
fiftct  :  atque  hic  quidem  momendum  efl: ,  nes  alias 
vircs  hic  non  admittere ,  nifi  quae  in  idem  planum 
cadant,  in  quo  etiam  totum  filum  continetur,  quam- 
vis  quaertio  non  multo  difiicilior  cflTct  futura  ,  fi  fi- 
lo  duplcx  curuatura  tribucretur  ,  ternis  coordinatis 
definienda  ,  vbi  ctiam  triplicis  ordinis  vires  in  com- 
putura  duci  dcberent.  Verum  pcrfpicuitui  potifli- 
mum  confulentcs  omnia  in  eodem  plano  cxiflere 
concipiamus.  Intcrim  tamcn  ipfnm  fikim  vtcunqne 
in  aequalitcr  craffum  ct  clalkcum  Ikitncrc  licct,  quan- 
doquidem  hinc  lolutio  non  cuadit  difricilior. 


Solu- 


VCORIORVM  FLEXIB.UVM.  289 

Solurio  piior  cx  priiicipio  momcntorum 

pctita. 

§.  3.  lOa  fbliuio  in  hoc  confirtit,  ■vt  omniiim 
viriiim  clementarium  quae  pcr  totum  urcnm  A  M 
funt  applicatdc  momenta  refpcdu  pundi  M  quae- 
rantur  et  in  vnam  fummam  coUi^^aniur  ,  quac  de- 
inde  elafticitati  ^^  aequalis  pofita  aequatioDem,  ex- 
hibebit  pro  figura  laminae  quacfita.  Uum  igitur 
oninia  illa  momenta  elementaria  co:iquiri(nus  puii- 
tflum  curuac  M  tanquam  fixum  ,  eiu^que  cooidina- 
tas  ;v  et  j'  quafi  confiantcs  (pedare  debemus. 

§.  4.  Confideretur  i^itur  portionis  AM  cle-  Tab.  IV. 
mentum  quodcunquc  in  Y,  quod  fit  zrfl^S  ,  pro  ''^"  *' 
quo  ponantur  coordtnatae  \ariabiles  A  X  =:  X  et 
X  Yrz  Y;  tum  vero  "vircs  ifii  elemento  npplicatac 
fitit  fecuiidum  YXzzpdS»  et  fccundum  Y TL  —  qdS; 
quac  polUrior  dircdio  axi  parallela  applicatae  fixae 
P  M  cccurrat  in  pui'(flo  \  ;  quibus  pofitis  \is  ele- 
nient.iii»  p  d  S  momenium  rcfpedu  pundi  M  erit 
pdSPX— p(:/S{x~X)  quorum  ergo  momen- 
torum  fumnia  irit  x  f  p  d S  —  fX  p  (I S  pro  arcu 
A  Y  lam  prom*  ueitur  pundum  Y  vs-)ue  in  M, 
et  .Tbibunt  litttrae  X  ,  Y  ,  S  ,  />  i'i  .v  ,  /  ,  i"  ,  P  , 
ficque  iltud  mnn.entum  totale  cxxi  x  fV ds  -  f  x?ds, 
cuius  diflerenti.ile  i{\  dxfFdsy  quod  itcrum  inte- 
gratum  praebet  iftud  mome-itum  — /<^  Ar/F  </ x,  quod 
curuaturani    in    M   augerc   tcndit. 

^.    5-  Simili   n  odo  vis  tlementaris    YZ— <?<// 
momentum    pro  M   producit 

—  qdS.  ^iV  -  qdS{j^Y) 
loiu.XX.ISou.Cumm.  Oo  quod 


«po         T>E  AEQVILIBRIO  ET  MOTV 

qiiod  ergo  cufuaturam  minuere  conatur.  Summa 
i^itur  oinnium  horuin  mo;nentorum  per  nrcum 
A  Y  erit  yfqdi  — /Y  q  d  :i  ,  quod  vsque  ad  M 
promotum  ,  quouiam  quautitaces  Y,  q^  S  abeunt 
Ji  s  tt  (^  crit 

yf\lds—fyQ_ds—fdj(^ds. 

<§.  6.  Cum  igitur  cx  omnibus  vinlxis  arcui 
A  M  npplicntis  oriatnr  momentum  ad  curuaturam 
augcndam  tendens  -zi  fd  x  f?  d  s  —  f  dy  f  (^d  s\  hoc 
"Vtique  cl.ifticitati  aeiuale  poni  debet ;  \nde  iftam  adi- 
pilcimur  aeqnatic^nem : 

fdxf?ds-fdyfq_ds-'-^ 

qua  natura  curnae,qaam  lamina  in  (latu  aequilibrii  acct- 
pit,  dcteririLnatur,  ita  vt  ope  huius  niethodi  lcn  per 
tigura  laininac  a  quibuscunque  viribus  lolliLitatac  dc- 
finiri  queat.  Neque  vero  hinc  lymptomata  ,  quae 
figuram  laminac  comitantur  ,  cognolccre  licet  ,  cu- 
iusmodi  Cunt  :  ttnfio  quam  finguLi  elcn.enta  lurti- 
nent;  tum  vcro  etiam  vircs  normales  ad  curuaturain 
cuiusque  elerr^enti  proJucendam  rcquifiias;  qnem  de- 
fcdnm  pcr  aheram  nicthodnin  ,  cuius  exphcatio  fe- 
quitur  ,  fupplcre  fum   conatus. 

§.  7.  Ante  autcm  qu:im  li.nic  mcthoium  de- 
feramus  aiiain  viain  odenditte,  iuu;tbit  ,  qua  fme  con- 
Cderationc  clcmentorum  intcrmediorum  Y  totum 
negotium  confici  poterit.  Dcnoiet  Al  funnnam 
omnium  inomcntorum  ex  viribus  (ecundum  dirnflio- 
ncm  applicatarum  M  P  agciuium  oriundam  pro 
puudo    M,    eritque    pro    puiufto.  m   eadem   fuinma 


CGRrOPvVM   FLEXIBILIVM.  apr 

^  M -^  d  M:  veriim  fi  finguhirum  virium  elemen- 
tarium  momciita  a  puiido  Al  vsquc  in  ///  transfeia- 
nuis  ,  fiii^ulac  inlliper  ptr  elenieiituni  J  x  niultipli- 
care  oportet ;  ficque  incrementum  rt' M  repcriiur,  fi 
omnes  iilac  vires  elemontares  ,  quarum  lumma  vti- 
que  eft/P^-f  per  elementum  dx  multiplicentur  , 
\[\J.e  fit  d  ^\  zz  d  xj?  d  s  ideoque  porro  ipium  mo- 
mentum  M.  —fd  x  J?  d  y.  Eodemque  moi!o  intd- 
ligitur  fore  fumma  omnium  momcntum  ,  ex  alte- 
ris  viribus  (ccundum  dirciftionem  P  A  agcntium 
fdyfQds^Cuivs  rnriocinii  ope  praecedens  aequatio 
pro  figura  laminac  eruitur. 

Solutio  pofterior  cx  principio  tenfionum 

petira. 

§.    8.  Quia  tota   Limina  ob  vires  ipfi     applica-  Tab.  IV. 


iZ. 


ta«  in   llatu    violento   tenctur  ,  euidens   efi  ,    fi   portio      S 
A  M  refecetur,  reliquam   portionem  B  M  fubito  lon- 
ge  aliam  figuram  eflTe  accepturom.    Quod    igitur    ne 
eucnint  ,   perpcndamus ,    cuiusmodi    vircs   pundo    M 
applicari  conueniat  ,    quibus   fiipenor    portio   B  M   ira 
eodem  fiatu  confcruetur  ,    ac   (i   cuni    portioiie     M  A 
manfifftt  connexa-      Ac   priino  quidCiii   facilc   intel'i     Fig.  3. 
gitur  pjncflum   M    certa  quadam   vi  quae    fit    r:^  T 
fecundiim    tangentem    M  T   trahi   dtbcie  ,  qua   fcilicet 
tenfio  elcmcnti    M  ?// ,    qiiamcunque    liabutrit ,    obti- 
reatur.      Praetcrea   vero  quia   elementum    /Vl  ;//   habet 
curuaturam  —  ^,  vnde  nafcitur    vis    daftica    ^-^9 
requiritur  vis  quaepiam  normnlis  TV  quac  fitnV, 
cuius   momentum  relp.du  pun(fli  M   cum  eiafiicitate 

O  o   2  in 


apa        r)E   AEqVILIBPvlO   ET   MOTV 

in  neqiiilibrio  confiftat.  Hic  fcilicet  loco  tmgentis 
M  r  virgam  ngid.u-n  co^icare  conujnit,  vt  idea 
momenti  locum  haberc  pM\]t  Vocetur  igitur  di- 
ftant  a  M  T  — 'y,  et  illius  vis  norrulis  mnmentum 
cr;t  —  V  «y,  quod  elafticitati  aequatum  nobis  fuppe* 
diiat  pritnam  aequ.itionem 
I.    V  v-^^.. 

d  s 

Simili  igitur  modo  pro  pundlo  m  habebimuc  v'ni 
tangcntialcm  T -\- d  i'  et  normalem  t  v  —  V  -{-d  V^ 
vna  cum  interuallo  mt  —  v-\-dv,  vnde  pro  pun- 
&.0  m   nafcctur   momentum 

{y  ^dW^lij-^-dv)  —  ^  v-\-d,Y  V. 

§.  9.  Reuera  autem  elcmentum  Mm  —  df 
fuftinet  vt  vidimus  duas  vires  elcmentares  Vds  et 
Q_^/  fecundum  dircdiones  M  t"  et  M  (^(videfig.  i.) 
ex  quibus  eliciamus  duas  alias  vires ,  alteram  fecun- 
dum   langentem  M  T  agentem  ,  quae  erit 

P<//co(.  Cp-hQr/j-fin.  Cp. 

cuius  loco  fcribamus  breuitatis  gratia  pdsj  altcrarn-. 
vero  ifti   normalem 

?  d  s  fm.  (p-(^d  s  corc|), 
cuius  loco  fcribamus  <{  d  s ^  quam  in  M    applicatam 
coicipinmus  N[~qdsy  dum  alteram    vi  tangentiali 
addamus  vt  fit  T  p  zz  p  d  s. 

§.  10.  Nunc  igitur  pro  tangente  M  T  ,  ad- 
iecftis  idis  viribus  elementaribus  ,  vis  tangentialis 
erit  T -\- p  d  s  -^  tum  vcro  praLtcr  vim  nonnalem 
T  V  —  V    habcbimus    in    M    etiam.   vim  normalcm 

Mq 


CORPORVM  FLEXBILIVM.  593 

"M  q  —  q  d s^  atqus  hae  \ires  imitftim  fumtae  aeqiit-- 
valere  debent  viribus  quas  tan^enti  proximae  in  t 
applicatas  concipiamus  ,  quandoqiiidem  iilis,  quas 
tnni^enti  M  T  applicatas  concepimus  infuper  binas 
vires  ekmentum  M  m  vrgentes  addidimus.  Hunc 
in  finem  vires  tangenti  m  t  applicatas  transferamus 
in  tangcnrem  principalem  T  M  ,  et  quia  angulus 
T  m  t  —  d(^  vis  tangentibus  mt  —  T-\~dT  dabit 
vim  fecundum 

mT  ~  {T  -\-  d  1)  zo^.  d  (^  —T  -\-  dT\ 
praeterea  vero  etiam  praebet  vim  normalem 

mr-(T-\-dl)d(^,. 
Pro  rtloliitione  autem  aiterius  vis    figuram    peculia- 
rem  confideremusdiic   fcilicet  normalis  tu  priorem  Tab.  IV.' 
tangcntem   (ecet  in  Cp)  et  fumamus  vim  o«- V-f  </V,  ^'S-  ♦• 
quae  rcfoluatur  in  vires ,    alteram     normalem    osrrz 
V -f- <^  V  ,     altcram    vero    fccundum    tan^entem  s  ti 
—  {y-\-d\]d(^  ob  angulum  u  0  s  —  d  (^. 

§.  I  r.  Vires  igiturquae  ex  hac  translatione 
prodierunt  funt  ,  primo  tangentialis  T  -\- d  T  vna 
cum  vi  illa  lecunuum  s  u~  (y  -\- dV)  d  (^  ^  quae 
ergo  fupcrionbus  langentialibus  aequalcs  efle  cebent , 
quae  crant   1  -{- p  d s  ,  vnde  ontur  illa  aequatio: 

T -\-dT -\-{W -\-d\)d(p—T -\-pd  s 

quae  reducitur  ad  h^inc;- 

dT-\-W  d(p-pds 

qnae  efl  fccunda  ae  luatio  ad  auam   peruenimus.  De- 
inde    tranblatio    illa    pracbuii    illas     vires    normales 

O  o   3  Oi  ~ 


29+      DK  aeqvil:brio  et  motv 

0  j-  r:  V  H-  «/  V  vna  cum  \i  w  f  =r  (T  -f-  </  T)  ^  (J) 
jn  contr.iriam  partem  \ergcnte  ,  ficqiie  harum  diffe- 
rentia  \  -{-  d  \l  —  {1  -^  d  T)  d  Cp  aequahs  cfle  debet 
■viribus  normiilibus,  qufls  tanyenti  MT  applicatas  re- 
perimus,  lcilicet  viribus  TV  — V  et  IS\  q  zz.  q  d  ff 
\ode  ifta  oritur  aequatio  tcrtia: 

V_f-^  V  -(T^rt^T^^Cp^:  V  ^  q  d  f 
quae  rcducitnr  ad  hanc: 

dV  -T  d(l)  =  qds. 

At  vero  non  fufficit  iflas  vires  normnles  intcr  (e  ae- 
quaffe  ,  (cd  necefle  e(l  ,  \t  ctiam  carum  momenta 
rc(pc(^u  eiusdcm  pundi  tn  inter  le  rcdoantur  nequa- 
lia.  Hunc  in  finem  cum  fit  ??i  o  coi.  d  (^  ::z  v -\- d-v 
hoc  cH  ?iio  —  v-^dv,  crit  vir;um  tranblatarum 
inomcntum 

(V^-r/V)  (aJ-f-rt^t^^-lT-^f/T^.orzVr-f-r/.  V<y 
Tirium  vcro  normalum  tangenti  wT  adu    apphca- 
tarum   n  omentum  fict 
W .T ??! -hq d s.  M  }>i zz:  V  (v -\- d s)  +  qds^' ~V v-\-V  d f  ^ 

quia  alterum   membrum  continet  infinite  paruum  fe- 
cnndi    ordinis  j    hinc    igitur    nafcitur    illa    acquatio 
quarta 
\  V  -i-  d.  V  V  —  \/  n;  -^  V  d  s  f\uc  d\  v  —  \  ds- 

§.  12.  Mas  igitur  quntuor  aequationes  ex  ra- 
tiocinio  (uperion  dcdu(f>as  codem  ordine  repraefen- 
temus  quo  cas  in  loi/iO  Xf.  Co??mc?U.  pag.  329. 
reiuiimus 

I. 


CORl'0:iVM  FLEXIBILIVM.  295 

I.     dT  -^V  d(p  —  pds 

IL   ^V-T^/$>  =  V^^ 
111  V  (i  fznd.V  V 

quibus  :idiun:;,i  debet  priiicipalis  hic  primo  loco    in- 

\cnu 

IV.  Vvzz^-P 

ds 

\bi  intucnti  null.i  prorlus  con-ucnicntia  cnm  praece- 
dentc  IbUitione  patebit.  Vnde  eo  magis  necefTdrium 
videtur,  piilcherrimum  conieiifum  inser  hns  duns  (o- 
lutiones  toto  cotlo  quafi  a  ie  iniiicem  difcrepantes 
demonrtrarc. 

Demonftratio   confenfus    inter  has  duas 
Iblutiones. 

§.  13,  Hic  igitur  ante  emnia  ipfas  vires  elcmen- 
tares  iu  quaellionc  propofitas  ,  Prfx  et  Qds  intro- 
ducamus  ,  ct  duac  acquationcs  nollrae  pnorcs  hanc 
induenc  formam; 

I.  </T-f  V  ^d)  — Pr/i-cof.  (p+Q^x  fin.Cp 
II.  ^\'~Td<p-V^s  fm.  (p-Qd  s  cof.  (p. 

lam  illi  combinatio  I.  cof  (p -|- II.  fin.  <$>  pracliet 

^T cof  0-T^<|)fMi.CpH-fl' V  fin. Cp-f  V  ^4)cof(|)  —  P</ir 

cuius   integrale  eft 

T  cof.  CJ)  H-  V  fi».  (p—f?ii  s. 

Deinde    \ero     ifta    combinatio    I.  fm.  (|)  —  II.  cof  Cp 

praebet 

</ T  ftn.  Cp  +  T <^(I) co(.  CP  - <^  V  cof  (p 4- V  rfCp fin. (p  =  (y/ 

et  inte^rando 

Tfin.  Cp- Vcoi:cp— /q</y.  '         Nunc 


t9<J        DE    AEQVILIBKIO    ET    MOTV 

Nunc  fi  prior  in  coC.  Cf) ,  pollerior  vero  ia  fin.  (|) 
ducntur  ,  ("umma   prodibit 

T  zz  col.  CP/P  rf  X  -H  fin.  (pfQ^ds. 
At  fi  a   priore  duda    in  fin  (J)    duftramus    pofterio- 
rem   duftnm  in   cof.  ([)  reiinquctur 

V-  fin.(t)/P^  J-cof.  (P/(ldf. 

Hoc  igitur  modo  amb.is  vires  incngnitas  VetT,quns 
ad  ftatum  elementi  M  m  cognolcenduin  in  calcnlun 
induximus  ,  per  folas  vircs  .elementares  Vds  e£ 
Q^j"  quas  tanquam  cognitas  fpedlare  licet  cxprcfli- 
mus  ,  ita  \'t  nunc  loco  aequationum  J.  el  11  nadi 
(inus  has 

1°.  T=cof.  (p/P^x+fin.  (p/^Q^/x 
^i*.  V  —  fin.  (p  /  P  ^  i  -  cof  (P/(^ds. 

§.  14.  Niinc  etiam  confideremus  binas  reli- 
quas  aequntiones  111  et  IV  ,  in  quibus  tantum  du:ie 
incogniiae  occurrunt  ,  fcilicct  V  et  1; ;  et  quia 
IV'"  Iponte  praebct  V  17  —  ?^- ,  erit  diffv.rentiando 
</.  V  V  — </.  ^^  ;  per  tcrtiam  autem  erat  V  —  ^-^'^ 
vnde  colligimus  V  — ''-^— :  in  hnc  fcil  cet  diffc- 
rentiatione  elementum  ds  pjo  conlbnte  alfumimus^ 
quo  ergo  valore  in  priore  fublUtuto  prodibit 

-.— -SdCJ)  S  d^  ds 

V~d  s  oTsd  Cp' 

Hoc  igitnr  modo  anibas  incognitns  V  ct  v  per  fym- 
ptomata  ipfius  curu;ie  ,  per  qi:antiiatcni  elafiicitatis 
qua  Limma  in  finguHs  dementis  gaudet  exprefiimns, 
ita  vt  nunc  loco  bmarum  aiquationum  ill  ct  l  v'. 
lias  duas  nouas  fimus  afllqiiuti  : 

3'.  V=:^^  ct  ^\  1^^!^%.  §.   '5. 


CORPORVM  FLEXIBILIVM.  297 

§.  15.  T:\li  i^iitur  cuolutione  gcminum  valo- 
rem  pro  cadem  vi  V  'fcilicct  No.  2  ct  3  elicui- 
mus  ,  qui  crgo  intcr  fe  aequati  fequentcm  nobis  fup- 
peJitant  aequationcm  : 

fin.  (p/P  d  s  -  cof.  C|)/Q  d  i  -  '^.^jA^ 

quam   pcr  ds  multiplicemus  ,  ct    quoniam    erat 
dx  —  ds  fin.  ($)  et  d y  zn  d  s  cof  Cp 

obtinebimus  hanc  aequationem  : 
dxfVds-djf(ldsz:^^^ 

quae  intcgrata   praebet 
Jdxf?ds-fdyf(lds  z=.  ^^>^ 

qua  ergo  aequationc  natura  curuae  pf=r  mera  ele- 
menta  cognita  exprimitur  5  atquc  haec  aequatio  ma- 
nifello  ert  prorfus  eadem  ,  ad  quam  nos  prior  me- 
thodus  ex  doiTtrina  momentorum  petita  dcduxerat  , 
ita  vt  nunc  quidem  pulcherrimus  confenfus  vtrius- 
que  methodi  clarifluTie  eluceat.  Verum  methodus 
pofterior  priori  vtiquc  maxime  antecellit  ,  cum  no- 
bis  non  folum  figuram  laminae  exhibeat,  fed  etiam 
ftatum  violentum,  in  quo  fingula  laminae  elementa 
reperiuntur  dcclaret. 

§.   1(5".  Quemadmodum    binas    vires    T    et    V 
per  folas  vires   elementares /Pr/x  et  fQ^ds  exprefliis 
dedimus  ,    ita  etiam    interuallum   MT  =zv  per  cas' 
dem  definire  licet  ;  cum  enim   fit 
"4r=f^^'f^^^-f^jfQ.ds    €t 

<Lli^-dxf?ds-djf(lds  eric 

dxjfds  —  dyj  QdT  • 

Tom.  XX.  Nou.  Comiii.  P  p  fn 


.  -pS       DE    AEQVILIBRTO    ET    MOTV 

Tab.  rv.  1,1  his  flutcm  fbrmulis  integralibus ,    quanquam    folas 
*'S-  5-    vires  elcmcntiues  complectuiitiir,  etum   vircs  finitne, 
quibus  forte   hmina  in   termino  A  follicitacur,  com- 
preheadi  poffi,uu.  Si  enim  lamina  in  ipfo  termino  A 
\rgeatur  a  viribus  A  E  et   A  F   fecundum    dirccflio- 
nes  abfciffarum    et    applicatarum  ,.    tum    manifclUnn 
cft  ,  fbrmuLim   integralem /P^  j    in  fe  compreben- 
dere    debere    vim    A  F  ,    aiteram    vero    formulana 
/Q^ds  vim  A  E.       Id    quod  etiam  ee  altcro  lami- 
nac  tcrmino  e(l    intelligcndum  ,    quandoquidem    cal- 
culum  eodem  modo  pro  altcro  termino  B  inflitucre; 
poircmus.. 

§.   17.  Ferpctuo  autem    probe    tenendum    c(?^ 
fi"  calcuium  quem   liadenus  pro   termino   laminac  A, 
inllruximus  eodcm  modo  pro  altcro  tcrmino  B    in- 
llituamus ,  non  folum    candem    curuam    pra    figura 
laminac    reperiri    deberc  ,    fed    etiam    vires ,    quibus. 
liatus  violcntus  cuiusque  'eliementi    defuiitur  ,  vtrin- 
Fig.  6..  qtie  easdem  prodire  debere.      Qiiod  fi  enim  tangen— 
tes  T  M  et  ; ;/?  ad  alteram  partcm   continuamus  in 
M  T'  ct  m  i' ,    tum   etiam    eaedem    rcfultarc    debent 
\ires  tangcntiales  T  et  T  +  ^T,  atque  etiam  vircs 
normales  T  V  et    T' V    cum    interuallis     MT    et 
M  T'    neccfiliria  conucnire    debcnt ;    quod    idem    de 
tangente   proxima  t  m  t'  cft  intclligcndnm.    Praeterea- 
■vero  etiam  vires  elementares,  quibus  laminae  portio- 
BM  follicitatur ,  tantum  ratione  figni  ab  illis  qui- 
bus  portio  A  M  aflicitur   difcrepabunt,      Cum    enim 
tota  lamina  fupponitur  cffc    in    aequilibrio  ,    ncccffe 
clt ,,  vt  omncs  vircs  vtrinque   fe    mutuo    dcftruant , 

itaj. 


CORPORVM  FLIXIBILIVM.  295 

ita  ,  "Vt  valorcs  f?  d  s   tt  fQ^ds    pro    alten    B  M 
abire  debeaiu  in  —fVds  et    —fQ^ds. 

§.  1  S.  Hic  oinni  attentione  dignnc  vidcntiir  cgre- 
gjnc  relntipiie?,  quas  poikrior  methodus  nobis  inter  vires  - 
clementares  et  vires  T  et  V  ciim  intcrunllo  MTzii; 
mnnifcrtnuit  ;  qune  conucnicntia  ,  quanqunm  finc  du- 
bio  in  primis  Staticae  principiis  cll  fundatn ,  tamen 
non  tam  facilc  perfpicitur  ,  qunm  ob  rcm  operae 
pretium  erit  iftain  conuenientiam  in  (cqucntibus 
theorematibus  clarius  oftendcre. 

Theorcma     i. 

§.    19.  Vis  tangentialis  T  ,    quam    flatus  \io-  _, 

lentus  elementi  Mw  poflalat  ,  repcritur  ,  fi  fumma  jr-l  7.  * 
omnium  virium  elcmentarium  fVds  et  fQds  ':  .f '/ 
punfto  M  ita  npplicatae  concipiantur  ,  \t  illa  fVds 
fccundum  dircdionem  M  P  ,  altcra  vero  fecundum 
dirtdionem  M  Q  agat  ,  tum  vero  ambae  fecundum 
dircclionem  tangentis  M  T  rcfoluantur  ;  hoc  enim 
modo  refultat  formula  cof:  Cp/P  ^  j  +  fip.  (p/Q_//i", 
cui  vis  tangentialis  T  aequalis  eft  iuuenta, 

Theorema     IL 

§.  20.  Vis  normalis  TV- V  ad  (tatum  vlolcntum  Y\<y.  7. 
elementi  M  ?«  requifita,  repcritur,  fi  fumma  virium 
elenientarium  fVds  vt  ante  pundlo  M  in  dirccftione 
M  P  applicata  concipiatur,  altcra  vcro  [Qds  in  dircdio  • 
ne  MQ,tum  vero  vtraque  fecnndum  dirc<flionem  ad 
curuam  normalem  M  N  rcfoluatur;  tum  enim  pro  hac 
dire(ft:one  refultat  vis  fni.  (p  dfV  d  s  —  cof  (pfQd  s, 
I,-  r  p   2  cui 


300       DE    AEQVILIBRIO    ET  MOTV 

ciii  vis  illa    normalis    T  V    aeqiialis    fupra    e(l    in- 
\enta. 

Theorema    III. 

Tnb,  iV.  $.   2  1.  Si   vires  tangentialis  T    et    rorn^alis  V 

yig-  7-  pundo  M  fccLindum  diredioncs  M  T  et  M  N  ap- 
plicentur  ,  eaeque  lecundum  dirediones  coordinata- 
rum  M  P  et  M  Q_  re(oiucntur  ,  pro  diredionc  M  P 
prodibit  fumma  omniutu  virium  elcmentarium  f^ds\ 
at  pro  dirtiflione  M  Q^  fumma  omnium  elementa- 
rium  f(^d  s.  Hoc  enim  modo  pro  diredione  Al  P 
prodit  vis  T  cof.  (p -I- V  fin.  (J)  — /P  rt' x  ;  tum  vero 
pro  diredione  MQ   vis   Tfin.Cp  — Vcol.Cp=y  Q^^i-. 

Theorema    IV. 

y.  §.  2i.  Si  pro  pundo  laminae  M  tangenti  MT 

appHcata  fit  \is  T  V  zr  V  ,  in  diltantia  h\T  —  v  , 
fimilique  modo  pro  puncflo  laminae  proximo  ;/;  cius 
tangenti  m  t  applicata  fit  in  t  vis  normalis  tv~\-\-dW 
in  didantia  mt  —  ^v-^-dv  ,  harum  ambarum  virium 
T  V  et  /  «y  momenta  refptdu  pundi  in  lunua  (cm- 
per  inter  fe  erunt  acqualia.  Cum  enim  pro  vi  TV 
fit  didentia  m'\'  —  ^  -\-  d  s  -,  erit  eius  momcntum 
nz  V  V  -\-V  d  s  '^  alterins  vero  vis  t  v  momcntum 
crit  (V  -^  d  \/  )  {v  -[-  d v)  zz  '^  V  -\-  d.V  v  ;  quo- 
rum  momentorum  aequLilitas  pracbct  V dszzd.Wv  j 
quae  tfl  ip(a  acqualitas  fupra  (  111  §•    12.  )  cxliibita. 

§  23.  Quoniam  ftatum  violentum  in  quo 
laminac  elementum  M  vi  rcpcritur  ad  binas  vires 
T  ct  V  pcrduximus  ,  quarum  ilia  V  in  dillantia 
M  T  —  v     applicata   cll    concipicnda  ,    fitri    potcd  , 

vt 


CORPORVM  FLEXIBILIVM.  301 

vt  ifla  diflantia  v  adeo  vsqiic  in  infinitiim  augcatur  , 
qiio  quidcni  cafu  ipfii  vis  V  ita  euanclcit,  vt  eius 
momcntum  V  v  certum  habeat  valorcm:  (cilicct  da- 
fticitati  elcmenti  /^  aequalcm.  Cum  igitur  hunc 
cnfum  ob  oculos  ponerc  non  liceat  ,  quo  facilius 
iftum  effcdum  ob  oculos  ponamus ,  in  genere  ob- 
feruandum  efl  ,  fcmper  loco  vis  T  V  — V  in  diflan-  Tab.  IV. 
tia  M  T  —  "y  agentis  in  datis  duobus  pundis  a  et  (3  'S-  '• 
binas  vircs  a -yi  et  (3  0  applicari  pofTe  ,  quae  plane 
eunJem  cffc(flnm  fint  praeflaturac.  Sint  enini  diflan- 
tiae  Al  ct  —  a  et  M  (3  zi:  (3  ,  tum  vero  vires  qaae- 
fitae  a  v)  rr  •>]  et  (30  —  0;  ac  primo  neceffe  c(i  vt 
fit  "vi  —  0  —  V  ;  praeterea  vero  etiam  momenta  re- 
fpcclu  pundi  M  acqualia  effc  debent ,  vnde  fit 
Vi;  — "via- 0(3.  Cum  igitur  ex  priore  fit  -vi-V+O, 
erit  nunc  Vi,'— Va-|-aO— (30,  vnde  colligitur 
0  —  vtj'-^''-!  ,  hincque  y\  =  --^^^^.  Qiiare  fi  in 
punclis  a  et  p  irtae  vires  appliccutur ,  elementi  Mm 
ftatus  perindc  conferuabitur  atque  a  momento  V  'V  , 
dumniodo  in  fupcr  vis  tangcntialis  T  adiungatur. 
Ab  his  ai:tcm  duabus  viribus  •>)  ct  0  tangens  curuae 
quafi  vcllicabitur,  quippe  quo  pado  deiiiento  M  m 
curuatura   induci  poteft. 

Applicatio  ad  laminas  elafticas,  qnae  in  ftam 
naturali  iani  funt  incumatae. 

§.  24..  Hadenus  tantum  ciusmodi  laminas  ela- 
flicas  fumus  contemplati  ,  quae  naturalitcr  in  dire- 
(flum   funt  cxtenfac  ;    facile    auccm    negot;o  ,  omnia  , 

P  p   3  qu^e 


30S  I)E  AEQVILIBRIO  ET  MOTV 

quae  de  flatu  aequilibri  violento  fupra  determinaui- 
Tab.  IV.  JTius  etiam  ad  laminas  naturalitcr  curuas  transfcrri 
Fig.  ?  poffunt  ,  quemadmodum  ixim  in  Tomo  Qommenu  XV. 
fupra  allegato  pagina  329.  obferuaui.  Sit  igitur 
A  1-^  B  figurn,  quam  lamiiia  in  fitu  naturali  tenet  ^ 
in  qua  arcui  Afxinj-  conucniat  radius  ofculi  fJ-^  — r, 
ita  ,  vt  r  fpetftari  prfiit  lanqiiam  funclio  data  arcus 
A  jJL  31  i.  I>^unc  vcro  a  viribus  quibuscunquc,  quas 
yt  ante  per  "yires  .elementarcs  ?d s  et  (^d s  reprae* 
fentcmus  huic  laminac  induda  fit  figura  A  IM  B 
{  fig.  3.  )>  ^^  axera  arbitrarium  AC  rclatam  ,  nt- 
<jue  omnia  manebunt  vt  antc  ,  nifi  quod  clafticiias 
jn  punflo  J\l  uon  .amplius  foJi  formulae  ^j^  propor- 
Jionalis  fijc  ccnfenda  ,  fcd  cius  cxccifui  fu pra  formu- 
Jam  r»  itii  vjt  in  fupcriore  folutione  nihil  aliudopus 
fit ,  nifi  Yt  vbique  loco  formulae  ^-jf  fcribatur  haec 
f£)rmula.:S(|f->.). 

f.   25.  Hoc  igitur  fIi(flo  ^   primum    figtira    la- 
jjiinae  in  fiatu  violento  exprimetur  hac  aequatioac ; 
ffixf?ds^fdyj(lds-^C^^-^,.) 

praeterca  vero  vires  ad  ftatum  violcntuiTi  elementi 
M  7n  —  d  s  repracfcntandum  reqiiifitae  rruincbunt  vt 
ante 

Tncof.  O/P^j+fin.  O/Q^j  ct 

V  —  fin.  (p/P  d  s-  cof.  (p/Q^  s 
tlim  vero  ctiam  ex  elallicitate  nunc  immutata  crit 

5icque 


CORPORVM  FLEXIBlLTVAr.  303 

Sicque  fiicilc  fimt  expcdita  omnii  qnnc  de  (Tatii  ac- 
quilibrii  fiionun  quoqiic  ela(licor(tm  dcfidcrari  pnf- 
funt  ,  fi  modo  tnm  figura  quam  vircs  foUicitantes 
in  codcm  plano  fuerint  con(titut;ie.  Quemadmodum 
nutcm  inuertigaiio  motus  ,  quo  huiusmodi  laminae 
concitari  pofTunt ,  facile  ad  Oatum  acquilibrii  reuo- 
cari  poffit^  in  loco  aliegato  Toml  XV.  Commmario- 
riim  muoriim  fitis  diUicide  cxpofui  ,  itii  vt  hic  nihil 
ainplius  adiicienduiu  ccnfcam. 


m 


304.  "»^.€  (  ^  )V?-S<- 

DE  PRESSIONE 

FVNIVM    TENSORVM 

IN  CORPORA  SVBIECTA,  HORVMQVEMOTV 
A  FRlCTiONE  IMPKDITO. 

VBI  rRAESERTIMMETIlODVS  TRADITVR,  MOTVM 

CORPORVM  TAM  rERFECTE  FLEXIBILIVM  OVAM 

VTCVNQVE  ELASTICORVM  NOX  IX  EODEM 

FLANO  SITORVM  DETERMINANDI. 

DISSERTATIO  PRIOR. 

Auclore 
L.     E  V  L  E  R  O. 

Qtianta  vi  funis  cylindro  circumplicatus  prcmat  , 
et  quantum  eius  motus  ob  fricHiioncm  impedia- 
tur  iam  paflim  quidcm  a  Gccmetris  crt  oikHlum. 
Scd  meihodi  quibus  funt  vfi  plerumque  minus  funt 
dircdae;  ac  praetcrca  quacfliones  quas  tradaucrunt 
ad  cafus  nimis  particuLircs  funt  rclUidae  ;  ita  vt  iii 
hoc  genere  folutioncs  magis  dirc(fl,ie  iatiusquc  patcn- 
tes  merito  dcfiderari  qucant.  Facile  autcm  intclli- 
gitur  ,  hoc  argumcntum  ad  thcoriam  pcrfctflam  ae- 
quilibrii  ct  motus  corporum  flcxibilium  efle  rcfc- 
rcndum ,  quam  cum  nupcr  dcmum  cx  primis  prin- 
cipiis  tam  Staticae  quam  Mcchanicac  deduclam  tra- 
didiflTcm  ,  cx  ea  quoquc  foUitioncs  oninium  quacflio- 
Dum  ,  quae  tam  fuper  prcflione  quam  motu  funiuni 

corpo- 


DE  PRFS.  FVN.  IN  CORFOR.  SVBIECTA.  305 

corpori  ciiiciinquc  circumplicuoriim  formnri  ponunt 
pDtiiVinnin)  pcti  dcbebimr.  Ne  igitiir  optis  fit  priii- 
cipi;)  iuiius  Tlieoriac  aliunde  con(]uiierc,  hic  ea  dc- 
nuo  luccindc  ob  oculos  cxpcnam. 

THEORIA  GENERALIS 

circa  acqiiilibniim  ct  motum  fiiorum  flne  per- 

fc^te  flcxibilium  mie  vtcunqne  claR-icorum 

ad  tcriias  dimcnfionns  extcnfa. 

Pofitis,  pro  fili  punclo  qnocunque  z  ternis  coordi-  ■j-a,;^  V. 
mtis  O  X  —  A',  X  Y  —  j',  Y  Z  —  z  ,  fu  fili  por-  r  g.  i, 
tionis  E  Z  longitudo  —  j"  et  clemcnti  d  s  maflTuh 
n:  S  r/ .c  Tum  vero  cidem  clcmcnto  fccundum  ter- 
nas  diredioncs  principales  Z  P,  ZQ,  ZK  applica- 
tac  fiiit  vircs  V  d  s,  Qr/j,  R  d s.  Pro  incuruatione 
fili  in  Z  fudii  Ht  cliUiicitas  abibluta  n:  G  ,  hincque 
\is  ipfa  clalVca  zi  —  ,  denotnntc  r  radium  ofculi  in 
hoc  loco.  His  pofitis  pro  flatu  acqnilibrii  fequentcs 
trts  aequationes  lune  inuentae  : 

J.  fdyfVds -fdxl Qjls  —  ''' '^^-^ d^^-dx-idy) 
II.  /  dzfq_ds  -  fdyf  Kds—''' '-' -^^^  ij^.-y.Jd^r 

1 1 1.  fdxfa  ds  -fdzf  P  ds  -  211^d^-J^ddx 

quflrum  quidcm  binac  tcrt  nm  iam  in  (c  comple- 
ftjutur,  ita  vt  fiifHci:t  bi;:;is  t;r,itum  ciioUiifle.  Tum 
vero  tcnfio  fiii  ir.  pundo  Z,  qu;i  fecundom  raogen- 
tcm   vcrfus    E   vrgctur  crit 

z=:-i:^.fVds~{L^f(lds-i^.f^ds; 

Tom.XX.  Kou.Comm.  Qq  hae 


30<J  DE  PRESSIONE   FVNIVM 

Imc  fcilicct  formulae  valent  pro  ftatu  aeTuil'brii.  At 
i\  filum  ab  iisdem  viribus  foiiicitatum  vtcunque  mo- 
veat.ir ,  ternac  coordij.iatac  .v,  r,  z  rancjuam  fandlio- 
nes  duarum  variabilium,  fcilicet  ipfiusxct  temporis/ 
fpedari  debeut.  Tum  igitur  cap;autur  valorcs  fc- 
queutes : 

l^'=P-rg('TF^)5  Q.'==^-=luf)'  K',zK-^i'^) 

vbi  g  denotat  alritudincm   lapfus  grauium    vno    mi- 

nuto  llcundo.    Qui  vaiorcs  ,  fi  loco  P,    Q,  R    fcri- 

baiuur    in     praecedcntibus     formulis     pro    aequilibrio 

datis  ,  caedem    motum   fili  detcrminabunt ;  quin  ciiam 

forn;ula   pro  tenfionc  data  tcnfionem   in    (laui    m.jtus 

indicabit.      Ceterum   fi   radius   ofcuii   fili   in  puudo  Z 

ponatur   3:  r  ,  is  fequenti  formula  cxprimitur  : 
dji 

—  V((dzd  dx  —  d  xddT!,]- ^  {dzd dy —dyddzr-^idydd x  —  d  xday.-^i' 

Tum  vero  fi  ifta  formula  raJicalis  prolixa  indicaiur 
littcra  XI  ,  pianum  ,  in  quo  fit  incuruatio  ita  ad 
terna  pl.ina  principalia  AOB,BoC,  COA  in- 
clinabitur  ,  vt  trium  iftarum  inclinationum  Cofinus 
fint 

dy  dd  X  —  d  X  d  dy  .    d  zd  dy  —  d  y  d  d  z,    ,    dx  idz  —  dzd  dx 
si  ^  ">    "  n.  '        ii  ' 

H.ie    quidcm    forniulae  praecipue  ad    eiusmodi 

cafus   funt   accommodatac  ,    quibus    vircs    foiiciranus 

P,  Q,  R  vt  datae  fpcdaniur  ,    ex    ii^que    figura    aJ 

quam  corpus  flexile  [c  compouit  qua.i;tur.     At  veio 

in  pracfenti  noflro    infttuto    figura    funis    pr )    cati 

affumitur:  ipfas  autem   vires  in  fingurs  pLin :'.!•;  i  ii- 

citantcs  dftcrmiiiari    oportct,    ex    quo    nwCcil-    crit 

vfum  Iiarum  furaiularum    inucrtcrc. 

DE 


IN  COrLrORA  SVBIECTA.  307 

DE    VIRIBVS 

qnibns  funis  circa  corpns  cylindricnm  circum- 

dudns  llipcrficicm  Inbicdam  in  (ingnlis 

pnndis  prcmit. 

§.   I,  Concipuuur   corpus    cylindricum  ,    cuius 

axis  (ccundum  longitudinem  dudus  fit    horizonialis  , 

cui  nnrm:ilicci  fiifla  (k  fecliQ  vcrticalis  i\YB,  eique  in-  j,    ■  ^' 

i  12;.   2 
cumbiit  fiinis  A  Y  B  vtroque  tcrmino  A  et  B  pon* 

dei.bus    M  ct   N   cnuftus,        Primo    autcm     animum 

ab  omni    fnclione  abflrirliamus  ^    ac   manifeflum    eft , 

funem   in   acquilibrio  manere  non     po^Te    nifi     ambo 

ponoera   vtrinc]ue  appen(a   M  et  N  (int  intcr  fe    ae- 

cjuiilia.       His     pofuis    quaeritur,  quanta  vi   ifte  funis 

fuper(iciem   cylindri   cui   incumbit   in   fingulis  pundis  " 

fit  prt.frurus.     Hic  igitur  figura  funis  nobis  eQ  data, 

quandoquidcm   figunim    corporis    cylindrici    fcquitur 

et  d  reftioncs  viriuin   vtrinquc   tendentium    A  M    et 

B  N   verticjlcs  affiinuintur  ;  perpetuo  autem  ipfe  cy- 

lindrus,  cui   figuram    quamcuiique  tribuinuis,  prorfus 

imiriol)iIis   nfTumitur.      rscque   verum   hic  tantum  cy- 

lindros  circularcs ,    qui   vul_;o   hoc   nomine    defignari 

fbknt,intcl]igi  oportef,  fed  iAam  voccm   in  latidimo 

{enfu  acc'piamiis  ,  ita   vt  ea  omnia  corpora  comple- 

(flatur  ,  quorum   omnes  fediopes  ad  axcm   longitudi- 

nalcm  ,    quem   hic  perpeiuo  horizontalcm  ftatuimus, 

normaliier   fatflae  ,  fint  inter   fc  aequaks  ,    ita   vt  fi- 

gura  A  Y  B  indolem  huius  corporis    cylindrici    ex- 

hibeat. 

Q_q  2  §.2. 


308  DE  PRESSIONE   FVNIVM 

§.  2.  Ciiin  hic  igitur  to.iiu  fiiiiis  in  eoJcm 
plano  vercicali  vcrletur,  pro  eius  tlgura  in  calculura 
introJucenda  tantum  opus  crit  biniis  coordinntas  con- 
fiJerarc;  qiiem  infinem  diic;itur  r.dla  horizontalis 
A  Iji  ai  quam  ex  fingulis  funis  pu  (fds  Y  pirpcn- 
diculares  YX  ducT:ae  intclligmtur,  vt  pro  pundo  Y 
binic  coordinatae  fint  A  X  —  .v  ct  X  Y  —  r  ,  inter 
qu.is  igicur  acquationcm  qnanicunque  dari  allunii- 
mus ,  qu.ie  quidem  ita  fit  compar.ica  ,  vt  in  pundo 
A  ambac  coordinatac  euanekant  fimuhjue  tangens  iii 
A  fiiit  vcrticalis^  qnandoquidem  funis  vitra  A  in  I\l 
protenfus  tjlem  fitum  habere  pouitur.  Hoc  crgo 
cr.ru  terti;^  applicata  z  penitus  ex  calculo  cgredie- 
cur,  et  littera  s  iplum  arcum  curuae  A  Y  defigna- 
bic  :  funi  nuccm  vbique  e;inJ;m  cr:iniciem  tribu:imus 
ita  vt  maffula  elcmenti  ds  pev  ipfum  d  s  exprimi 
qne.it,  hincque  fiat  S— t,  Ilis  p/jfitis  manitbnum 
eft  ,  funem  nliam  prefiioncm  cxcrere  non  poffe  nifi 
ftcundum  direclioncm  ad  curuani  normalcm  11,  quae 
hoc  loco  ira  cxprinvatur  littera  11  ,  vt  vis  quain 
cleir.entum  Yy~ds  fudinct  fit  —Ylcls^  quod  ita 
eil:  iutelhgendum  ,  prdiioncm  in  hoc  loco  tantam 
Cfle  ac  fi  bafis  "  i  r.b  incumbentc  ponderc  11  prc- 
meictnr  ;  tnm  enim  portiuncula  ilhus  bafis  —ds 
vriquc  prcfiionem  llds  fufiineoit. 

§.  3-  Q.uod  fi  iain  inam  prcfilorcm  tanquam 
cognirom  fpcctemus  ,  ct  elemcnto  Y  y  vim  norma- 
lem  Y  T  applicntiMU  concipiamus  ,  tum  totus  funis 
ab  ifils  viribus  clcmencaribus  fi)licitatis  cain  ipiam 
fignrarn   indnerc    debcbic ,    qunm   ipfi  tribuimus ,  d- 

quidcm 


IN  CORrORA  SVBIECTA:  509 

quidcm  vires  pondcrurn  rollicit.ir.tes  finuil  iii  com- 
putum  d'Jcanuir.  Hocquc  modo  pracfcns  quaellio  ad 
nollni*  fornniias  generaics  reducctur. 

§.  4.  CiHTJ  igitur  iii  Thcoriii  alins  vircs  non 
in  calcuJtim  induxcrimus,  nili  qu;irum  dircdioncs 
rcquantur  coordinatas,  iltam  vim  Y  ir  —  U.  d  s  fccuii- 
duin  diredioncs  biuarum  rolharum  coordinatarum 
AX  et  XY  rcloluamus  ac  prodibit  vis  horizontalis 
(ccundum  X.  A  —  H  ^  y  et  verticalis  fecundum 
X  Y  —  n  .7.V  ,  vnde  pro  viribus  fupra  alTumtis  ha- 
bcbimus  P  r/ j-- —  n  c/;'  tt  (^c/ s  —  il  d x;  tcnl^  v^ro 
\is  li  ^  s  hic  eiianercir.  Hinc  fit  fPds  —  — /FI  cly 
at /Q_.7  X  =:/n  ^/ .V,  a  qua  poftcriori  lumma  lubtr.ilii 
dcbct  pondus  M  ,  quippe  quod  in  eadem  diredione 
contrarie  agit.  Dw^nique  vcro  lumaniUb  funein  elTc 
pcrfcftc  flexilcm  ,  \t   fiat  clallicitas  G  — O. 

§  5.  Hs  conflitutis  ,  quoniam  cll  tam  Z  —  o 
qunm  R  — o,  natnra  acquilibrii  hnc  vnica  aequatioae 
cxprimetur : 

-fdyfUdj-fdxifW  d  x-U)~o 

cx  qua  igitur  prclllonem  hadenus  incognitam  TI 
clici   oportet.     Dilfcrcntiando  crgo  hinc  habebiraus 

-  dyfW  dj-dx{fTl  d  .v  -  M  )  =2  o 

ftituamus  nunc  dy—pdx^  quandoquidem  aequatio 
int.r  x  et   y  nobis  datur  ,  eritque 

-  p/n  d  V  -jndx-\-  Ai  liue 
M— /)/n  dj  ^fHd  X 

Q  q  3  q«ae 


3IO  DE  PRESSIONE  FVNIVM 

qiine  deniio  diffcrentiata   prncbct 
fl'/j/nrt'>' -4-/' n  «'/-hn  r/.v  flne 

o  =  (ipj  npd  x-\-ptn  d  X  -+-  n  ^  .V 

qiiae  pcr  dp  diuira  poneiido  dp—qdx  dat 

o  —fnpdx  -{-  nj_Lrtfii 

^'\-\i\t  vnlorem  litterae  II  elici  oportet.  Qno  autem 
hoc  facilius  ficri  qucat  ,  ftatunmus  pro  pcmiltima 
aequatione  /11  p  ^  x  —  O  ,  fietque  dO  ~U  p  d  x 
ideoque  Udx  —  '^-^,  ex  quo  rcfultabit  haec  aequaiio 
a   figno  integrali  libera  : 

o  —  (^  d  p  -\-  i^  {  X  -\-  p  p) 

vnde  fit 

djb  p  dp  _ 

cuius  intcgrale  eft 

/0  —  —/V{i-{-pp)-h/C  idcoque 
0=---^ -fUpdx. 

lam  hncc  acquntio  diflFcrentinta    praebet 

Cp  dp 
TL  p  d  X  —  — ;  hiucquc  tandcm 

n- ""^ 

J.1.  —  3. 

dx{  i-\-PPT 
§.   6    Coi.flnt  nutem  ,  fi    radius    ofculi   nodrac 
curuae  in  pundo  Y  ponntur  —  r  ,  fore 

dp 

Tnde 


IN  CORI'ORA  SVBIECTA.  31 1 

vnde  formiil.i  inuenta  tranfit  in  hanc  11  —  -      Hinc 

r  • 

diCcmus  prclTionem  fiinis  in  curu;im  datnm  in  fin- 
gulis  pun(fli>  rcciprcce  proportionalem  efTc  nidio  cur- 
vnturnc.  Tantum  ;UKcm  fupercll,  vt  quantitas  con- 
finns  C  dcfiniatur,  Hunc  in  (incm  quaeramus  for- 
nuilas  integralcs  vnlorem   primo   inucntum 

M=pfn(fy-{-/'Udx 
ingrcJientc?,  qu:is  ita  fumamus,  vt  in  ipfo  initio  A  vbi 
pondus  M  dependet  euaiiefcant,  et  quoniam   funis  in 
hoc   loco  curuam  tangere  accipitur  ,  ibi  crit  p  —  00 
quo   notato  crit 

pdp  C         • 

quod  iam  fponte  euanefcit  pofito  p—00.  Tum 
vero  crit 

dp  -Cp 

/n..v  =  -c/— ^--=.^_^^-C, 
{i-\-ppy  ^^ 

quibus  valoribus  fubflitutis  fiet  M  =:  C ;  vnde  igitur 
inotcfcit  quantitas  conflans  C  =:  Al  ,  ita  vt  prcffio 
quaefita   in    gcncre  fit  n  zz  ^, 

§.  7.  Quaerarrus  nunc  quoque  pro  fingulis 
curuac  puijclis  tenfioncin  funis  ,  quae  ex  foriuulis 
gcncr,;lihus  crit 

-(i-^i/ivx-^^^/Q^.=  j5/n<//-^-^,(/n^A-M). 

M  ido  autem   inucnimus  effe 

quiLus 


312  DE  PRESSIONE  FVNIVM 

qiiibiis   fubftitntis  erit  tcnfio  funis 

?i  d  3c _i ?■!  p  d  y 

Ci;m  igitiir  fii  dy-pdx  ■,  bincquc  (/s-dx.V  i~\-pp 
eric  illa  tenfio  rir  M,  ita  vt  in  fiDi-uIis  ciirua^  juin- 
(ftis  tenfio  fit  eadcm  atquc  iu'co  ncqiuilis  ipfi  pondcri 
trahcnii  M  ,  quod  cum  etiam  i:]  alrcro  cr-ru.ic  ter- 
inir.o  A  cueniat  ,  cuidens  e(l  alicium  N  etiiim  tlTc 
(Jcbere  =  M  ,  quemadmodum  cx  natura  aequilibrii 
per  fe  ert  perfpicuum. 

§.  8.  Qucd  C\  crgo  funls  cjlindro  ordii.avio 
feu  circulari  xircumuohi-.ictir  ,  cuius  radius  fit  —  c 
tum  preii"io  in  fmguiis  punctis  contndtus  crit  ~^ 
\nde  pntct ,  quo  gracilior  fiicrit -cylinjrus  eo  maio- 
rcm  fore  prcirionem.  Vbiquc  ;uuem  hacc  prcflio 
tanta  erit ,  quanta  forct  ,  fi  bafi  horizontili  —  i 
incumbcrct  pondus  —  ^. 

§.  p.  Probc  autcm  hic  eft  obfcruardum  ,  has 
dcterminationes  tum  tantum  locum  liabcrc  ,  quando 
funis  omni  plane  elaflicitate  p.iritcr  ac  grauitatc  ell 
deditutu.i,  ita  vt  fit  G— o.  Fraeterea  \cio  impri- 
mis  ncceffe  ell,  vt  luilla  fit  friclio  ;  quanquani  enim 
in  flatu  acquilibrii  friftiouis  nuUa  ratio  tcncnda  vi- 
detur  :  tamcn  i\  qu.icratur  ,  quancum  pondus  M  ap- 
pc;idi  dcbcat,  vt  lunis  fihtm  proir;ihi  incipiat  , 
tum  vtiquc  IritTiio  in  computum  diici  dcbct,  quaiido 
quidem  hoc  calu  eucnirc  putcll  ,  vt  (unis  in  quitte 
perfeuerct  ,  etiamli  ambo  pondcra  M  ct  N  vthe- 
mcntcr  inter  fc  difcrcpcnt. 

§.    10. 


IN  CORPORA"  SVBTRCTA;l  '315 

§.  10.  Ante  autem  quam  fridionem  in  com- 
putum  trabamus  ,  examini  fubiciamus  cafum  ,  quo 
funis  aliquam  habeat  elaflicitatem  ,  fiue  rigo- 
rcm  ,  quo  iocuruationi  quodammodo  rcfiltit ,  cu- 
ius  quantitatem  in  formulis  generalibus  Jirtera  G 
defignjuimu?.  Et  quoniam  prima  tantum  aequatio 
negotium  conficit,    formula  JLLly±^-i±±d djn     gbic 

M  hauc  :  5.,  denotantc  fcilicet  r  radium  ofculi  cur- 
vae  in  pundlo  Y.  Pro  hac  vero  formula  p-  fcriba- 
mus  breuitatis  gratia  litteram  «,  ac  pro  flatu  aequi- 
librii  habebimiis  hanc  acquationem  : 

cuius  diffcrentrale  dat  -V-\v; 

-  dy  jlidy-d x  f\\  d x  -^''M  dx  —  du 
et   poiito  itcrum  dyzzpdx  erit  -( 

-pfUdy  -fWdx^-fAzz'^^ 
haecque  denoo  difftrentiata  fit 

-<-  d p  fli  p  d  x  -  n  p  p  d  X  -  n  d  X  -=1^-^] 
Filat  hic  iterum /n/)J.v-<D  vt  fit  Wdxzz.-*-    at- 
que   habcbimus 

-Odp-'-^{i^pp)-t^   fiue 

(l>pdp-\-dO  (  I  -4-pp)  =^  -  "4^^  » 
quiie  diiiifa   pcr   V  i  -f- pp  fit 

■* F ^  +do  y  i  +PP)-- __jpdi^ 


cuiu^prius  membrum  fpvjnte  ert  inte^rabile,ita  vt  prodeat' 
(D  y  T  4-/)/)  —  — y^      pidM_  ^ 

d  xv  t  -h  y  P 

vnde  fimul  atque  innortictrit  vjlor  ipfius  O,  habcbi- 
tur   prelfio  quaefita   — *-. 

•^  '  p  d  X 

Tom.XX.NouCouini.    '    •       Rr  $.11. 


314-  I^E  PRESSIONE  FV15IVM 

§.  1 1.  Totiim  negotium  igitur  liuc   redit ,    vt 
inueftigemus  integrale  /^^^^=^,<]uod  per  reduftio- 
nera  folitam  ita  refoluitur  : 
'J'       padti        [^'-^ydtt  du      dp  ' 

d7v'[+^''777i^-^j^.^^d^'  ^^\,^^ 

dx{i  ■hppT 
Qpia  ijp^cflj  r  ^  r-. j- — —  ,  poftrcirura  niem- 

brum  —j-f' ;  »bit  in  -^j  —       Qum  igi- 

tur  tt  — -  erit  du  —  -^^~  hincque 

/1_^  —  _  G /^  = -+- -5- _|- c. 
SubflituaiKur  igitar  ifti   valores  et  obtinebitur  fequens 
aequiuio : 

O  y  I -Hpp  = -f-^f== -4- -5- -i- c 

'    «r        rrdxVi-t-pp  jrr       ' 

confequerjter   habebiirius 

(D=/npdx-—^tp-—-  -+- ^—  -f.  Ui 

quae  denuo  d  ffcrentiata   praebet 

p  dr  dr      ,        p 

npdx—  G. —  .d.  —7-  -+-  G.  — T-. d. ^ — - 

i-+-pp     rrdx^      rrdx      x  ^pp 

Gdr  Gpdp  Cpdp 

/Vi+pp      ^rr{\+ppy       (i+ppy 
quo  circa  coUigimus 

G                    dr              Gdr      ^       p 
dx{\-\-pp)       rrdx       prrdx        \  -\- p p 
GJr Gdp  Cdp 

^^  ^  pr  dxy-xTfp^       ,  ,^.^^^  ^  ^.^py  '   ^^.(  ^  ^.^,^.)' 

quc 


IN  CORPORA  SVBIECTA,  aij 

qae  rcdiici  potcft  ad  hanc  pirmam : 

G  ,1      Qdpdr{i-pp)  Gdr 


dxii-^-ppy       r     prre/x{i+pp)      pr'dxVi-\-pp 

Qdp Qdp 

2  rrdx{  r  -^-ppf     dx{  i  -\-ppf 
Quia  autem  cft 

rzz  — ^^ '--i-^  erit 

dp 

^p^^dx(r+ppj_ 

quo  valore  loco  dp  vbique  fubftituto  prodibit 

TJ  —  — 5 ;  d  d  '  —   Gt^^c^  — PP) Ls.  c  .    1    c_ 

§.  12.  Ponamus  autem  hic  curuam  noftram 
AYB  efle  circulum,  cuius  radius  —  ^,  ita  vt  ha- 
bcamus  r—c  ideoque  </ r  :z:  o,  fietque  n  =  +  -^^j  +  ^, 
quae  cum  fit  quantitas  confians  ,  fr  ponatur 
n  — ;  -  ,  fiet  vt  fupra  integrando  /11  d  x  rz  *^  et 
/n  dy  —  ^  ^  quibus  valoribus  in  aequatione 

—  pfW-d  y -iWdx -\-^  —  Q> 

fubaitutis  fit  -  ?^  -  '^-i?  -^  M  n  o  ,    vbi'  curti'  flt 

c,  c  ' 

ob  circulum  y-^zicx-xx)  ideoque  dr^--'=^ 
erit  —  C  +  iM  =:  o ,  ideoque  prorfus  vt  fiipra  G  — M', 
itii  Vf  elaftlcitas  hoc  cafu  nihil  plane  mutare  vide- 
deatur  in  prelTione.  Verum  pro  acquatione'  prin- 
cipali  hrnc  proiiiret 

-  /'^iV'/  n  'dy^-'  pdrf  n  4  'x  -h  M  a/'  12?  o  i  ' 

R  r  2  cum 


3i5  DE  PRESSIONE  F\^\'IVlVr 

ciim  tnmeti  acquari  deberct  quaiitit.iti  ^.  VtrJe  in- 
iclligitur  ,  practer  pondus  appenlijm  inrupcr  vi;n 
applicari  debcre  ,  cuLus  iiionientiim  refpi.(flu  pundi' 
A  iit  r:r  ^,  quippe  qupd  requiruur  ad  funem  cylm- 
dro  vbique  applicandum  ,  qiioJ  ergo  eo  maius  cfle 
dcbebit  ,  quo  maior  fuerit  cra(ticit.is  abfoluta  G  j 
tuin  vero  ,  quo  minor  fucrit  raJius  c.  Cum  autem 
liic  potifrimum  funes  nobis  fint  propofici  ,  quorum 
clafticitas  contcmni  poteft  ,  hunc  calum  fufius  profe- 
qui   hic   non  eft  locus. 

De  motn  funis  fiiper  cylindro  fixo  ob 
fri(^ionein  iinpcdito. 

.-  §.  13«  Si  nulla  adtfTet  fridio ,  funis  cylindro 
circumdudus  in  aequilibr.o  cfle  ncn  poflct  ,  nifi  in 
vtroquc  tcrmino  a  viribus  acqualibus  tendcretur  ,  ct 
fimul  atquc  tenfio  altcrius  terinini  altcram  flipcra- 
ret  funis  fupcr  cylindro  moucri  incipcrct.  Fridlionis 
autem  cffedus  in  hoc  porinimum  confilbtjVt  funis 
in  quiet€  manerc  poffit ,  ctiamfi  vires  vtrinque  ten- 
dcntcs  tuerint  inttr  fe  inaequali-S  :  hocqne  difcrimcii 
eo  maius  cffe  poterit,  tam  quo  maior  fuerit  tri<3^io, 
quam  quo  maiorem  portionem  funis  in  cylindro  oc- 
cupauer  t.  Ob  hanc  rationcm  funis  tum  demum  f"u- 
pcr  cyhndro  prorcp.rc  incipict ,  quando  dilfi.rcntia 
intcr  vires  vtrinquc  tcndentcs  ccitum  liniitem  fiipe- 

raucrit. 

,  i.j  ' 

§.    14.  Ponamus  iq;itur    inaequalitatcm   virinm 
tcndentium  ad  iplum  hunc  tcruiinum  cflv  pcrdudam, 

\t 


IN  CORrORA  SVBIECTA.  317 

Tt   ninis  ctinmnunc    iii    quictc    retineatar ,    fimiil  ac 

Tcro  tcnfio   muior   vtl    taniilluin    nugcrctur     motum 

e(kt   infccuturus.      Hoe   igiiur   modo    quacdio    tjuam 

hic  traclare  conll  tuimuj,  ctiamfi  ad  moium  pcnincre 

\idcatur,  tamen  ex   principius  aeqiiilibrii    relolui  dc- 

bebit.      Hic  autem  \t    ante     nomen     cyiiiidri     ohhcs 

plane  formas  lub  (e  complcdatiir,  cuius  kftio    trans- 

vcrfa  repraelcntaur  figura  A  Y  B^  nequc  ctiam  ne'- 

ccfTc    cft  ,  vt  axis    huius    cylindri     Ct    horiz^ntalis ; 

qnandoquidem   hic   vires  tcndentes  quascunque    (umus 

confideraturi ,  ita  vt  funis  in   A   fecundum    dircd.o- 

rem   tangentiS'  A  M    a   vi    —  M.    trahatur  ,   in   altero 

Ycro  termino  B  itidem  in   dircdione   tangentis    B  M 

a   vi   M  :  ncceire  ctiam  non    eft    vt    hac    diretflioncs 

fint   inter   ("e  parallelac,     Q^uo  pofito  aflumimus,  viin 

tcndentem   A    tantum    fupcrarc  alteram    vim  M ,  vt 

fuiiis  tantum  non   moucri  incipiar. 

§.    15.  Sumatur  igitur    pro    axe    reda    A  B  , '^•^'^- ^- 
ad   dircdionem   tenfionis     maiorem    AM    normahs ,  ^'^"  *' 
ita   vt   funis  ciiruac  AY  y   apphcatus   fit    concipien- 
du9  ,    ct  pro  puncHro    quouis    Y     vocentur    vt    ante 
coordinatae  A  X  —  a*  et  XY —j,    iple  vtro    arcus 
A  Y  rr  /  ,   vt   fit  eius  elementum 

In  hoc  autem  clcmento  ftafuatnr  prefrio  —  11  ds, 
agens  fccundum  dircdioncm  iiormal(.(Ti  YIT  Huius 
igitur  prcfl"innis  ccrta  quaedam  pars  dab:t  fr. (fl.ontm 
fecundum  tangentcm  curuae  vrgentem  ,  cuius  vero 
quantitas  fit  rrXII^i.      Hinc    igitur    i^fe  funis  in 

R  r  3  elemeoto 


31 J  DE   PRES5I0NE   FVNIVM 

elemento  "Y  y  fecundam  diredionem  normalem  Y  if 
follicitari  e(l  cenfendus ;  et  qiioniam  raotus  iainiam 
generaiidus  funem  in  diredione  Y  A  promouere  co- 
natur,  ei  fricSio  fe  opponet  in  dircdione  contraria 
Xj'  vi  =:  X  n  (/  x;  et  nunc  folutio  quaedionis  huc 
redit ,  vt  cuiKfl^ie  iftae  vires  normaies  et  tangcntiala»' 
cum  tenfione  M    in    aequilibrio'  confiftant. 

§i  iS.  Ad  igitur  necefle  eft  ,  vt  tenfio  funit 
in  ipfo  tcrmino'  A  fiat  aequalis  vi  tendenti  —  M 
Hinc  vero  pcr  Y  progrediendo  tenfio  ob  friftionem 
continuo  diminuatur  ,  cui  tandem  in  akero  termino 
B  vbicunque  is  a:ccipiatur  altera  tenfio  N  aequalis 
ftatui  debcbir. 

§.  17.  Nunc  igitur  ante  omnia  ambas  vires  nor- 
malcm  Y  tz-Yl  d  s  et  langentialem  Xll^x  fecundum 
dirediiones- coordinatarum  vV  ct  y  refolui  oportebit  : 
ac  manifeinm  eft,  ex  vi  normali  n  ^  j-  vim  fecun- 
dum  Ym—Ud:y.  et  vim  fecundum  Y  lz.Yldx  oriri. 
Ex  vi  autem  tangentiaii  XII^x  oritur  vis  fcciin- 
dum  Y»  — XIIdfA:  et  fecundum  Y]~\U.dy-j 
ficque  ex  vtraquc  gEneratur  vis  in  diredione  Y  n 
fiue  AX  —  xn^ar-n  d  y  ^  quae  in  formulis  ge- 
neralibus  pofita  eft  P  <i  j  ;  deinde  vero  vis  in  dire- 
«flionc  Y  /  fiue  XY  — hUdy-^-UdXj  quae  po- 
lita  eft  Qr/r.  Hinc  igitur  erit 
f?  ds  —  'KfUdx-fUdy  tV 
fQ_ds  zz  X/n  dy  +fU  d  x 
Tnde  fubrrnhi  oportet  ip(am  vim  tcndentem  M  in 
pundo,  A  fccuiidum  AM  agentem,  ita  vt  Ivabeanmis 

fX^dsZL-KfUldy-^-jUdx-m. 

§.    z8. 


IN  CORPORA  SVBIECTA.  gip 

§.  i8.  His  yiribus  inuentis  pro  ftatu  aequili- 
brii  Theoria  fupra  data  nobis  fuppeditat  hanc  aequa- 
tionem  t 

X/^j/n  /r  'fdjfU  dy^  >fdxfYldy  -fdxfndx-{-Mx-o 
tum  vero  pro  tcnfione  funis  in  pundo  Y  ab  Y 
Terfas  A   hanc  : 

-  ^^Vn  dx-^^^^jndy-  \^yjndj--'^jndx 

vbi  formulas  integraks /11  </ a;  et  fUdj  ita  fum^ 
conucniet,  vt  in  ipfo  initio  A,  vbi  fit  x—q  tt  y  —  Q 
euanefcant,  Sicque  quia  hoc  loco  ^^  =z  j  ,  tenfio  m 
A  erit  —  M,  vti  ftatus  quaeflionis  poftulat. 

§.  19.  Aequatio  igitur  pro  aequilibrio  inuenta 
differentietur  ,  ac  pofito  dyzz.pdx  prodibli  haec 
acquatio  : 

M+(Xp-  I  )  jU  d X  --  {p  '^'K)fndy  —  o  , 
quae  diuifa  per  p  -t-  X  praebet 

ex  qua  igitur  ft.itim  ac  valor  formnlae  fUdx 
fuerit    inuentus    innotefcit    valor     formulae    fU  dy* 

Praeterea  vero  ,  quoniam  eft  d  s  ~d  xV  1  -\-  p  p  x 
tenfio  funis  in  Y  ita  erit  expreffa  : 

^P      ^  1^^  fU  d  X  -\-  Jr^^  fn  dj , 

vndc  fi  loco  fndy  valor  modo  aflignatus  fcribatur, 
tcnfio    ita  exprimetur  : 

§.    20* 


320  DE  PRE5S10NE  FVNIVM 

§.    20.     Nunc    aequatio    pro    aequilibrio    eruta 
dcnuo  difFvrentietur,  ac  prodibit 

StatUAtur  nunc  /n  (/^- —  x    et    ob    U  p  (l  x  ^  p  d  z 
aequatio  noflra  fiet 

quae  reducitur  ad  hanc  fdrmam  : 

'^  ■ —  (pH-Xj^""  (pH-Xj'  p-(-X 

vnde  conficitur 

d  z dp      

(,_j_XX)z  —  M  (>H-pp)(  pi-+-  X  ) 

vbi  ergo  ambae  nolkae  \ariabiles  z  ct  p  funt    a   fc 
inuicem  feparatae. 

§.   21.   Tntcgretur  igitur  ifta  aequatio  ,    et    ex 
partc  finiftra  orietur  hoe  integrale 

Formula  autem  dcxtra  iii  partes  rcfoluta  praebet : 

I  d  t> ,  f  X —  i))H  t 

I  _f_  XX  p  -H  X  ~^  (i-t-xxni-t-pp) 
cuius  intcgrale  eft 

quocirca  ae<)uatio  nolUa  integralis   eiit 

/{(iXX)^-M)=/(p4-?,)-/y7^+XAtang./>+/C 
hincque  ad  numcros  tninfeundo 
(  i+XX);:  — M— ^1^A_'  ^'^^^tang-p 

V  1  -+-  p  f 

Tnde 


IN  COaPOKA  SVBIECTA.  3ii 

vndc  crgo  crit 

^  -_         M  , Cj  p_-h  X  )  g\  A  /an^.  ^^ 

~  i_t_XX  (i_f-XX)Vi-+-pp' 

^2  2.  Qiio  hiinc  cxprefllonem  commodiorcm 
reddamus ,  introdiicamiis  in  calculum  ampHtudinem 
arcus  curuae  A  Y,  cuius  mcnfura  eft  angulus  An  Y, 
duda  fcilicet  normali  Yn;ac  ponamus  ilUim  angu- 
luir.  A  n  Y  —  CP  ,  et  cum  fit  (ubnormalis 

erit  tang.  cp  =  |„  hincque  tang.  (  90'  —  Cf)  )  —  p,  vnds 
patet  cffc  A  tang.  p  —  90°  —  Cp.     Sicque  erit 

gX9o» 


«  —   ^  —  f  X  vp     • 

Et  nunc  pro  fiiAore  conftante  Ce^^""    fcribamus    D* 

eritque 

z  —  — r^-T  -h-  ■ ,   , —  -=  =/  Udx 

i+XX        (i+xX)Vi4-/>p      ^ 

tum   vero  hinc  porro  habebimus 

__    M  M(Xp-i)  'DCKp-i)e-'^^ 

fiue 

/   ,  X  D(X/)-  I  )e-'>'^ 


I-4-XX         (i  +  xx)yi  -\-pp 

Ac  fi  cundcm  valorem  in  formula  pro  tenfionc  in- 
venta  fubflituamus,  fiet  tenfio  r  — Dt— ^^;  vnde  cum 
in  ipfo  initio  A  tenfio  fit  co^^nita  rrrM,  ibique  fiat 
(p— o,crit  Al— -D,  vnde  difcimiis  clTe  D  =  -M, 
Tom.XX.  Nou.Comm.  Ss  ita 


322  DE  PRESSIONE  FVNIVM 

ita  \t  nunc  habeamus 

M  M(/)+X).-^^ 

atque 

1 X__  M(X/)-  I  )  ^-^^ 

/n ^j' _  i  +  x X ^  "  (  i  +  xx)"yT+7p 

ac  denique  tenfio  :=:M^~''^. 

§,  «3.  Hinc  vero  etiam  poterimus  ipfam  prcf- 
fionem  n.quam  fuiiis  in  cylindrum  exercet,  defmire: 
tantum  enim  opus  cft  acquationem 

M  M(/)  +  X)^-^^ 

•^  i+xx    (i4.xx)yi-fp/) 

differentiare.  Qiiia  igitur  ell  CprAtang.^,  crit  cl(p--y^~- 
ideoquc  diffcretniando 

n  d  xzip  — —- 1  —  — — , 

(i+xx)(i +/'/))'     ( I +xx)(i+/)M' 

_       Al<//>  r^ 
(i  +  PP* 


3 


r>         •   •.        r.        '•          r    r                  r/.v(i +  />/>)'    trit 
Cum  leitur  iit  raaius   orculi  r— — — 

co  introduao  n  =  -  f^*. 
..    '• 

§.  24.  Eccc  ergo  qucmadmodum  practcr  omncm 
expcdationem  formulae,  quas  tlicoria  nolUa  (uppe- 
diiabat  et  quae  taediofos  calculos  minari  vidcbantur,  ad 
valorcs    maximc    concinnos    tr.ndcm  dcduxcrint;    vbi 

.  impri- 


IN  CORFORA  SVBIECTA.  32^ 

imprimis  notari  meretur  ,  quaccunqiic  fucric  figura 
cylindri  fiue  curua  A  Y  B  ,  cius  duo  tantum  ele- 
nienta  in  caiculo  efle  relidla  ,  fcilicet  radium  ofculi 
cnruae  in  Y  qui  eft  r  ct  amplitudinem  arcus  A  Y 
cuius  menfura  eft  angulus  A  11  Y  —  Cj).  Atque  ita, 
tota  folutio  uodrac  quaclUonis  his  duabus  dctcrmi-' 
nationibus  continebitur  : 

I.  Preflionem   funis  in   pundo  Y    effe    IT— ^f"^^ 
II.  Tenfionem  funis  in  eodem  loco  efle  —  M  e~''^ 

quae  crgo  ,  quo  longius  ab  initio  A  progredimur  , 
quoniam  amplitudo  (|)  continuo  cre(cit  ,  eo  fiet  mi- 
nor.  Vnde  fi  aker  funis  terminus  in  puntflo  curuac 
quocunque  T  flatuatur  et  ampliiudo  arcus  A  Y  T 
fuerit  —  0,  tenfio  in  hoc  loco  T  erit  M  ^"~^*,  ideo- 
que,  fi  in  hoc  loco  vis  tendens  huic  aequalis  fuerit 
applicata  ,  totus  funis  in  aequilibrio  conflet  ^  ita  ta- 
men  ,  vt  fi  vcl  tenfio  M  tantillum  augerctur  vel 
tenfio  N  tantillum  diminueretur,  l^atim  funis  ad 
motum  concitaretur  ab  Y  verfus  A.  Vbi  maxime 
mirandum  occurrit  ,  quod  hic  tantum  amplitudo 
curuae  in  cenfum  veniat  ,  dum  radius  ofculi  tantum 
in  dttcrminaiioncm  prefhonis  ingreditnr. 

§.  25,  Quod  fi  ijm  tenfionem  minorem  N 
vt  datam  fpeftemus,  crit  maior  M=:Nt?^^,  quae 
ergo  ctramnunc  cum  illa  in  aequiiibrio  confiflit. 
Vbi  imprimis  notandum  efl  ,  quamdiu  vis  M  minor 
fuerit  quam  N  e^^  aequilibrium  nihilo  rainus  locum 
effe  habiturum.      Probc    autem    tenendum    eft    tum 

S  s  2  fridio- 


324-  DE  PRESSIONE  FVN1\M 

fridionem  non  amplius  totam  fuam  vim  excrerc,  et 
quouis  calu  litteram  X  cum  -valorem  recipcrc  ,  qui 
aeqiiacione  M  conucnit ;  fict  fcilicct  X  —  J  /  ^.  Vnde 
patet  ,  fi  fuerit  M  — N  fore  X  —  o,  fiuc  fridionem 
hcc  calu  nullam  vim  excrtrc  ;  fin  autcm  fucrit 
M  <^  N,  fricftio  in  contrariam  partem  verget  et  fu- 
nis  in  quiete  perfeuerabit  ,  quamdiu  \is  M  non 
infra  valorem  N  e"'^^  diminuitur  ,  fiquidem  pro  X 
inaximus  valor  accipiatur.  Hinc  crgo  dum  vis  M  vt 
data  (pedatur,  acquilibrium  perpctuo  locum  habcbir, 
quamdiu  ahera  tenfio  M  intra  limitcs  N  ^"'"^*  et 
N^"~^^  contineiur,  quod  igitur  initrualluni  eo  maiua 
crit  quo  maior   fucrit  amplitudo. 

§.  2.6.  Confideremus  cyhndrum  horlzontahtcr 
fixum  ,  cuius  fcdio  transuerfa  verticahs  fit  figura 
Tab.  V.  quaccunque  AEBF  in  fe  rcdiens ,  tui  incun^bat 
Fij.  4.  funis  M  A  EBN  in  vtroquc  termino  A  et  B  poiidcribus 
M  et  N  ouullus,  ,.vbi  crgo  amphtudo  arcus  AEB 
fit  xSo°z=;Tt;  ac  pofita  fricflione  ,  vti  vulgo  fieri 
lolct,  teriiae  parti  prtfiiouis  aequah  ,  vt  fit  Xrzi  et 
C  rz  71 ,  funis  in  acquihbrio  mancbit  ,    quamdiu   pon- 

,  I     L  TT  —  -'   TT 

dcrum   ratio  M  intra  hos    hmites  <?     '        et    f     ' 

■       -  7T 

continctur.  Cum  igitiir  fit  proxime  e^  rr  3  ,  h- 
mitcs  intra  qiios  acquilbrium  (ubfiliet  crunt  3  ct  5, 
hoc  eft  ,  quamdiu  ahcrum  pondus  non  plus  quam 
triplo  maius  (uerit  minusue  ahero.  Sin  autem  funis 
circa  cyhndrum  integram  rcuolutioncm  et  in(uper 
arcum  AEB  amplt(^atur,  quoniam  amphtudo  crit  ^tt, 

ob 


IN   COKIOKA  SNBILCTA.  323 

ob  ^''^r  27  circlter,  limitcs  acqiiilibrii  criint  27  ct  ,',; 
ita  vt  qujmdiii  niaius  pondus  M  non  plus  quam  z-j 
vicibus  (uperet  minu?,  fuiiis  in  quiete  fit  nianfurus; 
at  fi  fupcr  arcuiii  A  E  B  duas  integras  rcuohuiunes 
conficiat  ,  vt  fit  ^  ~  5  tt,  limitcs  crunt  2+3  et  5;, : 
ncccdcnte  fcilicct  vna  reuolutioiic  intcgra,  hi  limitcs 
cuadcnt  nouies  maiorcs  et  minorcs.  Vnde  intelligitur, 
quomodo  ob  fridionem  maximum  pondus  a  minimo 
in  quiete  fcruari  podlr, 

§.    27.    Neque  vcro  opus  eft  vt  figura  fe(flionis  Tab.  V. 
fit  in   (e  rcdicns ;  fed  folutio    inuenta    ae«)ue    locum      S-  5- 
habcbit  ,  fi   ftinis  per  gyros  quotcunqne    fiuc    conti- 
nuo  maiores  fiue   minores  circumplicetur  ,    quoniam 
totum    negotium   in    ampiitudine    arcus    quem     am- 
plcclitur    confiHit.         Scilicct     fi     funis     per     gyros 
A  E  F  G  H  I  K  B    circumducafur  ,    antequant    alteri 
tcrmino  in   B  pondus  N  appcndatur  ,    quoniam    bic 
hnbcntnr    duo    gyri    integri    cum  femifTe,  ita  vt  fit 
0—57:,  maius   pondus  M    ad  minus    N    rationem 
tenere  potcrit  ,  vt   243  :  i  ,    antcquam     motus  inci- 
piat  :  neque  hic  cafus  a  pracredente    difcrepat,    nifi 
quod   minores  gyri  a    fune    maiorem   prefilonem   fu- 
flincant  quam   maiores ,    pro    piiribus    viddicet    am- 
phtudinibus ,    quandoquidem   vidimns ,  prcfTionem   in 

quouis  loco  efle  —'~e~^K 

§.  28.  Verum  fi  fuerit  M  >  N  ^'  ,  tum  fu- 
nis  non  amplius  mancbit  in  quiete ,  fed  a  maiore 
pondere  deorfum  trahctur  ;  qucm  motum  haud  difR- 
euiter    fequcnti    modo    definire  potcrimus.    Sit  enim 

Ss  3  M:i:N 


315  DE  PRBS.  FVN.  IN  CORP.  SVBILCTA. 

JVl  :::=  N  ^"^  cxillente  a  >  5  ,  nc  manifeflum  cft  ,  fi 
fridio  vsque  ad  a  augeri  pufTct  ,  tuni  funem  etiam- 
luinc  in  acquilibrio  cffe  vcrfatnrum,  et  totam  fridio- 
nem  fore  —  M— Nt"'^     At  vcro  fridio  non  vhra 

terminum     N  e"       increfcere    potef^  ,  quae  ergo    vis 

tantum  adioni  ponderis  M  aduerfatur  ,  vndc    excef- 

fu»  vis    foliicitantis    fupra    impcdimentum    fricflionis 

-  0  a  0       -  ^  . 

crit  in  M  —  N  ^'     —  N  (  ^       —  <?'     ),  quae  vis  ergo 

per  maffam   moucndam  diuifa  dabit    accehrationem  ; 

quae  cum  fit  conflans  ,    motus  inde  orictur    vnifor- 

miter  accclcratus.     Hac  autcm  dcterminationc  acquie- 

fcere  poterimus  ,  nifi  fortc  ex  ipfis   motus   principiis 

initio  expofitis  omnia    motus     phacnomena   accurate 

inucftigarc    voluerimus  ,   id    quod    calculos    maxime 

perplcxos   poftularet ,    quos    nunc    quidem    cuoluere 

Doa  yacat. 


DE 


DE   PRESSIONE 

FVNIVM  TENSORVM 

TN  CORPORA   SVBIFXTA,    EORVMQVE 
MOTV    A  FRICTIONE  IMPEDITO. 

DISSERTATIO  ALTERA. 

Aii(f^ore 
L.    E  r  L  E  R  0. 

i  t. 

In  fuperiore  diflTertatione  foliitioncm  huins  proble- 
mntis  cx  thcoria  vniuerrnlidlma  nequilibrii  ec 
motus  corporum  tam  perfede  flexibilium  quam  ela- 
fticorum  rcpetiuimus ,  yndc  fadum  efl  ,  vt  folutio 
primum  ad  formulas  non  parum  complicatas  fucrit 
perduda,  quas  autem  tandem  ad  pulcherrimam  fim- 
plicitatem  dcduccre  licuit,  Quoties  autem  talis  re- 
dudio  quafi  praeter  omnem  expedationem  fuccedere 
deprehcnditur  ,  femper  certi  cfTe  pofTumus  ,  aliam 
dari  viam  magis  naturalem  et  diredam  ,  quae  finc 
tantis  ambagibus  flatim  ad  folutionem  finalem  ma- 
nuducere  qucat  ,  quod  ipfum  etiam  in  pracfcnte 
quatflione  \fu  vcnit,  dummodo  Thcoriam  illam  ge- 
ncriilillin  aai  ante  propius  ad  praefens  inflitutum  ac- 
commodemus ,  ouam  folutioncm  inde  deriuare  vo'" 
luerimus.     Primum  igitur  inde    thcorcma    non    ita 

latifllme 


3  28  DE  PRESSIONE  FVNIVM 

lacifTime  patens  conftitiii  conucnict  ,  quo  quafi  \no 
idu  pleraeque  illae  ambages  rcfecentur  ,  atquc  adeo 
illius  thcorematis  primo  demonftrationem  diredam 
cx  ipfis  acquilibrii  principiis  petitam  dabinnus  ;  tam 
\ero  cius  cgregium  confenfum  cum  formulis  gene- 
raliiiimis  fumus  oftenfuri. 

T  h  e  o  r  e  m  a. 

§.2.  Si  fiitiis  feii  filum  pcrfeBe  flexik  A  YE 
FiV  I  '"  fixguiis  elementis  Y  y  rr  d  s  feawdum  direCtionem 
noriiialevi  Y  11  'vrgeatur  a  virihus  —  IT  d  s,  ac  prae- 
terea  in  hoc  elemento  fuerit  tenfio  ~  T  ;  tum  po/ito 
rad.o  ofculi  huius  curuae  in  pun&o  Y  n:  r  ,  Jiatus  ae- 
quilibrii  femier  [o/fulat  vt  flt  T  —  IT  r. 

Dcmonftratio  ex  primis  Staticac  principiis 

pctita. 

§.  3.  Vtrinque  circa  pundlum  Y  confiJcren- 
tur  bina  curuae  clementa  Yj'  ct  Y  1?  ^  J  x,  in  qui- 
bus  crgo  datur  tcnfio  T  ,  ita  \t  pundum  Y  fecun- 
dum  has  dircdiones  Yj  et  Y  «y  follicitetur  a  vi- 
ribus  1=:  T  ^  tum  \ero  fit  YII  vis  illa  normaliter 
appiicata  —  II^x,  ac  ftatus  acquilibrii  poflulat  vt 
tres  iftae  vires  pundlo  Y  appl:cat;'.e  (c  inuicem  dc- 
(Iruant.  Qiiamobrcin  ex  binis  l.itcribus  Y.y  et  Y  1; 
coinplcamus  p;iralIclo..^ramnnin'.  Y  j  71  1;  ,  et  ncccffi: 
ell  vt  fit  vis  Ilrtfx  quac  nunc  per  dia:^onalem  Y  t: 
r;.'prac(cnt;itur  ad  altcrutram  viiii  T  vt  Y  tt  ad  Yj, 
idaiquc  \\.d  s  '.'\.  z=  Y  ix  :  Y  r.  laai  cum  rcifln 
II  Y  TT  produda  angulum  ^'Y;'  bifccet  ,  ducatur    ad 

catn 


IN  CORrOIA  SVBIECTA.  329 

eam  rcdaj^R,  ita  vt  angulus  YKy  fiat  aequalis 
Y^' TT,  hincque  triangulum  Y  K  7  cv)  triangulo  Y/tt, 
quamobrcm  Ytt:  Y/  — Y/:  Yr.  Ilx  Gcometria  au- 
tem  nunc  conllat  fore  K  centrum  circuli  per  tria 
punda  vYy  duccndi^  quia  igitur  circulus  curuam 
ofculatur,  erit  vtique  reda  YR  nidius  ofculi  cur- 
vae  =r  ,  vnde  cum  fit  Yjr^x,erit  Y ir-.Yy-ds-.r 
ideoque  Ti.(fs:T  —  ds:r,  Hinc  fequitur  id  iplum  quod 
eft  demonllrandum   fcilicet  efle  T  nr  n  r. 

Alia  demonftratio  ex  formnlis  noftris  gene- 
raliflimis  petita. 

§.  4.  Confideiemus  igitur  totam  funis  figuram  Tab.  Vl, 
A  Yy  tanquam  in  codem  plano  fitam  ,  pro  qua  ad  ^'S'  3« 
axem  fixum  AB  relata  vocentur  coordinatae  AX~r 
et  XY—y;  ipfe  vero  arcus  A  Y  —  x  ,  ita  vt  fit 
eius  clementum  Y>'  — ^i";et  duda  applicata  proxima 
xy  axique  parallela  Y  1',  erit  Y^y  — d^xet  vy  —  dy, 
Porro  autem   applicata  XY  producatur  in  ^,  exiftente 

Y  p  axi   piirnlkla. 

His  pofitis  fit  Yn  vis  illa  nnrmalis  Yl  d  s 
curuae  in  pundo  Y  applicata  ,  quae  reloluta  fecun- 
dum  diredliones  Yp  ct  Y^praebcbit  vini  YpziTldy 
et  vim  Y  q  —  Ti  d X.  Practerea  vero  quoniam  iplam 
tenfionem  T  hic  n  ndum  contemplari  licft  ponamus 
praeter  vim  Y  U  —  Yl  d s  pundo  Y  applicntam  e(Ie 
vim    tangentialem   —  ©«'j-;  quae   quia   in   dircdione 

Y  y  a^it   per    rclolutionem     praebet    vim     fecundum 

Y  V  -z  Q  d X  ct  ftcundum  Y  (j  \im   r=  0  dy.    Col- 
ligendis    igitur  his  quatuor  viribus  eleinentum    cur- 

Tom.XX.Nou.Comm.  T  t  vae 


330  DE  PRES^IONE  FVNIVM 

vae  dr  follicifabitur  fecunduTi  dircdionem  A  X  vi 
::z  Q>  d  X  —  ^  d  y  ^  quain  in  thcoria  generali  voca» 
■vimus  P^Ji  tuin  vero  fecundu.n  dncdionem  X  Y 
vi  ::i&dy-\-lldXf  quae  lupra  crat  y^d  s.  Hinc 
igitur  erit 
/?ds—fedx-rndj  tt  fQJs—fQdy+fHdx, 

§.  y.  Quoniam  igitur  hic  toram  curuam  ia 
eodem  plano  fitam  concpimus,  pro  ftatu  aequiiibrii 
vnicam    habebimus  aequationem 

Idyf  0  dx  -  fdy  fUdy  -fd  xf  0  dy  ^fdxfW  dx  zz  o. 
Tum  vcro  quia  ipfam  tenfionem  in  Y  \t  datam 
fpu(ftamus    —  r  ,  erit 

T--''f^^ifed  X  -fUdj)  -p^^(fQdy-\-rndx 
Vnde    fumtis    differentiahous    pofitoque    dy—pdXy 

vt  fit  d s~dxV  i  -{- p p  hae  duae  aequationes  fe- 
quentes  induent  formas : 

p{redx^fTl(iy)—fQdy-\-r\ldx  et 

T  =  -7T=(/0'^-V-/'n<//)-  ,-7^-(  iQdy^rUdx) 

in  qua    fi  ex  priore   loco  fH  d  x-\-  fQ  dj    fubiU- 
tuatur  valor  p(  fQ  dx  -fU  dy)   prodibit 

T  =:  -  V 7+  p p  (fQ  dx-rn dy  ), 
Diffi^Tentictur  prior  aequatio,   fietque 
df  ( /  0^A-  -/  ndy)-{-p(Q  dx  -Udy)-Qdy-{-IL  dx 
iiuc 

dp(rQdx-fnd)')-n{  i  ^pp)dx 
ideoquc 


/Qdx-fndy-L-^-J^U  dx 


<juc 


IN  CORrORA  SVBIECTA.  33 X 

quo  valorc  in  altcn    aeqiiatione    fubllituto    liabcbi- 

X 

miis  T  ::=:  —  ^: lLI.  U.  d x,    Quare  cum  fil  ra- 

dp 

s 
^     ,.  d  X  (    X  +  p  p\^  •      rr      „  r 

dius  ofcuJi  r  — — '—l — ,  erit  Trllr;  fic- 

dp 

que  patet  theorenna  noftrum  cum  formul  s  generali- 

bus  egregie  conucnire. 

§.  6,  Vt  autem  etiam   relntionem  \is    tangen- 

tialis    in  calculum   introdudae  0  ^j  ad     \ires    datus 

T  et  W.  d  s  definiamus  ,   valorem    inuentuiTi 

T  —  -  V  I  -^-pjije  dx  -jndy) 
diffcrentiemus,  fietque 


dj--  jiJ±^  (/edx-fndj^-y  i+pp  iedx-  udA 

Et  quia  eft 

dpifedx-fTldj^-nii-hpp^dx, 

erit  nunc  d  \'--y  i +ppedx  ,  hoc  eft  dT--edf 
ita  vt  vis  tangentialis  aflumta  eds  ipfi  difFi.rciit  uli 
tei  fionis  T  ne^atiue  fumto  aequetur.  Quoniam  enim 
tenfionem  T  ab  Y  verlus  A  vergere  afllumfimus,  ea 
Vtique  a  vi  tangcntiaii  e  d s  oim  nuitur.  Hii^  iam 
inucntis  problema  in  fuptriore  diflertatione  loiutum 
facillime  rdolui   p^itcrit. 

Problema     i. 

§.  7-  Si  funis  inciwibat  cyUndro  hnrizovtaliy  cu-  Tab  VI. 
ius  feCiio  transuerfa  i-crtica.is  fit   A  Y  B,  eiusque  tcr     Fig.  4. 
riimis  appenfa  fmt  pnndera  M  et   N   definire  Jlaiuiu  ae- 
quilibrii ,  quod  ob  JricliOnem  fubJijUre  poterit. 

T  t  a  Solutio, 


T 


33  3  DE  PRESSIONE  FVNIVM 

S  O  1  U  t  i  O. 

§.  8.  Supponumus  ninbo  pondera  M  et  N 
feu  potiub  vire^  tuncm  in  vtroquc  termino  tenden- 
tcs  tantopcre  inter  (e  difcrcpare  ,  \t  fi  vis  maior  M. 
tant  Uum  au-jeretur  Uinis  in  hanc  partcm  cedere  in- 
cipcret  ,  ica  vt  lioc  Ibtu  fridio  vim  fuam  lotam 
exerat.  lam  ponamus  lenfionem  in  funis  puncflo  Y 
efle  =  T  ,  quam  verfus  A  diredam  concipiamus ; 
tum  vcro  natuamus  prelfionem  quam  cylindri  cle- 
mcntum  Xy  —  ds  a  fune  fullinet  nn</i,  ct  qnia 
fri(fl  o  vbiqiie  ccrtae  parti  prcnumis  aequari  cenfetur, 
fit  ea  rzXnd^f  ,  quae  ergo  fccundum  diredionem 
Yj'  fcfe  motui  iamiam  gcnerando  opponet  ,  ita  vt 
nunc  habeamus  vim  taneentialem  Q  d  s  —  'kW.  d  i, 
Cum  i^itur  funis  ob  readionem  a  cylmdro  vrgca- 
tur  in  dircdlione  normaii  Y  11  vi  —W.ds^  nccefle 
ell  vt  funis  ab  his  viribus  in  aequilibrio  tcneatur. 

f.    9.  Quod   fi   igitur  radium  ofculi  curuae    in 
pundo  Y  (htnatnus  —  r  ,   pcr  ea     quac     in    praccc- 
dente   thcorcmate    ("unt    demondrata  ,     ob     0  —  XIT 
habebimus   iias  duas  acquationes  : 
I.  T==nr.     \\.  d^i  —--hWds. 

Diuidamus  nunc  poftcriorcm  pcr  priorcm  vt  nan- 
cifcamur  hanc  acquationetn  :  ^  — — ''Ai.  Sit  nunc 
rtcfta  Y  O  ad  curuam  normalis,  quae  cum  axc  AO 
faciat  angulum  A  O  Y  —  Cj)  ,  qui  crgo  amplitu- 
dinem  arcus  AY  mctietur  i  vndc  fi  YK  fit  radius 
ofculi  -r  ct  ducatur  rtda  j  K,  erit  auiiulus  koy-^d(^ 

idcoque 


IN  CORFORA  SVBIECTA.  333 

idcoquc  nnguUis  ad  R  —  d  (^  ;  qui  cum  ctiam  lit 
—  IJ'  —  ii  ob  ''-  =  </  Cp  acuuatio  illa 

Y  R  r  r  t  -j 

il—  _  Ui-rr -  ^^0 

l     —  r  ^ 

integrata  pracbct  /T  =: -4- /C  —  X  ($;  ficquc  babebi- 
nuis  lianc  acquationem  :  T  =  Cf~^^,  vbi  pro  cou- 
ftante  C  dcterminanda  rcmoiicamiis  pnndiim  Y  vs- 
que  in  A  ,  vbi  fit  CP  —  o  ,  ct  <]uia  hic  tcnfio  ipfi 
ponderi  Al  acquatnr  trit  M  —  C,  ita  vt  hahcamus 
hanc  aequationem  detcrminatam    T  — M^— ^^. 

§.  10.  Inucnta  igitur  tenfione  funis  in  fingu- 
lis  locis  ex  aequatione  11  r=  I,  etiam  preflion^^m  fu- 
nis  in  Hngulis  pundlis  aflignare  poterimus :  Scilicet 
per  elementum   Y^^ds  prtflio  erit 

Hacc  igitur  (oiutio  cum  ea  quam  fupra  inucnimus 
pcrfede  congruit  et  fine  vllis  amba^ibus  ope  prae- 
cedentis  theorcmatis  cft  eruta. 

§.  II.  Statunmus  iam  pro  ahero  termino  B, 
\bi  funis  a  vi  minore  N  tcnditur  amplitudi- 
nem  totius  arcus  A  Y  B  r:  d  ,  quae  quidem  hoc 
cafu  foret  =<?:—  i8o°.  Verum  fi  forte  funis  in 
alio  quocunque  pundlo  E  cylindrum  dcfcrat  ,  ibique 
fecundum  tangtntem  miuorem  N  trahatur  ,  denotet 
argulus  9  amplitudinem  arcus  A  Y  H  ;  ct  quia  ia 
hoc  loco  erit  tcnfio  —  M  f-^*,  ei  vis  tendens  N  de- 
bet  cfTe  aequalis;  ex  quo  habebimus  N  —  M  f— ^* 
fuie  etiam  M  —  N  t^^^vnde  omnia  phacnomena  quae 
fopra  funt  meiDorata  fponte  fiuunt. 

Tt  3  §.12. 


3  34  ^^  PRESSIONE  FVNIVM 

§  12.  Qiiin  etiam  cx  hoc  ipfo  principio  liic 
demonllruto  vlterius  progredi  ,  atque  adeo  motum  , 
qiiem  funis  accipict  fi  vis  tcndens  M  maior  fuerit 
quam  N  c^'  nccurate  detirmmare  licebit,  Ha  enim 
folutio  quae  lupra  eft  iradita  ,  tantum  ad  veritatem 
propinguare  e(\  cenlenda  ;  ibi  enim  aflainfrnus  fridio- 
nem  durante  motu  adiiuc  eandem  mancre  quae 
pro  aeiuiiiluio  erat  inuc  ta ,  cum  tamen  in  ipfo 
motu  preflio  funis  ad  cyl  ndrum  non  exiguam  mu- 
tationem  fine  aubio  patiatur:  mutata  autcm  prcflione 
ctiam  fridio  mutabitur  ;  vnde  perlpicuum  tft  ,  fo- 
Jutionem  fupra  traditam  in  omni  rignrc  admitti  neu- 
tiquam  pofle  ;  neque  etiam  aiifi  fuinuis  ,  eam  ex 
theoria  gcncrali  motus  dcduccre ,'  quandoquidem  in 
calculos  maxime  complicatos  et  tati:iolos  fuiflemus 
dclapfi,  qui  tamcn  per  moleflifllmas  rcuu(flionts  tan- 
dem  fine  dubio  ad  expreflionts  fati>  concinnas  reuo- 
cari  poruifllt-  Nunc  autem  theoremate  noflro  fla- 
bilito  ifla  folutio  haud  difficulter  expcdiri  poterit. 

Problema  2. 

§.  13.  Si  d/crhien  inter  bims  inres  M  et  jsj 
VwiuT  fuerit  quam  vt  aequi:ihrium  confijlcre  fojjit  ^  de' 
lcriiiinaye  motwn  y  quo  Junis  juper  cjlindro  a  vi  via- 
iori  profrahetw; 

S  o  1  u  t  i  o, 

Tab.VI.  ^.   J4..  Sit  figura  A  YB  Raio  trannicrfi    cy- 

^'^"  5    lindri  ea  lue  verticaiis  ;   cui    circumdudus    fit     funis 

altcro  termiiio  onuflus   j.ondere  M,  altero  vcro  N  ; 

iia 


IN  CORrORA  SVBIECTA.  $35- 

iti  vt  fit  M>  Ne^'^.  Q.uoni;im  eniTi  nmbae  port' 
dirum  direc^ioncs  fmit  vernculcs  ,  amplitudo  totius 
arcus     A  Y  B    lit    ^  —  tt  —  180  .  lam     motus 

initio  ponamus  pondiis  M  fuifTe  iii  ipfo  pnnflo  A  , 
alterum  vcro  N  dependifle  vsque  in  C  ,  ita  vt  tota 
funis  longitudo  fit  —  arc.  A  Y  B  H-  B  C.  Voce- 
mus  igtur  t'  tum  arcum  A  Y  B  —  ^  et  altitudincm 
B  C  —  t' ,  ita  vt  tota  fu  nis  longitudo  fit  b -\- c -, 
crnfliriem  autem  funis  vbiciue  vnitatc  dcfignennis  , 
\t  lon^itudo  b -{- c  fiiriul  eius  mafTam  exhibeat. 
Ipfum  autcm  funem  tanquam  granitatis  expcrtem 
fpedemus  ,  quo  calculus  facilior  reddatur :  deinceps 
Cnim  non  difficile  erit  eius  quoque  rationem  habcre. 
Hoc  modo  vires  follicitantes  ernnt  ambo  pondera 
M  et  N  i  Iitterae  autem  M  etN  tam  ip(a  pondera 
quam  eorum    mafl^is  exprimantr 

§.  15.  Elapfo  autem  tempore  t,  quod  femper 
in  minutis  fecnndis  exprimi  affumimus ,.  defcenderit 
corpus  M  ex  A  vst^ue  in  M,  confedo  fpatio  A  Mr^. 
Alterum  igitur  pondus  N  intcrea  afcendifl^e  nccefTe 
efl  per  acqua'e  fpatium  CN  — 9,  vnde  portio  fu- 
ris  etiamnunc  hic  dependens  erit  B  N  —  f  —  ^.  In 
hoc  porro  ftatu  fit  v  celeritas  ,  qua  funis  mouetur, 
quippe  quae  in  omnibus  eius  pundlis  eadem  erit  , 
vbi  v  dcnotat  fpatium  quod  hac  cclcritate  vno  mi  - 
nuto  fccundo  percurri  pcflTct.  Ergo  elapfo  tempore 
t -\- d  t  celeriias  funis  erit  zr^v-^-dv  et  -^  expri- 
met  accclerationem  funis  in  fingulis  pundis  ,  ex  quo 
vis  acccler.itrix  erit   —  ^  ,    dcnotante  e    altitudi- 

nem  ,  per  quam  grauia  vuo  miriUto   fecundo    dela- 

tuntuv 


33<5  DE   PRESSIONE    FVNIVM 

buntiir,  Poiiamus  autem  breuiratis  gratia  lianc  vim 
acceleratricem  -''-^-  —  u  ,  quae  ergo  per  raalTatn 
cu  usque  portionis  multiplicata  dabit  vim  motricem  , 
cuius  dir^dio  vbique  in  len(um  N  B  Y  A  M  vergit. 
Ceterum  quemadmodum  initio  Iiuius  motus  eft  ^no, 
^  ita  motu?  diutius  durare    nequit ,    quam    doncc    fiat 

ex  altera  parte    BN— ^  —  ^  —  o:    hoc    eft    doncc 
fiat  q  —  c. 

§  i6.  Ad  motum  igitur  inuefligandum  con- 
cipiamus  toti  funi  in  fingulis  elementis  vircs  tffe 
applicatas  vinbus  illis  motricibus  aequalcs  et  contra- 
rias  ,  at<]ue  necefle  cfl: ,  vt  tum  totus  funis  ad  fla- 
tum  aequilbrii  perducatur.  Confidcreanis  igitur 
funis  eiementum  quodcunque  Yy  —  ds  ,  cuius  ergo 
mafla  quoque  erit  zz.  d  s ;  et  cum  motus  eius  fc- 
cundum  tangcnrem  Y  T  dirigctur  et  acceleretur 
\i  motrice  —  u  d  s  ^  ei  vim  contrari.im  fecundura 
diredioncm  Yy  applicatam  concipinmus  —uds. 
Vbi  notandum,  dum  lioc  modo  totum  funein  fccun- 
dum  clementa  profequimur  ,  quantitatem  //  pro  con- 
ftante  cflc  habenda  ,  propterea  quod  hacc  quantitas 
tantum  cum  tcnj-orc  mutatur.  Hic  autem  flatum 
pro  eodcm  temporis  momento  pericrutamur.  Prac- 
tcica  vcro  fit  prcflio  ,  quam  elcmcntum  Yv  —  ds 
a  fune  fuflinLt  —  Fl  ^/ j- ,  quac  crgo  fccundum  di- 
rcf^ioncm  normalem  Y  fl  applicata  cfl  intclligenda. 
px  cfl  autem  oritur  fridio  nXlT^j  paritcr  fe- 
cun  uin  dirccflionem  Yr  agcns  quandoquidem  motus 
dirnflioni   YT  cfl  contraria  j  vnde  practer   vim  nor-- 

maieui 


IN  CORPORA  SVBIECTA.  337 

mnlem  Tlds  habcbimus  vim  tangcntialem  r«</j+Xn^r, 
cjiuim  iiipra  pcr  0^/  iiidicnuimiis.  Hoc  modo 
ergo  obtincmus  omncs  vires  quas  funis  portio  AYB 
fuftinct  :  at  vcro  cius  portio  ab  A  dependcns  fcilicct 
AM  — ^  ob  accclerationem  furfum  vrgcri  cenfcnda 
ell  vi  ■=:  li  q ;  fimulquc  ctiam  corpus  M  vi  —  M  «, 
dum  a  grauit.ite  dtorfum  vrgctur  vi  ~  M.  Ex 
altcru  vcro  parte  portio  funis  B  N  —  ^:  —  ^  ,  cum 
pondere  N  ob  accelcrationem  deorfum  follicitabitur 
vi  ~  {  c  —  q  )  u  -\~  N  II  ,  atque  m  eadem  dircdionc 
ctiam  vrgct  grauitas  vi  rz  N.  Hae  crgo  omnes 
vircs  iundim   fumtnc  in  acquilibrio  fcruari  dcbebunt. 

§.  17,  Ponamus  nunc  tenfionem  funis  in  pundo 
Y  efle  ~  T  ,  ac  pofiio  radio  ofculi  curuae  in  hoc 
loco  =:  r  ,  per  theorema  noftrum  habebimus  hanc 
acquationcm  :  T—  11  r;  praetcrea  vcro  cum  fit 
quoque  clV  —  —  Qds  (  vidcatur  §.  6.)  ideoquc 
dT-^  —  iids—XHds,  ex  priore  vcro  aequatione 
fit  riz-,  hoc  valorc  fubnituto  crit  dT--uds-^~ 
fiuc  d  T  -{-  ^lLAj  :rz  —  u  d  s.       Vcccmus    iam   vt  fu- 

r 

pra  amplitudinem  arcus  A  Y  fcu  anguhim  AOY-(p, 
eritque  ~  —  d  (^)  ,  vndc  aequatio  modo  inuenta 
mukiplicetur  per  e^^  ,  vt   prodcat 

e^'^  (  d  T  -^  XT  d  (p  )  ~  -  u  d  s  6^^ 
cuius  integrale  eft 

^^^T=Confi. -«/e^^^^j, 
vbi  confians  etiam  vtcunque  a     tempore    t    fiue  ce- 
leritate  v,  quippe  quae  vt  fundio  ipfius  t  fpedanda, 

Toni.XX.Nou.Comm.  Vv  pen- 


338  DE  PRESSIONE  FVNIVM 

pendere  poteft  ,  pro  qiia  igitur  fcribamus  litteram  U. 
Intcgrule  autem /^^^  ds  ita  capiatur,  vt  euanefcat 
pofito  s  ~o  vel  (p  —  o.     Quo  obferuato  eric  tenfio 

§.  i8-  Ponamus  nunc  primo  s  —  O  et  (P=:o, 
•vt  obtincamus  tenfio  lem  in  iplo  pundlo  A,  quae 
ergo  erit  T— U  quae  ,  quia  ncglcfta  mafTa  funis 
pondus  M  in  quicte  fudinere  debet ,  furfum  agere 
eft  cenfenda.  Ea  cr^^o  cum  viribus  pro  hac  parte 
ante  notatis,  quae  erant  u('{+N)  furfum,  et  ipfum 
pondus  Al  dcorfum  in  aequilibrio  clTe  debet  ^  vnde 
nafcitur  ilhi  acquatio  :  U  —  M  —  //(</-!- M)  quae 
eft  vna  acquatio  pro  motus  determinatiune  ,  altcrani 
vero  nobis  luppeditabit  ftatus  altcrius  portionis  a 
pundo  B  dependcntis,  quam  deorfum  vrgeri  vidimus 
\iribus    u{c— q)--\-biu-\-N. 

§.  19.  Quaeramus  igitur  funis  tenfionem  in 
ipfo  termino  B  ,  et  quia  totius  arcus  A  Y  B  am- 
plitudo  eft  180°  erit  Cj)  —  tt  ;  tum  vcro  vocemus 
valorcm  formulae  integralis />^^d' x  per  totum  ar- 
cum  A  Y  B  e^tenfiim  —  C,  eritque  tcnfio  funis  in 
puiido  Bzz\J  e—'^'^  —  u  e~'^'^  C  (urfum  vergens, 
propterea  quod  pondus  N  in  aequilibrio  ferunrc  dc- 
bet ,  quae  ergo  acqualis  eflc  debct  viribus  dcorium 
\ergcntibus  pro  portionc  B  N  ,  vnde  ex  hac  parte 
nancifcimur  hanc  acquationcm  : 

U  ^-^■^  -  u  <?-^"  C  =  w  (  f  -  <7 )  -+-  N  tt  -I-  N 
cx  qua  acqujtione  cum   pracccdcntc  coniunda  elimi- 
nari    poterit    quantitas     conftans     U    ,    quae    adhuc 

manfe» 


IN  CORPORA  SVBIECTA.  339 

manfenit  incognita  ,  quia  cnim  UnM  — tt(^+  M), 
hoc  valore  hic  lubltituto  impetrabimus  acquationern 
finalcm   illam  : 

-tt*>-^^(^4-M+C)  +  Mf-^^  — tt((r-^)  +  Ntt-i-N 
vnde  elicimus 

M^-^^^-N 


«  rr 


e' 


•^^(?-f-M-i-C)-4-i;-yH-N' 


§.  20.  Scripfimus  autem  breuitatis  gratia  lit- 
teram  u  loco  —^^;  dein  quia  pondus  M  cekritate  v 
defcendere  afflimitur,  hocque  motu  fpatium  A  M  -  ^ 
tcmpulculo  dt  inci-einentum  accipit  —  d  q,  crit 
d  q  ^  V  d  t  ^  ideoque  q  —  /  v  d  t.  Praeftabit  autem 
quantitatem  q  in  calcu)o  retinere ;  vnde  cum  fit 
ly  —  li  eiit  fumto  clemento  temporis  dt  conftante 
dy  --  d^  idcoque  u  —  -^^'J,  ■  ,  quo  valore  adhi- 
bito  aequatio  motum  funis  dcterminans  erit 

ddq    __  M  g-^^-  N 


zgdt''  e-'^'' (q  + !S\-\-C)-\-c  -q  +  N' 
exqua  flatim  p.uct ,  motum  in  fenfum  BYA  oriri 
non  poflTc,  nifi  h;iec  formula  fuerit  pofitiua,  lioc  efl: 
nifi  fit  Mf—^^^^N,  prorfiis  vti  in  problcmatc  cft 
ftabiiitum,  Pjaeterea  vero  ex  hac  aequatione  intel- 
ligitur,  determinationem  motus  noftri  funis  multo 
difficiliorem  efte  quam  in  praecedente  diflcrtatione 
crat  vifiim  ,  propterea  quod  hacc  acquatio  eft  difte- 
rentiaiis  fccunji  gradus  et  practcr  ddq  etiam  ipfa 
litrera  q  ingreditur. 

§.   21.   Quo    autcm  hanc  acquntionem    flicilius 
tra(flarc  Hceat  ,  pro  quantitatibus  conftantibus   ftatua- 

V  v   2  mu3 


340  T>E  PRESSIONE  FVNIVM 

rnus  breuitatis  gratia  2  g  (  M  ^"^"^  —  N  )  —  E  , 
e-^^-^i  M-|-C)-i-f-hN  =  F  et  f-^'"-.i=:-G 
\t  habeamus  hanc  aequatioiicm  :  ^-^  rz;  -_f  ^  ,  quae 
multiplicata    per  d  q  u  integrata  praebet 

ita  Yt  iam  fit  ^  —  —  lJ?  /  iiriLl.  V'bi  rotetur  q 
nunquam  maius  cuaderc  quam  c-  :,  tum  autem  fem- 
pcr  erit  F  >  G  ^  quia  F  ^  G  f.  Ad  hanc  con- 
Hantem  A  dcfinieiidam  ,  recordemur  ,  ipfo  initio 
fuiflc  —  o,  et  quia  motum  a  quiete  inchoaflTe  aflu- 
niiinus  crit  ctiam  cclcritas  ^  =0)  vnde   patet  Uuni 

debere  A  =  F.  Sicque  aequatio  pro  motu  crit 
^-H  zz  ~\- V  { -^  /  p  _^ ^—    ,       \ndc      porro      colligitur 

dq 

dt  —  -.  -^. — F :,  Ynde   intciligitur    hinc    nuUo 

'^  \    G'  ^  V  —  G~q  ' 

modo  intcgrationem  exfpcdari  pofl!e.  Tantum  ergo 
ab;ft  ,  \t  hoc  Problema  tam  fac;lc  rcfohii  polTit ,  vti 
ante  erat  \ifum  :  \t  potius  inter  difiicillima  fit  nu~ 
merandum. 

§.  2.2.  Pcr  npproximationem  nutcm  folMtio 
fuccedit  fi  fracflio  ~  fucrit  quam  minima.  Cum 
igitur  fit 

G  i-r--^'^ 


F  —  ^- ^'^  (  M  -I-  C  )  H-  c-  -i-  N 

haec  quantitas  fi  fuerit  \alde  parua   ponatur  ca   — »» 
critque 

proximc 


IN  CORPOKA  SVBIECTA.  341 

proximc.      Hoc   ergo   cafu     habcbimus  d t  ~ 


-y  i^nq 


fuie  </;  y '  ^-  r  ~^~,  Ynde  integrando  crit  t  V  '^ii-^yq^ 
atque  hic  viciflim  nancifcemur  </  — ?AL'jita  vt  fpa- 
tium  pcrcurlum  AD/[—q  quadrato  tcmporis  fit 
proportionalc,  \ti  vfu  vcnit  in  hipfu  grauium  libcro; 
\crum  motui  multo  magis  erit  retardatus ,  ob  « 
fradioncm  minimam.  Hinc  igitur  ob  n  —  ^  crit 
g  ~^  ;  ac  loco    E   et    F    rcditutis   valoribus 

^        g(  M  g-^^-  N)t  t 

^  —     tf-^^  (  M  -4-  C  )  -I-  f  -H  rvT* 

§.  23.  Ceterum  hic  notaffe  iuuabit,  iftum  ca- 
■fum  quem  pcr  cakulum  cuolucre  licuit  conuenirc 
cum  (olutione  in  lupcriore  differtatione  tradita  ^  vnde 
inttlligimus  ,  cam  quoque  cateiuis  tantum  vakrc  , 
quatcnus  fraclio  ^  ei\  valde  parua ;  quod  nifi  conti- 
gerit  ,  folutio  vtique  euadct  maxime  ardua  ,  ita  vt 
ne  per  approximationcs  quidem  commode  expediri 
poflit.  Praetea  vcro  illa  folutio  ficile  transfcrri  potert 
ad  cafum  quo  fuiiis  antcquam  ad  tcrminum  B  de- 
pcndct  viiam  pluresue  intcgras  reuohuioncs  circa 
cylindrum  compkuerit:  tum  enim  nil  aliuj  iiequiritur, 
nifi  vt  ioco  littcrae  tt  kribamus  vel  3  tt  ,  vel  5  tv, 
\cl  7  71  etc.  qucmadmodum  ex  fuperiure  difllrta- 
tione  (atis  eft  manifcClum. 

§.  24.  Deniquc  fl  quem  fortc  off:ndat  ,  quod 
fupra  pro  termino  A  tenllonem  lurfum  vcrgerc  af- 
fumflmus  ,  cum  tamen  valor  littcrae  T  deorflim 
dirctftus  fucrit  inuenius,  is  pcrp.udat,  hanc  diicclio- 

V  V  3  nem 


341  DE  PRES.  FVN.  IN  CORP.  SVBIECTA. 

nem  vis  T  locum  habere,  quatenus  ea  pundo  Y  ap- 
plicatur.  Alanifeftum  autem  eft ,  fi  haberetur  filum 
tenfum  inter  terminos  A  et  Y,  tum  quidem  pundutn 
Y  verfus  A  et  viciflim  A  vcrfus  Y,  hoc  ert  furfum 
vrgeri  debere.  Atque  hinc  ctiam  perfpicuum  eft , 
quoniam  funis  cylindro  incumbens  A  Y  B  in  ftatu 
tenfionis  verfitur ,  tum  vtruinque  tcrminum  A  et  B 
ob  eandem  tenfionem  furfum  follicitari  debere,  pror- 
fus  quemadmodum   in  hac  folutione  aftumfimus. 

§.  25.  Quod  fi  cylindrus  cui  funis  circum- 
voluitur  fucrit  circuhuis,  cuius  radius  fit  —a^  ideo- 
que  r  —  a^  rum  crit  rt^x  — ««'Cl),  hincque  formula 
intcgralis /^^^^  j  euadct  "^^^'^  —  ^-  Huius  ergo 
valor  fumto  Cp)  —  tt  crit  =r  ^(  e*''"—  i  )  ,  qucm  in 
folutione  gcnerali  pofuimus  C  ^  vnde  pro  hoc  cafu 
erit 

F  =  M  ^-^  ^"  +  ^-  (  I  ^  f-''''  )  4-  <r  +  N  ideoque 

-G  I  -^-^^ 


qui  ergo  valor  fi  fuerit  valde  paruus  approximatio 
ante  cxpofita  locum  habeb  t  ,  vbi  iterum  loco  ni 
fcribi  oportcbit  vcl  3  tt  ,  vel  5  tt  ,  vel  7  tt  ctc  fi 
funis  circa  cylindrum  vnam  ,  vd  duas ,  vel  tres 
intcgras  revolutiones    fuerit  complexus. 


DE 


->^.^  (  o  )  S-c^-  343 

DE  VIRIBVS 

REMORVM  NOVAE  SPECIEI 

EOKVMQVE  COMPARATIONE    CVM 
KEMIS  ORDINARIIS. 

Audore 
W.     L.     K  K  A  F  F  T. 

§.   I. 

Remoriim  haec  noua  fpecies  ,  quorum  vires  fum 
inuelligaturus ,  praeter  illuftrem  Inuentoris  ce- 
lcoritatem  ,  multiplici  prae  remis  ordinariis  in  na- 
vigiis  maioribus  praerogatiua ,  rei  nauticae  periiorum 
attentionem  iure  fibi  meritoque  vindicat.  Primus  io 
lucem  illos  protulit  Illuft.  Dan.  Bernoiilli  in  difqni- 
fitionibus  fur  la  maniere  la  plus  avantageufe  de  fup- 
pleer  a  Taction  du  vent  fur  les  grands  vaifleaux , 
ornatis  annoi753  Academiie  Parificnfis  follemni  et 
publico  pracmio  ;  et  mirari  fe  fi  ait  Audtor  ,  nuUi 
ante  ipiiim  artis  nauticae  ftudiofo  obtuliffe  fe  ho- 
rum  remorum  ideam  j  hodienuiii  certe  non  minus 
iriirum  vidctur  ,  inuentum  tanta  optati  fucceflu  fidu- 
cia  ab  111.  Viro  commendatum  ,  inde  ab  illo  tem- 
pore  nec  ad  examen  vUum  ncc  v(um  pradicum 
fuifle  rcuocatiim.  Praeftantes  remorum  fuorum  ef- 
fedus  ex  principiis  a  fe  fiabilitis  generatim  fummo 
acumine  euicit  111.   Audor ;    neque    laracn    tum    id 

tuiit 


344-  NOVA  ^PECIES  REMORVM. 

tiilit  inaitiui  ratio,  vt  integram  eoriindem  theoriam 
Ipccialiori  indngine  ciiolueret  ;  vndc  opernm  mc  haud 
arbitror  iiuitilem  impcnfurum  ,  fi  ,  remis  his  denuo 
jn  (cenam  reuocatis ,  efFedus  indc  fpcrandos  cx  pri- 
niis  mechanicac  principiis  deduxero  ,  corumquc  cum 
remis  vfitatis,  quorum  cfTedlus  111.  Eii/erus  in  Com- 
mcntariis  Bcrolincnnbus  ct  nouitlime  in  celcbri  liio 
de  conlUu(ftione  nauinm  opere  ad  calculos  rcnocauir, 
comparationcm  atque  ad  praecipuarum  clalhum  na- 
vigia  adplicationem  \bcrias  hic    cxpofuero. 

§.  2.  Praemittcnda  igitur  antc  onuiia  erit  di- 
flinda  horum  remorum  defcriptio,  quam  ex  galiico 
III.  Beynoitllii  fcripto  iplls  ciusdcm  verbis  cxccrptam 
hic  adiungcrc  vilum   cll. 

Soit  fig,  I.  la  coupe  horilbntale  a  flcur  d'eaii 
«t  A  B  la  quillc  d'un  vaifTcau  mu  dans  dcs  caux 
calmes  de  A  vers  B.  Q^uc  acb  reprcfcntent  des 
coupes  des  pales  plongecs  vcnicalemcnt  dans  Tean 
fous  une  obliquite  dirig6e  vcrs  la  pouppe  ct  fai- 
fant  avcc  la  quille  un  angle  de  6o  degrts.  Cespa- 
lcs  font  cl'abord  tirecs  par  lcs  rameurs  fuivant  1:1 
<3irc(flion  c  d  pcrpendiculairc  nu  plau  vcrticat  dc  la 
quille.  Etant  parvenues  jusqu'en  </,  cllcs  fc  retour- 
ticf  t  pnr  nn  ccrtain  mecani<me  dans  la  fituation  ap 
dont  fobliquite  dc  6o°  crt  maintcnant  dirigec  vers 
la  pn.ue.  Dans  ccttc  fituation  lcs  ramcurs  rcpouf- 
fent  ces.palcs  fuivant  la  dircftlon  de  juiqu  en  ^, 
ou  ellc  reprenncnt  par  lc  mcme  mccani&me  leur 
prcm.ierc  fituation.  Pour  que  cc  rcnverlcment  des 
''i:i.ti  palcs 


NOVA  SPr.CIES  REMORVM.  S45 

palcs  fe    fafTe    npropos ,    de    fngon ,    quc    la    furfacc 

poiineo  ccntre  les  caiix  foit  toujours  tournee  du  cotc 

de  la   poiippe  ,  on  peut  compofcr   l;i  rame   de    deux 

pit^es;   unc  partic  dc  hi  pit^.'  infcricure  entrera  dans 

la  luperieurc  ,  dc   manicrc  ,  quc  ccllc  d'cnbas  tourne 

librcmcnt  (ur  fon  axe.      Scit  A  B  C  D  la  pie^e  fu- 

pcricurc  crculee  pour  rcccvoir   le  bout   de    la    piege 

jnfcrieure   t  F  G  II  ;  quon  fafTe  dans  la   pic^c  lupe- 

rieurc   une   rainure    innpq    et    que    ramplitude    de 

J^irc   m  q  ou   np  foit   d'iin   pcu   plus  de    60°  ^    qu'oii 

njoute  a    la     pitcc    infcricuie    EFGH    une    efpece 

d'arret  forn.e  en  bofTe  rcprefente    par    r  J  ,    dont   Id 

haiiteur  foit   tant  foit  peu   plus  petite  ,  que    la    hau- 

teur  de  la   rainurc.     Cet  arret  e(l  dc(Hne  a  toucher 

et  hcurtcr    alternativement    contrc    les  bords  ;;; ;;  et 

p  q  de   la  lainure  ct  il  avancera  uu  pcu   hors  <Je    la 

rainurc.     La   maaivcile  ,  qui  doit  fervir  a   poufT-r  et 

rcpouflcr  la   rame   pourra  etre  appliquce    au     milieu 

de  rarret  ,  de   maniere  ,  que  la  dirccftion  de  la    ma- 

nivclle     ne    pafTc    pas    par    Taxe   de  la  rame  ,  mais 

qu'tlle   la  rafc.     Ccs  ramts  ,  qui  foutiennent  les  pa- 

lcs ,  fcro;it  fufpcndues  verticalement  ,  la  p.ile  enfon- 

cee  dans   l'eau   ct   Ic    ren.e  daiis  Tair  ;    chaque    rarae 

aura  au  bout    dcux    tourillons,    qui     entrcront    dans 

dcs  virolcs  ct  fcrviront  a  fouten.r   la  rame  ;    ils  fe- 

ront    parfaiiemcnt    horifoitcaux    et     paralkles     a     la 

quille  et  ne  permettront  a  la  rame  d'autre    mouvc- 

mcnt  ,  ()ue  cclui  de  balancer  dans  un     plan    vertical 

pcrpendiculair     a     la    quillc  ;    les     viroles    dellitj^es 

a  recevoir  Ics   tG'.irillons  feront    nienagees    dans    des 

folivcs  ou    p^eges  de  bois  ,  qui  fortent  hors  du  \aif- 

Tom.XX.  Nou.Comm.  Xx  feau 


34^  NOVA  SPECIES  REiMORVM. 

ftfin  ifTs  pour  permettre  aux  rairws  leur  jeu.  Le 
m.i!iie"ncnt  co;ililicra  a  approch-r  et  elqijiiijr  altcr- 
n.uivcm.nt  les  rames  des  bords  du  vaiirjau  ,  moy- 
e^.iP.ant  unc  manivelle.  Soit  la  manivelle  o  x  ,  et 
qui  lcs  hommcs  la  tirent  vers  eux ,  aiors  Tarret 
rs  v'endra  auditot  a  heutrcr  le  bord  m  n  et  y  re- 
feia  comine  colle  p:ndant  tout  le  tcnps  ,  qu'oa 
tire  la  rame  ;  mais  auflitot  ,  qu'on  commcnce  a  ia 
rcpouifer  Tarrct  Ce  mettra  contre  Tautre  bord  et  y 
re.icra  pendant  tout  lc  temps  ,  qu'on  employe  ^a 
repoutT-r  h  ra;ne  ;  et  ce  mouvement  de  rarrv.t  fer- 
Tira  a  renverlcr  altcrnativement   la   pale. 

§.  3.  Huiusmodi  ergo  remis  inftrudae  nauis 
inotum  ,  eorundem  adlione  ipft  impreflum  ,  vt  defi- 
niamus :  .nauis  concipiatur  rcmoruin  viribus  iam  ad 
motum  propulfa  ;  et  curfus  ,  quo  nauis  progrcditnr, 
dircdli  ponaiur  velocitas  —Vc;  ea  autem  ,  qua 
manubrium  in  dircdione  ad  planum  fpinae  naui» 
vcrticale  normali  agitatur  ,  ir  V  «  ,  ita  vt  c  ct  u 
ahitudincs  defignent  harum  celeritatum  gencratrices. 
Tab.  VI.  5jj  j^jjj  j.£ppjj  35  3xe  horizontali  vsquc  ad  palmul.ie 
'^'  cenrrum  longitudo  rr  L  ;  et  purnfli  ,  in  quo  manu- 
brium  crt  adplicatum  ,  ab  eodem  axe  diuaiitia  ^D; 
\nde  pofito  - —y  y  pahnulae  centro  ceieriias  im- 
primetur  —j/  V  u  —  V  v. 

§.  4.  Rcferant  linaae  c  f  ct  c  e  binas  iftas  ce- 
lerrtatcs  palmulae  a  b  cuius  ad  fpinam  nauis  obli- 
quitas  ~fcb:n(i^  et  centrum  grauitatis  in  c.  Coui- 
pleto  igitur  paralldo  -  grammo  acfg  puncflum  c 
celeritate  —  V  ( <y  4-  ^  )   ia    diredlione    c  g    moueri 

con- 


NOVA  SPECIES  REMORVM         S47 

concipitur  ,  Tt  fit  tang.g  r  r  =:  V  ^  ;  quac  celeritas 
fccundum  b  g  et  ch  refoluta  et  pofito  bcg  —  (^ 
pracbct  in  d  rcdione  ch  celeritatem  -{\\\  <^V {v  +  c) 
qua  palmula  direcfle  contra  aquam  impellitur;  cui 
cum  del>ita  fit  ahitudo  =:  fm.  Cp'  ( t;  -}-  <r ) ,  fi  pal- 
mulae  fuerit  fuperficies  r  //  et  voluminis  aquei  ~g 
ponJus  —p^  erit  \is  impuUus  aquae  in  palmulae 
fup-rficiem   normalis 

Quare  cum  fit 

(J)  —  90°  —  w  —  g  f  f ,  ob 
{\i\ g  c  e  —  ,r""  -r.  et  cof  ^  <:  ^  =  ^^^  — 
adeojue 

liabcbitur  impuKus  a.(Uae  ad  palmulam  perpendicularis 

;•  fc'  C  co"-  oj  V  •P  — Jm.  hiVc)^ p.h'.si- 

~~  5'  —       g»         » 

pofito  brcuiiatis  gratia 

cof.  oj  V  17  —  fin.  0)  y  i"  —  II. 
Haec  autem  vis  fccundum   binas    dirediones  princi- 
palcs  ,   vnam  curfui  nauis    diredo   paralklam  ,    alte- 
ram  ipinae  nauis  normalem  ,  fiue  fecundum  cf  et  ec 
reloJuta  praebet 

fecundum  cf  y\m  ^tiJ^^JfBH^ 

lecundum  ec  vim  =  £1^^. 

§.  4.  Statuatur  nunc  remorum  numerus  rrN 
et  fingulis  adplicati  fint  n  homines  ,  vt  remigum  fit 
numerus  —  N  «  ;  quo  pofito  ,  vis  totalis,  ex  remo- 
rum  a<Sione  orta  ,  nauem  in  curfu  ipfius  direjSo 
propdlens  ,  cvit  ==  £j^^-lilii±ie  .    quare  cum  in  di- 

X  X  a  reaionc 


34»  NOVA  SPECIES  REMORVM. 

reAiotvs  luiic  oppofita  agit  nquae  coiitri  nauis  pro- 
ram  rclirtcntia  zi  R  ,  n.uiis  in  curfu  luo  dircclo  re- 
vcra  propuUabitur  vi  —  Mli^^^iiliiii  -  R.  Inchoa- 
vcrit  centrum  grauitatis  C,  in  quo  tota  nauis  mafTa 
—  M  collcdla  coacipitllr  ,  motum  in  puniflo  C  ,  et 
iam  peruenerit  vsquc  in  D  ,  vt  ipfuis  in  pundo  D 
fir  celeritas  zzVc'^  quo  pofito  pro  acceleratione  na- 
vis  ,  durp.  ipatiolum  D  r^/ —  ^.v.percurrit,  notum  cft 
liabsri  cx  principiis  meciianicis 

f  5,  Sit  porro  rcmigis  ad  remum  agitandum 
adplicati  vis  i:^  P  ,  aJeoquc  vis  ,  qua  rcmus  in  di- 
reclionc.  norm.ili  verf.is  fpinam  nauis  (ollicitatur  , 
z:z}i^t  eiusque  ,  refpeclu  axis  horizontalis ,  mo- 
mentum  —  )i  D.  l\  In  dircdlione  huic  contraria 
agit  vis  impulfus  aquae  modo  inuenta  -.=:  ^felg-,^ '-'"/"•  h 
ciiius    cum   fit    momcntum    —  ^ i-. h-'  y  coj. ^  .    fun^j^jj 

momentorum  ,  quibus  remus  in  direftione  fpinae 
nauis  normali   follicitatur,  erit  «DP-^^-i^v^,  cui 

o 

accelcratio  motus  angularis  foret  proportionalis  ^  quae 
cum  fit  nuILi  ,  fiquidem  remiges  id  operam  dent , 
vt  iiuegra  remi  cxcurfio  liuim  ab  in.itio  vniformi 
motu   pcraguur;  habebitur    hinc  «  p  —  t2iA' f_l££L". 

§.  6.  Prior  autem  aequatio  vt  rcfoiui  podit  , 
quantitatem  R  fcu  aquae  contra  proram  nauis  rcfi- 
lientiam  definiri  oportct  i  vbi  quidem  iam  conftat , 
fi  r'  defignet  refillcntiam  nauis  ablolutam  fiue  tale 
planum  ,  quod  eadem  cum  nauc  velocitate  direvfc 
contra  aquam  motum  candem  paterctur  ,  quam    n  -' 

vis , 


NOVA  SPECIES  REMORVMj  349 

vis  ,  aquae  refilL-iitiam  ,  ipfjm  hanc  vim  poiideri 
aequari  prismacis  a.]uei  ,  cuius  bafis  —  r*  et  cuius 
akitudo  fuerit  ca,  quac  nauis  celcritati  debsturj  vnde 
conflcitur  R  rr  ^-•-~  j  quare  cum  cx  vltima  aequa- 
tione  fit 

p.  N  b^  il-.  ft-u  u  N  t  P.  tang.  co  , 


y  ' 


prior    aequatio ,    pofito    breuitatis    gratia    -^  —  A  , 

haac  induet  formam 

A  M.i^c. 

—  dx 


\     N  n.  f.  t.ifig.  oj  -. 

y 


ex  cuius  integrali 


a;  =  A  M.  log.  — ^.^LLlfH^iJ^ 


A  N  'l  P  Iwfig.oj  —  y  c 

colligitur  ,  denotante  e  illum  numerum  ,  cuius  lo- 
garithmus  hyperbolicus  ~  i  ,  alcitudo  celeritati  na- 
vis  debita  , 

J  ' 

flatim  vero  ctiam  pro  \alde  modico  ipfius  ^  va- 
lors  poilcrior  hic  tcrminus  tam  euadit  exigr.us  ,  vt 
prac  vnitate  euanefcat ,  adeoque  nauis  concipi  poflit, 
quafi  iam  inde  a  primo  motus  initio  vniformiter 
progrcderetur  ,  qno  aflTumto  habebitur 
c  —  «'-iiiLP  '?Mii2  ct  r  c  =  //  ^-  fin.  cu 

ex  qua  vhima  aequatione  coUigitur 

R,  (  tang.  0)  -4-  r — -^—  ^Vc^z^Vv-zyVu 

ita  ,  vt  pofito 

a  zz  tang.  u 


i>  V  N.  co/.  ui  V/w.  cj 
c 
V~ 


habcatur  7  —  "  "^-^  ;  quo  valore  fubQituto  erit 


p.a  r* 


Xx  3  ,.,adco- 


45*         NOVA  SPECIES  REMORVM. 
tdcoquc  ipfa  niHiis  celeritas 

y  ^  —  V  g--  ^«''g.  (.1.  N  ».  F  V  u 
p.  tt.  r' 

tum  igitur  €X  connrii<ftipne  111.  BermulH  Cit  «ztfo*; 
ct  pedis  nqnae  cubici  pondus  —  72  liLr.  9  adeoque 
g'  —  I   ct  p  "  72  ;  habebitur 

y<r—o,  28867.  yN-iLl_v^ 

'  a.   r- 

itfl  ,  \t  ex  datis  rcmigum  nun  ero  et  viribus  vnji 
cum  cclciiiate  manubrii  ,  fupcrficic  p-j.l.i  nhirum  et 
if.uftentiA  nauis  abfoluta  iplii  nauis  ceitriuu  hiuc  de- 
finiiUiir. 

§.  7.  Onr»nia  itaquc  iam  rcdtunt  n.i  vr.ltMem 
IJiHrae  1'  f-u  atfliraaiidam  vim  rtmigis  aJ  r-. li.um 
agitandum  adpjicaii  ,  vtpote  qui  piacter  onus  pro- 
mouendum  prcprii  quoque  fui  corporis  inLrtiam 
fupcrarc  ct  aluiuam  virium  fuarum  partem  ipfi 
bracliiorum  motui  confcruando  impenderc  dtbct.  \  tar 
hic  eadcm  determinatione  ,  quam  pro  computandis 
rcmornm  ordinariorum  cfFcdibus  adhibnit  iU.  hulerus 
in  fuppiemento  tradatus  fui  fur  la  confirudion  et 
lii  manoeuvre  des  vaiffcaux  ;  fit  lcilicet  maxima  ce- 
Irritas  ,  qua  homo  brachia  fua  mouere  potclt,  debita 
altitudini  —  k  ,  ita  ,  vt  in  tali  motu  conftitutus 
vlli  oncri  eleuando  fit  impar,  fit  porro  vis  abfoluta 
hominis  quiefccntis  ~F,  quae  comniunitcr  54.  libr. 
aflTumitur.  His  pofitis ,  hominis,  qui  fi  ipfum  mo- 
vet  celcritate  ~  y «  ,  flatuitur  citato  loco  vis  ad 
fuperandam  aliquam  refiftcntiam  fupcrftes 

P  =r  F  (I  -  y  ^  /. 

Hoc  igitur  valore  in  fcrmuk  noflra  fubflituto  ha- 
bcb'*tur  V  *•  ;= 


NOVA  SPECIES  REMORVM.  ajx 

,  N«.  F(i-yiL)*ya 

y^  =  0,  2SS(J7.  V , —  ^ 

a  r 

qune  celoritas  cum  euanefcat  biiiis  cafibiis ,  fi  arro; 
et  fi  «— jk;  dabitnr  valor  ipfius  u  maximc  idoneus, 
qui  celeritatem  nauis  efficiat  niaximam  \  quique  ex 
formulnc  (  i  —  V  ^  )'  V  «  difFcrentiali  nihilo  aequato 
repcritur  V  iizz.^—-^  quare  cum  maxima  ifta  celeri» 
tas  fit  circiter  7i  ped.  reperitur  hinc /:— iped.  rhen.; 
quibus  rubltitutis  habebitur 

y^^r  0,5773+ >\^^-  , 

adecq.ie   v:ro    m-nuto    lecundo    erit    ipfa    nanis    cc* 

fcjiiis  —2^X^  —  4,  S^^+a^  y  ^^  pcd.  rhenati, 
denotante  X  altitudinem,  pcr  quam  grauia  primo  mi- 
nuto  ftxnncio  ex  quiete  libere  delabuntur,  et  exirtente 
«=i,7  3  2.o5  +  ''-!-i^- vbix^deugnat  fummam  omnium 

Pj{iirncitrum  pa!mularum  iunftim  fumtarum  -3'r^, 
Atque  haec  eft  mnxima  celerita»  poflibilis  y  a  nu* 
mtro  remigum  =:  N  «  naui  imprimenda  ,  et  quac 
obrinetur,  fi  rcmus  ita  inlUuatur ,  vt  fit  manubrii 
^  axe  horizontali   dillantia   —  T)  —  — ^  . 

i  a  V  c 

Cum  vcro  ,  (i  palmulae  excurfiones  nimis 
eunderent  magnae  ,  ea  in  vtraque  excnrfus  fui  ex- 
tremitate  nimis  oblique  contra  aquam  impingeret^, 
quam  vt  vis  nauem  propcllens  inde  non  fenfibilem 
diirirnutionem  pcUeretur  \  fit  ifta  fil)liqnitas  =  (J)  ;  et 
cum  uitinidn  ceicrirati  manubrii  d/pirr  ~u  inuenti 
fit  n^z^  vti^.  livn.;  ent  iptu  e.i  celcriraj»  tempore 
vni;i5  min'.ifi  fi.-i!ndt  rr  -i^d  peti.  r:  "  pc  >'.  circ.  <V;-i.{c 
concIudtLir  D:i:3.i-n^  Cp  a*ieoqae  Lz:9a.fan2.^y<:; 

qiiare 


3  54  KOVA  SPECIES  REMORVM. 

quare  admido  angulo  <p  zz  45°  i  habtbitur  tota  remi 
longitudo  L  z::  9  o.y  c.  ped.  et  pro  pofitione  nianu- 
brii  D=  3   ped. 

§.  &.  Adplicfrrus  iam  forrr,ulns  inuentas  ad 
cafum  ab  111.  BerrMdli  exaniinatum.  Kaucm  (cilicet 
primae  claflfis  con.nicde  50  oiusn.odi  rcn.is  inllrui 
pofle  iudicat  ,  qucrum  fingulis  10  rcmiges  fjnt  ad- 
plicati  et  palmula  anncxa  ,  cuius  lupcrficics  rr,  iz 
pcd.  quadr. 

Pro  lioc  ergo  cxcmplo  hlnc  habebitur 
N  ir  50  i  «  =r  10  5  s'  —  600  ; 
praetcrea  \cro  cx  dctcrminationc  Cel.  Eotigeri  pro 
nauibus  priniae  cladis  c(l  r' —  150.  Ex  quibus  \a- 
loribus  concluditur  a— 2,8c66o  et  ipfa  nauis  ccle- 
ritas  —  4,  83.  ped.  rhcn.  terapore  ^nius  nunuti  fe- 
cundi  ,  proilus  vii  111.  Bermiilii  ex  (uis  principiis 
conclufit  ,  quae  itaque  cekritas  acquatur  |  celeritatis 
niaximae  p(  (Vibilis  ,  quae  naui  primac  daflis  a  loti- 
dem  hominibus  fccundum  t.ibulam  a  111.  Bnmuliio 
§.  3.  V.  II.  di(r.  ciiatae  allatam  vllo  motio  impri- 
nii  potefl. 

§  9.  Conflruan.us  nunc  ex  inuentis  formulis 
tabulam  gencralem  ,  quac  pro  qualibct  reflfleniia 
nanis  abfoluta  et  rcniigum  nunxro  datis  vdocita- 
tcm  nanis  indicet.  Cum  ifla  ctkritas  pcr  qnantita- 
'tem  -?  fcu  proporlioncm  irtcr  numerum  rcn  igum 
et  rcflfltntiani  nauis  definiatnri  flt  haec  ficpcrtio 
:z:_  9i  ;  (uj:crficiem  vcro  paln  ulac  vni  lon  ini  dcbi- 
tae  flatuamus  i5>' —  ;  pcd.  quadr.  quibus  pcfltis  ob 
nzzi  \  formulae  inuentac  lianc  inducnt  (orn.am  : 
am,  73205  H-i^;^?l 

atquc 


NOVA  SP£CIES  REMOKVM. 


353 


rr. 


atque  ipfii  naiiis  celeritas 

=  +,5^+3.  V'^  ■ 
cx  qiiibus  connrucfla  eft  fcqnens  tabuhi,  cuins  prima 
columna  indicjt  velocitatcm  nauis  ope  nouorum  ho- 
rum  remorum  ,  altera  autem  velocitatem  ope  re- 
morum  orJinariorum  ipfi  imprimendam  ,  pro  dito 
qiiolibet  valor';  ipfuis  3?  \  qui  ex  proportione  inter 
refiflentiam  nauis  ablolutam  et  numerum  remigum 
iiiuotefcit.  Alteram  fcilicet  coKimnam  ex  III.  Kukri 
tracftatu  de  condrucn^ione  nanium  pag.  350  excerpfi , 
habita  ratione  difFcrentiae  inter  pedem  Londinenrem 
et  rhenanum.  ^'^"^  .^  ^  ^^ 

T  A  B  V  L  A 

cxprimens    in  :  pedibus   rhenan.   velocitatem 

nauis  opc  remorum  tam  nouorum  quam 

ordinariorum  acquifitam. 

fj^  Rensj  nouijKcm.i  ordin.    9t.  Kein.i,  nouiReiri  ordin. 


-4 

1 

2,  3  86u 

I 

2,  710 

a 

3.^)8^ 

3 

4,  939' 

+ 

:4»SS9.'^ 

5 

5,  357 

6 

SI66 

■•? 

'  <^,  13  + 

8 

6,  459 

9 

6,778   , 

10 

Xl 


7,0^5 

7,  334- 


1,  <:?75 

2,  ^83 

.2,  72i 
•j,  oS'Cj- 

3,  385 
3,<553 

3,  S93 

4,  114. 

4.  317 
4,  503 
4,^83 


13 

14 

I  15 

M9 
i:  -o 

;-3 
j  24 


Tom.  XX.  Nou.  Comm. 


lil^T 

.-4,  849;(, 

7»  827 

5,  010.^, 

8,  Q5S    , 

5,  159  n 

S,  172  • 

5,304.  ., 

8,4.So 

.5,  440  :j 

S-,  680, 

r!;5,,  574!/t 

8,  .87  = 

:     5,  70fl,Ti 

9,  056 

5,  822 

9,  =3  5 

5,94ifT 

9,  408 

.^5  057-/ 

9,  575 

(j,  169 

9,758 

6,277 

9,895 

<),  382 

Yy 

«r 

3  54  NOVA  SPECIES  REMORVM. 

5?  Remi  noni.Remi  ordin.'   ??.  Rcmi  noni  Remi  ordin 


25,  10,049 
26  10, 198 

aS  10,  4.8(5 

I         Z 
29  10,  625 

30'  10,753 

3ij  10,893 

32  1 1,  023 

33  I  «,  150 

34  II,  275 

35  II,  39<5 


6,484. 

6,583 
6,  680 

6,775 
6,  857 

6,  957 

7>  046 

7,  131 
7>  215 

7,297 

7,378 


36 

it ,457 

37 

11,634 

38 

11,750 

39 

I  I,  S63 

40 

11,974 

50 

12,  999 

60 

13,  89  + 

70 

14,694. 

80 

15,421 

90 

16, 089  j 

100 

16,  70S 

7, 

459 

7, 

53S 

7, 

614. 

7. 

6S9 

7, 

763 

8, 

447 

9, 

046 

y, 

580 

10, 

059 

10, 

510 

10, 

925 

§  10.  Vfus  huiu3  tabube  "vt  excmplo  illu- 
firctur  ,  fint  duae  naues  primae  clilVis  ,  600  remis 
vna  Bernoullianis ,  altera  ordinariis  inllrudae  ;  ita  , 
vt  ob  r*-i5o  ,  fit  3f?z4.  Quare  cum  celeritates  re- 
fpetfliuae  maximae  fint  4,  89  ct  3,  08  i  fi  his  duabus 
nauibus  propofitum  fit  Ipatium  percurrcndum  vnius 
milliaris  —  23640  ped.  rhen.  prior  nouorum  re- 
morum  ope  haac  viam  abfoluct  tcmpore  1''.  20';  al- 
tera  autem  remis  ordinariis  propuKa  dcmum  tem- 
pore  2^.  8'  ;  quae  portenor  nauis  vt  propofitum  cur- 
fum  eodem  cum  priori  tcmporc  abloluat  ,  i875rc- 
mis  ordinariis  forct    inftrucnda. 

Reliquas  horum  rcmorum  pracrogatiuas,  atten- 
tione  uon  minus  dignas,  rccenlct  111.  Bernoulli  §.  30. 
P.   II.  diir.  allegatae. 


PHYSICA. 


P  H  Y  S  I  C  A. 


Y  y  a 


DE 


.A3J?  YH*I 


;-:a 


^    ->¥.<.  (  0  )  3-i^-  a57 

FORAMINE   OVALI, 

ElVSqVE     VSV  ,    IN     DlKlGliNDO     MOTV 

SANGVINIS. 

OBSERVATIOXES  NOVAE. 

■  i    tii:.  Aiidore 

C.     F.     W  O  L  F  F. 

-         .  -  ■ '  »  i 

,        (Le^la  iii  conueiitu  Acadeinico  d.  ii.  lauuar.   i77<^0  .".t.jaLi 

§•    X. 

Qunmuis  plurimnm   laboris    Anatomici    in     inda- idea  fora- 
gaudis  organis  liifce  ,  quibus  in   foetu    diuerfii  ,  minis  oua- 

quam    in    adulto  homine  ,    circuhtio    funguinis  effi    ^*  ^*'  ^"^" 
^.  .  .    .         r      ■  ■  ■  •     I-      go    conci- 

citur  ,  impendcrmt;    faepiusque  ,    repctitis    pcricuiis  ,   ^^j.^ 

denuo   labores    eosdem     alii    atque    alii     fufccpcrint ; 

quamuis  etiam   in    modo  ,  quo  ficret  liaec    circulatio 

in  foctu  ,  Cekbcrrimi  olim     Viri    multum    inter  fe 

difTcnlcrint :   in   ftrudura     tamen    horum    organorum 

ipfa  ,  et  in   conformatione  non   n  odo  diidus  arterioli 

Botalli  ,  qui  fatis  fimplcx  nuilique    errori    obnoxius 

efi  ,  fed  etiam   difficilioris  foraminis    oualis  ,    omncs 

cmni  tempore  inter  fe  confeiilerunt.      Foramen  ouale 

com.muni  ore  fingulare  foramen   effe    dicitur  ,    quod 

millo  cum  alio  in    corpore    animali  ,    vel    orificio  , 

\el  dudu  ,  crmparautris,  quod   infculptum  fit  fepto, 

quo  vicini  finus  cordis  a  fe    inuicem    diflintuuntiir  , 

et  cuius  ope  igitur  hi  finus  inter  le    communicent; 

-  '.  Y  y  3  fiue 


35  8  DE  FORAMINE  OVALI. 

fiue  nunc  ex  dextro  finu  in  finiftrum  ranguis  tran- 
Ccat ,  vti  plerorumque  Anatomicorum  (enteniia  fuit, 
fiue  contra  ex  finiflro  in  dextrum  ille  progrediatur, 
vt  alii  Yoluerunt  ,  fiue  denique  vtriusque  finus  fan- 
guis  promifcue  commifccatur, quod  fimiliter  propo- 
fitum  fuit. 

Eu   legi-  f.    2.  Certum  eft  ,  fimplex  eiusmodi  fonimen, 

bus  natu-   iii   medio    duorum    cohaerentium    valorum    pariete  , 

raecontra-      .„     ,  ,       i  •    ^         r 

riaeffevi-^^  '''  communicarent ,    nusquam 

detur.  slibi  in  corpore  humano  vel  animali  reperiri.  Dudus 
vbiquc  repcries  communicatorios,  maxime  in  venis, 
et  orificia  \bique  videbis  duduum  vel  vaforum,  fed 
nulU  fimplicia  foramina.  Neque  hoc  etiam  fieri 
folet  ,  vt  (anguis  ex  vno  vafe  progrediatur  in  altc- 
rum  ,  quin  fimnl  in  fuo  itinere  promoneatur  ,  pro- 
piusque  accedat  ad  iilum  fcopum  ,  quorfum  defiina- 
tus  ell.  In  Qoitro  aiitem  organo  fanguis,  dum  ex  dextro 
in  finifirum  ,  tcI  cx  hoc  in  illum  finum  tranfit  , 
nihilo  cordi  propior  redditur  ,  et  omnino  pcr  am- 
bages  ambulat.  Neque  tamen  lolet  natura  vti  me- 
diis  ,  femel  tantummodo  et  vnico  in  cafu  adhibitis , 
quin  analoga  corum  exempla  in  aliis  locis  reperian- 
tur.  Et  ipfe  ,  qucm  contra  generales  legcs  artcria- 
rum  in  dudu  arteriolo  BoTALLI  ct  aortn  vidcmus, 
duarum  artcriarum  confiuxus  ,  practer  innumeras  ar- 
teriarum  minorum  anafiomofcs  infigne  cxemplum 
analogom  habct  in  arteria  bafiliari, 

§.   3.   Haec  autem,  quamuis  aliquomodo  idtani 
%  foraminis  oualis  fu(pc(flam  redderc  potujffcnt  ,  nnni- 

mc 


DE  FORAMINE  OVALI.  359 

me  tamen  in  caufla  fuerunt ,  vt  vcl  dc  rei  veritate 
dubirarem  ,  vel  ideam  ,  adco  inucteratam  ,  denuo 
examini  fubiicerem.  Vidcbantur  autem  rc^iones  in 
cauitaiibus  finuum  et  partes  eorum  internae  non 
fatis  indicatae  effe  ;  multo  minus  locus  ip(e  in  fepto, 
\bi  foramen  exilkret  ,  notui  mihi  ci^t.  Imprimis 
valuuia  foraminis  oualis,cuius  lamina  altera  a  mem- 
brana  interna  finus  dextri,  altera  3  finifin  membrana 
continuari  dicitur  >  quo  loco  cx  lcpto  nafceretur  , 
et  cui  eius  parii  adhacreret  ,  nimis  mihi  obfcurum 
crat.  Quare  ,  vt  haec  expedircm  ,  vt  ideam  fora- 
minis  oualis  mihi  ipfi  perficerem  ,  hanc  particulam 
cordis  data  occafione  attentius  confiderare  et  exami- 
nare  conftitui ;  longeque  alia  reperi  ,  quam  quideai 
quaefiucram. 

§.   4.  Ilico  enim    apparuit  ,    fbramen    minime  pnma  bb- 
adeo  fimplex  exifiere,  vt    vnum     idemque    foramen  feruata. 
fit ,  qucd  in  dextro  ct  qnod  in   finifiro  finu   mteat:'!^  finoius 

*  ,  .  .        ,  *  „     hnu  diuer- 

vt   vnam  eandemquc  eius  oram  in  dextro  atque    u- (■um  inue- 
firo  finu   percipias.     Fars  orae   fuperior  quidem,  qui  nitur  fora- 
ab  arcu,  quem   ifihmum  VlEVSSENII  voc.ire   foknt,r"en. 
formatur  ,  vna    eademque  e(t  in    vtroque    finu  ;    fcd 
orae     partem     inferiorem     longe    aliam    iniienics    in 
dextro ,  aliamque   in    finiftro  fiiiu.       In    dextro  ,    fi   Tab.  VII. 
finum  methodo  EvSTACHII  in  parte  anteriori     vna    ^'^' 
cum  ventriculo  cordis  dextro  aperueris  ,    quae  vnica 
fedio  eft  ,  qua  omnia  ,    quae  ad   fbramen  on;ile  per- 
tinent  ,  integra  conferuantur  ;    foramen    apparct  ,  (eu 
onficium  ,  figura  omnino  ouale  ,  et  ita  pofitum,  vt 
diameter  lon^ior  oblique  a  partc  anteriori  ei  [finifira      " 

retror- 


I. 


3<yo  DE  FORAMINE  OVALl. 

retrorfum  dextrorfumquc  decurrat  (  fis;.  i.  8.  ii.  15.). 
Huius  orificii  ora  fuperior  a  dido  illo  arcu  (  10.  ) 
quem  illhmum  vocant  ,  efRcitur  ;  at  ora  inferior  -a 
\aluula  EvSTACHII  (  7-  »•  9-  5-  )  formatur ,  quae  , 
-  figurae  fcmilunans  cum  fit ,  extremitatibus  fuis  ipfi 
illi  arcui  applicatur  (  5.  et  9.  )  ct  margine  fuo  li- 
bsro  concauo  (  8.)  oram  illam  infcriorem  conflituit, 
coque  moJo  orificium  ,  f,:U  foramen  hoc  ,  quod  ar- 
cus  foius  dimidium  tantummodo  praellabat  ,  perficit 
et  integrum  reddit.  Atque  hoc  vnicum  orificium 
eft  ,  quod  in  regione  fepti  in  dextrum  finum  hiat. 
Tab.  VII  ^n  finu  finifiro  vcro  ,  fi  hic  in  parte  po(lcriori,  cUi 
Fig.  2.  inferuntur  venae  pulmonalcs ,  apcritur ,  qu.ie  p.us 
*'  3-  poftcrior  toia  refecanda  ef\  ,•  forairien  fiiniliter  appa- 
ret ,  fed  alius  figurae  ,  alius  plane  indolis  ct  ab  aliis 
Fig  2.  partibus  formatum.  Eidem  nempe  arcui  ,  ifihmo 
VlEVSSENII ,  et  partim  fupra  hunc  arcum  mem- 
branuja  tcauis,  latis  lata,  et  in  tubi  fpecicm  conuo- 
luta  ,  quae  fub  nomine  valnulae  foraminis  oualls 
\enire  folct  ,  {0.  p.  s.  t.  v.  )  lateribus  fuis  adeo  ad 
glutinata  qunfi  c(l,  vt  ,  fi  fibi  relinquitur,  fiue  iii 
aqua  libere  fluitat  ,  (  fig.  2  )  margiiie  fno  extremo 
(5  6.  p.  )  orificmm  ofFcrat  tubi ,  quem  ipfa  mem»- 
^'S-  3-  biana  producit  ,  ct  quo  arcus  tcgitur.  Si  vcro  eo 
\sque  dcprimitur,  vt  arcus  detegainr,  (  fig.  3.  )  tum 
aperturam  ofi.ndit  (  r.  )  ,  iiiter  arcnin  et  interna  n 
fupcrficicm  membranae  tnbiformis  contentam  ,  et  ab 
liib  partibus  formatam.  Siue  igitur  ,  quod  (i)lo  ex- 
tremo  marginc  valuulae  foraminis  oualis  fupcr  ar- 
cum    formatur  ,    orificium  ,    fiuc    lotam    a^erturani 

fum- 


DE  FORAMINE  OVALl.  3^1 

fiimferls  ,  qune  intcr  nrciim  ct  valuiihim  foraminis 
oualis  continetur,  et  quac  proprie  pro  foraminc  ouali 
accipi  (olct;  aliud,  mnnitcilum  cfl,roramen  cfle,  quod 
in  dextro  ,  et  aliud  ,  quod  in  fuiirtro  finii  pateti  ^i- 
quidcm  illud  ex  arcu  ct  valuuln  EvSTACHII  ,  hoc 
ex  eodem  arcu  et  valuuh  foraminis  oua.lis  compo- 
nitur.  Vcl  duplex  crgo  foramcn  ouale  d.uur ,  altc- 
rum  ,  quod  in  d:xtrum  ,  et  alterum  ,  quod  in  fini-» 
flrum  finum  hiat ;  vel  ,  fi  id  folum  ,  quod  intci: 
valuulam  foraminis  oualis  et  arcum  continctur  ,  fo- 
ramen  oualc  dicere  vclis ,  hoc  foramen  in  finiftrum 
quidem  ,  minime  vero  in  dextrum  finum   patet. 

§.  5.  Qtiae  res  fline  omnem  de  foramine  oua- 
li  conccptum  inihi  pcnitus  percurbauit.  Videbam  , 
alitcr  fc  rem  habere,  quam  vt  vulgo  concipitur,  et 
foramcn  oualc  accuratiori  indngine  opus  haberc.  Im- 
primis  neccfle  cflc  cognofcebam  ,  vt  inquiratur ,  fi 
quid  forte  lattat  inter  hnec  duo  orificia  diftincSa. 
Nam  ,  fi  vera  cxilkret  communicatio  inter  finum 
dcxtrum  et  finifirum  ;  vd  fimplex  ora  inferior  ,  vt 
fuperior  e(\  ,  fimplcx  foramcn  eiTicere  ,  vel  fi  du- 
pl-x  ora  inferior  fuerit  ,  inicrniedium  ali>]uid  his 
oris  efTc  dcbebat ,  quo  inter  fe  cohaererent  et  dudus 
nliquam  fptciem  producercnt  ,  id  quod  omni  tamen 
vcri  fpeciei  prorfns  contrarium  efTc  vidcbatur.  Priiis 
qunm  autem  vcl  EvSTACHII  valuulnm  vel  vahuihim 
foraminis  ouahs  diffccnrem  ,  quod  fidu  opuserat  ad  de- 
tegendum  id,  quod  iis  intcrcCt;  cum  cgrcgio  et  vnico, 
quod  tum  temporis  (menfe  lan.  177  i.)  mihi  erat,  cnrdi 
Tom. XX.Nuu.Couim.  Z  z  inflin- 


35»  DE  FORAMINE  OVALT. 

infiintis  recens  nati  ,  qiiantiim  ficri  poterat  ,  pnrcen- 
dum  inihi  edcr,  ftylo  omnia  cautc  pcrquircre  coopi. 
Atquc  tum  haec  phacnomena  fe  praebuerunr.  Sty- 
lus  noniiifi  magiia  cum  diliicultate  ex  finu  dextio 
per  foramcn  ,  quod  in  hoc  paiet  ,  ct  inde  porro  pcr 
illud  ,  quod  iii  finirtrum  hiat  ,  in  hunc  finiftrum  fi- 
nuni  adigi  poterat.  Smiilitci-  idem  haud  fine  psri- 
cuh)  rumpcndi  "vahmlam  foraminis  oualis  ex  finti 
finifiro  per  vtrumquc  foramcn  in  dcxtrum  finum 
redibat.  Sed  contra  ,  fiue  cx  dcxtro  ,  fluc  cx  fini- 
ftro  finu  illc  immifTus  fucrit  foramini  ,  quod  cuili- 
bet  finui  refpondct  ,  facillimo  negotio  et  fpontc  ce- 
debat  dcorfum  ,  venaquc  caua  cxibat  infcrior\  ,  vbi 
hacc  ab  hepate  reredta   fuerat. 

Sinns  non  §.  6.  Denique,  vt  breuibus  vcrbis  totum  rci  ca- 

'"•■^ ''"'*' '"'^'^  put  abfoluam,  vti  cx  his,  qnae  rctuli,  vnu^quisque  fa- 

CUI11   vena   '.,  ,   .  ...  .  .    ^.  , 

caua  iiife-  ^''^  praccognofcit ;   vltcriori  examinc   inUituto,    val- 

riori  com-vula  foiMminis  oualis  difleifla   et  remota  ,  quo   oculis 

municant.  off.rrentur,  quae  abfcondita  effent  inter  hanc  et  Ev- 

STACHIT   valuulam  ,  fatis  manifcfto  viJebam  :  Sinwit 

Jinijirum  minime  communrcarc  cum  fimi  dcxtro^  fed  •vtrl- 

quc  /inui  interpjitam  cjfs  venam  caunm  infcriorim.  Ori- 

Jicium,quod  in  dcxtro  fimt  apparct ,  ducoe  in  hunc  t)un- 

cwn  vcnae  cauae  infcrioris.     Il/ud,   quod  in  finijtro  con- 

fpicitut\  quod  proprie  foramen  ouale  vocatur^  itidcm  aper- 

turam  aliam  effe  ciusdem  'venae  cauae   infcrioris.    Adeo- 

que  finwn  vtrumquc  cum  vena  caua  comwwncarc  per  eas 

apertuvas  ,    quae   diuerfae  in  finguiis  funibus  apparent ; 

inter  fmus  ipfos  vero    mHam  commumcationem  effc.    N  i  li 

com- 


DE   FORAMINE  0\  ALI.  ^6^ 

commmvcatioaem  dicerc  vclis  eo  irodo  ,  quo  et 
\ena  ciiiia  Uiperitir  cuni  vtiKricuIo  dcxtro  cordi-  com« 
niunic;u  ,  nicdiis  iicmpc  finu  et  auricula.  dcxtris,  ct 
quo  omnia  va(a  totius  corporis  intcr  fe  comniuni- 
caiit. 

§    7.  Scd   vt    pcnitius    nntura    huius    fic    didi  Vcnae  ca. 
foiaminis  oualis  appartat ,  necefTe  c(l  ,  vt  vcna    caua  ^'^^ . "'^^' 

.  ,  ,         ,.  .^    .  ,  lioiis   de- 

luKrior,  qua   ratione  hacc  duo  iua   orihcia   pr^^^uc^fjfcrlptio 
vtxriiis  delcribator  ;  deindc     etiam     llrucfliira    harum 
partiuni   in  cordc  adulti  ,  ncc  non  in  vitulino  corde 
conferatur ;  quo ,    vt     (aepe    fit  ,    quod    in    homine 
nonnifi  obicunus   pcrcipitur  ,  ahis  fub   CTCumlluitiis 
in    animahbus    diflindius     et    manifeftius     appireiit. 
Vena    caua     infcrior ,    dum     ex    hcpate  ,    perforand'- p,,fjtio 
diaphra^nia  ,  vcrfus  finus  cordis  adlccndit ,  hcet   fatis  qua  vtri- 
breuis  fit   in   hoc   itincre  ,    aliquam   tamcn  longitudi-  T^  ^*""' 

,     ,  .    ^       .  ,1  (imul  re- 

rem   liabct  ^  et  ipfa  eius   par5,qua   (upra  diaphragma  j-  ^i^^^^ 

emergit  ,  notari  ct  a   finubus    fatis    diflingui    poteft.  in  vtium- 

Ea  igitur   ita  rcfpccftu  finuum  pofita  efi,  vt  vtrqueq^e  pet- 

finui  ,   finiflro  aeque  nc  dextro  ,  refpondcat  ,  finiflro ''."".°""' 
.'  '        .  .  .     '  -     cia  mfen- 

que   m  foctu    non    minus    quam    dcxtro    inferta    111.^^^. 

Lumen  igitur  ,  quo  vcna  in  finubus  dcfinir,  ipfum  il- 

luin  arcum  (iipra  (ifF.ndit,  qucin  ifihmum  VlEVSSENII 

\ocant ,  eoque  arcu  in  duas    partcs ,    feu    potius    in 

duo  lumina  ,  vel  orificia  diuiditur  ,    quae   varia  foe- 

tus    et    infintis  aetate  variam  inter  fe   proportionem 

habent.      Alterum  horum   himinum  dextrum  c(i,  fi- 

nui]'iuc  antrorfum    paullulum     fitu    inclinat  ,    atque 

hoc  ,  ctiam    quo  tempore  fcetus    in    luccm     prodir , 

niulto  niious  elt  j   alterum    finiftrum    tfi    et    fin  ul 

Z  z  a  pofle- 


354  DE  FORAMINE  OVALI. 

poflcrius.  Id  longe  maius  eft  ,  et  truncum  quafi 
continuatum  refert ,  cuius  illud  nonnifi  mediocris 
ramus  eflet.  IUud  dextro  linui  refpondet  ,  eoque 
vcni,  caua  inferior  in  hunc  finiim  inleritur.  Hoc 
finifko  refpondet  ,  ct  hoc  orificio  vcna  caua  inferior^ 
in  finum  liniftrum  inferitur.  lUud  igitur  iJ  ipfum 
eft  ,  quod  in  riiui  dextro  in  eius  rcgione  fin.fterjori 
in  confpecflum  venit  ,  fi  ifle  finus  in  parte  fui  an- 
teriori  vna  cum  ventriculo  cordis  dexiro  aperirur  , 
adeo  nempe  ,  vt  orificium  vcntriculi  venofum  fimul 
cum  his  partibns  diffccetur.  Siniflrum  vcro  illud 
e([  ,  quod  proprio  ac  fingulari  iflo  nomine  Forami- 
nis  Oualis  ab  Anatomicis  fahitatum  fiiit  ;  et  quod 
ergo  inpolfcrum  veriori  nominc  orifuii  Jinijlii-  Vttiae 
came  ivjerioris  apcUarc  ,  fpero  ,  hcebit. 

Eadem  ve-  §•   ^*  Venae  cauae   infcrioris    ca     pofirio,    qua 

nae  cauae  haud  foli  dcxtro  finui  ,  fed  finidro   tantundem  ,    nifi 
politio  e.\-  fnagis  j  qiiam  dextro  rcfpondct  ,  qua  axis  huius  vcnae 

Mrne  oh-  r        ■        r     ^  r  i       • 

leriiab-lis  '"^"'^  '"  feplum  unuum  ,  vcl  in  arcum  tenuit  ,  (t 
quac  ,  quantum  fcio  ,  non  obferuata  cll,  ctiam  cx- 
terius  ,  et  in  ipfo  aduhi  corde,  manifcllo  apparct  , 
d^m  cor  cum  finnbus  et  vafis  maioribus  intcgrum  , 
et  rite  pracparatum  ,  a  partc  poncrinri  confiiicratur. 
Quamuis  eiiim  in  |iac  rcgionc  polkriori  cxttrnc  nulhi 
lir.ea  vcl  firia  ducaiur ,  qua  tcrminus  intcr  (inum 
finitUum  et  dextrum  anignctur,  vcnac  tamen  pul- 
nionalcs  dcxtri  lateris ,  vbi  finui  infcruntur,  ccrtilfi- 
mum  fignum  pracbcnt ,  quo  finis  fiuus  fiiiiPiri  ct 
fepti   rcgiq  ec  .principium  finus  dcxtri  cognofci  pcffinr. 

Vide- 


DE  FORAMINE  OVALT.  ^6$ 

Vidobis  ergo  ,  dummoJo  partes  nullo    modo    diflra- 
hiiiMiir,  ("cJ  fiji ,  vt  luturaliter    luiu  ,    remittuntur  , 
venim  cau:im  aJeo  fitiiibus    npplicatam    eire  ,    vt  fuo 
finillro  luere  m.ilco  liac   infortioiie  vjnirum   pulmo- 
nalium  (i  •idcrior    fic  ,    at,]ue  in    aJulco    dimidia    fui 
parte  in  finillru  n  ,    dimidia  in  dcxtrum  fiuum     in- 
ferta  ede  viJ.-atur.     In   foecu  oTjiino  ita   inlerca  eft. 
In  aJult)  aucem   valuula  ,  quie  fo^aiuinls'  oiulis  dici- 
tur  ,  dum  arcui  aJcrelcit ,    hoc   finilUum   veuae  cauae 
orificium   clauJir,  et  dum  oblic]ue  a   parte   finift-Tiori 
dextrorfum  aJ  arcum  aJlcenJit^dactum   venae  c.iuac, 
quae  finilkrior  ad  hunc  locum  vs  jue  fuit,  dextror- 
lum  nunc  dirigit  ,  effi:irque,  vt  vena  haec ,    quam- 
vis   verlus  vtrum]ue  finum  direAa,  dextro  tamen  foli 
infratur.     In  aliis  caeterum  fubiedis  aJultis  magis  , 
in  aliis  puilo  minus,  verfus  fiaum   finiftrum    venam 
cauam  dircdam  effe  repcri. 

f.  9.  Sed  moJus  eiiam  ,   quo  vena  caua  infs-  Shuaura 

rior  ,  ope    arcus    et    valuularu-n  ,    vtrum]ue    fuumditonim 

orificiiim   proJucic ,   paulo  accuratius  deflribenJus  elK  ^^"^°  *^^" 

Paries  eius  dcxter  cum  aliqua  parte  parietis  'luterio-^jj'^,.;^  ^,.'1^] 

ris  j  qui   minor  tamen  venje  pars  efl ,    furfum    con-ciorum. 

tinuat  in  valuulam  EvSTACHIT,  eo  modo,  vt  tunicaQ."'moclo 

venae  interna,ab  extenoribus  tunicis  receJendo,  jte-^^'""^''' 

rumque    fe    iisjem    applicando ,  plicam  femiluaarem  chh    et 

producat ,    qua    ipfa  valuula    EvSTACHII    efficitur.  foraminis 

Poflhncc   tunica  eaJem  intcrna  totiim  fuuim  dcxtrum  °"3'''  " 

,   i      •         j  1     .  .   vcna   caua 

inius  obducit :  dum   tunicae    cxteriores    ntnus    parn^       , 

'  1      ,      r'       pioducun- 

dextrac  venae  cauae    infcrioris    intacta   valuula   Lv-tur. 

Z  z   3  STACHII 


^66  DE   FORAMINE  OYAU. 

ST^  CHII  in  tiinicns  cxtcriores  tntiiis  finiis  dcxtri 
coiuHuiaiit;  adeo,  vt  et  \;iliiiila  EvSTACHII  ct  (uuis 
dexter  tnnqiiain  continiiatio  p.irictis  oextri  vtnae  ca- 
vac  infcrioris  confidcrari  pollint.  (  Conf^  fig.  4,  vbi 
parics  dexter  11.  in  vahuilam  EvST.  2.  3.  4.  5. 
continuatiis  apparet ).  Simili  r  odo  parics  fmifter 
ct  portcrior  \enae  caiiac  n.ferioris  ,  er.  qui  \tnae 
piutcni  longe  maiorem  complccfluiir  ,  vahiulam  di- 
^am  foraminis  oualis  prcdncit  ,  vt  tunica  inttrna 
huins  finiftrae  partis  venae  recedendo  ab  txtcnoribus 
tnnicis  et  fe  ruihim  ad  easdcm  appUcando  plicam , 
Icd  latiorcm  conuohuamcjuc  ctTici;it  ,  quae  ip(a  val- 
vula  foraniinis  onali^.  c(l.  Po(l  hacc  fin. ihtcr  haec 
niembrana  intcrna  totnm  finum  fuiidrum  imns  in- 
vcrtit  ,  dum  tunicac  exttriorcs  parietis  fuiil\ri  et  po- 
ftcrioris  vcnac  cauae  infcrioris  intadla  vahiula  in  tu- 
nicas  cxteriores  fuins  finidri  contimiant.  >ic  ergo, 
vt  p.irics  dextcr  \cnae  vahuilam  EvSTACHII  ct  li- 
num  dcxtrnm  producit  ,  ita  pancs  eiusdem  finirter 
in  vahiulam  foiaminis  onaUs  ct  in  finum  finiffrnm 
continuat.  (  Conf.  (ig.  cadcm  4.  et  cxplicatio  cius- 
dcm,  vbi  patcbit,  parictem  fiiii(hum  la.  13.  coiui' 
nuarc  in  vahiulam  foranunis  oiiaiis  h  I.  v.  n.  et  0.  vi.  /. ). 
Vti  vcio  hic  parics  finirtcr,  qui  valuuiam  foraminis 
oualis  producit  ,  niuho  maiorcm  partcm  ciicnmfe- 
rcntiac  vcnac  occupat  ,  ita  idcm  paulo  ahior 
quoque  dcxtro  parictc  in  funim  [finirtium  ad(ccndit, 
et  vahnilam  fuam  practcrca  piddiicit  muho  latio- 
Tcm.  Vjidc  cflicitur,  \t  oiificum  \\c  finirtrum 
non    nriodo  niaius  fit  dcxtio  ,  (cd  ahius  <iucqiic   col- 

loca- 


DE  FO.-^AMINE  OVALT.  3^7 

locatum.     Noii  rcdo  crgo  rcriptum  efl  a  Cclcb:rri- 

mis  etiam    \  iris,  vahuilam   foraminis  oualis  compo- 

fitiim   efll'  :i   membrana     intcrna     fuuis    finirtri    ec     3 

dixtri    finus  mcmbrann,  qui   finus  dcxter,   fcmper  et 

in   ip(b  adulto  ab  hac  valuuhi   rcmotus,  ad  eam  nihil 

contribuit.     Sed  fcdcs  liinc  qu(jt]ue   valuul.ic    fcirami- 

nis  ouaLs  ,  quac  cxpcrimentis   his  indituendis    nn(a,n 

praciiucrat  ,    apparct.       Infidct   bafi    (ua    {  (\g.  2.  0.  p. 

q.  r.  fi?.  3.  h.  i.  k.  )  ipfi   fuprcmo  termino  parietis   fx- 

nidri   vcnae  caune  infcrioris  ,  vbi   hacc   incipit  in   fi- 

num    finifUum    continunre ;    conllituitquc    adco  ipfa 

hunc  rcrminum     intcr  vcnam    cauam     inferiorcm    et 

fmum   finif^rcim  ,    quemadmodum    valuuia    EvSTA- 

CHIl   flipreinae   orae  partis  dextrae  et  anterioris    ve- 

nae  cauae  infidct,  et  vcnam  a  linu   dextro  difiinguir. 

Vtr  igitiir    valuuhim    EvSTACHII    rcde    valuulatn 

finus  cicxtri   appcllare  poffes ,    fi    fas    cffct ,    nomea 

HVSrACHlI   remoucre,  ita   valuula  foraminis  oualis 

mcrito  valnula  fiuns  fmijlri  vocnri  potcrit,  quae  quippe 

orificio,   quo  vcna   caua   inferior   in   finum    finiflrum 

aperitur,   pracfixa   cfi,   prorfus   fimili   modo  ,   vt   val- 

vul.ic  nnnuiarcs  orificiis   vcnofis    ventriculorum    cor- 

dis  praefidcnt,  quibiis  cum   valuulis  etiam  haec  nofira 

finus  finifiri  valuuia   maximam  fimilitudinem    habct. 

§.    10.   His  nunc  vtrinque  producHiionlbus  venae  Arcus  qua 
cnine   infcrioris  ,   dcxtrae    nimirum  ,    valuulae    Ev- '^^'""^  ^'^- 
STACHri  ,  ct  Unifirae  ,   valuulae    Unus    fiuifln  ,    qua- i„„ofjj^^j 
rum   illa  ct   humilior  ct   minor  ,  iiacc    et    maior    ct  fit. 
altior  fitu  cfi  ,    intcrponitur   arcus  {y.)    eo    modo  ,  Tab.  VII, 

vt    ^'^'+- 


3dS  DE    FORAMINE  OVALI. 

vt  coniiexitare  fua  riirfum  ,  cruribus  (•::•.  x.)  deor- 
iiim  refpiciat  ,  crureqiic  altcro ,  qiiod  polkrius  et 
dcxtcrius  finuilque  brcuius  eft  (^v.  )  cxtremitatibus 
valuuLirum  EvSTACHII  et  finus  finilhi  po(kriori- 
bus  ,  alttro  ,  ()uod  anierius  ct  fmilkrius  fimuk]ue 
longius  c(l  (;'.  x.  )  cxtremitatibus  harum  valuularum 
antcrioribus  intcrlcratur.  (  Conkraniur  hic  etinm  et 
comparcntiir  inter  (e  fig.  i.  et  3-  )•  Hic  arcus  ni- 
hil  aliud  cfi  ,  quam  iirus  finis  ct  margo  lepti  fi- 
nuum  {  s.  ) ,  qui  ,  cxcauaius  non  irodo  (ed  lumicus 
quoque  cum  fit,  et  craditic  (ua  ,  ncc  non  aliqua 
albcdine,  a  rcHqua  fupcriori  parte  (tpti  (  s.  )  fe  di- 
fl;nguar,  pcrkdum  (.mnino  ct  di(lin(ftum  arcnm  rc- 
krr  ;  quanuis  cum  (iiperiori  (cpti  parte  ^num  con- 
tinuum  tfficiaf.  Vti  vcro  minor  circum(crcntiae 
\enae  caune  pnrs  cft  ,  qnae  in  latcre  eius  dextro 
valuulam  EvSTACHII  producit  ,  ct  maior  ,  quae  in 
finiflro  lattre  in  'saluulam  finus  finifiri  dongatur  ; 
ita  arcus  quoque  multo  propior  l.itcii  dextro  pofitus 
cfl,  vt  cruiibiiS  (uis  proxime  inxta  cxtremitates  val- 
\ulae  EvSTACHII  ,  quae  ipfis  cruribus  his  adhae- 
rcfcunt  (  fig.  I,  )  dcfccndat  ^  cum  contra  inter  crura 
arcus  et  exiruTiiiates  vaiuulae  fii  us  finidri  notabile 
(patium  intcrccdat  ,  (  fig.  4.  16  )  J^cnique  crura 
arcns  in  ipfo  dextro  venae  jariete  paulo  infcrius 
bnfi  valuulae  EvSTACHH  (2.)  paruis  nodulis  (a'.A'.) 
dcfinuiu  ,  partimque  in  ipfum  lin  bnm  ,  qui  iii 
intcrna  vcnac  cauae  fupcrficic  bafin  \ahuilac  EvSTA- 
CHII  cingit ,  (  2. )  ccntinuant  (  .v.  2.  ).  Sic  eigo  hic 
arcus  Jumcn  lupcrius  vcnac  cauac   jidco    diuidit  ,    vt 

Dvam 


DE  FOKAMINE  OVALT.  569 

ynam  clrciter  eius  tertiam  partcm  in  Ijtere  dcxtro 
et  antenoii  a  reliciuis  duabu>.  tcniis  partibus  in  la- 
tcre  finillro  et  polkriori  dilceniat,  fimulque  in  vtro- 
que  latcrc  vua  cum  ea,  quac  rcliqua  ert,  orae  venae 
cauae  parte  circuliim  dcnuo  perficiat ,  cui  valuula 
in  vtroque  laierc  infidet  ,  et  qui  i^itur  in  latcre 
fmiHro  duplo  circiter  niaior  tft  ,  quam  in  lattre 
dextro. 

§.    II    Valuula  EvSTACHir   igitur  ,  quae,   vt  Quomodo 
Conft.it  ,  fii^urae  lemilunaris  eft  ,    dum    bafi   fua  ,  feu  v'-™   caua 
niara;ine  cunuexo  ,  C  7.  )   raricii  dcxtro  venoe,  ipfis   op«^  "'^"s 

^  7   V    /     /    r  '     f  et  valuula- 

que  cnirum   partibus  infcrioribus  ,    quae  in   hoc     pa-  ^um,  quas 

riete  delccndunt  (fig.  4.),  cxtremitatibus  vero  (  5.  p.^producit , 

partibus  crurum  luperioribus  adhatret  ,    et    margine  ^"° '"■^i:"' 
11/1-  /  «     \  r  •    ncia   em- 

libcro  fluitante   atque  concauo  (  8.  )  verfus    concaui- ^.j^j.^ 

tatem  arcus  (10.)  refpicit,  orificiura  vna  cum  arcu 

hoc     modo     conftituit  ,     quod     nan     modo     longe  Tab.  \ II. 

minorem    et    vix    tertiam     partem    luminis     venae      ^^*  ** 

caiiae    abfumit,    et    niinus    quoque    quam   ftniftrum 

orificium    ert ,    fed    ob   eandem   arcus    cum    valuula 

EvSTACHII    et    cum     ipfo     venae     parietc    dextro 

propinqiiitatem ,  talem    fimul    fitum  ,    talemque  po- 

ficionem  obtmet,    vt  in  p'ano  fere   verticali     confti- 

tutum   fit ,  axinqne  luum  fere   transuerfim    ex    vena 

in    fiiium   dextrum  ,  et    paullulum    tantum    obliquc 

verlus  fupenora    fimul  ,  dircdlum  habeat.       Valuula    Fig.  2. 

contra    finus    finiflri  ,    quae  ,     vt     venofae    valuulac 

ventriculorum  cor.lii.  ,  annularis  fere   eft  ,    vel    tubu- 

lum   potiu^  rcfcrt ,  (  fig.  2.  0.  p.   q.  s.  t.  a?.  )   cuius 

tamen   paries  anterior  ,  qui  ideoi  breuior   fimul  eft  , 

Tom.XX.rsou.Comm,  Aaa  fepto 


370  DE  FOKAMINE  OVALI. 

fepto  finuum  fapra  arcum  {z.  i.  2,  (ig.  4.  p,  q,  s.) 
adco  adhacret  ,  vt  ab  eodem  vix  diftingui  pofllt  , 
bafi  fua  primum  ,  vt  dixi  ,  fupremae  orae  parietis 
finillri  et  pofterioris  venae  cauae  infidet,  (  fig.  2.  0. 
p.  q.  r.  fig  3«  ^-  ^-  ^  )  ^^  ^^'•^'^  quidem  tertias  par- 
tes  ambitus  huius  venae  occupat  >  deinde  reliqna  fed 
minima  quidem  bafis  fiiae  parte  ctiam  arcui  iohae- 
ret  (  fig  3.  .r. )  ,  quem  vna  cum  hac  parietis  fmi- 
ftri  venae  cauae  fuprema  ora  cifculum  cfficerc  mo- 
nui  (  §.  10  )  ,  et  pariete  denique  (uo  anteriori  bre-« 
viori  fepto  finuum  fupr.i  arcum  apphcataeit  (fig.  3  w.]. 
Hac  ergo  ratione  tubus  efficitur  a  vena  caua  ,  intra 
finum  finidrum  porrcdlus  ,  qui  ipfa  venu  caua  vix 
anguftior  eft  ,  et  onficium  margine  fuo  libcro  ofFcrt 
(  fig.  2.  5.  6.  7.  8.  9.  10.  )  ,  quod  in  plano  cbli- 
quo  pofitum  axin  furfum  ec  fini(\ror(um  direftum 
habct  i  adeo  ,  vt ,  fi  duo  haec  venae  cauae  orificia 
tanquam  duo»  ramos ,  in  quos  vena  diuideretur  , 
confidcrarc  volueris  ,  quod  haud  inepte  fieri  pofTe 
omnino  mihi  videtur  ;  hoc  orificium  finidrum  ,  vel 
tubus  potius  ,  cum  fuo  orificio  in  finirtrum  finum 
exporrcdus  ,  ob  maiorcm  capacitatem  non  nioJo , 
led  ctiam  propter  dirciflioncm  vcnae  ,  vtplunmum 
con(eruatam,  tanquam  truncus  continuatus,  orificium 
dextrum  vero  ,  quo  vena  in  fiuum  dextrum  hiat  , 
tanciuam  ramus  cius  laicralis  confiderari  poiUt. 

Torcnen  ,  §•    1 2.  Hinc    paulo    accuratius  ,    quiJ    proprie 

quod  dici-jiijj  ^^^     q^jQJ  foramcn  ouale  diftum  fuit  ,     intclli- 
nuid  pro-Si'"r-     Nihil  aliud  elt ,   quam    ipfa    baiis    valuulae 

prie  Ut.  '" 


DE  FORAMINE  OVALI.  371 

tubulofae  finus  finirtri  ,  qua    maximam    partem  orae 

parictis  finirtri  ct  polterioris    venae  cauae    et    aliqua 

minori  parte  etiam  arcui  haec  valuula  infidet  ;     vel 

fi  mauis  ;  ipfum  orificium  venae    cauae  finijtrum  ,    quo 

in  finum  finijirum  aperitur  ,  et  cui   valuula    illa    tubU' 

hfa  bafi  fua  adne[titur,      Hoc  ipfum  quoque  iliud  eft 

orificium  ,   quod  ,  quamprimum   finus  dexter  ,     qua- 

cunque  (ui   parte  ,  vna  cum  vena  caua  aperitur,  fiue 

deflruitur ,  ilico    femper    iii    conrpt<ftum    venit  ,    et 

quod  igitur  latere    qiiidem     neminem    potuit  ,    fed  , 

quid  vere  fit ,  intelle(flu  fc  admodum  difficile    prae- 

buit. 

%.    13.    Hic    nutem  ,   quem    defcripfi ,    venae  Venae  ca- 

cauae  ,  et  orificiorum  eius  ftatus   folummodo  infoetu^.^^  °"^* 

obtinet ,  qui   propc  ert  ,  vt   nafcatur  ,  vel  in  i^fante,^-^^^"'^^^^^ 

quamprinuim     nato.      Port    aliquot  inde  menfes  nonin  Adulto. 

folum  ,  quod  notum  ert  ,   valuula   finus  finiftri   cum  Orihcio  fi- 

ea  parte  fepti  finuum  ,    quae  proxime  fupra    arcum  "''^^'^ '^'^"' 

,,  .   ^         .  '     ^     ^  .  ^  -r   ■  fo, dextrum 

elt  ,  magis  magisquc  concrclcit  ,    orihciumque  venae^gj^^  ^g. 

cauae  finiflrum   hoc  modo  occludit ;  (ed  ,    quod  mi-naecauac 

nus  obleruatuin    fuit  ,  nec  effe  potuit,  orificium   ve-l">"ea  oc- 

nac  cauae  dextrum  quoque  ,  eadem   ratione,  qua   il- ^"P^*^* 

lud  imminuitur ,  dilatatur  et  augetur.  Sanguis  enim, 

cuius  magna  pars  ad    hoc    vsquc    tempus    ex     vena 

caua  inferiori  per   finiftrum  eius  orilicium   in  fiiium 

finidrum  tranfierat ,  quemadmodum    in    fubfequenti- 

bus  ,  bentuole    Ledor  ,    demonftrabo ,    hoc    orificio 

claufo,  omnis    incipit   per    dextrum    orificium    con- 

gcri  in  dextrum  finum.      Eo   efficitur ,    vt  valuula 

EvSTACHII  dextrorfum  magis  magisque  ,    et    arcus 

A  a  a   2  contra  , 


371  PE  FORAMINE  OVALT. 

contra  ,  iiiter  qucm  et  valuulam  EvSTACHII  fan- 
guuicm  tranlire  oportet  ,  finiftrorlum  vrgcatur  ,  cc 
\aluuh  ergo  ab  arcu  rcmoucatur.  Inde  porro  ea 
pars  lumiuis  venac  cauae  ,  quae  a  finilka  huius  lu- 
niiiiis  partc  pcr  arcum  dextrorlum  fecerncbatur  ,  ct 
quae  ad  iioc  vsque  tempus  minima  et  vix  tcrtia  to- 
tius  luminis  pars  fuerat ,  mags  magisque  increlcit  , 
•vt  contra  finiUra  imminuitur  ,  et ,  brcui  vt  dicam  , 
idem  ipfe  efFicitur  cffcdus ,  acfi  arcus  ex.  loco  ,. 
dextro  parieti  venae  et  valnulac  EvSTACHII  pro- 
piori  ,  verUis  finillrum  venac  parietcm  promouere- 
tur.  J^cnique  in  iplo  adiilti  corde  arcus  fuum  lo- 
cum  refpeda  luminis  vcuae  cauae  iDferioris  adco 
vsque  mutauit ,  vt  cum  pariete  finiiUo  nunc  vcnac 
cauae  in  vno  fere  et;demque  plano  verticali  conrtitu- 
tus,  a  dcxtro  contra  paritte  et  a  plano  ,  in  quo  ille 
paries  ct  va'uuia  EvSTACHII  cft,  longillimc  rcmo- 
tus  fit ;  et  orificium  dextrum  crgo  ,  quod  tcrtiam 
\ix  partcm  luminis  venae  cauae  in  foetu  occupaue- 
rat ,  totum  hoc  lumen  nunc  occupet  ,  eique  prorlus 
aequale  fit.. 

Haec  mu-  §•   '"^*   ^gregia  hacc  nobilium  harum  partium 

t:itio,  qun-mutatio  ideo  obftruari   ct  cognolci  facile  non  potuit, 

re   obfer-  qnia  eius  caufae  latucrunt.      Sanguis    cnim  ,    qui    a 

vari  facile  f,pi(\ro  vcnae  cauae  orificio  rcpuhus ,    dcxtrum   pcr- 

tueiit.       mearc  cogiiur  ,  omnts^ue  nas  nnitationes  ct  iftcaus 

producit  ,  a   finu   dcxtro   credtbatur    et    ab    auricula 

dtxtra   per  foramen  oualc  ,  quod  fingulare    in    fepto 

finuum    foramen     cfTct    ,    rcdla     in    finum    finiflmm 

tranfire  ,    inta(flis    et    vena    caua    inft.ritri   et  cius » 

quo 


DE  FORAMINE  OVALi.  373 

quo.  in  dcxtrum  fmum  apcritur  ,  oriticio.  ProinJc, 
vt  caufac  hae  incognitae  tuere,  effeiftus  ipfi  quoque 
minus  facik  obfcruari  potucrunt. 

§    15.  Dnm   vero  arcus  co    moJo  (  §.  13.)  aAnnuKis- 
valuuia  EvsTACHir  et  pariete  venae  dextro  remo-  inde  ,  cjm 
vetur,  cumque  finillro  venae  pariete  in  vnum   ver-.  ^'"^''^*'" 
ticale  pl.uium  redi^itur:  crura    fimul    Iniius    arcus ,  ^"^!,  ^:^"  •  '" 
quae  in  foetu  ,,    in  pariete  venac  dcxtro    defcendcre  ,git,  fimul 
partimque    fub    bafi   valuulae  EvSTACHir  definere  ,  produci- 
et   partim   in  cum  limbum,  qui   bafin  hanc  in  venae*"^' 
cauae  interna  facie    cingit  ,.    ipfum    continunre    vidi- 
mus  ,   nunc  a  bafi  valuulae  EvSTACHir  feparantur  , 
et  contra  limbo  ,  qui  bafin  valuuiae  finus  fiiiilhi   in 
cadem  intcrna  vcnac  facic  in  pariete  finifko    cingit , 
adeo  rclpondenr,  vt  vna  cum  eo  perfediim   circulum 
producant  ,  qui  annuJus    oualis    vulgo    dicitur ,    vti 
cicatrix  orificii  finifiri   ip(a  ,   quae  Ibla    valunL^    ac-|- 
creta  efiicitur,,  fufla  ouahs  vocari  folet» 

§■.    16.  Sed  ahr  porro^  non  mfnus    notatu    di- Alii  porro 
gni  cff.ctus  funt ,  qui  ab  tojem  fanguine  ,  copiofius.^*^"^^^"*  e- 

iiunc  ex  vena  caua  iafer  uri   per    orificium    dextrum '"^  ^"^^ 

'  maionslan' 

m  dcxtrum   finum     irrumpcnte  ,    proJucnntur.       Et  guinispref- 

primo  quidem   extremitay  valuulae  EvSTACHII  po-iionis  ino- 

ft^rior  ,,  quae  pnikriori  crnn  arcus   in    tuctu     adhae  "^ificium 

rct,  avieo  lucc^fliuc  diftenditur  ct  abolitur  ,  vt  vlti    Valuula* 

nius  vahiul.ie    finis    dtxtcrior    et    poficrior    duas    ioEvsr.   ab 

alus  corporibus  aduUis  ,  in  ahis  trts  vel  quatu<*r,  et  aicu  fcpa^ 

plures  in  alhs  iiiieas  ,  ab  iHo  crure   arcus   p(  (krion  ^''^''•''^"^* 

A  a  a  3  remuta,yae. 


374  DE  FORAMINE  OVALT. 

remota,  et  in  pariete  dextro   venne    cauae   infcrloris  , 
cui  adliaerct  ,  defmere  inueniatur.      Huius  loco  vero 
in   pariete   polleriori  vcnae  cauae  inferioris  fouea  nunc 
exi/tit ,  vcl  excauatio  ,  haud  profunda  ,    quae  oblon- 
gae  fiue  ouitae  figurae  eoque   modo    pofita    eft  ,    vt 
verticcm    furfum    diredum     liabeat  ,    et    cminentiori 
parte  finus  dextri    fupcrius    circumdatur.      Haec  cx- 
cauatio  ergo  ,  inter  extremitatcm  nunc  dcxtram  val- 
vulae  EvSTACHII  et  crus    potlerius    arcus    intcrpo- 
fita  ,  in  hac  polteriori  regione  venam    cauuam    infe- 
riorem  a  finu  dextro  diftinguit  ,  adeo  ,  vt  excauatio 
ipfi  tota  ad  vcnam  ,  limbus    cius    fiiperior    eminens 
ad   finum   iam   pertincat.     Sic  laterc  dextro  et  ante- 
riori    vahiuhi     EvSTACHll  ,    finillro    latcre    arcus , 
pofterius  vero  fouca  et  limbus  eam  circumdans,  ori- 
ficium  venae    cauae    dcxtrum    in    adulto    efficiunt  , 
venamque    a    finu    diftinguunt ;    cum    in    foetu  fola 
EvSTACHlI  valuula  vna  cum  arcu  idem    efficcret , 
venamque  a  finu  diftingucrct.     Vti  caeterum    extre- 
mitate    dcxtra    vaiuula    EvSTACHII     paneti    vcnac 
dextro  in  nduito  adhaeret  ,  ita  finiftra  limbo  partim, 
quo    orificium     venae    coronariae     cingitur   ,     vlti- 
moque    fine    fuo     ipfi     cruri    ctiam    antcriori     arcus 
affigitur.       Nullum  dubium  ergo  cft ,    quin    excaua- 
tio    illa     in    fummo    paricte    poftcriori    venae  cauae 
infcrioris  ab  eodcm    copiofius    uddudo    ct     prcmcnte 
fanguine  pendeat  ,    quo  et  pofterior  extremitas    val- 
vuhic  EvSTACHII  nbolctur  ;    ct  quin   iliud     quidcm 
fiat  ,  priusquam  cxtremiias    poftcrior    vahnilac    Ev- 
STACHII  ccftit  ,  quae ,    quamdiu    cxiftit ,    co    mai;is 
impedicndo  hbcrum  (iinguiuis  adlccnfum  ,    eius  pri-i- 

fioncm 


DE  FOIIAMINE  OVALI.  37S 

fionem  in  loco  ,  quem  fcduJit  ,  adauget ;  vti  val- 
vula  EvSTACHlI  tota  ,  dum  oram  dextram  ct  an- 
teriorcm  oriticii,  vbi  ct  latior  ct  firmior  cft,  defen- 
dit  ,  fanguinem  eiusque  prcflionem  maximc  vcrius 
partem  poderiorcm  ducere  videtur  ,  in  qua  regione 
pofteriori  plurimi  ct  fere  omnes  ,  qui  a  languine 
copiofius  addudlo  dcriuari  poflunt  ,  cfFcdus  compa- 
rent. 

§.  17.  Dcniqus  quidam  etiam  cfT^dus  funt  ,Laceratio 
qui  fntis  quidem  noti  per  fe  fuerunt  ,  et  quorum  ^aluule 
caufa  folummodo  latuifTe  vidctur,quos  eidcm  maiori  1^^^^^^^'^^^.^^ 
preflioni  fanguinis  ,  copiofius  in  dextrum  orificiura  eiusdem. 
congcfti  ,  attribuerim.  Eorum  primus  ef\  rctiformis 
valuula  EvSTACHII  ,  quam  retiformem  quidem  ab 
inuentore  acceptani  ,  alii  quoque  naturaliter  efTe  cre- 
diderunt.  At  mihi  tamen  omnino  liaec  laccratio 
ftatus  praetcrnaturalis  efTe  vidctur.  Et  to  magis  in 
hac  opinione  perfuadeor,  cum  idcm  fenferit  PerIL^ 
LVSTRIS  L.  B.  DE  Haller  Cuius  magni  Viri 
telUmonium  ,  vti  in  vniucrfa  Anatomia,  ita  impri- 
mis  in  illis  cafibus  maximi  ponderis  cfTe  debet,  vbi 
plurium  in  pluribus  cadaueribus  obfcruationum  cun- 
fenfus  requiritur.  Alter  horum  efFeilnum  ,  quem 
primus  WlNSLOWVS  animaducrtit  ,  (  Aft.  Acad. 
Scient.  1717,  1725»)  efl  fuccefllua  totius  valuulae 
EvSTACHII  diminutio  ,  qua  ,  prout  foramen  ouale 
feu  orificium  venae  cauae  finiflrum  imminuitur  ct 
clauditur  ,  illa  quoque  et  anguflior  et  breuior  red- 
ditur,  adeo,  vt,  fi  inueniatur  in  adulto  magna  Lita 
ct  pcrfeda  ,  lum  certe  neque  orifi-cium  venac   cauae 

iini- 


Q-J6  DE  FORAMINE  OVALI. 

finiftrum  rl.uilum  (it.     Qnamuis  enim  ingenuus  Vlr 
vilis   DvVERNEII  prafparaiis,  ipfe  hanc    (uaiii  ofi- 
■nicnem   polt    hatc    rctutaflet  ;    tamcn    in    prutri    Jdo 
potius  q.iam  in   pofteriori  iudicio  rcdlc  eum    Itnfifle 
cxiftimo.    Vnicum  tantummodo  monientum   iis,  quac 
fagaciUimiis  Aiatomicus  dixcrnt,  addiderim.    Nempe, 
fi   ViilJe  imminuta  in  adulto  valuula  non  fuent  ,   et 
orificium    finiftrum    venae    cauae    tamen    aperturam 
nuUam  habcat,   vt  laccrata  tum  et  leticulata  eo  ii  a- 
gis  hnec   vahuila  fuerit,   vel  alio  moi^o  ita  dilpofita, 
Vt   (anguini    vrgenti     minus    rcfilbt ,    eoque    ficihus 
eius  vim  cludat,  c,ueniadmodum   cludcre  reticulatam, 
facilc    intelligitur.       Vt   vnum  ergo  ex  his  obtinere 
debeat   in  corporibus  adultis;  fic  enim  meae  me  ob- 
feruationt.s  docucruni :  Vcl   parua,  angulh  et  brcuis, 
imparque    refidendi     irruenti    fanguini     erit     \ahiulii 
EvSTACHII  ,  vel   fi    latior  et  maior ,  difruptam  tam 
faitem   et   laceratairi,  vcl    dcnique    aho    modo ,    quo 
minus  vim    languinis  lufiincat ,    dilpofitam  5  at ,    & 
nihil  eorum  ,    notabilem   inter  arcum    et    valuulam 
finus  fiiillri  nperturam    reli(flam    eflTe  oporta.      Vt- 
"Vt  autem   haec   lunt  ^  vt   nimis   a   nollro  fcopo  alicna, 
qunmuis  e^o  de  rci   veritatc  (atis   perlualus  (um,   ta- 
men  relinquo ,    et   redeo    ad   primiiriam   iilam  onfi- 
ciorum  venae    cauae    infcrioris    mu:ationem  ,    qua , 
quod  dc  capacitate  fua  finifUo  orificio  aufertur,  dex- 
tro  additur. 

Vcnae  ca- 

vae,  oiifi-  ,    jg^  y^j  ji^  adulto  homjne  eo  tandem  vsque 

cioiumque      ._   .  ,  _  ,.    •  -,  •  • 

eius  fiatusOfifi^^i"'"  dcxtrum   auctum  )    finiarum    imminutum 

in   em  ^^^ 

bryone. 


DE  FORAMINE  OVALT.  377 

vel  delctum,  vidimus  efle,  vt  illud  totum  venae  cauae 
inferioris  ,  vt  trunci  ,  lumen  abforbcat  ,  hoc  ,  fiue 
delctum  fiuc  apertum  adhuc  ,  de  venae  tamen  ca- 
vae  lomine  nihil  quidquam  participct ,  et  arcus  in 
eodcm  cum  pariete  venae  finiftro  plano  exiftat;cum 
in  infante  recens  nato  dextrum  vnam  modo  tertiam 
partem  huius  luminis  venae  cauae,  et  finiftrum  duas 
partes  tertias  habeat ;  ita  contra  in  embryone,  circi- 
ter  trimcftri,  ftatus  cft  ,  ftatui ,  qui  in  adulto  eft ,  e 
diametro  oppofitus.  Arcus  enim  ,  cum  valuula 
EvSTACHII  et  cum  pariete  dextro  venae  cauae 
prorfus  in  eodem  plano  conftitutus  ,  orificium  dex- 
trnm,  quod  minimum  inter  arcum  et  valuulam  Ev- 
STACHII  conrinetur  ,  penitus  laterale  efficit  ,  quod 
nxin  funm  reda  transuerfim  in  finum  dextrum  di- 
redlum  habeat;cum  contra  orificium  finiftrum  maxi- 
mum  hoc  tempore  fit  ,  et  ,  horizontaliter  pofitum  , 
omne  omnino  venae  cauae  lumen  abforbeat ,  plena- 
qne  fauce  in  finum  finiflrum  hier, 

§.    ip.  Quod  enim  PeRILLVSTRIS  L.  B.  DE  Breuis  ori- 
HalLER  tam  pulchre  et  tanta  cum  figacitate  diui-  ficiorum 
nauit  ,  id   ipfum   in  corculo  cmbryonis,  tres  poUices  ^^"^^  ^^- 
cum  dimidio  longi  ,    microfcopii  beneficio   vidi  ,    gt^.^^'"^"»- 

*  ris      vt    Ift 

follicite  vbertimque  perqnifiui  ,    nempe    venae  cauae  habeant  in 
orificium  finiftrum  ,  vel  vt   vulgo  vocatur,  foramen  embryone 
ouale  ,  fine  vUa  omnino  valuula  eflc.      Magnus  ille  *'"''?^':^^"  > 
Vir  viderat    in    foetubus    variae    aetatis  ,    valuulam  '^'^'^'P'*** 
multo  ,  quam   in   maturo  folct  ,    minorem    efle  ,    et 
non  attingere  arcum  ,    quem    in  foctu   maturo  mul- 
tum  fliperat.      Indeque ,    vt  et  ex  analogia  puUi  in 


Tom.XX.  Nou.Comm.  Bbb 


ouo 


578  DE  FORAMIN^E  OVALIv 

ouo,  rc(fle  fufpicatus  eft  ,  fore  aliquot    tempus ,    wbi 
nulla    omnit;o    valuula    exilkrct.      (  Elem.  PhyfioK 
Tom.   VUI.  pag.    375  et   376.  )     Aciatem  enibryo; 
nis  mei  detcrminare    non    poffum  ,    nifi  ,   \t  duobus 
menfibus  miiorem,  tribus  forte  pauio  minorem,  ac- 
ftimtm.       Longitudine  autem  erat  accuratius  menfii- 
ratus  trium   pollicum  et  quatuor    linearum.       Pinxi 
ipfe  huius  embryonis  ,  imprimis  corcuH  ,    microfco- 
pio  \ifi  ,   icones    plurimas  ,    quas    conferuo  ,  doncc  , 
idoneo  aliquando   fculptore   \fus  ,    publici    iuris    cas 
faccre  pofllm.       Orificium  finifirum   venac  cauae  in- 
ferioris  magnus  in  hoc  corculo  hiatus  erat ,    et  ex- 
fl(ftQ  aequalis  lumini  venae  cauae  ipfi.      Craffo  illud 
Itmbo  circumdabatur  ex  parte  pofteriori     finifleriori  , 
qui  io'parte  anteriori  et  dexteriori    in    crura    arcus 
et  in  arcum  ipfum  continuabatur.      Hic  Imibus  ba- 
fis  eft  ,  ex  qua  futura   vnhuila   finus  finiftri  cnafcitur. 
Sed  efl  quoque  idcm   hic  limbus  ipfa  iila  ora  iupre- 
ma  venae  cauae  inftrioris,  de  qua  totics  in  fupcrio- 
ribus  dixi  ,  ct  cui  valuula  finus  finifiri  in   foctu  ma- 
turo  bjfi  fua  infider.       Acqualis  autem    et  glabcrri- 
mus  erat  hmbus  i(ie  ,    vt  nullum  in    eo    vcfligium 
vahiulac  tenuis  ipfius  vlHus  microkopii  vi     dctcgcrc 
potucrim.      (  Scd  hic    credo  ,    contra    inuifibihiatcm 
partium  \t  mc  dcfcnJam  ,  haud  opus  forc. )      Dcui- 
que  totum  orificium   reda  hiabat  in  finum  finillrum ; 
vti  et  vena  caua  inferior   cxtcrius    icipcdu    finuum 
ita   pofita  erat  ,    vt  vni  foli   Gnillro  finui    rcfpondc- 
rei,.  nullnque,  ne   minima  quidcm,fui   parte  in   iatus 
dextri   finus  vcrgeret.     Omnino  crgo  vena  caua    in- 
ienor  hac  vitae  pcriodo    in    finum    finillrum    iulc- 

litur 


DE  FORAMINE  OVALi:  379 

ritur,  et  cum  dcxtro  finu  nonnifi  laterali  fiio  orificio 
dextro  ,  quod  axin  trnnsuerrum  h:ibct  ,  quodquc  in-* 
t€r  valuulam  EvsrACHII  ec  arcum  continctur,  com- 
municat.  Valuula  EvSTACHtl  denique  fitu  non 
modo  ,  vt  dixi  ,  (ed  et  ipfa  figura  maxime  diffcre- 
bat  a  foctus  maturi  infantisue  reccns  nati  et  adulti 
valuula.  Oblonga  enim  erat  eo  modo,  vt  longitudo 
eius  fit  inter  marginem  liberum  concauum  et  bafin 
ku  funduin,  vtque  hacc  longitudo  plus  quam  duplo 
maior  fit  latitudine  ,  (eu  fpatio  ,  quod  intcr  margi- 
nis  liberi  vnam  et  alteram  exrremitatem  intercedit. 
Sic  margo  ei  conuexus  nullus  ,  cuius  loco  autem 
duo  latcra  ,  quibus  partibus  vicinis  adharebat ,  et 
fundus  obtufus ,  quo  fimilitcr  adhaerebat.  Sed  margo 
liber  paruus  ,  et  nulla  ,  quae  dicere  poffes  ,  cornua  9 
fcu  valuulae  extremitates. 

§,   20.  Ex  his  igitur ,    quae    de    vario    venaeyg,^a  ^3^3 
cauae  inferioris  orificiorumquc  eius    ftatu    (ub    variisinferior 
vitae  periodii  dixi  ,  apparet,    venam  cauam   inferio- P''"^o 

,  .  piincipio 

rem  omnino  m  primo  principio,  et  ad    tertium   cir  f  n  f]„i(^j.o 

citer   mcnfem  vsque,  foli  finui  finiftro   infertam  effe;finui   infe- 

vt  folo  laterali  orificio  cum  dextro    fiou    communi- r  i  t  u  r , 

cct  ,  et  paucas  forte    guttulas    tantum    fanguinis    fui '"'^*^  P<^ft 

ope  dextri  huius  orificu    finui    dextro    cedat^    longe  n^prifem 

maximam  vero  et  modo   non    omnem    eius    portio-fuccedme 

nem   in  finum   finiftrum  effundat,       Inde    pofl    haec  ^d  dex- 

paulatim  dextro  finui  refpondcre  ,   in  cumque  infer- *'"*", 

■•  .      .  '  '  ^  nuni  traiis- 

tam  cffe  incipcre  ,  adco  ,  vt  ,  quo  tempore  foetus  in  fgrri  inci- 
lucem  proditurus  cft ,    tertia  iam  fui  parta    dextro ,  pit. 

B  b  b  2  duabus 


380  DE  fORAMlNE  OVALL; 

duabus  tertiis  fiuiftro  adbuc   refpondeat ,    ct    tertiam 
igitur  fui  (hnguinis  partem    dextro ,    reiiquam    por- 
tionem   finirtro  finui  tradat  ;    et    in    adulto    liomine 
tandem|,  tota  foli  dextro  finui  inferta  ,  omnem   huic 
fuum  finguinem  relinquat.  Eundcm  crgo  plane   fieri 
effedum  ,  acfi  vena  caua  inferior  ,  durante  \ita  ho- 
minis  ,  ex  finu  fmidro  ,  cui    inferitur  ,  in    dextrum 
transponeretur.     (^uod  ,  qua  ratione  fiat  ,    facile  ia- 
tclligitur.     Eo  enim  tempore  ,  quo  vaiuula  finus  fi- 
niflri  ex  limbo  oriflcii   finiltri  ,    quem    §.    19.    dixi  , 
enafcitur  ,  quod   poll  tertium  embryonis  menfem  ticri 
iudico ,  hoc  orificium    angudari    quoque    per    iplam 
valuulam  incipit.       Valuula    enim    ex    limbo  ,    cea 
bafi   (ua  ,   obHque  verfus  arcum  adfccndic  ,  adeoque  , 
orificium  magis  mngisque  tegcndo,  eius  aperturam  mi- 
rorem   efficit.     Inde  crgo  maicr   fanguinis  portio  pcr 
dextrum    onficium    ire    cogitur  ,    orificiumquc    hoc 
dextrum  dihunt ,  et  parictem  dextrum  venae  vnluu- 
lamquc  EvSTACHII   verfus  dextrum  finum  extendir. 
t'f'       Quando  vero  valuula  finus  finifiri  eo    vsque     incre- 
vit  ,  vt  arcum  et  feptum  finuum  fupra   arcum   noa 
modo  attingat  ,  fed  arripiat   quoque,  eique  accrctcat, 
.  !  II  1 1    quod  in  infante   rccens  nato  ficri    notum     eft  ;    tum 
i''"T  ■-■•'''■' \aluula,  orificium  finillrum   plane  ocdudendo,  vnum- 
que   cum    arcu    parictem     conftitutndo  ,    eliicit  ,    vt 
fanguis  nunc  omnis  inter  arcum    et    vahiulam    Ev- 
STACHir  tranfire  ,    valuulamque    EvSTACHII    cum 
parietc  venae  dextro  dextrorfum  magis  ,  arcum  vero 
cum  fepto  finuum  finiflrorfum   fimul    difpellere    co- 
gatur  ,    adeo ,    vt    fcptum    finuum    ia    idcm     cum 

paricte 


rn; 


.yr,r 

.il  I 

•?i!£l1 

-ioiit 


DE  FORAMINE  OVALI.  381 

finiftro  venae  planum  redigatur ,  vnumque  cum  eo- 

dem  verricalcm  parietem  conftituar.     Quo  ipfo  ergo 

tota  vena  caua  inferior  in  dextrum  finum    tranfpo- 

nitur. 

§.  ai.  Denique  valuulam  quoque  EVSTACHIlDe  Valuu- 

ex  iisdem    et    imprimis    illis    obfcruationibus ,    quas''^  Evsta- 

§.    ip.   retuli ,  p.iulo  plenius  cogno(cimus.       Ea    non*^"".  ^' 
.        \.  ^  *^  ,       ^  .  notatio. 

in  inrantc  recens  nato  ,  miilto  minus  in  adulto,  (cd 

in    embryone     trimeftri  ,  fummum  fuae    perfedionis, 

gradum    attigifTe    putari    debet.        Hac    enim     vitae 

periodo     proportione     reliquarum     partium     maiori 

magnitudine    gaudet  ,     quam    vUo    poft    iiaec    alio 

tempore  ,  et  figuram    iingularem    oblongam    habet, 

quam  §.    19.   defcripfi.      Ab  lioc     tempore    continuo 

imminui  ,  imprimis    a    fundo    fuo  verfus  marginem 

liberum     breuior    fieri  ,    infimulque    figuram    fuam 

mutare  incipit ,  quae  in    foctu    maturo    femilunaris 

fere  iam  cft  ,   modo  vt    latior    adliuc  fit  a    margine 

conuexo  ad  concauum  ;    cum   in  adulto   multo  pro- 

portione  angudior  efle  ,  et  faepe  merum  filamentum 

quafi  femicirculare  referre  folear.  Scilicec  ,  dum  circa 

tertium  ,  quem  dixi  ,  embryonis   menfcm    abfolutum 

ex  margine  orificii  venae  cnuae  finiflri  ,    qui   hade- 

nus  liber  fuit  ,  valunla  huius  orificii  enafcitur,  quae 

omni  refpedlu  valuulae    EvSTACHll    contraria    efl: , 

eo  ipfo  ,  quod  hacc  valuula    orificium    fuum    angu- 

Itare  ,  fanguinemque  ex  vena  caua  adfcendentem  ma- 

gis  magisquc  verfus  dextrum  orificium  et  valuulam 

EvSTACHII    compellere    incipiat  ;     hoc    orificium 

dextrum  quoquc  dilatare,  vnluulamque  EvSTACHII 

B  b  b  3  repri- 


38a  DE   FORAMINE  OVALI^- 

rcprimere  ,    in  fpecie  marginem  eius  liberura  vcrfus 
fundum    vrgere  ,   adeoque    et   imminuere  ,  dellrueje-, 
qne  ,  et  figuram  eius  antiquam  oblongam    in    femi- 
lunarem  paulatim  mutare  ,  incipit.     Vnde    ergo  in-i 
telligis  ,    et    qui    valuulam    finus    finiftri    valuulac 
EvSTACHII  contrariam  efle  dixerim  ,    et    cur  me- 
rito  tempus  (ummae  pcrfcdionis    valuulne    EvSTA- 
CHII  in  tertium   embryonis  raenfem  ablolutum,  quos 
nempe  valuiila  finus  finiftri  ex   fuo    orificio    enafci- 
tur  ,  poni    debeat. 

Venae  ca-  §.   2  2.  Vitulinum  cor  confulere  adhuc  fupereft. 

vae  infe-    i^  j-g  jpf^  j^q^,  cum   liumano  prorfus  conuenit.   Vena 

rn     de-    *-^"^   infenor,  multo   hic   longior,  pracparatuquc   indc 

f^riptio.i     €t  exploratu  facilior ,  fimilitcr  refpcdu  finuum  adco. 

pofita  eft  ,  (  vid.  fig.  6.  )  vt  cxternc  vttique  aeque> 

Tab.VllI.ygj^  vt  in  aliis  vidi ,    et  nunc  coram    habeo  ,    foli 

finiftro    finui    refpondcat ,    a  dextroque    omnino    re- 

mota  fit ,    intcrne    vero    arcum  ,    fiue    imum    fepti 

margincm  ,  offcndat,  quo  lumen  venae  cauae  in  duo 

orificia  diuidatur,  quorum  altero  in  dextrum,  altero 

in  finiftrum  finum  infcratur.    Vt  foramcn  ergo  ouale 

hic  non  magis  quam   in  homine  quidquam  aliud  fit, 

quam  orificium   finifirum   venae  cauae  inferioris,  quo 

in  fuuim   finiftriim  aperitur  ,  et  quod  fimili  valuula 

tubulola  ornatum  fit. 

Diuerflta-  §,   23.    Diuerfitates    nihilominus  maximi   mo- 

tes  mter  ^^g^jj  f\,|it  atquc  in  liis  confiftunt.  Orificium  dex- 
et  ininui- l'"""^  fiblongum  quidcm  ct  transuerfim  pofitum  ,  at 
nnm  ve-    nou  oualc ,  lcd  anguhuum  cft ,  et  figuram  cxprimir, 

nam.  apcr- 


DE  FORAAIINE  OVALL  383 

aperturae  palpebrarum  oculi  fcre  fimilem  («.0 />.  ^.  );I5uovenae 
proinde  duobus  angulis,  quorum  alter  poflerior  dcx-  ^'^^^.^  '"^^' 
teriorque  (/».)>  ^^^^'^  anterior  et  finilkrior  fimul  eft  ^j^  j,^  y^. 
(  «.  )  ,  orisque  totidem  ,  altera  fuperiori  (  0.  ),  altera  tulo  veri 
inferiori  C^.)>  gaudet.     At  ora  inferior  non  valuula  fi^is  rami 
EvSTACHli  ,  quae  nuUa  in  vitulo  datur,  fed  limbo  !^"J'  yjjj 
craflb  efficitur  ,    carnofa    fubflantia   (ndo  ,  quo  fimili    pig.  g. 
modo  ,  ac  vnluula  EvSTACHII    in    iiomine  ,    paries 
anterior  dexteriorque    venae  cauae  inferioris  fuperius 
terminatur.      Denique  ,  quod  primarium  eft  ,  vtiora 
inferior  dextri  huius  orificii   in  vitulo  aeque  ac    lio- 
mine  diuerfa  eft  ab  ora  inferiori  orificii  fiuiftri ,  ita 
et  ip(ii  ora   fuperior  in  vitulo  alia  ac    diuerfi    dex- 
tro,  aliaque  et  diuerfa  finiftro  orificio  datur,  adeo,  vt 
plane  in  omnibus   fuis  partibus  aliud  orificium    fit  , 
quod  in  dextro  ,  et  aliud  ,  quod  in   finifiro  finu  pa- 
tet.     Nimirum  ora  haec  fuperior  orificii  dextri  pro- 
prius  in   vitulo  eminens    limbus    cft  ,  {  0.  )    fimilitcr 
vt    inferior  ,    carnca    fubfiantia    faclus  ,  fub    quo    et 
retro  quem  ,   profundius  in   vena  caua  ,  ille    denique 
arcus  in  confpc^flum   venit  ,    quo    dixi   lumen  venac 
cauae  fupcrius  in  duas  partes  diuidi  ,  (  x.  x.  )  et  qui 
in  hoc  loco  vna    cum    limbo  ,    (]ui    bafin     valuulae 
finus  finiftri  cingit  ,  perfedum    orificium    rotundum 
pofierius ,  fiue  finillrum   efficit  ,  (j.  )  ,  plane  a  dex- 
tro  angubto  diucrfum  ,  et  intra   hoc,  modo  in  pla- 
no  ,  pofterius  fito  ,  fimul  cum  illo,  ex    finu  dextro 
aperto  obfcruabilc    (  fig.   5.).       Vt    breuibus    tandem 
verbis  me  expediam  ;  orificium  ,  quoJ  in  dcxtro  finu 
patet  (  w.  0  p.  q.)f  Don  venae  cauae  luferioris  iofius , 

*.  fed 


3  84  DE  FORAMINE  OVALI. 

fed  potius  rami  orificium  eft  ,  quem  vena  caua  in- 
ferior  cdit ,  et  quo  medio  iiacc  vena  fe  in  finum 
dcxtrum  efFundit.  Et  fimili  ferc  modo  cum  res  (e 
habeat  cum  orificio  ,  fmiftro  ,  quod  aeque  ac  dex- 
trum  ,  haud  fimplex  vt  in  homine  ,  orificium,  fed 
verus  ,  quamuis  breuior  ,  ramus  eft ;  vt  paulo  poft 
dicam  ;  vena  caua  inferior  in  vitulo  fuperius  omnino 
in  duos  ,  licet  breucs  ,  tamen  veros ,  ramos  diuidi- 
tur ;  quorum  altcro  illa  in  dcxtrum  ,  altero  in  fi- 
niftrum  finum  inferitur ,  et  quorum  altcr  igitur , 
vti  in  homine  orificia  fe  habcnt  ,  dcxter  ,  oltcr  fi- 
nifter  eft,  (  Vidtfis  fig.  6.  vbi  vena  caua  v.  in  iv. 
latefcit  ,  et  diuiditur  in  ramum  finiftrum  x.  j.  ct 
dexcrum  z. ). 

Explicatlo  §,   24,  Orificium  ergo  angulatum  ,    quod    im- 

anatomica  j^gjjj^te  j,,  fmum    dcxtrum    hiat   (  fig.  5.  «.  0  p.  q  ) , 

pnaeno.  ..,,.         ,  .  ,,.  a        ^''' 

rncnorum  '"•'"11   iHius  dcxtri  orificium  extremum  eft  ,  quo  ra- 

invenaca-mus  iftc  fiuitur  et  in  finum  aperitur,  lllud  autem 
va  vitulinaQj.jfj(.iuj^  rotundum  (  .V.  X.  y.  )  ,  quod  intra  hoc  cx 
tum-^^et  ^perto  finu  dextro  ,  atque  in  ipfa  cauitate  vennc  ca- 
arcus',  e-  "vae,  confpicitur  ,  quod  cx  arcu  et  limbo,  qui  bnfin 
tiaiTi  inho-valuiilae  finus  finiftri  cingit  ,  componitur,  non  idcm, 
niine ,  in-j^m   fiinile,  orificium  extrcmum  cft  rami  finiftri,  fcd 

terpictatio. ..,     ,       ,         i  r  ■ . 

^  jllud  eius  iumen  ,  quo  ramus  ex  trunco  fuo  oriiur, 

quodque  a  bafi  rnmi  efficitur,  qua  iftc  pnrtim  trunco 
infidct  ,  partini  cum  vicino  iuo  dcxtro  ramo  com- 
pofitus  cft.  Orificium  cxtrcmum  vcro  huius  fini- 
ftri  rami  fiue  apertura  nonnifi  quoad  minimam  par- 
tcm  cx  apcrto  dextro  finu  videri  poteft  (fig.  5. -)i 

intc- 


DE  FORAMINE  OVALI.  385 

inrcgrum  aiitcm  appnret  in  nperto  (Inii  finiflro,  (fig. 6.  t. 
fi^.  7.  (j.  jii.  r.  T.  i.  )  ct  cfHcitur  propric  ab  ipla  cx- 
treiua  ora  valuulae  tubulofae  finus  finillri,  qune  huic 
apcrturac  infidet.  Sed  himcn  fimilc  rami  dcxtri 
vcnac  cauac  infcrioris  ,  qnod  nempe  a  bafi  huius 
rami ,  qua  trunco  llio  partim,  venae  cauae  iiifi-riori, 
infidct  ,  parrimque  cum  altcro  vicino  fuo  finiftro 
ramo  cohaeret  ,  elTicitnr  ,  fimiUter  apparct  ,  fi  vena 
caua  infericir  in  pariete  fuo  finifiro  inciditur  ,  ea- 
demque  fedione  fimul  valuula  finus  finiflri  diffeca- 
tur  ,  qucmadmo.lum  (  fi;^.  4.  )  has  partes  ex  infaote 
propolui.  Tum  cnim  idem  arcus ,  qui  ex  dextro 
latere  vifus  in  bafin  rami  finifiri  continuat  ,  qua 
parte  hic  rrunco  infidet  ,  atque  hoc  modo  lumen 
rami  finifiri  cfficit  ,  fimili  modo  in  bafin  contmuat 
rami  dcxtri  ,  eiubque  lumen  efficit  ;  quemadmoduin 
hacc  communis  proprietas  cuiusuis  trunci  eft  ,  in 
duos,  quani  minime  diuergentes,  et  fere  aequales,  ra- 
mos  diuiii.  Dcniquc  etiam  ,  quid  arcus  ille  ,  ifth- 
mus  VlEVSSENII ,  in  homine  non  mmus  quam  iti 
■vitulo  fit,ex  vituhna  hac  fiiudura  clanus  intclligitur. 
Vti  enim  in  quoUbet  trunco,  in  duos  ramos,  parum  di- 
vergentes,  oiuifo,  to  loco,  vbi  rami  inter  fe  cohaerent  , 
angukis  tfficitur,  qui  in  intcrna  cauitate  canalis  fpeciem 
arcus  retcrt )  himii.i  trunci  e  uiametro  opp«'firi,  ct  quo 
hoc  lun^en  trunci  in  duo  luinina,  quae  nunc  kim.na 
ramorum  limt,  diuiditur,  quemque  arcum  a^gulwn  con- 
iunSlioi.is  diiorum  yam>um  appellabo;  ita  pattt,  hunc  ar- 
cum  ,  ilihn  um  VlEVSSENII  ,  (  fig.  I.  ic  fig.  3.  X 
fig  4.  y.  fi  .  5.  jv.  X.  )  nihil  aliud  efle  ,  quam 
.    Toiii. XX.Nou.Comm.  Ccc  ipfum 


385  DE  FORAMINE  OVALI. 

ipfum  illum  angulum  coniuncflionis   duorum    ramo- 
rum  ,  in  quos  vena  caua  infcrior  diuiditur. 

Duovennc  §.   25.  Qiiamuis  hacc  diuifio  vcnae  cauae     in- 

cauac  iiife-^gj.j^j.jg  jj^  jy^j    ramos    etiam    in    vitulo    non    adco 

rioi  is  rami  _  .     .  ,  .  , 

in  vitulu  comparata  lit ,  vt  cuiuis ,  obiter  has  partcs  intuenti, 
eti.im  e^  iiico  apparcat ,  et  fponte  quafi  fe  oculis  ofLrat;  non 
te  iie  ap  muHis  tamen  vera  ideo  efl ,  nec  m.nus  manitcQa  , 
M^i^^Vir,  dummodo  cu-n  attentione  confideretur.  Non  folum 
Fi».  (5.  t-iiim  internc  hi  raini  (e  fatis  manittrtant  ,  fed  ex- 
terne  quoque  ,  dum  a  parte  bafis  cordis  et  in  fu- 
pcrficic  policriori  vena  ciuia  ct  finus  confpiciuntur  j 
euidenter  apparct  ,  venam  ,  dum  vcrfus  vtrumque 
finum  ,  magis  tamcn  fempcr  verfus  finifirum  ,  vcl 
verfus  hunc  folum  adfccndit  ,  (  fig.  6.  v.  )  in  parte 
fuperiori  primo  Litiorcm  fieri  (  w  )  ,  et  dcnique  fs 
fatis  difiincfte  in  hoc  parictc  poileriori,  cum  anterior 
brcuior  bafi  cordis  npplicatur  ,  diuidere  in  duos  ra- 
mos  ,  quorum  dexter  longior  (  z.  )  obliquc  dextror- 
fum  ad  finum  huius  lateris  adfccndit ,  eoque  ipfum 
hoc  fpatium,  quo  truncum  vcnac  a  dtxtro  finu  re- 
motum  cfTc  dixi  ,  emetitur  ,  quod  ni  ficret  ,  facile 
vides  ,  venae  cauac  inferioris  truncum  aut  non  re- 
motum  a  plano  verticali  finus  dcxtri  ,  aut  non  m- 
fertum  huic  finui  effe  pofle.  Vt  ipfe  hic  fitus  ve- 
nae  cauae  refpedu  finuum  argumcntum  fit  ramo- 
rum  ,  in  quos  nccclTe  ell  ,  vt  vena  caua  diuidatur. 
Siniflcr  ramus  brcuior,  fed  non  minus  diftinifius  efl, 
( X.  y.  )  qui  obhquc  finiflrorfum  in  finum  finiftrum 
lc  cito  immersic  et  euanclcit. 


DE  FOKAMINE  OVALT.  387 

§.   i6.   lam  ccrtum  cfl: ,  in  humano  foetu  vel  Stmflura 
in  infantc  aut  rnmos  plane  nulios,  fed   fimplicia  tan- ^"'^^"'^  ^"" 
tum  onhcia    eflc  ,  qiiibus  \cna  caua  in    finus    mfe-  11^3  jh^. 
ritur  ,  ;uu  ,  fi  ranios    \ocare    volueris  ,    breuifllmosnratur 
tamen  et  vix  nifi   cx  analogia  ralcs    vocanJos  ,    nifi 
ex  valuulis  ipfls  EvSTACHII  et  finus  finiflri,  quae 
omnino  notabilem   lon^itudinem    habent  ,    compofitos 
piitaucris.      interini   flrud:ura   tamcn   cordis  vitulini  , 
cum    hiimana    comparata  ,    penitius    nobis    naturam 
horum   orificiorum    flngularumque    partium   huc  per- 
tineritium  explicat  atque  demonftrat  ,     quam   quidem 
fola  humanae  flrudlurae    confideratio    cfiicere     potu- 
ilTct.     Si   fimphcia    tantum     orificia    funt ,     vidcmus 
tamen  ,  cnins  gcneris  hacc  orificia  fint.       Videmus  , 
fpccicm   falicm   ramorum   eflfe  ,  et  nonnifi   idco,  quod 
brtues  nimiimi   fint,  vcros  non   ramos  dicendos.    Si- 
mihter  arcus  ille   lUhmus  VlEVSSENII  ex    ccmpa-' 
ratione  flrudurae  vitulinae  non    minus    in    homine 
quam  in  vitulo  angukis  coniun(flionis  efl!e    intelligi- 
tur  duorum  ramorum  ,  in  quos  vena  caua    inferior 
diuiditur  ;  quanuiis   hi    rami  brcuiflimi   et    vix    vUi 
fiiit.     Amputa  de  trunco  bifido  ramum     vtrumque  ,. 
yt  nihil  practtr  bafes  ramorum  ,  quibus  infedcrant  , 
fuperfit  ^  habebis  femiannulum  ,   lumini    trunci    im- 
pofitum  ,  idemque  diuidentem    in    duo    lumina    fcu 
orificia,  qui  ipfe   angulus    coniundionis    efl:    horum 
ramcri:m  nbfciflTorum  ,   licet  rami  ipfi  non    exiflant. 
Atque  haec  ipfa   imago    eft    flrii<flurac    vcnae    cauae 
inferioris  in  foetu  humano.      Denique    foravien  ouale 
noftrum  iplum  ,  quod  (  §•   12.)   orificium    finiflrum 

C  c  c  a  venae 


388  DE  FORAMINE  OVALL* 

venae  caune  inferioris  cfle  rede  eatenus  dcfiniui,  quo 
haec  in  finuni  finillrum  infercretur,  dudu  et  indiiatu 
■vitiiliniie  (hu<flarae  accuratius  nunc  determiHari  ,  et 
paulo  completius  definiri  poterit.  Qiando  enim  ra- 
mus,  no  1  fimplex  orificium,  cit,  quo  \ena  caua  in- 
ferior  in  finum  fi.iirtrum  inleritur  ;  non  ramus  ipfe, 
non  cius  orificium  extremum,  feu  apertura,  foramea 
nolkum  onuic  erit  ,  (ed  lumen  huius  rami  ,  quo 
cum  trur.co  coniunyitur  ,  et  quod  bafi  rami  effici- 
tur  ,  quodque  vitulina  ftruAura  ab  onficio  extremo 
Ct  a  ramo  ipfo  dirtingucre  docuit.  Hjc  enim  la- 
men  proprio  illnd  ell,  quod  et  foramcn  ouale  didum 
fuit  ,  et  ,  vt  fupra  iam  monui  ,  omnium  facillime  , 
ct  (ponte  quafi  ,  in  confpeiflum  venit. 

faiictes  §.   -7.  Omitto  ,  quae  forte  alia  in    vena    caua 

rami  dcx-  yifuii   notatu  digna  effe   poflcnt  ,  quae  n  hil  ad  illu- 

tri  in  vitulo  -         ,  ,  ^  t,  , 

ji^gg  ,jj|g,_  ftrandam  humanam  conferunt.  Fauca  modo  ,  quae 
Tab.  VIII.  ad  nofirum  (copum  pertinere  videntur,  adiicio.  Pla- 
FJg-  5-  num  ,  in  quo  pofitum  ti\  orificium  txtremum  an- 
guliuum  rami  dextri  (  «  0.  p.  q.)  non  parallcluni 
e(^  plano  luminis  ,  neque  perp.ndiculare  ad  axia 
rami  ^  fed  obhque  pofitum  c(t  refpedu  luminis  et 
axcos  ,  adeo  ,  vt  orificium  extreu  um  rami  maius 
fit  lumine  eiusdem,  et  ramus  iple  parictcs  habcat  , 
longitudinc  inacqnalcs.  Scilicct  pofierior  huius  dex- 
tri  rami  paries  {w.)  longifiimus  t(t  intcr  omnes  , 
ext' rncquc  paritcr  (  fig.  6.  C  f.  )  ac  uncrnc  {to.) 
egregic  dilUngnitur.  Ft  intcrne  quidcm  iUiid  fpa- 
tium  Luuc  parictem  tfiicit  ,    quod   intcr  trus  purte- 

rius 


DE  FORAMINE  OVALT.  389 

rius  arcus  (x.)  et  angulum  portcr"orcm  feu  dextrum 
(p.  )  coininetur  (  «;.  )  Faulo  breuior  inferior  e(l , 
qui  oblique  dextrordim  ex  pariete  dextro  trunci  \s- 
que  aj  oram  inferiorem  orificii  cxtremi  (  q.  )  ad- 
fcendit.     Ancerior  aucem  et   (uperior  breuillimi  lunt. 

§.  ?S.  R;imus  finirtcr  venae  cauae  inferinris,  qua- Ramus  fi- 
tenns  extcrne  appnret,  dtxtro  breuior  eft  (fig.  6.  x.  v  ),  mfter  m  vi- 

XT  /-  /-     •  ,1    ■  tulo  et  val- 

r^on   niiiior  autem  eius  pars   m  carne    finus    nnidri  y^ig  f^j^^j 
hneret  ,  et  denique   valuula  finus  finiftri  ipfa,  tubum  rniftii. 
dum   refcrt  ,  orificio  extrcmo   rami    finiftri    infiden- Tab.VJII. 
tem  ,  adhuc    noiabilem     pariem     huic    canali     addit  ,     ^^'  ^' 
fldeo ,  vt  ,  fi  (ecundum  longitadinem   ramus    finifier 
diffjcetur  ,  vt  cius  longitudinem   ex  facie  inierna  ae- 
ftimes;   etiamfi     valuulam      non    computes  ;    tamen 
aliquot  lineae  longitiidinis  ramo     ipfi  propriae  fint ; 
fi  valuulam   comprehendas  ,  fex  lineas  facile  fuperet. 
Valuula   finus  fini'lri   in  vitulis  ,    vt    vul^o     haberi 
poflTunt,  fex  feptimanas  plerumque  excedentibus,  valde 
iam   confirida  (  w.  m.  p.  s.  )  ,    canalis    angufius  ,  et 
orificium   eius  txtremum   (  /.  )  vel  cluifum   vcl  mi- 
nimum  efTe  (bicr.     Valuula  autem  crafTior  eo  ,    car- 
nofa   magis  et  rigidior  tff,       In     vitulo  tamen  ,  qui    Fig   7. 
nondum   refpirauerat  ,  in   ipfo  illo  monfirolo  ,  cuius 
defcriptioncm  Tomo  horum  Commentariorum  XVII. 
inferuif,    in  cuius    cordc     tamen  ,    fi    magnitndin  m 
excepcris  ,  nihil  praeter  naturam  erar  ,    hanc   vaUiu- 
lam  reperi   tenuem  ,  pellucidam  ,     magnam    et    pul- 
cherrimam  ,  quae  quippe    tubum     rcferret ,     pullicem 
ferc  longum  ,  plus  quam  dimidium  latum  ,  eumque 

C  c  c  3  inte- 


3^0  DE  FORAMINE  OVALI. 

intcgrum  ,  nec  nifi  filanientis  finuum  fepto  adhae- 
rentem  ,  quod  ergo  niliil  quidquam  ad  tubum  effi" 
cieodum  vel  complendum  confcrret  ,  caeterum  mo- 
bilem  ,  in  aqua  libere  fiuitantcm,  et  in  extrema  ora 
pukherrime  reticulatam.     (  Vid.  fig.  7.  ), 

§.  29.  Quamuis  in  hac  tradatione  ,  quam  , 
De  valuula  terminis  vfus  receptis  ,  obleruationes  de  fcn.mine 
finus  iini-  Qygij  infcripfi  ,  et  qime  rc^H^ius  dici  dcbiiifTet   hijiona 

ftii  in   in-  '  •   r     •     •        t  •  •  i 

f  nte  le*   '^^''^^  caiiae  injertoru   thoracicae  ^  cuius  ncinpe  tt  ad- 
cens  nato  fccnlum  ct   diuifionem   in   fj)ctu   in  duo  orificia,  \el 
Dcfcriptio.  ramos ,  quibus    fe   inferat    in    finum    \trumque  ,    et 
lab.  Vil.  (^riK^uram  orificiorum  icforum  ,    et  \ariam  dcnique 
varia   actate  conditionem,  fecundum  ordinem  dvfcripfi, 
nihil,nifi  quod  ad   incognitam   hanc   \cnae  cauae   m- 
ferioris  proprictatem  pcrtinerct  ,  dicfiu    n  ihi    propo- 
fucram  i  non  poflum   tamen   non    quaedam    dc    \dl- 
vula  finus  finiflri  annotarc  ,    quae    liaud    fatis    pcr- 
fpcda  ct  cognita  mihi  effe  videtur  ,  et  quam  nimis 
pulchram  et  perfccflam  in  eo,  qucm  dclcripfi,  infante  , 
qui  vix  refpiraffe  \idcbatur,  reperi.    Hacc  \ahiula  ergo 
omnino,  vt  facpius  monui,  in  humano  non  minus  quam 
in  bouino  foetu,  tubus,   non  finiplcx  membrana,  cfl,  vt 
\ulgo  repraefcntatur,  ca  tarrcn  conditionc,  \t  altcro  fuo 
parietc  hic  tubus  fcpto  finuum  fupcr  arcum  (  fig.  3.  u\) 
adhaercat  ,  proindc  non  penitus  libcr  fit,  \t  in  foetu 
bouino.       Bafis  tubi  (  0.  p.  q.   r.  ),  qua  orificio  fini- 
flro  venae  cauae  (  iisdcm    litt.    denotato    vcl  fig.  3. 
h.  i.   k.)   in  finu   finifiro   infidct  ^    \t   hoc  rrificium 
ipfum  ,  obliqua  efi  ,  ncc    parallela    orificio    cxtrcn  o 
leu  apcrturac.     (5.  6.  7.    8.  9.    10)    Hinc  parictcs 

iiiae- 


DE  FORAMINE  OVALI.  391 

inaequales.      Anterior  ,  qui  h:\Ci   fiu  arciii  ,   fcii   orie 
oriticii  liniflri   anccriori    infiuet  ,  ec  qiio    toto    tiibus 
fepto  fupcr  arcum   adhaeret,  (  fig.  3.  t.  v    iv.  )  bre- 
viiriiiius  e(l.      Podcrior  (  0.  p.   q.  s.   t,   1;.  )  >   qui    fui 
bafi  lupremo  parieti  finiltro  ct  pofkriori  venae  cauae, 
feu  pofteriori  inferiorique  orae  orificii  fmiftri  infider,  et 
toru'»  Jibcr  e(t  ,  longiHimus  ell.       Dexcenor  fiue   fa  - 
perior  (  /  r,  /  )  ,  et  finilterior  fiue  inferior  ( 0.  v.  )  , 
fibi  f.re  aequalts  ct  liberi  funt,       Figura  totius  tubi 
pracrcrea  curuata  ell ,    et  qur    ex    bafi    fua    obliqua 
adfccndere  incipit ,    orificio    fuo    extremo  (  5.   6".   7. 
9.    10.  )    finillrorfurn    inclinatus    refpicit.      Suprema 
ora  par.etis  finifiri  et  pofterioris    venae    cauae  ,    cui 
bafi   (ua  valuula  infidet  ,  et  ex  qua    haec    continua- 
tur  ,  etiamfi  valuula  integra  fit ,  |ob   crafiitiem    opa- 
citatemquc,  qiin  ,  vt  vena  tota,  etiam  eiu?  fuprema 
ora  gaudet  ,  et   uahiulae   contra    tcnuitatem    pelluci- 
ditatemque  in  finu    finifirc    aperto,    dum    in    aqua 
fluitat  ,  cgregie  perc'pitur  et  diftinguitur.     (  Saepius 
cit.  0.  p.  q    r.  fig    3.  h    i.   h  ).      Haec  venae  cauae 
fuprema  ora  in  finu  finifiro  non   modo  non  cognita, 
fed  etiam  ,  quantum   fcio,  nunquam    obfcruata  ,     at- 
tamen  ad  cognofcendam  h.uum  partium   fabricam  et 
naturam  infigniter  vtilis ,    quin    nece(firia    efi.     Ex 
defcripta  valuiilae  figura  intclligis  ,  nulla  ei  ,  vt  fe- 
milunaribus  ,  a  quibus  toto  coelo    diffcrt ,    cornicula 
tflTe  ;  fed   fi  pariercm  ,  quo  adha^ret,    a   parte  libera 
et  mobili   tubi  difiinxeris;  latera   notare  pofils  ,    feu 
margines  ,    quibus  vtrinque  pars  affixi  a    Iibera    di- 
ftinguitur  {w.)  t  feu  margines  partis    liberae  ,  quo- 

rum 


39^  P^  FORAMINE  OVALI. 

rum  nlter  dexterior  fuperiorque,  alter  inferior  et  fi- 

nilkrior  cH.  Ora  extrema  vcro  tubi  ,  \bi  libera 
efle  deiinit  (  7.  10  )  ,  txtremitates  aliquas  magis 
produdus  ,  feu  Ipeciem  aliquam  cornicuiorum  effi- 
cit  {IV.  quod  (upcrius.,  led  lamella  potius  eft,  et  x^. 
quod  intcrius  ert  )  i  de  quilus  tamen  notandiim,  nc- 
que  vcra,  quoad  figuram,  corniculii,  neqiie,  fiue  extre- 
mitatcs  vocauerib  ,  valuulac  ,  led  lclius  orae  exire- 
mae    \el  extremitates  vcl  cornicula  ede. 

P.Ttinetad  ^    ^o.   Dixi  in  fuperioribus  ,    maximam    val- 

aanularcs    vulac,  finus  fini(\ri   cum   venofis  valuulis  cordis  fimi- 

f.    tubulo-  litudinem   cfie.     Haec    mihi  argumcnta  funt :    1)  Val- 

^^5.  -vula    finus  finUki  ,  vt   venolae  cordis ,  tubulofa,  vel, 

quod  idcm  ,    annularis  efl: ,    modo  vt  altero  (uo  pa- 

riete  proxinio  finus  paricti  adhaer  al  ,  cum  in    ven- 

triculis    cordis     valnulae    circumquaque    libcrae     fint. 

2)  Simili   modo  toti  orificio  venue  cauae  ,    qno  haec 

in   finum   finiflrum  hiat  ,     bafi  ■  fua    infidet  valuula  , 

fimilique  modo  orificium  (uum  fui  continuaiione  in- 

vefiit  ,  ac  valuulac  cordis    orificiis    venofis  ,    (  quac 

auricularum  quoque  orifitia  funt  ,  quibus  in  ventri- 

culos  hiant  )  infidtnt,   ac   fui    continuatione    orificia 

vcnofii  inueftiunt;  et   fimili   dcnique    modo    et    hnus 

valuuia  ct  cordis  vnKiulic  ,    iila    in    finus  ,    hae    ia 

vcntriculorum  cauitatcs  cxporrtdac  tencntur.   s)  De- 

nique  fnndio  qnoque  fiiuis  ct  cordis  vaiuulis  eadcm 

ct  ecidcm   modo  peragcnda    efl.      Dum    cnim    finu» 

contradus  fmguinem  (num  comprimit  ,    hic    valua- 

lam  ,  plurima  parte  1  licram    hirgam    ct    finitnrfcm, 

in  orificium  venac  cauae    rcprimit  ,    ct    compl  cat  , 

cociue 


DE  FORAMINE  OVALI.  393 

eoqiie  modo  orificium  obturat.  Idcm  valuulis  re- 
nofis  in  contra(ftione  ventriculorum  accidere  notum 
clt ;  cum  contra  (emilunares  a  fanguine  rcgrcffuro 
non  complicentur  led  expandantur ,  luminaque  fuo- 
rum  valorum  non  obturent  fed  ocdudant.  4)  His 
adde  ,  quod  produdiones  orae  extremae  valuulae  fpc- 
ciem  filamentorum  referant  ,  quibus  haec  valuulac 
ora  ,  vt  in  venofis  cordis  ,  paricti  finus  alligatur  % 
ne  intra  venae  cauitatcm  retrolabi  poflit.  In  vitulo 
autem  plura  eiusmodi  filamenta,  et  libera  funt,  qui- 
bus  ora  valuulae  parieti  finus  adneditur  (  fig.  6.  p. 
q.  r.  s. ).  Quodfi  ergo  valuulas  vaforum  fanguineo- 
rum  duplicis  generis,  feminulares  et  annulares,  po- 
fueris ;  harum  ,  quod  datur  ,  vnico  pari  tertium 
cxemplar  addere  licet ,  contra  tot  femilunares,  quac 
imprimis  venis  adeo  frequentes  datae  funt. 


mt 


§.   3f.  SagacifTimus  WlNSLOWVS  ,    quod  fibiDnbk 
mouebat    dubium    dc    hac    vaiuula  ,    cum    tanquam  W'**^^®' 
fepti  aut  foraminis  oualis   valuulam    eam    confidera-  ^^^^  ^^^ 
ret,  aperiri  nempe,  contra  lcgLS  omnium  valuularum,vuiam  folt- 
viam   fiinguini  ,  dum  valuula  a  fepti  ,   cuius  valuula  vitur. 
cfCct  ,  pariete  remoueretur,  et  praecludi  contra  viam, 
dum  eiJcm  fepti  parieti  applicaretur  ;   cum  reliquae 
valuulae  potius  remotae  a  parietibus    fuorum     va(b- 
rum  viam  occluderent ,    et  applicatae  iisdem    aperi- 
rent,  quod  dubium  efFecit ,  vt  munus  vahiulae  huic 
inembranae   plane  abnegaret ;   id   vnico  verbo  loluas , 
quo  dicas,  non  foraminis  oualis  vtl  lepii,  fcd  finus  fi- 
niUri  valuulam  effe.     Ergo  dum  contra  finus  parie- 
Tom.XX.Nou.Comm.  Ddd  tcs 


394-  DE  FO.^AMINE  OVALI. 

tes  pcllitur  t  aperit  viam  ;  praccludit ,  dum  ab  iis- 
dem  parietibus  remouetur  ;  plane  vt  venofae  cordis 
\dhiulae ,  contra  parictes  ventriculi  pulfae  ollium 
aperiunt,  ab  iisdem  remotae  claudunt. 

Cur  nort  §.   52.  Si  nunc  vera  funt  ,  mi   Ledor  ,    quae 

diidiim  er.£Je  vena  caua  inferiori  ,  de  eius    orificiis  ,    impriniis 

ror  de  fo- j^  finiflro  et   dc    imaginario    foramine    ouali    dixi  ; 

vali  dete-    mirabcns  procul  dubio ,    qui    tamdiu    veriras    latcre 

Gi\s  nt.      potucrir.       Sed   idem  ,  ni  follor  ,  paene  de  omnibus  , 

Caufa    ve- ^^jg   mmoris  fiue   maioris  momenti  ,   detedis  mirari 

rnmi  is.     pQtcfj^^     Primariam  tamcn  caufam  effe  arbitror  me- 

thcKlum  fecandi  ,  qua  ad  detegcndum  f()ramen  oiiale 

t(I  funt  )  tuud   conuenicntcm  ,  et    cognitioni    verita- 

tis  mire  contrariam.     Inciderunt  finuni  dextrum    ex 

parte  dcxtcriori  et    pofleriori ,    fedionemque    conti- 

nuarunt  fimul  pcr  venam  cauuam  inferiorcm ;  (  quae 

brcuiflima  praetcrca  cum.  fit  ,    vix  etiam   in  confide- 

rationcm  venifTe  videtur )  adco  ,    vt    hanc  vna  cum 

finti  apcrtnm  habuerint.      Neque    fere  ,,    fi    vnicam  , 

quam   poftca  dicam  ,  fcftionem  excepcris ,     alitcr    fi- 

nus  ad  detegendas  has  partcs ,  quae   in    regione    eius 

poficriori  exifiunt ,  apcriri  potuit.      Si    enim  ,    fiuc 

in    dextcriori  ,    vel    pof^eriori  ,    fiue    in    antcriori 

hoc  fiat  parte  ,  folus  ,  fine  vena  caua  inferiori  ,    fi- 

nus  aperitur  ,  fiuc  etiam  fimphci   incifione   id    fiat , 

fiue  rcfccando  partem  auriculne  dextrac ;   fcmpcr  ta- 

mcn  orificia  venae  cauae  ct   didum    fbramen    ouale 

et  valuuLi  EvSTACHII  ipfa  ,    nimis    profundc    fita , 

ob  vmbram  ,  ob  impcdimcntum    parictum    finus    et 

f  V  !  auri- 


DE  FORAMINE  OVALI.  ^95 

aiiriculiie  ,  ob  complicationemque  partium    obfcruan- 
darum     iplarum     uoniiifi     oblcure    pcrcipi  ,    miiiime 
accurate  oblcruari  ,    nec    mauubiis  tradari  ,    difponi  , 
examiiiari   potcnint.     Sola  ficcata  corda  fiicilius     liac 
nictliodo  (ccari  ,  fed  ob  alia   incommoda    minus  vti- 
litcr    adliilieri     pofTunt.       \'biprimum    contra  fccflio- 
iiem   in  cordc  rcceiiti    aut    molli    produxcris    plane 
per  brcuiUinuiir),  quac  infcrius  rcftat,  venam  cauam; 
omnia   iiico  obltacula  euanefcuiit.       Nam    parics    po- 
fterior  finus  nunc   vna    cum     venae    paricte    rcflcifli 
potert  ,  quo  totus    finus    dcxter    vna    cum    partibus 
coiitcntis  explanatur  ,   et    omnia    manifefla    euadunr* 
Quid  mirum  ergo,  fi  nemo,  nifi  in  ficcis    praepara- 
tis ,    aliter    fcdionem     inlfituit  ?     \'crum    hac    ipfa 
fecflione    nunc     primariae    quoque    carum    partium  , 
quas  nofle  intcrtft,  deflruuntur ,  et  omnia  adeo  per- 
turbantur  ,     vt    et  ,     quae    integrae    conferuantur , 
ipfae  cognofci   non  pofllnt.       Primo    enim  ilico  ori- 
ficium   dcxtrum   venac  cauac  inftrioris  ,  quo  in  dcx- 
trum  finum   aperitur  ,    et  quo  ab  hoc    finu    diftin- 
guitur  ,  ncccfTario  quidem  ,  dtftruitur.      Dtinde  vna 
cum  orificio  etiam   valuuhi   EvST^CHII    diffecatur  , 
ct  cum  parietibus  venae  extra    (uum    fitum    reflcdi- 
tur.      Deniquc  ,  dum  orificium   dexirum  ,    quo    folo 
cauitas  fmus  dextri  a  cauitate  venae  cauae    inferioris 
diflingui  poteft  ,  deftruitur  ;  in   pariete  pofleriori  ve- 
nae  cauae  inferioris,  quae  aequali  fupcrficie,  maxime 
in  adultis ,  in   finus    parietem    continuat,    quid    ad 
venam  ,  quid  ad  finum  pertineat ,  nuHo  nunc  porro 
iiSno  diflingui  potefl.     Quid  mirum  ergo,  fi,  quem 

D  d  d  2  femd 


3p<?  DE  FORAMINi-    OVaLT. 

femel  ermrcm  receptum  ab  antiquiflinnis  temporibus, 
ct  a   GaleNO   vsque  tenuimus  ,    nemo  corrcxit  ?   fi 
nemu,  cuui   neque  in   finus    ncque    in    venae,    quem 
manitclio  dilbngueret ,   piriete   foramen     illuc    oualc 
fitum  e(r.-  cognouit  ,  r(.n    flicile  ,    quod    didum    do- 
<flu,nque  et  (criptum  crat  ,  in  fepto    fmuum  cfTe  fo- 
ramen  ouale,  conceliit  ?  et  fi,  dum  ori/icium  finijhum 
venae  cauae  inferioris  in  panete  eius   fintliro    appa- 
rebat  ,  nemo  non  facile,  illud  foramen  in    finus  pa- 
riete   efTe  ,  crcdidit ,    vbi    tale    foramen  quaefiu.rat  ? 
Atque  id  eo  magis  ,  quo  minus  vena  caua    breuiiri- 
ma ,  et  faepe  dellruda  iam  ,  dum    cor    ex    cadauere 
exfcinditur  ,  in  confiderationem   venire  ,  attentionLni- 
que  Anatomici   mouere  folet.       Sed  ea  ,    qua    dixi  > 
inethodo  finum  dextrum  ,  nifi  omnino  (emper  ,    ta- 
men  maximam  partem  apertum    efT.' ,    vcl   folis    ex 
iconibus  ,  quas  Celebtrrimi  Viri  fuis,  caeierum  cgrc- 
giis  ,  defcriptionibus  addiderunt ,  tuilibet  intuenti  ap- 
paret  ;  quas    tamen    citare    abdmco,   ne    quid    forte 
contemncre    vclle    videar    Eorum ,    erga    Quos ,  fiui 
mortuos  ,  fiue  viuos  ,  fumma  vineratioue    pknus  Jum, 

Metliodiij  §.    33.  NeceflTe  igitur  efl ,    vt   Cnus    aperiatur 

apeiiendi    ^^jy^  ^^  integia  vcna  c;uia  infcriori ;    ergo    in    parto 

linuni  dca-  .      .  .  ,  .    r 

*utn.         ant-rion,  quae  inter  auricuhm  ct  bafin   aortae  con- 

tinetur.     Atque  vt  commoJe  hoc   fieri    poUit ,   inci- 

dendus  cft    paries    antcrior    vcntriculi    dextri    cordis 

vsquc  in  extrcmum   ventriculi  apicem.      Indc  Itifiio 

furfum  continuanda   pcr  orificium    ventriculi    vcno- 

fum  €t,  \t  dixi ,   iuLcr    aunculam    ct    aortam    pcr 

totum 


DE  FORAMINE  OVALI.  397 

torum  porro  finiis  parietem  anteriorem  vsquc  ia 
ircnJin  cauuam  fuperiorcm.  Tuni  parics  veuiriculi 
dextri  antcrior  vna  cum  paricte  aiucnoii  fiiius  et 
cum  auricula  dcxtrorfum  rcfl.djtur.  (^uo  fac^o,  tota 
finus  cauitas  vna  cum  oriticio  dextro  veiue  cauae 
inferioris  et  valuula  EvSTACHII  inteyris  in  coa- 
ipcAum  venit ;  fimulque  intra  cauitatcm  venae ,  in 
pariete  eius  finifiro  apparet  oriticiiim  finiflrum,  fiuc 
apertum  ,  fi  foetus,  fiue  cicatrifatum  ,  fi  aduiti  cor 
fuerit,  quod  fecaucris.  Cacterum  EvSTACHlO  sCi' 
UUm  fuifle  hanc  fet^ionem  ex  eius  labuli^  apparct. 

DE 

MOTV  SANGVINIS  IN  FOETV. 

§.  34.  Ex  hac    firudura    cognita    virumquc  ,Singuis  er 
et ,   qui  verus  motus  fanguinis  in  foetu  fit,  intelli- ^'^"^/■•"* 
gitur  ,  et  fieri   mmimc  pofle  ,  vt  (aoguis,  qui  femel  t,.3„(5j  j„ 
in  finum  dextrum  intrauit  ,  inde  rurfus  in  finiftrum  finum  v- 
tranfeat ,  vt  hodie  facile  omnes  communi   ore  afHr-tiumcjue; 
mant.     Vena  caua    inferior    duobus    orificiis,    altero       /^  * 

/•    •/!  .  »n  vtrutn- 

in  finum  dextium  ,  altero  in  nnmrum  apentur  ^queventri"' 
neque,  quod  ab  orifirio  cius  fininro  diuerfum  efllet  , culum. 
foramen  aliud  vllum  datur.  Ergo  fanguis  ex  vena 
caua  infcriori  recfla  partim  in  dextruin  finum  pec 
orificium  cius  dextrum  ,  partim  in  fiiiiftrum  adfcen- 
dit  per  orificium  finiftrum.  Et  inde  porro  ,  (  nam 
fane  per  hacc  cadem  orificia  iteriim  retrogredi  fan- 
guis  non  potefl  !  )  ex  fino  dextro  rccfla  in  veniri- 
cuhim  dcxrrum  ,  ex  fiiiiftro  in  finiftrum  progredi- 
tur.     Ita  paucis  verbis  B    L.  vidcs  rem  planam    et 

D  d  d  3  fim- 


398  DE   FORAMINE  OVAU. 

fimpHcem  exhauftam,  de  qua  tantum  olim  difputa- 
tum  fuit  >  et  quam  hodie  quoquc  tam  miro  et  in- 
credibili  modo  explicant.  Nequc  tamen  minus  vfum 
inde  refultare  pro  tottu  eundcm  ,  quem  de  foraminc 
iti  fepto  fperauerant ,  facile  paiet.  Nam  idem  ipfe 
fanguis,  qui  ptr  foraman  in  fepio  a  vcntriculo  dcx- 
tro  et  a  puln  onibus  aucrti  putatur  ,  per  onficium 
finiftrum  venae  cauae  infv^rioris  in  hac  vena  iam 
ab  iisdcm  pnrtibus,  a  vei^triculo  cordis  dexiro  ncmpe 
et  a  pulmonibus ,  aueititur. 

Neque  §.   35-  Scd  non  minus  clarum  etiam  eft  ,  Hm- 

poted  ex   guinem  ,  qui  femel  in  finum  otxirum   intrauit,  fiue 
eMin   mu^^  ^^^^    fnperiori  ,   l)ue  tx   intcriori  co   pciuc- 

in  liniiirum  n  •  '  r 

tranfjre.      nerit ,  nullo  modo  inde  lurlum    per  oriiiciun\   \cnae 

caune  inferioris  finiArum  lcu  foraiTicn  cui.k  in  fmum 
finifhum  venire  pofTc.  Nectffe  tnim  tflcr,  \t  fupcr 
valuulam  EvSTACHII  non  n.odo  ,  (ed  ctiam  fuper 
orificium  dextruiTi  vcnac  cauae  infLrioris  fupcrquc 
huius  vcnae  himcn  tranfiret,  priu^quam  finitlrum 
orificium  attingerc  poflet.  Miruin  ergo  cfTctjni  po- 
tius  in  orificium  dcxtrum  iplum  ,  vel  proprio  pon- 
dere  adus,  et  in  venam  cauam   infcriorem  elaberetur. 

Idem  aliis  •  §.   ^6,    Fingc   autcm  ,  valuulam  EvSTACHU 

argumentisf^fjs  latam   cfie  ,    vt  orificium  dcxtrum  vcnae  cauae 

piubatur.     .    ^    .      .  ,  ,   ,-     ,  n- 

^  mfcrions  tcgere  ,  adcnque  dcfendere  pofiit  ,  quo  mi- 

inis  fanguis  e  rcgione  auricuiae    advcnicns ,    in    ori- 

ficium  hcc  defccndnt.     Finge  ,  quod    fieri    nunquam 

poteft  ,  valuulam  Evstachii  orificium  dextrum  cc- 

cludcre 


DE  FORAMINE  OVALT.  399 

cludere  pnHI;  ,  Tiluo  orificio  finiflro,  ad  quod  nulliis, 
nif»  pcr  ipfuin  illuJ  dcxtrum  oriricium  ex  auricula 
et  finu  dcxtro  aditus  patet ;  tamcn  nullo  modo  fan- 
guis  ex  linu  dextro  pcr  hoc  orificium  in  fmillriim 
\cnire  potcfl.  Necefle  euim  eft  ^  vt  efFugiat  per 
hoc  oriticium  faiiiJuis  ipfa  auriculae  et  finus  dextri 
vi  pullus;  ergo  tcmpore  ryftolis.  Sed  eodem  hoc 
temporc  etiam  finus  fiiiilkr  m  rvRoIe  efi  ,  et  lan- 
guine  ,  qucm  coinprimit  ,  quemquc  expelkre  cona- 
tur  ,  replctus.  Nihil  vltro  crgo  recipere  poteft. 
Omitto,  quod  codem  hoc  temporis  momento  valuula 
finus  finifiri  ,  ab  vrgente  fanguine  finus  finifiri  ad 
feptum  compulfa,  oriticiuin  finifirum  claudat  ,  et 
aeque  minus  quidqunm  intrare  ac  exire  finat.  Ncc 
quidquain  huc  facere  vides,  quod  dicunt,  finum  dex- 
trum  maiorem  efle  finiflroy  adeoque  vi  vincere. 
Quando  enim  proprio»  fua  fanguine  finifter  repletus 
eft ,  niliil'  vltro  recipere  poteft  r  fiire  maior  fiue  mi- 
nor  fuerit  dexter ,  qui  fanguinem  fuum  in  illuni 
intrudcre  conatur.  Omitto  hic  rurfum  ,  quod  vires 
Cnuum  non  ab  eorum  capncitate,  fed  a  robore  fibra- 
riim  pendeant ,  quibus  gaudent ,  et  quae  in  dextro 
non  vahdiorcs  ,  quam  in  finiftro  funt, 

^'  37.  Sed  id  velim,  hic  ante  omnfa  notesr  non  TranfTtumi 

ideo,  quod  nullum  foramen  communicatorium  detur  in-  fanguims 

ter   vtrumquc  fiiiumy  quodque   hoc  putatum  foramen  ^j^^^^yi^  J|" 

orificium  potius  fit  venaecauae,  intcr  venam  hanc  et  fi    ,um  im- 

num  finiftrum,  non  inter  finum  finiftrtim  et  dcxtrum  ^'"''bilera 

conccntum;  non  ideo  dico,  fieri  uon  poflTc,  vt  (iinguis  ex^'^°  ,f^" 

'  ,  monlha- 

dextro 


400  DE  FORAMINE  OVALI. 

tur;etiamfidextro  finu  in  finirtrum  vel  ex  finifiro  in  dextmm 
forameiiin  jj.^j^j^jjt  .  fe^j  hoc  omnino  impoflibile  efle ,  etiamli 
P'"  "P'tuium  feptiim  nonnifi  vnum  magniim  foramen  eflet. 
Nam  ,  vc  demonftrationem  gencralem  exhibeamus , 
vel  fyltoles  ,  vel  diaftoles  tempore  tranfitus  ianguinis 
ex  vno  in  alterum  finum  fieri  debebit.  At  neutrum 
horum  fieri  potcft.  Syftole  enim  vcerque  Cnuspro- 
prio  fuo  fimguine  plcnus  eft  ,  quem  ipfum  potius 
cxpeliere  conatur  et  expellit  in  patentes  ventriculoi 
cordis.  Kiliil  ergo  vltro  alter  ab  altero  lioc  qui- 
dem  tempore  recipere  poteft  ,  ctiamfi  aditus  effent  , 
quoscunque  ,  quotcunque  pofucris.  Diaftole  autem  , 
vcl  poft  iyftolen  finitam,  vterque  finus  fanguine  va- 
cuus  cft  ,  vel  tamen  non  totam  fuam  cauitatem  re- 
pletam  habet.  Recipit  ergo  potius  ,  quam  vt  cx- 
pelleret,  hoc  quidem  tempore,  finus  vterque ,  "vndc- 
cunque  adueucrit,  fanguincm  omnem  alienum.  Non 
potcft  ergo  eodem  hoc  tempore  fuum  ,  quem  non 
tangit ,  qucm  non  vrgct ,  expellere. 

Idctn  alils  §.   38.  Confidcra  porro  ,  quod,    quo    tcmpore 

argumcn-  finus  vtcrquc  languincm  fuum  exptllere  poflit  ,  fi- 
tis  adhuc  qujjem  locus  ,  Quorfum  pcUcret  ,  vacuus  exftaret  , 
magis  con-^      .  ,    „   I       r  r   • 

fcmatur.    f"niirum   temporc   (yltoles  fuiuum  ,    onficia     \entri- 

culorum  cordis  venoCa  ,  quac  toto  fipto  finuum  cir- 
cumferentia  ctrte  maiora  lunt  ,  late  patcant  ,  vcn- 
triculosque  cordis  offcrant  magnos  et  vacuos  ,  in 
quos  fanguis  illaberetur  ,  quando  nulla  vi  extcrna 
ageretur  ,  et  videfis  nn  ficn  poflit  ,  ncc  ne  ?  vt  flm- 
guis  ex  vtrouis  finu  non  in  late  patcntem  ,  qui  fibi 

rclpoD- 


DE  FORAMINE  OVALI.  401 

rcfpondet  ,  ct  viicuum  vcntriculum  cordis ,  fed  in 
ahcrum  finum  tranfeat  ,  qui  iple  fanguine  iam  ple- 
nus  cil  ,  ei  ip(e  hunc  fuum  (anguinem  potius  expel- 
lere  con.uur.  Hoc  ergo  ,  hoc  illud  e(t  taiidcm,  mi 
Ledor  ,  cjuod  non  poffum  non  reprehendere  paulu- 
lum  Anatomicos  et  Phyfiologos,  quod  non  viderint, 
quod  adeo  planum  et  adeo  inanifeilum  ell. 

§.   39«  Vnum  adhuc  eft  ,  quod  notari  velim  ^j^^"    "'^ 
quod    ideam     huius  rei    et    clariorem    et    vtiliorem  „'",  "'* 

'  partium 

efficiet  ,  caufam  nempe  ,  cur  fieri  non    poflit,    vt  cxmotus  fan- 
vno  in  alterugn  finum  (iinguis  tranfeat,  brcuibus  verbisguinis,  ita 
cxpreiTam.     Ea  ,    vt  facile  ex   demonftratione  §.   37.  ^/  '"°.'^" 
vides  ,     nulla  alia  e(t  ,    quam    fimultanea    vtriusque  ^l^^,^^,.^ 
finus    fyftole ,     fimukaneaque   rur(um    eiusdem    dia- partium 
ftole,  et  vno  verbo:  Synchronus  finuum  motus.  Hincq^'"'^]'^'' 
porro  fequitur:  Quaecunque  generatim    vafa  pulfan- ^°"'S' P°*^* 
tia   (  (c  contrahentia  alternatim  et   dilatantia  ,  qualia 
funt  ventriculi  cordis  ,    finus  vterque  cum  auriculis, 
\enae  cauac  et  pulmonales )    eodem  lempore  in  fy- 
ftole  et  rurfum  in  diaflole  (unt,  eorum  nullo  modo 
pofTe  vnum  quidquam  fanguinis  fui  expellere   in  al- 
terum.        Nam    femper    quoduis    eorum  ,    quamdiu 
in   fyflole  funt  ,  proprio  fuo  (anguine  plenum  ,  nihil 
cx  altcro  recipere  poterit,  quamdiu    in  diaflole  funt, 
locum    adhuc    vacuum    in    fe    habcbit ,    alienumque 
poruis  fanguinem  recipiet,  et  nihil  ergo   in  alterum 
cxpcllcre  poterit.     Quoduis  ergo    eorum    in    fyflole 
nihil  de  altero  recipere,  in  diafloJe  nihil  in  alterum 
expellere  poterir.      Si  v.  gr.  feptum  cordis  perfora- 
Tofn.  XX.Nou.Comm.  Eee  tum 


404  DE  FORAMINE  OVaLT. 

tiim  e^ineret ,  requidquam  ideo  nmguinis  ex  vndin 
nltcrum   ventriculum   tranfiret.     Et  /i  igitiir  per  ori' 

/niu'/i  venae  cauae  inferioris  ,  quod  foranicn  ouale  di- 
citnr  ,  fnnguis  in  finum  finijhum  i-enit  ^  ex  vena  caua 
inferiori  eum  venire  oportet  ^  quae  ,  dum  ille  in  fyllole 
eft  ,  diaftolcn  fubit  ,  et  fyftolcn  ,  dum  ille  in  dia- 
ftole  ert  ,  non  ex  viciiio  ahero  fynchrouo  Jinu  ;  et 
orificium  ad  'venam  ,  non  ad  feptum  finuum  ,    pertinere 

'  oportet ;  quemadmdum  pura  ,  nullis  viixta  ratioci- 
niis ,    anatomia    docuerat.. 

Reoitur  ad  §.  4.0.  Non  ergo  ex  dextro  in  riniflrum  ,    vt 

hiftoiiain   j-jQ(ji£.  omnium,  et  plerorumque  po(l  m.ignum  Har- 
motub  iaiv  ,  '.    .      ^  .     '  /-    wi         •      I 

guinis /eri.  VAEYM  (empcr  opinio  fuit  ;  non  ex  fmiltro  in  dex- 

trum  ,  quod.  CeleberrimO'  MeryO  fuo   placcb.Tt  tem- 

pore ;  non  denique  ex  vtroquc  in   vtrumque  finum  , 

^  quam  vencrabilis  WlNSLOWVS   propofuit  fententiam, 

ninguis  tranfire  poteft.     Et  plane  ergo  nullum   vfum 

pro  foetu    habere    poflet    foramen  ,    quod    in    fepto 

finuum  exiftcret.     Quod  ergo   foramen  ,  cum   neque 

fit  ,  neque  eo  ,  quo  dicunt  ,  modo  efle  poffit ,  mit-* 

tnmus ,  et  redeainus  ad    fimpliciorem  ,    quam    ana'* 

tomia  docuit  ,  viam  ,  legibusquc   naturae   magis  con-* 

fentaneam  ;  qua  fanguis ,  ex   vena  in    finus ,    ex    fi- 

nubus  in  ventriculos  cordis  rcda   progrcditur;  et  qua 

fola  tamcn  defideratus  pro  foetu  vfus  obtinctur  ,    vc 

fanguinis    aliqua    certa    portio    a    vcntriculo     cordis 

dcxtro  et  a   pulmonibus',  nondum    cxplicatis ,    auer- 

tatur ,  et  immediatc  ad    vcntriculum    finiftrum    re-* 

ducatur. 

§.  '41. 


DE  FOKAMINE  OVALTi  403 

§.  41.  Vidimus  ergo  {  §.  34..  ),  eius  fanguinis,Qyae  por. 
qui  per  vcnam  cauam  inferiorem  adducitur,  aliquam*^'.'*     1!^"'' 

'        .  .,,.,.  ^   ^  .     "'s  III  fuetu 

portioncm   ire  pcr  orificium  nuius  \enac  finiftrum   10^  corde 

iinum   lininrum,  aliam  autem    per  dcxtrum  orificium  de.xtro  et 

venire  in  dexcrum    finum.      llla     igitur    ea    portioP"''"^'"' 

faiit:uinis   eft  ,    quae    ventriculum    cordis     dtxtrum  ,  "^  ^"^^"* 

\niK}ue  cum   co  pulmoncs   nondum    cxplicatos    foctus 

euitat  ,  ct   il!i«i  intadis  ,    dum  ex  finu   funnro  redla 

in    \entricnhim     finil^rum     progrediiur   ,    ventriculo 

liuic  et  aortac  redJitur;  quo  denuo  per  totum  cor- 

pus  produci   polfit.       Haec    autem   (anguinis    portio , 

quae  per   orificium  dextrum    \enac    caunc    inferioris 

in  fuuim  dextrum  \cnit ,  ibi  colligitur  cum  eo  fan- 

guine  ,    qui  per  \enam   cauam  fuperiorem  ex  capite 

et  brachiis  aduenit.     De  hoc   nunc  fanguine  ,    femel 

in  finu  dextro  atque   in  eius  auricula    contcnto  ,    vt 

dixi  ,  ne   guttula   quidem  in  finum  finifirum    venit  , 

fed   omnis  redla  in  ventricuhim  dcxtrum  cordis  tran- 

fit  ,  Mucc  porro    pcr    artcriam    pulmonalem    partim 

aortae  ,  partim  pulmonibus  traditur. 

§.      4:,      Cum     iam     (   §.    §.    13.    18.     19-    20.  )  Haec  por- 
vidimus  ,  qua   ratione  orificia  \enae  cauae  infcrioris,  V"  ^  *^"'^ 

,  r      n  ••  •  .     r  ■  '^"tto    et 

dextrum  et  uniUrnm  ,    \arus  \itae  pcriodis    \ariani  ^„1^0111-    ' 

intcr   (e   proportiontm    obtineant ;    \t     in    en  bryoni.  bus  abdu-' 

trimeftri  haec    \ena    toto  luo  lumine    (e  tffur.dat  in  "^^  ^  P"- 

finum   firifirum  ,  et    minori  ,    eoque     latcrah     cfiioT''^  '""^ 
'  '  '  ttmpon- 

tantum  ,  aptriatur   in    finum  dixtrum  ;  \t    ab    hcc  bus  immi- 
dcinde  tempore   \ahiula  ,  crificio    finifiro  dum  inna- inii  incipit, 

fcitur  ,  hoc  crificium  paulatim  anguftet ,  eoque  dex   ^'   '^"'^*' . 

*  T-  'T"o  immi' 

•'  Eee  a  trum  ^^itu^^ 


40i.  DE  FORAMINE  OVALT. 

trum  aperlat  magis  et  diUuct ;   vt  in  fbctu    maturo 
tamen  oiificium    dcxrruin    nonnifi    tertiam    tantum 
circiter  partem  totius    luminis    vcnae    cauae    ablor- 
bcat ,  duas  autem  tertias  fcre  partes  adliucdum    fmi- 
ftro  orificio  cedat  j  vt  in  infante  nato  demum  citiug 
orificium  dcxtrum  cum  dtcremcnto  finilki  incrcTcat, 
et  in  adulto  ,  daufo  pcnitus    orificio    finiflro ,    tota 
denique  vena    caua     inferior    in    orificum    dextrum 
abeat  i  cum  haec  inquam  fieri  \idimusj  patet ,  por- 
tionem  ,  quae  de   fanguine  ,   per  -venam   cauam     in- 
feriorem  addudo,  in  finum  finiftrum,  indcquc  por- 
ro  in  ventriculum  cordis  finilUum  abfcedit,  ct  cam, 
quae  per  dextrnm  finum   in  dextrum  cordis  vcntri- 
culum   vcnit ,    ita    fub  \ariis  \itae  periodis  inter  fc 
Tariare  ,  vt    in     foetu    trinieflri    modo    non    omnis 
Ttnae  cauae  inferioris  finguis  in  finifiras  cordis  par- 
tes  ,  et  paucae  forte  tanium   guttulae    per    oftolum 
laterale  dextrum  vna  cum  fanguine  capitis  et  brachio- 
rum  ,  per  venam    cauam    fuperiorem    addi^do  ,    ia 
dextras  tranfire  videantur  i  vt  deinde,  imminuta  con- 
tinuo  pauhuim  portione  pro   finidris  deflinata,  conti- 
nuo  augeatur  ,  quae  pro  dcxtris  cum  fanguine  vcnae 
cauae   (uperioris  coniungitur  ^  doncc  in   foetu   maturo 
tandcm  tcnia  circitcr  pars  (ancjuinis  \enae  cauae  in- 
ferioris  cum   fangninc   (upcrioris  ad  dextra  abeat ,    et 
duae  teniac  pro  finif^ris  naieant;  et   in  infante  aU- 
quot  annorum  ,  vt  in  adulto,   dcnique  omnis  vcnae 
cau.ic    infcrioris  fanguis  ,    coniundus    cum    fanguinc 
venae  cauae  (uperioris,  lolis  dcxtrii,  finui  et  vcntri- 
culo  ,  tradatur. 

$.  43. 


DE  FORAMINE  OVALL  405 

§.  43.  Vtl  vcro  de  eo  fanguinc  ,  qiii  in  ven- Duc^im  ar- 
triculuin  dcxrrum  venit,  iterum  portio  pcr  dudnm  *°'^'"'.'  "^. 
arteriolum  IJOTALLI  abltrahitur,  et  quod  hinc  lu- ,ii,tio,icn, 
percft  ,  pulnonibus  denique  traditur  ^  vti  ,  quaiitum  effLctus. 
ex  compjratioiic  embryoiiis  niei  ,  quem  iii  icones 
tranfpofui  ,  cum  corde  infantis ,  paulo  poft  partum 
mortui  ,  vidco  ,  dudus  ille  artcriolus  non  moJo  non 
augctur ,  ncc  eandem  proportionem  cum  reliquis 
partibus  cordis  coiifcruat  ,  fed  manifefto  potius  pro- 
portione  caeterarum  partium  fucceflu  temporis  lu- 
mine  imminuitur;  patet  ,  liunc  dttdtum  arteriofum 
adeo  cum  orificiis  venae  cauae  inferioris  confpirare  , 
vt ,  quem  effcdum  haec  primo  pro  ventriculo  dex- 
tro  ,  deinde  et  pro  pulmonibus  producunt  ,  augendo 
continuo  fanguinem  ,  has  partes  tranfiturum  ,  eum 
du(ftus  adhuc  continuo ,  fed  pro  folis  pulmonibus , 
augcat.  In  embryone  trimeftri  folus  fere  venae  ca- 
vao  (upcrioris  finguis  in  ventriculum  dextrum  ve- 
niti  vix  quidquam  ex  vena  caua  infenori  Atquo 
de  hoc  ventriculi  fanguine  phirima  pars  abfcedit  pec 
du(fluin  arteriolum  in  aortain,  et  minima  in  puhno- 
nes  peruenit.  Deinde ,  vt  continuo  plus  (iinguinis 
ex  vena  caua  inferiori  fanguini  (uperioris  additur, 
atqne  quantitas  ergo  fan^uinis  pro  vcntrtculo  dextro 
continuo  augetur  ^  ita  de  hac  quantitatc  ,  continuo 
au(5ta  ,  continuo  m  nor  portio  per  du(flum  abdrahi- 
tur,  et  maior  puhiio  iibus  traditur  Et  dum  fimpU- 
citer  augetur  fjn-;uis  pro  finu  et  vcntriculo  dcxtro  , 
dUf  lici  ratioi.e  augctur  ille  ,  qui  pro  pulmoiiibus 
coufcruatur  j  doncc   tandem  ,    dum  >    claulo    orificio 

£  e  c  3  veuae 


4o6  r)E  FORAMINE  OVAU. 

venac  cauae  inferioris  fininro ,  omnis  plane  huius 
venae  fanguis  cum  fanguinae  fupcrioris  cuniundus 
finui  et  ventriculo  dextro  datur  ;  obturato  fimul 
penitus  dudu  arteriofo,  integra  quoquc  haec  ningiii- 
nis  quantitas  pulmonibus  traditur.  Qni  niinimi  ia 
illo  embryone  non  modo  fed  folidi  quoque  et  mi- 
nori  vaforum  copia  praediti  cum  Cnt  j  dtindc  et 
increfcunt  magnitudine  fimul  ct  rariorcs  fiunt,  dum 
copia  \aforum  in  iis  augetur.  Sic  pulmones  noa 
modo  in  foetu  iam  paulatim  explicantur  ,  et  ad 
futuram  rerpirationcm  pracparantur  ,  (ed  ventriculus 
quoque  et  finus  dcxter  fimul  dilatantur  et  apti  red- 
duntur  ,  quo  omnem  ,  a  toto  corpore  rcdeuntem, 
fanguinem  caperc  et  per  rarillimos  tunc  pulmones 
refpirationis  ope  transmittere  poflint.  Ex  compara» 
tione  caeterum  ,  quam  dixi  ,  cmbryonis  cum  intante 
vix  nato  ,  de  dudu  arteriofo  talia  vidi.  Qui  dudus 
in  foetu  maturo  ,  vel  infante  nato  ,  dimidio  minor 
_  effe  folet  lumine  quam   truncus    arteriae  pulmonalis, 

et  trium  vel  quatuor  linearum  longus  ,  is  breuifli- 
mus  in  embryone,  fed  vix  minor  lumine,  quam  ipfe 
diilus  truncus  pulmonalis ;  vt  dicas  potius ,  trun- 
cum  hunc  ipfum  ,  dato  cxiguo  vtrinquc  ramulo  ad 
pulmones  ,  in  aortam  abire. 

Aliiis  du-  §.  44..  Praeter  cum,  qucm  dixi,  ctiam  alium 

aus  ate-  pcculiarcm  v(um  cfTe  dudus  artcriofi  exitUmo  ,  quo 

^  fcilicet  cum  orificio    finidro    vtnac    cauae    infcrioris 

et  ca  ratione  collineat,  vt ,  fi  quid  in  ahcrutro  co- 

rum  acciderit   praeicr    naturam ,    quoniinus    (anguis 

in 


DE  FORAiMINE  OVALr.  407 

in  fiifricicnte  qiuntitate  transmitti  polTit ;  id  repen* 
fetiir  ab  alccro.  Qiiiim  cnim  foctiis  adutum  mo- 
rirctur  ,  quamprimum  pcculiaris  haec  via  intercipc- 
retur  ,  qua  fanguis  ,  intaclis  pulmonibus  ad  aortam 
reducitur,*  cautum  cft  ,  ne  id  fiat  ,  duplici  \ia  in- 
llituta  ,  quarum  fi  altera  inutilis  quocunque  modo 
ficrct ,  altera   tamen   traducendo  faiiguini  fufHceret. 

§.   45.  Haec  funt ,    quae  obfcruatieram.     Pau- 
cifTmiis    tamen    nunc     refpiciamus    ad    primas     illas 
meas  de  foramine  ouaii  cogitationes ,  quas  ad  fecun- 
dum  Iniius  diffcrtationis  paragr.  fcripfi  :    reperiri    fi- 
mile  fimpkx  foramen,  quo  duo  vafa  fanguinea  inter 
fe  communicarent,  nusquam   in  toto  corpore  huma- 
no  vel  animali  ,•    et  efTc  igitur  illud  vnicum  in  fuo 
generc  ,     cuiusmoJi    vnicis    tamen    In    fuo    genere 
natura    vti    non    folear ;,;    fanguinem    vero    ambulare 
per    ambagcs  ,    dum    ex    dextro'    finu    in:    finiftrum' 
tranfeat.        Neutrum     fane    horum    de    orificio'  fini' 
Jiro  venae  cauae  iuferioris  ,    quale    in    corpore  foetus 
exiflit  ,  dici   poieft.      Sinifirum    hqc    orificium  ,    vti 
dextrum  ,    venae    cauae  inferioris  orificium  eft  ,    vti 
innumera    arteriarum    cr    venarum    orificia    dantur. 
Et  fanguis  redla  ex  vena  in  finum  ,    ex;    finu    vero 
in  ventriculum  cordis  tranfit.      Hoc   contra  genera- 
lem  venarum  legem  efl: ,  quod  more   itrteriarum    ia 
duo  orificia,  vel  ,  vt  in  vitulo ,   in  duos  ramos  di- 
vidatur  ,  qnae  fimplex  iam  erat,  vena  caua  inferior. 
Sed  excmpla  tnmcn  dantur  fimilis  vcnarum  diuifio-' 
nis  j  ct  vidcmus ,    nc  dicam  de  copiofiffimis  fubcu- 

tanea- 


4oS  DE  FORAMINE  OVALI. 

taocarum  diuaricationibus ,  in  foetu  venam  vmbili- 
calem  ,  in  adulto  venam  portarum  ,  in  plurimos  in- 
tra  hepar  ramos  diuifas  efle.  Hoc  autem  de  mira* 
bili  foramitie  oiiali  praedicari  non  poteft.  • 


EXPLICATIO  TABVLARVM. 

Tab.  VII. 
Cor  infantis  paulo  poft  partum  mortui. 

Fig.   I. 

Sinus  dcxter ,  vna  cum  ventriculo  dcxtro  »- 
pcrtus  ,  incifione  ab  apicc  ventrlculi  prope  fcptum 
furrum  duda  ,  et  per  orificium  venofiim  ventriculi  , 
interque  aortam  et  auriculam  pcr  finum  ,  vsque  in 
vcnam  cauam  fiiperiorem  continuata.  Simul  artcria 
pulmonalis  cum  dudu  artcriofo  longitudinaliter  in- 
cifa  et  aperta  eft. 

J.  Vcntriculi   finiflri ,   integri  ,  pars. 

B.  C.   D.   Ventriculus  dtxter,  vel  anterior,  apertus. 

B.  C.  Pars  parietis  anterioris  ventriculi  dcxrri  , 
a  qua  rclcdlus  reliquus  parics  (  C.  D.  )  fini- 
ftrorfum   reflcxa. 

C.  Apex  ventriculi  dcxtri. 

C.  jD.  Parics  anterior  ventriculi  dcxtri  ,  rcfcdus 
a  parte  {  B.  C.  )  eiquc  ergo  rcfpondens. 

D.  E.  Pars  parietis  ,  quac  refpondet  bafi  arteriae 
pulmonalis  (^L.L.)i  ab  caquc  rclcd.i  cft. 

E.F.G.H  K. 


DE  FORAMINE  OVALI.  409 

E.  F.  G.  H.  K.  Sinus  dcxtcr  apertus. 

E.  F.  P.irs  parictis  anterioris  liiius  dcxtri ,  refeda 

a   partc  (  H.  K.) 

F.  G.   Pars  quae  relpondet  parti  (G.  H.) 
G    Finis  fedionis  in   vcna  caua  luperiori. 

G.  H.  Farietis  anterioris  pars    fuperior  ,    finiftror- 

fum  reOexa  ,  rcfpondens  ipfi    {  G.  F.  ) 
H.K.   Paries  anterior  (inus,  finillrorlum  reflcxus  , 

cui   refpondct   (  E.  F.  ) 
/.  Apex  corJis. 
L.  L.  Bafis  arteriae  pulmonalis  pars  anterior,  qun 

parieti  vcntriculi  inlidct ,   refcda  ab    hoc    pa- 

riete  (  D.  £.  ) 
A-1.    Seclio    craflae    columnae    carneae    refpouden* 

loco  (  E. ) 
N.  Columna  carnea  ,  qnae  in   M    feda. 
O.  O.  0  O.  Scptum  cordis  ,    falciculis  carneis  ,  ob- 

fcurius  d,(t.n(5lis,  facta. 
P.   Vcntriculi  apex,fibris  irregularibus,  haud   pul- 

chre  rciiculatis  et   intertextis,  repletus. 
Q.  Papilla  ,  qnam    dico  antcriorein.      Condans  efl: , 

et   oritur  duabus  vel    tribus   radicibus    ex    an- 

gulo  inter  parictcm   ventriculi  et    feptum    an- 

tcriori  ,  ad  l  )cum  (  R.  ),    inferiturquc    fnis  fi- 

lamcntis   in   intcrditium    inter    valuulam    ante- 

riorcin  (  d. )  ct  poiteriorcm  [c  ) 
R.   Lociis  ,  vbi   papilla  anterior  ( .Q,  )  rcfcvf^a. 
6".  T.   Uu.ie   papillae  ,  quas  foftcriores  dico,  fi  duac 

funt.     Saepe  vna  (  iS".  )  tantiim    cll.       Oriun- 
TLin.XX.Nou.Comm.  htf  tur 


410  DE  FORAMINE  OVALI. 

tur  ex  angiilo  inter  parietem  ventrlcnli  ct 
(cptum  poneriori,  ct  inCcruntiir  filamcntis  fuis 
iii  interftitium  intcr  valuulam  poftcriorem  (^. ) 
ec  (epti   valuulain  (  m.  ) 

V.  Duae  ratiices  papillae  ( i^  ),  rcfcdje  aloco(/?.) 

W.  FibriUa  carnca  ,  qua  papilla  {S.)  cum  co- 
lumna  parictis  (  b.  )  coniungitur. 

X.  Fibra ,  qua  papilla  {S.)  et  ( T.  )  coniun- 
guntur.  (  T.  )  fepto    adhaeret. 

T.  Kadices  ,    quibus  papill.i   [S.)  fepto  aJneditur. 

Z.  Radix  ,  qua  eadcm  parieti  adhaeret. 

a,  Pjpillula  parua  ,  quam  fitperiomn  dico  ,  quae 
nonnunquam  tamcn  minima  aiit  mcrum  fila- 
mentum  eft.  Oritur  ex  fupcriori  partc  fcpti, 
cui  infidet  ;  inferitur  filamentis  (uis  in  inter- 
ftitium  inter  valuulam  iepti  (/.  )  ct  anterio' 
rem  ( </.  ) 

k.  Columna  carnea,  parti  poneriori  vcntriculi  ad- 
baerens. 
/y  c.  f.  Parics   ventricuH  ,  fafciculis  Icuiter  diftinflis, 

cohaercntibus  inter  fe  ,  ornatu?. 

d.e.f.  Valuula  annularis  ,  diflccla,  cxtenfa- 

d.  1'ars  huius  valuulac  ,  feu  valuula  ,  quam  vo- 
cando  autehorem  vei  fuperlo)em  C2;rcgic  defini- 
vit  Perillvstris  L.  B.  de  Haller. 

r.  Valuula  ElVSDEM  pojlerlor. 

/.  Ea  ,  quam  Idem  Vir  PeRILLVSTRIS  fepti 
valuulatn  irerito  appcllat. 

g.  h.  i. 


DE  FORAMINfi  OVALI.  4,1 

g.  h.  i.  Orificiiim  vcntriciili  vcnorum  ,  difTcdiim  ' 
cxtenlliin  ,  continuata  valuuhie  lamina  intc- 
riori   inucfl  tum. 

g.  Piirs  orificii  i.icior  ,  tuhcrculum  efficiens  ,  ex 
quo  fibrac  ramificatae  oriuntur  ,  per  totam 
auriculam  diCpcrfae. 

h.  Et   Iiacc  pars  orificii  latior,  vnde  fafi.iculus    fl- 

.  r    braruin   ( t.  )  oricur. 

I.   Pars  orificii   finiilra  et  antcrior. 

k.  Filamcnta  pnpillae  anterioris  ,  in  intcrfiitium 
intcr  valuulam  antcriorem  {  d.  )  et  polleriO' 
rem  (e.  )  ,  quod  annuli  pars  dcxtra  t(l ,  ia- 
ferta. 

/.  Filamenta  papillne  poflerioris  ( ^S".  )  in  intcrfti- 
tium  intcr  vaUuilam  (  e.  ct /.  )  fcu  partem 
annuli  polleriorem   inferta, 

;;;.  Filam.enta  papillae  polkrioris  (  T.  )  in  eandem 

infcrta. 
n.  Filamcntum  fimplex  ,    ex    acquali    fhcie    fcpti 

ortum,  cuiusmodi   plura  imprimis    in  intcrfti- 

tiutn  inter  valuulam    fepti    (/.  )    ct    anterio- 

rem    (  d.  )  inferuntur. 
0.  Filamenta  ex  papillula  fupcriori  (a.)  iii    modo 

di<flam    annuli   partem  finiftram. 
p.  Vena  caua  fupcrior. 
q    Auricula  dextra  reflcxa. 
r.  Cauitas  bafis  auriculae  ,  fibris  mufculofis  rami- 

ficatis   repleia. 

F  f  f  2  s. 


4,a  DE  FORAMINE  OVALI. 

/.  Truncus ,  ex  quo  plurimae  harum  fibrarum 
oriuntur  ,  ortus  ex  parietc  orificii   venofi  [g.) 

t.  Notabilis  fafciculus  fibrarum  iiuilcularium,  quo 
cauitas  bafis  auriculac  a  partc  fmus  finidra 
di(linguitur,ortus  cx  paricte  orificii  venofi  (^.) 

u.  Arcus ,  quo  eadem  cauitas  fuperius  terminatur. 
In  eum  continuat  fafciculus  ( t. ) 

w.  Falciculus  fibrarum  mufcularium  tenuiorum  , 
quae  partira  ex  pariete  orificii  venofi,  partim 
ex  lim.bo  orificii  vcnae  coronariae  ( ;3.  )  oriuii- 
tur  ,    et  in  eundcm   arcum  (  u.  )  inferuntur. 

X.   Sinus  pars  fuperior  laeuis.      Paries  porterior. 

j.   Parics   finus  antcnor  ,  fimiliter  laeuis   intus. 

Z.  In  hoc  loco  papillula  leu  tubcrculum  carneuni 
alins  efle  folct  ,  cx  quo  tum  fibrac  (li;  )  tum 
limbi  carnei  orificii  venae  coronariae  oriuntur. 

I.  ft.  3    4.  5-  Orificium   venae  coronariae. 

1.  Limbus  huius  orificii  alter  ,  qui  fitu  pofterior 
efi  ,  crafiii  fibra  carnea  fi(flus. 

2.  Eiusdcm  limbus  carneus  anterior. 

3.  Valuu!a  orificii  venae  coronariae.  Tenerrima 
ct  vix  vifibih's  in  hoc  quidem  infante   erat. 

4.  Cauitas  orificii  ipfi. 

5.  Limbi  pnrs  ,  qunc  communis  ef!  orificio  venae 
coronariae  et  dextro  vcnnc  cauac  infcrioris 
orificio.  Ex  hoc  limbo  vnhinla  EvSTACHII 
extrcmitate  fua  antcriori  oritur,  qunc  peculari 
littcra  ob  defcdlum  loci  indicnri  non  potuit. 
In  omnibus  ,    quas  vidi ,    icombus ,  hic  pecu- 

liarii 


DE  FORAMINE  OVALT.  413 

liaris  valuiiLic  EvsTACHn  ortus ,  et  limbus, 
cx  qiij  oritiir  ,  iplc  ,  ct  plurimn  alia  in  his 
rc^ionibus  oniiino    neglcdli   lunt. 

6.  6.   SpJtium   hic  aliquod   fibris  mufcularibus  va- 

cuuin. 
5.7.  8.  p.    ValuuLi  EvSTACHIl. 
5.   Eius  extremitas  anterior  ,    qui    ex  di(flo  com- 

muni   limbo  ,    fcu  ,  quod  idem  fere  ,  ex  arcus 

crurc  antcriori  oritur.       Limbus  enim  in  crus 

continuat. 

7.  B.ifis  valuulae,  feu  margo  conuexus  et  craflior, 
quo  fupremo  paricti  dextro  vcnae  cauac  infe- 
rioris  ili.i   infidet. 

8.  Margo  acutus  ,  qui  pulchre  reticulatus  in  hoc 
inf.inte  erar.  Filamenta  ,  quomoJo  connedati- 
tur  intcr  (c  ,   ficile  apparcnt. 

9.  Exiremitas  pofterior,  fatis  craflTa  hic  et  "fortis, 
qua  ipfi  iuperiori  parti   arcus  valuula  adhaeret. 

8.  10  II.  12,  13.  14.  15.  Orificium  venae  cauae 
inferioris  dcxtrum  ,  quod  ,  nifi  venam  cauam 
fupcriorem  ,  orificium  ventriculi  et  venae  co- 
ronariae  putes  ,  vnicum  orificium  elt  ,  quod 
in   fioum   dcxtrum   p.itet.  §.  4,    ii. 

8.  Ora  inferior  huius  orificii  ,  quae  a  margine 
acuto  valuulae  EvSTACHII  formatur. 

10.  Ora  eius  fuperior  et  ipfc  arcus  ,  quem  ifth- 
mum    VlEVSSENII    dicunt. 

11.  Huius  arcus  crus  dextrum  fiuc  pofierius,  cuius 
aliqua  pars  valuula    EvSTACHII    tegitur. 

F  f  t  3  12, 


414  Df'^    FORAMINE  OVAU. 

12.  Eiiisdcm  crus  fiaiftrum  vel  nnterius  ,  ex  quo 
limbi  ea  pnrs  oriiur  (  5.),  quae  oriticiis  vcnac 
cauae  inf;rioris  et  coronariae  communis  clL 
Crus  ipfum  (12.)  paritcr  ac  polUrius  (11.) 
in  interna  venac  cauae  lupcrlkie  delccndunt. 
Confer.  fig.  4. 

13.  Cauitas  venae  cauac  infcrioris  ,  in  qunm  fi 
mittis  flylum  ,  illc  cxibit  cx  vcna  caua  ia- 
feriori ,  qua  partc  ab  hepate  rcfccla  clt. 

14.  Hic  ergo  parics  poflerior  et  finiflerior  el\  venae 
cauae  infcrioris.  Efficitur  autcm  iiaec  fuprc- 
ma  huius  parictis  pars  a  valuulu  ,  c)ua/n  finns 
finidri  valuul.iin  dico  ,  ct  quac  vulgo  valuula 
fbraminis  ouahs  audir.  In  hac  valuula  rugas 
obHquas  vidcs  ,  quae  a  dihitatione  orificii , 
quod  illa  cfficit  (  15.  ),  quo  aliqua  huius  ori- 
iicii   pars  app.ireat  ,    produdiae  funr. 

15.  Orificii  ,  quod  ergo  in  parictc  finidro  vcnae 
cauae  infcrioris  cxinit,quod  cx  cauitatc  vcnae 
cauac  inferioris  in  finum  finillrum  ducit  ,  et 
quod  ob  iianc  caufun  ori/icium  finijlriim  n:eiine 
cauae  iuferioris  dixi  ,  aliqua  pars ;  fcu  aliqua 
pars  foraminis  ouahs;  §.12. 

1(5.  Supcrficics  intcrna  artcriae  pulmonalis  aper- 
tae.  17.  Supcrficies  intcrna  dudus  artcriofi 
BOTALLI  ,  cadem  (ccftione  continuata  apcrti. 
j  8.  18.  Artcriac  difTiifiac  ir.argines.  19.  20. 
21.  \ahiohie  fcmilunarc:^.  22.  Orincium  ar- 
teiiae    puhnonahs    dextrae.         23.    Orifuium 

fnnltra^. 


DE  FORAMINE  OVALI.  415 

fiiiinrac.  24..  Orificium  ,  qiio  dudus  arterio- 
(iis  in  Aoriain  hi;U.  25.  Pars  aortae.  25. 
Veni  pulmon;ilis  finilUa  fuperior.  27.  Info- 
rior.     2  5.  Dcxtra  fuperior.     29.  Inferior. 

Fig.  2. 

Sinus  finiftcr  ,  vna  cum  ventriculo  finirtro 
apertus ,  incifione  in  partc  fmiftra  propre  feptum 
fa>fla  ,  furfumquc  du(fla  inter  arteriam  pulmonalem 
et  auricnl.un  finiltram  et  per  orificium  veno!um 
ventriculi  in  funim  fuiiflrum  vsque.  Sinus  iple 
transuerfaliter  fimul  incifus  eft.  Quibus  fadlis ,  pa- 
ries  poflerior  ventriculi  ,  vna  cum  auricula  finiltra 
et  tfpariete  pofleriori  fuuis  dextrorfum  reflccflitur. 
Haec  fc(ftio  conuenit ,  vbi  figuram  et  ftrucluram 
valuulae  finus  finifiri  examinare  volueris.  Ad  totum 
finum  obfcruaiidum  altera  praeferenda  efl  ,  qua  in 
integro  corde  pnries  finus  poflerior  vna  cum  venis 
pulmonalibus  refecatur.  Obferuatio  fafla  corde  in 
aqua   fubmerfo, 

A.  B.  Pars  parietis  finifiri  et  ponerloris  ventriculi, 

a  qua  reliquus  paries  (  B.  C, )   refcdus. 

B.  Apex  ventriculi  incifus  ipfe. 

C.  B.  L.   Paries    vcntriculi  ,    qui    nempe    porterior 

et  finifter  efi  ,  refccflus  a  parte  {  A-  B.  )  et 
reflexus  dcxtrorfum. 

D.  Septum  ,  quod  craflum  durum    conuexum   efl:. 

E.  et  F.  Papillac,quas  dico  anteriorcs  fiuc  fmiftra^. 

Conuexae  funt  inter  fe  et  triplices  quoquc  non- 

nun- 


4i5  DE  FORAMINE  OVALT. 

nunqiiam  inucniuntur.  Inhaerent  nutcm  hitcri 
Hnillro  pnrictis  ,  prype  angnium,  qucm  paries 
cum  (epto  inclndit  ,  antcriorcm;  oriiintnr  lon- 
gis  radicibns ,  inferiori  rcticulatae  parti  p.uie- 
tis  intertextis ,  [G.H.l.)  et  inkruntur  fila- 
mentis  ( f.  g.  Z.  )  in  interliitium  finilirum 
valuuliie  anterioris  (  X.  )  ct  pofterions  (  T.  ) 
ct  in  partcs  finiflras  anibarum  valiiularum 
ipfiis. 

G,  K. /.  Radices  harnm  papillarnm ,  fcu  fibrac 
quae  cum  fibris  fcpti  (  R.  R.  R.  )  et  cnm  fi- 
bris  papiliarum  (  M.  N.  )  tcxtum  reticubrcin 
(  r  )  clhciunt, 

/i.  Aliac  tenniores  fibrae,  quibus  p.ipillac  (E.  F.) 
cum  pdpillis  [M.N.)  conncdluntur. 

L.   Parics  hic  vacuus. 

M.  et  N.  Papiliae  ,  quas  dico  pojleriorei  fiue  dex- 
tras,  Coniiexae  (init,  (Id  ctiam  (eparjta?  vic!i. 
Ori>intur  ex  tcxtu  reticulari  (  V. )  prope  an- 
gnluir,  qucm  parics  cuni  (Lpto  iiiclndir,  dcx- 
trum  (lu  pnfieriorcm  ;  ct  infcrnnttir  fiian  en- 
tis  (uii  {a.  ct  e.)  in  intcrliitinm  dcxtrum 
intir  vahinl.im  anteriortm  (  A'.  )  ct  pollcrio- 
rem  ( '/' )  ct  in  p.irtes  dcxtras  harum  val- 
vularuiii    iplas. 

O.  P  Q^  P.ipillic  ,  qua?  dico  medias  fubhnier  Sunt 
tcrc  in  vnam  commixtac.  Oriuntnr  cx  n^ie- 
dio  pirictc  ,  paulo  intcrins  ,  et  inicruntnr  fi- 
lam.cntis   (  ^.  ct  </  )  in    intcrftitium    utxtium 

ct 


DE  FORAMINE  OVAUI.  u^^ 

et  partos  dextras  valuulariim.  Ab  hi$(O.P.  O) 
aliae  teguntur  ,  quoruin  filameiua  (  c.  )  in  iii- 
tcrflitium  dcxtrum  inferuntur.  Has  dico  tufi- 
(iia!  profnndas.  ,11  iu:-    : 

Atquc  fic  puto  papillas  vtriusque  vcntriculi, 
quae,  quantum  fcio  ,  nondum  definitac  funt  , 
difiniri  pofle. 

R.  R.  R.    Fibrac  ex  fcpto  in  texturn  rcticularcm 

decurrcntcs.  ^    * .,    ',"  -^ 

S.  T.  Fibrae  ex  papillis  dcxtris  in  eundem  tcx- 
tum  dccurrentes.  .   , 

K  Textus  reticularis ,  dido  modo  ex  fibris  fepti 
et  papillarum  formatus,  apiccm  ventriculi  rc- 
plens,  pulchrior  ct  regularior  longe,quam  illc 
in  vcntriculo  dextro. 

X.  T.  Valuula  annulnris.     X.    Pirs  anterior.      f. 

Poflcrior. 
Z.  Filamcnta  a  papilla  finiflra  (  jB.  )  refcda. 

a.  Fiiamcnta  pjpillac    M. 

b.  Filamenta   papillae  mediae  fubliniis  P.  ■, 

c.  Filamcnta  pnpillae  mcdiae   profundae. 

d.  Filamenta  papillae  mediae  fublimis  ^. 

e.  Filamcnta   papillac  dcxtrae  N. 

f.  Filamenta  papillae  finiflrae  F. 

g.  Filamenta  papillae  finiflrae  K 

h.  Auricula  finiflra  ,    vna  cum    finus  pariete  po- 

fleriori  dextrorfum  reflexa. 
7.  Eius  Apcrtura. 

k.  Vcna   pulmonalis  finiflra    inferior. 
Tom.XX.  Nou.Comm.  Ggg  t 


418  DE  FORAMINE  OVALI. 

/.  Vena  pulmonalis  finiftra  fuperior  ,  aperta  vna 
cum  finus  paricte ,  vi  prior  dextrorlum  re- 
flexa. 

m.  Vcna  pulmonalis  dextra  fiipeiior   aperta. 

fi.  Orificium  venae  pulmonalis  dcxtrae  inferioris. 

'  o.p.  q.  r.  s.  t.  V.  IV.  X.  y.  Valuula  finus  finidri,  quae 
vnlgo  foraminis  oualis  vocatur.  Pinxi  ad  ob- 
ic(flum  in  aqua  fubmcrfum ,  \bi  valuula  libere 
fliiitabat,  quae  tnmen,  pollquam  a  motu  con* 
quicuerat ,  femper  in  eundem  liunc  fitum  in 
eandemque  Iianc  figuram  rediit ,  qua  bullam 
hanc  refert» 

0,p.  q.  r.  Bafis  valuulae  ,  qua  parte  imprimis  fu- 
premae  orae  venae  cauae  inferioris  infidet;  et 
haec  ora  fiiprcma  venae  cauae  ipfa  ,  quae , 
*  quamuis  non  nuda  ,  fed  tecfta  tenui  valuniae 
membrana  ,  quae  ei  infidet ,  tamen  ob  pellu- 
.f:"ciditatem  menibranulae  diftinde  et  egregie  appa- 
ret,  excepta  parte  inter  (  r.  et  ^.  ),  vbi  bulla, 
quam  valuula  natans  producit  ,  haec  ora  te- 
?itur.  Tota  ora  in  figura  3.  apparet.  Keli- 
qua  pars  bafis,  qua  arcui  valuula  iufidet,  ipfa 
valuula  tcgitur. 

0.  Orac  pars  finifira  ,  feu  quac  ad  parietem  venae 
finifirum  pertinet. 

0  p.  q.  Orac  pars  pofierior. 

j.  r.  Hac  parte  lumen  finifirum  vcnae  ,  inacqua- 
liter  arcu  diuifac,  dextro  lumine  niaius  clt. 

.  p.  q. 


DE  FOKAMINE  OVALT.  4.1J, 

p.  q.  Particula  cauitatis  venae  cauae  infcrjoris  , 
fimplici  tenfa  mcmbranula  ,  qua  tranfparet , 
tcda.  Reliquae  finilleriores  valuulne  partes , 
\ti  et  faccus  (  /.  )  in  bullam  elcuatae  ,  adco- 
(]ue  remotiorcs  funt  a  partibus  fubiedis  , 
cfficiuntque,  vt  hae  in  his  locis  non  iranfpa- 
rcant. 

q.r.s.  Saccus  caecus  ,  qucm  vnhiula  iii  hoc  loco 
producit  ,  totus  hber  ct  mobihs  ,  vti  apparet 
ex  figura  3.  vbi  vahuila  dcorfum  trada  eft. 

r.  In  hoc  loco  tubus  valuulne  inflexus  eft ,  iet 
vidctur  ,  quafi  totus  tubus  in  hac  a  bafi  di- 
ftaniia  condridus  efflt  ,  adeo  vt  pars  anterior 
{t.v.)  amplior  parte  hac  media  et  vcrftis 
bafin  fimul  reclinata  fit.  Orificium  ipfum  ta- 
men   iterum   magis  conrtridum  eft. 

X.  Fundus  ficci  ad  (  q.  r.  s.  )  didi. 

;.  V.  IV.  x.j.  Pars  vnlunlac,  feu  tubi,  anterior,  media 
parte  amplior  ,  rtlinata.  Tota  haec  figura 
vnluulie  ab  irrumpcnte  fanguine  ,  quomodo 
producatur  ,  facile  explicari  potert. 

f.  Pars  tubi  dexter:or  fuperior. 

V.  Pars  infcrior  et    fiiiiderior. 

IV  Superficies  tubi  interna  ,  qua  parte  hic  liber 
et  mobilis  e(l;.  Apparct,  non  corniculo  acuto 
led  lata  membranula  ,  libcram  vnhiulae  par- 
tem  ,  et  mar^ine  ergo  terminari  i  gtneratim 
nihil  minus  quam    lcmilunarcm  cfle. 

G  g  g  2  X» 


4^0  DE  FORAMINE  OVALT. 

X.  In  huc  parte  inferiori  finis    partis    libcrac    tc- 

nuior  el]. 
^j.  NoJulus ,  feu  tubcrculum  album  ,    in  quo   ex- 

tremitates  marginis  liberi  cunueniunt. 
z.   FoflTulii  oualis  altera  lupcrior  ,     marginc    acuto 

terminata  ,  cui  extremitas  liiperior  (Cv\  )  mar- 

ginis   vahiulae  adneclitur. 

1.  Talis  fofTula  altera   iiifcrior  ad  cuius  marginem 

fini(\rum  extrcmitas  infcrior  marginis  valuulac 
-;    applicatur. 

2.  Proxima  fupcr  arcum  pars  fepti  finuum  in  finu 
finifiro. 

3.  Foraminulum.     Orificium  vcnae. 

4..  Alterum  tale  orificium  \cnac  in  fiuum  in- 
fertae. 

5.  5.  7-  8.  9.  10.  Margo  liber  ,  feu  ora  ,  valuuljc 
tubiformis.  5.  Purs  media.  6.  Pars  fuperior. 
7.  Finis  marginis ,  vbi  mcmbraua  lepto  fi- 
nuum  adhacrcre  incipit.  A  termino  (  6.  )  ad 
{j'. )  vsque  membrana  a  fepto  finuum  nulla 
parie  difiinguitur.  S.  Hic  membrana  valuulae 
lamcllam  lioearcm  eminentem  ,  quae  extremi- 
tas  inferior  cft  ,  producit.  9.  Pars  inferior 
marginis.  10.  Hic  extrcmitas  inferior  cua- 
nefcere  incipit. 

Fig.  3. 

Solus  finus  finifier  apertus ,  extra  aquam  po- 
^tus ,  vbi  tenuis  valunla   collabitur  j    quae    quidcm  , 

quau- 


DE  FORAMINE  OVALI.  421 

qcantum  fieri  'potuit ,  dccrfum  rctra<fla  ,  quo  pars 
orificii  finilhi  venac  cauAC  infcnoris  ,  fcu  foraminis 
oualis,  appareat. 

rt.  Auricula  finiflra.     b.  Eius  apertura. 

c.  d.     Vena     pulmdnalis     finillra     iiiferior.     e.  Su- 

pcrior.    /.   Dextra  fuperior.     g.  Orificium  in- 

fcrioris. 
h.  i.  k.  llifis  valuulac  ,  fcu  cra  fuprcma  venae  ca- 

vae    infcrioris  ,    qua     parte    vcna     exterioribus 

fuis  tunicis  in   finus   parietes  reflexa    continua- 

tur.     Huic  orae  valuula  infidet  ,  b.  orae    pars 

fini/ter  ,  L  pofierior  ,  k.  dexter. 
7.  Hic  tenuis  mcmbrana  valuulae  contigua  incum- 

bit  partibus  fubicdis. 
m  m.  Hic  in  bullam  p.iulispcr  eleuata    cih 
V.  Orae  pars  tupcrior  ,    quae  nunc  cum    tota   ora 

dcorfum  tncla.     (Conf  fig.  2.  t.) 
0.  Orae  pars  interior. 
p.  Extrcmitas  orae  fuperior. 
q.  Extremitas  orae    inferior.      Parum  deeft  ,  quin 

pcrfectum  circulum   ora  efficiac 
r.  r.  r.  Ora  extrema  ipfa. 
j.  Nodulus ,     feu  tubcrculum  in    quo    extremita- 

tes  orae  conueniunt. 
t.  Foffula  oualis  fuperior  ,  cuius  margini    finiftro 

extrcmitas  fuperior    marginis   valuulae    appli- 

cata  ctt  (  fig.  2.  z.  ) 
V.   FoiTula  oualis  inferior ,    cuius  margini  finiftro 

extrcmitas  inferior  applicatur  (  fig.  2.   i. ) 
w.  Proxima  fuper  arcum  pars  fepti. 

Ggg  3  *. 


422  DE  FORAMINE  OVALI. 

X.  Arcus  ipfe,  quoad  partem  ,  ob  valuulam  deor- 

fum  tradam  ,  nudus  apparcns. 
y.  Orificii  finiftri  venae  cauae  inferioris  feu    fora- 

minis  oualis  pars  ,    ob    eandem    caufam    nuda 

apparens. 
2.  Keliqua    pars    orificii    finifiri  ,    fcu    foraminis 

ouali?,  per  tenuem  membranam  valuulae  tran- 

fparens. 

1.  Truncus  Ycnae  cauae  inferioris. 

2.  Idem   truncus  deorlum   per    hepar    continuatus. 

3.  Diidus  venofus  ,    qui    coniundus    cum    ramo 
hcpatico  ( +  )  trunco  inkritur. 

4-.  Ramus  hepaticus. 

Fig.  4- 

In  finu  finiflro  ,  vti  hic  In  figura  3.  propo- 
jiitur  ,  valuula  huius  finus  ,  (eu  foraminis  oualis , 
fimulque  vena  caua  inferior  ,  cuius  illa  continuatio 
cft  ,  in  fuo  latere  pofieriori  ct  finiflcriori,  fecundum 
longitudinem  incidie  et  apertae  (unt  ,  quo  panetuni 
Yenae  in  valuulam  continuatio  ct  venae  infertio  in 
finum  finiflrum  ,  vifui  offerantur.  Partes  in  aqua 
fubmerfie  funt. 

e.  Pars   finus ,  fimul  cum  vena    caua  diffecfti. 

h.  Vcnae  pulmonalis  finillrae  fuperioris    regio. 

c.  Orificium   venac  puln-onalis    dextrac    infcrioris. 

</.    Vcna  pulmcnalis  dextra   infcrior. 

e.  Pars  valuulae  annuhiris  ventriculi  dcxtri. 

/.  Vena  caua  fupcrior. 


DE  FORAMINE  OVALI.  4^3 

g.  Extremltas  fupcrior  orae  valiiulae. 

g.   h.  Pars  orac  fupcrior,   relccfl.i  a  parte  ( /'.  jfe,  ) 

h.    Pundum  in  ora  ,  vbi  haec  diffeiflj. 

;'.   Puntflum  ,  quod   illi  {h.)  rcfpondet. 

i.  k.  Orae  pars  inferior,  refeda  a   parte   (g»h.) 

k.   Hxtremitas  orae  infcrior. 

/,   PurKflun   fedionis ,  quod  refpondet   pun(flo(;;/  ) 
[    m.   Pundum  in  altera  valuulae  parte  ,  quod  difle- 
clum  a  punAo  (  /. ) 

n.  Pundlum   fcdioni*  in  bafi  valuulae. 

0.  Pundum  ,  quod  refcdum  a  pundo  (  «.  )  h.  /. 
ergo  cum  /'.  m.  et  /.  n.  cum  ;;/.  0.  cohacfit. 
Partes  /./;/•   (accum  formabant  (  fig.  2.    5-) 

p.  FofTula  oualis  inferior.  q.  Foffula  oualis  fupe- 
rior.     De  his  vide  fig.    3.  et  2, 

r.  Foraminulum  oblongum  coecum   feu  fifTura. 

/.  Foraminulum  in  parte  fepti  finuum  proxima 
fupcr  arcum, 

f.  Nodulus  feu  tuberculum  ,  \n  quo  extremitates 
orae  valuulae  et  fofTuIae  ouales  conueniunt. 

v.  V.  v.  Fofrulae  obiongae  coecae,  fimilique  vt  iibe 
{p.q.)  (Irudiura  ,  margine  tenui  acuto  eleua- 
bili  cin<flje.  Puto  has  easdem  cfrc ,  quae  in 
parte  inferiori  annuii  oualis ,  (  orae  orificii 
concrcti  )  cxiftunt  ,  quibus  valunla  a  venae 
pariete  in  interna  fuperficie  dirtinguitur  ,  et 
quae  ergo  bafin  valuulae  defignant. 

tv.  Altera  talis  foffula  ,  in  qua  crus  dextrum  ar- 
cus  definit. 

X.  Finis  cruris  finiftri ,  nifi  hoc  prorfus  in  illum 
Iimbum  (  I.)  acceflforium  continuari  mauelis. 


424  DE  FORAMINE  OVAU. 

y.  Arcus  ipfe  in  finu  finifiro  totus  apparens. 
/-  z.  Orificia  venuhirum. 

1.  Limbus  ,  qui  acceflTorius  eft  limbo  ,  quo  'bafis 
valuulae  EvSTACHII  cingitur. 

2.  Limbus ,  quo  bafis  valuulae  EvSTACHII  in 
interna  venae  cauae  fuperficie  cingicur.  et  qno 

(  -.  .     valuula  a  venae   pariete  in    hac    interna    tjcie 
diftinguitur. 

3.  Valuulae  EvSTACHII  ipfius  fuperficies  intcrnn. 
Notetur  ,  partcm  finifleriorem  huius  vahiulic 
a  crurc  finilUo  arcus  tedam  cfle ,  et  coiiftia- 
tur  fig.  i.jvbi  valuulae  cxtremitas  finilUa  crus 
arcus  tegit, 

4.  Limbus  partis  integrae  vaUiulac  fuperior  ,  quo 
haec  ab  reticulata    di(\ini;uitur. 

5.  Reticuhim  ,  quod  ocuh  incrmes  capere  pofiiiiir, 
tencrrimum  ct  rubtiUfiimum,  vndulans  in  aqua 
ct   plicas  cflicicns. 

6.  Orificium  dcxtrum  vcnae  cauae  infcrioris,  quod 

inter  valuulam  EvSTACHII  et  arcum  conti- 
netur  ,  ct  in  finum  dcxtrum  hiat.  Sinirtrum, 
quod  intcr  bafin  vahiulae  fiuus  finifiri  ct  ar- 
cum  contincbatur,  (eu  foramcn  ouale,  diflcdum 
eft  et  defirudum. 

7.  Vena  caua   pcr  hepar  adfcendens. 

8.8.  Duae  partcs,  in  quas  difli^ctus  dudus  vcnofiis, 

9.  9.  13uae  partes,  in  quas  diflfcdlus  ramus  ex  he- 

paie  ,  vcnae  cauae  infcrtus. 

10.  Oriiicium  altcrius  magni  rami  hepatici  (  quod 
haud  male  alterum  foramen   oualc    cxprimit  , 

qucm 


I  DE  FORAMIN^E  OVAL!.  4ts 

qucmadmoduin  tot  facilc  inuenies  foraminti 
oiialia  ,  quot  aperueris  vafa  ,  quibus  in  oppo- 
fito  latcre  rami  infcruntur.  ) 

11.12.  13.  Truncus  venac  cauae  inferioris  apcrtus. 

II,  Paries  eius  dexter. 

X2.  x3.  Paries  eiusdem  finiftcr  diflTc^ftus. 

14.  Kegio ,  quae  cfficiebar  parictem  venac  ante- 
riorem. 

15.  Regio  ,  quae  pofterior  trunci  venae  cauae  in- 
ferioris  paries  erat. 

16.  Et  hic  locus  notandus.  Eft  fummus  paries 
anterior  venae  cauae  inferioris  ,  vbi  in  fini- 
flrum  vertitur ,  iuxta  crus  finilUum  arcus. 

Tab.  VJII. 

Sinus  cordis  vituli  quatuor  circiter  feptimana- 
rum  ,  ct  valuula  finus  fin  ftri,  ex  vitulo  in  pariu 
mortuo. 

Fig.  5. 

Sinus  vterque  cordis  vitulini  apertus  et  a  corde 
feparatus ,  a  parte  antcriori. 

a.  b.  c  d,  Sinus  dexter  apertus,  a.  Angulus  fecfliO' 
nis  in  vena  caua  fupcriori.  ^,  Paries  finus 
anterior  dextrorfum  reflexus.  c.  Idem  a  priori 
refedus  ,  reflexus  fmiftrorfum.  d.  Orificium 
venofum  ventriculi  dextri  apertum. 

€.  Auricula  dextra.    /.  Vena  caua  fuperior. 

g.  Siniis  pars  fuperior  laeuis,   h.  Cauitas  auricukc, 

Tom.XX.Nou.Comm.  Hhh  /. 


42(J  DE  FORAMINE  OVALI. 

i.  Valuula  anterior  ,  k.   pofterior  ,   /.  feptu 

tn.   Vcna  caua   iuferior. 

n.o.p.q.  Orificium  dextrum  vcnae  cauae  inferio- 
ris  angulatum  §.   23.  limbo  inOrudiim. 

».  Angulus  finil^er.  0.  Ora  fupcrior  ,  quae  ia 
homine  ab  arcu  formatur.  p.  Angulus  dcx- 
ter.  q.  Ora  inftrior  ,  loco  -^aluulae  Ev^STA- 
CHII  ,  fortis  ,   mufculofa. 

r.  Orue  pars  craiiior  ,  cauae  ct  coronariae  orificiis 
communis. 

s.  Orificium   venae  coronariac.     t.   Eius  limbus. 

V.   Introitus  iii   venam  cauam   inferiorem. 

u\  Singularis  pars  in  vitulo.  Ell  fupcrficies  in- 
terna  proprii  ranii  dextri  ,  quo  vena  caua  in- 
ferior  in  dcxtrum  finum  liiat  ,  ct  quidcm  pa- 
rietis  pofierioris  Iniiiis  rami.  Idem  paries  ex- 
terne  apparct  (  fig    6.   Z.  ). 

.r.  X.  Ea  pars  ,  quae  iu  liomine  arcus  eft.  Angu- 
lus  ncmpe  diuifionis  duoruin  ramorum  (§.  24.) 

^.  Cauitas  rami  finiftri  ,  quo  vcna  caua  inferior 
in  finum  finiftrum  liiat  ,  fiue  foramen  ouale 
in  parietc  pofteriori  et  finiftro  venae  cauae 
infcrioris.  Cauitatis  huius  parietem  cfficic 
valuula  finus  finiftri,  quae  plicis  fuis  apparet. 

sr.  Hiatus  buius  cauitatis  fcu  rami  fuiiftri  in  (i- 
num  finiftrum. 

A.  Pars  fuperior  finus  finiftri. 

B.  Orifieium  venofum  vcntriciili  Cniftri  apertum. 

C.  Auiicula  finiftra. 

D.  E.  F. 


DE  FORAMINE  OVALT.  427 

D.  E.  F.   Vcnac  pulmonalcs  Jatciis  liniftrl. 
G.  Siipcrior  vena  pulmonalis  dextr;i. 
H.  Filamenta  vjluulae  annuhiris  reiccflLi. 

>  Fig.  6. 

Idcm  vterque   Sinus    cordis    vitulini    a    partc 
pofleriori. 

a.b.c.d»e.f.g.h.u  Sinus  finidcr  ,  diffcdo  orificio 
venofo  ventriculi  apertus  ,  pariete  pofteriori 
refecfto.  a  Paries  anterior.  b.  Superior.  c, 
Vcna  pulmonalis  dextra  fuperior,  d.  Siniflrii 
fupcrior.  e.  Media.  /.  Inferior.  g.  Pars  ori- 
ficii  venofi  cordis  anterior  ,  in  hoinine  fupe- 
rior.  b,  Pars  eiusdem  orificii  porterior  ,  iii 
homine  inferior.  /.  /.  Particuld  parietis  finus 
potkrioris  rcfiexa. 

k.  Orificium  auriculae   finiflrae. 

/.  /.  /.  m.  m.  n.  0.  p.  q.  r.  s.  t.  Valuula  finus  finiftri 
feu  foraminis  oualis  ,  quac  tamen  orificium 
fere  iam  concretum  habet  ,  vt  in  plerisque 
venalibus  elTe  folet.  Hinc  aliam  plane  quam 
in  foctu  naturam  habet.  CrafHi  ,  contrada » 
dura  ,  rubicunda  ,  nodulofa. 

7.  /.  /.  Bafis  valuulae.  Hanc  bafin  impreflio  cir- 
culatis  dcnotat ,  quafi  venac  cauae  ramus  fi- 
nitkr  {x.y.)y  cuius  continuatio  valuula  eft  , 
parictcm  finus  ( i.  i.  )  perforaret. 

wz.  m.  Pars  poftc::or  valuulae  latior  ,  mollior,  ru- 
bicunda. 

H  h  h  &  fik 


42S  DE  FORAMINE  OVALI. 

n.  P  rs  anterior  ,  feu  media  tota   nodulofa    albida. 

e.  Noduli  ,  quibus  pars  anterior   termiuatur. 

p,  Filamentum  ,  quo  valuula  parieti  finus  adnedi- 
tur  ,  ex  parte  molliori  (  m.  ) 

q.  Aliud  filamentum  ex  parte  duriori    ( «. ) 

r.r.  Duo  tenuiffima  filamenta.  Sed  haec  non  ia 
omnibus  fubiedis  inueni. 

s.  Aliud  filamentum.  H:iec  filamenta  fimilia 
filamentis  valuularum  annularium   cordis. 

t.  Orificium  valuulae    anguitum. 

c.  Vcna  caua  infcrior  ,  ita  adfcendens ,  vt  multo 
plus  fiiiiftro  ,  quam  dextro  finui  relpondeat , 
illique  potius  ,  quam  huic  ,  fc  infertura  effc 
videatur, 

ey'.  Hic  vena  caua  latcfcit,  vt  folet  vas  ,  quod 
fe  diuifurum  efl  in  duos  ramos. 

X.  y.  Ramus  venae  cauae  finifter,  quo  fe  in  fbetu 
aperit  in  finum  finifirum.  Tubus  ille  cuta- 
neus  i  qui  valuukm  refert  ,  continuatio  rami 
cft ,  eiusque  orificium  cxtremum  fimul  rami 
extremum  orificium  refert  ,  quo  denique  fon- 
guis  in  finum  finirtrum  vcnit. 

S.  Ramus  dexter  venae  cauae  inferioris  ,  quo  in 
finum  dextrum   hiat. 

1.  Haec  fupetior  rami  pars  minus  cuidenter  iti 
nonnullis  a  pariete  finus  dextri  diftin(fia  eft. 
In  aliis  vt  bulla ,  et  tenuior ,  quam  paries 
finus  dextri  cft,  apparet.  Et  cadem  deniquc 
pars  eft,  quac  in  cauitate  finus  dextri  (fig.  5,  "p. ) 
apparct,      Er^o    fupcrficies     exterua    parietis 

f  oflc- 


r  DE  FORAMINE  OVALI.  429 

pofterioris  rami  dcxtri ,   vt    illa    (  fig.  5.  iv.  ) 
fiipcrficies  eiusdem  interna  erat, 

2.  Pars   parieiis  poflcrioris  finus  finiflri. 

3.  Locus  ,  vbi  fcptum  dcxtriim  finum    a    finilTfO 
diftinguit. 

4^  Locus  ,  \bi  Cqus  etiam  externe  fepaiati    funf, 

5.  Vena  caua  fuperior.     <J,  Sinus  dexter. 

7.  Auricula  dextra.     8.  Odficiura  venoitwn  ven- 
triculi  dcxtri. 

Fig.  7. 
Valuula  finus  finiftri  ex  vitulo,  fub  partu 
inortuo  ,  qui  biceps  fiiit  ,  (ed  in  corde  ipfo  praeter 
magnitudinem  nihil  a  legibus  alienum  habuit.  Val- 
vula  ,  vti  in  finu  finiftro,  vna  cum  ventriculo  fini- 
ftro  aperto  apparet ,  et  in  aqua  fluitans  repraefeiitata 
«ft.  (§.28.) 

<7. «.  a.  Orificia  venarum  pulmonalium  dextd  la- 

teris. 
^-  b.  b.  Venae  i.ftac  pslmonales  ip6e. 
<.  ^.  Pars  valiiulae  annularis  ventriculi  fuiiftri. 

*/.  e.f.  g.  Bafis  valuulae,  qua  orificio  finifiro  venac 
cauae  inferioris  infidet  -,  feu  orificium  hoc 
ipfum  tranfparcns  ,  quod  oblongum  ,  et  fcre  , 
vt  dextruBPi ,  angulatum  hic   repcri. 

^.  Angulus  infcrior  ct  finifterior. 

e.  Limbus  inferior ,  cui  paries  valuulae  td)ulc^ac 
poflerior  longior  ie.k.)  infidet. 

Hhh  3  / 


430  DE  FORAMINE  OVAU. 

-  /.  Angulus  fuperior  et  dexterior ,  vbi  ligamen- 
tum  pcculiare  eft  ,  quo  valuuk  parieti  finus 
adneditur. 
g.  Limbus  fuperior  ,  per  mennbranam  parictis 
tubi  (e.k.)  tranfparens  ,  cui  paries  valuuliie  , 
parieti  fmus  incumbens,  et  cuius  pnrs  tantum 
anterior  (  o.  )  nuda  apparet  ,  infidet. 

h.  Hic  ligamentum  alterum  eft ,  quo  vahiula  pa- 
rieti  fmus  adnedlitur.  Tota  reliqua  huius 
perfedi  tubi  pars  (  h.  r.  et  r.  d.  )  libera  et 
furfum  ,  iterumque  deorfum  ,  mobilis   eft. 

7    Pars  orae  extremae  tubi  vahiulofi. 

fc.  Fibrilla  ab  ora  ( /.  )  foluta  ,  mobih's, 

/.  Pars  reticulata  ,  in  natura    pulciicrrima. 

VI.  Ora   extrcma  parietis    valuulae  ,    parieti    finus 
V  incumbentis. 

;;,  Foramen  iti  hoc    parfete ,    quafi    pars    exfciffa 

0.  Supcrficies  interna  parietis ,  finui  incumbentis, 

valuulac  tubulofae. 
p.  Fibrilla  ,  ab  ora  (  m.  )  foluta. 
q.  m.  r.  X.  k.  i.  q.  Ora  extrema  valuulac. 


>  ^,u  LYCHNI- 


LYCHNI  -  C\  CVBALVS : 

NO\^VM  PLAJMTAE  HYBRIDAE  GENVS. 

Aiidore 
i.     T.     KOELKEVTER, 

Cum  io  cxpcrimentis,  plantarum  hybriJarum  pro- 
crcanjaruiii  caufa  capiendis ,  aliquando  verfarer, 
in  mcntem  mihi  venit ,  rem  fbre  rariliimam  ,  om-' 
nique  dignam  attcntione,  fi  contingerct  mihi,  vt  ex 
coniundione  plantae  cuiusdam  djoicae  cum  hcrma- 
phrodita  vel  eiusdem  ,  vel  diuerfi  generis  numero- 
que  partium  frudificationis  ab  ifta  difcrepante  ,  no- 
vam  procreare  poflem  prolem  hybridam.  Optionem 
itaque  feci  Lychn:dis  dioicae  ,  de  qua  mihi  conita- 
bat  ,  cum  plurimis  aliis  prolixa  afHnitate  efle  con- 
ianciam  ,  ct  eccc  !  pofl  pcrmultos  irritos  ac  fruftra 
repetitos  conatus ,  quorum  confignationcm  diflTerta- 
tationi  huic  inferius  adiungam  ,  aufpicata  Lychnidis 
dioicae  $  et  Cucubali  vilcofi  <f  copulaiio  exopta- 
tiflunum  habuit  euenium. 

Exp.  I. 

Lych.  dioic.  alb.  ?. 
Cucubal.  vifcol.   cT^. 

An.  1766.  die  29.  Mai.  Lychnidis  dioicae 
faeminae  flos  vniciis  puiuerc  antheraium  Cucubali 
\ifcofi  debito  modo  ac  tempore    conlperfus ,    capfu- 

lam 


452  LYCHNI  -  CVCVBALVS 

lam  dabat  maturam  ,  pluribnsque  feminibus  foetam  , 
quae  colore  paullo  (jblcuriore  ac  minora  mihi  ^ifa 
funt,  quam  ifta  plantae  naturalia ;  fcmina  enim 
Lychnidis  dioicae  maiora  ,  quam  Cucubali  vifcofi  , 
iTiagisque  cinerea  ,  Cucubali  vilcofi  autem  minora  , 
quam  Lychnidis  dioicae,,  mogisque  fufca  ,  cetcrum 
quoad  formflm  vtraque  inter  (e  inuiccm  (atis  fimilia. 

An.  1757,  die   10.  April  femina  ifta  hybridii 
in  fimentum  fata,fero  progerminauere,  vnaquc  ahe- 
rauc   tantum    plantula.      Eodem    anno ,    ob  nimiam 
forlim  vel  intempe(\iuam  irrigationem,  omnee  periere, 
excepta  vnica,  quae  per  infequentem   hytmem  in   fi- 
meto  ac  fub  dio    relida    fuit.      Vere    incunte    anni 
1768,  cum   iam  fatis   adoluiffet  ,    in    ollani    trans- 
plantata  eft  ,    tandemque  die   18.  lun.  primum    flo- 
ruit  ,  habitus  inter  matrem  ac    patrem    in    vniucr- 
fum  medii  :    caulls  fc.    minus   ramofus    et    rigidior, 
quam  ?  ,  fed  ramofior  ac  gracihor  ,  quam   cT.  Folia 
anguftiora  ,  vifcidiora  ,  ac  ad  marginem    magis    vn- 
dulata  ,  quam  ?  ,  fed  hatiora  ,    minusque    vifcida  ac 
'vndohua  ,  quam   cf'.      Perianihium   non  adeo  ventri- 
cofum  ac  inflatum  quafi  ,  vt  in   ?,  nec  cyiindricum 
ac  coroUae  vnguibus  appreflum  ,    vt  in   cT.      Viigucs 
ptalorum  calyce  longiorcs  ac   angufliores ,    quam  ?  , 
breuiores  ac  latiorcs,  quam   cf.     Corona  faucis  mem« 
branacea  parun,  in  ?  fpeciofa,  ac  in  cf  nulhi.  Sexus^ 
quod  inprimis   notamium  ,    tantummodo    femi  -  hcr- 
maphroditus ,  in  ?  dioicus ,   in   cf  autem  vere  her- 
niaphrodiius.      Sfam.   l^B.  nec  nulla ,    neque    per- 

fc(Sa 


PLANTA  IIYBIllDA.  4S3 

fecfl-.i ,  fed  ,  pnietcr  nlinrum  hybridaruip  ,  e  duobus 
hermnphroJitis  proijmuarum  indolcm  ,  infra  niediani 
\triu8que  parentis  proportionem  ac  pcitcdionem  : 
Jilamenta  fc.  in.iequalia  tencra  valde  et  qua(i  cmar- 
cida  ,  germinisque  \ix  longitudine  ;  anthernt'  mini- 
nae  ,  efToetae ,  nec  \nquam  puluerem  efFundcntc?. 
Gertiien  rninus  ,  nnguftiiis  ac  acutius  ,  quam  ?  ,  fed 
maius,  nec  adeo  angulUim  et  acuminatum,  quam  cf. 
Slylorum  numerus  conftantior  quatcrnarius,  quinarius 
vero  ?  et  ternnrius  ^ .  Copfula  ac  fctiiina  vcra 
nulla  vnquam.  ReUqua  ex  ipfis  iconibus  fatis  pa-. 
tcnt, 

Primo  ndfpcdu  ,  vt  ex  ante  di<ftis  iam  inda- 
lefcit  ,  faeminnm  quafi  mentiebatur  liaec  planta,  per 
totam  flortfcentiam  ,  (kmina  fua  cf!oeta  in  funuo 
floris  rctinendo  ,  ncc  nifi  liigmata,  Lychnidis  dioicae 
foeminae  more  ,  exferendo.  Ex  fe  ipfa  ,  et  quidcm 
ab  vrrnqne  pnrte  ,  penitus  inf^)ccunda  evat ;  fiores 
cquidom  plurinii  ,  puiuvrc  anthcrarum  Lychnidis 
dioicae  confpcrfi  ,  impmcgnationem  admittebant  fpu- 
riam  ,  fed  germina  lcuitcr  intuinefccntia,  Jongc  ante 
ipforum  maturitatem  ,  fenfim  fenfimque  contabefce- 
baiit  omnia.  Idem  quo.jue  odlo  floribus  accidit  , 
pulucre  antherarum  fiienes  fruticodie  Linn.  die  25, 
lun.  confpcrfis.  Siib  Septembris  mcdium  florerc 
quidem  defiit  ,  aft  uouqs  itcrum  cnuUcuios  ,  vti  id 
plantis  hybridis  fere  omnibus  folcmne  efl ,  continuo 
emifit  ,  quorum  nonnulU  antc  hyemis  ingrefium 
fiorcs  fuos  adhuc  expUcabant.  Variabat  quidcm  , 
quod  non  negnucrim  ,  durante  florcfcentia  ,  flyUs  in- 
Tom.XX.  iSou.Comm.  lii  terdum 


434-  LYCIINI  -  CVCVBALVS 

tcrdum  s  ,  3  »  4 ,  5  et  qnandoqiie  pluribus ,  vt 
idem  quoque  ,  ratione  numjri  llylorum  ,  in  hortis 
mjxime  variubili-j ,  pjtris  ipliUb  ,  marrisqiie  iaipr»- 
mis  ,  mos  ell  ,  attamen  numerus  quarcnijrius  fae- 
pillime  o-nnium  obuenit  ,  ac  conltantior.  Infcquente 
anno  ,  raJicis  fuac  psrcnnantis  vi  ,  luuii  initio  fe- 
eunda  vice  fiorcbat, 

An.  1771.  cx  feminibus  priori  anno  ,  die  i6. 
et  20.  lun.  in  quatuor  floribus  ftlici  iterum  fuc- 
ceffli  praepiratis  ,  plantae  hybridae  fex  proguatae 
funt ,  illi  fupra  defcript:ie   pcr  omnia   fimiles. 

Exp.  l\. 

CucubaL  vilcof   ?. 
Lychn.  dioic.  rubr    d^. 

An.  1770.  die  i  S.  lun.  in  tribus  floribus  Cucubali 
vifcod  ?  ,  quos  inuerlb  modo  pulucie  antheraruin 
Lychnidis  dioicae  rubrae  confpcrfi  ,  impraegnatio  vcra 
frullra  fuit  tentata  ,  vtpote  vel  plane  nulla  ,  vcl  im- 
perfo(fla  tantum  inde  fecuta.  Idem  experimentum  in 
duobus  floribus  d.  6.  lul.  infclici  paritcr  fucceffu  re- 
petitum.  Forfan  ipfius  capfuljc  angutlia  ouulorum- 
que  fic  didorum  paruitas  hic  iu  caufa  er.it  ,  cur 
foecundatio  inucrfa  hac  ratione  non  fucccffcrit  ,  vel 
intra  ccrtos  taiitum  Hmites  imperfcifla  (ublliterit. 
IMura  ccrte  alia  excmpla  ,  quibus  opinio  Iiacc  con- 
firmari  videtur  ,  ficile  iii  mcdium    profcrre    poflem. 

Plantae , 


PLANTA  HYBRIDA.  435 

Planrac ,  plus  minusiie    fibi    affincs  ,   quarum 

copulatio  tbccunda  incaniim  huc  vsque 

fafta  eft. 

Coiigcncrcs ,  trig^miac, 

Exp.  111. 

Cuciibal.  -vircor.   %. 
Cucubal.   Behen.   cT. 

An.   1770.  d.   c8.   lun.  flor.  2. 
Foecundatio  fpuria. 

Exp.  IV. 

Silene  gigant.   $. 
Silene  nodlifl.   cT^. 

An.   176 5.  d.    12.  lul,  Flos.  I. 
Stcrilitas  fumma. 

Vid,   F.xp,   inuerf.   VI. 

Exp.  V. 

Silenc  nocftlfl.  2. 
Silenc  nodurn.    cf. 

An.    i7<55.  d.   9.   lul.   Flos.    i. 
Sterilitas  fumma. 

Exp.  VI. 

Silcne  nodifl.  ?. 

Silcne  gigant.    o^.  "~' 

An.   i7(>5.  d.   5.    lul.  Flos.-x. 

d.    12. 

Foecundatio  \cl  fpuria  ,    vcl  adhuc  dubia. 
Semina  mcduUofa  ,    ac  Silen.  gigant  inllar 
marginibus  acutis  praedita. 
Vid.  Exp    inuerf.    iV." 

1  i  i  a  Exp. 


^^6  LYCHNI  -  CVC\  BALVS 

Exp.  vn, 

Silene  nodifl.  ?. 
Silene  Behen.   cf. 

An.    17^5-  d.    13«  lul-   F^os.   i. 

d.    15.     ■ 

Foecundaiio  fpuria. 

Exp.  VIIL 

Silenc  no<flifl.  ?. 
5ilene  Armeria.  cf. 

An.   1765.  d.    13-  lul-   Flor.  4. 

Foccundiuio  vel  fpnriA  ,   vcl  adhuc~dubi«» 

Exp.  IX. 

Silenc  piradoxi,  ?. 
Silenc   Armeria.    cf. 

An.    1766.  d.    31.  lul.  Flor.   2. 
Sterilitas  fumma. 

'Coiigcncrcs  ,  pcvtiTgjniiw. 
Exp.  X. 

Lychn.  diok.  ■alb.  % 

Lychn.  chalcedon.   o^. 

An.   i7<5  5.  d.   8.   lun.  Flor.   3, 
d.    13. 4^ 

d.    \i.   lul.      —     2. 

— —    — —  d.   1 3.   — :  2, 

.  • d.    14. I, 

• »770.  d.    6,  Aug.  I. 

■ d.    7.  2.  rubr.  ?. 

F"Ccundntio  fpuria. 
Vjitl.  Exp.  inuerf.  XI. 

Exp, 


PLANTA   HYBKIDA.  437 

Exp.  xr. 

Lychn.   chakcdon.   ^. 
Lychn.  dioic.  alb.   c/'. 

An,  17^5.  d.  20.  lun.  Flor.  2. 
Sterilitas  fummn. 
Vid.  Hxp.  inucrf.  X. 

Exp.  XI L 

LycJin.  dioici  alb.  ?. 
Lychn.    flos  ciiculr.    cf, 

An.    1755.  d.   21.   lun.  Flor.    r  1. 
—     1770.  d.   29. I. 

Foecundatio  vd  fpuria  ,    vel  adhuc  dubia. 

Bigcncves ,  trigyniac, 
Exp.  XIIL 

'Cucubai.  Bchen.  ?. 
Silene  Behen.  o^. 

An.    1755.   d.   25.  lul.   Flos.   r. 

d,   27.     ^ 


Foecu>idatio  fpuria. 

Vid.  Exp.  inuerf.  XVIL 

Exp.  XIV, 

Cucubal,   tatar.  ?. 
Silene   Armeria.  cf. 

An.    1765,  d.    13.  lul.  Flor,  5. 
Sterilitas  fumma. 


ii  3  Exp. 


438  LYCHMI  -  CVCVBALVS 

Exp.  XV. 

Silone  giganr.  ?. 
Cucubal.  Behen.   cf. 

An.   i7<55.  d.   8.  IliI.  Flor.  3. 
Sterilitas  fumma. 

Exp.  XVI. 

Silenc  gigante.  ?. 
Cucubal.   tatar.    (f. 

An.    1-6$.  d.    i5.   lul.  Flor.  2. 
Stcrilita&  fumma, 

Exp.  XVII. 

Silenc  Behcn.   ?. 
Cucubul.  Bchen.   cf. 

An.    1755.  d.   12.  lul,   Flor.   3. 

Sterilitas  fumm.i. 

Vid.  Exp.  inuerf.   XIII. 

Exp.  xvm. 

Silenc   Beheii.   ?. 
Cucubal.  tatar.   cf. 

An.    i7<J5.  d.    25.   lul.  Flor.   2. 
Sterilitas  fumma. 

E.xp.  XIX. 

Silinc  nodlifl.   $. 
Cucubal.  tatar.   cf. 

An.    1765.  d.    kS".  lul.   FIos,   i. 

Foccundatio  vcl  fpuria  ,  \cl  adhuc    dnbia, 

Exp. 


PLANTA  HYARIDA.  43^ 

Exp.  XX. 

Silenc  nccflifl.  ?. 
Cucubdl.   vifcot.   (^. 

An.   1766.  d.   29.  Mai.  Flor.   3, 

Foecundatio  fpuria. 

Exp.  XXI. 

Silenc  noflifl.  ?. 
Cucubiil.   Behen.   cf^. 

An.    1755.   d.  4.  lul.  Flos.    I» 

.Foccundatio  fpuria. 

Bigcncres ,  pe?itngjniac, 
Exp.  xxii. 

Lychn.  dioic.  alb.  ?. 
Agroflem.  Githag.  d^. 

An.   116$.  d.   25.  lun.  Flor.  Z« 
Sterihtas  fumma. 

Exp.  XXIIL 

Lychn.  dioic.  alh.   $. 
Agroflem,  coronar.   d^. 

Ao.   1755.  d.  9.   lun.  Flor.   4. 

d.   15.  

Foecundatio  vd  fpuria  ,  \el  adhuc   dubia. 

Scmina  plura  medullofa. 

Bige- 


440  LYCHNI  -  CVCVB\LVS 

Bigeneres  tri  -  et  digjiiiae.. 
Fxp.  XXIV. 
Silene  noft.fl.  $. 
Saponar.  offic.   (f. 

An.   116$.  d.   10.  lul.   Flo?.   i.. 
Sterilitas  (iimmii. 

Bigeneres  j  pent.  et  digyniae. 

Exp.  XXV. 
Lychn.  dioic.    alb.   ?. 
Saponar.  offic,   cr'. 

An.    i7<55.  d.   6.  lul.  Flor.    2. 
Sterilitas  fumma. 

Bigeneres  j  tri  -  et  pentagjniae^ 

Exp.  XXVI. 

Cucubal.  Behen.  ?. 
Lychn.  dioic.   alb.  o^. 

Aii.    17^5.  d.   8.  lul.  Flor.   5. 
Sterilitas  fumma. 

Exp.    XX VU. 
Cucubal.   lifcol    ?. 
Lychn.  flos   cucuii.   cf. 

An.    1770.  d.    28.  lun.  Flos.   1, 
Stcnlitas  fiimma. 

Exp.  XXVIII. 
Cucubnl.   tatar.   ?. 
Lychn.  flos  cuculi.  cf. 

An.    1765,   d,   22.   lul.  Flor.   a. 
Stcrilitas  fumma. 


Exp. 


PLANTA  HYBRIDA.  441 

Exp.  XXIX. 

Silcne  paradoxa.  ?. 
Lychn.  clialcedon.    cT. 

An.  1-766.  d.  21.  lul.  Floi'.  3. 
Sterilitas  fumma. 

Exp.  XXX. 

Silene  paradoxa.  ?. 
^     Lychn.  flos  cuculi.  cf. 

An,   i76(J.  d.   18.  lul.   Flor.  s. 
Sterilitas  fumma. 

Exp.  XXXL 

Silenc  paradoxa.   ?. 
Lychn.  dioic.   alb.   cf. 

An,   1765.  d.    18.  lul,  Flos.   I, 

Sterilitas  fumma. 

Exp.  XXXIL 

Silcne  gigant.   ?. 
Lychn.  coronar.  c^. 

An.  1^6 $.  d.   15.  lul.  Flor.  3. 
Sterilitas  fumma. 

Exp.   XXXIII. 

Silene  conoidea.  ?. 
Lychn.  dioic,  alb.  cf. 

An.  116$.  d,  28,  lul.  Flor.  3. 
Sterilitas  fumma. 

Tom.XX.Nou.Comm.  Kkk  Exp. 


4.42  LYCHNI  -  CVCVBALVS 

Exp.  XXXIV. 
Silcne  conicj.  ?. 
Lyclin.   dioic.  alb.   <^ . 

An.    1765.  d.   I  ;.  lul.  Flor.  3. 
Sterilitas  fiimina. 
Vui.  Exp.  iniicrf.  XLV. 

F.xp.  XXXV. 
Sllene  nodifl.   ?. 
Agrodem.  coauur,  o^ 

An.    1755.  d,  6.   lul.  Flos.   t. 
Stcrilitas  tumraa.. 

Exp.  XXXVL 

Silcne  nndifl    ?. 
Lychn.  chalcedo;i.  <?. 

An.   i7(>5.  d.  6.  lul.   F!o5    i. 

d.    10.   

Eoecundatio  fpuria.. 

Exp.   XXXVIL 

Silenc  notflifl.  $. 
Lychn.  flos   cuculi.   c?. 
A  An.   17(55.  d.   17.   lul.  Flor.  5. 
foccundatio  fpuria. 

Exp.  XXXVIIL 
Silene  gigant.  ?. 
Lychn.  dioic.  alb.    r^ . 

An.   1765.  d.    10.  lul.  Flor.  2. 
Sterilitas  fumma. 
Vid.  Exp.  inucrf.  XLlV. 

Exp. 


PLANTA  HYBRIDA.  443 

Exp.  XXXIX. 

Silene  gigaiu.  ?. 
Lychn.   chalcedon.   cT. 

An.   1765.  d-  9.   lul.   Flor-   5. 
Sterilitas  fummn. 

Exp.  XL. 

Silcne  noiflifl^  ?. 
Lychn.  dioic.   alb.  cr^. 

An.   17(55.  d.  2.   lul.   Flos.   i. 

I.  rubr.  cf. 

1771.  d.  30.  lun.  Flor.  3. 

d.  3.  lul.  5.  alb.  d^. 


Foccundatio  fpuria. 

Vid.  Exp.  inuerf.  XLVIL 

Bige?iercs )  pent.  et  digjniac. 
Exp.  XLI. 

Lychn.  di(MC.  alo.  $. 
Cucubal.  Behen.  o^. 

An.   116$.  d.  27.   lun.  Flor.   12. 
—    1770.  d.  29. 5-  rubr.  ?. 

Foecundatio  vel  (puria  ,   vel  adhuc  dubia. 

Exp.  XLE 

Lychn.  dioic.  .ilb.  ?. 
Cucubal.   tatar.   cf. 

Aii.   17^^  5.  d.    17.  lul.  Flor.   8. 

Foccunuatio  \\  (puria  ,    vel  auhuc  dubia. 

K  k  k  2  £xp. 


444-  lYCHNI  -  CVCVBALVS 

Exp.  XLIIL 

Lychn.  dioic.  alb.  $, 
Silene  nodurna.   cf. 

An.   1-765.  d.   5.    lul.  Flos,   1. 
Sterilitas  ftimma. 

Exp.  XLIV. 

Lychn.  dioic.  nlb.  ?. 

Silene  gigant.    (f. 

An.    1765.  d.   3.   lul.  Fl)r.  2. 

- —  d.    16.  3j 

Foecundatio  vel  fpuria  ,  vcl  adhuc    dubia. 
Vid.  Exp.  inuerf.  XXXV ll[. 

Exp.  XLV. 

Lychn.  dioic.  alb.  ?. 
Silene  conica.  d^. 

An.   1765.  d.  fi.  lul.  Flor.  2. 
Sterilitas  fumma. 

Vid.  Exp.  inuerf.  XXXIV. 

Exp.  XLVL 

Lych.  dioic.  alb.  ?. 
Silcne  Bchei.   cf. 

An.    1765.  d.   4.  lul.  Flos.   r. 
j.  .  Foecundatio  (puria. 

•cxl  Exp. 


PLANTA   HYBRIDA.  44J 

Exp.  XLVir. 

Lychn.    dioic.  alb.  $. 
Silene   noftifl.   o^. 

An.    1755.  d.   28.   lun.  Flor.   3. 

d.   \6.   lul.    2. 

Foecundatio  fpuria. 
Vid.   Exp.  inuerf.  XL. 

Exp.  XLVIU. 

Lychn.  dioic.   alb.  $. 
Sileoe  cretica.   cT. 

An.   1755.  d.  4.  lul. -Flos.  i. 

Foecundatio  vel  fpuria  ,  •vel  adhuc  dubia. 

Exp.  XLIX. 

Lychn.  dioic.  alb.  ?. 
Silene  Armeria.   cf. 

An.   1755.  d.   18.  lun.  Flor.  S. 
Sterilitas  fumma. 

CONSECTARIA  ALIQVA. 

lam  ex  indoie  partium  frudificationis  Lychni- 
Cucubali  iioflri  fpjciatim,  quam  ex  vniuerfo  horum 
experimentorum  grege  confedlaria  fluunt  lequentia : 

l.  Semen  \trnmque,  tam  mjfculinum,  quam  foe- 
miniimm,  relptdj  nmniUm  plantae  partium 
jpfiusque  (exus  oiuerfitatH ,  reciprocam  in- 
ter  fe  exorcere  adionem  ac  r^^iidioneni,  mu- 
tuumque  lemp  r  ac  aequalcm  in  gtneratio- 
K  k  k  3  «i* 


44(y  LYCHNI  -  CVCVBALVS 

nis  negotium  Iiabere  influxum  ,  nifi  fingii- 
lari  aliqua  caufa  (fl)  >  v.  g.  viuentium  a 
redo  tramite  dediiiatione  ac  degeneratione 
peruerfaque  ac  labefadata  eorum  natura  etc. 
illud  aequilibrium  turbetur  ;  nec  n.ridiori 
fenfu  vcrum  atque  fundatum  efTc  decantatura 
illud  axioma  ,  quod  onines  plantarum  ani- 
inaliumue  vcl  naturalium  vel  hybridarum 
partcs,  quae  ad  fic  dictam  corticakm  earum 
lubftantiam  fpeftant  ,  a  patre ,  eae  e  con- 
trario  ,  quae  ad  medullarem  pcrtinent  ,  a 
matre  vnice  ortum  fuum  ducant^  alioquin 
hybrida  noftra  ,  vt  htrmaphroditus  plenifii- 
mus  ac  confummatus ,  corolla  faucis  corona 
carente  ,  flaniinibusqiie  Cucubali  vifcofi  in- 
ftar  elongatis  ac  vcre  pentadynamiis  ,  et 
quinque  potifnmum  Lychnidis  dioicae  flylis 
gcrminequc  crafiiore  ac  obtufiore  inde  ex- 
furrcxiffei:, 

n.  Dari  interdum  ,  rarifllme  licet ,  plantas  bige- 
nercs  diuerfique  ordinis,  foecnnda  copulnrione 
inter  fe  iungendas  ,  mirabili  Lychni  -  Cucu- 
bali  noflri  excmplo,  ' 

JIL  Fruflrari  c  contrArio  plurcs  ex  congencribus 
vel   bigcneribus    fclici    fucccfTu ,    j^roximiore 

longe  , 


( <j )  Vid.  opiifr,  meor,  vcrraniln  lingua  confciptor.     Fo  tf. 
der  voil.   Nachr.  J.  2<y.  it.  dntte  loitf.  $.  47-  et  >tf' 


PLANTA  HYBRIDA»  44.7 

longe  ,    quoad    extcrnam    faciem  ,    afHnitate 
fibi  coniun<flas. 

IV.  Hybridariim  e  plnntis ,  licet  interJum  valde 
fibi  athncs  ,  plutimisque  propinquitatis  vin- 
culis  coniundae  fint  ,  haud  ita  vulj^arem 
facilcmque  effe  geucrationem  ,  ac  multi  fibi 
pcrfuadent. 

Not.  Licet  femina  ,  e  quibusdam  harum  coniun- 
(ftionum  prognata  ,  meJullora  fuerint  ,  ferti- 
liumque  fpeciein  prae  le  tulcrint  :  faluo  ti- 
men  cxperimentorum  errore  id  contcndiffe 
velim  ^  fcile  enim  fieri  potuit ,  vt  ab  in- 
fecftis  ,  quac  arcere  omnimodo  difficillimum 
eft ,  proprii  $  antherarum  pulucris  aliquid 
alteri  fuerit  immixtum.  Interim  Exp.  VI. 
VIIL  XII.  XIX.  XXllL  XLI.  XLIL  XLIV. 
et  XLVIIL  quamuis  ex  fatis  eorum  femi- 
mbus  hybrida  haud  vnquam  fit  exorta  ,  cir- 
cumfpcdlam  ac  fludiolam  mcrentur  repeti- 
tionem.. 


EXPLICATIO  FIGVRARVM. 

Ser.  L  Lychnidis  dioicae  mafculae  flores.  Tab.  IX, 

Ser.  IL  Lychnidis  dioicae  feminae  flores. 

Ser.  IIL   Lychni  -  Cucubali   flores. 

Ser.  IV.  Cucubali  vifcofi  flures. 

a,  a.  a,  a. 


448    LYCHNI-CVCVBAL.  PL  ANT.  HYBR. 

a.  a.  a.  a.  Flos  integer  ,  a  parte  pofteriore. 

b.  b.  b.  b.   Flos  integer  ,  a  parte  anteriore. 
tf.  c  c.  c.  Calyx  diffcdus  ac  explicatus. 
d.d.d.d.  Flos  absque  calyce, 

e.  e.  e.  e.  Petalum. 

/,  Stamnia  Lychnidis  dioicae   mafculae. 

g.  Germea  Lychnidis  dioicae  feminae    cum    fuis 
ftylis. 

h.  Germen  Lychni  -  Cucubali  ,   cum     ftamiuibus 
fuis  ac  ftylis. 

%.  Eiusdem  germen  diftindum. 

i.  Germen    Cucubali    vifcofi    ,    cum    ftamioibus 
fuis  ac  ftylis. 

7.  Eiusdcm  germen  diftindum. 


SCHA- 


SCHACALAE  HISTOJIIA; 

Audore 
A.     I.     GVELDEf^STAEDT 


nomines   primaeui   numcio  pauci,in   vno  eodem- 
(]iie   antro  probabiliter  omriem   \itam  abfolueri- 
tcs  ,  curta  admoduni   fuppclledili   et'  vix    vlla     gau- 
dcnies  ncc  Canr.lo  ,   nec  Aduo  ,    nec    H(]UO    indigc- 
banc ,  quos   pronepotes  ad   migrationcs  proptcr    gene- 
ris  luimani    multiplicationem    ineuitabiles   abfoluendas 
•fubigeriint.     Boue   atque  Bubdli  ,    fociis  laboris  atque 
agriculturae,   parittr    per     plurima    faecuia    homines 
primaeui    migrantes  ,     arborum   fruticumqne   frudlibus 
plantaruoique  radicibus   atque   foliis   vitflitantes  carere 
potucrunt.     Sue    minime     opus    habuifle     primaeuos 
phytophagos  ,    fed   illum    a  fcriori  hominum   proge- 
nie  gulae  nimis   indulgcnte  ct  diaeta    vegetabili    mi-- 
nus  contenta   numero  animalium    domefticorum    ad- 
ditum  cflc,  euidentiliimum  e(l.     Ad   Fclis,  Murium 
hoflis  ,    reccptionem   apud   primaeuos  nulla  ratio  ex- 
Iht  ,•  hanc  tandem   homo  in   aedibus  degens  et  varia 
lupclkcflili   et  nnnona   inflrucftus  ,     a    jVluribus    mole- 
fliam  (cntiens  vtiiem   efle  duxit  ,    Vt   fn  domcs  reci- 
piat.     Sed  Oues  et    Capras  ,    vt    ex    illis    amidum 
fumant  ,  atque  Canes ,    vt  (erac    nociuae  ct  a  gregi- 
bus  et  ab  ipfis  hominibus  arcerentur  ,   jntiquitus    et 
primo  omnium    animalium    cicurarc    tentafle    homi- 
num   primaeuos  ,  cx  ip(a  eorum  conditione  (t    vitile 
Tom.XX.  Nou.Comm.  Lll  genere 


450  SCHACALAE  HISTORIA., 

gcnere  euidenter  patct.  Idem  ex  multifaria  ,  qna 
hodie  haec  animalia  veniunt ,  forma  condudere  11- 
cet ;  nam  varictatum  a^  prototypo  fecedentium  per 
ftocum  domcfticum  piogenitarum  numcrum  durationi 
lubadiiDnis  animalium:  proportionatum  cfle  ,  ipfa  rei 
natura  fuadet.  Qiiod  attamen  Canis  magis  variet , 
quam  Ouis  et:  Capra^,  exindc  eueniire  pucts ,  «^uU 
a.  Canibus  et.  Oues.  et;  Caprae  numero  generationum 
dcfcenJentium  atque  numero  indiuiduorum  fuperan- 
tur  ;  nec  non  quia  Canis  ,,  infeparabilis  hominum 
comes  ,  per  omnia  globi  noftii  climata  ,  quorum 
plura,  Oui  et  Caprae  adire  non  licuit  ,  difleminatus, 
hinc  ab  eorum  influxu  co  magis  transfiguratus  e([  • 
accedit;  etiam  maior.  ciborum  varietas  ,  qui  Ouibus 
Capri^que  magis-  vniformes  exhibcntur,  atque  arbi- 
trarium  hominis  copulam  Canum  foliicite  dirigentis, 
incrementum,  eorum  fupprimcntis,  atque  partes  eorum 
varias  v.  g.  caudam  ,  aurcs,  forte  ctiam  ronrum 
mutihintis,  et  quaUtatcs  morbofas  propagant'S  in  Ca- 
nes  doniinium  ,  quod  Oucs  ac  Caprae  vix  vncjuam 
expcrtae  funt.  Exinde  adeo  polymorpha  Canum 
hodicrna    figura. 

Animalia  haec  domcrtica  antiquifllma  in  ilh's 
globi  noflri  rcgionibus ,  quas  liomincs  primaeui  in- 
habitaucrunt ,  indigena  ct  fcra  fuifTc  ,  neccffe  crt  vt 
coniiciatur.  At  ex  hifloria  et  facra  ct  profana  ehi- 
cet ,  his  Afiam  minorem  cum  terris  proxime  adfi- 
nibus  adnumerandam  effc ;  hinc  ct  cadcm  pro  pa- 
tria  horum   animalium    domcflicorum    antiquiihmo- 

rum 


SCHACALAE  IIISTORIA.  a$i 

rum  habenda  cft  ,  nam  ex  analogia  euidentifljmum  , 
his  pariter  ac  rcliquis  quadrupcdibus  limitatam  ali- 
quam  prouinci;im  pio  llatione  a  Aimmo  rerum  con- 
ditcre  aiiignatam  fuide.  Cnm  porro  probabiliter  fit, 
hoiDines  primacuos  troglodytes  fuiffc  ,  huud  in  pb- 
nitkbus  campedribus  ,  fed  in  tradubus  montofis  , 
fpehincas  \el  naturales  ,  vd  ficili  negotio  confi- 
ciendas  pro  domiciho  hirgientibus  ,  commoratos 
efle  ;  hinc  foquitur  ,  etiam  animuha  illa,  quae  pri- 
nio  omnium  domcllica  ftccrunt  ,  ciusmodi  naturae 
fuiflc  ,  vt  illis  magis  montofa  ,  quam  campcftria  ar- 
rifcrint  ,  vel  vt  ipfis  hominibus  proxima  locQ 
fuerint,  Quaerenda  igitur  (unt  prototypa  numero- 
farum  varietatum  Ouis,  Caprae  et  Canis  in  montofls 
Afiae  minoris ;  nam  in  omnibus  animantibus  cuius- 
cunque  gcncris  vlhmi  eft  placidum  ,  eiusdem  in- 
uenitur  et  fcrum,  aflirmante  PlinIO  /ibr.  S.  cap,  $^. 

ludiciofo  7//.  Comhn  de  EvFFON  ingenio  in 
Tovio  XI.  Hijloriae  Naturae  demonftratum  eft,  quod 
pro  Oue  in  flatu  fero  liabendum  fit  animal  in  mon- 
tofis  deprelhs  Afiae  minoris  et  in  adfinibus  quoad 
clima  analogis  orientem  occidentemque  verfus  ex- 
tenfis  obuium  ,  a  veteribus  Muhnon  fcu  Mufimon  , 
a  Gallis  hodie  Muflon  appellatum  ,  quod  ///.  Equiti 
de  LlNNE,  veritati  huic,  (  ex  coUationc  ofllum  ca- 
pitis  et  cornuum  mihi  euidentifllmae  ),  nondum  ad- 
lisniienti  Capram  Ammonem  vocitare  placuir. 


L  1 1  2  la 


452  SCHACALAE  HI3T0RIA. 

In  determiiiandii  Capra  f.ra  minns  felix  fnit 
Zoologus  illc  conliimmatiinmu?.  Fropoluit  nimirutn 
in  T}'!io  XI.  Hiji.  Natur.  Ibicem  et  Kupicaprain 
eiusdem  fpeciei,  iilum  marium,  hanc  fcminarum  va- 
ilet.ites  feras  efle  ,  et  earum  connubio  Capram  do- 
medicam  ortum  debere.  Quanquam  haec  animalia  , 
pariter  ac  Muf  non  ,  in  montofis  Afiae  adfint,  at- 
taaien  fcntentia  hacc  omni  probabilicatis  gradu  de- 
iVituta  eft.  Nulla  enim  ratio  fufiiciens  ex(Ut,  quare 
animaha  haec  in  alpibus,  in  vno  codcmque  clmiate, 
in  vna  eademque  flatione  occurrcntia  ,  in  tantam 
corporis  varietatcm  txternam  ,  qua  nunc  vcniunt , 
et  ante  phira  fiecula  iam  venierunt  ,  dc^cneraucrint. 
Potius  ex  ipfj  Ibicis  et  Rupicaprae  vitae  gencre  ,  fi 
vel  ad  alia  momentofiora  attenderc  nollcs,  certiHime 
COiicluJi  potert  ,  quod  fpecies  diflin^flae  antiquitus 
fuerint  ,  et  dtrtinctae  omne  connubium  reciprocum. 
refpuentcs   petmancbunr. 

Ibiccm  proprie  patrcm  varietJtum  Caprac  do- 
mefticae  cum  Ccl.  Pennant  (  vid.  El.  Srnop/is  of 
Quadru^eds  pag.  13.)  nuiicuparc ,  vix  hatfuarem  , 
nifi  in  moniofis  dcprcfiiovibus  intcr  mare  calpium 
Ct  nigrum  et  i;i  oinni  Afia  minori  aliud  animal 
ferum  adeffe  comperuciim  ct  vidcrim  ,  quod  omni 
partium  habitu  ct  lUndura  multo  magis  quam  Ibcx 
Capram  domefiicam  refert. 

Pafen  feu  Capriccrna,  de  qua  KaempfervS 
in  AiimUit.  exot.  p.  198.  agit ,  quam  lll.  liq:us  de 
l^INNE    Capram    bezoarticam    appcllat  ,    iucm     hoc 

animal 


SCHACALAE  HISTORIA;  453. 

animnl  c(l ,  quod  pro  Cipra  fcra  feu  fpontanea  ha- 
bemiis  i]u,inqu:im  lll.  Comes  cfe  BvFFON  ct  Cel , 
PennaNF  loiige  aliter  leiitiant  ,  animal  hocce 
Kdempjcnanun  G:izcllis  feu  Antilopibus  adnumc- 
rintes.  C«)nfirmet  lententiam  noltram  fi^ura  illa 
K-\EMPfERl  ,  cui  nomen  Pa(en  ad((:riptum.  Figura, 
quaiiquam  rudiHima  fit  ,  attainen  minime  Gazellam, 
fed  Capram  refert  corporis  habitu  ;  mento  baibato  ; 
cornubus  praelongis  >  re.clioatis  ,  minus  arcuatis  ,  an- 
tice  tuberculatis  feu  fecundum  KaempFERVM  annu- 
lis  diltindis  infignioribus  ,  non  omnem  cornu  pe- 
riphcrinm  ,  vt  ex  fi^ura  patet  ,  ambientibus  ,  fed 
Mnrnm  antice  protubcrantibus,  hinc  a  cornubus  Palen 
BVFFONII  Toin.  XIL  Tab.  33.  repraelentatis  diuer- 
iiihmis. 

Tandem  ex  ipfa  Ibicis  et  Pafenae  KaeaipfERI 
natura  argumentum  grauifiiinum  dclumi  potelt,  Ca- 
pram  domeilicam  non  ab  Ibice  fed  a  Pafena  deri-^ 
\andam  eflTc.  Natura  Ibicis ,  non  nifi  fumma  al- 
pium  iuga  ,  rupjdria  ,  acterna  niue  teda  et  plantas 
vix  alibi  prouenicntes  pro  cius  pabulo  exhibentia  in- 
habitnntis  adeo  fingularis  ,  mio  fingulannima  e(i , 
vt  pariter  impofTibile  videatur  illum  ,  ac  H.lephan- 
tum  ftu  Tarandum-  per  omnia  telluris  dimata  , 
quorum  plurima  a  liatione  eorum  naturali  diuerfiihma 
funt  ,  domellicum  ficerc.  Natura  autem  Pafenae  ab 
alpeClribus  abhorrentis ,  et  iTiontofa  Afiae  minoris 
hiemc  niue  rcfrigcrata  ,  aefiate  caW^re  ferc  fummo 
exaedujta  ,  nunc  ficcifTrna  ,  nunc  larga  pluuia  ir- 
rorata  ,  plantas  haud  paucas  per  omnia    tclluris   di- 

L  1  1  3  niata 


454  SCHACALAE  HISTORIA. 

mata  obuias  alentia  frequentantis  pro  omni  clirtiatc, 
pariter  ac  Mufmonis  natura ,  fada  fuiffe  videiur, 
hinc  felici  fucccffu  ir.  omne  clima  recipi  ,  multi- 
plicari  potuit.  Sufficiant  haec  ,  quac  in  poflerum  , 
de  animali  aHo  huc  vfque  ignoto  alpino  caucafico 
inter  Mufmonem  et  Ibicem  medio  a*flurus ,  fulius 
tra-(flabo. 

Accedamus    tid     tertium     animal    domcf^icum 
antiquiflimum  ,  ad  Canem.     Ferum   hunc  et  fponra- 
neum   in  iisdem  cum  Oue  et  Capra  regionibus  Afiae 
minoris  et  adfinibus    quaerendum    efle  ,    antca     pro- 
bauimiis.      Occurrunt  autem  in   Afia   minori    anima- 
lia  fcra   quatuor  ,  quae  Cani    plus     minusue    fiialia 
funt  i  Hyaenam   volo  ,  Lupum  ,    Vulpem  atque   Lu- 
pum   nurcum  KaempfERI  feu  Schacalam  Turcarum 
atque    Gallorum.        Non    defuerunt    audores    vnum 
altcrumue  horum  animalium  pro  Cane  fero    habcn- 
tcs   i    noflrarum    partium    nunc    c(\  ,    probnre     nec 
Hyaenam  ,  nec  Lupum  ,  nec  Yulpem  ,    fed    Schaca- 
lam  Canem  ferum  effe. 

Ex  defcriptione  Hyaenne  in  Towo  IX.  H//?o- 
riae  Buffomanae  data  luce  mcridiana  chirius  patet, 
illam  a  Canc  nru(fiura  intcflini  cncci  ,  glanduhirum 
analium  ,  penis  nc  dcntium  ,  eorumque  et  digitorum 
numcro  eflentialiter  diffcrre  ,  imo  diucrfiflmum  cffe, 
adco  vt  plane  irrrofiibilc  fit  ,  Cauis  varictatcs  cx 
Hyacna   proucniffc. 

Lupus    ftatura  ,    •partium  numcro    ct    moribus 
vsriis  Cani  fummopere  analogus  cfl  ,   adeo  vt  difli- 

cillimum 


SCHACALAE  HISTORIA.  455 

cillimiim  fit ,    notns   dirtindiuas    horum    animaliiim 
enodi\re;  att.imen   varia  repiignant  ,  quo  minus  Lu- 
pus  pro  Cane   fero  habeatur.       Patria     Lupi   non  ea 
cft  ,  quae  pro  animali  antiquiffimo  domeflico  rcquiri 
■vifum  c(l  i  nam  ille  zonae  frii^idne  fere    proprius  tft, 
in   Afia  minori  vix  occurrens  et  iti  regionibus     me- 
ridionaiioribus  plane  deficiens.     Magnitudo  Lupi  ad- 
verfatur  ^  nam  probabile.  elt ,  animal  ,  ex  quo  Canis 
varictates  ortae  fmt  ,  magnitudine   naturali  tali  gau- 
dere  ,  quae    mcdia  fit  ,  iuter    maximos    et     minimos 
nunc  occurrentcs  Canes ;  fcd  Lupo   maiores  vix  dan- 
tur  Cancs  ,  certo  nunquam  duplo  maiores  ,  cum   at- 
tamen  quadruplo  co  minores  frequcntes  fint.       Inte- 
flini    cacci   (trutlura  ,   cuius  icon   in   Hi/loriae    Buffo- 
nianae  Tonio  VI L  lab.   1.  exlTat  ,.   Lupus   effentiali- 
ter  d-iffert  a  Cane  ,  pariter.  etiam   tradus    intcfiinalis 
proportionibus ;   nam    longitudc  inteOin:     tenuis-  ad 
corpus  a  rofiri    apice    ad    caudae   radicem     mctitum 
Lupi   \t  4-  :  I  ;  Canis   viUatici   vt  /^\'.  1  \    longitudo 
inteliiiii    caeci     ad    illam    tenuis    Lupi    vt     1  M<5|j 
Canis  vt   i  :  29  ^    longitudo    crafii     feu  coli  et  redli 
ad   tenue  Lupi   vt    1:7!;    Canis    vt    i  :  5^.      Acce- 
duiit  expcrimenta  Buffmana  ,  ex  quibus  patct,  quod 
Lupus  et   Canis   non    folum    coitum    refpuant ,    fed 
etiam  antip;uhiam   lummam  in    conuiuio    teftificent ; 
quae  attamcn  nfindum  omni   exceptione  maiora  funt, 
quippe  Cel.  Pennant  hybridum   ex  Lupo  mare  et 
Cane   femina  vidiffe  affirmat  ,    (  vid.    Ei.  Synopfis  gf 
Qradrupeds  p.    14-4-  )     Vtinam  !  nc  fiiuifTet  ,  an  hy- 
bridum  hocce  aninial  fterile  ,  vcl  non    fuerit. 

Vulpi. 


45<J  SCHACALAE  HISTORIA. 

Vulpi  varia  a  Cane  fero  neccfllirio  praedicanda 
■attrihuta  ,  quibiis  Lupus  caret  ,  pmpria  (unt.  Fatria 
niiTiirLim  Vulpis  ea  c(l ,  vi  potius  quam  Lupus 
hominibus  primaeuis  innotefccre  et  in  numerum  ani- 
malium  domellicorum  rcripi  pctuerit;  ct  magnitudo 
Vuipis  media  crtinter  maximas  et  minimas  Canls 
yarietates ,  quae  ergo  commode  ex  ip(o  deriuari 
^pofTent.  Attamen  Vulpes  magis  adhuc  ,  qutim^  Lu- 
pus  a  Cane  efientialiter  difFcrt ,  quoad  p.irtium  va- 
riarum  ftruduram. 

Tencritate  pilorum  Vulpes  Cancs  domcflicos, 
fi  paucillimos  excipias  ,  adco  exiuperat  ,  vt  plane 
non  vcrofimile  fit,  Cancm  ex  Vulpe  ortum  duxifle, 
quia  liic  c(t  (lauis  domcrtici' eff.dtus  ,  \t  pili  tcne- 
riorcs  ,  non  rudiores  eu.idant  ,  id  quod  ratiocinio 
euinci  pote(\  ac  infuper  Caprae  ,  Ouis  ,  aliorumque 
exemplo  (atis  fuperque  patet. 

Finge  figuram  Canis  fcri  idealem  ,  et  conue- 
nies  nobiscum  ,  roilrum  illius  mcdium  obtinerc  de- 
bere  inter  acutifrima  ct  obtufiflima  Canis  domcflici 
roHra.  Scd  Vulpis  roihuni  minimc  hanc  nedieia- 
tem  tenet  ,  nam  acutiflmiis  Canum  roflris  anaJogum 
efl  ;  hinc  ncc  prt^ptcr  hjnc  qualitatem  Cancs  dome- 
(licos  a  Vulpe  dcriuare  licct. 

Quoad  flruduram  intcftini  cacci  ,  in  Ui/ioria 
Buffoniana  Ton.o  VIJ.  Tab.  5.  rcpraefentati  ,  \  ulpcs 
a  Cane  mai^is  adhnc  diffcrt  ,  quam  Lupus  ,  qui  ncc 
tratflus  intcflinaiis  prnportionibu^  ad  Canem  accedit  • 
nam  ex  D* aubemonianis  '\\\  Hijloria  Bujjoniana  tradi- 

tis 


SCHACALAE  HISTOKIA.  '457 

tis  obferuationibns  intcrtini  tcnuis  longitudo  ad  cor- 
pus  a  rollri  apice  ad  caudac  radiccm  mclitum  in 
Vulpe  vt  3I  :  I  ;  in  Cane  vt  4I :  i  ^  atque  longitudo 
crafli  feu  coli  et  redi  ad  tenue  intcftinum  in  Vulpc 
\t   1:6;  in  Canc  \t   i  :  5'. 

Tandem  dentium  primorum  figura  ,  quibus 
Lupus  omnino  cum  Canc  conuenit ,  VuJpes  a  Cane 
longe  differt ;  nam  in  V^ilpc  nec  fuperiorcs  horum 
trilobi,  nec  inferiores  bilobi,  fed  omncs  integerrinii, 
nec  \ilo  fulco  exarati.  Quam  Vulpis  qualitatem,  de 
qua  Hijloria  Buffoimna  filet ,  in  iudiuiduis  a  me  vi- 
(is  ,  conftantem  obferuaui. 

Vulpem  ,  quanquam  obiter  confideratus  Cani 
fimillimus  fit  ,  quis  ctl:  qui  ,  notis  hifce  difFcrentia- 
libus  allegatis  ,  pro  Cane  fero  habere  poffet  ?  Hxpe- 
rimenta  ab  ///.  Comite  de  BvFFON  circa  inftindum 
■venereum  Vulpis  inflituta  ,  et  Tomo  V.  in  cnpitc  de 
Cane  atque  Tomo  VH.  in  capite  de  Vulpe  recenfita, 
paritcr  Vulpem  a  Cane  fpccifice  remouerc  iubent. 

Expofitis  illis ,  ex  quibus  difFcrentia  fpecifica 
intcr  Lupum  ,  Vulpem  ct  Canem  elucet ,  rcfiat , 
\t  dcmonflretur  ,  inter  Canem  et  Schacnlam  nullam 
differentiam  fpccificam  exifiere  et  omnia  reliqua  con- 
fcntire ,  Canem  ex  Schacala    ortum   effe. 

Patria   Schacalae ,    quae    proprle    Afia    minof 

cum  regionibus  adfinibus,  ca  efl  ,  quac  pro   nnimali 

domefiico  antiquiflimo ,  liominibus  primaeuls  innote- 

fcendo  requiritur.     Praeterca  ille  Scliacalae  inflincflus, 

Tom.XX.Nou.Comm.  M  m  m  fecun- 


458  SCHACALAE  HISTORIA. 

fecundum  quem  potius  montofa  ,  quam  campeftria 
pro  ftatione  fibi  eligit ,  probabile  reddit ,  quoJ  hoi- 
mines  primaeui  paricer  montofa  inhabitantes  potius 
Schacalam  ,  quam  Vulpem  ,  in  iisdem  regionibus 
equidem  obuium  ,  fed  campeftria  non  montofa.  fre.- 
quentautem,  fibi  adfociauerint  acque.  cicurauerint, 

Ea  Schncalae  audacia ,  qua  non  folum  loca 
habitata  ,  vt  Lupus  et  Viilpes  folent ,  fcd  ipfos  ho- 
mincs  viatores  ,  fub  dio  feu  fub  tabernaculis  per-^ 
nodliintes  ,  quos  Lupi  et  Vulpes  fugiunt  ,  adit  et  ia 
ip(o  intincre  longius  comitat ,  "Vt  omnes  peregrina- 
tores  teftantur  et  egomet  ipfe  expertus  fum  ,  proba- 
bilc  facit ,  hocce  animal  quafi  inuito  homine  pri- 
maeuo  troglodyte  cius  focietatem  iniifle  et  comitem 
infeparabilem  fnbfcqucntis  aeui  nomadibus  ex  inflindlu 
naturali  fefe  obtuliffeo.  Hinc  et  hanc  ob  cauffani 
Schacala  multa  vcrofimilius,  quam  Lupus  et  Vul- 
pes  pro  Cane  fero  liabenda  eft',. 

Magnitiido  Schacalae  naturalis  media  efl  intec 
maximas  et  minimas  Canis  varietates;  pili  Sdiacalae 
rigidiorcs  funt  ,  ac  vnquam  illi  Canis  efle  (blcntj 
longitudo  eorum  media  eft  inter  longiflimos  et  brc- 
\iflimos  pilos  ,  quibus  variae  Canis  varictates  prae- 
ditae  funt ;  tandcm  roftri  Schacalac  figura  medium. 
tenet  inter  acutiflima.et  obtufiflima  variarum  Canis 
varietatum  roftra  ,  quae  ergo  propter  hacc  quatuor 
attributa  facilius  ex  illa ,  quam  ex  Vulpe  fcu  Lupo 
oriri  potuerunt. 

Dentium 


SCHACALAF.  HISTORIA.'  459 

Dentium  primorum  (kudura  ,  qua  Caiiis  a  . 
Vulpe  differt ,  et  intediui  caeci  figura  ,  qua  Canis 
a  Vulpc  ec  Lupo  recedit  ,  Schacala  omnino  cum 
Cane  conucnit ;  quod  confcrenti  iconem  in  Hijloria 
Bnffoniam  Tomo  V.  Tab.  4<).  Canis  caecum  reprae- 
fentantem  ,  et  Tab.  X.  Schacalae  caecum  fi(kntem  Tab.  X. 
pjtcbit.  Tandem  etiam  proportionibus  tradlus  inte- 
llinalis  Schacala  propius  ,  quam  Lupus  et  Vulpcs  , 
ad  Canem  accedit.  Inteftinum  tenue  cum  longitu- 
dine  corporis  totius  coUatum  in  Lupo  longius,  quam 
in  Vulpe^  fed  in  Cane  villatico  longius  adhuc,  quam 
in  Lufo  ,  et  in  Shacala  eiusdcm  cum  Cane  dimen- 
fioiiis  ,  imo  nonnunquam  adhuc  longius.  Etenim 
inteftinum  tenue  Schacahie  ad  ^iusdem  corporis  lon- 
gitudincm  vt  5  :  i  ;  inteftinum  caecum  ad  tenue 
eiusdcm  \t  i  :  31  ;  ct  craffum  ieu  colon  et  redum 
ad  tenue  vt   1  :  5;. 

Moribus  Schacalam  fimiliorem  adhuc  ,  quam 
ipfa  partium  ftrudura  ,  Cani  efle ,  certiffimum  eft. 
Catulus  captus  facilc  cicuratur  ^  et  in  hofpitio  adul- 
tus  blanditur ,  homines  laete  adfpiciendo  ,  caudam 
motitando,  corpus  prol^ernendo ,  vel  in  dorfo  fefe 
proiiciendo  ,  leui  murmure  ganniendo.  Domimim 
diflinguit  a  reliquis ;  ad  nomcn  proprium  ipfi  im- 
pofitum  attendit^  in  mcnlam  inuitatus  infilit ;  con- 
tortuplicatus  dormit ;  lambendo  bibit  :,  fcybala  dufa 
cacat  i  ad  latus  mingit ;  in  focietate  canum  pacifi- 
cus  anum  eorum  odorat.  Odor,  quem  Schacala  per 
glandulas  anales  fpargit,  nec  teterrimus,  "vt  DvMON 

M  m  ra  a  vol- 


45o  SCHACALAE  HISTORIA; 

voluit ,  nec  Mofcho  anulogiis ,  vt  alii  toluerunt  ; 
hunc  eo  Vulpis  mitiorem  et  illo  CLiais  foetore  inlhnte 
tenipelUue  erumpente  vix    detcriorcm  eflTe   lentio. 

Experimentum  ,  quo  coitum  Schacahie  maris 
cum  Cane  femina  tentaui  ,  non  fucceflit ;  quia  Scha- 
cala  longo  itinere  Allnichania  Pctropolin  inllituto 
nimis  confeda  ct  infl.immationc  intcrtinorum  (  forte 
tx  climate  nimis  frigido  per  trnn(pir;itinnis  infenfibi- 
lis  fupprefl^ionem  orta )  vexata  prius  periit ,  ante- 
quam  vnum  aherumue  horum  animahum  ad  pu- 
bcrtatis  ct  oeftri  vcnerei  periodum  peruenerit.  Scha- 
calam  cum  Cane  ficile  gcncr.irc  ,  phirimis  tenimo- 
niis  conllat  ,  aflnrmante  ///,  Comlte  de  Bv^FFON  ;  vid. 
VA.  HijL  Nat.  Tom.  XIV.  in  capite  de  animahum 
degcneratione. 

Pruritn  mcnfibus  brumalibus  Schacalis  fuper- 
vcnicnre  ,  alias  rarius  ,  cateruatim  nodurno  tempore 
incedunt  et  miftrrimc  chimitant.  Vox  corum  eiu- 
lantibus  ,  non  hatrantibus  Canibus  analoga  eft.  Nec 
dubitare  hcet  hitratum  Canis  holpitii  cfiedum  efl^e  ; 
nam  Canis  non  nifi  ex  adfcdu  crga  dominum  la- 
trAt  ,  vt  pcricuhim  quodcunquc  intlans  indicet;  quae 
vocis  modificatio  apud  Schacahim  ,  caufla  in  llatu 
fcro  deficiente  ,  ctiam  dcficit.  Cancs  pygmaei  ,  qui 
fcmpcr  hominum  focictati  adfunt  ,  impctuofilhme 
latrant  ^  fed  magni  ,  qui  rnro  ad  hominum  Ibcieta** 
tem  admittuntur  ,  vix  vnquam  voccm  atiollunr. 
Fraetcrca  cx  itincratorum  Oypcrientia  conllat  ,  Ca- 
nes  in  regionibus  per  Zonam  lorridam  ct    frigidain 

iltis 


SCIIACALAE  HISTORIa:  4(?r 

fitls  (qu!a  ibidem  vix  hominum  foclctate  fruuntur) 
taciturnns  cuadere  ,  ncc  vnc]uam  latrarc,  fed  tantum 
(  famc  ku  vencre  ftimulante  )  eiularc.  Hinc  latra- 
tus  dcfcdus  nihil  impedit ,  quo  minus  Sclucala  prQ 
Cane  fcro  habeatur. 

'^^  hominibus  et  gregibus  Shacalae  multo  ml- 
nus ,  quam  i.u^:     ^^  ^-^   ^^^^.       ^^^^  y^j       ^^^ 

tucnJae    funt  ^    nec    natu..      \„,„.^    ^^^^    ^^^^^^^ 

comperui,  ac  in  Hijioria  Biiffomana  defcribitui.  «..>! 

mal  hocce  carniuorum  cquidem  eft  j  animalia  mino- 

ra  phytophaga  fubigit ;    cadaucra  ,    etiam    humana  , 

aJit;    coriacea  quaecanque  auide  deglutit ;  vuas ,    vt 

Canis,  appetit  ;    in  captiuitnte  farinaceis  et    pane  fere 

vnice   pcr  annum  et  vltra  enutritum,    quod   propter 

nimiam  tradlus  inteftinalis  longitudinem    probabiiiter 

Lupo  et  Vulpc  minus  vorax  habendum  e(l, 

Canis  caudam  recuruatam    minime    pro    cha- 
radtere  eflentiali  habere  queo  ,   fed    quod    haec   taa- 
tom  ftatui  cicurato   debeatur    mihi    perfuadeo.     Ca- 
nis  non  nifi  hilaris  et   contentus    caudam    recuruat  y 
quam  timidus  et  metueus  inter  femora  inflcdit.  Nec 
omnes  Canum  varietates    aequaliter    caudam    recur- 
"vant ,  aliae  plus ,  aliae  minus ,  et  illae  ,  quae  auri- 
culis  eredlis  inftrudae  funt ,  {  vr  Canis  villaticus  feu 
paftoraUs,    in   Hijlor.  Buffon.  Tom.  V.  Tab.  28.   re- 
praefentatus ),  caudam  extenfam  et  deflexam  gerunt, 
p.iriter    ac    Schacalae.      Nullam    practerea    corporis 
partcm  magi»  cauda  apud    animalia    domeflica     va- 
riare ,  patct  Ouium  et  Canum  excmplo.    Quare  nec 

M  m  m  3  ob 


^6z  SCHACALAE  HISTORIA. 

ob  caudae  figuram  Schacalam  a  Cane  fpecifice  diucif- 
fam  putare  velis. 

Nullos  igitur  chara^fberes  effcntiales  differentia- 
les,  quamquam  tales  ///.  Comes  de  BvFFON  in  Tomo 
V.  Hi/lor.  Natur.  in  capite  de  animalibiis  yeteris 
mundi  ,  adcffe  autumet ,  inter  Schacalam  ct  Cn-^--" 
inucnio.  Omnis  partium  extcrnarum  -••^fiarumque 
ftrudura  et  proportio ,    n.-  ;-"    cxinentia    attribu- 

^^^„rn     1 *-**"*    i^ro    ideali    neccflano    competere 

debent  ,  fuadent  ,  imo  iubenr  ,  vt  Schacahi  pro  Cane 
fero  habeatur  ,  cx  qua  omncs ,  quae  iiuuc  exiftunt , 
Canis  varietates  ortum  duxerunt, 

Quod  Thos  AristOTELIS  cum  Schncnla    no- 

flra  animal  idem  fit,  mihi  cum  ///.  ComUe  di  BvFFON 

vcrofimiie  videtur,  quia  lccundiim   PlTNIVM  libr.  8. 

cap.   34.  "  Thoes ,  luporum  genus  proccrius   longi- 

„.tudine,  breuitate   crurum    diflimile ,    \elox    faltu  , 

„  vcnatu  \iuens  ,    innocuum  liomini.  „     An    autem 

Panthcram  Aristotelis  pro  fynonimo  Tliois;  vel 

pro  nomine    varietatis    Schacalae    habere  liceat ,    in- 

determinatum    relinquo  ^  ncc    affirmare    audco  ,    an 

Adiue  feu  Adil  Arabiae  ,  Dceb  Barbariae  ,    laquepa- 

rel  Bcngahae  ,  Zenlie  feu  KenHc  Capitis  bonae  fpei  , 

IVlebbia  Acthiopiac  ct  Nori    Madiirae    \num    idem- 

que  aoimal  ,  fcihcet  Shacaiam  nofiram  ,  vt  ///.   Co- 

tncs  de  BvFFON  vuit  ,  indiccnr.     Ula  ,    quae  Ari- 

STOTELES  et  itineratorcs  varii  de  animalibus  variis 

his  nominibus    imbutis   tradiderunt    nimis    curta    ct 

indttcimiiiata  funt ,  \t  exinde  aliquid  cerii  concludii 

poflet. 


SGHACALAE  HISTORIA.  4<?3 

poffet.  Ex  incertis  harioLiri  nolo ;  fed  hoc  certo 
fcio,  qiiod  nomen  Tulki  ,  quod  Ul.  Comes  de  BvF- 
FON  OleariO  fidens  pariter  inter  Schacalae  ly- 
nonima  (  vid.  Hijlor.  Natiir.  Tom.  XUI. )  recepit, 
in  Turcia  afiatica  nunquam  Schacalae  fed  Vulpi 
imponatur ,  id  quod  ex  ipfa  OlearII  defcriptione 
patet ,  fccundam  quam  animali  illi  obuio  auriculae 
nigrae  attribuuntur ,  quae  Vulpibus  vbique  nigrae  , 
Schacalis  autem  femper  brunneae  funt.  Paritcr  per 
curas  C/.  Pennant  nouifllmas  certiflimum  elt , 
quod  lakal  BOSMANI  in  Guinea  vifus ,  quem  lU. 
Comes  de  BvFFON  etiam  pro  Schacala  noftra  haber, 
animal  fit  ab  illa  diuerfiflimum  ,  a  C/.  PeNNANT 
Hyaena  maculata  appellatum  ;  vid.  Ei.  Synopfis  of 
Quadnipeds  p.   162. 

Ita  fiicillime  cmnt  peregrinatores ",  qul  vel 
notitia  Zoologica  ,  vel  patientia  ad  incolarum  exa- 
mcn  neccfliuia  carent,  liiusmodi  peregrinator  ,  no- 
minibus  incolarum  fimpliciter  contentus  ,  iuraret 
etiam  in  Vcrania  et  Polonica  et  Ruflka  cis  et  trans 
DynaprJn  Schacalas  ilare ,  quia  animal  ibidem  frc- 
quens  eft ,  cui  incolae  nomen  Tfchacal  imponunt. 
Gnarus  autcm  ipfo  animalc  examinato  perfpiciet 
animal  hocce  in  Vcxania  Tfchacal  didum  idera  efle, 
quod  in  reliquis  Rufliac  et  Poluniae  prouiuciis  fla-!- 
Yonicc  Wolk  dicitur  ,  quodquc  Lupus   vulgaris     cft. 

Dari  in  rerum  natura,  praeter  Lupum  et  Vul- 
pem  ,  et  alia  animalia  Schacalae  pliis  minusue  adfi- 
nia,  certiflimum  eft.     Ifatis,  animal   in  Sibiria   indi' 

gcnum  , 


4<r4  SCHACALAE   HISTORIA. 

genum ,  cuius  dcfcriptio  et  in  Commcntariis  nouis 
Petropolitams  Tom.  V.  et  in  Hi/loria  Btiffmiana  Tom. 
Xlll.  tradita  eft  ^  atque  CorHic,  aiiinial  in  campis 
ad  maris  cafpii  orientem  vulgare ,  ciiius  luccindta 
determinatio  in  Syjlemate  Naturae  Linneano  eclillonis 
duodecimae  occurrit ,  probant  lioc.  An  ad  vnum  al- 
terumue  horum  animaiium  nomina  antea  prolara 
referri  debeant,  an  diftindla  his  adfinia  animalia  dc- 
notent ,  merito  quaeri  poteft  ?  Eadcmque  quiertio 
circa  animalia  americana,  Gofchis  feu  Gofques  et 
Alco  dida  ,  mouenda  eft.  Nec  certi  quid  lefpon- 
deri  poterit  ,  antequam  Zoologi  rite  intcr  fc  haec 
animaha  contulcrint. 

Qiiibus  omnibus  perpenfis  nihil  amplius  affir- 
mare  audemus ,  quam  animal  hocce  ,  quod  nobis 
Canis  ftrus  cft ,  in  omni  Perfia  et  Turcia  afintica 
indigenum  ,  in  campcftribus  rarius  ,  in  (ubmontofis 
frequentiftiiTUim  ,  fed  non  vltra  Caucafi  iugum  fep- 
tentrionem  verfus  obuium  cfte.  Tntari  ,  Turcae, 
Pcrfae  ct  Rufli  per  gubernium  Aftrachanenfe  com- 
muni  nomine  Schacal  appellant  animal  hocce  ,  vo- 
cales  a  varie  cum  i  et  e  mutando,  et  litteram  initia- 
lem  variter  nunc  lcnius  ,  nunc  afpcrius,  vel  \t  Scby 
vcl  vt  •5'  Jatinum  ,  vel  etiam  vt  /  gallicum  ,  nun- 
quam  autem  ,  quantum  (cimus ,  vt  /  germanicnm 
feu  latinum  pronunciando ;  hinc  male  in  verfione 
gcrmanica  Hijloriac  BiiJJmanae  lacal  dicitur  hoc 
animal,  quod  fat  rede  gallice  lacal  fcu  Chacal  ap- 
pelLitum  ert  ab  audorc.     Hanc  denomiaaiionem,  vt 

vul- 


SCHACALAE  HISTORIA.  ^^65 

Tnlgatidlmam  ct  rcalem  ,  rctincmiis  ,  quae  infupcr 
ilia  Lupi  aurci  feu  Ciiryfci  magis  dctermiiiata  e(l. 
Nam  caue  ,  nc  habcas  Sth.icalam  pro  Lupo  pcr 
clima  dcgencratum.  F,t  Sthacala  ,  et  Lupus  ,  pari- 
ter  ac  Vulpes  in  vno  eodcmque  chmate  pcr  Gcor- 
giam  frequcntes  inueniuntur  ,  notis  dilbndiuis  fpcci- 
ficis  fcmpcr  cafte  li^ruatis  et  vuigo  georgiano  ei^i* 
dcntiilimis  ,  cui  Schacnla  Tura  ,  Lupus  Gmeli,  Vul- 
pes  Mtla  dicitur. 

Criticis  his  pracmifTis  ad  Schacalam  pertinen- 
tibus  ,  atqiic  pondcraiis  illis  a  KaempferO  in 
Anmnitatibus  excCtuis  p.  413.  rclidis,  atque  a  col- 
lega  olim  coniundinimo  optimo  Gmelino  noftro 
in  Toino  111.  ItinerarU  p.  80.  traditis  ,  \t  hodoepo- 
rica  reliqua  taceamus  ,  per  peregrinatores  equidem 
celcbratiilimum ,  attamen  minime  diflincfte  notum 
cflc  condat  animal  hocce.  Tradamus  igitur  nmplam 
et  fcientificam  ,  a  Zoologis  ,  inter  quos  inftar  om- 
nium  LtNxNE  ( d' )  et  PennanT  [b)  dcnominandi 
funt  ,  fuiumoptre  dcfidcratam  animalis  huius  ,  fae- 
pius  in  Gcorgia  contcmplati  ct  cultro  anaiomico 
fubicfli  dcfcriptionem,  quo  in  polieriim  de  differen- 

tia . 


(</)  Vid.  Ei.  Syllem.  Natur.  Fdit.  12.  Tom.  I.  p.  6c.  De- 
fcriptio ,  iiK]uit,  geiuiina  etiamnum    deficit. 

(^)  Vid.  Ei.  Syiiou(is  of  Qiiadrupeds  p.  i  SP-  Itisftrange, 
that  aii  animal  fo  ciuimion  in  the  Levant,  fhould  never 
have  been  brought  over  fo  be  defcribed  by  any  modern 
Naturalift.     The   defciiptions  yet  remain    very  obfcure» 

Tom.XX.Nou.Comm.  Nnu 


%ks  SCHACALAE  HISTORU: 

tia  ,  vcl  conuenicntia  animalium  nffinium  ,  vel  rob 
eodem,  \cl  fub  alio  nomiii-  ob'atoruni  absquc  hal- 
lucinaiione  iudiare  p.  flcnt  Zjologi. 

DESCRIPTIO  SCHACALAE. 

Schacala  magmtudine  Vulpcm  vix  fiiperat,  quae 
phyfiOnomta  et  reliquo  eorporis  habitu  inttr  Lupum 
et  Vulpem  niedia  eft.  Indiuniua  Idpgitudine  triuin 
pedim  cum  dimido  ,  qualia  GmelTNVS  l  c  indi- 
cat,  nuiiqiiam  \idi  ;  attamen  G melmianae  ohkxnnXoni 
'  fidem  derogare  nolo.  Indiuiduorum  ,  quae  mihi 
obuiam  iucrunt  ,  corpus  a  rolUi  apice  ad  raudae 
radiccm  linea  rcda  metitum  ,  intcr  i6.  et  28.  pul- 
Tab,  Xinices  parilinos  variauit.  Icon  Tab.  XL  hic  adncxa 
fillit.aAimal.  magnitudine  naturaii  quadruplo  m  nus. 
Hanc;  ob  ex..i(ftum  fimilitudinem  Plfyfionhihs  grat  fli- 
mara  fore  confido,  cum  figurae,  quas  ValentINVS; 
in  Mufeo  Mufeorum  Tom.  L  pag.  45  2;.et  Kaempfe- 
RVS  atque  Gmelinvs  /.  c.  dederunt  5.  peflimae.  .%ito. 

Caput  multo  breuius  ,  ro/lrum  obtufius  ,  bucQaf 
minus  gibbae  ,  frons  conucxior  magisque  carinata  , 
quam  Vulpis.  Oculi  ma.is  coi.uergcntes  atque  mi- 
nores  vuipinis  ;  irida  brunneo  -  lutcfccnti.  Na'us 
vhra  labium  fupcrius  tantillnm  promincns  ,  nudus , 
niger ,  humidiulculus  ,  nanbus  cxtrorfum  recuruis.. 
Lahia  laxiufcula.  nigra  ,  infcriorc  fubcmar^inaco. 
'  Lingua  laeuis. 

Myflaces  labii   fuperioris  fcx  ordinum,  fuprcmo 
Temotiori ,  breuiflimo  ,    rccuruo  \  rehquis  honzonta- 

Iibus ; 


SCHACALAE  HISTORIA.  4^7 

libus ;  labii  inferioris  minus  reguljriter  ordinatae,ad 
mnrgincs  latcrum  illiiis  cccurrentes,  longitudine  va- 
riac ,  fcd  trcs  pullices  non    excedentes, 

Vcrrucae  facici  feptem  ;  fupraorbitalis  vtrinque 
vnica  ,  in  medio  paipebrae  fupcrioris  tripilis  ;  infra- 
orbitalis  vtrinque  vnica  ,  fuperiori  (uboppofita  ,  in 
cadcm  cum  oiis  commiflura  Imca,  tripilis ;  parotica 
vtrinquc  vnica  ,  in  medio  inter  oris  angulum  et  au- 
riculac  foramen  fita  ,  bipilis ;  gularis  inipar,  detrita, 
multipilis;  harum  venucarum /(?/<sr^  myllacibus  (ub- 
acqualcs  et  concolores ,  omnes  aterrimac,  rigidiflimae 
et  fubcorneae ;  fed  accedunt  in  fingula  verruca  tres 
feu  plurcs  fetae  minus  rigidae  atque  detritae  ,  pari- 
ter  ac   Vulpi  et   Lupo. 

AuricuJae  crcdae  ,  vulpinis  analogae  ,  fed  bre- 
viores  ,  totne  pilofae  ,  intus  albidae  ,  extus  brunneae, 
fuliginofo  tantillum  fubadumbratae  ,  fed  nunquam 
\c  in  Vulpe  ntrae. 

Colb  ct  corpore  Vulpi  fimillima,  attamcn  cor- 
pus  ma^is  con  prefllim  vulpino  ;  nam  diamcter 
trunci  mnxima  perpcndicularis  leptem  ,  transuerlalis 
quinque  pollicum  parifiiiorum. 

Vedes  iis  Vulpis  fimillimi  ,  nifi  altiorcs ;  di- 
giti  toti  pilofi  ,  ita  \t  vngues  vix  promiiieant ;  (ed 
in  planta  et  paln.a  tubercula  quinque  nuda  ,  nigra  , 
quibus  nninial  incedit ;  quorum  quniuor  apicibus  di- 
giiorum  rcfpondent  ,  fed  quintum  his  iutcrpcfitum  , 

N  n  u  a  approxi- 


4^4  SCHACALAE  HISTORIA. 

approximatum    et    maiiis  ;     accedit    verruca    conica 
parua  ,  nigra  ,  iu  flexura  carpi  obuia. 

Digiti  pedum  cjuatuor,  quorum  duo  intcrmedii 
aliquantum  longiores  Lueralibus ,  omncs  fubpalmati  ; 
pol/ex ,  in  pedibus  poflicis  deficiens ,  in  anterioribus 
ad  latus  interius  metacarpi  adell  breuiffimus  ,  eleua- 
tus,  Vngiies  in  omnibi.is  digitis  et  in  pollice  obuii, 
aequales  ,  nigri  ,  comprefli  ,  Tubincurui  ,  acutiulculi  , 
breues  ,  fixi. 

Cauda  medio  fnbincra{r.U3  ,  apice  attcnuata  , 
Vbique  pilola  ,  calc;ineum  vix  attingcns  ,  Iiipinac 
valde  ,  vulpinae  minimc  fimilis ,  quam  animal  cur- 
rens  rcdam  extendit ,  ceterum  dcflexam  gcrit. 

Perinaeum  fcfquipoUicem  latum  ,  pilofum  ; 
vuluae  labia  lUida  ,  pilufa  ,  chtoridcm  conicnm  ,  tres 
lineas  loigam  obtcgcntia;  vagina  3I  pollicem  longa; 
fcroium  et  praeputium  (^riclum  ,  lubpiiofum  ;  penis 
nodofus  ,  oflTe  (iratcns ,  canino  fimillimus.  Mammae 
in  mare  planc  non  vifibiles ;  in  fcmina  non  ladantc 
difficillimc  detegtnJae  ,  qnarnm  vtrinquc  vel  4. 
\el   5.  plus   minusuc  difiinc^c  numcraui. 

• 

P///  vulpinis  multo,  fcd  lupinis  vix  rigidiorcs;  in 
roflro  breuiflimi  ^  in  reliquo  c.ipitc  ct  pedibus  aliquan- 
tum  longiores  ;  in  nbdomine  nuilto  ion-^iorcs;  in  dorlb 
iterum  lont^iores,  trcs  polliccs  (uperautes;  in  caudae 
apice  longiflimi  ,  quadripollicares.  Suturae  et  vw- 
tUet  ,  quac  in  Canibus  pilis  vbique  brcuibus  vclluis 

fat 


SCHACALAE  HISTORIA.  459 

Cat  euldentes  funt,  iii   Schacala  ,    pariter    ac  in  Ca- 
nibus  longitiidine  pilorum   illi  aequalibu?,  obfoletini- 
mac  et  vix  diiiinguendae.     Pilis  triinci  intcrpofitum 
vellus  cincreum  ,  iliis  dimidio  breuius.     Colorum  ele- 
gantiam  uon  tantam  ,  ac  auclores   depraedicaueiunt , 
ccrtc  nullum   auri  nitorem   percipio  ;    animal  totum 
fupra  fordide  fuluum  ,  nigro  in  dorfo  plus ,     in  la- 
teribus  minus  adumbratum  ,  fubtus  lutefcerti-albidum, 
Pedes  vnicolores    brunnco-fului,  carpi  flsxura  aaterius 
faepius ,  non  fempcr,  macula  obfoleta   nigricante  no- 
tata.     Caudd  dorfo  concolor ,    apice  nigro.    Pili  dorli 
falciis  quatuor  pidi  ,  quae  ad  bafm    alba  ,    dcin    ni- 
gra  ,  tum  fulua  ,  apice    iterum    nigra  ,  duabus    pri- 
inis  I  longitudinis  totiiis  pili  occupantibus  ^    fed  pili 
apicis  caudae  bafi  tantum  albidae  ,  dcin  totae    nigrae. 

Ditfifti/ionef  partium  externarum,  quae  in  ani- 
mali  a  plurimis  atHnibus  non  nifi  proportione  par- 
tium  differcnte  maximi  momenti  funt  ,  dabo  con- 
formes  illis  ,  quas  Cel.  D'aVBENTON  in  Tom 
Vll.  Hijloriae  Bujfofiianae  de  Lupo  et  Vulpe  dedit. 
Menfura  adhibita  eadem  eft  parifiua  fecundum  pol- 
lices  ct  lineas. 


Longitudo  ab  aplcc  roflrl  ad  caudae  radlcem 
Altitudo  ab  interfcapulio   ad  apicem  digito- 

rum  anticorum  -  -  -  -  - 
Altitudo  a  lumbis  ad  apicem  digitorum  po- 

fticorum     -         -         -  -  -        - 

Longitudo  capitis  a  rollro  ad  occiput 


polljlin^ 


27 

17 

18 
6 


9 
6 


Nnn  3  Cir- 


470 


SCHACALAE   HISTORIA. 


Circumrcrentia  ronri  pnne  nares 
aJ  oculos 


oris 


DMUniia  inter  nares     -        -         -        - 
apicem  roftri  et  cantun^i  an- 

teri.  rem  ----- 

cantum  pnfticnm  et  aurem  - 

cantos  ocuU 

anticos  in  linea  curua  - 

eaJem   in   l.nea  rcda 

Circuii:fLrt.ntia  cnpitis  inter  oculos  et  aures  - 
Loi.gitudo  auricuiarum  a    vertice 
DilKintia  inter  aures  interne  in  vertice  - 
Longitudo  Culli  a  gula  ad   oflis    fterni    ca- 

put  -  -  -       -         -       - 

Circumferentia  colli  contradi     - 

corporis  pone  pedes  anticos  - 

• —  maxima 

—  ante  pedes  pofticos  - 

Longitudo  caudae    ad    pilorum    cxtimorun 

apiccm        -        -  -  -       -        . 

Circunifcrentia  caudae  ad  bafin   Inxa    - 
Longitu>.1o    antebracliii    a    flexura   cubiti   ad 

carpiim      -  -  -  - 

Circumferentia  carpi    -         -       -        - 

metacarpi 

Lon^ituco  a  carpo  ad  apicem  vnguinm 
cruris  a  gcnu  ad  calcaneum 


poll. 

lin. 

4 

9 

6 

3 

6 

— 

— 

+ 

a 

6 

2 

1 

- 

9 

■ 

7 

I 

3 

II 

— 

a 

9 

2     ' 

+ 

5 

9 

— 

14- 

— 

15 

+ 

»3 

4 

10 



6 

5 

P 

3 

6 

2 

lO 

4 

3 

6 

— 

Cir- 


SCHACALAE  HISTO.^IA. 


471 


Circumferentia  calcaoei        -         -         -       - 

mciatard    -         -         -         - 

Longitudo  a  cnlcaneo  ad  apicem   vnguium  - 
vngium  niaxiniorum    --     - 


poll. 

4- 

2 

5 


lia. 

7 
6 

S 


Dcfcriptioie  atqne  diaienfionibus  hifce  colla- 
tis  cum  illis  ,  a  Cel.  D*AVBENTON  in  Tom  V. 
Hi/hiije  Bufonianae  Je  Canis  \ar;etatibus  traditis  , 
•euidens  cit  ,  quod  Canis  vuUo  domefticus  (eu  villa- 
ticus  didus  et  in  eodcm  Tomo  W.Tab.  2S.  repraefen- 
tatus  proxirne  ad  Schacalam  accedat.  Attamen  non 
diffit^-ndum  ,  Canes  dari  maiori  adhuc  fimiiituJine 
cum  Schacala  gaudentcs ;  vidi  per  RuflTum  Canes 
vulgares  vtllcre  lut.(centi  -  brunneo  haud  mmis 
longo  ,  auriculis  erftis ,,  rortro  acuminato  inftruolos, 
Scliacalae  magnitudiue  et-  has  ob  cauflas  Schacake 
fimillimo«, . 

Wikera  Canis-,  Eupi' et  Vulpis  ,- vt*  ex:  obfer- 
vationibus  D'aubemoneanis  conftat,  non  nifi  ftrudura 
inteftini  cacci  et  proportionibus  inter  fe  dilcrepant  ; 
fed  Schacala  plana  noc<a  Cane  difFert.  Intcjlini  caeci 
Schacaiae ,  Tab.  X.  magnitudine  natur.ili  exhibiti  , 'p^jj  ^. 
curuaturae  duplices  {a  et  b)-^  crure  primo  ( <r ) 
inteflinum  tenue  [d)  verfus  procedente ;  crure  fe- 
cundo  {e)  huic  incumbente  >  coloa  (/)  verfus  re- 
trogrado  ,•  ambobus  cellulofa  arde  connexis;  tertio 
{g)  fublibero,  rehquis  faepe  anguftiore  ,  fundo  cae- 
co  (  ^ )  prominulo,  itcrum  tenue  vtrfus  fpedante. 
Conferenti  iconem  eiasdem  pariis    Canis ,    Tab.    4.6. 

in 


47  s  SCHACALAE  HISTORIA. 

in  Towo  V.  Hijloriae  Biiffonianae  occurrcntem,  patet, 
diffcrentiam  praeter  variam  repraefentationis  metho- 
dum  nuUam  exilkre.  Ea  quae  datur  inter  longitu- 
dinem  canalis  cibarii  Lupi  ,  Vulpis,  Schacalae  et  Ca- 
nis  diuerHi  proportio  iam  ante  ailegata  eft. 

Sequuntur  dimenfionei  lifceyum  Schacalac  eaedem, 
quns  Cl.  CavbentON  in  Hiforia  Buffoniana  de 
Vulpe  ct  Cane  dedit. 

poll.  lin. 
6   I  9 


Longitudo  lobi  finiflri  hcpatis  maximi 
Eiusdem  lobi    latitudo  maxima 

cralTitics  maxiina         -       - 

Longitudo  vcficae  fcllcae  .  -  . 

lienis  ab   cxtremitate  fupcriore  ad 

angulum  ----- 

ab  angulo  ad    extremitatcm 

inferiorem  _         _         .         - 

Latitudo  maxima  ad  angulum    - 

■  —    minima    licnis 

Longitudo  pjncreatis       -  -  - 

LatituJo  pancreatis  -  -         - 

Longicudo  rcnis        -         - 
Latiiudo    rcnis  -         .        -         - 

Craffitics  rcnis     ----- 
Longitudo  vcficae  vrinariae 

intcftini  tcnuis  a  cardia    ad    cae-| 

cum       '  -----       -  i4c 

coli  ct  rcdi  -         -  -  22 

cruris  primi  caeci     -       -        -i  2 


-    2 


6 
3 
5 


IX 

iz 

10 

z 

7 
3 


Lon- 


SCHACALAE  HISTORIA. 


47  S 


Longitudo  criiris  fecundi  cacci 
Diameter  inteflini  tenuis 
intertini  coli     - 


poll. 

3 


caeci 


Ventriculi  diamcter  in  linea  reda  a   cardia 

ad  angulum  atrii  pylori     -  -  - 

Diameter  vcntriculi  a  cardia   ad  fundum     - 

—   longitudinalis  maxima  - 

_    perpendicularis  maxima 

eiusdem   trnnsuerfalis  maxima 


Longitudo  arcus  maioris    ventriculi    in    li- 
nea  curua  a  cardia  ad  pylorum  - 


I 
I 

3 

2 

7 
4 
4 

19 


lin. 
3 

lO 

3 


3 
6 
6 
6 

9 

lO 


Quanta  e(l  quoad  partes  externas  et  vifcera 
conuenientia  inter  Lupum  ,  Vulpcm  ,  Canem  atque 
Schacalam,  tanta  etiam  de  offibus  horum  animalium 
depraedicanda  e(l.  Accuratidimae  a  Cel.  D'avben- 
TON  in  Hi/loria  Buffoniana  traditae  Olleologiae  ho- 
rum  animaiium  addamus  quasdam  in  Schacala  ia- 
ftitutas  animaduerfiones. 

Cum  cx  capitis  figura  et  intcr  varias  Canis 
varietates  et  inter  Vulpem  et  Scliacaiam  facillime  et 
euidcntifTime  differentiam  perfpicere  liceat  ;  conful- 
tum  elTe  duximus ,  iconet  ojfiiim  capitii  et  Schacalae 
et  Vulpis  darc.  Tabulae  XU.  Jigura  i.  firtit  ofla  Tab.  XIL 
cranii  Schacalae  inter  (e  futuris  iunda  ,  maxilla  in- 
feriore  remota  ,  quam  figura  2.  repraefentat ;  atque 
in  Taluk  XWl.  Jigura  3.  et  4.  exhibent  c^sdem  »p^^,  ^jjj 
Tom.XX.  Nou.Comm.  Ooo  Vulpis 


474-  SCHACALA.E  HI^TORIA: 

Vulpis    (*)    partes     magnitujine     femper    naturali. 
QuoaJ  aicus  zy^om.itici  figiram  et    orbitae    majgi- 
nem  ,  nec  no.j  quoad  ofla    froiitis ,    naii    et    roftri  , 
at-]ue  quoaJ  dcutcs  ct  bartfulum  apophyftos   ptery^oi- 
dcae  Schacala   magis  cum   Lupo,  quani  cum   Vulpe; 
fed    quoad  ofla  parietalia  ei  occipttaL-  ,  et  quoad  fu" 
turas  earum   Schacala   mai^^is  cum   Vulpe,  quam  cum 
Lupo    conuenit.       Arcuf  zjgomaticui    Schacalie    [a) 
niinus  extrorium  curuatus  ,  quain    Vulpis   (^);    ex 
margine  fupcriore  z/gonKUis   >chacalae   prominet    /pi- 
imla  {  c  )  j  cx  eminenua  apophyfeos  zygomaticae  olliS 
malae     atque    ex.    apice     eiu>>Jem     apophyleos     oflls 
tcmpcrum  ortay.  interflitium   aJ  caatuin   pofleriorcni 
feu  exteriorem  orbitac  nngulHus   reddcns  ,    quam    in 
Vulpe,  quia.  apud  illum.  hacc  fpinula  deficit.      Olfm 
fromir,  SchxicAhG    (<?',.  fig..  i.  ).  conuexa  lunt  ,    quae 
in   Vuipe   inttorluin    phina  ,    extrorfum     nutem  >    in 
eo  iplo  loco ,    quem   httera    d.  fig- .4-.    occupat,    in'. 
fofliim  deprefla   funt.     OJ/a   nafi    (e).  et;  ro;lrl:  {f)\ 
Schacahie  muito  iatiora  funt ,    quim    e^idemj  Vulpiss 
(g.  et  h.  fig.  4.  )  ofllique   nafi  Schacalae  verfua-apr— 
cem   roftri  minus  extenla  f mt  ,  quam   Vuipis  ,    hinc 
apertura   narium   Schacalae    longior ,    quam     Vulpis  ; 
atque    ofja    vialae  Schacalae    ad    foramen    infra  orbi- 
tale  (  B.  fig.    I.)   muito  conucNiora  funt  ,  iUis   \  ul- 
pis  ad   idcm  foramen  (  c.   fig.   4.  )  ,  cxinde  rollrum 
Schacalae   muito  obtufius  illo  Vulpis. 

Ticnlei 

^*)  Vulpis ,  cuius  caput  repiicfciitntum  ,  longitudj  ab  apice 
roftii  ad  caudae  radiccm  crat  23.  poil.  parif  Schacalac 
autcni  27.  pol).    9.   liii.   parif 


SCHACALAE  HISTORIA:  l':^ 

Demes  primores  fuperiores  Schacalae  (/.),  quo- 
rum  vcriiique  tres  in  arcu  lat  conuexo  difpofiti , 
qui  in  Vulpe  in  linea  fcre  recfla  fiti  funt  (  k.  ). 
Quatuor  intermedii  dentes  prinriores  Schacalae  ,  quos 
/igura  3.  Tab.  XII.  exhibet  ,  vtrinque  fulco  exaratixab.  XII. 
et  denticulis  au(fti  funt  ;  fed  vtrinque  extimi  inte- 
gerrimi.  Dentes  iidem  Vulpis  omnes  integerrimi, 
vt  ex /igura  6.  Tab.  Xlil.  patet ;  fed  inquiratur  pcr  q-^ij  xni, 
indiuidua  plura  ,  an  fcmper  ita,  an  tantuin  animale 
vel  catulo  ,  vel  (ene  ,  vt  Canibus  (olemne.  Dentes 
primores  fuperiorcs  Ifatis  omnino  denticulati.  Dentes 
primores  inferiores  Schacalae  (/.  fig.  2.)  emarginati  et 
biiobi  funt,  lobulo  exteriore  minore,  qui  pari  medio  mi- 
nimus  et  (acpius  \ix  \Ilus ;  dcntes  iidem  Vulpis 
[J..  fig.  5.  )  integri  ,  truiicati.  Dentes  laniarii  Scha- 
■talae  (  m.  m.  fig.  i.  et  2.  )  breuiores  et  cralhores 
funt  lis  Vulpis  (  «.  n.  fig.  4.  et  5.).  Dentcs  mo- 
lares  Schitcalae  [0.  0,  fig.  i.  ct  2.  )  et  laniario  et 
inter  fe  approximati  ,*  Vulpis  [p.  "p.  fig.  4.  €t  5.) 
dillantes.  Ht  Shacalae  et  Vulpis  radix  dentis  mo- 
Jaris  primi  fuperioris  et  infcrioris  fimplex  ;  fecundi 
et  tcrtii  fupcrioris  atque  fecumli  ,  tertii  et  quarti 
infcrinris  bifida  ;  quarti  ct  quinti  (upeiioris  atque 
quinti  inferioris  trifida  ;  kxti  fupra  infraque  bifida  ; 
leptimi  inferioris  itcrum  fimplex.  Quoad  figuram 
coronae  dentium  molnrium,  et  quoad  fitum  dentium 
ore  claulo  Schacala  exjcfle  cum  Cane  conuenit  ,  fe- 
cundum  ex;i(fti(limam  Canis  defcriptionem  a  C/. 
D'avefnT0N  datnm.  Kec  Lupi  nuilares  dentes  ab 
iis  Schacaiac  uifFcrunt ,    nifi  in  eo  ,  quod  fextus    (u~ 

O  0  0  2  perior 


4^6  SCHACALAE  HISTORIA. 

perior  et  fcptimus  inferior  fiepius  adeo  detritus  fit, 
Vt  vix  aUieoli   velligium  adfu, 

Hamuiiis  apophyfeos  pierygoideae  oflls  fphenoidei 
Schacalae  horizontalis  e(l  (^.  lig.  i.)  ac  idem  Lupi, 
quem   Vulpes    perpendicularcm  (  q,   tig.  4.  )    habet. 

OJfd  bregmatis  Schacalae  (  r.  fig.  i.  )  aliquan- 
tum  conuexiora  ,  hinc  et  thcca  cranii  amplior  , 
quan?.  Vulpis  (  s.  fig.  4..  )  ,  qui  his  quaUtatibus 
Lupum  iam  mulium  fuperat.  Nonne  hanc  ob  cauG- 
lam  Vulpes  Lupo  ,  atque  Schacala  et  Canis  Vulpe 
aftutior  ?  ProceJJUs  fagittalis  ex  angulo  fuperiore  offis 
occipitalis  procedens  et  vlcra  medium  (uturae  figiita- 
lis  ©(fium  panetalium  extcnlus  ( w,  fig.  i.  )  vix 
prominet  et  reliqua  futurae  f.igittalis  pars  ( /.  fig.  1.) 
omnino  plana  eft  in  Schacala^  hinc  crillailla  fagit- 
lalis  ,  quac  in  Lupo  eminentiihma  et  in  Vulpe  ob- 
foleta  efl:  (1;.  fig.  4. )  7  ii^  Schacala  fere  deficit.  Su- 
tura  Jamdoidea  Schacalae  (  u'.  fig.  i.  )  pariter  miuus 
crirtata  ac  in  Lupo  et  Vulpe  (  iv.  fig.  4-  ) 

Apoj.hvfis  condyhidea  (  .v.  )  et  malloidca  (  v-  )  , 
petra  [z.)  et  eminemia  articularis  apophyfeos  zygoma- 
ticae  (  A.  ]  Schacalae  (  fig.  i.  )  et  Vulpis  (  fig.  4.  ) 
vix  diff' runt ,  quac  etiam  Lupo  (trudurac  ciusdem. 
Vertehrac  ,  coflae  ,  ojfa  Jlenn  ,  ac  peiuis  Scha- 
calae  et  qnoad  numerum  ,  ct  quoad  figuram  atque 
proportioncm  ,  cum  pnrtibus  iisdem  Cauis  a  CL 
D'avbenT0N  in  Tomo  VIL  Hi/ioiiae  EuJJonianae 
defcriptis  conucniunt  ,  fi  pauca  minus  momentoia  , 
quae  (cquuntur  ,  cxciperc    vclis. 

Apophyles   transuerfales  vertebrae   primae    lum- 
bori  T»  intcgrae  ,  noa  bifidae  ;  apojbjfes  fpinofae  irr- 

tcbra" 


SCHACALAE  HISTORIA.  477 

tehfartim  Iwnhmim  fubneqiuiles ,  nec  apophyfis  quin- 
tae  rtlnjiiis  loii^ior  ,  led  Ipouiis  paritcr  ac  reptinae 
breuior  ;  veitebr^.e  ojjis  facri  tres  et  caudae  n).  vl- 
tinia  brcuiiruna  ,  fexta  ,  (eptima  ,  oiftaua  ,  nona  et 
dccima  loiig.ffiinis  inter  fe  aequalibus.  Kumerum 
\crttbraruni  caudac  Schacalae  iuter  18.  et  20.  va- 
riare  fcro  crederem  ,  pariter  ac  Canis  et  Vulpis ; 
illius  C/.  DavbentON  i<5  —  20.  vidit  ,  huius 
idem  19.  ego  20.  numcraui.  M.anuhrium  ojjis  Jierni 
Schacalae  recflum  ,  pariter  ac  reliqua  eiusdem  ollis 
membra,  nec  furfum  curuatum.  Vrocejjus  Jijloidci  ad  a- 
pophyles  articularcs  polkriores  vertebrarum  lumborum 
primae  et  tertiae  acutillimi  et  euidcntillimi ;  iidem  ver- 
tebris  dorfalibus  vudecimae  ,  duoJecimae  et  decimae 
tertiae  obtufiores  et  breuiores;  led  jvertebris  lumbo- 
rum  fecundae,  quartae,  quintae  et  fextae  obfbletinimi. 

OJpi  extremitatum  pariter  cum  illis  Canis,  Vul- 
pis  et  Lupi  conueniunt.  Scapula  Schacalae  aliquan- 
tum  ab  illa  Canis  a  C/.  D'aVBENTON  defcripta  dif- 
fert ;  nam  et  bafis  et  margo  antenor  eiusdem  le- 
vidime  arcuata  lunt  ,  et  angulus  anterior  rotundatus 
ac  obtufiirnnus  ;  margo  polkrior  redilineus  et  an- 
gulus  polkrior  acutus.  Oj]'a  metacarpi  quinque  ,  fed 
metatarfi  tantum  quatuor  ,  accedente,  fub  oITe  cunei- 
formi  tertio  tarfi  ,  olficulo  feu  rudiniento  quinti 
ofiis  metatarfi  ,  pariter  ac  in  Cane  (  vid.  Hijior. 
Buffon.  Tom.  V.  Tab.  $n..  Jig.  3.  fub  iitt.  A.  ).  Pol- 
licis  in  pede  poftcriore  rudimentum,  quod  in  Cani- 
bus  faepius  adelt  ,  in  Schacala  nunquam    obferuatum. 

Diincnfmes  ojfium  Schacalae  cquidem  iam  ali- 
qaae  in  Tomo  XIU.  Hijhriac  Buffbnianae  datae  funt  ,• 

O  o  o  3  adda- 


478 


SCHACALAE  HISTORIA. 


lin. 


4- 

lO 

1 1 


addarrius  atfairen  plurcs  coronidis  loco  ex  eodcm 
indiiiiuuo  ,  cuiii&  partium  extcrnarum  et  "vifccrum 
nicnliJiiie  antea  cxhibiiae  iunt,  quo  omnia  ad  hilioriam 
huius  aiiintalis  pertinentia  eo  euiocntiora  euadant. 
Alenlura  knipcr  eadem  parifina  fccuudum  pollices  et 
lintas. 

poll 
Longitudo  capitis  a  dentibus  primoribus  in- 

tcrmediis  \bque  ad   angulum    luperiorem 

oiris  occipitis     -         -  -         - 

LatitULio  capitis  maxima  ad  zygoma   - 

—   thecae  ccrcbri  maxima 

Longitudo    n.axillae  infcrioris  a  dentibus  pri 

moribus  intcrmediis  \sque  ad  ani^ulum  - 
Latitudo    maxilJac  inferioris    ad    dcntcs    la- 

niarios  --  ^  -  -  -  _  • 
eiusdem  ^d  ?ir«;erllitium  .dentis  qiiarti 

et  quinti  molaris  -        ^         -         - 

—  eiusoem  rmaxima  :ad  :angulos     -     - 

• —  maxillne  luperioris   ,ad    dcntes    pri- 

mores  cxiimos  -  -  -         . 

—  ciiudcm  ad  dentcs  laniarios     - 

—  —    maxin  a     ad     interflitium 

quarti  ct   quiiti    molaris    -  -  - 

Fiflantia    mimma  inter  orbitam  et  narcs     - 
LonL,)tndo  apcrturac  narium     -  -         - 

Lniitudo  aperturae  narium  •       -         - 

Lnnijitudo  oflis  narium  maxima 
Lotitudo  eius  maxima   ad   txtrcmitatem  an- 
lcriorcm  -        -  -  -         - 


2 

2 

lO 


I  X 

7 
9 

7 
8 


-  1  3 
:^atitudo 


SCHACALAE  HISTORIA. 


479 


Latitodo   orbit;ie         -  -  - 

Altitudo  eiusdem  ... 

Latitndo  foraininis    vertebrae    colli    primae 

pcrpcndicul.iris  -  -         . 

—  eaaem  transucrfalis 

Longitudo    apophyleos    transuerfalis  eiusdem 

vertebrae     -         -         _        • 
corporis    eiusdem    vertebrae    in- 

ferius  feu  aiitrorfum 

eadcm  (upcrius  feu    retrorfum 

corporis  fecundae  vertcbrae  colli  -' 


poll. 


Altitudo  apopi^yfeos  fpinofae  eiusdem 
Loni^itudo   feptimae    vertebrac    colli  ,    quae' 

breuillinia  -         -  -  "         ") 

Altitudo  longiffimae  apophyfeos  fpinofae  ver- 

tebrae  (eptimae  coHii  —  --  •        - 
breuiflirnae  apophyfeo&-fpinofae  ver 

tebrae  tertiae.  coirii  ^  ^-  - 

Longitudo  vfrtcl^rarum^^orfaluim  oinnium'  - 
Alritudo  apophy(cos  fpinofae  longifTimae  ver- 

tebrae  ciorfi  primae;      — 
apophyfeos-    fpinofaiT    breuifiimae 

vertebrac  decimne^dorfia     -- 
Longitudo  corporic- vertebrae '  decimae-^  ter- 

tiae  dorfi  ,  quae    longifTimr.' 
corporis  vertebrarum   dorfi!  pri 

marum  breuifTimarum 
coflae  primae 


7' 


Diflantia  iutcr  cofla»  primas  maxiiTia  - 


lin. 

lO 

II 

S 

3 


6 
z 


T 

r 

4 
S 

3 

5 

6 

I 
Lougi- 


4*0 


SCHACALAE  HISTORIA. 


Longitudo  coflae  feptimac,  quae  longifTima  - 

. ■  vltiiDae    fpuriae 

Latitudo  coftarum  maxima  -       -       . 

. minima 

Longitudo  ofiis  fterni  .       _       -       . 

Altitudo  apophyfium  [fpinofarum    vertebra- 

rum  lumborum        _  .  -  • 

Longitudo  apophyfeos  transuerfalis  vertcbrat 

lumborum  quintae  ,  quae  longifllma 
corporis  vertebrae  eiusdem,  quoa 

longirtimum  _         _         _       - 

cflis   facri  -,        -         - 

Latitudo  eiusdem  interius  - 

cxterius 

Longitudo  longiflimarum    vcrtebrarum   cau 

dae  ,  quac  intcrmcdiae     -       -        - 

oflium  inominatorum  maxima 

Diamctcr  acetabuli  _         -  - 

peluis  pcrpendicnlaris 

eiusdcm    iransucrfalis 

Longitudo  foraminis  oualis 
Latitudo  eiusdcm  -       -         -       " 

Longitudo  fcapulae  maxima     - 
Laiitudo  bafeos  (capulae      »         -         - 

—  eius    minima  -  - 

Altitudo  maxima  fpinae  fcapulae 
Piamcter  cauitatis  glenoidcae    lcapulae 
Longitudo  humcri       -  -  - 

Diamcter  eius  minima        -       -       - 


poll. 

3 

11  ni 
6 

n 

1 1 

- 

4 

— 

2 

6 

2 

■   — 

7 

^» 

lO 

1 

II 

-    I 

2 

-    I 

f> 

-     I 

I 

.   ^_ 

s 

-    4 

s 

I 

8 

-    I 

3 

: : 

9 

6 

-  3 

-  I 

5 
6 

-   — 

8 

-    — 

7 

-    — 

S 
8 

-     4 

-    — 

1  4 

LatituuO 


SCHACALAE  HISTORIA. 


481 


Latitudo  maxima  extrcmitatis  fupcrioris  hu 
meri  -  -  _  _       . 

—  maxima  cxtremitatis  inferioris 

Longitudo  cubiti      -         -         _  >         . 

Altitudo  olccrani         _         -       _         -        . 
Latitudo  niinima   cubiti 
Longitudo  radii  -        -         _         _        . 

Latitudo  eius  in  medio 
Longitudo  femoris       -         _        •       - 
Latitudo  maxima  extremitatis  fuperioris    fc 
moris  _       -        -  -        -         - 

—  in  medlo  femoris  -         .       - 

-  —  extremitatis  inferioris  femoris  • 
Longltudo  tibiiie  -  -  -  _ 
Latitudo  extrcmitatis  fuperioris  tibiae  maxima 
-m —  —  in  medio  libiae     -          -       -        - 

—  cxtremitatis  inferioris  tibiae  maxima 

Longitudo  fibulae  -         -  - 

LaiitaJo  extremitatis  fuperioris  fibulae  maxi 

ma       -        - 
Latitudo  extremitatis  inferioris  fibulac  maxi 

ma     -         -       -  .        _        , 
Longitudo  carpi  maxima 
Lititudo  carpi  maxima      -        -        - 
Lon^itudo  tarfi   maxima 
Latitudo  tarfi   maxima     -  -         - 
Longiiudo  ofTis  primi  metacarpi 
^  fecundi  et  quinti  metacarpi 

Tom.XX.Nou.Comm.  Ppp 


poll. 


5 

I 


I 
5 

X 


lia. 

II 

& 

I 
% 
6 
+ 

X 

4 

X 
X 
X 

8 

3 


4- 
5 
9 
9 

8 

8 

7 
Loa- 


4-8s 


SCHACALAE  IIISTOHIA. 


Longitudo  oflis  tertU  et  quarti  metacarpi  - 

„_: primi  ct  quarti    metatarfi  - 

— — fecundi  et  tertii  metatarfi  - 

— primae  phaiangis  poUicis  antici  - 

" •  fccundi  et  quinti 


poll 

2 


digiti        -       - 

eadem  tertii  et  quarti    antici     - 

— fccundae  phalangis  pollicis  - 

- —  ■ ciusdem    phalangis     digiti  fecundi 

et  quinti   pedum  anteriorum 
eiusdem  phalangis  digiti  tertii  et 

quarti 
tertiae  phalangis  digiti  fccundi  et 

quinti  pedum  anteriorum 
- — tertii    et 

quarti  pedum  anteriorum 

primae  phalangis  primi  et  quarti 

eiusdem  phalangis  fccundi  et  tertii 

fecundae  phalangis  primi  et  quarti 

■ —  —    tcrtii  et  fecundi 

tertiae  plialangis  primi  et  quarti  - 

fecundi    et    tertii 


digiti  pedum  polleriorum 


lin, 

2 

4- 

7 
9 

2 

4 
6 


S 

7 
9 
4 
6 

4 


CHAVS 


CH  A  V  S, 

ANIMAL   FELI    AFFIME    DESCRIPTVM 

Audore 

A.    I.    GVELDENSTAEDT 

Affinitas ,  qua  animalia  plurima ,  quorum  CeL 
Pennant,  (  vid.  Ei.  Sjnopfis  of  Quadrupeds  ), 
fpecifice  dirtiiid:a  enumerauit  od:odecim  ,  Feli  feu 
Cato  ,  quem  ceu  notiflimum  nominamus,  coniundla 
funt  ,  adeo  ardla  ac  multiplex  eft  ,  vt  vix  nifi  ma- 
gnitudine  corporis  ,  caudae  et  auricularum  propor- 
tione  ,  atque  pilorum  colorc  tantillum  inter  fe  ex- 
terne  differant.  Illa  ,  quae  auriculis  barbatis  gau- 
dcnt ,  facile  a  reliqua  affinium  cohorte  diftinguuti- 
tur.  Olim  praeter  Lyncem  ,  nuila  alia  ad  hanc 
familiam  pertinens ,  hac  nota  inftrudla  fpecies  co- 
gnita  fuit.  Innotuit  dein  (aeculo  praeterito  labente 
per  itineratorcs  Africam  et  Perfiam  audralem  \ifi- 
tantes,  quos  inter  ScHAW  et  Thevenot  eminent, 
alterum  cognatum  animai  auriculis  paritcr  barbatis 
inftrudlum  ,  a  Lynce  fat  diuerfum  ,  quod  tandem  iii 
llijioriae  Naturae  Buffonianae  Tom,  IX.  et  XiL  fci- 
entifice  fub  nomine  Caracalis  (  *  )  defcriptum   atquc 

P  p  p  2  icone 

(•)  Nomcn  liuius  arimalis  turcicum  :  Karrah  Kulak  ;  et  per- 
licum :  Siyah  Ghufh  ,  non  Catum  nigrum ,  feu  (^atum 
auriculis  nigris ,  vt  Schaw ,  ( vid.  Voyages  cle  Monfieur 
Shaw  T.  I.  p.  320.  ;  et  ill.   Comes  de  BufFon   illi    perc- 

grinatori 


484  CHAVS  ,  ANIMAL  FELI 

icone  bona  repraefentatum  ,  nec  non  a  D.  Parsons 
in  Transad.  Pbllofoph.  T.  LI.  p.  648.  atque  a  CeL 
PennANT  in  Synopfi  quadrupedum  (  fp.  137.  ) 
illuflratum  eft.  Addidit  nuper  Zoologiis  hic  acu- 
tiflimus,  ( vid.  fp.  J3<f»  in  Synopf.  of  Quadrup,)  ani- 
mal  americanum  Lynci  proximum  ,  quod  illi  Felis 
ruffa  (bay  cat  )  dicitur.  Addamus  nunc  alterum 
animal  afiaticum  Caracali  adeo  cognatum  ,  ac  Felis 
ruffa  Lynci ,  quod  a  nobis  Chaus  appellatur. 

Dendminationem  hanc  a  nemine  neotericorum 
triuialiter  receptam  ,  de  qua  haud  ccrto  conftat  , 
an  per  illam  Lyncem  ,  an  aliud  analogum  animal 
indicauerit  PliNIVS  ,  animali  huic  hucusque  Phyfio- 
philis  vix  cognito  propriam  reddere  confultiffimum 
duximus  ,  deficiente  nomine  vernaculo  fat  diftindo. 
Kuffis  enim  ,  pariter  ac  Tataris  et  Tfchircaflis  ad 
maris  cafpii  littora ,  quae  animalis  huius  patria  , 
habitantibus ,  iliud  in  linguis  eorum  haud  ahud  no- 
men  ,  quam  feri  feu  fylueftris  Cati  fortitum  eft ; 
RuflTis  nimirum  :  diknjii  Kolchka  j  Tataris :  kir  Aly- 
fchak ;  Tfchicaflls :  moes  Gedu  dicitur,  atque  ab  illis 
cum  vero  Cato  fero  ,  a  quo  Cati  domcftici  ortum 
duxerunt  ,  in  regionibus  mari  cafpio  contcrminis 
etiam  indigeno ,  eodcmque  nomine  falutato,  plerum- 
que  confunditur.  Rcliqua  congenera  animalia,  Lynx 
fcilicet 


grinatori  fidcns  volunt  ,  fignificat ;  fed  fimpliciter  nigrauri- 
tum ,  feu  melanotum  indicat.  Nam  tataricc  fcu  turcice 
Kara  :  niger  ,  et  Kulach  :  auris  j  ct  perficc  Sia :  nigcr  , 
tt  Gufsh  :  auris ,  vt  iam  fat  rcdlc  ChArleton  in  txir- 
fitutmibui  tie  dffereiitui  ct  wmMui  antmalium  aunotauit. 


AFFINE  DESCRIPTVM.  48S 

fcilicet  atque  Leopardus  BvFFONII ,  regiones  cau- 
caficas  inter  mare  cafpium  et  nigrum  fitas  pariter 
inhabitantia,  incolis  propter  pellem  generofam  adeo 
memorabilia  funt ,  vt  propriis  nominibus  diftindiflima 
reddiderint ;  Lynx  Ruffis:  Rys ;  Tataris  :  Sylaufyn  ; 
Georgianis:  Potzchori  ^  Ofletinis:  Iftai;  Tfchczenfis: 
Zoak  ;  Leopardus  autem  Ruflis :  Bars ;  Georgianis  : 
Wepchy  ^  Tataris  ac  Awaris  et  reliquis:  Kaplan  feu 
Chaplan. 

Quatuor  haec  affinia  caucaficis  regionibus  pro- 
pria  animalia  ftationibus  haud  parum  inter  fe  diffe- 
runt.  Lynx  fere  vbique ,  et  ia  montofis ,  et  in 
alpeftribus ,  quatenus  fyluatica  funt,  occurrit;  Catus 
ferus  illius  plerumque  focius ,  attamen  in  montofis 
fyluaticis  frequentior ,  quam  in  alpinis ;  Leopardus 
caucaCca  montofa  rupeftria  ,  eaque  maxime  meridio- 
nalia  frequentat ,  circa  Teflifium  ,  Georgiae  metro- 
polin  ,  a  nobis  vifus ,  vix  vlterius  feptentrionem 
verfus  procedens ;  Chaus  in  campeftribus  praefertim 
inundatis  vcl  arundine  vel  arboribus  obfitis ,  mare 
cafpiiim  et  fluiiios  illud  petentes  ambientibus  degit. 
Ad  fluuium  Terek  circa  caflclkim  rufl!icum  Kislar  , 
et  infcrius  vfqiie  ad  oftium  illiusobferuauimus  Chaum; 
qui  feptentrionem  verfus  rarior  et  circa  Wolgae 
oftium  haud  inueniendus ,  auftrum  verfus  autem 
frequentior  ,  praefertim  circa  Cyri  oftium  et  in 
prouinciis  perficis  Gilau    et    Mafandcrnn. 

Chaus  moribus ,  voce  et  diacta  fummopere 
analogus  eft  Cato  fero.     Interdiu  plcrumque   iatitat, 

P  p  p  3  nodu 


485  CHAVS,  ANIMAI-.?5-W    - 

•ooftu  vagatur  in  inundatis  et  campis ,  rarius  arbo- 
res  fcandit ,  pifces ,  Rattos  Muresque  varios  atquc 
aues  in  arundinetis  et  arboribus  nidificantes  vcnatu- 
rus ,  in  praedam  infiliens.  Ad  loca  culta  non  ac- 
ccdit  aninnal  ferox  ,  impaticntiflimum  atquc  iracun- 
dum ,  vnguibus  dentibusque  faeuiens.  Antebracliio 
forcipe  venatoria  ferrea,  qua  captum  fuit  animal , 
diffrado  ,  abftinuit  omnino  a  pane  et  pifcibus  duo- 
bus  integris  coram  in  eadem  cifla  per  duodecim 
dies,  quas  in  captiuitate  adhuc  fuperftes  fuit  ,  iacen- 
tibus ;  e  contra  baculum  in  cifta  obuinm  ,  cui  alli- 
gatum  erat  ,  et  palmam  propriam  pcdis  fradi  mo- 
mordit  ita  ,  vt  et  ligni  fruliula  et  vngues  phalah- 
gesque  digitorum  in  ventriculo  poft  mortcm  inuc- 
niercntur.  Pertinaciflimo  hoc  morfu  dentes  fere  om- 
nes  dcftruxit  ,  praefertim  laniarios ,  qui  ,  ceu  tuber- 
cula  obtufa  et  cariofa ,  vix  e  gingiuis  adhucdum 
prominuerunt.  Phnenomenon  mehercle  !  fingulare 
animalis  in  proprium  corpus  ,  cibo  non  deficiente , 
faeuientis ,  atque  a  cibo ,  naturae  conuenientiflimo 
et  alias  expetito ,  (  nam  et  ad  forcipem  pifce  allici- 
tum  fuit ) ,  abftinentis  ,  et  quafi  pica  iignum  appe- 
tente  laborantis.  Anne  mortcm  promoucrc  mahiir, 
quam  vitam  dolorafim  atque  fcruilem  viuere  ?  In- 
diuidium  alterum  in  captiuitate  pifcibus  large  vicfli- 
tans  ,  alto  filcntio  femper  fcruaio ,  inquictifllmum 
femper  et  cre  fpumante  irafccns  tribus  menfibus  prae- 
terlapfis  pariter  periit.  Hinc  ctiam  ferociflima  agili- 
tate  et  Cato  et  reliquis  congtneribus  fimillimus  Chaus. 
Quo  pateat  in  quo  hic    ab    illis    dificrat ,    tradamus 

defcriptio- 


AFFINE  DESCRIPTVM.  487 

dercriptionem  partium  illius  externarUfn  internarum- 
que  huc  vfque  defideratam. 

DESCRIPTIO   CHAI. 

Statura  Chai  media  inter  Catum  et  Lyncem, 
quae  ex  icone  ,  Tabula  XI V.  repraefentata  ,  euiden-Tab.XIV. 
tHfime  patet.  Magnitudine  Cliaus  plerumque  Catunv 
fupcrat ,  vt  panter  ex  icone  ,  quae  naturali  quadru- 
plo  minor  ,  coatlar.  Longitudo  ab  apice  roftri  ad 
caudae  radicem  vulgatilfima  duorum  pedum  cum 
dimidio;  fed  occuriunt  etiam  indiuidua  tribus  pedi- 
bus  longiora. 

Caput  equidem  rotiindatum,  ac  illud  Cati  ,  at- 

tamen  nonnihil  obloiigius  ,  phyfmomia   parum    diffe-' 

lente.     Oculi  fulgentes,  inquieti ;  iride  nitidiflime  au- 

rea  i  pupilla  in  vmbra  circulari  et  ampla  ,    fed    in-  • 

terdiu  pcrpendiculari  -  obionga  ^   membrafia    nyStitante 

albida ;  margiae    nigra  ;    palpebris    eciliatis.      Nafus 

©blongus ,    obtufus ,    labio    luperiore    breuior ,    totus 

pilofus ;  naribus  angurtis  rotundatis  ,  nigjis.     Labium 

/uperius  lubbifidum  ,  infcrius  inte^rum,  tantillum  fu- 

periore  breuius ;  vtrumquc  nudum  ,  nigrum.    Lingua 

latitudinis  \bique  aequalis  ^  apice  obtufo  ,  tenui,  pa- 

pillis  tenuiflimis  vi(u  ,  non   tatflu  pcrcipiendis  obfito; 

fed  in  medio  linguae  papillae    longac  ,    acuminatae  , 

rigidae  ,  omnes  retrorfum  fpcdantes  ,  atque  ad  radi- 

<em  papillac  calyculatae    fex ,    vtrinque    tres    con- 

vergentes  obuiae  ;  verbo  lingua  fimillima  linguae  Lyn- 

cis  j  (  vid.  Hijlor.  Natur.  Buffon.  Tom.  IX.  Tab.  22.  ). 

Kugae 


488  CHAVS  ,  ANIMAL  FELI 

Rugae  palati  odo  transuerfae ,  antrorlum  conuexac , 
( quarum  oftaua  vltima  obfoleta  )  ,  anteriorem  palati 
regionem  occupantes  ,  vtrinque  papillis  plurimis  tu- 
berculofis  mollibus  obfitae.  Myftaces  labii  fuperioris 
plurimae  ,  detritae ,  vix  bipollicares ;  verruca  fupra- 
ocuiaris  feptempilis ,  porotica  bipilis ;  (etae  hae  my- 
ftacibus  breuiores ;  omnes  albae.  Auriculae  ere(!lae  , 
ouatae  ,  illis  Cati  non  dimifliles ,  ad  bafin  marginis 
exterioris  conchula  audae  ,  intus  albido-  pilofae,  pi- 
lis  vcrlus  marginem  interiorem  longioribus ,  verfus 
marginem  exteriorem  fummc  detritis,  cxtus  totae 
ruffje;  fed  apice  pilis  pollicaribus  nigris ,  non  in 
peniciUi  modum  ,  vt  in  Lynce  ,  barbntae.  fed  potius 
vt  in  Caracale  (  vide  iconcs  a  Cel  PennaNT  et 
Parsons  /.  /.  c.  c.  datas )  fimbriatae. 

Tnmci  figura  omnino  eadem  ac  Cati, 

Vedes  pariter  illi<^  Cati  fimillimi,  toti  pilofis- 
Cmi ;  anteriores  pentadadyli  ,  pollice  remoto  et  ele- 
vato  ;  poftcriores  letradadyh  ;  digitis  infillentes  , 
quoruni  quihbet  tuberculo  nudo  ,  nigro ,  fubcuilofo 
terminatur ,  acccdcnte  in  vola  plantaque  tuberculo 
magno  rotundato  ct  in  carpi  flcxura  aho  paruo  co- 
nico.     Vngues  retradiles  ,  albi  ,  comprefll  ,  acuii. 

Cauda  vix  calcancum  attingcns  ,  cyUndrica  , 
truncata  ,   vbique   pilofa. 

Ferinacum  poliice  anguflius  ,  fubpih)fum,  Scro- 
tum  et  pracputium  flridtum  ,  pilofUhmum.  Labia 
vaginat  flridiufcula  ,  rugofa  ,  clitoridis  rudimcnto  , 
vix  capiiulo  aciculac  maiorc  ,    nudo    auda.      Mam- 

viat 


AFFINE  DESCRIPTVM.  48^ 

mete  0^0  ;  duae  \trinque  pe^florales  ,  totidemque 
abdominales  ,  et  a  perinaco  et  inter  fe  quatuor  pol- 
licibus  diftantes ;  in  mare  \ix  percipendae. 

?ili  lyncinis  et  felinis  rigidiores ,  fed  lupini» 
tencriores ;  in  capite  breuilTimi  ;  in  regione  vmbili- 
cali  longifllmi  ;  ii  ,  qui  in  dorfo  longitudinis  me- 
diac  funt  ,  diiorum  pollicum  et  (ex  linearum.  Color 
capitis  et  trunci  fnpra  et  extremitatum  fufco  -  lute- 
fcens ;  gulae  et  regionis  vmbilicaiis  albidus;  pcdoris 
et  abdominis  diliite  lutefcens.  Auriculae  exius  brunneacj 
apice  nigro-  Cauda  dorfo  concolor,  fed  apicem  ver- 
fus  albido  et  nigro  oblolete  ter  annulata  ,  ipfo  apicc 
nigro.  Ad  cubiti  et  genu  titxuram  introrfum  fafciac 
duae  transuerfae  obfoletae  ,  nigrae.  Palmae  ct  platt' 
tae  atque  digiti  fubtus  etiam  nigrae.  Velius  pilis , 
pracfertim  in  dorfo,  intcrpofitum  tenue,  pilis  dimi- 
dio  breuius  ,  bafi  grifv.um  ,  apice  albido  -  lutefcens. 
P/7/  dorfi  fufci  ,  ante  apicem  fafcia  lutefcenti  ,  fed 
pili  laterum  lutelcentes ,  fafcia  ante  apicem  fufca 
pi(fli;  pili  pcdoris  et  abdominis  totae  luttfcentes» 
Sutura  in  pc(ftore  cruciformis. 

Sequuntur    diimnfmes    aliquae    panlum    exter- 
narum  Chai  ,  fecundum   londinenfes    -         -lpnll.Uin, 


Longitudo  ab  apicc   rollri  ad  anum     -» 
Altitudo  ab  interfcapulio  ad  digitorum  api- 
cem         -         -       .       -         -       - 

a  lunbis  ad  digitorum   apicem 

Longitudo  capitis  a  rcflro  ad  occiput 
Peripheria    cxtren^i  roflri 


30 

20 
5 


6 


4     6 

lom.XX.  iXou.Cumm.  Qqq  Pere- 


4-90 


CHAVS,  ANIMAL  FELI 


Ipoll. 
Peri,^h;ra    rortri  antc  oculos      -       -         -   (5 
Circiimkrentia  ridus  oris        -         -  -|  4- 

Luii^itudo  iiiter    ronrum   et    cantum    ante— 

norcm       -  -  -        -       -       _    i 

• inter    cantum    pofticum    et    au- 

rem     -        -        -         -        -         -       J   a 

D.uiieter  oculi  -         -       -        —      -   — 

Periphi-rij  Ciipitis  inter  ocu'os  et  aures        -'  10 
Loiiiitudo  auricularum  a  bafi  marginis    in- 

terni  ad  apicem   auris  -        -  -        -    2 

— —  cadem    vfque    ad    apicem    pilo> 


rum,  _        -.        » 

Di.imeter.  inter  auricularum  bafin  internam 

cnntos  ocuii  anteriores  - 

— — pofleriorcs 

Periplieria  thoracis  antc  pedes  anteriores 

cadem  pone  pcdes  antcriores 

■ abdominis  maxiina  - 


-    3- 


I 
1 
12 

14- 
18 
I  I 
6 
6 


lin, 
9 


4- 
1 1' 
6' 


9 

9 

£ 

5- 


^: 


Longitudo  caudae     ----- 

Peripiieria  caudae  pilofae 

Longitudo  antcbrachii      -        - 

• a  flexura  carpi  ad  apiccm  digiti 

medii          -          -        -           -         -  -   4. 

• crurls          -        -        -—  -    8 

■ a  flexura  calcanci  ad  apicem  di-' 

gitorum  mediorura         -        -        -  J  6 

'^ —  vnguium         -       -         -  -)  — 

Quoad  flruduram  Chai  iuternam  fcqucntia  no- 
tatu  digna  vidcntur. 


3- 
6 


AFFINE  DESCRIPTVM.  491 

Vulmo  vtcrque  tfilobus  ^  fed  accedit  lobulus 
c]iTnrtiis>  ad  piilmoncm  dextrum  pcrtincns  ,  inter  cor 
ct  dinphrngma  fitus ,  in  mcdianino  poftico  facculo 
quafi  proprio  indufus.  Tracheae  annuli  linea  latio- 
fcs  ,  poftice  quoad  quartam  partem  circumferentiae 
iUato  niufculari  niuiiiti.  Cor  apice  ftcrnum  attingcns, 
ouo  gallinacco  maius  ,  pericardio  pinguedine  rtipato. 
1  X  arcn  aortae  rami  duo.  Diaphragniatis  fpccuiuin 
fubrotundum  ,  anguftum  ,  fpinam  verlus  fpcdans. 

Hepar  vix  hypochondrium  finiftrum  attingens, 
diaphragmati  lub  coftarum  curuatura  a  vcntriculo 
adprcffum  ,  vt  aperto  abdomine  plane  non  in  con- 
ipeclum  veniat  ;  ventriculus  fub  hepate  hypochon- 
draim  finiilrum  rcplens  ,  per  regionem  epigaftricam 
dcxtiorfum  cxtcnlus ;  lien  fub  ventriculo  per  fupre- 
mam  re^ionis  vmbilicalis  partem  ex  hypochondrio 
finiftro  proccdens;  pancreas  pone  lienem  ct  pylorum 
fitus  ,•  imejUna  in  hypogaftrio  repofita ,  in  ptlui 
nulla  ;  -cefica  vtinaria  iupra  fymphyfm  pubis  pro- 
ininens  ;  onietUum  ab  arcu  ventriculi  maiori  ct  hilo 
lienali  dclccndcns  ad  veficam  vrinariam  vfque  ,  in- 
tcftina  in  regione  iliaca  dcxtra  obuoluens  ct  pone  in- 
tcftina  ad  latus  fpinae  dorfalis  dextrum  iterum  hepar 
vcrfus  adfctndens;  intejiinum  crajjim  a  margine  ex- 
tcriore  renis  finiftri  rcda  ad  anum  procedens  ,  caeco 
fupra  extrcmitatem  fuperiorem  huius  renis  dextror- 
fnm  vtrfus  fpedante  et  fpinae  dorfi  incumbente, 
Haec  de  fitu  lifcerum  aperto  abdominc  animaduer- 
tcndo ;  nunc  fpecialia, 

Q  q  q  a  Hepatis 


494  CHAVS,   ANIMAL  FELI 

Uepatii  lobi  tres  dextri  ,  atque  totiJern 
Cnirtri  ,  qui  iis  multo  minores ;  lobus  dtxter  (upe- 
rior  omnium  maximus ,  hypochondriuin  dcxtrum  et 
cardiaca  n  rcgi-mem  o-cupuns  ,  rinillrorfum  ad  me"* 
dium  fere  vlque  fiflTiJS  ,  pro  rccipenda  vtfica  fcllea  ; 
lobus  dextcr  inferior  fuperiore  .quadruplo  minor  , 
jeni  dextro  concauitJie  fua  incumbensj  inter  queai 
et  (uperiorem  dextrum  lobus  medius ,  magnitudine 
media  et  fgira  acuminata  ;  loborum  finiflrorum  duo 
fuperiores,  quorum  extenor  ventriculo  incumbcns  ma- 
ior  ,  interior  minor  et  ligjmento  (ulpenforio  a  lobo 
dextro  feparatu*,  ambo  bafi  adeo  connexi,  vt  non  im- 
proprie  pro  vno  lubo  bipartito  haberes ;  finiflrorunn 
tcrtius  minimus ,  vix  auellana  maior ,  fpinae  io* 
cumbens  (ub  collo  veficac'  fcileae;  colur  licpatis  ex« 
tus  lattritius ,  intus  violaceu». 

Vefica  jellea  vulgo  fubcylindrica  et  rogofa  ;  Cti 
in  animale  ,  quod  ieiunio  per  duoJecim  dies  leruato 
exfpirauit ,  pyr;formis  ,  lacuis  ,  amplilTima,  oui  gal- 
linacei  magnitudine ,  bile  viriliirima,  tenaci  ,  defi- 
cientibus  cibi»  eam  confumcntibus  ia  taniam  copiatn 
accumulata. 

Lien  tenuis  et  fre  membranaceus  ,  ollongas  , 
wcdio  angurtior  ,  extremitaiibus  rotuniaius  et  tmar- 
ginatus ,  feptempolUcaris  ,  vix  fcqinpuUicem  laius  , 
atro  -  rubens. 

Vancreas  duodecim  pollices  longom  ,  pollicc 
anguft  us  ,  tenue,  aequ.ile,  intcgrum  ,  ex  liy.M)Chon- 
drio  finilUo  ab  exiremitaie  fupenore  litui»  iran-uer- 

falitcr 


AFFINE  DESCRIPTIVM.  4^3 

faliter  per  fex  poUices  procedens  et  laxe  omento 
adnexum,  dcin  in  latere  dextro  pcr  lex  poliices  de- 
fcendens  et  duodeno  aJh.jerens. 

Fent' uu/uf  (ubonatus ,  fimplcx  ,  arcu  minori 
tres  poUces  ct  kx  lineas ,  atquc  arcu  maiori  fex 
pollices  et  Rx  lineas  longo  j  diametro  maxima  triunnt 
pollicum^  car.lia  ftncl.i  ct  incr.urata  ^  funJo  obtufo  ; 
pyloro  dilatato  ;  membranis  tcnuibus  j  fuperficie  in- 
terua  lacui  ct  aequali. 

Inte/iimim    teme    diametrl     \bique    fubacqualis 
vlx  poUicans  ,    a   pyloro    ad   caecum    fcxa^inta  tres 
pollices  loiigum  ;  caecum  poilice    brcuius  ,   conicum  , 
initio  colo  noa  aagulliu>  ,  tenue    verfus   rccuruatnm, 
pariier  ac  in  Cato  ,  quoJ  in   Hijloria  Biijjoniam  Tom. 
VI.     Tab.    7«   fig      I.    optime    repraekntatum    eft ; 
frajjim  nec  ftrudura,nec  diamctro  a  tenui  diff.rens, 
pariter  laeue  et  aequale  ,  absque  cellulis  et  lii^amen- 
tis  extcrnis ,  duodecim  pollices  loii^um.    Ad  omnem 
inteltiiialcm   tra(flum  a   pyloro  \Tque  ad  anum  mefert* 
terhim  adhacret.     Superficies  interna  intejlini  tcnuis  ef 
caeci   Ijeuis,  kt\  cralii  a    caeca    ad    mcdium    vlqiie 
longitudinaliter  rugofa,  dem  ad  anum   vf^ue  iterum 
laeuis.     Cauitas  intellini  tenuis   n  ucum    rubicundum 
ct  frequcntiflima  Fatciolae  intcftinalis  conuoluta  coa- 
tincbant  i  feces  ici  craffo  oblon^ae,  condipatac, 

Ad  latera  ani  \r\  Vtroqne  f  xa  adefl  vtrinquc 
conghmtratwn  glandubfiim,  rubicunJum,  (ubgiobijfumi 
iUjilande    maius ,    externe    capfula    mulculari    tenui 

Qqq  3  mani* 


4P4.  CHAVS,    ANIMAL  FELI 

munitum  ,  interne  conauum  ^  cauitas  anguHa  colla- 
befcens  ,  vix  \ltra  mediuin  fubdantiae  extenfa  ,  tii- 
nica  albicantc  ,  membranacea  ,  fucilc  fecedcnte  ,  ioe- 
tente  veftita)  et  in  inteltinum  redum  proxime  pone 
ani  aperturam  foramine  ftylum  fat  cralRmi  admit- 
tente  \trinque  hians.  Glandulae  hae  anales  illis 
Leonis  ,  quas  Cel.  D'avbenT0N  in  'Hijloria  nalw 
rae  Buffoniana  Tom.  IX.  graphice  dcfcripfit  ,  eqat-- 
dem  fimillimae  ,  fed  minus  \eficulares  et  potius  fo- 
lidae  ,  cum  cauitas  carum  interna  anguftiflima  fit 
parietibus  plane  contiguis.  An  ciufmodi  glandulis 
Lynx  et  Caracal  gaudeant ,  in  HijiQria  Bujjo},iana 
minime  injicaium  cft. 

Kcnes  cuati  ,  integri  ,  absquc  hilo  ,  ouo  galli- 
naceo  \ix  minores.,  fubihntia  interna  duplici  cui- 
dentiffima  ;  caplula  vera  men  branacca  inuoluti  ,•  fi- 
niftej:  aliquantum  altior  dextro.  Capfiilae  atrabila- 
riae  ad  margincm  internum  renum  fitae  ,  fubmcm- 
bxanaccae,  lutc-icentes,  non  concauae-  Vefwa  ^rivaria 
cuata  ,  e  mci)  branis  craflis  mufculaiibus  conilata  ^ 
oue  gallinaceo  maior- 

'  Coi^iia  'vteri  a   fymphyfi  pduis  pone    vefic.nm 

ad  rcncs  vfque  extrorfum  aulceni^entia  ,  rcda  ,  no- 
vem  poHices  longa  ,  pcnna  anlerina  \ix  crafliora  , 
laeuia  ,  alis  verpcrtilionum  laxiflimis  regioni  iliacae 
alligato ,  extrcmitate  iubintegra  ,  ct  ouario  oblongo  , 
auclUna  minori,  viicfcenti  -  lutco  ,  introifum  pcn- 
dulo  auda.  Ceritix  n:tcri  duobus  pollicibus  kingicr', 
jcylindrica  ,  cornubus  non  amplior  ,    intcrnc   obfoKte 

ftiiata  , 


AFFINIE  DF.SCRIPTVM*  495 

flriata  ,  et  in  medio  valuula  fundo  caeco  retrorfum 
fpcclaiue  inftruAa.  Ori/ichm  ^^teri  llridam  ,  vix 
Itylum  tenuem  recipiens ,  rugolum.  Vagiiia  vteri 
vix  polliccm  longa  ,  longitUuinaliter  rugofa  ,  nigrif 
cans ,  in  funJo  fupra  vtcri  orilicium  apirtura  vre- 
thrae  perforata. 

> 

Tefles  auellanne  magnitudine  ,  epidldyme  ftride 
adnexa  ,  valis  defcrentibus  immed'ate  ad  caput  gal- 
linaginis  (at  prominulum  in  medio  vrethrae  liianti- 
bu^;  veficulis  ipermaticls  et  pro/iata  mmimis  ac  vix 
vllis.  Corpora  cauernofa  penis  cylindrica  ,  bicruralia, 
a  b:furcatione  ad  praeputii  in  ertionem  fefquipollicem 
longii.  Vrethra  cylinJricj,  laxiafcula,  a  colio  veficae 
vrinariae  ad  corporum  cauernolorum  radicem  fere  qua- 
tuor  pollices  longa  ,  in  glandis  extremitate  fimpli^ 
citer  hans.  Glans  penis  acuto- conica,  apice  laeuis  , 
bafi  vltra  medium  papillis  rigiJiufculis-  murxata  , 
quinque  liaeas  longa  ,  olficulo  tenuiflimo  et  lineari 
ftipata,-  '   '^ 

Sceleton  Chai  fummopere  analogum  e(!  fce- 
leto  Cati.  Ofla  capitis  Chai  magnitudine  naturali 
Tabt  XV.  repraefeiitare  opcrae  pretinm  efle  duxi-Tab.  XV. 
mus ,  vt  Zoologi  in  poltcrum  habeanc  ,  quo  cum 
ofla  reliquornm  animalium  aftinium  confcrre  poflin. 
Dentes  incifores  fitperioreS'  (cx  ^  intermedii  qiiatuor 
parui  ,  obtu.fl  ,  laterales  maiores,  acutiufcuU  (  a.  ) ; 
inferiores  totidem  (/'.),  obl^ilerc  b'lobi  ,  intcrmediis 
duobus  nnnimi>.  Dentes  laniarii  fupcriorcs  (i',  )  ab 
iuciloribus  remoti  ,  conici  ,.  lubincurui  ,    iribus    fulcis 

in 


49^  CHAVS  ,  ANIMAL  FELI 

in  fuperficie  exteriore  exnrati ;  lamarii  inferiores  (/,) 
fuperioribus  analogi,  lantilium  breuiores,  \nico  fulco 
in  fuperficie  exteriore  notati.  Dehtes  molares  fupe- 
riorcs  quatuor  [d.]^  a  laniario  remotiufiruii ;  pri- 
mus  minimus,  tuberculofus ,  vix  e  gingiua  pro- 
minens ,  radice  fimplici^  fecundus  magnus ,  tres  li- 
ncas  longus  ,  compreffo  -  conicus ,  retror(um  denti- 
culo  audus,  radice  bifida  ;  teriius  omniuni  maximus 
quadrideiiticulatus  ,  denticulis  tribus  extcrioribiis , 
irno  interiori  ,  radice  triplici  ;  quartus  (g. )  primo 
vix  maior  ,  tuberculofus ,  introrlum  fitus,  radice  du- 
plici.  Dentes  molares  infenoies  trcs  (  ^. )  ,  pariter  a 
laniario  renioti  ,  (ubaeqiialts ;  duo  antcriores  con.- 
prefTo- conici  ,  denticulis  \trinqiic  audi  ;  tcrtius  it\l 
poHerior  quadratus  ,  bifidus  ;  radix  his  tribus  bifida. 
Dentes  igitur  in  vniuerfum  trigmta  ,  quorum  am- 
plioretn  defcriptionem  necefTariam  tffe  putauimus , 
cum  nec  de  Cato,  nec  de  reliquis  illi  afiinibus  talis 
in  Hiltoria  Buffoniana  data  fit.  Situs  dentium  Chai 
ore  claufo  idem  elt  ac  Cati  ,  a  Cel.  D'aVBENTON 
in  Tomo  VI.  Hifioriae  Naturae  fatis  luptrque  deter- 
minaius. 

Crijla  occipitalis  in  Chao  cuidcnt-fllma  ct 
fere  cruciformis  cfl.  Sutura  lamdoidea  (  b.  )  et  os 
fupcrnumerarium  (  ;.  ),  parti  poHcriori  fuiurae  fagit- 
talis  interpofitnm  ,  tres  cnflas  primarias  conrtitiiunf, 
ad  quns  accedit  qiiarta  criOac  fagittali  opiofita  ,  ad 
foramen   magnum  occipitaic  dtfccndtns,  fed  olfoktior. 

Fijura  apophyfcos  condyloidcae  (  k.  )  er  ma- 
floideac  (/.  ),  foraminis  flylo  -  majloidti  (;//.),  aper- 

turae 


AFFINE    DnSCRIPTViVr,^ 


497 


turae  auris  (  «.  ),  pttr.ie  (<?.),  caiiit:it:s  nrticularis  (/>.) 
pro  rccipicnda  iipophyfi  condyloidea  muxillac  infe- 
rioris  (5;.)»  partis  f.iuarrorae  ofTis  teniporum  {q-), 
aiae  n.agnae  (  p.)  et  apopliyRos  orbitariae  (y.  )o(Iis 
fpliencidci  ,  portionis  orbitariac  ( flls  palati  (  ;.  ) , 
oflis  et  du<ftus  lacrymalis  ((//.),  oflis  zygomatici  («^  ) 
et  maxiliaris  fuperioris  (•:;;.),  ofliuin  roflri  (A-.),nafi 
(y.),  frontis  (j-.)  et  vcrticis  (r. ),  atque  /ut urae  haec 
qja  ca}iiis  intcr  fe  coniungentcs  ex  icone  lat  euidea- 
ter  patenr.  ..    _ 

Reflat ,  vt    dimev/iones  quaedam   ojfium  copitis  , 
quae  ex  icone    vix    diuinari   poflunt ,    lubiungantur , 


fccundum  londinenfes 

Longitudo  capitis  a  dentibus    inciforibus  vs 

que  ad  centrum  criflae  cruciformis  occi 

pitis    -         -        -         -  _        ..       . 
ab  eodem  dentium    punflo    vfque 

ad  marginem  aateriorem   foraminis    ma- 

gni   occipitnlis  -        -  -  - 

Latitudo  maxima    capitis    in    medio    zygo 

matis  -  -         .         _         _       - 

■ —  inter  dentes  incifores    fuperiores    - 

■ —  aJ  dcntium  Janiariorum  fuperioruir 

radices  -  -  -  ,  . 
inter  dentes  moiarcs  fnperiores  po 

flicos       -  -        -  -  -        . 

—  inter  foramina  infraorbitalia      -     - 

■ —  ■ partes  fquamofas  ofljum  tem- 


poJl. 


litik 


6 


porum        -         _         .  _         - 

Tom.XX.Nou.Comm.  R  r  r 


6 

4i 


2      -« 
Latitudo 


49» 


CHAVS  ,   ANIMAL  FELI 


Latitudo  inter  aperturas  auris 

— —  —  apophyfes  corunoideas  maxil- 


hie  inferioris 
—  —  extrcmitates 


interiores  apo- 
phyfium  condyloidcarum  niaxillae  infe- 
rioris  -  -  -  -  . 

—  --  dentes  molares  inferiorcs    \1 


polL  lin. 
8 


timos 


dentium    laniariorum     maxil- 


lae    inferioris    radices 


8 


Offa  trunci  et  extrem'natumC\\?t\  numcro  et  figura 
cum  oflibus  Cati  ,  quae  Cel.  DVvBENTON  in  Tomo 
VI.  Hi/loriae  naturae  defcripfit  ,  conueniunt;  fcd 
vertebrae  caudae  tantum  Oiflodecim  ,  quarum  Cato 
viginti  tres ;  apophyfis  lateralis  non  foUim  -jertebrae 
fextae  colli  bifida  ,  vt  in  Caio  ,  led  etiam  feptiniae 
obfoicte  bifida;  apophyfis  fpinola  vertcbrae  primae 
dorfalis  omnium  longillima  ,  poilicem  et  trcs  lineas 
exfupcrans  ,  fere  perpeiKlicularis  ,  rcliquarum  decre- 
fceos  et   rcdinata. 

Ex  hac  Chai  defcriptione  nunc  abfoluta  euf- 
dentiflimum  cft  ,  illum  non  folum  a  Cato  fero,  fed 
etiam  a  rdiquis  proxime  atfinibus,  Lynce,  Feli  ruflE» 
ct  Caracale  fpccificc  diftincflum  cflc. 

A  Cato  fero  diffcrt  Ch;uis  capite  oblongiore; 
cauda  minus  attenuata  atquc  breuiore  ;  pcllc  vnico- 
lorc  ct  plane  non  flrinta  ;  pils  rigidioribus ;  auricu- 
lis  barbatis  ^  papillis  linguac  omnibus   rctrorfum  fpc- 

«^anti- 


AFFINE  DESCRIPTVM.  499 

dantlbus  ^  papillulis  glandis  penis  minus  frequentibus, 
minusque  rigidis  ;  tradu  inteltinali  longiore  j  veitc' 
bris  caudac  quinquc  paucioribus. 

A  LynQC  rccedit  Chaus  cauda  longiore  ,  ma- 
gisque  attenuata ;  pellc  viiicolore ,  ncc  maculato ; 
pilis  rigidioribus ;  dentibus  duobus  et  vertebris  cau- 
dae  quinque  pluribus  j  tradu  inteHinali  breuiore. 

A  Fele  ruffi  facile  diltinguitur  Chaus  colore 
6ciei  et  corporis  vnifornii,  nec  Ilriato,  nec  maculato. 

A  Caracale  tande.m  Chaus  feparandus  capite 
minus  oblongo ;  pilis  auriculae  apicis  dimidio  bre- 
Vioribus  ;  colore  auricularum  brunneo  ,  non  nigro ; 
cauda  annulata  ;  glande  penis  echinata  ,  quae  Cara- 
cali  laeuis ;  pulmone  fiiiiftro  trilobo ,  non  bilobo; 
tradu  intellinali  brcuiore  ;  vcrtebris  caudae  quinque 
paucioribus. 

Liceat  tandem  ,  ceu  corollaria  ,  ex  antca  dl- 
<5:is  deriuata  ,  addere  nomina  animalium  horum  qua- 
tuor  proxime  aflinium  fpecifica  ,  methodo  Linneana 
confeda  ,  in  vfum  Sjjiematis  Naturae  Linneani  in 
poftcrum   forte  conuertenda.     Sit  igitur 

Lynx :  Ftlis  auriculis  apice  barbatis;  capite 
ct  corpore  albido  -  rufFo  ,  nigro  maculato;  cauda 
obfolete  annulata  ,  apice   uigra  ; 

Fclis  rufFa  :  Felis  auriculis  apice  barbatis  ;  ca- 
pite  ruffo  ,  fronte  et  temporibus  nigro  (Iriats  ;  cor- 
pore  ruffo ,  fufco  marulato ;  cauda  lubtus  et  apice 
alba  ,    fupra  nigro  fafciata  ; 

R  r  r   a  Caracal : 


500  CHAVS,  ANIMAL  FELI  AFFINE  D:-SC. 

Caracal  :  Fclis  auriculis  apice  b:irbatis  ,  extus 
riigris  ;  capite  ,  corpore  et  cau  .a  vnico  o.  ibus  fulceiui- 
brunncis  ^ 

Chaus  :  Ftlis  auriculs  apicc  nigro  barbatis , 
cxtiis  brunntis  ;  capite  ,  corpore  ct  caudae  bafi  vni- 
coloribus  ,  fufcefcenti  -  lutcis  ;  cauda  apicem  verlUS 
albido  et  nigro  annulata  ,  ipfo  apice    nigro. 

Chaus  igitur  Caracali  omnium  proximus,-  Ca- 
racal  autem  an  m;ilia  Feli  affinia  lilis ,  quae  Cani 
aflinia  funt  ,  ardidime  adiungit. 


->  ASTRO. 


ASTRONOmCA. 


Rrr   3  DE 


#  ^ 


«;i 


D  E 

TRAIECTV  CITISSIMO 

STELLAB  PER  DVOS  CIRCVLOS   ALMICAN- 

TARATIl  DATOS  PRO  QVALIBET   ELE- 

VATIONE    POLL 

Audore 
L.     E  F  L  E  R  O. 

Rcferat  circnlas  B  A  Z?  a  b  meridianum  loci  ^^j^  ^y, 
propofiti  ,  in  quo  piuidliim  Z  fit  zenith  et  P  Fig.  i. 
poUis  ;  tum  vcro  circuli  AMa  ct  BNb  ambo 
almicantaratli  dati  ,  ac  ponamus  quantitates ,  quae 
nobis  dantur  ,  i^  complementum  ekuationis  poli  feu 
dirtantiam  poli  a  zcnith  P  Z  —  r.  2°,  Diftantiatn 
fupcrioris  almicantarath  A  a  a  zcnith  Z  fiue  arcum 
2.  A  znZ  a:zz  a  ,  infcrioris  antem  almicantarath  di"- 
ftantiam  a  zcnith  Z  B  —  Z  Z»  —  Z?  ,  intcruallum  au- 
tem  intcr  hos  circulos  vocctnr  brcuitatis  gratia 
AB-d  —  b  —  a.  His  igitur  datis  quaeritor  ftella  S, 
quae  motu  fuo  diurno  percurrcns  parallelum  S  M  N 
ambos  almicantarath  ita  fecet  in  pundis  M  et  N  , 
vt  dudis  circulis  horariis  P  M  et  P  N  angulus  M  PN 
fiat  omnium  minimus  ,  quando  )uidem  hic  angulus 
praebet  men(uram  temporis,  quo  (Klla  fpatium  inter 
hos  almicautararh  comentum  traiiciat.     Pro  hac  igi- 

tur 


50*  VE  TKAIECTV    STELLAE 

tur  flella  Fonamus  cius  dinantiam  a  polo  l'S— PM 
:::PNr:/i  vnde  ftatim  iinotefcet  dcclinatio  huiiis  llellne. 
Vocctur  vero  ctiam   angulus   horarius    M  P  N  z;  Z. 

"'"'-"$.    2.  Ante  omnia  antem  hic  obfernandum  oc-* 

currit ,  hanc  quaeftionem   tantiim  ad  eas  flcUas  fixas 

extendi  ,    quae   motu  (uo  diurno  per  ambos  circulos 

Aa  et  Bb  iranfeunt.     Primo  igitiir  omnes  eae  ftcl- 

lae  hic  exduduntur,  quarum  diftantia   a   polo  minor 

eft  arcu   P  ^  rz  i?  —  f,  propterea  quod   tales  ftcllae  nou 

tranfirent  per  circulum    B^;    deinde    ctiam     cxchi- 

duiuur  omnes  ftclhie  ,  quarum  diftantia   a    polo  ma- 

ior  eft  arcu    P  Z  A  rr  rt -|- tf  ,  propterca  quod    tales 

ftcllae   non   per  circulum   (uperiorem   A  a    tranfirear. 

JVX  ■■     His  excliifis   cae    tantum     ftellae  fixae   relinquuntur  , 

•*  quorum  diftiniia   maior  eft  quam  b  —  c  ,  fimul  vcro 

minor  quam  a -\- c ',  ita  vt  iam  certum    fit   diftan- 

tiam  qniiefuam   P  S  —  J  contineri   intra    hos    hmites 

s  'p^  b  —  c  et  s  <^  a  -\-  c  ;  vndc    inielligitur  ,    limi- 

tem  a  ~\-  c  maiorem  effe  dcbere  quim  b  —  c.    Qiiodfi 

enim  foret  a  +  c  <^  b  —  c  fiuc   tic<^b  —  a   fiue  ctiam 

c<t,ldy  quaeftio  noftra    foret   impoftbilis;    quocirca 

necelfe  eft  ,  vt  arcus  P  Z  —  c  (upcret  dimidium   di- 

Itantiae  A  B  —  ^.     Hoc  autem   nifi  contigerir,  etiam 

folatio  ,  quam  quacrimus  ,  fieri  debct  im.iginaria. 

§.   3.   Q^uoniam   i^itur  ea  diftantia  ftcllac  a  polo 

PS  — J    rcquiritur ,    vntle    anguhis     MPN    oriatur 

_     on  oium   minimus ,   fccuudnm    methodum    maximo- 

rum  et   minimorum   concipiamns    aliam    ftcUam  /  a 

^uaefita   knfinitc   parum    rcmotara  ,    qiue    motu     (uo 

diurno 


PER  DVOS  CIRCVLOS  ALMICANTARATH.  505 

diiirno  jimbos  nlmicantarath  traiicint  in  piindis  m  et  «; 
nc  diidis  honiriis  P  ;«  ct  V  n  neccfle  eft  ,  vt  angu- 
lus  VI  P ;;  etiamnunc  fit  aequalis  angulo  M  P  N. 
Vnde  manifefto  fcquitur  ,  angulos  elementarcs  MP;« 
et  N  P  ;2  intcr  fe  acquales  cde  debere  ;  quare  cum 
fit  P  M  ::^  P  N  et  pvi  -z  pn  ^  ambo  triangula  elc- 
mentnria  P  M  ;;/  et  P  N  ;;  inter  fe  perfcde  erunt 
aequalia  ,  iJeo(]ue  erunt  etiam  anguli  PMwetPNw 
intcr  fe  aequaks.  Auferanfur  vtrinque  anguli  redli 
P  M  S  et   P  N  S  ac   remanebit  ifla  aequiilitas 

ang  SM;//ir  ang.SN;;  fiue  ang.  S  M  A— ang.SNB. 

Quoniam  igitur  ifbi  aequalitas  ex  conditione  minimi 
ell  deduda  ,  diflantia  fttUae  a  polo  P  S  ~  x  ita  de- 
finiri  debet  ,  vt  parallclus  a  pundo  P  defcriptus  ad 
ambwS  notlros  almicantarath  A  «  ct  B  £>  aequaliter 
inclinctur  ;  ex  qua  proprictatc  (ohuio  noflri  proble- 
niaiis  facillime  dcriuabiiur. 

§.4.  Dncatiir  nunc  ex  pundo  Z  ad  ambo  inter- Tab.XVl. 
feclinnum  punc^^a  M  et  N  circuli  vcrticales  Z  M  ^'S*  ^* 
et  ZN,  qui  ergo  circulis  A<7  et  B^  normahtcr  infi- 
ftent.  Vnde  cum  inuencrimus  efle  ang.iMA-ang.SNB, 
erunt  etiam  compleiDenta  S  M  Z  et  S  N  Z  inter 
fe  aequiilia  ;  ct  quij  anguli  P  M  S  ct  P  N  S  etiam 
funt  rcifti  ,  erunt  qaoquc  nnguli  Z  M  P  et  Z  N  P 
inter  ("e  aiqiuikf.  Quare  cum  fu  ZA"ZM=:fl  et 
2  N  —  Z  B  —  6  ,  praeterca  vero  pofuerimus  P  M 
—  P  N  =j  ,  bini  triangula  fphaerJca  ZMPct  ZNP 
non  folum  latus  ?2.  —  c  habent  commune,  fed  etiam 
tam  latera  P  M  et  P  N  ,  quam  angulos  Z  Al  P  et 
Tom.  XX.  Nou.  Comm.  S  s  s  Z  N  P 


5o(y  DE  TRAIECTV   STELLAE 

Z  N  P  habcbunt  aequales.  Quodfi  ergo  in  verticaU 
Z  N  abfcindamus  portionem  N  Q^—  MZ  —.a ,  erit 
portio  Z  (^—  b  —  a  —  d ;  et  quia  iam  in  binis  trian- 
giilis  fphaericis  P  M  2  et  F  N  Q  primo  (unt  latcra 
P  M  =:  P  N  =  J-,  dcinde  etiam  M  Z  -  KQ_-a,  at^jue 
infuper  aiiguli  intcrcepti  Z  M  P  ~  Z  I\  P  ,  hacc 
trianiiula  perfcde  intcr  fe  erunt  aequalin.  ,  Hinc 
ergo  etiam  aequalia  crunt  tcrtia  latera  PZ  —  VQzzc 
et  angulus  ZV  M  —  ang.  QP  N  ,  fl  quibus  fi  aufe- 
ratur  angulus  communis  MPQ,  rcmanebunt  anguli 
aequales  Z  P  Q—  IM  P  N  —  Z.  Sicque  quia  nunc 
in  trian2;uio  Z  P  Q^  omnia  tria  latcra  (unt  cognita,, 
fcilicct  ZP— PQ— f  et  Z  Q^— d,  inde  (latim  in- 
ireniri  potert  angulus  ZPQ— Z,  qui  nobis  praebct 
menfuram  tcmporis  illius  ntinimi  ,  quo  ftella  S 
ambos  circulos  aJmicantiurath  datos  A  a  ct  B  ^ 
traiicit. 

§.  5.  Cum  triangulum  ZPQofa  PZ-PQrr 
fit  ifofccles  ,  bifccetur  angulus  ZPQ  arcu  PO,  qui 
ergo  crit  normalis  ad  latu-  Z  Q  idque  in  O  bife- 
cabir,  ita  vt  fit  angulus  QP  O  —  ang.  Z  P  O  —  5  Z 
ct  latus  QO— ZOzrTs^i  quare  cum  in  triangulo 
re(flangulo  POQ  iit  hypothenu(a  V  Qzz:  c  ct  ca- 
thetus   QQ— i^,    ex  regulis  Trigonomctricis     erit 

fin.  O  P  Q-v"-^,^  hoc  elt  fin.  1  Z  -  -^-.     Sic- 

que  innotefcit  minimum  tempus  ,  quo  ambo  circuli 
A  fl  et  B  ^  a  ftella  traiici  polfunt.  Ex  hac  formula 
iam  ftatinj  intelljgitur  ,  nifi  fucrit  fin.  l  d  <^  (\n.  c  , 
talcm    traufiium    ficri    impuihbilsm  ,    quia    prodirct 

fin.  : 


PER  DVOS  CIRCVLOS  ALMICANTARATH.  507 

fin.  i  2  >  I   id   quod  cgrcgic    comienit    ciim    condi- 

tione  initio  memorata ,  (]ua  oblcruauimus  efC^c)>[(f. 

§    6.  Vt  nunc   etiam    alteram    nonr.im     inco- 

gnitam  j-,  fiue  diltantiam  ftcliae  a    polo     VS     obti- 

neamu*  ,  ex    trianguk)    PQ^O    dcfiniemus    aiigulum 

P(^0  opc   rcgulae  cognitae  ,    qua  eft 

rDr^r»       tang.  QO       tang.  l  d 

cof.  P  Q  O  = 13—-  — . 

^  tang.  r  Q^        tang.  c 

Hinc   autem  pro  triangulo  PQN  erit 

tang.  5  d 

cof.  PQ  N  =  -— ^; . 

^  tang.  c 

Sicque  in  hoc  triangulo  habemus  diio  latera  PQrrc 

et  QN~<7    cum    angulo    interccpto   FQ^N  ^    vnde 

colligitur   tertuim   latus   P  N  =  x  ope  foimulae 

cof  P  N  =:cof  P  Q^cof.  N  Q-h  fin.  PQfin.  N  Q  cof  PQN" 

hoc  elt 

cof  s  —  cof.  c  cof.  a  —  fin.  a  cof.  c  tang.  ^-  d 

quae  formula   reducitur  ad  hanc 

cof.  c 

cofi  J"  —  — 7-,-"T  (  cof.  a  cof  l  (i  —  fin.  a  fin.  l  d\ 
col.  i  «  -^ 

Cum  autem  in  genere  fit 

cof.  p  cof  q  —  fin.  p  fin.  q  n  cof  (  p  -\-  q  ) 

hac    rcduflione    adhibita    ob     a-h^d—^^ia-^-b) 

habebimus   ifiam  formulara  fatis   concinnam 

cof.  c  cof.  l  {  a  -{-  b  ) 

COf.  X  — r^TTT  ~ r ' 

cof.  i(,b  —  a  ) 
§.    7-  Haec  autcm  fohuio  elcgantifllma  fine  v!Ia  Tab.XVL 
analyfi  fequcnti  modo  geometrice    rcpracfentari    po-   ^ig.  3. 
terit:    interuallum    binorum    circulorum    aimicanta- 

S  s  s  2  rath, 


50  8  DE  TRAI.  STEL.  PER  DVOS  CTRC.  ALMIC. 

rath  ,  fcilicct  nrciis  AB  bifecctiir  iii  pu-nfro,  C  erit- 
que  AC-BC-'fl'=lCZ'-fl)  cc  arcus  ZC:r-;:a  +  ^)j 
quibus  notatis  primo  pro  loco  ftelhie  S  fcu  eius  di- 
ftiUitia  n   polo  P  S   habebitur  ifta   determinatio 

coj.  A  C 

nc  pro  ipfo  tempore  traiedus  minimo,    cuius  men- 
fura  e(l  angulus  M  P  N  ,  crit 
fin.  iM  PN  ~^;^%- 

"  Jm.  P  Z 

\bi  arcns  P  Z  efl  complemcntum  clcuationis  poli. 
Hoc  igitur  modo  fine  dubio  (olutionem  fimplicidl- 
mam  problematis  propofiti  fumus  nadi  .  quae , 
nifi  hoc  artificium  fuin^ct  adhibitum  ,  in  calculos 
vehementtr  prolixos  praccipitaflfet. 


DE 


D  E 

CIRCVLO  MAXIMO 

FJXO  IN  COELO  CONSTJTVENDO,  AD 
Q\m{  OKBITAE 

PLANETARVM  ETCOMETARVM 

REFERANTVR. 

Auiflore 
L.     E  V  L  E  RO. 

§.  I. 

Ciim  nunc  quidem  fatis  fuperqne  fit  euldlum  \ 
pliinetas  ob  eorum  adioncm  mutuam  in  motu 
fuo  aliquam  perturbaiioncm  pati  ,  quae  potiffimum 
in  promotione  apheliorum  ccrnitur  :  nullo  modo 
dubitarc  licet  ,  quin  ctiam  pofitio  et  inclinatio  mu- 
tua  ,  quam  orbitae  planctarum  inter  fe  tcnent ,  non 
leucs  mutationes  fiibire  debcat,  quae  quidem  demum 
poft  longum  tcmporis  interualUim  fiant  notabiles, 
Hinc  in  rccentioribus  tabiilis  aftronomicis  progreflio 
annua  nodorum  cuiusqiie  jlanctae  follicite  affignari 
folet  ,  etiamfi  Aftronomi  circa  quantitatem  huius 
motus  parum  inier  fe  confcntiant  5  cx  quo  intelli- 
gitur  ,  plurimum  adhuc  abcfle,\'t  ifla  nodorum  mu- 
tatio  fatis  fit  cxplorata.  Qnod  quo  clarius  appareat, 
ex   tabiilis  tam  CaiJinianis   quam    Halielanis    promo- 

S  s  s  3  tionem 


510 


DE  CIRCVLO  FIXO 


tionem  fccularem    nodorum    cuiusque    planctae    ex- 
cerpamus 

Promotio  fecularis  lineac   nodorum 

ex  tabulis  Cafluiianis  ex  tabulis  Halleianis 


ProSaturno 

1 

35' 

11" 

u 

0 

30' 

c' 

Pro  loue 

o 

40 

9 

I 

23 

20 

Pro  Marte 

o 

5<r 

40 

1 

3 

£0 

Pro  Venerc 

o 

56 

40 

0 

51 

40 

Pfo  Mcrcurio 

I 

C4. 

40 

I 

23 

iO, 

§.  1.  Cauflli  huius  enormis  diflcnfus  manifcflo 
in  hoc  cft  quacrcQda  ,  qnnd  cx  rccontioribus  obfer- 
vationibns  ,  ctiamfi  aliquot  reculis  a  fe  inuiccm  di- 
(lent,  vix  quicquam  de  \'cro  loco  nodi  cuiusqne  pianctac 
dcfinirc  licet  ^  cum  error  ahquot  graduum  in  loco 
Dodi  commiflTus  tam  exiguum  difcrimcn  in  latitudine 
planerae  pariat ,  vt  in  obferuationifcus ,  nifi  fint  ex- 
quifitiirimae ,  vix  fentiri  pcfft,  propterea  quod  incli- 
natiores  orbitarum  ad  cdipticam  nimis  funt  paruae, 
quam  -vt  effccflus  ex  tali  crrore  criundus  fatis  di- 
ftinflc  definiri  queat.  AntiqnilTimae  vero  obfcrua- 
tiones  pkrnmque  taniopere  funt  incertae,  vt  crrorcs 
plurium  minutorum  primorum  in  iis  ngnofci  de- 
beant  5  vnde  nihil  prorfus  pro  fitu  nodornm  ,  qui 
illo  tcmpore  locum  obtinuerit,  concUidi  polfit.  Solae 
obfcruationes  illius  tcmporis  ,  vnde  aliquid  ccrti  de- 
finiri  poflTe  videtur  ,  funt  fine  dnbio  occuhationcs 
fiellarum  fixarum  a  planctis  commemoratae  ,  qnae 
autcm  rariflime  occurrunt ;  ac  practcrca  hand  hicuis 
jnccnitudo    circa    loca     illarum     flcliarum     fixarum 

hunc 


AD  RELATIONEM  PLANETARVM.    Sn 


hanc  diftiuifitioncm  pliirimiim  impedit.  Multo  ma- 
iorem  nutem  fbntem  hiiiiis  inccrtitudiiiis  in  inclina- 
tione ,  quam  orbitac  pl.inetarnm  anticjuitlimis  illis 
temporibus  tenuerint,  niox  detegenius. 

§.  3.  Qj.iamuis  autem  Aftronomi  fnpcr  motii 
nodorum  tancopcre  inter  fc  didentiant  :  t-mien  in 
hoc  inter  fe  omnes  connenire  videntur  ,  quod  incli- 
nationcm  orbitarum  ad  ecHpticam  inuariabilem  (h- 
tuant  ,  (juemadmodum  ex  fequcnti  comparatione  ta- 
bularum  artronomicarum   patebit 

Inclinatio  orbitaiTim  planetarum  ad  eclipticam 


ex  tabulisCairinianif 


Pro  Saturno 

0 

30' 

36" 

0 
2 

30' 

10" 

Fro  loue 

I 

19 

30 

I 

19 

10 

Pro  Marte 

I 

50 

54 

I 

5x 

0 

Pro  Venerc 

'•     3 

23 

20 

3 

23 

20 

Pro  Mercurio 

7 

0 

0 

6 

59 

20. 

ex  tabulis  HaHeianis 


Verum  ex  hoc  egregio  confeafu  plus  concludere  non 
licet,  quam  quod  his  po(\crioribus  feculis  incHna- 
tiones  planetarum  ita  le  habuerint ,  prouti  hic  adl- 
gnantur,  Nihil  autem  hinc  ccrti  pro  antiquoribus 
temporibus  colHgi  potcft,  dum  ilti  audorcs  fine  vILi 
ratione  quafi  tacite  lupponunt,  eandem  inclinationem 
pro  finguUs  planetis  omni  tempore  locum  habuifle  ; 
id  quod  non  folum  theoriac  maxime  aducrlatur,  vii 
mox  cl.iriirime  oftcndcmus  ,  verum  etiam  nullis  plane 
obfcruationibus  confirmari  potefl.  Atque  hinc  fimul 
patebit  ,    etiam  poIitiQnem  nodorum  pro  tcmporibus 

anti- 


512  '      DE  CIRCVLO  FIXO 

nntiqiiifllmis  maxime  incertam  cflTe  debere.  Si  enim 
his  temporibus  inclinatio  cuiiispiam  planctae  maior 
ininorue  fiiinTct  quam  hoJie  dcprehenditnr,  nihil  certi 
ne-iuidem  cx  occultationibus  (kllarum  fixarum  illis 
tcmporibus  obferuatarum  conchidi  potcrit  ;  vndc  in- 
telligiturj  hanc  inccrtitudinem  etiam  in  motum  nodo- 
rum  maxime  redundare.  Ex  quo  patet ,  anronomos 
etiamnunc  circa  hoc  argumentum  in  Alkonomia  vti- 
quc  maxirni  momcnti  in  grauiflimis  tcncbris  ver- 
fari. 

§.  4.  Si  quidem  ecliptica ,  vti  omnes  Aflronomi 

ante  hac  (unt  arbitrati  ,  i:i   co.lo    perpetuo    eundem 

locum   occuparct  :  rationcs  noii   deefTcnt  ,  cur   ori  itae 

planctarum   lcmpcr  eandem   inchnati.mem  aJ  cchpti- 

cam   feruarcnt  ,  non  obihntc  corum  adionc    nuitua  , 

prordis   vti   inciinatio  m.dia  orbitae  lunaris  ad  ccHp- 

liqam  omni  tcmpore  cadcm    eft    oblcruata.      Vcnim 

cum  nunc  quidem   nulhim  ampHus  dubium  fuperfit  , 

quin.  obhquitas    ccHpticac    ab    antiquiilmiis     tcmpori- 

bus   ingentcm  diminutioncm    fit    paHa  ,    atque    liinc 

etiam  infigncm  alterationem  non  folum   in  longitudine 

ftLllarum  fixarum  ,  fed    etiam     in    earum     latitudine 

*iE{re  ortam:  ccrium  omnino  e(l,  cclipticam  hodie  longe 

'ahiim   fitum  inter  flcilas  fixas  occupare    quam    fecu-    j 

lis     praetcrlapfis.      Qiiare  cum  folac  ftuilae  fixae   no  • 

bis  in  coclo  loca  rcucra  fixa  exliibere  fint  cenfcndae, 

fi   quidem   hinc  non  nullas  flclias   peculiarcs    txclu-- 

damus,  in  quibus  Aftionomi  quandam.    mutationem 

obreruarunt :  ccrtifluiiis    rationibus   iam   eft    euiduin  , 

pofitionem  cclipticae  in  coelo  infid;ni  mutationi   cfle 

ob 


AD  RELATIONEM  PLANETARVM.    513 

obnoxiam.  Tanto  minus  igitur  praetendi  poterit , 
orbitas  planetarum  refpedu  eclipticae  eandem  per- 
pctuo  incliiiationem  conferuare.  Si  enim  hodie 
ccliptica  \ltra  20  minuta  prima  a  fitu  quem  tera- 
porc  Kipparclii  tenuit  rccelik  ,  quo  iure  quisquam 
affirmare  poterit ,  inclinationcm  orbitarum  planeta- 
rum  refpedu  edipticae  illis  temporibus  candem 
fuifle  ,  quanta  hodie  obferuatur  ? 

§.  5.  Quae  cum  ita  fint  ,  facile  intelligitur , 
neque  ex  oblcruationibus  ncque  etiam  cx  thcoria 
quidquam  cerii  circa  motum  nodorum  et  indina- 
tionem  orbitarum  planetarum  cognofci  et  fiatui  pofle, 
quamdiu  haec  elemcnta  ad  circulum  in  coelo  tanto- 
pere  variabilem  ,  qualis  eft  ecliptica,  referuntur:  [ed 
omnino  necefle  efle,  vt  ea  perpetuo  ad  circuluni 
quendam  fixum  in  coelo ,  qui  omni  tempore  eun- 
dem  fitum  obtinuerit,  reducantur;  quandoquidem  hinc 
demum  condudi  poteft  ,  quantum  lineae  nodorum 
fuper  tali  circulo  futrint  promotae  et  quantam  va- 
riationem  inclinatio  orbitae  cuiusque  planetae  refpedu 
eiusdem  circuli  fit  pafla.  Atque  adeo  hanc  ncceflita- 
tcm  iam  nonnuHi  infignes  Geometrae,  qui  hoc  ipfum 
argumentum  triidare  lunt  aggrifli  ,  agnouerunt  et 
acquatorem  Iblarem  propofuerunt ,  ad  qucm  perpe- 
tuo  orbitae  planetarum  referantur.  Cum  autem  fu- 
per  hoc  aequatore  lolari  Aftronomi  nondum  fint  fa- 
tis  certi  et  introdudlio  talis  circuli  ab  ecliptica  tan- 
topcre  diuerfi  calculos  nimium  mokftos  poftularet , 
quibus  opus  efTet  ad  loca  planetarum  obftruata  eo 
Tom.XX.Nuu.Comm.  Ttt  ledu- 


^14-  DE  CIRCVLO  FIXO     '  '^'\ 

rediicenJ.i,  praeterqiiam  quod  adhuc  incertum  fit,  vtrurti 
ilte  neqiidtor  Solis  tandem  non  aliquam  alterationem 
patiatur  ncc  ne  :  multo  commodius  hoc  negotium 
confici  pofle  videtur  ,  fi  loco  talis  circuli  in  coelo 
immoti  ipfae  echpticae  fitus  fubftituatur,  quem  certo 
quodam  tempore  obtinuit.  Sic  enim  multo  facilius 
loca  planetarum  ,quac  tempore  quocunque  fuerit  ob- 
fcruata  ,  ad  ilVam  edipticam  determinatam  leuocari 
potcrunt ;  vnde  non  dubito ,  eum  circulum  maxi- 
miim  in  coelo  pro  hoc  fcopo  fiabiHre,  quocum 
ipfo  initio   huius    feculi  ecliptica  conucnerit. 

§.  6.  Pofitio  igitur  quam  ediptica  ipfo  initio 
huius  feculi  in  coclo  tenuit  ,  nobis  commodifllmc 
eum  circulum,  fixum,  ia  codo  fuppeditare  \idctur, 
ad  quem  quouis  tempore  tam,  loca  planetarum  ct 
cometarum  quatui  eoirijm  orbitae  referantur.  Hlc 
'-Cnim  circuhis  reuerai  in  coelo  Hellato.  tantjuam  im- 
mobihs  fpedari  poterit ,  propterea  quod  p6rpetuo  per 
casdem  ftellas  fixas  tranfiljit  eiusque  refpcdu  omnes- 
plane  fiellae  fixae  femper  eandem  rongitudinem  et 
latitudinem  fint  habiturae  ,  quem  itt  finem  etiam 
principium  huius  circuli  ,  a  quo  tongitudines  ficlla- 
rum  computentur  ia  ipfo  pundo  aequinodii  verni  » 
in  quo  illo  tempore  verfabatur  ,  confiitui  conueniet» 
'Hitrc  autem  eas  paueiflimas  ftdlas^  fixas  exchidi  opot- 
'tebit  ,  in  quibus  Aftronomi  quempiam  alterationem 
animaducrterunt^ 

TaKXVt  §.  7.  Sit  igltur  M  A  RN  ifie  circulus  maxi- 

''S*  *•    mus  immotu&  feu  pofitio  edipticac  pro  iuitio  huius 

fcculi, 


'  AD  RELATIQNEM  PLANETARVM.    j^f : 

ftculi ,    in  quo  A  fit  eius  principium   feu  pundumi 

aequiiKHftiale  vernum  ,  quod  liuic  epochae    refppnde- 

bat ,  in  quo  exi(kre  fingamus  ftellam  fixam    notabi- 

fcm,  quae  er^o  piTpetuo  in  hoc  loco  A  jiaerere  eft 

cenfcnJa.     Praeterea  vero  concipiamus  aliam    ftellam 

fixam  in  B  ab  illo  interuallo  quadrantis    ABzrpo" 

remotam;  ita  vt  his  duabus  ftellis  fixis    in  A  et  B 

poQtio  noHri  circuli   maximi  fixi  perpetuo  in    coelo' 

tieterminetur  ,  \bi   arcus  A  B  a    principio  A  fecun-' 

tjum   fignorum  feriem  porrigi    cfl    cenfendu?.       Hoc 

igitnr  circulo  conflituto  ante  omnia  inquirendum  erir, 

quemnam  fitum    ediptica  ad     quoduis    tempus    tam 

ante  quam   poft  hanc  epocham  eius  refpedlu  tenuerit, 

3ic    cnim  facillime    omnia     loca    in    coelo    Tefpidu 

eclifticae  dcterminata  ad    nodrum    circulum    fixum 

M  A  B  C  transferri  poterunt, 

§.  8.  Quo  autem  ftcilius  hanc  inuefiigationem 
innitnam  ,  in  lubHdium  vocabo  ea  ,  quae  olim  ia 
Memor.  Academiae  Reg.  BoruflC  pro  anno  MDCCLIV. 
pag,  29(J.  de  Variationibus  quibus  latitudo  ftcllarum 
fixarum  efl  obnoxia  ,  fum  commentatus.  Hinc  igi- 
tur  refumam  regulam,cuius  ope  ex  data  tam  longi- 
tudine  quam  latitudine  cuiuspiam  ftellac  fixae  pro 
initio  huius  feculi  eius  locus  pro  quouis  alio  tem- 
pore  facile  aflignari  poteft.  Sit  igitur  X  longitudo 
cuiuspiam  ftellae  fixae  pro  initio  huius  feculi  ,  at- 
qiie  elapfo  vno  feculo  huius  ftellae  longitudo  eriC 
:zX+i°,2.2*,  cius  verodiftantia  a  polo  boreali  eclipticae 
intcrca  diminuitur  quantitaie   47^"  fin.  X  4- ^i"  cof  ^; 

T 1 1  a  vnde 


5iff  DE  CTRCVLO  FTXO 

vnde  facile  eius  latitudo  innotefcit  ,    vti  ridere  licet 
pag.   32»  libri  citati. 

§.   9.  Hinc  i2;itur  definiamus  loca  ,  vbi  ambae 
noftrae  ftelUe  fixae  A  et  B   elaplo    vno    feculo    re- 
Ipedu  eclipdcae  repericntur.      tLt  cum   (tcllae  A  lon- 
gituJo  fuerit  X  — o,  eius  longituJo   poft  vnum    fe- 
culum  erit     1°.  23'  ;  et  quia  eius    diftantia    a    polo 
ccUpticae  erat  —  90°,  eius  latitudo  borealis  ent  6^". 
Demde  altcrius  ftellae  B  ,  quia  eius  longitudo  initio 
huius  (eculi  trat  X  —  3',  et  diftantia  a   polo  pariter 
rr   90°    eius    poft    vnum    feculum     longitudo     erit 
3^  1°.  23',  lutitudo  vero  borealis  —  47,".     Hinc  igi- 
tur  elaplo    vno   fecu'o  ecliptica   eiusmodi    tenebit    (i- 
tum,  \t  ftcllae  A  latitudo  fiat  6;",  Ikllae  vero  B-^-jJ' 
\traque  borealis.    Aequinodiun)  aut(.m   vernum  lum 
ibi  erii,  vt  ftcllae  A  longitudo  euadat   1°.  23^. 

Tab.XVI.  §•  *0'  Manenfe  igitur   M  A  B  N    noHro    cir- 

Fig.  5.  culo  inmob  li  ,  qui  fimul  erat  ecliptica  pro  initio 
huius  feculi  (eu  pro  anno  noo  ,  hinc  elipfo  vno 
feculo  referat  circulu-Otf^  cclipticam  pro  illo  tcm- 
pore  feu  pro  anno  iStDo,  qu.ic  priorem  circuluin  fLxet 
in  pundlo  O;  ad  quam  ex  puii<flis  A  tt  B  demittan- 
tur  perptndicula  Aa  et  B  ^,  4Uorum  ergo  illud  cfle 
debebit  6'J'  hoc  vcro  —  47I".  Vt  autcm  noftram 
detcrminanontm  gcnerulcin  rcJdamus  ponauius  A^- a 
et  Bbcz^biUirf^  vcro  pro  pun^flo  O,  quodpraLcipue 
quatritiir,  fit  arcrs  A.()  —  x  et  ana;ulu>  A  O  a  —  u, 
erit  lue  ex  triun^ulo  O  Ao,  fin  a~Cin.xC\n.(a,  ct  ob  ar- 
tum  A  B  —  90°,  iuco^UG   O  B  —  90°  -{-  jr,  ex  tri- 

xngulo 


AD  RELATIOMEM   PLANETA!<VM.   S17- 

angulo  BO  b  cof.  x  fin.  cj  —  fin.  b  ;  vbi  ,  qiiia  arculi 
0  ct  b  luiic  quain  minimi  ,  ojlUae  ae^uatioiic:»  iu 
exliiberi  p>Meru  >c 

L  fiii.  X  (in.  (ji  —  a  et  IL  cof.  jv  fin.  u  —  ^ 
Tnde  quadratis  a  iden  <is  fiet  Cui.  (Ji'  —  a  a -\- b  b    fiue 

fin.  0)  —  V  a  a -t-6  ^  —  0),  quia  etii  n  anj;ulus  o)  erit 
quam  minimus.  Tum  vero  acqnatio  prima  per  (e- 
cundam  diui(a  praebet  tan^.  a:  ~  i-.   Fiat  igitur  nunc 

a:=6["  et  ^-4.7;",  ac  reperietur  o)r:/2298!."-+S'' 
proxime.  Pjiro  vero  eric  tang.  at  -  ^o ''••■^c  hnn^.x 
=:  9,  1 1<52 193,  idco}iie  .v  —  7°.  27';  Viide  reperitur 
arcus  A  O  ,  a  quo  arcu  plme  non  dTcrcpibit  arcus 
0^—7".  27',  in  qu  )  fi  cjpiatur  arcus  a  V  —  1°.  23' 
erit  V  aequiao<flium  pro  hoc  tempore,  (cilicet  pro 
anno   1800. 

$.  II.  Cum  idae  mutationes  fint  quam  mini- 
mae ,  p.r  le  patet ,  eas  per  plura  (ecula  tam  an- 
tecedentia  quam  (equentia  eosdem  valores  retinere  j 
vnde  elapfis  u  f.cuMs  ab  cpocha  noftra  1700  ,' 
hidc  ex  iisjem  formulis  coUigetnr  angulus  AOa 
~  0)  —  ^/.  48  i  arcus  vero  AO  —  x  manet  vt  ante 
—7^27'   ita  vt  piin(ftum  O  in   nortro  circulo  immoto   il         *• 

X  12.    tf 

quafi  fixu  n  fit  cenCendum,  Pro  aequinoflvo  autem 
huius  temporis  capi  debebit  a  y  ni^i".  23'.  At  (i 
poficionem  cclipticae  defideremus  pro  tempore  quod  » 
feculis  noCtram  epocham  antecefiic,  inuertigitio  fimili 
molo  inftitu-^tur.  Si  eaim  circulus  O  a  (3  eclipti- 
cam  huius  tcmparis  rcferat ,  puiict  im  O  ttiamnunc 
eundem  teaebit  locum;  ira  vt  fic  arcus  AOZ7'. 27'. 

T  1 1  3  Nunc 


511  DE  CmCVXO  FIXO 

Nunc  autem  ecliptica  O  a  (S   in    rcgioncm  borealem- 
verget,  eritque  angulus  A  O  a  zr  48.  «",  at    pui)(fnim, 
aequiiiodiale  cadct    in   "Y  ,  \z    fit  a  Y  —  "  ^'  ^s'- 
leu    85  «',  ita    M  ftt    arcus  O  Y  — :  7^  27'-+-  83  «1 
cum  ca(u   praccedente  (uiflet  7°.  27'—  83//.     Deni- 
que  quia  puncflum  O  eft  fixum,rotafle  iuuabit,  tius 
lon^itudiuem   initio   noftrac  epochac  fuiffe  1 1^2  2°.3  3'. 

§.  12.  Hoc  igitur  pundum  O  fine  dubio  maxi- 
mc  cft  notatu  dignum,  cum  omni  tcmpore  eciipiica 
per  id  tranfeat  ,  quod  etiam  de  pundo  coeli  ipfi 
oppofiio  eft  tenenduni.  Qiiare  cum  ccliptica  fem- 
pcr  per  haec  duo  puuifta  trjuieat  et  circum  en  moiu 
angulari  conueriaiur ,  ea  aptiflui  c  tiinquani  cardincs 
eclipticae  fcu  orbitae  tcrrae  fptdare  licci,  hocque  no- 
mine  ca  ctiam  in  polierum  dcfignabo.  Hacc  ergo  duo. 
punfta  in  coelo  ita  (unt  conftituta  ,  vt  initio  huius 
feculi  eorum  longitudo  fucrit  fiue  ii*.  22.33'  Cuc 
5,\  22°.  33'.  Atque  orbita  terrae  circa  hos  cardines 
ita  motn  angulari  \ertctur,  vt  fingulis  ftculis  con- 
ficiat  angulum  48"  a  feptentrione  meridiem  verfus. 
Tum  vero  cum  initio  huius  icculi  pun<fla  aequi- 
nodialia  ab  his  cardinibus  di(\arent  quantitate  7°.  27', 
dapfjs  «  feculis  ab  iis  diftabunt  quantitate  7°.27'-S3.»i'. 
Totidcm  vcro  (cculis  antc  noilram  epocham  dinan- 
tja  puncflorum  aequino(ftialium  ab  his  cardinibus  erit 
^\  27'-^  83.'*'. 

§  13.  Hacc  on-nia  pcrinde  fum  perfecntus 
quAfi  cffcnt  ccrtiflima  ,  et  fuie  per  cbfcruationes  fiix 
l^cr  ihtori-am  accuratiflimc  detcrn)inata,  quod  autem 

Jo  i;t 


AD  RELATIONEM  PLANETARVM.   519 

longe  fecus  fe  habet ;  quiindoquidem  ex  obferuationi- 
bus  vix  quicquann  certi  definire    licet      In     theoria 
autem,  qua  Joco  fupra  allegato  fum  vlus,  ratio  praeci- 
pue  habetur  maffie    Veneris     cuius    quantitas    adhuc 
pcnitus  eft  ignota.     Interim  tamen    ob  Solis    paral- 
laxin  nupcr  accuratius    dcfinitam  mafTa  Veneris  ali» 
qiianto  maior  (latuenda  vidctur ,    quam    in  iliis  cal- 
culis  aflumfcram  ,  vnde    motiis    lecularis    circa     illos 
cardines  aliquanio  maior  quam   4S"    prodiret  ;   atque 
ob  eandem   rationem   intcruallum  A  O  quod    inueni- 
mus  —  7°.  27'  pro  non  parum  incerto  haberi  debet. 
Artronomorum  i^itur  erit  ,  haec  elementa  accuratius 
definire  :  ad  quod  fine  dubio   multo    maior    appara- 
tus  tam    obfcruationiim    quam    Theoriae    requiretur. 
Miht  autem    hoc    Icco    futliciet ,,    fontem     detexiffe  , 
vnde  in   poficrum    maxima  iucrementa    Aflronomiae 
funt  petenda'v 

^14.  Quemadmodum  id^ea  cardinum  maxrme 
ideoneum  modum  fuppedirat^   motumi  et  mutationc» 
cclipticae  ad  quoduis  tempusdetcrminjndi  :  ita  etiam 
pro  orbitis    omnium    planetarumi    dabuntur    cardine* 
circa    quos     fimili    modo    conuertantur   ;      ita    vt  , 
fi    pro     qu;ilibct     orbita     cognitl     fuerint      cardinet 
et  prmnotio  fccularis ,,  inde  ad  quoduis    tempus    vera 
pt^fitio  huius  orbitae  in  coelo  commodidlme  afiignari 
podic      Et  cum  ifle  motus  fit  lentifilmiis,  facile  in- 
tclligitiir,  eosdem  cardincs  vna    cum    motu    fcculari 
nullam   mutationcm   pati.     Interim  tamen  ,    quoniam 
conllitutio  carJinum  a   nodis  rehquoruin    plan.taruni, 
a  quoruim  adione  hae  mutaiiones  proJucuntur,    pen- 

det. 


5-0  CE  CIRCVLO  FlXO 

det,  fi  numerus  feculorum  nimis  magnus  ftatuerc- 
tur  5  tandem  in  locis  cardinum  pennde  atquc  in 
motu  (eculari  quaepiam  alteratio  oriri  puirct ;  vndc 
patet ,  quantopcre  aohuc  incerti  fimus.,  fi  tsLulas 
aftronomicas  ,  quae  iiuncquidcm  ad  coclutn  pcrfcde 
eflent  accommodatae  applicare  \ellemus.  Ccterum 
\fu  non  carebit ,  fi ,  quantum  obleruationes  permit- 
tunt,  etiam.  in  cardines  reliquorum  planetarura  in- 
quiramus. 

De  cardinibus  orbitae  Saturni  eiusque 
motu  leculari. 

§,  15.  Pro  initio  noflrac  cpnchae  ad  annum 
1700  tabulae  artronomicae  praebeut  nodum  alcen- 
dentcm 

3*.  21°.  13'.  29"  fecundum  Cafllni  et 
3.    21.      5.      6      (ecundum   Haileium 

at  vero  poft  vnum  fecuhim  elapfum  feu  annoiSoo 

locus  nodi  afcendentis  cft 

3^  22°.  4-8'.  40"  fccundum  Cafllni  et 
3.   21.   35.     o    fecundum  Halltium. 

Pro  \troque  autcm  temporecadcm  ftaiuitur  inclinatio 
z".  30'.  36"   (ccunJun,   Caflini  ct 
a,    30.    lo    fccundum  Hallcium. 

Tab.XVI.  §•     i<J.    Sit    igitur    pro    anno    i7co    OAN 

Fig.  7.    ediptica  ,  in    qua    capiatur    fecundum  Calhni    arcus 

A  N  —  3*.  21^  13',  et  cum   fit  intcrualhim  —7  .27 

erit  arcus  O  N  zz  3^  2  s'.  40'.       Dcinde    in  echptica 

pro    anno    1800  capiatur   arcus  y  «  —  3*.  22°.  4-P' 

^  -vnde 


AD   RELATIONEM  PLANETARVM.    52^ 

¥ndc  ob  arciim  O  V  —  7°-  n'  -^  83'  —  6".  4',  erit 
arcus  On  —  3*.  2S°.  53';  vbi  angnlus  ad  O,  vti  vidinius, 
crat  4b",  Hinc  (\  circulus  R  N  n  repraeltntct  orbi- 
tani  isaturni  pro  1700,  at  «H  orbitam  pro  1800 
•runt  anguli  O  N  fl  —  2".  30'.  36"  —  O  «  H.  Quo- 
niam  vero  maxime  probabile  eft  ,  inclinationem  pcr 
fcculum  aliquantillum  muiari  ,  ftatuamus  angulum 
O  n  n  —  z".  30'.  36"  -+■  a!'  et  cum  fit  Op  z:  O  N  , 
crit  «p— 13'.  Nunc  autem  ob  angulum  O  mini- 
mum  erit  hoc  perpendiculum  Np  — ^.S^fin.O  Nzr^a". 
Hinc  fi  orbita  N  Xl  fecet  arcum  O  n  in  j-,  ob  angu- 
lum  N//;—  2°.  31'.  24"  erit  fpatium  xpr  i  5'.56", 
ideoque  jwnas'.  36"^  ficque  in  triangulo  xfl;/  ha- 
bemus  latus  sn  cum  angulis  0«n- 2°.3o'.(36  +  a") 
ct  angulum  exrcrnum  N  x«,  quem  iuppofuimus  proxi- 
mc  2°.  3 1'.  24''. 

§.  17.  Cum  autem  minima  difFerentia  in  his 
angulis  ingens  difcrimen  in  loco  cardinis  il  pariat , 
iftos  angulos  accuratiflime  nofle  oportcret.  Cum 
igitur  angulus  ONp  a  redo  non  dilcrepet, erit  an- 
gulus  jNp— 87°.  2i)'.  24",  vnde  ex  triangulo  ri-dan- 
gulo  Nj-p  reperitur  cof.  Nx/)-fin  jNpcof  Npr  fin.xNp, 
vnde  colligitur  angulus  N  xp—  2*.  30'.  30".  Omni 
autem  accuratione  adhibiti  cum  cx  triangulo  redan- 
gulo  O  N  p  fit  cof.  O  N  =:  cor.  O.  cot.  O  N  />,  erit 
tang.  O  N  p  —^^-,  Vnde  fi  ponamus  angulum 
O  N  p  =^  90' -4- A^'  repcrietur  JC  =  —  48"  cof.  O  N, 
\nde  fit  X-  23'',  ideoque  O  Np  90°. o^.  23'',  hincque 
jNpr:87"-29'.47",  txquocolligitur  Nxp-2°3o'.  13", 
Tom,.X.X.  Nou.Comm.  V  v  v  ideo- 


51»  DE  CIRCVLO  FIXO 

ideoqiic  notabiliter  minor  quam  ante  fumreramu»,^ 
Concipitur  ex  n  in  arcum  N  j  demifTum  perpendi- 
culum  «  ^,  eritque  angulus  s  n  q  —  90'—  2  .  30'- 13", 
cui  nddatur  angulus  j  «  H  =r  2°.  30'.  (  36  -\-  a"  )  , 
prodiique  angulus  XI  «  ^  —  90  .  o'.  (  23  4- a").  Quod 
fi  ergo  ifte  anguhis  eflet  rcdus ,  arcus  «  H  et  ^  XI 
forent  quadrantes  et  anguius  ad  XI  acquaretur 
perpendiculo  «  ^,  cuius  finus  ~Cin.sn.Cui  q  s  >f,  vnde 
fit  ptrpendiculum  n  q  —  i'.  16",  cui  ergo  aequalis 
forct  angulus  ad  XI  ,  quo  fimul  promotio  orbitae 
fecularis  circa  cardinem  XI  indicaretur  ,  exilkntc 
arcu  K  XI  —  90°.  Hoc  ergo  euenirct  fi  angulus  Q.nq 
eflct  rcdus,lioc.  elt  fi  eflet  a  —  —  23".. 

§.  18.  Q_uod  fi  autem  cum  Afironomis  fup- 
ponamus  a  — a»  foret  in  triangulo  XI «  ^  angulus. 
SX  n  q  zz  90°  -|-  i3,''>  quem,  qiio.  rem  in  gcnere  coa- 
fideremuSj^ponamus.  90"  4-  «",  erirque  ex  Tngometrisb 

ran^    «  XI  —         >°"-g-  "L?,--  —  _  ^''"g-  "  T  —  _  Zil'        iri    v^ 

tauL.  ««ii.  _  j3j-^o^„.>)  —  j;„"v"  —  — '  '"  vc 
11  «  fuerit  numerus  pofitiuus,  arcus  «XI  fnturus  fit 
qnadrantc  maior.  Ponamus  ergo  arcum  wXlr:9o°+2,, 
eritque  QOi.zzz—.        Inuento    autem    z     reperietur 

angulus  exiguus  Xl  — -^^^^^  ~  ^*';.      Hinc  igitnr 

fi  fumamus  a-o,  vt  fit  «-23",  erit  cot  crn-3.330, 
ideoque  z—  16',  17'jcx  quo  porro  colligitur  angu- 
lus  ad  XX- 1'.  i9",cxiflente  arcu  «Xi,- 90*+ 16°.  17'. 

Tab.XVL  ^^   ip^  Secundum  tnbulas  igitur  Cafllnianas,  fi 

S-  '•    omni  numcro  cflent  abfolutae,  ambo    cardines  orbitac 

§Klui:ui.  Icqueiiti  luodo  dcteriiunacentur,     Sumatur  m 

-i...  ji  circul© 


AD  Rri-LATIONEM  PLANETARVM.    jaj» 

•irculo  nortro  fixo  arciis  O  N  —  3'.  28°.  40',  et  per 
pundum  N  agatur  circulus  maximus  t' N  XI,  faciens 
angulum  O  N  H  —  2°.  30'.  36"  ,  in  quo  capiatur 
arcus  N  fl  —  io6\  17' ^  tum  Yero  ad  alteram  par-' 
tem  N  t»  — TS^-^sS  eruntque  pundla  XI  et  "b  et 
orbitae  Saturnicardines  et  ip(e  circulus '^NXl  exhibebit 
orbitam  Saturni  pro  anno  1700;  tum  vero  fi  proxi- 
nuis  ducatur  circulus  |i  ^.  XX  ab  illo  dcclinans  an- 
gulo  —  79",  is  pofitionem  crbitac  Saturni  pro  anno 
j8oo  exUibebit.  Sic  itaque  orbita  Saturui  fjngulis 
feculis  circa  fuos  cardines  conuertcrctur  per  angu- 
lum  ~79"i  \nde  pro  quouis  tempore  propofito 
tam  ipfa  pofitio  orbitae  Saturni  quam  eius  inter* 
fedio  €t  mclinatin  ad  eclipiicam  deierminari  poter  t. 

§.   20.   Vidcamus  nunc  ,    quantum     hae  deter- Tab.XVl, 
minationes  fint  difcrepaturae  ab  lis  quas  tabulae  Hal-    Fig.  7. 
lei;in:ie   pratb^bimt,     lisdem   igitur  veAigiis  infiftentes 
habcbimus  arcum    O  N  —  3*.  28^32',  et  pro    anno 
1800  O  M  rz  3^  27  ,  39',  indinatio  autem    pro  vtro- 
que   tempore   fiatuitur   2  .  30'.  10"^  hinc   iterum  crit 
Op  —  Oi>i—  3'.  28°.  32',vnde  fit  npzz  —  5^'.   Prae- 
terea     \ero    erit    vt     ante    N/>— 4.2"    et    angulus 
O  N  p  -  90*  +  23")  hincque^/  N  p  —  87°.  3o'.  13^   p. 
vnde  fit  angulus   N  spzz^.  29'.  47'',  vnde  colligi-      '^'  ' 
tur    sp—16'.'}''    et    hinc    j' «  —  —  36'.  53",  quod 
interunllum  quia   prodiit  negatiuum   pcculiarj    figura 
uobis  crit  opus,  in  qua  erit  j-  «  ~  221  3".    Ducflo  igi- 
tur    ex     w    ad    j  H    perpcndiculo    n  q,    ob  anguiuin 
n  f  q  zz  s.".  29'-  47">  reperietur  n  q  —  i'.  36",  et  an- 
gulus  snq  :zz  87°.  30'.  i3",qui   lubtrad^us  ab  angulo 


524-  DE  CIRCVLO  FIXO 

/  n  fl  =  177°.  29'.  50"    relinquit     angulum     £1  n  q 
=  89°.  $9'.  37".     Vnde  cum  fit  tang.wilzr  i^^„-^e-  ' 
ponamus    il  n  <}  —  90°.  —  23"    erit    tang.  «  XI  i^  ^* , 
ideoquc     «  il  zz  76°.  32  '  ,    hiucqueporro    angulus 
£1  zz  -^  zz  99'. 

§.  2  1.  Quoniam  punda  N  ct  «  parum  a  fe 
inuicem  funt  rcmota,(ccundum  Halleium  am.tx)  cardines 
orbitae  Saturni  ita  erunt  conllituti  in  pundis  £1  et  "^, 
•tt,  fit  N  Sl  —  76°.  32'  et  N  "^  =r  103°.  2S'  , 
^iji  ergo  plurimum  difFcrunt  a  cardinibus  Caflinianis. 
Maxime  autem  enorme  dilcrimcn  cernitur  in  ipfo 
mocu  ,  quo  orbita  Saturni  circa  Iios  cardines  gyrari 
deberet,  cnm  adco  ide  motus  angularis  in  contrarium 
fenfum  \ergat  ,  qunndoquidem  fccundum  Caflvnum 
hic  motus  forct  dexirorfum  ,  per  79"  "vno  fecula 
Secundnm  Halleium  idem  motus  finifirorfum  prodiit 
direftus  et  quidem  per  pp  minuta  fecunda  pro  vno 
fcculoj  vndc  patet  Aftronoir.os  adhuc  in  maxima  igno- 
jatione  \erfari  circa  variationem  orbitae  Saturni» 
Sin  aut^m  medium  quoddam  ihtcr  has  duas  deter- 
minationes  aflTumere  vellemus  ,  orbita  Saturni  propc- 
modum  quiefcens  flatui  dcbcret.  At  vero  poft  plura 
fecula  hoc  difcrimen  in  tantum  augeri  debet,  vt  mi- 
rum  vidcatur,  banc  litem  per  obfcruatinnes  antiquifli- 
mas  dirimi  nondum  potuifle.  Optimnm  autem  re- 
medium  cx  theoria  peti  pctcrit ;  cum  enim  Satur- 
nus  a  folo  loue  perturbanonem  patiatur,  eodem  mo- 
do  muiatio  orbitae  Saturni  explorctur,  qao  muta- 
tionem  cdif  licae  ex  uAiouibus  louis  ct  Veoeris  oUm 
dcfiniui. 

De 


AD  RELATIONEM  PLANETARVM.    5^5 

De  cardinibiis  orbitae  louis  eiusque  mom 

fcculari. 

§.  12.  Pro  inicio  noftrae  epocliae  feu  nd  an- 
num  1700  i:ibulae  alUonomicae  praebeiu  noium 
afcendcntem   louis 

3*.  7'.   29'.   53"  fecundum   CafTini 

3     7.     34..     10    fccundum   H.illeium 
et  pro  anno  i8oo  colligitur  nodus  afcenJens 

3*.   8°.   10'.      i"  fccundum   Caflnii 

3.     8.    57.     30     fecundum   Hillcium, 
Pro  vtroque  autem  termino  Hatuitur  incUnatio 

1°.    19'.   30"  fecundum  Calfini 

I.     19.     lo     fecundum  Halieium. 
Hinc  crgo  iam   videmus  etiam   maximum    difcrimen 
inter  determinationes  ex  tabulis  Cadinianii  et  Halleia- 
nis  deduftas  oriri  debere  ;  vtramque  igitur  definitio- 
Bem  feorfim   inueQigemus. 

§.  23,  Incipiamus  a  rabuIisCaffmianis  ct  fitNTab-  xvu. 
locus  nodi  pro  anno  1700  et  n  pro  anno  i8oo,  et  '^' 
cum  fir  A  N  —  3^  7".  29'.  53"  et  O  A  —  7^  27',. 
erit  O  N  n  3^  14.°.  57'.  Simlique  modo  pro  anna 
iSOO  cum  fit  Y  fj  =z  3'.  8°.  10'  et  O  V  —  6°.  4', 
crit  arcus  O ;/ —  3'.  14.^  14.'-  Demittatur  nunc  per- 
pendiculum  N/)  et  ob  angnlum  ad  O  —  4-8"  erit 
Np-  48"fin.  ON  =  4<i"  ct  0/)z:ON- 3^i4-°.57', 
ideoque  p  n  —  43^    Porro  erit  aiigulus 

ONpzi9o''-^Ji|^-90°-4S^tang.ONrrpo*  +  3'. 
Hinc  auferatnr  angulus  ON/ =  1°.  19'.  30"  ,  vt  re- 
mancat  angulus  x  Np  -  90°  4-3'-  i^  19'.  30",  qui  a 

V  V  V  3  5)0' 


Sz6  DE  CIRCVLO    MXO 

<jo°  fubtrad^us  rclinquit  nnguUim  N  sp—i".  i6' ^o'^, 
vndc    reperitur    sp— — -"-P-- —  —  3  a'.  i  2",    vndc    fit 

j-zj—  10'  4&".  Dcmillo  uunc  pcrpcnd  culo  n  (/  cx 
triangulo  «  J"  ^  crit  angulus  s  11  q  zz  S8\  43'.  30"  et 
n  q  —  11  s  fin,  N  .f /)  —  1+''.  Dciiide  vcro  erit  -.ipgn- 
lus  fl  «  ^  :=!  8v°.  57'.  o'',  hincque  concluditur  ;uci:s 
Xl«-4°.  £7'  ct    nn:— ^'?_   —  3'.       Hoc   modo  c.ir- 

«jincs  forent  iii  H  et  ^  ,  ita  \t  cflTct  propemodum 
N  ^  =  4°.  2 "7',  ideoque  N  ^  :=:  175"-  3  3'-  t-t  circa 
hos  cardines  orbita  louis  verttretur  interuallo  vnius 
feculi  pcr  angulum  XI—  iSo"  in  fcnlum  x  ;; ,  qui 
motus  fine  dubio  a  veiitatc  plurmium  abcrrare  vi- 
dcbiiur. 
T3t>.  XVII.  §.   24,  Secnndum   tabula-    HalKii   antcm   hnbe- 

f'g-  *•  bimus  O  N  =1  3*.  15^  1'  ct  0«—  3*.  1  5^  i'i  liinc 
demiffo  ptrpcndiculo  Np  irit  vt  anie  Np~43  et 
^j  — 3:'.  12",  atqiie  angulus  Nspzz  i°.  10'  30". 
Quarc  cum  fii  Op  —  ON  —  On^  tr  i  n  p  —  0  , 
hincque  «j—  32',  i'^".  Nunc  vero  rcptiiiur  ptr- 
pendiculum  «y— 43".  li\m  quia  trianguhim  ;;^  j- pro 
re(ftilinco  habcri  potefl,  erit  angulus  jwyz&8°,43'.30'', 
cui  angulus  s  n  n  zz  1°,  19'.  10"  additus  dat  an^u- 
lum  Hw^— 90°.  2'.  40";  hincque  tx  triangulo  D.nq 
crit  tang.  «.a=r— -L--_^3;^_o,2687,  tr- 
go  arous  XI;;—  164°  57'.  Jjtuique  rcpcrietur  ip(c 
angulus   Xi  = — ^,  rr  a'.  45". 

^  JUI.  15°.»'  '  -^ 

§.  25.  Hinc  igitur  abundc  patet  ,  qiinm  im' 
mane  difcrimcn  intcr  tahuliis  Caliinianas  ct  HalKia- 
nas    oriatur  j    cum  i^cn  folum  loca  cardinum    \Itra 

cciitum 


AD  RELATIONEW  PLANETARVM.    51-7 

centam  fexaginta  gradus  difcrepent,  fed  etiam  motus 
fccularcs  in  phiges  contrarias  vertanter.  Ex  quo  fateri 
coi^imur  ,  nihil  adliuc  in  Aftronomia  circa  inclina- 
tionem  miituam  orbitarum  phmetarum  eiusquc  mu- 
tabilitatem  nobis  conrtarc  ,  vnde  prorfus  (upetfluum 
fbret  hanc  inuertigationcm  pro  reliquis  planetis  pro- 
fequi.  iLCiamfi  enim  ambae  hae  tabulae  non  tam 
enormiter  dilcrepcnt  ,  tamen  nihil  omnino  inde  pro 
cardinibus  harum  pKinetarum  concludcre  licebit  ,  cu- 
ius  inceriitudinis  cauflu  in  eo  potiflimum  ell  fita  t 
quod  AftronoiTii  orbitarum  ad  edipticam  inclinationem 
fine  vHa.  ratione  tanquam  immiuabilem  fpedauerint, 
cuius  erroris  enendatio  magis  ex  theoria  quam  ex 
ob(cruationibiis  cxpedl.uida  videtur ,  quam  ob  rem 
boc  argumeatuiTi  iequentii  Problemate   daudamus. 

Problema.. 

§1  26:.  Datir  cardmlbus-  duorum  planetarum  cum 
vtriurque  pm/joiione  Jeculari  y  ad  quoduis  tewparis  tam 
interfcclionem  quam  iucHiiationem  vtriusque  orbitae  de- 
terminare  ,  fiquidem  haec  ekmenta  pro  nojira  epochd 
1700  fuennt  cognita^ 

S  o  I II 1 1  o. 

Sit  pro  noflra  epochi  1700  P  N  orbita  vnius-'"'''^  ^^^- 
planetae  et  Q  N  orbita  alterius,  punda  vero  P  et  Q 
cardincs  harum  orbitarum  et  pundlum  N  earum 
interiediof  dnti  ergo  erunt  arcus  PN— /Jet  QN~^, 
cum  inciinatione  mutua  feu  angulo  P  N  Qzz /'.  Prae- 
terca  vero  fit  motus  (ccularis  prioris  orbitae  PNza, 
altcrius  vero  orbitae  QN  — (3,  vterque   in  eundem 

fea- 


52$  DE  CIRCVLO  FIXO 

fenfum  N  T.  Hinc  iam  quaeri  debeat  pofitio  haronn 
orbitarum  poft  elapfa  fi  fecula  ,  quarum  ir.terltdio 
tum  cadat  in  pundum  «,  ita  vt  tum  arr.bae  orbitae  fu- 
turac  fuit  F  n  et  Q_tt.  H:ibebimus  igitur  angulos 
NP«— na  et  N  (^«  iz:  «  (3  ,  qui  anguli  pro  mi- 
nimis  haberi  poffunt.  lam  primo  tx  N  in  P«  de- 
mittatur  perpendiculum  NT,  eritque  HTzznxCin.p 
ct  angulus  P  N  T  —  90"  —  «  a  cof.  p;  propterea  quod 
'PTn:PN  et  angulus  P  N  T  miuirae  a  retto  di- 
fcrepabit.  Sit  iam  S  interfe(5lio  arcuum  QN  et  P« 
et  in  triangulo  SNT  crit  angiilus  SNT— po^-wacof./)-/' 
liincque  quia  trian:^ulum  SNT  vt  planum  (p-dl.iri 
potert,  erit  angulus  N  S  T  —  «  a  cof.  p  +  ij  vnde  col- 
ligitur  arcus 

fyj  c  —         n  1  Un.  p et    S  T  —  ^T 

^^   "^         Jin.  (  n  a  co/,  p  -I-  O  *^  iang.  (  n  a  co/.  p  _(_  z ) 

quibus  inuentis  erit  QS  =1:  ^ -;^'- ^-^-j,  quem 
breuitatis  gratia  ftatuamus  —  x.  Nunc  igitur  iii 
triangulo    QS«   data  erunt     i°.QSi:x=  y-^-^^'^,,; 

2°.  ang,  S  0^«  — «(3  ac  3^  ang.  NS«  — «acof.p+/i:^u. 
Ad  hoc  igitur  triangulum  rcfoluendum  ex  Q  in 
arcum  P«  demittatur  perpendiculum  QV,eritque  ex  trl- 
angulo  QSVnn.Q.V3fin./fin.u  et  tang.SV-tang./cof  w, 
praeterea  tang.  S  Q  V  —  ^^.  Sit  autem  bremtatis 
gratia  SQV  fin.SQVri; ,  eritquc  angulus  VQ;fy4«(3 
ita  vt  in  triangulo  redangulo  Q  V  «  habeamus  latus  QV 
cum  angulo  V  Q«,  vnde  rcpciimub  tang.Qwz:^*-;^^"^^, 

ac    denique    fiu,  Q«  P  — -JJj-g^  et 

fin.  V  «  nr  fin.  Q  ».  fin,  (  1;  -h  ;;  (3  ) 
vnde  fi  fubtrahatur  S  V  remancbit  :> «,  cui  propterea 

addi- 


AD  RHLATIONEM  PtANffiTARVM.    $-9 

addi  dtbet  arcus  PS— PN  —  ST.  Hoc  igitur  modo 
inuenti  funt  ambu  arcus  P«  ct  Q«  ,  qui  refcrunt 
"ambas  orbitas  pro  tempore  praercripto,  vna  cmn  ea- 
rum  intcrlldlione  n  et  inclinatione  mutua  fciHcet 
angulo  Q«  V,^  ficque  hoc  problema  perfcde  ell  re- 
folutum.  Vbi  hoc  tantum  adiecifle  iuuabit ,  quod  fi 
pofitio  harum  crbitarum  ad  tempus  quod  n  feculis 
noilram  epochanni  praeceflit  defideretur  ,  tantum  na*- 
merum  n  negatiuum  capi   dtbcre.  Juna      > 

Solutio  alia  eaque  elegantiflima  eiusdeip  . 
i^  N  problematis.  ',,,  !  r>N/.,! 

""'-''  ^t  27.  Maneant  eaedehi  denornfnjltionefe  ▼t'^^J';  ^^^- 
ante,  fcilicet  P  N  =/?  ,  Q  N  n^  ,  incIinntioPNQ-i, 
et  anguli  P— «a,  Q— «(3^  tum  ex  N  in  arcus 
Vn  et  Q«  dcmittaiitur  perpcndicula  N  R.  et  N  S  , 
■yt  fiat  NR— nafin. /)  ct  N  S  —  «  (3  fin.  <^  ,  ^vnde 
ob  angulos  p  tt  q   minimos  erit  etiam    'PvK^p  -^t 

'QS-7;  anguli  vero  ernnt  P  N  R  —  90°— «  a  ciol.p  et 
QN  S  ~  90°  —  «  (3  cof.  ^  ,     ideoque  angulus     .  :;  .  . 

P  N  S  =  90°  4-  /  -  «  P  cof.  ^  ,  ''^  ■'  ^ 

hincquc  angulus 

R  N  S  ^  /  -  w  (3  cof.  q  -\-n  (x  cof.  />.  .  . "  '  ^ 

Hoc  modo  noflrum  probleina  eo  redijcitur  ,  vt  ejt 
,arcnbus  N  R  et  M  S  vna  cum  angnlo  intercepto 
K  N  S  definiantur  arcus  R«  et  S«  vna  cum  iplb 
ani2iilo  «,  quod  eft  infigne  Problema  trigonometricuoi 
fphaericum  ,    cuius  Solutio    ita   ekgauiilijme    expe- 

Twm.XX.Nou.Comm.  Xxx  §.2!. 


550  DE  CIRCVLO  FIXO 

§.  £8.  Ponamiis  breukatis  gratia  arcus  NRzrr 

zz  ttA  Cin.p,  NS=:x  — «(3rin,^/et  angulum  RNSz^Cj) 

—  ;•  _  H  p  cof.  q  -\-  n  cL  co(.  p.    lam    producantur    ar- 

cus  R  N  et  S  N   rctro  vsque  in    r  et  x  ,    vt    arcus 

R  r  et  S  X  fiant  quadrantcs ,  critque  pundum  r  po- 

lus  circuli   P  R  «  et    s    polus    circuli    QS«,    \nde 

arcus  ex  n  ad  hos   polos  r  et   j    dudi    (dlicet    n  r 

€t  «  x  erunt  etiam  quadrantes  ,  qui    ergo  ad  arcum 

r  s  crunt  perpendiculares  et  arcus  r  x    mcnlura    erit 

anguli  r « X,      Q}ui    igitut    anguli    rnR    et    x«S 

funt  rc(fli  ,  erit    angulus    r  «  x  r:  R  «  S  ,    quem     hic 

potiffimum  quaeri  oportet.       Deindc    angulus    R  r  n 

'''  aequabitur    arcui    Rh,    cuius   ergo    complcmcntum 

*  "        erit    angulus    x  r  N.        Simili     modo    erit    angulus 

S  X  «  aequahs  arcui  S  n  ,  quem   ergo    angulus    r  x  N 

angulo  redo  fuperat  j    ita    vt  ,    fi    ponamus    arcus 

quaefitos  R  n  zz  x  et  S«— ^^,    futnrus    fit    angulus 

X  r  N  ~  90°  —  X  et  angulus  r  x  N  —  9  o^+j. 

§.   29.    Nunc     igitur    tota    nollri    problematis 

Solutio  reducitur  ad  refolutionem  trianguh  fphaerici 

N  r  X,  in  quo  cognita  funt  latera    N  r  —  90°  —  r  et 

Ni  — 90°— i)  vna  cum  angulo  intercepto  rNxrCj). 

Hinc    ergo    refolutio    huius    trianguli   primo  luppe- 

ditabit  tertium  latus  rx,    cui  aequahs    cft    angulus 

rwx,  quem  vocemus  —  \\/,  \t  fit  n  r  =;  vj^i  fecundo 

angilus    Nrx     dat     90"  ~x;    tertio    vern    angulus 

N  X  r  =:  90° -f-/,  ficque  tria  nolUa   incognita   x^  y 

et  v|^  innotefcunt. 

■' '     §.  30.  Refolutio  autem  huius  trianguli    primo 

nobis  praebet 

cof.r/ 


AD  RELATIONEM  PLANETARVM.    531 

eoC  r  f  —  cof.  f  N  r  fia,  N  r  fin.  N/-4-cor.  Nrcof.  Nx 
ficque  erit 

cof.  \|/  zz  cof  (p  cofl  r  cof  /  -f-  fin.  r  fin.  x. 
Praeterea  vero  reguiae  praebent 
tang.(9o'-;»:)r . ii...j^- r  )/,n.  ^ ^    . 

tane  fooVylz: Sin.(io°—,)fm.(p 

=>  ^^  ^i      /»n. (.;r«—  r) ca/.(90^- sj - ^o/. (so"- r ) /m. (,0°—  s) coj.(> 

qiiae  ergo  reducuntur  iid   fcquentes   formas 

COt  ATi: co/.rfM.(t)  gj  _^^  co/. ;  f;>i.  t!> 

/in.  rco/.j -coj.rj/n.  SC0J.4)  '^  —  eof.  rjin. i  - J;n. r coj.J coj. 4> 

quae  hoc   modo  fient    commodiores 

tang.  X  =r  ^"^^jf^"^'  -  fin.  x  cot.  (p  et 

tang.j'=::fin.rcot.0-'^^-il. 

Sicque    omnes    tres    noHras    incognitas    x ,  y    ct   (Ji 
perquam  fucciiKftc  exprefiiraus. 

§.  31.  Q}iiJ  autcin  noflro  cafu  angulus  \\j 
quam  minime  ab  angulo  Cp>  difcrepabit,  ftatuamus 
v[y  —  Cj) -f- w  ,  ita  vt  co  fit  angulus  quam  minimus, 
eritque  cof  vj^  =  cof.  (J)  —  oj  fin.  Cj).  Hinc  ergo  ha- 
bebi  1HIS 

cof.  Ct)  —  0)  fin.  (f)  =:  cof.  Cj)  cof.  r  cof.  /  -f-  fin.  r  fin.  /. 
Quia  vero  efi  r  —  tia.  fin.  p   et  j"  —  k  (3  fin.  q  ,   ideo- 
que  quam  minimi,  erit  cof.  r  zz.  i  —  \nn  a  a  fin.  p*  et 
cof.  X  ~  I  —  i  «  «  p  (3  fin.  ^'^  tum  vcro  fin.r~«afin.]) 
et    fin.  s  —  h^  fin.  ^  ,   vade   fict 

coI.Cp-c«i  fin  Cp-cof.(|)-^««aa  fin.p'cofC|)  -;««(3^  fin./cof.Cl) 

-i-««a(3fin,pfin.^  , 
vnde  colligirnr 

j.  —  n  B  tt  g/ii. ft*  -I-  »  n  p  P/»ir.7»  ^  nn  g  Pflii.  p/w.^^ 

X  X  X  2  Vnde 


^32  DE  CIRCVLO  FIXO 

Vnde  patet,  hanc  diffcrentiam  (u  inter  angulos  (I)  et  \|> 
efle  quafi  inftnite  paruuni  fccundi  ordini?,  quod  er- 
go   penitus  negleclum  dabit  angulum 

?  n  Q_—  (p  zz  i  -{-  12  a  coC  p  —  «  P  cof.  q  , 
ita     vt    inclinatio    orbitarum    poft    ti    fccula    crefcat 
qiianitatc  «acof,  p -«pcof. ^,  quam  mutationcin  trgo 
pattl  modo  pofitiuam  moJo  negatiuam  ficri  pofle. 

§.  32.  Si  fimili   modo  rumamns 
{\n.  r  —  n  a  dn.  p  j  fin.  /  ir  ;;  (3  fin.  q 
ct  cof.  r  —  I  et  cof.  s  —  j,  reperiemus  binas  reliquas 
inco^nitas  x  et  y  fequeuti  modo  cxprcflas : 

tang.  X  —  "~^^^  -  « (3  fin.  q  cot.  (p  ec 

^    tang.  y  =:nafin.p  cot,  (p  —  "  fj^-^p^ , 

vnde  patet  hos  arcus  R  «  rz  at  et  Sfi~y  effe  quam 
minimos  ;  et  cum  fit  proxime  Cp  —  / ,  hunc  valo- 
rcm  fumfifle  fufficiet  ,  ex  quibus  colligitur ,  fore 
arcus  noftros  quaefitos 

»  ^  _  ..  — -  naStn.p  —  hPfln.qcoJ.i     gj 
■                                 JiTi.  i 

C    „  —  ^  n  txfin.pcof.i  —  n  ^fin.  q 

'•'    "  — J  jin.i 

Hocque  modo  nadli  fumus  Solutionem  facillimam 
noftri  Problematis,  quae  quidcm  initio  maxime  ab- 
ftrufa  erat  vifii.  Atque  hinc  iam  luce  meridiana 
clarius  apparet ,  quam  perpcram  ab  Aftronomis  in- 
clinatio  orbitarum  planetarum  mutua  tanqiiam  va- 
riabilis  fpe<flari  foleat  ,  et  quantopere  ncccfl^nriHm  fit 
vt  haec  do(flrina  maximi  in  Aftronomia  momcnti 
omni  ftudio  penitius  exflorctur. 

Sopplc- 


AD  RFLATIONEM  PLANETARVM.    sn 

S 11  p  p  1  e  m  e  n  t  Li  m. 

§'  3  3.  Quoniam  igitiir  Thcoria  dc  mobili- 
tate  orbitarum  phincrnnini  ponulat ,  vt  in  qualibet 
orbita  duo  puntfla  fibi  e  oianHtro  oppoiirj ,  quae 
cius  cardines  appellamus  ,  anit;ncntur,  circa  quos  ea 
orbita  faltem  ptr  interuallum  aliquot  feculorum  con- 
\ertatur  ,  fimulqne  motus  fecuLiris  definiatur,  hos 
ambos  cardines  cuiusque  orbitae  a  fe  inuicem  dirtingui 
conuenit,  quorum  alterum  vocabimus  afcendentem  alte- 
rum  vero  defccndentem.  Ita  fi  P  et  p  fuerint  ambo  car-  T^b.  xvh. 
dines  cuiuspiam  orbitae,  ita  vt  PMp  rcferat  fcmicircu-  f'S-  s- 
lum,  ponamus  ordinem  fignorum  a  P  ad  p  per  M  ; 
tum  vero  tlapfo  feculo  hic  femicirculus  in  fitum  Vmp 
perueniat  magis  ad  auftrum  vergentcm;  pundumque  P 
huius  orbitae  cardmem  defccndentem  appellare  lictbit 
pundiim  vero/)  cardincm  adfcendeiitem,  quia  altera  or- 
bitae  medietas  circa  p  borcam  vcrfus  alccndit.  Ipfe 
vero  angulus  M  p  m  nobis  erit   motus   fccularis. 

§.  34.  Quod  fi  iim  punda  P  et  Q^  fuerint  Fjg,  ,5. 
cardines  defcendentes  duarum  orbitarum  PN  ct  QN, 
quae  no(ka  epocha  anno  1700  fe  mutuo  interfccent 
in  puniflo  N  fub  angulo  P  N  ^~-  i  ,  pro  priore 
autcim  motus  fccularis  fnerit  —  a  ,  pro  altcru  vcrp 
n:  (3 ;  tum  pro  mutntioac  harum  orbitarum  elapfis  » 
feculis  fada    inucnicnda   lumnntur  anguli 

N  P  ;;  =  «  a  et  N  Q«  =  «  ^  , 
ct  ponantur  arcus  PNzr p  et  Q^N  — ^.  'Nunc  vero 
interfc(flio  cadat  in   pUiKluni   «,  eritque  vti  ante  inue- 
nimus  inclinatio  mutua  orbirarum 

?  ni^  —  i  -\-na.  cof  p  —  w  P  cof.  7. 

X  X  X  3  Pr.ie- 


53+  DE  CIRCVLO  FlXO 

Praetcrca  vero  arciis 

'  f      *  jm.  I 

et  arcus 

Qn—  q  -{-y  -q+  "a/"»-f> "'"•'—  npjin.g^ 

Harum  igitur  formularum  opc  omnia  qaac  huc 
fpedant  multo  faciliori  calculo  expediri  poterunt  , 
quam  ante  eft  fadum.  Id  quod  exemplis  reliquo- 
rum  planetarum  illuftrabimus. 

§.  3  5.  Sic  igitur  PN  orbita  Terrac,  ideoque 
a:=4S";at  QN  orbita  Martis  pro  tempore  noHrac 
cpochae ,  et  geminac  tabulae  aftronomicae  quibus 
ante  fumus  vfi  fatis  vnanimiter  praebent  angulum 
PN  Q=:  i'.  50'.  54-"  !«-€.  Cadinum  et  i\  51'.  o" 
fec.  Halleium  ,  vnde  medium  (umtndo  fit  angulus 
P  N  Q  :=  1°.  50',  57"  i  longitudo  autem  nodi  afcen- 
dentis  1*.  17°.  24'.  42"  ,  vnde  addtndo  7".  27'  fit 
arcus  P  N  rrp  —  i'.  24'.  52'.  Pro  anno  1800  au- 
tem  hacc  nodi  longitudo  affignatur  i*.  18".  2S'.  2", 
eiusque  crgo  promotio  fecui.iris  refpedu  acqumodlii 
erat  3'.  20",  vnde  pro  n  Kculis  ctlligitur  arcus 
P«=  1'.  17'.  2 5' -+-7°.  27'-  8  3'«-H«.'  1°.  3'.  20' 
idcoque  x  -=z  n.  1°.  3'.  20"  —  33"  «  ,  vnde  omnia  ad 
minuta  fccunda  reducendo  crit 
-  1 1 8c^'-  '^"-^"■-  ^  -  P/'"^!^  -  laKj-PJ"-'?  idcociue 

P  fin.  ^  =:  2395.  tang.  l  —  T]. 

Dummodo  crgo    quantitatum  ]3  et  q    altcram  nofle- 

mus,  aitcra  liinc  dLi(.ra)inar(.tur. 


AD  RELATIONEM  PLANETARVM.    535 

§.  35.  Cum  autcm  nihil  nobis  pbne  conftet 
de  mutatione  incliniuionis  fcculari,  nihil  aiiiphus  etiani 
nobis  hiiic  concluJere  licet.  Fonamus  autcm  pro 
auno  1800  inchnationcm  fu.fTc  1°.  50'.  57" -f- (J"  > 
itJ  \t  $  fit  augmentum  fccularc  indinationis,  atque 
elTe  oportcbit  n  §  —  n  a.  cof.  p  —  n  ^  co(.  7,  fuie 
$  —  27"  —  (3  cof.  q  ,  ideoque  (3  cof.  q  ■=.  27"  —  6", 
Qiiod  fi  crgo  hoc  incrementum  (5"  fucrit  cxploratum, 
ambas  quantitates  (3  et  ^  adignare  poterimus ;  \i- 
ciirim  autcm  U  innotuerit  quantitas  (3,  ambae  littcrae  «J 
et  ^  dcfiniri  poterunt.  At  vero  ex  priore  aequatione 
77  —  (3  fin.  q  manifertum  eli,  nun;erum  (3  minorem 
qnam  77  efTe  non  pofTe  ,  \nde  fi  motum  fecularem 
IVlartis  flatuere  \elimus  p  —  77'',  foret  q—  90",  hinc- 
que  (5"— 27  5  fiue  augmentum  feculare  inclinationis 
orbitae  Martis  foret  a^^^quod  fortaffe  a  \eritate  pa- 
Tuni  recedit.  Nequc  ergo  fuper  hoc  articuio  m 
omnimoda  ignoratione  \erfamur  ,  quoniam  certi  fu- 
mus,  motum  fecuJarem  orbitae  IV.artis  maiorem  effc 
quam  77,  id  quod  maxime  \erifiii  ile  videturi  cum 
a^flio  louis  in  Martem  non  folum  maior  fit  quam 
in  Terram ,  fed  etiam  Mars  ab  jpfa  Terra  praeter- 
quam  a  Venere  foliicitetur. 

§.  37.  Simili  modo  orbitam  Veneris  contem- 
plemur,  pro  qua  nouimus  effe  i—  3°.  23'.  20"  i  ct 
pro  anno  1700  crat  longitudo  nodi  Veneris  afcen- 
dentis  2'.  13°.  57'.  53",  hincque  p  —  2'.  21^  V-  5  3". 
At  pro  anno  1800  tabulae  dant  iongitudinem  eius- 
dcm  nodi  2'.  1-1.°.  49'.  33".     Vndc  fi    ftatim    fuma- 

mus 


555  DE  CIRCVLO  FIXO 

mus  «  rr  I   et  addamus  6°.  4'  hibebimus 
p-f-A'—  2'.  20°.  53'.  3 ■5"  >  »ti»    ^t  ^it 

i;  =  -  1 1'.  20"  =  -  680"  :=  w^-  Pi^p££L», 

Eft  vtrol^^^^f-SO^"  vnde  fit  prm.'7=i  +  8  2"cang./-8  8". 
Atque  hinc  iam  dilcimus  motum  lecularem  orbitae 
Vcneris  ccrte  minorem  eflc  non  poite  quani  8  8".  Quod 
fi  autem  fumamus  efle  pn88  ideoque  ^  —  90  ope- 
titur  angulus  P  n  Q^zz  i-f-  a  cof.  p  —  3'.  23'.  27",  ita 
Vt  mclinatio  orbitae  Veneris  lingulis  lcculis  augmcn- 
tum  capcret  7"  ,  quod  latis  prob;ibilc  videiur.  Vbi 
notafle  iuuabit  fi  arcus  q  maior  minorue  eflet  quam 
90',  pro  P  maiorem  valorem  accipi  dtbcre  quarf» 
88  fec. 

§.  3S  Euoluamus  ctiam  hanc  inueftigationem 
pro  orbita  Mercuiii  ,  cuius  indinatio  ad  eclipticam 
anno  1700  erat  i  —  6'.  59'-  20  fec.  Halleium  et  lon- 
gitudo  nodi  alcendcntis  i*.  14."  47'  20"  et  pro  anno 
1800  —  i'.  16*.  io'.4o",  vnde  fumto  «— i  habtbimus 
p  —  1'.  22°.  14.'.  20"  ct  p  i-  X  —  iK  22°.  14'.  40" 
idcoque 

*t''  fin.p — pfin.  0  eo''i 

X    •  ...    -  fj^\j 

Eft  vero  li^^r^ia",  vnde  fit  |3 011.9:12 92 tang./iis^", 
vnde  patct  motum  fecularcm  ttrbitae  M  tcurii  mi- 
norem  tffe  non  pofle  quam  36".  Q^uo.l  li  autem 
(umamus  effc  (3  :::.  36"  ,  idcoque  q  —  90°,  repcntur 
antiuhis  P  «  Q—  i  -|-  a  coC  p  —  6*.  59'.  49"  ,  ita  Vt 
inclinfttio  orbitae  Mercuni  fui^uh-  lecuiis  au^men* 
tum  capiat  29"  ^  vbi  eadcn  oblcruatio  quae  fupra  , 
valet,  (cihcct  fi  arci'S  q  n\A'uir  minoruc  tflet  qiiam  90* 
pro  (3  maiorem  valorem  accipi  deberc  quam  3<5"- 

§•   39- 


AD  RELATIONEM   PLANETARVM.  537 

f  39.  His  qiinfi  pracguftatis  ,  quae  adhuc  tam 
ex  obferuatioiiibus  quam  Theoria  deducere  licuit , 
vix  quicquam  vherius  ex  vtroque  fonte  expedare 
poflTe  videtur,  nifi  circulus  reuera  immobilis  iii  coelo 
ftabiliatur  ,  ad  quem  tam  loca  obferuata  quam  ef- 
fecftus  ex  mutua  planetarum  adione  oriundi  refa- 
rantur ,  vnde  has  meditationes  fequenti  problematc 
concludamus. 

Problema. 

§.  40.  Si  tempore  quocunque  locus  phmtae  in 
eoelo  inore  Joiito  fuerit  obferuatus ,  eius  fitum  dd  circU' 
lum  nojlrum  fixum  in  coelo  reducere. 

S  o  1  u  t  i  o. 

Ponamus  obferuationem  fadam  eflfe  ante    epo- 
cham  noftram    1700  et   planetae    longitudinem    dc- 
prehenfam  fuifle  rr  L,  latitudincm  vero  —  A,  quam 
vt  borealcm  fpcdlcmus.      lam     tempus    obferuationis 
fubtrahatur  ab  epocha    noftra     1700    et    interualium 
annorum  per   loo  diuifum    praebeat    n    fecula.     His^,    .„.„ 
pofitis    referat    OAB    noltrum    circulum    in    coelo     Fig.  7. 
fixum  feu  eclipticam   pro  1700,  in  quo  puii<fluni  O  fit 
cardo  eclipticae  defcendens,  pundum  A    vero  princi- 
pium  edipticae  hoc    ttmpore    fiue    pundum    aequi- 
rodliale  ,  et  iam   vidimus  fore  arcum   OA:=:7".  27'. 
lam  pro  tempore  obfcruationis  pofitio  edipticae  ma- 
gis  boream   verfus  vergcbat  ,   quac    trgo    repniefente- 
tur  per  circulum  O  Y  L  a  circulo  noftro  fixo  de- 
clinans  angulo   V  O  A  —  48  ;/'',  in   quo  a   pundoO 
capiatur  arcus  O  y  —  7'.  57'  +  83'  "  >  eritque  pun- 
Tom.XX.Nou.Comm.  Yyy  <flum 


53«  CE  CIRCVLO  FIXO 

dlum  V  aequIno(flium  vernum  tempore  obfcruatlo* 
,nis.  Tum  \ero  fuerit  planeta  in  puncflo  S,  vnde  ad 
eclipticam  illius  tcmporis  dudo  arcu  normali  SL  erat 
arcus  Y  L  longitudo  obferuata  —  L,  at  arcus  L  S  la- 
titudo  obfcruata  z:  A  ;  quare  fi  ex  S  ad  nollrum  cir- 
culum  fixum  diicatur  arcus  normalis  SMjarcusAM 
referet  longitudinem  refpedu  circuli  fixi  et  M  S 
latitudinem  eiusdem  refpedu  ;  quas  igitur  inuenigare 
nobis  propofitum  eft.  Hunc  in  finem  vocemus  quan- 
titates,datas  fcilicet  arcum  OLr^".  2*7'+ 83"«  +  ^-* 
et  arcum  LS:nb;  tum  vero  quaefitas,  fcilicet  ar- 
cum  O  M  —  AT  et  MS— i',  ita  vt  ji--7°.  27'^A  M 
praebeat  longitudinem  planetae  refpedu  circuli  fixi 
ct  S  M  ==j  eius  latitudinem  fixam,  Nunc  folutio- 
nem  fimili  modo  adftruamus  ,  vti  in  problemarc 
praecedente :  arcus  nempe  L  S  et  M  S  producantur 
\sque  ia  /  et  w  ^  vt  totl  arcus  hl  et  M  m  fiant 
jquadrantes  ,,  ideoque    punda  /  et  wr  poli  circulorum 

0  L  et  O  M..     Hinc  arcus  ex    O    ad  hacc    punvla 

1  et  m  dudli  eruntr  etiam  quadfantes,  illae  normalis 
ad  circulum  O  L  hic  vera  ad  O  M  ^  vnde  angulus 
10  m  angulo  LOM  aequalis  hoc  eft  =4.8''«,  quem 
breuitatis  gratia  littera  H,  defignemus ,  cuiiis  ergO' 
luenfura  crit  arcus  /  w  =r  oj  ;  porro  vero  habcbimiis 
OlL  —  a  et  angulum  Om  M  —  x  ,  vnde  cum  ar- 
cus  Im  ad  quadrantes  O/  et  Om  fit  normalis,  erunt 
anguli  miSzzgo^—a  et  /wS  —  po^+.v.  His  obfer- 
\atis  in  triangulo  (phacricoS/w  cognita  crunt  haec 
tria  elcmcnta  i^)  latus  S/=9o  — £»,  2°.)  latus 
/w-^8^*"— w,  3°.)  angulus  intcrccptusw/Szpo^-a, 

vndc 


-  AD  RELATIONEM  PLANETARVM.    'j^^ 

\iide  quacri  oportct  i'.)  tertium  htus  Swrpo'— /; 

tuin    vero    angulum    w  / S  rr  90" -h- .r  ,  vndc    ergo 

coUigimus  tani  .v  quam  j  ;  ita  vt    non    indigeamus 

angulo  ISni.     At  vero  regulae  trigometricae    nobis 

-dant 

coH  S  m  —  cor.  m  l  S.  dn.  i  m  fin.  /  S  -f-  cof.  Ivt  cof.  /  S  , 

Tnde  colligimus 

fin.  y  —  fin.  a  fin.  o)  cof.  b  -f-  cof  oj  fin.  b  ,•  deinda 
tan^  lmsz:= /in.isjin.w  is 

o        "  ••  coj.  Z  S  /;h.  l  m  —  jm.  J  Sco/.  J  m  co/.  m  J  S  ' 

qune  formula  in  (ymbolis  dat 

-COt.  .V-— cof-hcoS.a        gyg 

jm.b jin.ij)  —  cQj.b  coj.co/in.  oi 
tan?    Jl'  —  co/. 6  C3j".  fa)  /in.  g  — /m.  6/i;i.  m 

ex  quibus  formulis  ambae  noftrae  incognitae  x  tCj 
funt  computanuae.  Hic  autem  calculus  adhuc  multo 
facilior  rcddi  poteft,  perpendendo  quod  latus/wroj-^Sw", 
fcniper  ell  quafi  infinite  paruus  ,  ita  vt  poni  pofllc 
co(.  w  — I  et  Iin.  w  ipfi  angulo  w  aequalis:  lioc  modo 
nancircenuir 

\.  fin.  j'  =:  0)  fin.  a  cof.  b~\~  £\n.  h , 
vnde  patet  arcum  j  aliquanto  maiorem  cfle  quam  ^ 
fcilicet  erit 

j  —  b  -i-  (Ji  Cin.  a—  b  -h-  48"  n  fin.  a 
II.  tang.  X  zz  J!:ljl^I^;^S31^  -  tang.  «-  ^^  tang.^ 

vnde  videmus  efle  x  aliquanto  minus  quam  a.  Pona- 
mus  ergo  .r  rr  a  —  a,  eritque  tang.A.*— tang.<7— -^j^ 

vnde  fit  azwcof/^tang.^  ideoque  x^za-^^Sn^coC.atangA 
Rellitramus    igitur    loco    a    et    b    valores    aflum- 

Y  y  y  a  toi 


/" 


540  DECIRC.  FIXO  AD  RELAT.  PLANET. 

tos,  ac  reperiemus  tam  longitudinem  quam  latitudi- 
nem  veram  rcfpcdtu  noftri  circuli  fixi:  fcilicet  lon- 
gitudinem 

AM=::L-^-83«'—  4S"  «  cof.  a  tang.  b 
ct  latitudinem  MS  —  ^  -f-  48  «"  fin.  a  ,   exiftente  vt 
\idimus  fl  —  7°.  27' -f- 3b' « -f-L  et  b  —  A.  Sicque 
facillimo  calculo  fcmper  hanc  rcduAionem    expcdire 
licet. 


OBSER- 


OBSERVATIONES  ASTRONOMICAS 

PRO  DETKKMiNANDO 

SITV    GEOGRAPHICO 

VAKIORVM    PER    IMPERIVM    RVSSICVM 

LOCORVM  , 

a  Nob.  CHRISTOPHORO  EVLERO  , 

ANNIS     1759    ET     1770     FACTAS, 

RECEXSET 
AN  D.     10  H.     LEXELL. 

Aftronomis  ,  qiii  ad  obfernandum  tranfitiim  Ve- 
neris  per  Solem  ,  in  Imperio  Rufllco  ,  verfus 
AuIUum  et  Orientem  ablegnti  fuerunt  ,  id  quoque 
ab  llluftriffima  Academia  Scientiarum  demandatuni 
erat  ,  vt  obferuationibus  Afironomicis ,  fitum  Gco- 
graphicum  variorum  pcr  niagnum  Jioc  Imperium 
locorum  ,  tam  quoad  Longitudinem  quam  Latitu- 
dinem  ,  determinnrent  ,  cuiusmodi  obferuationnm  a 
Cel.  Kra§t  atque  Clar.  Inochodfow  et  Islemef  fada- 
rum  ,  varia  in  his  Commentariis  iam  exftant  fpeci- 
mina.  Hac  igitur  occafione  ,  breuem  et  fuccin^am 
expofitionem  obferuationum  ,  quibus  Nob.  ChriftO' 
phorus  Eukrus  in  Longitudines  et  Latitudines  pliiri- 
morum  locorum  inquifiuit  ,  heic  erimus  tradituri  , 
quam  opcram  Aflronomis  eo  magis  gratnm  fbre 
confiJimus ,  quo  vtilius  fit ,  rationes  quibus  huius- 
modi  dcterminationes  innituntur  ,  perfpcdas  habere. 
Antequam  vcro  hoc  inflitutum  adgredior,  e  re  eft,  vt 

Y  y  y  3  ani- 


5+4       DE  SITV  GEOGRAPH  VARIOR. 

animnduerfioncs  quasdam  de  errore  quadrantis,  quo  vfus 
ti\  Nob.  Eulenis,  praemittam;  quippe  quum  deteimi- 
nntio  Latitudinis  locorum  exaifta  fperari  nequcac  , 
ni(i  hic  error  quadrantis  probe  fuerit  expUiratus. 
Quum  igitur  per  obferuationes  in  Orfk  inrtitutas  , 
corredio  quadrantis  ad  horizontem  inuenta  fuiflTct 
s'.  6"  additiua  ,  pro  altitudine  vero  66°  non  nifi 
4'.  26"  ,  (eu  horizontali  4.0''  minor  ;  per  obfcruatio- 
nes  fallarum  ad  aequales  aititudines  verfus  Boream 
ct  Aullrum  inftitutas  ,  in  variis  locis  a  Nob,  Eulero 
fjdas  ,  inquirere  conrtitui  ,  quid  de  errore  quadran- 
tis  pro  his  altitudinibus  llatuendum  fit.  Primum 
itAquc  Iniiic  m  finem  ,  inter  (e  comparaui  ,  altitu- 
dinem  Stcllae  Polaris  die  9  Maii  A.  1770  St.  Nou. 
in  vibc  Krementfchuck  verfus  Boream  obfcruatam  , 
cum  altitudinibus  S  Virginis  ,  nec  non  e  Virgins 
et  a  Lconis  verfus  Meridiem  captis ,  diebus  30 
Aprilis  et  7  Maii.  Indicata  igitur  correiflione  (^ua- 
drantis  pro  altitudinibus  de  quibus  hic  krmo  ell 
per  a  ,  comparatio  haec   iia   inftituetur  : 

D.   30  Aprll. 
Altit.  obf.  0.   Vrfae  4.7°.   V.sV^+a      Aitit.  ^  Virg.   ^s'.^  1''.  i  i" -fa 
Refr.  —  53  Refr.  —   56 

Ahit.  corrcdl.        47.     3.314«      Ahit.  corr.        45.  30.15 +«• 
J)ecl.  a  Vrlae        8  8.    4.32  Dcd.   B  4.  3S.  58 

Meuat.   Poli  48.58.59+«     Hkuat.  Poli  49.    5.43-« 


D.  30 


IN  RVSSIA  LOCORVM.  5+I 

D.  30  April. 

Altit.  a  Leonis   53°.  56'.  23'' +a     Altit.  e  Virg.    53*.    3'.3i"4-flt 
Refr.  —    41  Refr.  —43 


Altit.  corr. 
Decl. 

53- 
13. 

49. 

55.  42  +a    Altit.  corr. 
4.  55                  DecL 

9.  14  —a     Eleuat,  Poli 

Die  7   Maii. 

53.     2.  48  -fa 

12.     II.   52 

Eleuat.  Poli 

49.       9.      4-« 

Altit.  ^  Virg.    45*.  30'.  50'' +a     Altit.  e  Virg.    53'.    3'.33"  +  a 
Refr.  -    5^  Refr.  —  43 

Altit.  corr.  45.   29-   5++*     Altit.  corr,         53-     2.  50  4-a 

Decl.  4.    38.   59  Decl.  12.  11.  53 

Eleuat.  Poli  49.     S^. ,   f— *     Eleuat.  Poli       49.     9.    3  — a 

Hinc  igitur  fequentes  colliguntur  aeqnalitatcs  r 
I.  9'.  44."  —  2  a  rz  o  ;  IL  10'.  15"  ~  2  a  z=  o  f 
IIL  10'.  5" -2  a=:o  ;  IV.  lo'.  6^' -  2  a  —  o  ; 
V.  10*.  3''  —  2arr  o  ;  vnde  medio  fumto  colligitur 
ttrr:-h5'«  i"  ,  verum  quum  prima  aequatio  a  reli« 
quis  aliquantum  difcrepet ,  exclufa  ifta  ,  habebitur 
a~  +  5'.  7",-  at  pro  horizonte  haec  corre^flio  in- 
vcnta  eft  -f-  5'.  40"  ,  ita  vt  pro  altitudine  50° ,. 
corredio  Qiiadiantis  ab  horizontali  33"  difcrepet. 
Quin  imo  li  aliitudo  $  Cafliopeae  die  9  Maii  \er- 
fus  Boream  capta  comparetur  cum  altitudinibus  ipfo- 
rum  e  ei  (3  Corui ,  nec  non  y  Hydrae  verfus  Au- 
(Irum  ,  corrcdio  Quadrantis  pro  alticudine  20',  ali- 

quanto 


544-       DE  SITV  GEOGRAPH.  VARIOR. 

quanto  minor  iniienietur  ,  quam  ad  horizontem,  vti 
cx  fequenti  calculo  liqiiet  : 

Die  3Q  Jpril. 

fUtit.  5"  Cnfliopeae  iS".    3'.    8"+«     Altit.  t  Corui   1/.3-'.  37"  +  « 
Refr.  —      2.  53  Refr.  —2.  39 

Altit.  corr.         18.     o.  1 5  -fa       Altit.  corr.      19.  29.  58  +« 
Dcd.  $  59       I.  52  Dccl.   e         21.  20.  45 


Eleuat.  Poli       4S.  58.  23  H-a       Eleu.  Poli        49.     9.  17  —« 

D/V  30  April. 

Altit.  p  Corui      i8°.45'.    1"  +  «     Ahit.  y  Hydr.   iS°.  56'.  i8"+a 
Kefr.  —     2.45  Ri^tr.  —2,44 

Altit.  corr.         18.  42.  16  4-a     Altit.  corr.  18.  53-3++« 

Dtd.  22.     7.  38  Decl.   Y        21.  57.  34 

Elcu.  Poli  49.  10.    6-0.     Eleu.   Poli  49.    8.  52  —ct 

Die  7  Mnii. 
Altit.   (3  Corui       i8°.46'.    4"+«     Altit.  y  Hydr.    i8°.5<5'.  iS^+a 
Refr.  —  2.  45  Rctr.  —2.  44 

Altit.  corr.        18.  43.  19  +a     Altit.  corr.        18.  53.  34+« 
Dccl.  22.     7.  39  Dcd.  21.  57.  3  5 

Eleu.   Poli         49.     9.     2  — a     Eleu.  Poli  49.     8.  51  — « 

Hinc  pro  valore  a  feqticntcs  habentur  aequalitatcs : 

I.  10'.  54"  —  2  a  rr  o  i  II.  1 1'.  43"  —  2  a  =  o » 
III.  10'.  29"  —  z  azz  o  ;  1 V.  lo'-  39"  —  2  a  ~  o  » 
V.    10'.  28".  —  2  a  —  o  ,    "vnde    mcdium    lumcndo 

colii- 


K- 


IN  RVSSIA  LOCORyM.  ^^| 

colligerctur  a  —  5'.  26" ;  verum  (|uu;"n  fccnn'a  d&- 
termin:uio  a  rcliquis  plus  iuflo  ;iblud;it  ,  fi  rcliqua- 
ruin  fum.itur  medium  ,  prodibit  a  ~  H-  5'.  !</', 
idcoque  corrc(5lione  hor.zjntali  14."  minor.  Vcriim 
quum  tota  hjcc  concludo  fund^tur  in  alcituJins  5" 
Cifliopeae ,  quim  quidem  20  aut  30  (crupuUs  fe- 
cundis  crroncam  efle  fufpicari  liccret  ,  adhuc  alias 
comparationes  in  medium  proferemus. 

Harum  in  numero  praecipuam  merentur  at- 
tentionem ,  obferuationes  quas  Nob.  Eulerus  menfc 
lunii  A.  1770  in  Caftello  quod  a  St.  hlifabetha 
jiomen  gerit ,  pro  dcterminandis  altitudinibus  flella- 
rum  Arduri  verfus  Auftrum  ct  (3  atque  y  Vrfap 
Minoris  vcrfus  Borcam  inftituit.  Capto  fcilicct  me- 
dio  plurimarum  altitudinum  ipfius  Arduri  ,  habe*- 
tur  ea  6i°,  56'.  a"  ,  fimiliter  media  altitudinun^i 
pro  p,  Y  Vrfae  Minoris,  dabunt  hos  valores; 
<53°-  27'.  15"  et  6$".  53'.  56".  Ex  quo  fequens 
colligitur  comparatio  ,  pofita  corredtione  Quadraatis 
pro  62°  —  a. 

Altit.  Arduri     61°.  56'.    2''  +  «     Altit.  f3  Vrfae  (JjVa^'- 15"+» 
Rcfr.  -  30  Kefr.  -  29 

Altit.  corr.         ^i.   55,  32  4-a     Altit.  corr.         63.  26.4.5  4-« 
Dtcl.  20    23.   49  Ded.  75-     5-5  5 

Eleuat.  Poli        48.  28.   17  -a     Eleuat.  Poli        48.32.4.1  +« 


Tom.XX.Nou.Comm.  Zzz  Altit. 


k 
• 


54^      DE  SITV  GEOGRAPH.  VARIOR, 

Altit.  vVrfae    ^5*'-  5  3'- 56"  +  * 
Refr.  -  25 

Ahit.  corr.     65.  53.   31  +a 
Decl.         "72.   39-   'S 

Eleuat.   Poli     48.    S--  49  -f* 

Hinc  colligitur  nicdio  fumto  az:  — 2'.  14'',  cor- 
redio  autcm  ad  horizontem  inuenta  fuit  —  i'.  4S"  , 
ideoquc  corrcdio  pro  62°  fupcrat  horizontalcm  26 
fcrupulis  (ecundis  circiter.  Si  obfcruacioaes  <^  Bootis 
ibidem  inlUtutac  comparentur  cum  ahitudinibus  ip- 
ftrum  y  et  (3  Vriae  ,  hacc  correclio  adluic  paiilo 
maior  rej^crietur  ;  -verum  hanc  comparationcm  heic 
adferre  nihil  .nttinet  ,  quum  in  gencre  fDfticiat  , 
oftcndifle  circa  60"  gradum  ,  errorcm  Quadrantis  ab 
horizontali ,  haud  parum  difcrepnre.  In  propugna- 
culo  Saporogfkaja  Sictfcha  dido.  habcntur  ahitudincs 
Stellac  Polaris  verfus  Borcam  dieb,  5  et  11  Aug. 
capta^e ,  quae  comparari  poflunt  cum  altiiudinibus 
ipfarum  p  Ophiuci  et  (3  Aquihic  dieb.  a5  lulii  et 
i.,--'i-'     12  Aug.  lequei^tem  in  modum. 

Ahi't'udd  Pofaris  49°.  29'.  45"  +  ot     Altit.  pOphiuc.  47'.  n'.    5"+« 
Kefr.  —  4&  Refr.  —  53 


*  -r    V, 


.Ahit.  corr.     49.   28.   57  +«  Ahir.  corr.  47.  n.ia+a 

a+ ipecl,  Pol.   88.     4.  33                     Dccl.  4.  41-    o 

Elcuat.  PoU    47.   33.  30  +«  Eleuat.  PoU  47.  29.48  -^ft 

'^  -  ^:  Ahit. 


IN  RVSSIA  LOCORVM.  5^7 

Altit.  P  Aqiiil.  48',  aa'.  2a''  +  « 
Refr.  -51 

Altit.  corrcfl.  48.  21.    31   +« 
Decl.   (3       45.   51.  jo 

Elcuat.  Poli     47.  29,   39  —ot 

Hinc  dcdiicitnr  mcdio  cnpto  a  zz  —  1'.  53'^,  qnae  ab 
horizoinali,  qnae  circitcr  -  1'.  40'^  crat,  13''  difcrc- 
pat.  Porro  in  vrbe  Sumara  capta  habetur  alti- 
tiido  Stellne  Polaris  verfus  Boream  ,  quam  compa- 
rare  licet  cnm  aitinuiinibus  -variarum  Stellarum  vti 
y,  a,  (3  AquiLic  et  ;  Ceti  dic  19  Augufti  ,  eft 
\cro 

Altitudo  Polaris  50°.  2S'.  i  i-'4-a  Altit.y  Aquil,  corr.-j  i°.36'.25"4-« 
Corr.  —  4(J  Uecl.       -10.     4.  «4 

Altit.  corr.      50.   27.  25  -fce         EIcu.  Poli        r^S.  ^7.  59  — « 

Decl.  Pol.    88.     4.  37  Aj.v  /?  A^„-i  ^ 

Altit.  (3  Aquii.corr,  47.  23.  19  4-a 

Eleuat.  Poli      48.  32.     2  +«  Decl.  5.  51.  23 

Alt.«AquilnccorrM9°-49'.i"-"  +  «         E,,„^  p„,i  TiT,— -x 

Ded.  8.    i<5.  50  ^  ^ 

Eleu.  Poli         4S.  27,  3  S  —  a  Altit.  s  Ceti  corr.  52.     4.  34  -f* 

Dcd.  10.  32.  3<J 

ElcU.    Poli  48.    28.      2.-9 

Hiiic  elicitur  medium  fumendo  a  =::  —  a'.  7"  >  f<^u  fi 
propius  ad  vcritatem  acccderc  vdimn?  —  2'.  o",  cor- 
recftio  nutem  horizontalis  hab^tur  —  1'.  49".  Haec 
igiair  coiiclufio   cum  praccedeuti     optime    coufentit. 

Z  z  z  2  Denique 


54«       E)E  SnV  GEOGRAPH.  VARIO!l. 

Deniqne  fi  nbferiiationcs  in  Gluchow  fe(fl,ic  confu- 
Jantiir  ,  ex  altmidine  ipfius  Stclbc  Foljri^  comparati 
cuiTi  ulntudinii^us  a  Sagittae  tt  e  Dclphiiii  ,  dcduci- 
tur  corredio  Quadrantis  —  2'.  5".  Veruni  fiiiiilis 
comparatio  altitudinuai  pro  llclhs.  a  et  S  D.lphini  , 
corri-dioncm  Quadrantis  circa  gradum  50°,  maiorein 
non  dat ,  quam  —  1'.  40''  ,  ivleo  jue  horizontali  mi- 
DoreTi  ,  c]U()d  omnibus  rcliquis  determinationibns 
contrarium  e(!.  Idcirto  harum  obferuationum  vim 
tanti  non  elTc  ex  lliinamus  ,  \t  rtliquarum  omniuni 
aucf^oritatcm  infringcre  valerent.  Quicquid  autein 
fit  ,  fjit<.m  latis  euidcutcr  comprobatum  enTo  \idctur, 
pro  diuifioiHbns  (^uadrantis  intra  gradum  60  ct  70" 
Contt-iitis  ,  trrortm  n  ulttim  diicrepare  ab  errore 
Qiiadrantis  horiZ(  ntali.  Quum  igitur  id  nobis  nunc 
non  (umanius,  vt  corrtdionem  Quadraniis  pro  fin- 
gulis  cius  diuifionibus  ,  cum  lumma  exaditudine 
definire  velimus ,  vt  tamen  conclufiones  pro  Laiitu- 
dinibus  locoum  ex  altitudinibus  Solis  et  ftcllarum 
fixarum  c'educendac  co  magis  rcddantur  confpirantes, 
certam  hypothefin  non  prorlus  inuerifimilem  chga- 
nnus  pro  acfiimandis  correcflionibus  Quadrantis  circa 
fingulis  eius  ciiuifioncs.  Primum  igitur  pro  altiru- 
dinibus  40*^  minonbus  corrcdioncm  iiorizontalem 
adiiibcbimus,  pro  altitudiuibus  vcro  infcqncntibus  vsquc 
ad  65°  gradum  ,  pro  fingulis  gradibu*  corrtdioncn 
horiz  >nfalem  ,  tot  fccundis  diminuemus ,  (pcdata 
fcilicct  correcflione  horizontali  vt  pofitiua,  quot  gra- 
dibus  altitudo  propofita  gradum  40  lupcrat,  ita  vt  (i 
corrc(fliO  horizontalib  dicatur  a,  pro  gradu   52    fu- 

tura 


IN  RVSSIA  LOCORV:VT.  549 

tura  fit  tf— li"  pro  grndu  nntem  5^,«— 16". 
Contra  fi  a  fit  tugatiua  "—(1,  pro  ciuifionibus 
qihidrantis  a  40  ad  65  graduni  ,  ad  |3  tot  addnmus 
fccimda  ,  c"|uoc  ^rai^ibus  diuilit)  prc  polita  fupirat  40 
gradum.  Pro  altitudinilus  vero  quae  vltra  70  gra- 
cum  exluigunt  ,  iplum  \aloitm  c'^rri<flionis  liori- 
7ontalis  adhil^ndum  cenfui  ,  praeUrtim  quum  non- 
null.ie  a  Nob.  Eukro  fidae  vcnficationcs  Qjadramis 
ad  zenith  indicare  \idc;intur,  torrt<flionem  ad  ze- 
uitli  ali  |uanto  maiorcm  efle  honzontali.  Qune  hy- 
pothcfis  etianifi  a  vcritate  aliquantulum  at)luderer, 
tamcn  mde  vix  errores  lenfibiles  in  deitrminationem 
Lat  tudinis  l«xorum  inducerei  lur.  rractcrca  quum  id 
mihi  hcic  pnpofuerim  ,  vt  Latitudines  has  tam  ex- 
a<fle  dcfinirem  ,  quam  pro  v(u  Gtographico  opus 
fit  ,  fiipcrfluum  duxi  in  computandis  dcclinationi- 
bus  fi.xarum  fummam  pratcifionem  lcrupulole  fcqui, 
decimas  etinn  recund^^runi  partcs  in  vlum  vocando  , 
quum  tdlis  praicifio  in  hoc  negotio  non  nifi  pro 
illis  locis  defidcretur ,  vbi  obferuatoria  irftruda  ha- 
bentur  ,  quorum  fitum  ,  quam  exadiflime  cognitum 
haberc  ,  Allronomis  omnino  e  re  efi.  Intenm  hoc 
non  obflante  ,  confido  (orc,  vt  determinationcs  a  me 
propnfinie,  vix  dccem  lcrupulis  fccundis  a  vtntatc 
aberraturae  fint. 


Z  2  z  3  Deter- 


iSO     DE  SITV  GF-OGRAPIJ.  VARIOR. 

Determinatio  Latitudinis  pro  vrbc 
Vralfkoi  Gorodok. 

Tro  hac  vrbe  crror  Qundrantis  inucntus  fuit 
5'.  40"  ,  quo  obfcruato  per  oWerudtiones  altitudituim 
Solis  in  meridie  cnptarum  ,  fcquentcs  pro  Latitudine 
habentur  determinationes : 


Anno  1769 

Altit.Jimb.Olup. 

Coi  r.  v^uad 

:;cmii].G!K.cfr-l^aral.| 

Lecl,Gl3or.i   Latitudo 

Dicluliic7 

5  8*.io'.i7« 

+  5'.  2  2" 

is-.^-?" 

27" 

ip^.io'  i6''5i".i2'5i" 

28 

57-  5^.31 

+  5-  22 

15-  47 

27 

18.  5<^.  24  51-  10.45 

2p 

57-  42.  18 

+  5.  21 

15.  47 

28 

18.  42.  1451.  10.49 

Aug.    j 

5<^.  57.36 

+  5-  23 

15-  -1-7 

29 

17.  57-  5+ '51.  I  i.ii 

+ 

56.  10.  38 

+  5.  24 

15. 4S 

30 

17.  10.  57  51.  II.  J3 

5 

S')-  54.  3<J 

+  5.  24 

15.  48 

31 

i<^.  54.  44,5  I.  II.    3 

6 

55.  3S.  53 

+  5.  24 

15- .^8 

31 

i<5^.  38.  15  5«.  10.17 
15.  29.  39  '51.  10.  22 

10 

54.  So.  13 

+  5-  25 

15.  49 

32 

13 

53.  35.  20 

+   5.   2f) 

15,  50 

54 

14.  35-  5+51.  11.12 

z8 

52.    0.  50 

+  5. 28 

15-  50 

26 

13.     0.  50  '5  '.  lO.  58 

19 

51.  4f.  II 

+  5.  28 

15.  50 

37 

12.  41.  i4|5i.  II.    3 

co 

51.  £1.  3<^ 

+  5.  29 

15.  51 

35 

12.  21.  27  51.  10.  52 

a« 

51.     1.  4a 

+  5.  2i; 

15.  51 

39 

f  2.     I.  29  '51-   10.48 

> 

1     Medium  i5i-  10.53 

Sin  Ycro  obfcioationes  diclnis  6  ct  ic  AuguITi  fiKfiae 
cxcludantur,  rr.edium  reliquarum  dabit  Elcuationcm 
Fuli  pro  hoc  loco  51'.  10'.  59".  l'ro  qna  cnius- 
modi  deterir inaiioncs  cx  obfcruatis  .iltitudmibns  Hel- 
larum   fixarum   prodcanr  ,    iam    quoque  dilpiciamus: 


DiLbus 


IN  RVSSIA  LORORVM. 


SU 


Diebu?  1 9  ct  5o'AItit.  Stellac 


Augufti 
e.  Lyrac 

$   Aq«il\e 

(3  Cygni 


a  Sagittac 


y  Aqnilae 
ct  Aquilac 
P  AqDili^e 
0  Antinoi 
ft  Capric. 


obftruata 
177^1  S'.37"? 
77-  i8.  4-1  > 
'fi.  25-  I  l 
4-1.  24  57S 
66.  13.  40  ^ 
66.  13.  28  S 
55.  14.  21  ^ 
55.  14.  ii  s 
48.  48.  41  l 
48.  43.  33  S 

47.     I-     ^  ? 

47.     1 .  10  ^ 

4+-  35.  24? 
44-  35.  28  S 
57.  15.  *8  5 
37.  15-  32S 

25.  30.  58  ] 
^5.  50.  58  \ 


Corr.  Q^Ludr. 

+  5'. 

40" 

+  5. 

39 

-f5. 

i5 

+  5. 

2  + 

+  5. 

3t 

+  5- 

3  3 

+  5- 

35 

+  5. 

40 

+  5. 

40 

Kefr.pecI.Stcllac 

flppar. 


Mcdium 

Ex  his  igitur  liquet  Lntitudinen)    huius    vrbis    fine 
errore  fcnfibili  (latui  ponb  51°.  n'.  o", 

De  Lo?igitiidi)ic  Gcogruphica  cinsdcm  vrbis. 

Pro  hac  Longitudinc  dctcrminanda  tres  a  Nob, 
Eukro  inftitutac  habentur  oblcruationes  EcHpfium  Sa- 
teliitum  louis ,  binae  fcilicct  obferuationes  Emer- 
fionum  Primi  et  vna  obferuatio  Emcrfionis  Sccundi, 
quae  obferuaiiones  licet  plgnam  lioc  in   negotio  cer- 

titudinem 


551       lOE  SITV  GEOGRAPM.  VARIOR. 

titudincm  fuppeditarc  non  valcant  >    tainen    eas    heic 
recenlcndas  cenfemus ,    vc    falttni    quodaninodo    co- 
gnolcatur  fuus  huius  loci  quoad  Longitudincni.    Prima 
igitur  obfcruatio  eft  Emerfio  I.  Snrcllitis  die  2  Aug. 
3769,    quae   in    Vrallkoi    Gorodok    oblcruata    fuit 
Temp.    vcro    9^- 55'-  2^"^    quum     igitur    fecundum 
Tabulas  111  uft.    Wargentin    hacc    obferuatio    Lutetiac 
Parifiorum  contingere  debuit   Temp.  vcro  6^36'.!", 
prodirct  hinc  differcntia    meridianorum    inter    locum 
noHrum  et  Lutetiam  Parifioriim   3^  19'.  ?3".    Altera 
Emerfio  I.  Satellitis  contigit  die    18  Augutli  Temp. 
vero  8''.  14'.  5S",    cuius    Temp.  Parifinum    ex  Ta- 
bulis  habetur  4*.  57'.  -7"  1  vnde    deducitur    difieren- 
tia    mcridianorum     3^  17'-  31".      Denique    Emcrfio 
Secundi  Sattllitis  in   Vrolfkoi  Gorodok  die   21  Aug. 
Temp.  vero  8^  13'.  53"  obfcruata  et  cum  Tempore 
Parifino  ex  Tabulis  dedudo   4^  58'.  19"  comparata  , 
dat  difTcrentiam   meridianorum   3^  15'.  34".    In  tanta 
conclulionum    difcrepantia ,    iiieptum    foret    mediam 
aliquam  determinationem  eligere  ,    verifimile    autem 
cfl  determinationem  illam,  quae  ex  Emcrfione  L  die 
18   AuguQi  colligitur,  ad  vcritatem  proximc  accedere. 
Nam  de    priori    emerfione    ex    diario    Nob.    Euleri 
liquetj  eam  eo  minus  tutam  eflc   poffc  ,  quod  tribus 
pofl  obfcruationcm    clapfis    minutis    primis ,    omnes 
Satellitcs  ipfi  pcnitus  difparuerint  quia    Inpiter    iam 
vaporibus  horizontis    immeri;ebat.       De   obferuatione 
\cro  lccundi  Satellitis  ,  quae  valdc  bona  effe  poteft , 
tenendum  cf>,  ex  ea  nihil  condudi  poffe  nifi  corre(f^io 
Tibularum  ,    pro  hcc  tcmporc  cx  aliis  cbferuationi- 

bue 


IN  RVSSIA  LOCORVM.  ^^3 

biw  innotcfcat ,  qiuim  in  Edipfibus  luiius  S;itcllit»s 
crrores  labuiaruin  qni  duobus  ininutis  ab(o!uuiHur, 
haud  cflc  (oleaot  i  ilorip.  (^uicquid  aiitcin  fit  ,  ob- 
feruiujoni  ernerfionis  primi  diq  15  AUj^ulli  facflae  , 
iraximam  fidcm  liabenteis  ,  Lqngitudinem  loci  nof|ri 
a  Meridtaiia  ParifinQ  ,  ftatuainus  3*.  i-j'.  o"  in  lemr 
pore  i  fiuo  49°.  15'  ia  i^radibps   acfiimatam. 

Dc  LaPitudim  wbi^  Tfcherkafk. 

[\  bac.  vfbc  N|ob.  Eulen^s  duplicj  vice  obftr- 
cs,  ifv/lituii  ,  F*-ii?;iiira  fcjlicqt  p^c^fibus  Noue|nv-. 
^ri^  ^t;  D^cembris  Aypi  |7^^  ?  tUTi  vero  iqerpqa 
pi^nr^  Martii  AiinO|  X770  ppfiquam  fx  itinere,  duo 
qalUlji  ^t*  Pcmetfrium  et  Ta2;anr(»ck  iuuil,ebit  , 
l^edus^  fa<flu^  elf:t.  Dum  prima  vic^  in  li4c  vrbc 
yertabatur  cor;:t.(flio|pem  Quadrantis  inu^ni?  5'.  4.^^'' 
addJtiiuam  ,  |)ofteripri  autem  6',  iz'\  iterum  audi- 
tiuan>: 


'  Tom.XX.Nou.Comm,  Aaaq  Anno 


SS^      DE  SITV  GEOGRAPH.  VARIOR. 


Aono  1769 

Nou.die  19 

20 


Altit.limb.OCorr.(^uad.  Semid.Oi<.efr-Piir. 
fupcr. 

+  5'.4-&" 


o 

;3  .2: 


,'51" 


23'     9-    ^ 

231  12.  30.56 
2^  22.  18.  58 
26    21.   55.  20 

Dec.      8,  20.  II.  30 

X2    19     50.  58 

ai  19.  31-  45 

22  19.  31.45 

i77oTan.    i  19-  59-  ^5 

Mart.  1+  40.  30  59 

15  40.  54-  5  3 


33 
29 

3C 


44.  4-  »5 
4-<5.  24.  5  3 
4.6.  4.8.  25 


4-  5, 1  2 
+  6.  1 1 
+  5.    8 

+  6.    5 


:6'.i4-" 

i5.  15 

i5.  17 

16.  18 

i5.  18 
i5.     7 


,/ 


Decl.  O  Auflr. 


i5. 
i5. 


4 
3 


4 
2.     6 

2.  10 

2.  I  I 

2.  14. 

2,  27 
2.   2b 

2.   32 

2.  29 
I.      O 

57 
51 
47 
45 


Eleuat.  Poii 


-t-7 
+7 


19  .35'.   4."^47 

19.  4.9.42  1+7 

20.  ab-  25 

20.  40  3  3 

21.  3-4M'-"' 

22.  4.7.  58 

23.  8.43 

23-  28,    7 

23.  27.5 
23.     O  I  J 

2.  25.59 

2.       2    ly 

3or.  I.    7.    8 

3.  28.    2 
3- 51  20 

Medium 


■4' 


.I3'.35" 

53.44 

»3-15 

»3.    7 

13''iO 

+7.   13.28 

+7.  13.  i5 

+7-  »3-10 

47.  13.23 

+7.  13.25 

^7-  13.57 

+  7.  13  41 

+  7-  13.40 

+7-  13.53 

+7.  13'  35 


f7.  13- 


Sequuntur  iam  detcrminationcs  pro  Liuitiidinc  vrbis 
Tfcherkafk  ex  oblcruatis  altitudinibus  fiellaruai  llxa- 
rum  dcduflac. 


1759  21  Dec 

Altit.  Stcllac 

Corr.(^uad. 

Kefr.  Dccl.Siellac 

likuat.  Poli 

obferu. 

c  Andromedac 

70°.3o'.38" 

+  5'.4&" 

20" 

27°  29'  32" 

47°.  13' 26" 

y  Pegafi 

55.  35.  J9 

+  5.32 

37 

13-  5 +.31 

n-  13- 18 

"H  Ceti 

51.  17  55 

-H  5.48 

i'.34 

11.  24.39 

47-  13.  12 

i770  24.Mart. 

S   Gcmin.        [55.     3.  5  2  ',  +  5-47 

25 

22.  23.    5 

+7.   13.  52 

P  Canis  min. 

51.  25.    7  1+5.    I 

45 

8.  44.  I  2 

+7.   13.49 

Procyon 

4-&.  28.49 

+  5.     4 

50 

5.  48-     1 

+7.   13-  58 

P  Gcmin. 

71.  14.13 

4-5.12 

18 

28    33.43 
Mcdium 

47.   13-  37 

1 

+7.   13   35 

Huic 


IN  RVSS[A  LOCOaVM.  5J$ 

Hinc   mcdio    funito    harum    concluflonum    Eleuatia 
Poli  vrbis  Tfchcrkifk  llatui  poterit   47'.  13'.  ^^". 

De  Longitudiiie  vrbis  Tfcberhifh  ■  '^ 

Pro  Lonk^icudme  hac  deteriiiiiianda,  piimum  fiip- 
petit  obferuatio  Immerfionis  \.  SatelUtis  louis,  die  25 
J\l;irtii  A.  1770,  quae  immerfio  in  Tfcherkalk  contigit 
Temp.  -vero  i6*.6'.  s"»  cum  Parifiis  ex  calculo  Tabula- 
rum  contingere  dcbuiflet  Tem.p.  i  3^3  3'.4o'',  vnJe  con- 
cluditur  differentia  meridianorum  inter  Tlchtrknfk  et 
Lutctias  Parifiorum  2*3o'.28'',  feu  in  Gradibus  37^37'. 
Huic  autem  obferuationi  correfpondentem  quum  habea- 
mus  obferuationem  Tyrnauiae  eodem  die  fa^ftam,  prac» 
ftabit  per  comparationem  harum  obfcruationum,  Lon- 
gitudinem  vrbis  Tfcherkafk  concludere. 
Immerf.  L  1770  d.  25  Martii  in  Tfcherkafk  16*.   6'.   8"  Temp.  vero 

Tyrnauiae  14.  37   14, 
Differ.  Meridian.     i.  28   54. 
Longitud.  Tymauiae  a  Parifiis    i.    o.  55 
Longitudo  Tfcherkafk  a  Parifiis    2.  29.  49 
Practcr  hanc  obleruationem  in    eodem    loco   quoque 
ra<fla    eft    obferuatio    Immerfionis    pro     11.   Satellite 
die  29   Martii,  quae  in  Tfcherkafk  contigit  Tempore 
■vero   I  3^  40'.  30'' ,  et  cum  in  Parifiis  (ecundum  Ta- 
bulas  contingere  dcbuifflt  Tcmp.    ii^.  ii'-  21",  pro- 
dirct  hinc  diffcrcntia   meridianorum,  inter  Tfchcrkaffc 
et  Lutetias  Parifiorum  ^^ip^^.p',  verum  fiquidcm  cor- 
redlio  Tabnlarum  pro  huc  tcmpore,  circiter  40''  dimi- 
nutiua  acflimari  potcrir,  ex  hac  obferuatione  fequeretur 
diffeientia   meridianorum  inter  P.irifios  et  Tfcherkafk 
2^29'  50''.    Quicqnid  autcm  fit,  haud  multum  nos  a 
veritate  abludcre  pofle  exiftimamus,  fi  numcro  rptundo 
eandcm  fupponamus  2*. 30^.0^',  ftu  in  grad.  37°  "lo'. 

A  a  a  a  2  Detcr- 


55<?     DE  SITV  GEOGRAPH.  VARIOR. 

DeteiniiMth  Latitudinis  pro  Cajldh 
St.  Demctrii, 

Corrciftio  Quadrantis  horizontalis  pro  hoc  loco 
inuenti  cft  5'.  39"  addiiiiia  ,  t)iKi  cx  hypothefi  no- 
noltra  corrcda  in  (equenti  calculo  vtennur  * 


AnnQi77oAhit.linib.  0 

Corr.V^uadr 

Seraid.ORefr-raral 

lun.  21 
2S 

fupcr. 
23°.    8'. 5 3". 
24-  52.    5 

+  5 '.3  9" 

16'  iS" 
16.17 

a'.   6» 
I.  5  8 

2p 

25.    7-  23 

) 

( 

j.  54 

' 


18.    7.  41 
17-  5»    35 

Mcdium 


4.7  .12'. 51" 

4.7.  12.  50 
4-7.  13.  33 


13.    5 


Ex  obferuatis  vcro  ahitudinibus  ftellarum  lixarum 
dicbu»  2.X  ec  2S  lanuirii  ,  fcquentes  pro  Latkudiiie 
colUguntur  determinationes : 


1770  a.  2iAJtit.  Stellae  'CVir.(^uadr. 

Kefr.  Decl.5tcllaeEleuatio  Poli 

et  28  lan.    obf^ru.nta     |                    1 

1 

a  Ctti 

45.52'.47'9    4-5'.53" 

55"    3°.io'.33" 

47'.  13'.   6" 

45.  52.  35  S 

32, 

47-13.  20 

^  Eridani 

33.      1.28  l    +5.49 

i'.27"   9.  41. 16 

47-  13.     5 

33.     3.2&S 

47- i  3.     5  i 

<    Eridani  '32.  27.4^.) 

I.  2P    10.   15.      Ii 

47-  i-3.     3 

'|3  2.  27.  4.2  S 

0 

47.  i3.     ^ 

^    Eridani    32.    9.  li  ? 

J.  30 

10.  33-35 

47.  13-     2 

32.    9.22  s, 

36 

47,  12.53 

y  Eridani    28.  31.  57,? 

I.  43 

14.  10.46 

47.  13-21 

28.  32.30  \ 

47' 

47.  »2.  47 

Vl  Plciaduni65.    4.    <;  p 

+  5.  14 

^5 

22,  22.45 

47.  i3-  51 

,65.   3.39 S 

47.  13'  11; 

1 

Medium 

47.  «3-  «o 

Sia 


IN  RVSSIA  LOCORVM>  ^fi 

Sin  verb  altituJo  y\  Pleiadum  die    at    faniiafii    ex^* 
cludatiir  ,  fict  Ljtitiido  Iiuius  loci  47°.  13'  6",;  ctfi       ,i 
cAnclufioni    t!^to    acquicfcfcr^  ^o'terimui      Fro    Lon*     .u  i'  *, 
girudine  huius  loci    determinaada  ,    nullj    adcft-  ob- 
fcruatio,  cae-terum  ;ca  facile  cx   Longitudini&us    pr<ji 
Vcherkafk  et  Tagaii-ock  cDncIudi  potcl^i 

Lcttitiido  cctJidVi  ^agmfoct  eX  ohfcrutii^onP^^^  ^ 

%iisacdutia.  , , 

Pro    hoc    Idco    c^iretftio    qftadraatis    inkienta 
eft  5',  2I1"    additiurf.       Ek    binis    altitudiuibu»  iSoti* 
deducitui:  Eleuatio  iPoli  ^?'-  1 2'»  4C^'i  vii  fequjfoE 
DieisI^^cbr.altitwIimb.OSu^er.coiir.  zp^.^p^.is"  4»*  liJflebr.  3o'.5o'.4-9" 
Selmid.  Q     -»     -     *-       -r-xC.i^     -     -,     |^        ,/--»i<S,  14, 
Refr  -  )Paral.     .»     -     -     _    i.^»     -     >     jL  _   ,,28 

Altit.  cent.  0     ^    -     -  2'sr.  Si.fe^     *-     -^    |-      ^0.3^.    7 

Declin.  O     -    -      -13-   iS-^S     *^    "^  t,-      12.14. 12 


t   «i<  <        .     V  I' 


Eleuatio  Poli  ^     -     -4.7.  i2.i3^      -    -  |-     47'.  i?..4i 

Altitudines  vero  flellarum  fixarum  pro   Xxis.   La.t^iUr 
dine  fequeutes  fuppeditant  dettrminationes  |  '    '"  ^, 


A  a  a  a  3  170O 


5S8      DE  SITV  GEOGRAPH.  VARIOR. 


1770  d.  laAliit.SiellneCor.Quadr, 

J3  Febr.       obferu. 
B-  'iauri      .tfi°.2i'.5i'* 
61.  22. 14- 
A  Tauri       j8.  4+.  30 


5'.  c" 


S8.  4+  15 
P  Taur»      [71,,    s.aa 

[71. '  <J.  27 
$  Orionis  I  42.  13.  35 

l42.1'3  ^o 
^  Tauri  U^.  42.  5 
ijj  Oiionis  I40.  38.    7 

'4  6- 37.59 
'  iT  Orionis  '50.    3. 50 

"50.    327 

jiriu*        2<s.  ii.'>'} 


—  K'e«^ 


5-   a 

5.21 

5'.  19 

4.58 
5.21 

5.11 
5.^1 


34 

20 

i'    " 

21 


li- 


26.  18.59 
34.  14.15 


Rcfr.  jDecl.Steila  hleuat.  t^oli 

3i"x8'.39'.  9" 47°.  12'. 50" 
47.  12.27 
16.     1.  50  47.  12.53 

I47.  13.    7 

i8.  23.  30  47.  12.57 

',47.  I  2."  3 

p,  29.  i()   47.  12.52 

47.  12-37 

I20.  58.55 '47.  12.20 

li.    0  I  2.     5.    I  47.  12.37  , 

47.  I  2.  4<J  1 

7.  20.  40 '47.  12.  26 

47.  12.49 

16.  .•£4-.5»l47-  IJ.45 

47.  12.47 

47.  12. 3«^ 


•t 


S.  29.    7 
Mcdium 


47-  12,41 


Bx    quibus    igitur    concluditur    Latitudinem    cdftelli 
Taganrocic  numcro  rotundo  ftatni  pofle  47°.  i2'.4o". 

De  Longitiidhie  eiiisdcm  loci. 

Pro  Longitudiiie  liuius  ioci  determinanda,  adcft 
Irrmcrfio  I.  Siuclliiis  louis  ,  quae  die  Fcbr.  14  in 
Tagnnrock  obfcruata  fuit  Temp.  vcro  17^  30',  23", 
quum  igitnr  Tcmpus  huius  oblcruationis  I^arifimtm 
ex  Tnbulis  dcdudum  incidat  iii  15^  5'.  &"  ,  collig  - 
tur  diffcrcniia  iiieridianorum   iiitcr    hunc    locum    ct 

r.uifio^ 


•- " .  i 


IN  RVSSIA  LOCORVM. 


SS9 


Parifios  a^2  5'.  15",  qiiae  in  Gradus  connerfa  dat 
36".  19'  circitcr.  Quae  tameii  deteraiinjiio  cum 
al  qtia  Latitudine  accipienda  efl  ,  fiijuidem  ipfi  ob- 
Icruatio,  in  qua  futidatur  non  omnimoJa^m  fibi  via* 

dicat  certitudincm.  '  "    '^^' ' 

Determinath  Lntitndims  pro  vrbe 
KrmvnfJclMicL 


1770  dit 

April.  2- 
28 


M 


au 


Altit.  limb.O  tor, '(Juadr.  Klefr -  Par^Y 
fuper.       I 


I 

5 

7 

14 
15 


55-  20  57 

55.  57.57 

56.  16.     S 

57.  21^.   i9 

57.  59  39 
59.  10.49 

59.  4S.  £0 

60.  2.14- 


+  5'  25" 


+  5.  24 

+  5.  23 
+  5-  22 
+  5-  21 

■V  5. 


*9 


32 

31 

30 

2S 

27 
25 

25 


Sertii'd..6!l*)ecl.^0Bor 


,■ 


1 
15.54- 

15.53 

13.52 
15.51 


13    54'-ii' 
14.  »3-    7 

14.  50   17 

15.  8.  28 

i5.     8.4S 

i<5^  5^-23 

I  8.  11.20 
18.  40.51 
iS,  55.    8 

Medium 


Eleuat.Poli 


In  his  calciilis  Corredionem  Qiiadrantis  horizonta- 
lem  fuppofuimus  5'.  40"  addtiuam,  reliquasque  cor- 
rciftiones  ad  praefcriptum  rollrae  hypothcfeos  defi- 
niuimu!?.  Nunc  itaque  difpiciamus  quoque,  quid  ex 
'obieruatis  altitiidinibus  ftellarum  fixarum  de  Latitu- 
dii:s  huius  loci ,  flatuendum  llt. 


49 
49' 

49 
49 
49 
49 
49 


3'.  12" 


3. 
3- 

3. 


12 

20  1 

20  ' 

27'! 
3.  42 
3.  28 

49-  3.  27 
49-  3  50 


49.  3.  25' 


1770 


f66       DE  SlTV  GEOGRAPH.  VARTOR. 


1700  dii-b.  AlcH.S;tlIac[ 

Corr.  V^uadr. 

Ketr.    L)c<.l.:)icllac  |  h.leuat.  Poli  j 

30  rtpr  et 

obleru. 

7  Maii 

Regulus 

53'.5<J'23' 

+  5':26« 

4>"'i3'.   V.54"| 

W-^'  46" 

^  Leonis 

65.  24.  35 

+   5-  15 

26 

24  33-    9 

49  3  45 

S  J.eonis 

62.  ^^,  3iv 

-t  >'  n 

%9 

«<^.  4^'  ^4 

49    3. 22 

P  Leonis 

5<5.  4.3-  21 

-f  *•  »4- 

37 

15-  51.  16 

49    3.     8 

5<5.  43.     0 

15.  5/.  17 

49-  3-  30 

t  Cor\i\        19   32^  37 
7)  Viii^iais  +1.  28).  4 5 

+.  9. 40 

2'.  38 

21.  2d.  45 

49   3|  *?^' 

+i  5.  39 

'n    4 

0.  3<J.  37 

49    3r   17 

41.  2>  24 

0.  3(J.  38 

49-3    39 

y  Virsinis  40.  40|.  4^ 

+   5.  39 

ti    6 

0.  I  |.  16  ' 

49.  3f  28 

+0.  4.9.  50 

0.   1  ^    16 

49    3-  ao 

^  Vi^ginib 

45-  3^  »1 

+-•  5.  3  5 

5^ 

4-  3fc-58 

49.  3.     8 

45.  39    50 

4.  3$.  59 

49.  3,.  30 

e  Vir|ginfs 

53.     3.  31 

-h   5    27 

,  ^^2 

12    i|l.  90 
•12.  1    .  yi 

49-  3|.  21 

53.     ^   33 

1 

4S>.  ^-  20 

0  Virginis 

36.  3$.  3y 

Hf   5.40 

it.ry 

41^  33 

49   3-  «5 

3<5.  3^.  29 

1 

4.  i^-  32' 

49-  :?•  3  5 

ct  Virginis 

3?>.  5^.  5» 
30.  55.     2 

-*   5.40 

»•3  5 

9.  5t.  3» 

49-  ^34 

4V.  3    23 

^  \  irgiais 

41.  25.  38 

+   5.  39 

'•    4 

0.  34..  58 

49.  3    44 

41.  26.  52 

iMedu^r» 

49-  3-  30 

4p.  3.  28 

Viidetur  itaq 

iie    Latitudint 

:m    hu 

lus    luci    lat 

is     lUlQ 

ftatui  pofle  49".  3'.  28". 

De  Lovgifiidiiic  -crhis  Krcmeiitfchiick. 

Vvo  lijc    Loiigiuidinc     Ihiiiilicnda     In  .j>.     Iiippe- 
cbkruiuioncs    ciria    Ldii^lb   bdiclliLum    '0>iis. 

In.mcr- 


,{BOt 


IN  RVSSIA  LOCORVM.  5<Ji 

Imn-erfio  fcllicet  S  ciindi  Satclliti* ,  quae  hoc  jii 
loco  cbfcru.ita  fuit  dic  30  Apiilis  Temp.  vcro 
12^  5  S'.  ^o"  et  Immerfio  Primi  ,  obfcrujta  dic  10 
JAiii  Temp.  vero  16^7'.  21",  cuj  vtnque  obfcr- 
■vationcs  (juoque  correfpondentes  adfunt. 

Immcrfio  I.  Sateliitis  die   lO  Maii  obfcruata 
in  Kremcntlchuck  Temp.  vero   i6^  7'.2i" 
Stockholmiae     -     -     -     -    15.     5.43 
Lundae  -     -     -     -14,45.45 

Hinc  dif^^rentia   meridianorum  inter 

Stockholmiam  ct   Krementlchnck  i.     r.  33 

Lund  et  Krementfchuck  i.  21.35 

Pfifira  i:^itur  Longitudine  Srockholmiae  a  Parifis 
i^  2'.  55''  et  Lundae  43'-  3o'' ;  fieret  Longitudo 
pro  Kremcntfchuck   2^  4-'.  33"   vel    2".  5'.  6". 

Immerfio  IL  Sattllitis  die   30  Aprilis  obferuata 
in  Krementfchuck  Temp.  vero  i^^^.^S^^o" 
Tyrnauiae     -     -    -     -11.  55.    8 
Zaricini      -     -     -     -   13    42.44 

DifTcrentia  mcridianorum   inter 

Kicmentrchuck  et   Tyrnau      -      i.     3.32 
Krcmentfchuck  et  Z.iricm       -  44.    4 

Pofita  igitur  Lon-!ituJine  lymauiaea  Farifiis  i^o'.55^' 
et  Zaricini  2^.  48'.  30",  prodit  Longitudo  pro  Kre- 
mciitfchuck  a  Parifiis  2^4'.  27"  vel  2^  4'.  26".  Mcdio 
i.;itur  harum  quatunr  cnnclufionum  fumto,  prodiret 
Longitudo  quJcfita  2^4.',  38".  Qiiae  tamen,  quia  im- 
merfio  L  in  Liind  obfcruata,  rcliqais  obleruatioiibus 
alivjuanto  magis  dubia  efTe  potent,  a   nobs  efife  flatue- 

lom.XX.  Nou.Comm.  Bbbb  tur 


S62       DE  SITV  GEOGRAPH.  VARIOR. 

tur  2^  4'.  35",  feu  in  Gnidibus  31°.  9'  circiterj  quie 
ceterminatio  non  (anc  multuni  a  veritate  abludcre 
j-.ctcft  ,  ob  infignia  ccrtiiudinis  criteria,  quibus  obUr- 
\ationcs  gauderc  vidcntur  ,  egregiiimquc  iplarum 
inter   fc  cnnfcnfum. 

Dc  Latitiidi?ie  cnJicUi,  quod  a  St.  Elijdhetha 

nomcn  diicit. 

Pro  hoc  loco  eas  praeprimis  feligemiis  obfer- 
\ationcs  nhitudinum  Scls  ,  quae  proxime  circa 
ipfum  tcmpusSolftitii  captae  (unt,  pro  quibus  quum  ccr- 
rccftio  Qiiadrantis  horizontalis  inuenta  fuerit  -i'.54",  ad 
iiltitudir.cm  65°  tam  (iipponamus  fui^Tc  -  2'.  1  9",  quuni- 
quc  Scmidiametcr  Solis  intcruallo  tcmporis,  quo  l2«e 
obfcrnationes  faciac  Curit,  fere  conflanter  fuerit  i5'.+7" 
ct  refradio  —  iS';  altitudines  limbi  Solis  Superioiis 
obferuatae  nd  veras  altiiudincs  centri  Solis  reducen- 
tur  5  fi  ex  illis  conftantcr  fubtrahantur  18'.  24.". 
Quibus  obferuatis,  pro  latitudine  fcqucntcs  prodibuiiE 
conclufioncs : 


1770  die 

Altit.  limb.  O 
fupcr. 

Decl.  OBor. 

Eleuat.  Foli 

14  lunii 

55'.  6'.   6" 

2  3°.i7'-43" 

4  8°.  30'.    1" 

18 

65.  15.     8 

23-  ^6.    7 

48.  29  23 

20 

65.  \6.  22 

23.  27.50 

48.  29.  52 

21 

65.  16.  48 

23.  28.    4 

48.  2y.  40 

22 

65.  15.37 

23'  27.54 

48.  29.  41 

23 

65.  15.  58 

23. 27.19 

48.  29.  45 

25 

65.  13.  1  + 

23.  24. 52 

48.  30.     2 

28  — 

6^.     6.  56 

23.  18.24 
Medium 

48.  29.  38 

48.  29.  45 

PlO 


IN  RVSSIA  LOCORVM.  $6;$ 

Pro  LfltituJine  huiiis  loci  detcrminanda  ,  tum  qui- 
dem  occuirunt  akitudines  ftellarum  fixarum  a  Nob. 
Eii.eio  dic  7  lunii  captae  ,  corrc(flionc  quadrantis 
tunc  exiltcntc  6°,  55'  additiua  j  verum  quum  haec 
corredio  per  \nicam  tantum  obferuationcm  demon- 
ftr.ua  fit  ,  et  altitudinibus  applicata  ,  imprimis  dunfi 
cx  nonra  hypothefi  corrigitur,  conclufiones  praebeat 
]v,uid  p:iruin  difcrepantes  ab  illis ,  quae  ahitudinibus 
SoHs  innitiintur ;  heic  tantum  adhibcre  fiatuimus 
obfcruaiiones)  altitudinum  pro  Arcfluro  et  ^  Bootis 
\erUis  Aullrum  captas  ,  nec  non  altitudines  ^  et  y 
\rfae  minoris  verlub  Boream  fumtas. 

Primum  itaque  pro   Arduro  fequentes  habcntur 
obfcruationcs  : 
Al.itudo  apparens  Ardluri 
die  14.  Iunii5i°.5  5'.4.3"  Altit.Ard.  vcra  (Ji*.^^'.!^'' 
15  6^1.  5  5- 58  Dechnatio  20.23.4-9 


16 61.  56.  14. 

17 61.  S<J'  lo 

28  6u  55.  57 

24    61.  55-54- 

30  61.  55.    7 


41.  29.  25 
Eleuat.  Poli  i^S.  30.35 


Medium6i.  56.    o 

Corr.  Quadr.        —2.  16 

R^fr.  —30 


Altit.  vcra  <5i.  53. 14. 


B  b  b  b  !i  Fro 


554       CE  SITV  GEOGRAPH.  VARIOR. 

pro   ^  B)otis  hae  adfiint  obferuiuiones : 

Alcitiido  <  Bootis  obferLUua        Alcit.  ^  Bootis  obferuata 
dic  14.  liinii   56°-i6'.  o"  56^io'.i2" 

15   56.15.    2      Corr.  Qiuidr.         -2.10 

17    56.16.25  Kefr.  -33 

,8    56.  16.  16      ^^^j^    vera-5<5.  i3~ 

2^   56.16.  18  ^^^^^^^_  __  ^^    ^^  3  j 

Mcdium  5^- i<^- 1*  41.  29.53' 

Eleuat  Poli      48.  30.   7 
Sequuntur  nunc  obfcruationes  pro  (3   Vrfae   minoris  : 
Altitudo  (3   Vrfae  obfcruata     Alticudo  p    Vrfie 

dic    18  iunii   63°. 27' 44"  obferuaca     63^27'.2o" 

24.  63.27.11       Corr.Qiiar.         —2.17 

—   63.  27. 3  i  ^^^^-  ~^9 


25 


3^  ^^'  ^"^     '^      Altit.   vcra     63.24.34 

Mcdium  63.  27.20        Declin.  (3      75-     5-55 


Eleuat.  Poli    48.  30.29 
Dcmnm    pro  y  Vrfae  hae  adfunt    obfcruationes : 
Aititudo  V  Vrfac  obfcruata     AUit.  y  Vr(ae     ^ 
die   18   lunii  65°  54'.    9"  obfcruata     65  .53'.55" 

2^  65.  53.5^      Corr.Quadr.  -2.is> 

25   65-53.43  Ktfr.  ~'<^ 

27  65.53.32       ^^^jj.^  ^pp^j._    ^5^    51.10 

30   ^^    53»  56  ixclin.  Y    72.  39.18 

Medium  65-  5  3-  5  5        £1^,^^^    pyij  ^8.  30.  2  8 

\cruQii 


IN  RVSSIA  LOCORVM.  s^S 

verufn  ne  fic  quidem  obferuationes  pro  akituJinibus 
Solis  ,  ad  conlcufLiin  cuin  obleruatioiiibiis   circa  alti- 
tuJiues    fixirum    redi^i     poirunt  ;    ncc    hic    quidem 
diHeiifUb  toili    potert  ,    fi    corrciflio    Quadraiuis    talis 
adhibeatur  ,  qualis  ad  horizontcm  iiuenta  fuit  ,  fum 
enim  diflenlus  intcr  altitudines  Solis  et  Arduri   ma- 
nebit    idem    vt  antea ;    altitudo  vero    Arcluri    cuin 
alcitudinibjs  p  et  y   Vrfie  minoris  nullo  modo  con- 
ciliari   poteruat  ;  qu.im  ob  cauff.im  in   illhoc  diirciifu, 
aliam  ratiouen)  detcrminandi   Latitudinem  loci    propo 
fiti,  tutiorem  non  edc   exjllimamus,  quam  vc  inter  con- 
clufiones  iam   inuentas  mcdium   capiatur  ,    quo  faclo 
prodibit  LatituJo  CallcUi   St.   tilifabeth  4S'.  30'.  17", 
quam   tamen   in   fauorem  obleruationum   circa    ahitu- 
dints  Solis  factarum  ,  numcro  rotundo    4.&".  30'.  lo'^ 
ibtuere  Hcebit. 

Dc  Longitudine  Cajidli  St.  Elifahethae, 

Ternae  in  hoc  loco  a  Nob.  Eiilero  infiitutae 
habentur  obfcruationes  circa  Eclipfcs,  Satellitum  louis, 
Harum  prima  eft  Emerfio  fecundi  Satellitis  quae 
dic  19  lunii  obferuata  eft  Temp.  vero  (J^.  21'.  32''. 
Ladem  Emcrfio  vero  Tyrnauiae  obf^ruata  habetur 
Temp.  vero  &''.  23'.  37''  et  Zaricini  10''.  9'.  34  , 
vnde  difTcri-ntia  meridiannrun>  St,  Elifabcthac  a  Tyr- 
nauia  o^  57'.  55"  et  a  Zjricin  4S'.  2";  hincque  a 
Parifiis  vel  1^58'.  50",  vel  2^.o'.28".  Prior  autem 
harum  conclufionum  heic  in  computum  vciiire  non 
dcbcr,  quoniam  obfcruatio  Tyrnauienfis  valde  dubia 
erat. 

B  b  b  b  3  Emerfio 


S66       DE  SITV  GEOGRAPH.   VARIOR. 

Emcrfio  Primi  Satellitis  die   20   lunii 

in  St.   Elifaberha  obleru.  Temp.     1 1*.  6'.   3" 
Stockholmiae  10.     8. 30 

Zaricin  i  r.  5  3-5- 


Hincconcludiiur  differentia  meridianorum 

iuter  St.  Elilabeth   et  Stockholmiam  57-33 

St.   Elifabeth  ct  Zuricin  47  49 

Ideoque  Longitudo  St.  Elilabethae  a  tneridiano  Pa- 
rifip.o  ,  jcr  priorem  cotnparationem  2^  o'.  28"  ,  ptr 
pofteritjrcm  autem    2*'.  o'  ^i". 

Emerfio  1.  Satellitis  die  27  lunii 

in  St.  Flifabeth  obferuata  lcmp.  vero   i2*.5  8'  5  5" 
Parifiib  coatingere  dcbuit  ex  calculo   lo.  5*5.30 

Hinc  Lopgitudo.  E-lifabcthae  a  Parlfiis  2.  0.25 
Mcdio  igitur  fumto  harum  conclufionum  ,  proJibit 
Lon^ituJo  huius  loci  2^  c'.  30"  ,  f(.u  in  Gradibus 
30°.  7I'  a  A'eridiano  Parifiauo  con  putata  ,  quae  fi 
non  prorfus  cxadla  fit  t  taa.cn  haud  longe  a  vcri- 
tate  abenabit  ,  praefertim  quum  vtr.iqnc  oWeruatio 
emcrricois   Primi,coclo  bene    fauente   (it    pcr:;d;j. 

Dctcrmi?intio  Lntitudinis  pro   CaflcUo 
Siiporo^fhijd  -  Sictfcha. 

Fx  ooferuationibns  altitudinuni  Solis  ct  (lcl- 
Inrum  fixarum  ,  eas  tantum  heic  rcctnfcrc  placct  , 
qiac  faflae  funt  ,  corrtdi(Mic  Quadranti^  honzontali 
exiftcnte  primum  —  i'.  3+",  tum  vcro  -1'  48". 
Ex  obfertatis    igitur  aliitudiujbus    Sohs  ,    fcqucntcm 

in 


IN  RVSSIA  LOCORVM. 


5<J7 


in  modum  dcterminatur  Elcuatio  Poli  pro  Saporog- 
rkaja  -  Sictlcha. 


-  i'.57" 
-1.5^ 

-  I.  55 


i77oiulii  Altit.liinb.O'^Corr.(^uad. 
lupc  r. 
20  6 3°.  2 6 '.42" 
24.163.  38.  45 

25  62.  25' 47 

26  62.  13.  2 
2761.  59.  18 
31,61.     2.31 

Aug.        I  60.  47.  17 

3  (5o.  16.  31 

759.  II.  20 

958.  37.  17 
ii'58.  2.28 
I2|  57.  44-.  II 
13  57.  i5.  55 
14.57.    7.  30 


—  I. 


—  2. 


54 

7 


-2,     5 


Semid.O 


I5'.47" 
x5.  4S 


15.  49 
15.  50 

15.  51 


Refr-Par.lDecl.OBor. 


21 

22 


// 


24 
25 

26 

^7 
28 

2p 


Eleuat  Poli 


2o'.4o'.i3" 

47'  31 

•.36" 

19.  52.  19 

47.  31 

.41 

19.  39.  31 

47.  31 

.  50 

19.  25.   21 

47.  31 

.  27 

19.    12,   52 

47.  31 

.30 

'8.  15.  55 

47.  3> 

•  41 

18.     0.  5  I 

47.  3J 

[.  43 

17-  29.57 

47.  31 

.  34 

16.  24.  4.6 

47.  31 

.  49 

15.  50.  33 

47.  31 

[.  40 

15.  15.  20 

47-  31 

.  i^ 

14.  57.  ai 

47.  31 

.35 

14.39.     8 

47-  3J 

.  38 

14.  20.  41 
JMedium 

47-  31 

.3^ 

47-  3J 

'.37 

Ex 


.  $6S       DE  SITV  GEOGRArH. 

VARIOR. 

Ex  altitudiiiibus    vcro    nclbinim    fixarum    fequcntes 

habentur  ceterminationeb : 

I770J.  24. 

Alut  Sttllae 

Cor.(^uadr.   K^fr. 

iycd.liteilae 

hlcuat.  r^oli 

26    liilu 

obicru. 

OphiUclii  6 

3  9'.c6'  ic" 
39-  »5.  59 

1'.    8" 

3°.    5'.   4" 

47^31 '.  =  8" 
47.  31.39 

t 

38.  24.  28 

I.  12 

4.    <7.  5  I 

47.  31.  27 

Antiitcs 

16.  38.  45 

3.    7 

25    54.    6 

47.  31-  50 

i<5.  38.  51 

47.  31.  44- 

Ophiuchi  ^ 

32    26.  14 
32.  26.  29 

1.28 

10.     4.  58 

47.  31-  50 
4"7.  31.  35 

M 

27.     6.  57 
27.     6.  44 

1.51 

15«  -5-  i<5 

-^7.  31.  li 
47.  31.  25 

Hercul.  a 

57.  I  I.     9 
5  7-  11.  15 

-      I.5I 

37 

14.  40.  1$ 

47.  31.  34 
47.  3«.  =8 

Opbiiichi  0 

17.  47.  5-) 
17   47    59 

-      1.34 

2.57 

24.  44.  51 

47.  31    45 
^7   31.  41 

'   ^  ; 

55-  15.  30 

-    1-49 

40 

12.  44.  51 

47.  31.  50 

55.  15.  43 

Mcdium 

47.  3T.  35 

47.  31-  3<5 

Quibus 


IN  RVSSIA  LOCORVM. 


5(5p 


Qiilbus  determin;itionibus  adhuc  fcqucntcs  adiiciamus: 


1770  1 1  Alcit.StelLie 

Corr.Q^iiad. 

Kcfr.  Dccl.Sicliae 

Eleuat.  PoU 

Aug.     i     obfcru. 

Aquihice   57°- ^■'•S'^" 

_    «/       c'^ 

37'' 

i^\^6'.2s'\ 

47°.3i'.3i" 

^    5^.     3.  4^ 

-  2.      4 

3S 

13-  32.  23 

47.  31-  -3 

§    45-  «I.  3" 

-  I-  53 

57 

2.  40.  29 

47.  31-  47 

Cygni   p    70.    0.  3  3 

-  I.  50 

2  I 

27.  29.30 

47.  31-     8 

Sagittac  a  60.    0.  5^ 

-2.     8 

53 

17-  30.    7 

47.  31.  52 

Aquilaey  52.  35    "° 

—  2.     0 

44 

10.      4.  lO 

47.  31.  3  + 

a 

50.  48.  10 

-  I.  5S 

46 

8.  15.37 

47.  31-  i^ 

(3    4S.  22.  22 

-1.56 

51 

5    51.  10 

47.  3I'  3? 

Ar.tinoi  6   4t.    2.     i 

—  I.  49 

I-     5 

I.  29.    9 

47.  31-  44 

Cu  pric.  a 

29.  17-  34 

-  1,  48 

1.  41 

13-  14.28 

47.  31.  27 

P 

27.     2.  25 

I.  51 

15.  29.23 

47.  3^.  41 

Delph.  e 

53.     -.29 

—  2.      I 

43 

10.  32.  20 

47-  31.  3  5 

a 

57.  3S.     9 

-  2.     5 

37 

15.     7.    0 
Medium 

47.  31.  3  3 

47-  31.  3  a 

JNleiio  igitur  fumto  inter  has  concliifiones,  Latitudo 
loci  pro  Saporoglkaja  Sietfcha  Ibtui  potelt  47°.3i'.3  5". 
Aititudincs  vero  ftellarum  verfus  Borcam  faclas  heic 
in  cofnputum  non  duximus  ,  quia  caedem  ,  ob  in- 
certitudincm  circa  vcrani  rcfradlionis  quantitatem  , 
alicui   dubio  obnoxiac  eflo  potcrunt. 

Dctcniiinntio  Lov^itiidims  pro  Cajtcllo 
Sdjwrogfknja  Sictfcha. 

Pro  Longitudine  huius  loci  dctcrminanda,  ter- 
nae  a  Nob.  Kukro  obferuatae  funt  Edipfcs  Satelli- 
.    Tom.XX.  Nou.Comm.  Cccc  tum 


570      DE  SITV  GEOGRAPH.  VARIOR. 

tum  louis.     Harum   prima  eft  Emerfio  Tertii  Satel- 

liiis  ,  quae  in  Saporogfkaja  Sictfcha  contigit    dic    lo 

lulii  Temp.  vcro  n''.  24.'.  13".    Verum  quum  huic 

obfcruationi  alia  correfpondcns  alibi  fada  non  fuppc- 

tat  ,   hinc   pro  Longirudine  dctcrminanda  nibil    con- 

cludi   poteft.     Sccunda  obferuatio  efi:  emerfio  Sccundi 

Satellitis  die  21   Iulii,quam   Nob.  Eukrus  obfcruauit 

Temp.   vtro  9^  o'.  37"  ,  quum  igitur    Tenip.    Parif. 

huius  obferuationis   fit    6^  $1'.  59",  hinc    fcqueretur 

diffcrentia  meridianorum  inter  Saporogfkija    Sietfcha 

et  Parifios  a*.  7'.  38",  vcrum   quum  ex  aliis   obfer- 

vationibus  conflet  errorem  Tabularum   pro  hoc  tem- 

pore  fuifTe    i'.  40'^  in    excefTu  ,    Tempus    corrccflum 

Parifinum  huius  emcrfionis  erit    6^.  51'.  19",    idco- 

que    differentia    meridianorum    quaefiia    z".  9'.  1 8"  , 

quae  certe  nimis  magna  efh       Deniquc    et  Emerfio 

Primi  Satellitis  hoc   in   loco    obferuata    habetur    die 

14.  Aug.  Temp.  \ero  8^2'.  58",    cuius    Enierfio- 

nis  Tcmpus  Parifinum  quum  incidat  in  s''  54-".  51"^ 

ex  Tab.  Celeb.  Wargentin ,    fict   ex  hac    oblcruationc 

differentia  meridianorum  intcr   Saporoglkjja   Sictfcha 

et  Parifios  i^.  8^.  7""  ,  quae  igitur    numcro    rotundo 

flatui  potefl   i^.  8'.  10"  fiue    in    Gradibus    32°.  2'/. 

Quamuis  autem  haec  obferuatio  coclo   fcreno    ct    (x- 

vente  infiituta  fit;  ramen   ob  lumen  crepufculi  adhuc 

fcnfibilc,  facilc  ficri    potefl  ,    \t    hacc  cmerfio   iutlo 

tardius  fit  obfcruata  ,  ideoquc    Longitudo    huius    locl 

aohuc  aliquanto  minor  fit ,    quam  quac  cx   hac  ob- 

Ceruatione  coUigitur. 


IN  RVSSIA  LOCORVM. 


$1i 


Dctmnijiotio  Latitudinis  pro  vrbe  Smara, 

Corredlio  Quadrantis  in  hoc  loco  perinde  ac 
in  Sjporoi^fk:ija  bietfcha  ,  inucnta  efl:  —  i'.  ^8", 
qua  igitur  in  fequentibus  calculis  vtemiT: 

1770  Aug.AItit.limb.OCorr.Quadr,  Sernid.G  Refr-Par, 
fuper 


ftO 

21 

22 

23 


5  4-*.  14-' 11" 
53.  54- 19 
53-   34-2  + 
53.  13-4- 


—  aU" 


—  2.  I 


15'.52' 
15.  53 


32 
33 
34- 
35 


// 


Dedin.  O 


Eleuat.  Poli 


Fx  obferuatis   autem  altitudinibiis   fixarum  , 
tes  coUiuuntur  detcrinindtiones : 


i2'.2  5'.2  3"|48  .29'.39" 
12.  5.  -<5  '4-8.  29.  34. 
II.  45  17  48.  29.22 
II.  24.  58  48.  29.45 

Medium  48.  29.  35 
fequen- 


1770  19- 

21  Aug. 

Aquilae  t 

Sagit.  a 

Aquihie  y 
a 

Antin.  0 
Capric.  a 


Altit.  Stellae 
obferu. 

55 


20'.  o' 
5.  39 

15-  4<5 
3.  6 
3.  i<^ 

37.  II 

50.    O 

I  I 

3 

28.  19.  si 
16.    4.  36 


Corr.Qiiadr.  Refr.  DechSteUaejEleuatio  Poli 


44' 
5  9- 
59. 
51. 
49. 

47.  24 
40.  4 


-2'. 

—  2. 

—  I. 

—  2. 


5 

4 

53 

7 


M 


3S"i4.46'.25'' 


-  I.  59 

-  I.  57 

-  I.  5  5 

-  I.  48 


40 

59 

34 

46 

48 

52 

1'.  8 

1.44 

I.  5<5 


13-  32.  23 

2.  40.  29 

17.30.  7 

10.  4.  10 

8.  16.  37 

5.  51.  10 

I.  29.  9 

13-  14-  28 

15-  29.  23 


48°.  29'.  8" 
48  29.  28 
48.  29.  35 
48.  29.  41 
48.  29.  31 
48.  29.  42 
48.  29.  22 
48.  29.  45 
48.  29.  44 
48.  29.43 
48  29  45 


Eleuatio  igitur  Poli 
tur  48°.  29'.  35". 


Medium    48.  29.  35 
pro  vrbe  Samara   hinc    deduci- 


Cc  c  c  2 


De 


STi      DE  SITV  GEOGRAPHrVARlOR. 

De  Loiigitudim  ciiisdm  loci. 

Tres  in    hac    vrbe    a    Nob.     Eukro    inrtitutae 
funt    obfcruationcs    circa    Eclipfes    Satellitum    louis. 
Ivam   22   Aug.  iib  ip(o  obfcruatae   habciunr  ,   Emer- 
il  fio  Secundi  Satellitis  ct    Immerfio    Tertii  ,    quarum 

prior  contigit  ,  Tcmp.  vero  8^  44-'.  o^'  ,  pt  flerior 
vero  S''.  55'.  21''.  Qiium  ex  poftcriori  obler- 
■vatione  pro  Loni<itudine  vix  quidquam  tuto  coii- 
cludi  pofilt  ,  videamus  quid  ex  priori  ftquatur, 
Piimum  igitur  fi  haec  oblbruatio  conferatur  cum 
Temporc  Parifino  ciusdem  obferuationis ,  quod  in- 
cidit  in  6".  31'.  46",  adplicata  nimirum  Tabu- 
lis  corrcdione  1'.  50"  fubiradliua  ,  inde  coUi^e- 
tur  difFcrentia  meridianorum  inter  vrbem  Samara 
ct  Parifios  ,  a^  12'.  14".  Occurrit  quidem  quo- 
que  huic  obfcruaMoni  ,  aha  correfpondcns  in  Zariciii 
fada,  qua  Emcrfio  obferuata  efl  Tcmp.  vero  9^22'.  10", 
vnde  pofita  Longiiudinc  Zancin  a  Parifiis  2^48'.3o", 
coUigeretur  differentia  meridiani  Samarae  a  Parifiis 
a**.  10'.  20"^  verum  quum  obferuatio  in  Zaricin 
fada  aliquatenus  dubia  ell  ,  prior  harum  dctermina- 
tionum  propius  ad  vcritatem  accedcre  vidctur  ,  nifi 
fi  forfan  crror  obftruationis  in  Samara  fadae  ,  cum 
crrorc  obfcruationis  Zaricinenfis  eiusdem  fit  quar.ti- 
tatis.  Emerfio  denique  Priini  die  21  Aug.  in  Sa- 
mara  obferuata  eft  Temp.  vero  lo''.  5'.  33",  vnde 
fubtrado  tempore  Parifino  eiusdem  emerfionis  ex  Ta- 
buHs  dcduclo  7^  5»'.  53",  collii^itur  difRrentia  me- 
ridianorum  i^.  13'.  40",  quae  ccrte  nimis  in  exccffu 

peccat 


IN  RVSSIA  LOCORVM. 


5*73 


peccnt.  Videtur  ighur  Longitudinem  Samnrae  a  Pa- 
rifiis  numero  rotundo  ftatui  poflb  2^  12'  fiuc  m 
Graoibus  33°. 

De  Liititudfne  vrbis  Pcrcwolotfchna. 

Corrtcflio  Quadrancis  eadcm  inucnta  clt  ,  ac  iii 
binis  prioribus  locis.  Pro  Latitudine  autem  deter- 
minanda  ,  vnica  habetur  oblcruatio  ahitudinis  Solis  > 
die  I  Sept.  ,  (jua  inucMita  e(l  altitudo  Limbi  Solis 
fuperioris  49°.  40'.  59",  vnde  pofita  Declinatione 
Solis  pio  hac  obfcruatione  s".  14.'.  2S",  Semidia- 
mttro  iolis  15'.  55"  et  refrac^lione  41"  colhgitur 
ekuatio  Poli  huius  loci  48°.  5z'.  2''.  Ex  altitudi- 
nibus  vero  fixarum  die  31  Aug.  fcquentes  habentur 
determiuationes : 


Altit.Scelhu 

Corr.  (^uadr. 

Refr 

Decl.Stellae 

tkuat.  Poli 

obferu. 

Cygni  p 

6s'.4o'.  13" 

-  i'.54" 

20" 

2  7'.2  9'-3o"4S°-5i'  31" 

Sagittae  a 

5S.41.     3 

-2.     6 

31 

17.  30.     8  48-  5  ».  42 

Aquihie  y 

51.  15.  18 

—  I.  58 

42 

10.     4.  10  48.  si.  32 

a 

49.  27.  46 

-  1.56 

45 

8    16.  3-T  48,  51.  3a 

P 

47.     2.  14 

-  J.  55 

50 

5    51.10  48.  51.  41 

Sirius 

24.  47.  13 

-  I.  48 

'6   24.  54  48.  51    44 

Medium 

4-8.  5  1.  37 

Hinc  igitnr  Liqaet ,  Latitudinem  hnius  loci  ,  nu- 
mero  rotundo  ftatui  pofTe  48°.  5  1'.  40'^  Prn  Lon- 
gitudine  vero  determinanda  ,  nullae  fuppctunt  ob- 
feruationes. 


Cccc  3 


De 


S7t.     DE  SITV  GEOGRAPH.  VARIOR. 
De  Liititudtnc  'crlns  GJuchow, 

CorrCLlione  Quadrantis  horizontali  ,  riippofita 
vt  ante  —  i'.  4S",  ex  obfcruatis  altituainibus  Solis , 
fcqucntcs  habencur  detcrminationes  : 


1770  Sept.  Ahit. hmb.O  Cor.  Quadr. Semid.  O  Keh -  Parah  'Decl.O Ault. Ekuat. Foli 
fuper.  I 

i5'.   i" 


Odlobr. 


•3 

6| 

7 
II 

15 
\6 

22 

a6 
31 


23  3S  .30'.  o' 
2+38.  (J.  31 
'1  36.  55.  29 
33  50.  10 
33  -(5.  52 
33-  3-  3<5 
31.  3  =  .  12 
30.  2.  41 
29   40   45 

27  30.  33 
16.  27.  42 
25.  711 
24.  27.  i9 


-  i'.4S'' 


i5. 
i5. 

l5. 
16. 
l(f. 

i5. 
16. 


4 
6 


S 
9 


V. 

I. 
I. 
j. 
I. 
I. 
I. 
1. 
I. 
I. 
I. 


4" 
6 

9 
18 

20 
21 

=  S 

30 

33 
42 

48 


i5.  II 


I.  49 
I    59 


0°.     8 '.2  4" 

e 

.40'.  29" 

0.  31«  52 

40.32 

I.  42.     9 

40.  21 

4   4S.  45 

_ 

40.14 

5.  II.  5  = 

40.  27 

5.  34-  5  5 

40.  42 

7.    5.  21 

40.  45 

S.  3<5    15 

40.  29 

8.  58-  25 

_ 

40.  18 

II.     8.37 

40.  28 

12.  II.  33 

51- 

40.  30 

12.  32.    9 

40.  16 

14.  12.  10 

40.  29 

Medium 

5i. 

40.  29 

Forro  difpiciamus  quoque  ,  quid  ex  obferuatis  Ahi- 
tudinibus  flellarum  fixarum  de  h.ic  Latitudine  con- 
cludcre  hcet ,  vbi  quidem  cas  tantiinn  obfetuationes 
in  computum  cuxitT'Ut>  quae  Qtiadrante  verfus  Me- 
Ddiem  conucrlo  ,  inrtiiute  funt  ,  caeicrae  enim  aki- 
tudincs  verfus  Borcam  captae  aliquaiiio  iucertiores 
■\'identur. 

1770 


IN  RVSSIA    LOCORVM. 


575 


1770  d.  kJ  Altit. Stcllar, 

Oa:ob. 
A(]uilac  §  4.1'.  a'.  53'' 
Cygni  P  6$.  5  2'  I 
S.igittae  aj  55.  52.  3 
Aqiiilae  y  1  48.  2(>.  25 
a  45.  39.  2 
(3  44.  13.  50 
Ciprlc.  a  25.  8.  5  5 
Di-lphiii.  6   4-8.  54«  49 


Corr.Quadr 

Rcfr. 

-  i'-W 

i'.    6" 

—     2.    13 

»5 

-    2.      3 

38 

-  1.55 

51 

-    I.  54 

54 

~    I.  52 

58 

-    I.  48 

2.      I 

-    I.  5^ 

50 

Decl.Stclhiellilcuat.PoU 


2  .4-o.3i'j5i 
27.  29.  32  5r. 

17.  3^-     9  51. 

lo.     4.  I  2   51. 

8.  16.  39   51. 

5.  51.  13   51- 

13.  i+.  26    5 1. 

10.  32.  23    51. 


iMedium 
Hinc  igitur  colligitiir  Eleuatio  Poli  pro    vrbc    GlU' 


•40'.  3  3" 
40.  19 

40.  4.7 
40.  34 
4.0.  4.9 
40    13 

40.  28 
40.  20 


51.  4^.  30 


~/ 


cliow    5  I  .  40 

Dctcrmiiiiitio  Longitudinis'  pro  cadem  vrbe. 

Pro  Longitudine  huius  loci  dcterminandj  binaS 
Kob.  Eiderui  obleruauit  Emcrfioi  es  primi  Satcllitis 
louis  ,  quarum  prior  fada  eft  ,  die  22  Scpt.  Temp. 
6''.  50'.  13''»  porterior  vero  die  31  Oiflob.  5^33^.7'^ 
Qiium  vero  Tempus  Parifinurn  prior.s  obrernationis 
ex  Tabulis  fit  4''.  41^  5^",  hinc  colligitur  diffcren- 
tia  Meridianorum  inter  Gluchow  el  Lutetiam  Parifio- 
ruin  a'',  s'.  19'^-  Tiim  vero  ob  polkriorem  emer- 
fionem  incidcntcm  in  Tempus  Parifinum  3*.  25'.  5'', 
colligitur  Longitudo  hu:us  loci  a  Meridiano  Pari- 
fino  2^  8^  2'^;  quumque  igitur  binae  hae  conolu- 
fiones  tam  probe  inter  fe  confentiant ,  fine  (enfibili 
errorc  flatuere  licebit  Longitudinem  loci  nolln  a 
mcridiano  Parifino  2^  &'.  0"  (eu  in  gradibus    exhi- 

bitam 


s^6  DE  srrv  geoGr.  var.  in  rvs.  locor. 

bitam  32°.  o^  In  genere  autcm  patet  tam  hanc  , 
q  lam  rcliquas  pro  Longitudinibus  reliquorum  k)cO' 
rum  allatas  determinationes  ,  non  pro  omnino  cx-' 
adis  haberi  poffe  ,  quia  obferuationibus  paucis  nec 
prorfus  indiibiis  innituntut'.  Praeter  has  vero  cbrcr* 
"vationes,  ad  Longitudinem  huius  loci  determinmjam, 
ndhiberi  quoque  poflent  illae  ,  quibus  Nob.  Eukru^ 
nlritudinem  Lunae  mcridianam  menfurauit.  Verum 
quum  conclufiones  hinc  deducendae  vix  maiori  quam 
vnius  minuti  praecifione  gaudere  queant  ,  et  huius- 
inodi  detcrminationes  cacteroquin  calcuUjs  requirant 
nliquanto  operofiores  ,  iOas  obfcruationes  in  compu- 
tum  hac  occafione  non  duximus.  De  declinatione  Acus 
Magneticae  in  aliquibus  locorum  fupra  commemora- 
torum  a  Nob.  Eiilcro  obrernata,  confuli  potelt  DiflT.rra- 
tioCel. /Cm^i  in  Tonio  XVIL  Nojor.  Commcntar.  , 
quae  (tatum  declinationis  Magneticae  in  variis  im- 
perii  Rufllci  locis  exponit  ,  quare  has  obfcruationes 
heic  repetere  nihil  cfl  necefle.  De  obfcrnatio  libus 
denique  Mcteorologicis ,  quas  Nob.  Eukrus  fin^ulari 
cura  inflituit ,  nihil  heic  adfcrcmus  ;  quia  ob  breue 
temporis  interuallum  ,  qno  in  fingulis  iocis  commo- 
ratus  efl  ,  ex  his  obfernationibas  vix  quidqu.im  con- 
cludi  pofle  videtur;  nifi  forfan  fi  earum  comparatio 
inftituatur  cum  obferuationibus  Metcorologicis ,  aUbi 
codem  tcmpore  inflitutis,  cniusmodi  tamen  compara- 
tionem  inire  ,  nunc  noflri  non  ell  inrtituti. 


DE 


DE 

OBSERVATIONE 

ECLIPSEOS  SOLIS 

PETKOPOLL    DIE    il    AVGVSTl   ANNO    i7^5 

INSTITVTA  , 

Auiflore 
AN  D.     I  0  H.     LEXELL, 

Breiicm  expofitionem  obreriiationum  circa  hanc  So- 
lis  Ecliplin  a  me  fj^fl.num  tradituriis,  primum 
obferuationes  inftitutas  pro  cognofcendo  motu  Pen- 
duli  ,  ad  quod  h.ie  obltruationes  fadlae  funt,  fucciniftc 
enarrabo.  Per  akitudines  igitur  Solis  correfpondentes, 
qnadrante  Allronomico  trium  pedum  captas,  fcquentia 
elicui  momenta  meridierum  ad  Pendulum  obferuata: 

Tenp.Penc'. 
Die  ao  Aug.  Meridies  ex  obferuation.  altit.  correfp.  o''.8'.34-",5 

Corredio  Meridiei  +22,   i 

Meridies  verus  o.  8.  5<5,  9 

22  Aug.  Merid.  ex  altiiudin.  correfp.  0.7.    7,  7 

Corr.   Merid.  +22 

Merid.  verus  o.  7.  29 

2.1-.  Aug.  Merid.  ex  altitudin.  correfp.  o.  5.  35 

Corr.    Merid.  +22,  7 

Merid.  verus  o.  5.  58,  p 

25.  Aug.   MeJia  nox  ex  ahit.  correfp  adhibitis 

conucnientibus  corredlionibus     0.4.52,  6 
Tom.  XX.  Nou.  Comm.  D  d  d  d  Die 


578       OBSERVATIO   F.CLIPSIS  SOLIS. 

Dieatf,  Aiig»  Merid.  ex  altitiidin.  correfp,  0^4'.  7",o 

Corr.  Merid.        +25,  i 

Merid.  verus  o.  4.  32,  i 

29  Aiig.  Merid.  ex  altitudin.  correfp.   o.  i.s^^jO 

Corr.   Merid.       4-24,6' 
Merid.  vcriis  0.2.  20,  5 

Pro  hifce  autem  momentis  ,    Tempora    mcdia    mo- 

mcntis  meridierum  refpondentia  ,  fequcntia  habentur^ 

Die   20   Temp.  mediura    meridie  vero  c*'.^'.   5'',o 

2Z   -        -         "        -        -         -       o.  2. 3<5,  3 

24  ■        -        ~         ~        -  -       o.  2     5,  9 

25  Tcnip.   medinm   Media   no(fi:c    o.  1,41,8 

26  Temp.   medium  Mcridie  vero  o.  1.33,5 
29        ------     o.  o»42,4.. 

Hinc  igitur  colligitur  Retardatio  Pendiili  diurna  s 
20  ad  22  Augufli  29'^,: ;  a  22  Augufti  ad  24,  3o",8f 
a  24  ad  26  ,  26",  7  ;  a  24  Augufli  ad  mediam 
nodlciri  die  25  Ketardatio  diurna  27".  5  ;  a  2/5" 
Aut;uni  dcniq.i)e  ad  29  eiusdem  26",  7.  Sin  vero 
inter  fe  conferantur  obreruntioncs  pro  mcdia  nodQ 
d)c  2  5  et  Mcridic  25,  habctur  rctardatio  Fenduli 
inrcruaik)  12  horaium  1 2",  3  ,  quae  licet  ahquan- 
tilhim  difcrcpet  a  conchifionibus  ,  quae  per  compa- 
rationem  Mcridiei  pro  die  24  cum  mcdia  nodle  diei 
25  ct  mcridie  die  26  ,  ehciuntur  ;  tamen  ad  faci- 
lem  confcnfum  redigetur  ,  fi  in  obferuatione  mcdiac 
no(flis  tantum  vnico  fccundo  abcrratum  fuiflc  ,  fup- 
p)natur,  Hac  igitur  dc  cauflii  niomcntum  pro  mc- 
ridie  die  26  obferuatum  Temp.    Pend.   o^  4'.  3-:",  i 

retine« 


OBSliRVATlO  ECLIPSIS  SOLIS.        57^' 

retlnebimus,  retardationem  vero  Penduli  intcruallo 
duodccim  horarum  proxime  praeccdcntium  fuppo- 
ri.imus  fuine  27",  o  ,  quod  fere  eodcm  redibit  ,  ac  fi 
fjmpliciter  binis  momcntis  mcdiae  noftis  die  25  et 
mcridici  die  26 ,  in  hac  detcrminatione  vti  vellemus. 

Principalc  momcntum    circa    hanc    Eclipfin  a 
me  obferuatum  ,    e(l    finis    huius    Eclipfeos ,    quem 
Tubo  Dollondiano   12   Pedum  contingere    obleruaui  , 
Temp,  Pend.  dic     25     Aug.     i  s''.  46'.  4"  ,    ideoque 
Temp.  vero  iS''.  41'.  22",      Quum    autem  haec  ob- 
fernatio  faiSa  fit  coelo  ad  modum  defaecato   et    aerc 
purifluno  ,  eam  intcr  valde  exadas  referre  haud  du- 
bito.     Praeter  ilbm   vero  obfcruntionem  ,    Ttlefcopio 
Grcgoriano  quod    Micromctro    obiediuo    infirudum 
efi  ,  plurimas  mennjras  circa  diftantias  cornuum  Lu- 
nae  et  partes   Uicidas  difci  Solis ,  cepi ,    quas  tameii 
omnes  obferuationcs  heic  percenfere  fuperfluum  foret; 
praefertim  vero  eas  praetermittere  coadus  fum,  quac 
liatim   poft    ortum  Solis  fadae    funt  ,    partim    quod 
hne  obferuationes  ob   nimiam     Solis    ad    horizontem 
propinquitatem  idcoque  infignem  inccrtitudincm  circa 
refradionem  ,  nunquam  non   \alde  incertae     efle    fo- 
lcant ;  tum    vero    etiam    quod    pro    hac    praecipue 
Eclipfi  ,    Sol     mox    pofl    ortum    idcntidem    leuibus 
inibeculis  tcgebatur  ,   vnde     has    obfcruationes    valde 
dubias  fieri  neceflc  erat.       Rchquarum   vero  obferua- 
tionum  ,  eas  praccipue    feligcndas    cxiftimaui  ,    quae 
amico  intcr  fc   confcnfu    praepritT)is  confpirare   vide- 
lantur  ,  quarum  Catalogum  heic  fiflo  fequentcm  : 

D  d  d  d  2  Temp. 


5S0        OBSERVATIO  ECLIPSIS  SOLlS. 


Temp.  Pcnd. 


Tcmp.  veroDiftant.  cornuum 

L        D    


7'-'7'.5i' 

117".  13'.  7' 

1692",  6 

25.    4- 

20.  20 

1743,  7 

0.6.  26 

2X.42 

175^,  ^ 

28.  19 

23.35 

1761,    I 

^29.  26 

24-42 

1772,    I 

13017 

25.33 

1774,   7 

-)  31.41 

2^.57 

1777,   3 

J33-5X 

29.    7 

1780,  7 

i3+  54- 

30.  10 

1 

1773,  0 
P.irr.IuciJ.dirciO 

37-  50 

33.    6 

437",  2 

38.58 

34-  14 

43^>    5 

39-57 

35.  13 

44^    5 

40.56 

3<5.  12 

442,   4 

41.53 

37.    9 

44<^,  7 

a.  54.27 

49-44 

<>30,   7 

b.  55. +2 

50.59 

<^5  37   t 

c.  57  3<5 

52.  51 

695,   0 

(f-  58  33 

53.50 

721,   5 

^.  59  22 

54  39 

737,  0 

Xemp. 


OBSI-RVATIO  ECLIPSIS  SOLIS.       5M 


Temp.  Pend. 

Temp.  vero 

Diftant.  corn. 
diCci  ^ 

1. 

18*.    5'.    5" 

iS^  0'  22" 

i6+7",o 

IL 

7.39 

2.  56 

1612,    8 

111. 

lo.  4-6 

6.    3 

1575)    4 

IV. 

11.44- 

7-    I 

1560,   6 

V. 

13.51 

9.    8 

1523,  s 

VI. 

15.    3 

10.  20 

1506,  0 

VII. 

17-55 

13.  I  2 

1+55»    2 

Vlll. 

22.      2 

17'  20 

13^9,   2 

IX. 

ii3.    2 

18-  20 

1352)  + 

X. 

2S.  30 

23.48 

1201 ,  6 

XI. 

29. +4- 

25.     2 

1163,   0 

XII. 

32.    3 

27.  21 

1090,  0 

XIII. 

33»<5 

28.34 

1045»  ^ 

XIV. 

34.12 

29.30 

1004,  0 

XV. 

35-  15 

30.33 

97  S,   4- 

XVL 

37.22 

32.40 

875,  a 

De  hifce  vero  obferuationibus  tenendum  eft , 
qnod  non  nifi  vltmiae  ,  quas  littcris  o,  b  etc.  nec 
non  numeris  I  ,  II,  111  «tc.  diftmxi  ,  pro  determi- 
nando  tcmpore  vero  coniundionis  Solis  et  Lunae 
adiiiberi  queant  ;  obftruationes  autem  circa  partcs 
lucidas  a  17^  33'  ad  17'',  37'  inllitutae  imprimis 
conducent  ,  ad  corrtdionem  Latitudinis  pro  Luna 
inueniendam  ;  tum  vero  obferuatioiics  circa  dilbntias 
cornuum  a  temporc  17^  24'  ad  17*.  30' facflac  mihi. 
inferuierunt  ,  ad  dcterminandum  vnlorcm  partium 
Micromctri    pro  reliquis  obleruationibus.   Sumto  enim 

D  d  d  d    3  mcdio 


j8a       OBSERVATIO  ECLIPSIS  SOLIS.  '^ 

metiio  harum  obftr unt '01111  m,  didantia  cornuum  quac 
i(lo  tcmpore  ipfam  Di.imctrum  Lunac  apparcntcm 
acquabat  ,  rcperietur  887^,7  ;  prorfus  \ti  eaoern 
ope  Tabulariim  adhibita  corredione  altitudini  Luimc 
<3ebita ,  rcperitur,  Expcrimeiuo  autcm  faclo  mihi 
iam  patet  ,  cbllruationes  circa  dilhntia- coniuum  pro 
determinando  momento  ,  quo  Soi  et  Luna  erant  in 
coniundione,  vix  aeqiie  fcliciter  ad  confcnfiim  rcdigi 
pofTe  ,  cum  obfcruationibus  circa  initium  vel  finem 
Eclipkos  infiitutis^  fi  partcs  micromctri  ex  menfu- 
raia  Diametro  Solis  aeftimentur  ,  ac  fi  ratione  iam 
diifla  carum  mcnfura  ex  quantitate  Diamctri  Lunac 
atdimetu:. 

Elementa  autcm  quae  pro  cakulo  parallaxium 
incundo  ,  ccgnofccre  necclTc  erat  ,  tx  Tabulis  Luna- 
ribus  Ccl.  Mojeri  (equentem  in  moduni  deduxi: 


Die 


OBSERVATIO  ECLIPSIS  SOLIS.       5S3 


Die  25   Aug. 

Afcenfio  reda  O 

Longit,  O 

Longit.  3 

Latit.  3    Bor. 

Paral.  3  acquat. 

Paral.  O  aeqirar, 
Dianrier.  2)   liorizont. 

Diamet.  O 
Mot.  hor,  O  in  Longit. 
3  in  Longir. 

Mot,   hor,   rerpecfl. 
Mot,  lior.  3  in  Latit. 

Aequat.  temp. 


Temp,  mtdio 

5^4^37'.    8" 
5.  2.  39.    7,  6 
5.2.     4,  18,  8 
40.  29,  o 

54-.I5J  5 

8,5 

29.33,  9 

•     31-44-,  5 

2.25,  2 

29- 39,  9 

2714.  7 

2.43,<J 

+  1.38,2 


Parifino 

17". 
5^4^39':26" 
5.  2.41.32,  § 

5.  2.33.58,3 
43.  i8f  a 


-+-1.37,5 
Tabulas    ve'- 


hrtic  atitem  colligitur  ,  fecundum  has 
rum  tempus  coniuncSionis  Solib  ct  Lunae  continger» 
debuiflc  Temp.  mcdio  Parifino  17^  16'.  41",  exi- 
ftente.  Longitudine  Lunae  5^2°.  42'.  13"- 

Vt  nunc  Ledloribus  eo  facilius  fit  iudiciunr 
de  exaditudine  conclufionum  ex  noftris  obferuatio- 
nibus  eliciendarum  ,  rationem  elementorum  per  cal- 
culum  parallaxium  iaueutoruni  fcquenti  Tabella  ob 
oculos  ponaraus  ;•. 


Temp. 


5  8+        OBSFRVATIO  FXLIPSIS  SOLIS 


Tcmp.  vero 

Pctropolit. 

17^49'.44'' 

Paral.  Longit. 

41'.  ^5^2 

Latit.  3 
appar. 
7'.  20".  8 

Semidiam. 

3  appar. 

I4'.49'',0 

50.  59 

55,   I 

25,9 

52    51 
53.  50 

54,   7 
54,   4 

33,  4 
]          37,  5 

49,  i 

54-  39 
18.     0.  22 

2.  56 

54,    3 
52,   8 
51,   6 

41,  1 

8.     3,  5 

14,  2 

49,   a 

49,   4 

6'     3 

7      I 

50,    I 
49,    5 

25,9 
29,  ^ 

49>   5 

9      8 

10.  20 

48,    2 

47,    5 

37,  9 
4^,6 

49,   6 

J3.  12 

45,   5 

53;  6 

49,  7 

17.  20 
1*.  20 

42,    2 
41,   3 

9.     9,2 
12,  9 

49,    8 

23    48 

3^,   2 

33,  2 

50>  0 

'      ^5-     2 

27.  21 

28.  34 

35,    0 
32,    4 
3^    I 

37, <5 

4<^,  3 
50,  <5 

50,  I 
50,   a 

29.  30 

30.  33 
32.40 

29,   9 

28,   7 
25,    0 

54?  2 

57,  7 

10.     5,  5 

50,  3 

41.  22 

14,    2 

3«^,  2] 

50,   5 

Hinc  vero  ope  obftruationum  fupra  anatarum  , 
fequciues  colli^uniur  cxprciiioncs  pro  teiriporc  con- 
iuiidion  s  verac  inter  Sokm  et  Lunam  ad  Meiidia- 
num  Pctropolitauum  : 


OBSERVATIO  ECLIPSIS   SOLIS.        585 

a.  19^  8'.  s^"  —  3,49  '5'+  CjVo.j^  +  OjOd.  tt 

b.  19'   9-      7   -  3,37  <5"  +  2>5o. /1- o,  x8.  TT 

c.  19.   8.   59  —  3,16  (5" -f  a^i^.j  +  0,36.  ir 

d.  19.    8.   45    —  3,09  5^  +  2,  i5.j' 4- 0,4.1.  TT 

e.  19.   8.    53   —  3,03  (J" -r  2,08.^  + 0,4.5.  TT- 

ex  quibus  mediiim   liimendo  idem  tempus  coniundlu 
nis  colligitur: 

19^  &'.  5<^^^  -  3,  22.  ^  -i-  2,  34-J'-ho,  29.  tt, 
fin  autem  excludcretur   (ccunda  harum  conclufionum 
fieret  tcmpus  coniuncflionis  : 

Jp''.  8'.  53"-  3,  19.  ^-H  2)  ^Oj^-h  o,  3^.  "^  , 
at  tantilhi  haec  dilcrepantia  hoc  in  negotio  nul- 
lius  habenda  e(l  momcnti  ;  quum  hae  obferuationet 
parcium  lucidarum  inrtitutnc  fint  ,  tempore  a  maxi- 
ma  obfcuratione  haud  mukum  remoto-  Caetcrum 
ex  iis  ,  qnae  a'ilii  in  noftris  Commeatariis  occafione 
huiusmodi  calculorum  monui,  facile  intelligitur  qaid 
litterae  '5'  ,  7  ;  tt  heic  fignificcnt,  Ex  obleruatioiu- 
bus  porro  circa  dirtantias  cornuum  inllitutis,  ad  fe- 
quentes  pro  tempore  coniundionis  perdudii  fumue 
conclufiones  : 

u.  19.8.31  -2,69  -f-1,52   4-0,77 

lU.    19.  8.  4-6    —2,62  4-1,4.0  4-0,85 

IV.    19.  8. ++   -2,6q  4-1,37  4-0,87 

V.    19.  S.30    -2,5<5  4-1,30  4-0,92 

VI.   19.  S.  +1    -2,54  4-1,26  4-0,9  + 

Vn.  19.  8  4(5  —2,51  4-1,20  4-0,98 
VIU.  19.8.48  -2,47  4-1,11  4-1,03 
Tum.  XX.  Nuu.Comm.  E  e  e  c  IX, 


SB6       CBSERVATIO  ECLIPSIS    SOLIS. 

IX.   ip''-^'-  3"  —  2> 4*^.«^ -1-1,09  j -1-1,04.  ir 

X.   19.8.45    —2,44  -I-I504  -hi,o7 

XL   19.  S.  42   -2,42  -f-0,98  -+-1,09 

XII.   19,8.47—2,40  -1-0,95  -f-i,ii 

XIII.   19.8.45    -2,39  H-o, 93  -4-1)12 

XI^'..   19.8.34    —2,39  -4-0,92  -f-I,I2 

XV.    19.8.59   -2,38  -1-0,91  -hi,«3 

XVi.    19.8.43    —2,38  H-o,89  -1-1,13 

Fx  quibiis  ornnibiis  fi  absqiic  \llo  difcriiTiine  mcdium 
fumatur  ,   inucnietur   tcmpus  coniundlionis: 

19^.  8'.  44"—  2>  50.  (^  -1-  I,  i^.f  H-o,  99.  TT. 
Sin    vero  cxclufis    cor.clufionibus    I  ,   II  ,   V   et  IX  ,. 
quippe   qiiae    mnxime   iiiter  fc  difcrepant,   reliquarum 
lumatur  medium  ,  prodibit  tempus  coniunftionis : 

19^.  8^.  45"—  2,  4<5.  §  -\-  ij  oS  y  -h  1,  04  X, 
quod  quidem  a   prius  inuento  vJx  fenfibiliter   differt.. 
1-x    oblcruatione    \ero    pro    fine    Edipleos,    ftquens- 
dcduc  tiir  cxpreirio  tempus  coniundionis  exhibens :. 

19^  b'.  42''—  2,35  §  -\-o,  81./ 4-  I,  20  TT. 

Ex  obferuiitionibus  circa  dirtintias  cornuum  ante  con- 
iundioneni  apparcntcm  laiftis  ,  vnicam  tantum  pro 
dcterniinando  tempore  coniui  clionis  verae  kligcmus, 
qua  tempore  \ero  17*.  13'.  7"  obkruata  e(I  di- 
ftint;a  cornuum  1692^',  6,  vndc  quum  pro  eo- 
dtm  rromcnto  fit  rara'laxis  Longitudinis  ^i^^o",^; 
Latif.  j)  app-irens  4'.44'';<y  ct  Scmidiam.  3  ap- 
parcns  14'.  4&",o,  colli^itur  tempus  coniundionis 
■vcrac  : 

19^  8'.   33"  -I-  2>  41-  ^  -  O)  91. y  -4-  2»  26,  TT. 

Dum 


OBSERVATIO  ECLIPSIS  SOLIS.        387 

Diim  vero  ex  conclufionibus  modo  inuentis  verus 
vjlor  momcnti  ,  quo  coniundio  Solis  et  Lunae  con- 
tigit ,  determiiiiiri  debet  ,  praeprimis  necefTc  efl  ,  vt 
quiintitates  corrcdionum  «J  ,  ^' ,  tt  exacle  dcfinian- 
tur  ;  quum  autem  ex  nortris  quidem  obferuationi- 
b'js  de  prima  et  vltima  earum  nihil  dcfinire  liceat , 
fufficiet  valorem  ipfius  y  inueltigafio  ,  qui  vt  mox 
oClendcmus  ,  aedimari  poterit  —  —  7"  ,  hoc  autcm 
valore  in  conclufionibus  nollris  fLibflituto  pro  tem- 
pore  coniuncflionis  fcquentes  obtincbimiis  conchifiones; 
Ex  obferuationib    <z,  ^,  </,  e  ip^  8'.  37" 

Ex  obferuntionib.   III,  iV,  VI  etc.    19.   8.   37 
Ex  fine  Eclipfeos  19.   8.    36" 

Ex  oblcriiatione  ante  coniuudlionem 

apparentem  19.    8.  39 

quae  conclufiones  quum  inter  fe  confentiant ,  vltra 
quam  fperare  fas  erat  ;  videtur  fitis  tuto  condudi 
poflTc ,  quod  tempus  coniundionis  verae  incidat  iti 
Tempus  verum  Petropolitanum  19^  S'.  37''  ,  fiue 
Tempus  mcdium  Parifinum  17^  18'.  18",  quo  tem- 
pore  igitur  erat  LongituJo  Luiiae  5^  2°.  4.2'.  17", 
quae  quum  ex  Tabulis  Mayeri  eliciatnr  5'.  2'',  4.3'.  2", 
erit  corredtio  pro  LongituJine  his  Tabulis  adplicanda 
—  45'*^  >  qiianta  correcflio  nlioquin  pio  his  Tabulis 
raiior  effo  (blet.  Caeterum  fi  etiain  circa  locuiii 
Solis,  aliqua  adefict  incertiiudo  ea  ad  Tabulas  Mayeri 
fahiindas  nihil  confcret  ;  fiquidem  hacc  incertitudo 
quae  non  nifi  ex  perturbationibus  Pianetarum  minus 
exacle  aePimatis  oriri  potcft  ,  aeque  fere  locum 
Lunae  ac  Telluris  afficiet. 

E  e  e  e   2  Pro 


588        OBSERVATIO  ECLIPSIS  SOLIS. 


Pro  Latitiidinis  corrcflione  inneniendn  ex  ob- 
feruationibus  partium  iucidarum  a  17^33' ad  17^37' 
inllitutis ,  fcquenti  modo  rr.tioncs  (ubduximus.  Q^uia 
lempus  coniundionis  apparcntis  incidat  eo  momcnto, 
(]uo  diffcrentia  vcra  Lcvignudinis  intcr  Solcm  et 
Lunam  aequatur  ipfi  Paraliaxi  Longitudinis  Lunac  , 
hinc  conuertendo  parallaxin  Longitudinis  Lunac  quam 
tcmpore  i^^^.^d' habet  in  tempus,  muenietur  1^32'.  16", 
quod  a  ten  pore  r.oniunclionis  vcrae  rubtradum  ,  rc- 
Imquit  17^36'.  21"  pro  tem|-ore  coniuntftionis  appa- 
rcnris  ,  quod  li^.ltcm  tum  praerifione  di-cem  fecun- 
dorum  dciiniium  tfle  ,  cenfcri  potcfi.  llac  igitur 
epochii  conUituta  ,  cx  motu  horano  Lunac  in  Lon- 
gitudincm  ct  obfcruaiis  (imul  varintionibus  in  pa- 
raliaxi  Longitudinis  ,  tumquc  ex  Latitudinibus  Lu- 
iiac  apparcntibus  ,  facili  ncgotio  computantur  diftan- 
tiae  apparentes  ccntrorum  Sohs  et  Lunae  ,  (eu  cx- 
ceffus  quibus  hac  dilhntiae  Latitudines  apparentes 
exfuperant.  Qnum  vero  difbntiae  jpparcntes  obfer- 
vatae  fiicile  habcantur  dum  cx  obleruatis  partibus 
lucidis  ,  fubtrahitur  diffcrentia  femidiametrorum  SoUs 
et  Lunae  ^  fi  dillantiae  obleruatae  cum  computatis 
conferantur ,  facile  colligitur  corrcdio  Latitudinis 
Lunac. 


Tcmp.  vero   Part, 

Dif^.appar. 

Latit.  ^Didnppar.  < 

Corrid. 

Petropol.  i  Lucid. 

obleru. 

:ippnr. 

comput. 

Lanr. 

17^33'.  <5"45  7'',= 

372',^ 

j  / 1  ,7 

3S>3",^ 

10"  ,6 

54.    T^    436,    5 

37  =  ,  9 

376,  3 

3S0,  7 

7,  8 

35 •  13  441,  5 

377,  9 

180,  5 

381,8 

3,  9 

36.   19  442,  4 

578,  s 

,384,7 

384,  7 

5,  9 

37.     9  -146,  7 

3S3,    I 

3SS,8 

389,4 

^,  3 

Sumto 


OBSERVATIO  ECLIPSIS  SOLIS.        589 

Sumto  igitur  nieJio  harum  conclurioiuim  ,  prodibit 
corredio  L;ititudinis  —  6",9,  quam  numcro  ro- 
tundo   ftatuere  licebit   —  7". 

Tum  vero  liquct  minimam  dift.inti:im  centro- 
rum  apparentem  incidiflc  circa  tempus  17'^  34'.  14", 
atque  cx  deftnita  iam  corredionc  Latitudinis  tuiflc 
374."  circiter  ,  vnde  colligtur  Solcm  in  hac  liclipli 
Petropoli  paffum  fuilTe  dcliquium  24.^  et  27",  liuc 
p^  digit.  diametri  Solis. 

ReHquum  nunc  eft  vt  obferuationcs  circa  fi- 
nem  huius  Eclipfcos  in  variis  Europae  locis  fa(flas, 
quarum  notitia  ad  nos  pcrucnit ,  breuiter  expcnda- 
mus  ,  vt  ex  comparatione  harum  obleruationum 
tam  intcr  fe,  quam  cum  obferuatione  l-^ctropolitana ; 
quid  de  diffcrcntiis  Meridianorum  (latucnduni  fit  , 
patcfcat.  Pro  his  autcm  oblcruationibus  cakulo  fe- 
qucntia  fubduximus  clemcnta. 

Pro  fine  Eclipreos  'Paral-Long. 

Temp.  vero, 

Lundae  i7*.25'.2o"  44'.  16 ",4. 

VpfaHae  17- 49- 3<5  42.     1,1 

Warfowiae     17.48.54-  46.  10,9 

Regiomontis  17.  5*-  *5  44-  54)  i 

Suecopoli        18.  19.  33I  41.37,1 

His  igitur  elementis  adhibitis  pro  temporibus  con- 
iun(flionum  fequcnics  prodibunt  exprcfiiones  : 


Lat.3 

Semidiam. 

appar. 

3  appar. 

ii'.49",3 

J4'-47'',9 

9  4',  9 

14.48,9 

14-50,  4 

14.48,  6 

13.  II,  1 

14.  4S,  8 

10.     9,  0 

14.49,  8 

£  ee  e  3 


Lundac 


S^Q      OBSERVATIO  FCLirSlS  SOLIS. 

Lundae  18''.  ©'.3  i"  —  2,39«^ +0,92.^  4-o,98.  if 

Vpfaline  18.18.  1  —  2,32«^ -fo,73J' +  »1^8. tt 
Warfowiae  18.31.28  —  2,52^ +i,22-J' +  ij^^.-Tr 
Regiomoiilis  18.  29.  17  —  2.4  +  «^  +  i,0  5.>' +■  i,-3- ''* 
Succopoli       18.4.7.24  —2,340+0,78.^  +  1,25.1:. 

Vbi  quidem  fi  corrcdioncs  5"  et  tt  prorfus  ncgli- 
gantur  ,  pro  ;'  vero  a^lhibeatur  —  7"  ,  habebuntur 
haec  Teiiipora  coniuncftionurn   in  numeris    abfolutis  : 

Lundac        iS''.  0U5''       Warfowiae      iS^si^.ao"  • 

Vpfaliae      18.  i7.5<J        Regiomontis   x8.  29.10 

Suecopoli   1  8.  47.19. 

Quum  igitur  inter  haec    l<ica  ,    Longitudo    Vpfiliae 

optimc  fit  cognita,  eam   pcrinde  ac   fetropolitanam  , 

in  determinandis  reliquorum  locorum  Longitudinibus 

fundamenti  loco  fubftcrnere  liccbit.   Fit  \ero  excom- 

paratione  obferuationis  Vpfilicnfis    cum   Petropolitana 

differentia  mcridianorum    50'.  40'',  quae  tantum   3" 

ab  ea  differt ,  quae  locum  habcre  debet,  fi  Longitudo 

'Vpraliae  (upponatur  i^i^.i^"  et  Pctropolis  i^5i'.57" 

a  Meridiano   Parifino    computatn.       Inter    Vpfiliam 

vero  et    Lundam    habctur    d  ffcrcntia    meridianorum 

17'.  31",    tumque     inter     Lundam     et    rctropoliii 

i''^'.!!'',  cx  hac  igitur  obferuatione  fequerctur  Lon- 

gitudo  Lundae  a    nicridiano    Parifino    43'.  4S"    fiuc 

43'.  46",  qnae  tamen  nimis  magna  videtur.     Nara 

ex.  fijie  Edipfcos  SoHs  A.    C7C9   Lundae  (bfcruato  , 

haec  Longitudo  non   nifi  43'.  25"  clicitur,    tx  ob- 

fcruato  item   ibidem     fine  hciipfcos  Solis   A.     1764 

hanc    Longituuintm    43'.  30"    inueni  ,    qunre    hatc 

concUifio 


OBSERVATIO  ECLIPSIS  SOLIS.        59T 

conclufio  cx  Eclipfi  anni   1775  deduifla  merito  non- 
niliil  (iirpeda  videtur.    QnoJ  fi  vero  omnium  trium 
concUifionum   medium  quis  afTumere    vcllet ,    prodi- 
ret  Longitudo  Lundae  a  mcridiano  Parili;io    compu- 
tata     4.3'  33".       Comparato     tempore    couiuiKftionis 
Warrowienfi  cum  Vpfalienfi    et    Pctropolitano,     ha- 
bentur  difFcrentiae  meridianorum    inier    Warfowiam 
et  Vpfaiiam     13'   24.''    et    inter     War(owiam    atque 
Pctropohn    37'.  16",    vnde  prodit    LongituJo    War- 
fowiae    a  meridiano    Pari(ino  compucaia    i^.  14'.  38" 
fiue    41".       Haec    autem    conclufio    quafi    medium 
tenet  inter  illas  ,   quae     ex    obferuato    initio   et  fine 
Edipfeos  A.  i7()4  pro  Wjrlowia  colliguntur;  nam  ex 
initio    inueni    ].ongitudinem     i^.  14'.  52'',    ex     fine 
vero  i^  14'.  24''^   probabile  igitur  ell    Longitudinem 
modo  inuentam   i''.  14'.  38'',  fi   non  prorfus  exadam 
efie  ,  (altcm  non  vltra   10  fcrupula  (ecunda    a'   veri»- 
tate  aberrare  poffe..    Pro  Regioroonte  habemus  difiS- 
rentiam  meridianorum  inter  Regiomontcm  et  Vpfa- 
liam    11'.  14'^  et  inter  Rcgiomontem  atque  Petropo- 
lin   39'.  26",  vnde  fit  Longitudo  Kegiomontis  a  me- 
ridiano    Parifieiifi     i^  12'.  28".  .  .  31'^  ,    quae    igituf 
ruirero    rotundo    ftatui     pofle    videtur     i*.  12'.  30".- 
Denique  inter  munimentum  Suecicum    quod    SuecG- 
pohs  adpellaiur ,    et  haud    procul  a  Helfingforfia  fi- 
tum  efi  ,   ntquc    Vpfaliam    et    Petropoiin    (equentes 
habentur  diffcrentiae  meridianorum,  29'.23"  et  21'.  17'',. 
vnJe  projibit  Longitudo  huius  loci  a  mcridiano  Pa- 
rifino  computata    1*'.  30'.  3"?": .  .  40"  ,    vbi    quidem 
obferuandum  eft  hanc    Lon^itudincm    locum    habere 

pro 


5S>t       OBSERVATIO  ECUPSIS  SOLIS. 

pro  Eleuatione  Poli ,  quam  huic  loco  in  meo  cal- 
culo  tribui  60°.  5' ;  quae  fi  forlan  5'  dimicui  vel 
augeri  debeat ,  Longitudo  iftius  loci,  duobus  fcrupu- 
lis  (ecundis  augcri  ,  vel  minui  debet.  Etiamfi  vero 
1(1  his  noftris  determinationibus  corredionum  S  et  tt, 
nullam  piane  habuimus  rationcm  ,  facili  tamen  ne- 
gotio  patet  ,  eas  hac  in  difquifitione  nihil  immutare, 
fiquidem  coeflkientes  ,  quibus  hae  corrediones  adfi- 
ciuntur  ,  in  cxprcfnonibus  pro  tempore  coniundionis 
tam  prope  inter  (e  confentiunt  ,  vt  tx  fepofita  con- 
fidcratione  iHarum  corrcdionum  ,  vix  ac  nc  vix 
quidem  incertitudo  vnius  fcrupuli  (ecundi  in  deter- 
minationem  differentiae  meridinnorum  deriuari  qucat. 
Sic  ex  comparatioue  obltruationis  Vpliilienfis  et 
War(o\vienfis  deducitur  difFcrentia  meridianorum  : 

13'.  27"  —  o,  ?o  <5"  -+■  o,  49.  y 
\bi  quidem   corrccftio    S    ccrte    maior    e(fe     nequit , 
quam    5"  ,  ita     vt     incertitudo     maxima    quae    circa 
diff-renriain   meridianorum  ex   hac   correclione   relul- 
tat  minutum  lccundum   non   liipcret. 


OBSER- 


OBSERVATIONES  ASTRO^ 

NOMICAE  IN  VRBE  DMITRiEWSK  (*) 
INSTITVTAE , 

VNA   CVM   DETERMINATIONE   LATITVDIu 
NIS  ET  LONGITVDINIS  HVIVS  LOCL 

Audore 
TETRO  INOCHODZOW. 

Diarlum  harum  obferuationum  iam  anno  i77a 
ad  Ilhiflriirimam  Academiam  Scientiarum  remifij 
fed  cum  eo  tempore  calculos  pro  determinanda  la- 
titudine  et  longitudine  non  adieci  ;  hinc  ijlae  prae* 
cedentibus  Commentariorum  voluminibus  non  infertae 
funt.  Reuerfus  Petropolin  lummarium  ex  ipfis  , 
fimul  cum  continuatione  nnnnullarum  poft  habita- 
rum  ,  quas  deuadata  ac  fpoiiaia  hac  a  rtbtJlatoribus 
\rbe  rcperire  potui,  nunc  ad  calculum  reuocatas  fillo. 

I. 


(*)  Vrbs  Dmitrlewfk  ,  vulgo  alias,  fcd  tniniis  reQe  Camy- 
fchf nka ,  fta  ell  in  dextra  Huminis  Wolgae  ripa ,  ad 
dextram  itidem  riui  Camyfchenkae  j  diftat  ab  vibibus 
Sa  atow  et  Zaricin  ae(]Uab  fpatio,i8o  ncmpt  Weiftis. 
Vib-  vero  Camyfchesika  pruprie  didta ,  iam  a  miiltis 
anivs  pljne  dcferta,  iacet  ad  finiftiam  eiusdem  riui 
Camyfchenkae. 

Tom.XX.Nou.Comm.  Ffff 


^P4  0BSERVATI0NE5  ASTRONOMICA.E 

I. 

Re^lificario  Quadrantis  ad  horizonrem. 

In  afle  nigia  fcci  duas  albns  metas ,  centro 
tubi  iramobilis  in  vtroque  Qiiadraiitis  fitu  y  redio  et 
iniierfo  relponJentes ;  hac  quc  affi  in,  dillantia  ^  cir» 
citcr  Werllae  locata  fequcntes  obleruationes  pro  iti- 
\cnigando  (^uadrantis  errore  inrtitui.  Numeri  liic 
occurrentes  ex  multis  ec  repetitis  obteruationibus 
fnnt   mcdii^ 

.  i)  Die  77  Aprilis   1771  hora  2|  pomsridaua 
Aititiidinem    metae  fuperioris   in   fitu 

Quadrantis  redo  reperi     -     -     o°.2i'.  7'' 
Altitudin*.m    metae    infcrioris  ia    fitu 

Quadrantis  inuerfo       -       -       0.19.     7,6 

Differentia     o.     i.  59, 4. 
Vnde  Error  Qiiadrantis  — 59,7 

Barometrum  poft  operationem  monftrabat  2S".6'"i£ 
pcdis  re^.  Parifini. 

2)  Die  /^  Aprilis   hora    8""    matutina.      Earundem 

metarum  ccpi  altitudines    in  fitu  Quadrantis 

redo   fuperioris     -         -       -        o°.2i'.i4.",3 

in  fitu  Quadrantis  iuucrfo  inferioris     o.  19.     9,  8 

diffcrentii     o.    2.    4,  5 
adcoque  Error  —  i.    a,  a 

Altitudo  Baromctri  erat  a8".  7'",  x. 

3) 


IN  DMITRIEWSK  INSTITVTAE.      SpS 

3)  Die  ii  Aprilis  hora   7I.   matutiiu   Altit.  metarum 

fupcrioris      -        o°.2i'.3o" 
inferioris       -       o.  ly.  iSi 


differ.     -       o.     2.  1 1,  5 
ct  Error  -         —  J.    5j  7 

Barometro  niondrante  28".  7'". 

4.)  Dic  l\  Aprilis  liora   4^    pomerid.    Altitud.    met. 

fuperioris       -     0°.  2i'.20^'' 
inferioris        -     o.  19.  iSj 

difFer.         -     o.     2.    2 
Error         -       —  i.    1 
Baromctr.   2S".  o"',  6" 
Ex  his  quatuor  verificacitionibus    prodit    Error 
Qiiadrantis   medius  —  i'.  2.". 
Craflitieni  fili  micromctrici   inueni    13    minutorum 
(ecundorum. 

ir. 

Dctcrminatio  latitudinis  vrbis  Dmitriewfk. 

1)  Ex  akitudinibus  Solis   mcridianib. 

In  ex|X)nendis  fingulis  his  obferuationibus  ni- 
mis  prolixus  euadercm  ,  fi  omnes  hic  recenfere  vel- 
lem  ;  fufficit  fpcciminis  caufla  cxhibere  eas  ,  quas 
mcnfibus  Maio  atquc  lunio  anni  1771^"'  cepi.  Mo- 
nendum  femel  eft  ,  altitudines  has  errore  inftrumcnti 
et  fcmicraflit  e  fiU  antea  repertis  corrcdas  iam  eflTe  , 
practcrea  mc  iu  computu  differentiam  nieridiano- 
rnm  inter  Parifios  ct  Dmitricwllc  2^  50'  afllimere 
atque  tabula  refradionis  Cel.  D.  de  la  Caille  vti. 

F  f  f  f  2  Altitu- 


$9S  OBSERVATIONES  ASTRONOMICAE 


Ahiuiuines  bDlib   inciioinnac  captac  an.   177 1. 


Dies  obferu. 
Sec.Cal.Grtg. 


21 

22 
24 

25 


Maii 


30 

31 
I 

3  - 
6   - 

10  - 

1 1  - 

12  - 

17  - 

18  - 

19  - 

20  - 

21  - 

22  - 
2+  - 
25    - 

2<>     - 

27    - 


lun. 


Altit.  obferu. 

Altitudines 
59°.5c'.i6",5 
60.  2,25,5 
60.  25.29,  5 

60.  36.31,  5 

Alcitiidincs 

<>i.  57-36,  5 
C2.     6.  21,  5 

62.  14.33- 
62.  30.  14,  5 

62.  50.42,  5 

63.  12.46,  5 
63.  17.16,  5 
63.  21.  8,  5 
63.  35-  'y. 
63-  36.  5^>  5 
63.  38.  6,  5 
63.  38.44-,  5 
63-  39«  4,  5 
63.  38.56,  5 
63.  37.5i>  5 
63.  36.29. 
63-  3441,  5 
63.  32.31,  5 


Refraa. 

—  ParalL 

liin 

bi 

34" 

>7 

3  4, 

4 

3  3> 

9 

33, 

I 

lim 

bi 

31, 

7 

3  1.6 

31,  3 
30,9 

30,  5 
30. 
29,  8 
29,  8 
29>  5 
29>  4 
29^4 
2  9>  4 
29,  4 
29,  4 
29,4 
29,  5 
29,  5 


Semid.  Q 

intcrioris 
i5'.4&",8  2o°.io'.36" 
15.  48,  7  20.  22.  46 
15.  48,  4  20.  45.  43 
15.  48,  sjoo.  56.  42 
fuperioris 

»5.  47,  5 
15.  47,  3 
15.  47.  2 
15-  47,  o 
15.  46,6 
15.  46,  2 
15.  46,  I 
15.  46,0 
'5.  45,7 


Declinat.  Q    Eleuat.    Poli 


21.  45.  1 1 

21.  54.  59 

22.  3  23 
22.  19.  2 

22.  39.  37 

23.  I.  28 
23-  5.  55 
23.  9-5S 
23.  24,  6 


5o'.5'.  5' 
50.  5.  6 
50.  4.  59 
50.  4.  55 


I  5.  45,  6  23.  25.  42 
15.  45,  5  23.  26.  53 
15.  45>  5  23.  27.  38 
15.  45,  5  23  27.  59 
15.  45,  4,23.  -7.  55^ 
15.45,  4'23.  25.  35 
15.  45,3  23.  25.  17 
15.  45,  3  23.  23.  34 


29,  6*15.  45,  3  23.  21.  26 

Medium  cx  hJs  22  obfcru. 
2)  Ex  altitudinibus  fixarum   meridianis. 


50.  4. 
50.  4. 
50.  5. 
50.  5. 
50  5. 
50.  4. 
50  4. 
50.  5. 
50.  5. 
50.  5. 
50.  5. 
50.  5. 
50.  5. 
50.  5. 


54 

56 

8 

6 

I  2 

5S 

55 

5 

n 

o 
I 
8 
9 
14 
50.  4.  5  8 

50.  5.     3 

50.5.     7 
50.  5.     9 

50.  5.    3 


Multae  ctiain  huius  gcntris  obicruatinncs  a  me 
inflitutae  ,  fcd  ad  ckfinicndam  pdi  clcuationem  (iini- 
ciunt    fcquentcs  ,    quae    cum     fin^ulac    variis    dicbus 

captac 


i#fet 


m  D.>lITRmWSK  INSTITVTAE     §97 

fdeifbie    fant.     Eti 


CTptne ,    hmc  e  plnribus  mediae 
obleraationes   ipfas  et  cilculos. 


Alt  tudine''   Fixarum   nieridianae. 

'    -  -  -     -  -           — ■■  - w_^ . . ^ ^  - . .  . 

Dies  obf 

cru.1 

Nom.  Fi-var. 

Alt.t.  obferu.    Rjfi  ad. 

D-^clm.   n.var.      Abeir.     Nutat  |    Latitudo 

St.  nou.  1 

' 

ad  d.  obfei-u. 

1 

»77 

0 

1 

Odlob. 

25  Y  Aquilae 

50°.  0'.    8"o'.5  5",S 

lO^   4'.  11",  5  + 

9",7+5,7 

50°.5^i6" 

—  a  A^uihe     - 

f»;  i2:47i' 

59»^ 

8.  15.39      + 

9.  3+5,4 

50.  5.    7 

16*9  Aiuiiioi    1 

3  S.  27..  1 4- 

t.23,  5 

1.29.    7  ^- 

6,  1-6,9 

50.  5.i5 

27 a  Dclpliini 

51-     2.. 48 

4<J,  5 

15.     7-    3      ,+  ii,  2+7,3 

50.  5.  20 

c8£  Delphini 

5o.  28.  28 

5+,  8 

1 0.  3  2.  2  3      + 

9.  8+7,2 

50.  5.    7 

Nou. 

3(3  Delphini 

53-  44-"3S 

48,7 

13.48.42     '4-10,3+7,3 

50.  5. 10 

•jt   Pegad 

48.  46.  22 

58,  4 

8.  50.     5      + 

8,1+7,3 

50.  4.57 

-^  PcidCi 

49.  3  4-.  21 

5<J,  7 

9.38.34      + 

8,5+7,0 

50.  5.  25 

—a  Pttiafi 

53.  54.  44 

48,4 

13.58.39      + 

9)6+6,7 

50  4.59 

1771      1 

Mart. 

1(5«  Orionis 

47    16.  13 

r.    I,  5 

7.  20  49,  5  — 

5,  5-4,6 

)0.  5  27 

>i  n 

62.  28.  28 

34,  7 

22.  33.  14     j— 

0,  6-5,1 

50.  5.76 

Y  II 

56.  29.  48 

44. 

16.  34.  3<5,  5- 

2,5-5,6 

50.  5  24 

S  n            \62.  18.  21 

35. 

22.  23.    7 

■ 

5,  I  -5,9 

50.  5.    9 

pCan.min0r.4H.  39.  5  s 

58,6 

8.  44.    9 

l~ 

5,  2 

-7,0 

5/0.  4.  57 

Mart. 

i8fx  n          |62.  31. 4.5 

34,6 

22.  35.42 

— 

0,6 

-5,9 

50.  5.25 

2oe  n 

65.  15-  29 

30,  7 

25.  20.    8,  5 

+ 

0,  4 

-5,4 

50.5.    4 

~^n 

(3o-  48.  28 

37,2 

20.  53.15 

— 

0,  9 

-6,8 

50.  5.15 

April. 

2oKtguIus 

53'    0.  1 1 

«JO,  I 

;i3.    4.47 

— 

2,9 

-7,6 

50.  5.  i5 

2  2y  Lconis 

60.  54.  57 

37. 

|2o.  59-34,  5 

— 

4,2 

-7,3 

50.  5.   3 

2  4{J(,    Leonis 

^7-     0.     I 

28,  2 

27.     4.27 

^ 

2,3 

-7,5 

50.  4.50 

Maii 

2i)<^  Vir^inis 

40.  30.  58 

1.17,5    0.  34.47,  5 

— 

3,9 

-2,2 

50.  5.    I 

2  I  y]   Bootis 

59.28.45,5 

39>  ^^9.  33.22,  5 

+ 

0,  I 

-i,<J 

50.  5.  12 

lunii 

134  Bootis 

54   38    4<> 

47,  214.  43.  i6 

+ 

2,4 

+0,7 

50.    5.  2f 

15 

>  y-  Coron. 

<^7.  25.  34  1    27,527.29.51      '-^ 

5,3 
feru. 

+2,1 

50.   4.52 

JVTedium  ex  24.  ob 

50.   5.  10 

Erat  autem  ex    altitudinibus   Solis     -     -     - 

- 

-    - 

50.  5.    3 

H 

inc 

latitudo  vrbi 

s  Dmitrii.\vr 

k  (latui 

potell   -     - 

- 

- 

"       • 

50.  5.    6 

F  f  f  f  3  quam 


l6. 

43- 

12, 

5 

16. 

14, 

6 

16. 

26. 

.58 

63. 

22. 

49) 

6 

398   OBSERVATIONES  ASTRONOMICAE 

quam  .latis  ccrtam  eflTe  ex  obfcriiationibus  annorum 
1772  et  1773  conHat ,  quo  tcmpore  nouo  micro- 
metro  tubo  Qiiadrantis  mobiii  ftubftituto ,  et  alio 
crrore  reperto  ,  latitudo  prodit  eaden.i. 

His  adiicere  lubet  altitudincs  Solis  in    folftitiis 
captas.      In  rolftjtio  hyberno   1770    reperi    altitudi- 
nem  limbi  Solis  fuperioris      -       -       \6°,^6'.:^o'^' 
Refraa:  -  parall.         -       -       r  3.18 

Altitpdo  limbi  vera       w»  -    _ 
femidiamet.  Solis       -  '     " 

Altitudo  centri   vera     - 
Eadem  in  folftitio  acftiuo  1771 

Hinc  diftantia  Tropicorum  -  ^6.  $$.$1,6 

et  obliquitas  Eclipticae  -  ^3- 27. 55,8 

Vnde  altitud.  Aequatoris  -  39.  5+-5  3,  8 

et  altitudo   Poli  -  z  5o.    5«  <^» 

IIT. 

Obfcruationcs  cclypfium  Satcllitum  louis. 

Ad  indagandam  vrbis  Dmitricwfk  longitudi- 
Kem  ,  praeter  Solis  et  Lunae  dcfcdus ,  varias  im- 
rnerfiones  et  cmerfioncs  comitum  louis  obferuaui  ; 
fed  loue  pcr  hoc  tcmporis  intcruallum  in  fignis 
Auftialibus  vcrfantc  ,  adeoque  (acpe  parum  fupra  ho- 
rizontem  tleuato  et  vapt^ribus  obdufto  ,  aliisque 
circumftantiis  minus  fiucntibus  ,  non  omncs  cx  fen- 
teniia   niiiii  eueninc  ingenue  fatcor.     Comparaui  ta- 

mcn 


IN  DMITRIEWSK  INSTITVTAE.      599 


men  carum  nonnullas  cum  obfcruationibus  correfpon- 
dentibus  item  cum  calculis  a  Cclcb.  Doin.  Wargemin 
communicuis.  Monendum  'vltimo  eft  obleruationes 
has  tubo  DoUondiano  duodccimpedali  inftitutas  ex- 
ceptis  duabus ,  quas-  ielc(eopio  Gregoriano  duorum 
circiter  pedum  feci  >■  eas  que  exprelHi  notaui :  re- 
ducflioncs  porro  temporum  repertas  efTe  per  altitirr 
dines  Solis  correfpondentes  >  quae  hx  breuitatis  gra- 
tia  omittuntur. 

Obferuationes  Satdlituin  louis  amio  1771. 


3)  Die  /•;  Maii  Immerdo  t'"'  Sateilitis 

Satelles  fplcndorcm  fum  amittit 

occultari  videtur  -       — 

prorfus  immerfus 

Durante  obferuationc  coelum  ferenum, 

aer  tran^quillus  ,  3  fafciac  in    difco 

louis  confpiciebantur  ;  ahitudo  lo- 

I      vis  poft  quadrantem  horae  15".  15', 

obferuatio  vedebatur  mihi  eflfe  bona. 

a)  Di&Vji^^  Immetfio  ^^^  Satellitis 
Immcrgi  Satelles  videbatur  nube- 
culis  praeterfugientibus  -     - 
Vltima  vice  Satellitem  video 
lupiter  ipfe  poft  nutes  r.bfcon- 
ditur  -  - 

Obferuatio  haec  fubdubia. 


Temp.verum.| 

H. 

M. 

S. 

14. 

28. 

28 

29. 

19 

25?. 

57 

i 

14- 

54. 

2S 

55. 

9 

s^. 

49 

3)  Die 


^oo    OBSERVATIONES  ASTRONOMICAE 


3)  Die  5T  lunLi  Immerfio  4'*  Satellitis 

Lumen  Sntellicis  imminui  coepic 
Satelles  vix  videtiir 
immerfio  totalis 
Coelo  fereno ,   vento    forti  ,    inftituta 
haec  obfcruatio    telefcopio    Grego- 
riano ;  altitudo    louis    poft    obfer- 
vationem   erat   15°.  48^'. 

4)  Die^fliinii  Immerfio  i'^-*  Satellitifc 
Satellej  occiiltari  vidctur 

prorfus  iivimerfcs    - 
Tempore  obftruationis  aer  erat   tran 
quilUis    fed    vaporofus  ,     3    falciae 
confpiciebantur,  aitit.  louis  poU  ob- 
feruationem    14.  .  535'. 

5)  Die  i|  '^-^g.  Emerlio  i"'^'  Satellitis 

Satellcb  emergit         -       -       - 
clare  micat         -        -       - 
Obferuatio  facSa  telefcopio  Grcgoriano 
coelo  viiporofo. 

6)  Die  V  sV^f:   Emerfio    i*"'  SatcUitis 

louis  obleruata  -  _  - 
Durante  obfcruatjone  coelum  fcrcnum, 
ventus  mediocris ,  3  ftlciae  erant 
confpicuae  ,  atquc  eodem  tempore 
3'"^  Satelles  ad  louem  approquin- 
qnabat;  altitud.  louis  poll  obferu. 
ii°.4<5'. 


Temp.verum. 
H.  M.    S. 


12. 


4.  16 

7.  i<5 

8.  6 


14.  40.  50* 

41.      2i 


S6  II 

57.    i 


10.  "i^:  25 


7)  Die 


IN  DMITRIEWSK  INSTITVTAE.      6oi 


7)  Die  'ite^i.  Emerfio  3"  Satellitis 

Satellcs  emergit 

pleno  lumine  fplendet 
Tcmpore  obfcruationis  aer  erat  placi- 
dus  ,     3     fafciae  in  difco  louis  vi- 
dcbantur  ,    altitudo    Phinetae    poft 
oblcru.   17".  7i'. 

8)  Die  ij  Septembr.   Emerfio  2'*' Sa- 

tellitis  obrcrujta     -       -        - 

Nubeculae  louem  circumdabant,  prop- 

tcr  quas   obfcruatio    hnec    fubdubia 

eft,  ak.    louis  polt  obferu.  i5°.2  5''. 

Anno  1772. 

p)  Die  fg  Tunii  Immerfio  i'"'  Satellitis. 
Lumen  Satcllitis  imminuitur  - 
Satelles  occultari  vidctur  - 
Immerfio  certa 
Obferuatio  fada    aere   traquillo ,    nu- 
bcculae  tcnues  quamuis   circumfta- 
bant  ,  niliilo  minus  bona    efle    vi- 
debatur. 

10)  Die  *j  lulii  Immerfio  3"  Satelliti^ 
Decrcmentum  lucis  Satellitis  valdc 
fenfibiie    -       .        - 

Satclles  vix  confpicitur     - 

prorfus  immeifus      -     - 

Tom.  XX.  Nou.  Comm.  G  g  S 


Temp.vcrum 
H.   M.    S. 

8.  23.  12 

24..     I 


8.  41.  13 


14.  !(?.     0,5 

18.    5,5 
18.  30,5 


13. 


S 


3.18 

3.  33 
3.  50 
Paulo 


(Toi   OBSERVATIONES  ASTRONO.MICAE 


Pliulb  pofl  nubcculae  louem  pr.ietcr- 
fugicb.mt  ,  attamcii  obleruationcm 
hanc.  banam.  cflc  cen(i;o  ,  3  taCciac 
i:i  difco   louis  bene  conlpiciebantur. 

ift)  Die  ^i  lulii;  Imnicrfio   1"'  Satelli 
tis  obCcruata  --         --.      - 

Scci  quia  iupitcr  hacrcbat  adhuc.  in 
dcnfis  vaporibjs  ct  fafciac  vnldc 
confure  ccrncbautur,  obfcruatio  haec 
fubdubia  cll. 

jz)   Die  'j  lulii  rmmerfio  a^'  Satellitis 
Satciles.  immergi  videbatur 
immerfio  certa 

Coelo  fercno  ,  vento  lcni ,,  3  fafciae 
erant  confpicuae  ;  altit.  louis  pofi 
obfcru.    16°.  2I'. 

13)  Die   'i[  Augurti  Emerfioncm   3" 

S.atcllitis  obferuaui 
Coclo  fcreno  >  vcnto  leni ,  fafciis  tri- 
bus  confpicuis. 

14)  Dic  II  Aug.  Emerfio  2^^  Satel- 

litis  obferuata 
Coelum  durantc  obfcruationc  ferenum 
3  fafciae  latac    videbantur. 

15)  Die  ?°sVp^:   Emerfio  a'''  Satcllitis 

confecuta    - 
Coelo  fcreno  ,    aifre  placido   5   fiifciat 
confpiciebantur,  oblcruatio  bona,  led 


Temp.vcruml 
H.  M,    S. 


10.  4.3.  24 


10.  54.  16 
54-  21 


li.  39-  I  5 


13-  3^.  48,5 


8.  X4.  54 


inai- 


IN  DM1TRIEW3K  fNSTITVTAE. 


63-5^ 


inft  tuta  aJ  Iiorologiiim  portatile  , 
qu(x1  ud  tranlicum  Solis  pcr  me- 
lidunum  fuit  ordinatum.  IIoc  cnim 
die  motus  horologii  ofcillatorii  pau- 
lo  ante  oblcruationes  correfponden- 
tes  pomeridianas   fublUtit. 

16)  D.e  I*.  Ov-tobr.  Emerfionem  i"" 
Sattllitis  obferuaui 

Einpfis  9  miiiutis  primis  altitudo  lo- 
vis  erat  22°.  34.;'.  Fafciae  ob  ae- 
rem  vaporoRnn  confufe  videbantur. 

Anno  177'?. 

J7)  Die  iHunii  Immerfio   3"  Satel- 
iitis  louis 

5ats.lles  vix  videtur 
prorfus  immerfus 
i)urantc  obreraatione  aer  ent    pLici- 
dus  ,  5   fafciae   in  difco  louis  con- 
fpiciebentar  ^   altitudo  Planctae  poft 
obferuiuionem   24.°.  16'. 
18}  Die  i^  lu:vii    Immerfio    1'"'  Sa- 
teljitis  louis 

Satclles  \ix  cernitur     -        » 
Immerlio  certa 
Coclo  fcreno  aere  quieto  ,    5    fafciae 
conipitiebantur  ;  altiiudo  louis  pcit 


Tcinp.  vcrum 
H.  M.    S. 


6.  4.8.  47 


obfcru.   25  .  14-'  — 


14.  28.  25 
28.  42 


14-.  14-     2 

14.  2  1 


G§SS 


19} 


60^  OBSERVATIONES  ASTKOMOMICAE 


19)  Die  ^  lulii  Immerfio  i'"'  Satellitis 
Satellcs  immcrgi   vidctur   - 

prorfiis  immerfus.  -     - 

Coclum   tempore    obferuationis    fere - 

num  ,  aer     tranquillus ,    at    fafcias 

non  fatis     diftinde    vidi ;    altitudo 

louis  poft.  obferu.    18°.  23i'. 

20,  21)  Die  V,i"g.  Immerfioues  duo- 

rum  Satelhtum 

3'"'  Satclles  immergi    obfcru. 


Coelo  fcreno   vento    mediocri    flante , 
altitudo    louis    poft    obteruat.   erat 


°        ; 
1 1  .  4-0  — . 


Temp.  verumj 

H. 

M. 

S. 

12 

27. 

28 

27. 

33 

10. 

30. 

+ 

10. 

42. 

27 

* 


Scqu<jntur  nunc  harum  obferuationum  compa- 
rationcs  ,  primum  cum  calculis,  deinde  immediatc 
cum  obferuationibus  correfpondentibus ,  et  quidem 
tam  ex  Immerfionibus ,  quam  ex  Emerfionibus  fe- 
paratim. 

i)3Ex  immerfionibus  I"*'    Sarellitis 

,*s  Maii  i77i.Immerfio  inDmitric-wfk  i^^.2^'.si'^ 
Eadem  Parifiis  c  calculo  11.38.15 

Vndc  DifFcrcntia  Mcridianor.     z.  51.4.^ 


i;  lunii 


IN  DMITRIEWSK  1N3TITVTAE.     €oi 

II  lunii  Immcrfio  in  Dmitriewfk       i4-^4-i''   ^l" 
Baridis  e  calculo  ii.  50.30 

hioc  Diffcr.  Merid.      2.50.321 

/s  lunii  1772  Immerfio  Dmitriewfki   14.  18.305 
Padfiis  e  calculo         12.25.35 


Diffjr,  Merid.       2.  51.  54* 

5I  lunii   1773  Immerfio  Dmitriewfki   i-f.  14.21 
Parifus  e  calculo        11.  22.  14 


Differ.  Merid.     2.  52.   7 

^  lulii  Immerfio  Dmitr.  12.  27.33 

Parif.   e  calc.  9.  35.42 


Differ.  Merid.     2.  51.51 

a'ji"J^^      ^~   Immerfio  Dmitr,  10.  42.  a7 

Parifl  e  calc,  7.  51.22 


Differ.  Merid       2.  51.    5 
Medlum  ex  his  Immerfionibus       2.51.32 

Ex  Emerfionibus  eiusdem  Satellitis. 
Iljjjg      1771  Emerfio  Dmitriewfki       p.  55.  ix 
eadem  Parifiis  e  calculo    7.    2.42 


Diff^r.  Merid.  2.  53.29 

VSfi^    Emerf:  Dmitr.  10.  15.25 

Parif.  e  calc.  7.  23.  6 

Differ.  Merid,  2.53.19 

G  g  g  g  3  ^  Oaobr» 


ec6    OBSERVATIONES  ASTRONOMICAE 

i^Odobr.  i77a  Emcrfio  Dmitriewfki    C^^.+S^.^^" 
Parifiis  e  calculo         3.  55.43 

Differ.   Mcrid.        2.  53.    4. 

Medium    cx  Emerfionibus        2.53.17 

,    Hinc  longitudo  Dmitr.  a  P.iriL  e  calc.    2.52.24. 

2)  Ex  Eclypfibus  Eiusdem   primi   fateilitis  cum  ob- 

feruationibus  direde  collatis. 
«  lulii   1773  Immcrfio   Dmitriewfki   ii^.27'.33" 
cadem  Petropoli 

Different. 
Longit.  Petrop.  a  Parif. 

Longit.  Dmitr.  a  Parif. 

'^' Sfr.   ^77^  Emerfio  Dmitr. 

Stockholmiac 

Diffcrcntia 
Longit.  Stockholm.  a  Parif. 

Erit  long.  Dmitr,  .a  PariL     ^.  5  3.   3 
Mcdinm  ex  his  duabus      2.  52.43 

3)  Ex  Eclypfibus  2"'  Satellitis. 

V  fwii  J771   Immcrfio  in  Dmitricwfk    14.55.   9 

Paril'   c  calc.        1 2.     3.  49 

Differ.  Merid. 
l\  Iiilii   1772  Immerf  Daiitr- 

Parif.  c  calc. 

Difflr.   Mcrid. 
M«dium  ex  lus  duabus 


II. 

27. 

8 

I. 

0. 

25 

I. 

51. 

58 

n 

52. 

23 

JO. 

16. 

2$ 

8. 

26. 

17 

I. 

50. 

s 

1. 

o^ 

55 

r\ 

,51.20 

10 

8. 

,54^21 
2  15 

r* 

52.    6 

2. 

51-43 
11   Auz. 

IN  D.Vi  TaIEWSK   INSTiTVTAE      6cr 

■i\    Aiig.   i77i  Emerfio  D.Tiitricwfki    la^s^'.^.»" 

Parifiis  e  calculo     10.44..  17 


Differ.  Merid. 


2.  52.31 


^t  selu    EmerC  Dmitr.  8.  14..  57 

Parif.  e  calc.        5.  21.4.4. 

«1 
Differ.   Mcrid.     2.  53. 13 

medium  ex  Emerf     2.  52.52 

Vnde   Long.  Dmiir.  a  Parifiis  e  calc.     2.  52.  i-^^ 

4)  Ensdem  Eclypfes  comparando  cum    obferuationi- 
bus  correfpoiidentibus.. 

ViunJz   177 1   Immerf.  Dmitr.. 

eadem  Gcneuae 

Diffcr. 
Longir..  Gencuae  a  Parifiis^ 

adeoque  Long.  Dmitr.  &•  Parifi. 

sj:  Aug.   1772  Emerfio  Dmitr. 

eadem  Stockholmiae 

Different. 
Long..  Stockliolm.  a  Parif. 

Long.  Dmitr..  a  Parif..    2.  52.  33' 


14^ 

.55' 

.9" 

I  2. 

18. 

41 

j». 

3^. 

28 

15. 

15 

2. 

51. 

43. 

»3- 

3<J.4-8 

1 1. 

47- 

10 

I. 

4.9. 

38 

I. 

2. 

55 

80    Kug. 
«3    SepN 


Co8   OBSERVATIONES  ASTRONOMICAE 

lateff*.  i77a  Emerlio  Dmitriewfki         S^iV.s^" 

Pctropoli  7.  14.   o 

Diffcr.  I.    0.57 

Long.  Petrop.  a  Parif.  i.  5 '.5  8 


Vnde  Long.  Dmitr.  a  Piuif.     2.52.55 

Ex  bis  duabus  emcrf.  rred.     2,  5  =.44- 

Hinc  Long.  Dmitr,  ex  obleru.  £**'  Sat.     2.  5  2.  1 3 

5)  Ex  Eclypfibus  3"  Satellitis  direde  cum  obferua- 
tionibus  corre(pondentibus    comparatis. 

S7luliii772  Immerfio  in  Dmitriewfk    13''.    3'.5o" 
Parifiis  in  obftruatorio 


10. 

1 1. 

9 

n 

52- 

4-1 

lO. 

I  2. 

7 

Diffcr.   Alerid. 
Eadem  vero  Parif  in  clugny  obfcru. 

dat  diffcrentiam  2.51.43 
adeoquc  ab  ob(cru.  Parifino  2.  51.45 
Medium  ex  vtraquc  ob(cru.       2.52,13 


l\  Aiig. 


IN  DMITRIEWSK   INSTITVTAE.      609 

i\  Aug.   1772  Emerfio  Dmitriewfki     12.39-15 

Stockhohiuao      10.  49.    o 


DifFercnt.        i.  50. 15 
Long.  Stockholm.  a   Parif.       i.     2.55 


ct  Long;.  Dmitr.  a  Parif.        2.  53.10 
Hinc  long.  Dmitr.   med-   ex  3''  Sitell.        2.  52.4.1  | 

Erat  autem  eadem  ex  i"""  Satdl.  5        ,  r  -^       t 

-  c  ex  obf.     2.  52.  44. 

" ^'^^  Satell.5^"''^;      ^-  ^^-^"^, 

C  ex  obf     2.  52- 13  I 

Vnde  medium        2.  52.27 
Ex    Edypfibus    vero  Solis  iongitudo  haec 

reperta  -  -         -       -       -  2.52.  ii 

Quam  podcriorem  determinationem  duplo 
probabiliorem  aertimando,  longitudo  vr- 
bis  Dmitriewlk  ab  obleruatorio  Parifino 
Itatui   poteft  -  -  -       -        a.  $ili6 

adeoque    in     partibus   ciicuii  43°.^  4'   et  a  meridiano 
primo  63.4'. 

Statutis  nunc  Lititudine  et  longitudinc  reperie- 
tur  per  calculum  arciis  circuli  magni  inter  Petropo- 
lin  et  Diiiitriewfk  13^.  2'.  34",  eritque  didantia  bre- 
viduna  inter  has  vrbes  1360  Werftarum  ,  quac 
alias  eft  i8i(5,  fi  iter  dirigatiir  per  Saratow. 


Tom.  XX.  Nou.  Comm.  H  h  h  h  IV. 


^io     OBSER.  ASTR.  IN    DMITR.  INST. 

IV. 

Declinatio  acus  Magneticac. 

^i  luhii  177 1   Kepetitjs  vicibus  inuei^i 

^ecliQa.tionem    acus    magneticae    8* 

r    pollic.  Angl.  longae        -        -         5*°  Verf.  Occ. 
^,  luoii  eandem  inucoi        -       -        5°>  3  — 


i^g  — *—  >rt  »  .  f,  ^, --  ^«„^  .  ^^  y.  -. 
-  __  .-  -  .  --  -  5,  p  _  _ 
^*   _<         ,  ,         _  -         j.        tf. 

Bene  memini  me  hanc  ipfam  declinationem  anno 
\I773  TeperiflTo  6;°  etiam  a  Septentrione  verfus  oc- 
cidenrcin. 


Cr 


-V 


qVATVOR 


QVATVOR   DELiaVIA  LV^ 

NAE  IN  VRBE  DMITRIEWSK  OBSER-^^^ 
VATA  EXPONIT  ^  '''^^ 

TETRFS  INOCHODZOW, 

I. 

Obferuatio    Eclypfis   partialis    die   »  Aprtlis 

1771» 

Motu  horologii  ofcillatorii  per  altitudines  Solis 
corrcfpondentes  bene  explorato  ,  flagrabam  ma- 
gno  deftderio  hodkrnum  Lunae  defe<S:um  obferuandi', 
neque  ab  iniiio  de  (uccefTu  dptato'  defperam ;  fcd 
vergente  hoc  Luminjri  a^d  horizontem  occiduiim  , 
maculae  ipfius  ob  aerem  craflum  minus  dirtinfte 
\ideri  incipiunt         -        -  15^48'        Temp.  ver. 

Initium   vero   Eclypfeos  obfer- 

varc   mihi  Vifus  fum      -        16.    4.16" • 

Mox  Luna  copicrtiflTimis  vapo- 

ribus  obucFata    confpiciebatur 

diffbrmis  et  reliquit  horizon- 

tem         -        -      -       -       i(J.  25.       — — - — ^ 

*  #  * 

Tres  fequentes  Eclypfes  obferuauit  etiam   Cel. 

Lowitz.,  cuius  obferuationcs  meis  hic  inferendas  efle  non 

dubitaui.     Caeterum  notandum  eft  nos  vnum  ab  al- 

;  ,£^.g    H  hJih  a.  .  tero 


dift 


ECLYPSES  LVNAE 


tcro  ad  dimidiam  circiter  Werftam  fuKTe  difTitos , 
praeterea  illum  tubo  Qiiadratjtis  fui,  me  autem  tubo 
DoUondiano  3"""pedum  obleruationes  has  inftituifTe. 

II. 

Obferuatio  Eclypfis  etiam  partialis  die  \\  Odlo- 
bris  1771  tempore  vero. 


W         <m'l 


Pcnumbra  in  difco  Lunae  apparet 
Initium    Eclypleos     -        -        - 
Vmbra  ad   Phocylidem      - 
Phocylides  immcrfus 
Shikardus  .        -        -       - 

Vieta       -        -       ^         -       - 
Longomontanus       -  -       - 

Penumbra  ad   Tychonem     - 
V  mbra  ad  cundem     -      -        - 

ad  dimiuium  Tychonis  - 

Tycho  totus  immergit 

ViTibra  ad  litus  miiris  Ilumorum 

Pitatus  totus  occultatur   -         -  7.15,  3 

Nubes  obducunt   facicm  Lunac, 

Langrcnus  immcrgit  (per  nubes)  8.   5.58 

Idern   emcrgit  -         r-        -       30.56 

Vmbra  rchquit  difcum  Lunac  - 

•Penumbra  valde  dihita  euancfcere 

vicebatur        -        -         -        - 

Finem   Eclypfis  fimpliciter  no- 

"tauit         -  -r    .    -       -i8.58.13 


^  Lowitz 
H.M.  S. 

<5.38.53 

44.  o 
45.53 
47  58 
50-53 

55.49 

57.10 

5  8.1  3 


Inocbodzou- 

H.  M.   S. 

<5.  35.     o 

38.  21 

43.  =0 


52-     5 

54.  o. 

55.  20 
S^  54 
57-  53 

7.  13.  14 


8.  54.  44 
57.  37 


NB. 


IN  DMTTR.  0B5ERV. 


<S^i5 


NB.  In  obfenutione  finis  Eclypfeos  a  Celeb.  Lozvitz 
notati  ,  nifi  ille  finem  ex  dirparentia  penumbrae 
concluferit  ,  lapfum  calan  i  adefTe  puto  ,  vt  cx 
comparatione  infra   patcbit. 

Coior  circa  extremitatem   vmbrae  fubruber  vi- 
dcbatur;    vmbra    erat    tam    denfii  ,    vt    maculae 
Lunares  ipfa  te<flae  confpici   non    piotuerint. 
*     ^     * 

II  f. 

Obferuatio  die  f^  Aprilis  1772. 
Exorta   Luna   tota  eclypfiua  ,    emerliones  ma- 
cularum   ipfius  ex   vmbra  tereflri   obfernabamus : 

Inochodzow 


Keplerus  emcrgit  -  -  - 
Copernicus  -  -  -  - 
Plato  -  -         -  . 

Tycho  -  -        .       _ 

Manilius  .  -  _ 

DioniQus         -  -        -       . 

Menelaus      -         -  -        - 

Promontorium  acutum 
Mare  Crifium   emergit 

■ •  —     totum  ex  vmbra 

Langrenus  totus  _  -  - 
Vmbram   vidct  adhuc  in  limbo 

Lunae         -         .         _        - 
Vmbra  relinquit  difcum  Luna 

rem     - 
Nullum  amplius  vmbrae  vefti- 

gium  cernit         -       -        - 

Hhhh  3 


Loivitz 

H;M.S. 

8.    8.54 

1(5.     2 

1  8.29 

19.26 

27.52 

30.  3 

30.58 

39.51 

44-.   4 

48.51 

49.46 

5253 

-  -  - 

54-35 

H.  M.  S 

8.     8.55 
16,  23 

19.  48 
09.  13 

31.  »3 


47.  22 
50.  23 


53.  25 


Aer 


<Ji4 


ECLYPSES  LVNAe' 


Aer  tempore  obreruntionis  cru  tranqiiillu*; 
at  coelum  nmxime  in  eii  regione  vbi  Luna  verlabatur, 
nubcculis  erat  tetflum  ,  pcr  qunrum  liiatus  nGmiulla 
momenta  fignata  (unt. 

*     *      * 

rv. 

ObrcruatJo  Eclypris  Lunac  totalis  cum  mora 
clic  i?a    1772. 


Loivitz 
H.  M.  S. 


Penumbram   ingredi   difcum  Lu- 

nae  video       -.      - 
Initium    FcF^^pfis     _  -        - 

Vmbra  aitingit    Grimaldum     -  , 

medium    Gri-] 

maldum 

Grimaldus   totas   in   vmbra  -     - 

Gnliiaeus 

Vmbra  ad    Mare    Humorum 

Schikardum     - 

Schiicardus  totus  imn-^eriiit  -  - 
Keplerus  fubmergi  incipit  -  - 
Vrnbra  ad   Arilbirchum     - 

. dimidium    AriHarch. 

Kepleras  totus  in  vmbra  -  - 
Ariliarchus  totus  immergit 

Bulialdus 

Schillcrus  -        .       -       - 


6.3- 


37-28 

40.37 
41.39 


45-4<5 
47  12 
49-53 


In^cho^zou'] 

H 

.  M. 

S. 

6. 

28. 

51 

31- 

31- 

32- 

22 

33. 

n 

34- 

I 

37. 

30 

38. 

59 

40. 

20 

■ 

- 

- 

- 

42. 

27 

44- 

48 

45. 

27 

45. 

5» 

50. 

6 

Vmbra 


IN  DMITR.  OBSERV. 


iStS 


Vmbra  ad  Copernicum     - 

■ mediiim  Copern. 

Copernicus  totus  in  vmbra 
Tycho  immergi  incipit     - 

totus  fubmerfus 

Erntorthenes    (  dub.  ) 
Tymochari?  ad   vmbram  - 

medius    - 

totus  in  vmbra 

Vmbra  ad  Manilium 

Flatonem 

Manilius  toius   immerfus  - 
Pljto 


Menelaus  immergi  incipit  -     - 

—  toius  in  vmbra     -     - 

Tacquetum   vmbra  attingit 
Tacqueius  totus  immerfus 
Vitruuius  aut  Plinius 
Promontorium    acutum    obum- 

bratur  -  ... 

Poflidonius  occultari  incipit 

totus  in   vmbra 

Mare  Crifium   immergit    - 
Luna  immergit  in  penumbram  - 
Immerfio  totalis  in  vmbram    - 

Durante  Eclypfi  totali  Luna  ct  maculac  ipfius 
infigniores  nudis  oculis  videri  poterant.  Facies  Lunae 
inquinata  erat  colorfr  aliquo  fufco  ad  fubrubrum  de- 
dinante..  Emer-- 


Lowitz 

Imhodzoiif 

H.  M.  S. 

53.25 

53.      2 

_  .   _ 

53.  58 

5519 

^5.     3 

55-35 

55.  31 

57.   2 

5^.  51 

58.11 

-   -    .  - 

7.   2.12 

7.     1.39 

_  -  - 

2.  31 

3-   7 

3.  32 

10.53 

10.  13 

11.13 

10.  3f 

11.49 

1 1.  42 

12.17 

12.  31 

7-14.53 

7-  13.  45 

15.34 

15.  II 

-  -  - 

17.43 

-  -   > 

18.  28 

1S.48 

-  _  - 

21.    S 

21-53 

-  -  _  - 

23-   7 

-  _  _  - 

30.22 

30.43 

-  ,  - 

37-  51 

37.43 

38.  31 

6i6 


ECLYPSES  LVNAE 


Emerfioiies  IMaculaium  Lunarium. 


Luna  cgredi  incipit  ex  vmbra 
feu    initium   Emerfionis   - 
Heuelius  emergit 
Grimaldus  emergit 

medius        - 

totus^  extra  vm 

bram         -         _        - 

Galilaeus  (  dub.  ) 
Ariftarclius  cgrcditur    - 

totus  emerfus 

Schikardus  emcrgit 

tctus  ex  vmbra 

Keplcrus  apparct 

Mare  Humoruin    totum    ex- 

tra  vmbram     -       -         - 
Bulialdus  ex  pcnumbra  - 
Copernicus  emergit 
Bulialdus  totus  cx  vmbra    - 
Copernicus  totus  exrra    vm- 

bram  _  _  - 

Plaio  emergit       -        -       - 
Tycho    -  - 

riato  totus  ex  vmbra  - 

Tycho • 

Eratollhcnes  (  dub.  )      -       - 
Eudoxus  •   -J' '    - 


Loivitz     Inochodzoiv 
H.  M.S.    H.  M.  S. 

9.  20.  13 


23.  28 

24.  I 

24.  44 

30.  12 

31.  4 


35.  ^3 
3<J.     1 


43.44 


+7.  3» 
48.  19 

53  32 

Manilius 


IN  DMITR.  OBSER 


dir 


Manilius   emergit 

^; —    —  totus  apparet  -     - 

Menelaiis  emergit 

—  totus  cxtra  vmbram 

Tacquetus  totus  -  -  - 
PofTiJonius  -  -  -  - 
IVlare  Serenitatis    cxtra    vm- 

bram  -  - 

Mare  Crifium  emergit  - 
Langrenus  .         -         - 

IVlare     Cafpium     totum     ex 

vmbra  -  -        - 

Vmbra  rclinquit  difcumLunae 
Penurobra  euancfcere  videtur 
Per  totuin  huius  obfer 
Tuionis  tempus  grata  erat 
coeli  ferenitas  et  aeris  tran- 
quillitjs. 

Summa  Obferuationis. 

Duratio    totius    hciypfis    ex 

init.  et  fine  obferu.  -  - 
Diiratio  Eclipfis    totalis    feu 

Morae  -  -  -  - 
Medium    Eclipfis    ex    initio 

et  fine  -  -  -  - 
Idem  ex  immcrfione  et  emer- 

fione  -  -  . 

Idem  colligitur  ex  penumbra 

*  * 

Tom.  XX.  Nou.  Comm. 


Lowitz 

Imchodzoiv 

H.  M.  S. 

H.  M.  S. 

9-59. +  1 

9  59-  iS 

lo.   o,3£ 

lO.     O.  I  I 

2.51 

-  -  -  . 

3. -2  4- 

3.  37 

8.24. 


3.54.54 
1.4345 

8  29.33 
8.29.35i 


* 


7.  56 


-  -  _ 

15. 

0 

18.3<5 

18. 

56 

24.    8 

2  2. 

21 

23.4.5 

23- 

51 

2*7.    0 

27. 

13 

-  >  - 

29. 

31 

I.   .    • 
11 1 


3-  55-42 
I.  41.  42 

8.  29.  22 

8.  29.  22 
8.  29.  XX 

Quamuli 


CiS 


ECLYPSES  LVNAE 


Quamuis  Longitudo  Loci  ex  defcdibus  Luna- 
ribus  ob  difficultaiem  vmbrain  a  penun.bra  cKccr- 
nendi  ad  vnguem  ,  \t  dicunt  ,  detcrminiui  iiequit  ; 
"Verum  tameii  non  inut.le  imo  neceflarium  duxi  pe^ 
riculum  facere  ,  et  comparationes  cum  cbrcruationi- 
bus  correfpondentibus  trium  poftcr  orum  Dcliquiorumy 
quae  mihi  nunc  in  promiu  lunt,  in  medium  affcrre, 

1}  Secunda  Eclypfis  obfcruata  Pekini  hunc    m    mo- 

dum  : 


Pekini  -?  -  - 
Dmitr.  Lowitz 
Inochod. 


Init.  Ecljpil 


1x^2  3'.  17" 


Dimid  Tj-ch.  in' 

xt' 

41'. 

fi" 

6. 

57- 

lO'' 

6. 

55. 

2-0 

<5.SS.2i 

Vnde  duratio  Eclyfis  Pekinr 

Dmitr..  e  Low. 

e  mca 


Porro   difErcntia    Meridianorum 

Dmitricwlk: 


inter 


Finis  EcIypH 

s.  58- 13 

8-5+.  4- 4- 
2.  19  co  ' 

Pekinum    e^ 


Ex  obferu.  Lowitz.  4-  44-  «4  ]  4«  4+-     1    4-  4i-  3  5 

c  mea       -        -  4.  44-  5^  \  4-  45.  5'  1  4-  45-    4 
■  rf .  •  -    c  '■         .   .■   -i 

Si  ex  his  differentiis    tollantur  duae  ,  Lowit^iana    c 

c  ^iic,  et,  mea  e.  di;nid.io  Tychonis,  icliquuc  qua- 

\      tuor  pracbent  difTcrentiam  mcdiam      ,  4.  44.  35 

E(l  \ero  Longitudo  P«kini  ab  olDfcru.  Parif.  7-  3<5.  90 

Hiuc  Loiig.  Dmitritwfkiia  rarjfiiii  %.  ^i.  ^^, 

8     .je.QS  8    ;-  -  - 

(^2  .i    I    -  -  -  -     .-. -uJf ri ij n ■. q  j: 

^     m,     *  Finis 

liurnf.oP  iiil  .airnoD.uoVI  X-^.  ■  — 


t£    .QS 


II 


IN^DMITR.  OBSERV,  ei^ 

Fims  huius   Eclypfis    obferuatus  eiiam 

Bcrolini    -  -  -        -        6^-47'    o" 

coiBparatus   cum    obferuatione    mca    dat 
. -;.   differentiam  -        -  -         -        .4.    7, 44. 

Longitudo    auiem    Berolini    a    Luteria 

Parifiorum       -       -  -       -  44- 10 

Krit  long.  Dmitr.  a  Parifus     -       -        2.51.54- 
Gryphswaidiae    eiusdem    Eclj^pfis    finis 

itidem  obferuatus  -  -  6.  47.    S 

collatus    cum  obleruatione    mea    praebet 

diff.rentiam  -  -       -  2.     7, 38 

At   Longitudo  GryphbwalJiae  a  Parifiis       44.15 

Vnde   Dmitriewlk  a    Pdrifiis  -         2.  51.  53 

I    Et  mediam  ex  his  rribus  comparntionibus  2.  51.50 

ft)  Finis  3""*    Eclypfis  in  Dmitriewfk    ex 

obleru.   mea  -  -'  -  8.  53.25- 

idem  Pwtropoli  obferuatus      -       -  7.52.44. 


dif&rcntia  .-  -         -  i.    0.41 

Eft  vero  loogitudo  Petropolis  a  Parifiis   1.  51.58 
Longit.  igiiur  DmitriewiJii  a  Pdrifiis      2.52.39 

3)  Vltima  Eclypfis  obferuata  eti.im  Petropoii  a 
Celcb.  Viris  Kumoivfky  et  LexeJl ,  adeoque  com- 
paratio  inter  obfeiuationem  Petropolitanam  et 
noflram  inftitui  potoft.  Sumtis  mediis  mo- 
mcntis  ab  vtroqac  obferuatore  notatis ,  et  re- 
iedis  difFcrentiis  valJe  difcrcpantibus  fequentes 
\ndecim  retinco. 

liii  a"  Vmbra 


ijao  ECLYPS.  LVNAE  IN  DMITR.  OBSER, 


Vmbri  ad    Ariflarchum 
Ariftarch.  totus  immergit 
Vn-bra  ad  Pljtonem    - 

" ad   Manilium   - 

Manil.  totus  immcrgit 
Vmura  ad  Menelaum  - 
Immerfio  Lunae  totalis 
Poflidon  tts  cn.ergit 
Marc  ^edaris  emcrgit 
Mare  Crnum  egreuitur 
finis  Lci>pfis 


jObf.Petrop.  Obf.Dmitr. 

I  H.  M.  S.  H.  M.  S. 
44-  30  I  6.  44-  48 
4<5-  i3i  47.     is 

10.     4      7.  10.  54 

10.  25  lO-  33 

11.  27I  ir.  4.5 
13.12  14.  4 
37.    o          38.    7 

8.  22     10.     8.  24. 
14.  i8i  15.     O 

18.  21  18.  45 

27.    4i        27-    <5; 


Medium 

Longit  Pctrop.  a    Parifiis 

Erit  longitudo  Dmitr.  a   Parifus 

et   medium  cx  his  sbus    comparation. 

Vt  vt  fit ,    hanc  longitudinis  determinationem 

ad  eam,  quac  prodit  ex  Eclypfibus  Solis  et    fatelli- 

tum  louis  ,  accedere  propius  quam  perfuafum   mihi 
habui. 


OBSER- 


OBSERVATIONES  ASTRO- 

NOMICAE  IN  VRBE  SARATOW 
HABITAE 

"  ft    G.     M.    lOWlTZ 
ANNO   X773. 

Exponuntur  hic  nonnullae  obferuationes  AftronO" 
micae  ,  quas  vir  celeb.  recuperandae  valctudini» 
fuae  caufla  in  vrbe  Saratow  commorans  occafionem 
habuit  innituendi. 

I. 

Inquifitio  in  errorem  Quadrantis. 

i)  Ex  verificatione  Quadrantis  ad  horizontem    repe- 
ritur  error  ipfius  additiuus       ~       -        a'.  46". 

2)  Ex  rcdificatione  ad  Zenith  ,   obferuando    altitu- 

dines  Capellae  meridianas 

ad   Auftrum       j     et       ad  Boream        |  Error 
die.    6  April  84"io'.6"die    7  April  95°.45'.53"+3.  O5 

-  8 84.  10. 1-      9  95.  ^-J.Sa +3.  33 

—  10 84.10.5.—    12  95' '^S-Si  •+3.  a 

3)  Ex  ahitudinibus  fixarum  ad  Auftrum  et    Septcn- 

trionem  captis  et  cum  calculo  collatis  deprthen- 
diiur  Error  Quadrantis. 


I i  i  i   3  Ex 


i€iz    OBSERVATIONES  ASTRONOMICaE 

Ex  (3  n  ad  AuOrum  etpvrfiieminor.  adBoream  4^'2'^i 

(  Bootis 

p  n Y- 

€  Bootis  


— — ■ 

- 

4-2.53 

- 

+2.53: 



- 

43.    8 

maioris     - 

- 

4-2.49 

- 

- 

+3.  7i 

maior.  - 

- 

+3.  7 

— -  — 

- 

+3-  3 

}\u 


«  Lyrae a  — 

Corde  Caroli 

CapclUi     ■ tx.  e  vr 

Eadem <^  — 

Jix  quibus  omoibus  error   medius     +2  Sp 
qui  tameu  rotuade  affumi  poteft     +3.  o 

11. 

Determinatio  Latitudinis  vrbis   Saratow. 

i)  Ex  nltitudinibns  fixarnm   meridianis. 

E  magno  nnmero  liarum  rcpetitarum  obreruatio- 
num  fcledae  eae  funt  ,  quae  intcr  reliquas 
mcdium  tenent  :  notandum  porro  eft  ad  alti- 
tudines  obferuatjs  iam  addita  efle  3  ininuu 
prima  pro  crrore  Quadrantis  antca   inueuto. 


Dies 


IN  SARATOW  HABITAE. 


^25 


Dies  obfer\i 

Mom.   Fi.xar.   1  Altit  obferu.    R  /  ,aa.       Dfcliii.  fixar.    |  Aberr.   /Nut.it  |      Latitudo 

St.   nou. 

1                         'D.</(r  laC.    ad  d.  obferu. 

1 

Alt  tiiLiinea  1     ad      |     Aullrum. 

April 

5 

y   Leonis 

59^28'.. 5"o'.3V',3ao°.59'-   o",2 

-   5",8 

-5",2 

>r°.3r'.   9" 

6 

.•>yriiis 

22.     5.44 

2.39,  5^15.  24.  44,2 

+  12,.  3 

4-8,9 

>  r.  3r.  50 

8 

a  Cygni         82.  57.  15 

8>  444-48.44,  5-17,  7 

f  7,  fc 

5r.  3r.  27 

io'Capeli.1           84,  1 3.    5 

6,  8|45,  44..  45'  24-    5,  4 

-8,c 

>r.  31.  47 

1 1  l'rocioii          44.,  17,  13 

I      8. 

5.  47.51.     p   5,  5 

-8," 

5r.  3r.  32 

i+C.illor           170.  50.  41 

23. 

32.  21.59,  3-   3,  ^ 

-8,8 

5r.  31.  29 

-  Lyra              77.    3-55 

I  5r  4 

38.  34.  59,  2-1^,6 

t8,9 

5r.  jr.  12 

3oj3   Leonis       |54.  1  9.  jo 

^7,8 

15.  50.25',  2-1,9 

-2,-  3 

51.  31*59» 

xMaii 

7P0II1IX                 67,      2.2  1 

28,  2 

28.  33.23,  6+    3,  4 

-5,6 

5r.  3'.  245 

9  5  Booris       ,72.  39.  lO 

20,7 

34-  10.  23.     —    3,  4 

i-5,7 

5r.  3'.  3 (5 

iO£  Bootis         66.  3  r,    9 

28^9 

28,     2.  2(5.      —2,4 

4-4>8 

5r,3r.  40 

i^Cor. -Caroli   78.     i.iS 

r4. 

39.  32.48,(5+    5,  0 

-0,1 

5r.  3r,  50 

zSx  Coronac    |6>.  58.42 

29,6 

27.  29.  2  6,-8       0,0-46,4 

5r.  3t.  21 

Iiinit 

I  yi  Bootis 

58.     I.  1-3 

4ij  5 

19'  3  2-  44,  2+    2,  4'-f  3,  2 

Si.  3».  4<J 

Akitudincs 

ad 

Boream. 

April 

S>£  viG    maioi 

34.  19-  47 

6,6 

57.  rr.  43.    4-  <5,-  s'-fo,  6 

511.  3».  30 

—  _  . 

-  ' 

< 

S5.  24.  50 

5,3 

S6.    6.  5  5,  8-  3,  4  4-r^7 

51.  31-  39 

-   —   ■ 

A  *^ 

A 

91.    4.  22 

I1  '^ 

50.  27.     6,  3.-    5,  44-2,  2 
52.  58.  16,  5  +  ro,  3-4,0 

5r.  31.  2(J 

2  • 

i^             — 

73.  23.  25 

>  3y  5 

Jr.  31.  34J 

Maii 

7f3  vrf.  rr.inoi 

-i^f.  2<5.  51 

29. 

75.     5.     8,7|+   0,6+5,  3 

51.  3 r.  3<5i 

-\y                68.  53.  2.^ 

25,6 

72.  38.  29,  2-    1,94-6,2 

5r.  31.  32 

Mcdium  ex  his  20  obferuationibui 

5r.  3r.  33 

2)  Ex  altifudinibus  Solis  ircridianis. 

^:    Pro  coaiputaada  dedinatione  Solis   afTumitur    hic 

diff-rcntia   meridianornm   inter  obferuatorium  Pa- 

rifinum  et  vrbem  Saratow  2^  50'. 

Dies 


^24    OBSERVATIONES  ASTRONOMICAE 


Dies  obft 

;ru. 

Altit.  limbi  Q    Refiacl- 

Semid.   © 

Declinat.   O 

Alt.  Aequator 

St.   noi 

j. 
22 

inferiofii        —  Parall. 

Manii 

39  •    3'.24." 

i'.i5" 

16'.    3",6 

o°.49'.2  8" 

3  8\2  8'.44^" 

23 

39   26.  56 

1.14. 

16.     3)3 

J.  13.    6 

38.  28.  39 

25 

40.  14..     8 

I.  12 

i<5.     2,7 

2.     0.18 

38.  28    41 

April 

5 

44.  28.  50 

I.    1,6 

15-  59,  8 

6.  15.15 

38.  28.  33 

6 

44.  5  ».  19 

I.    0,7 

«5.  59^^ 

6.  37-5  2 

38.  28.  26 

7 

45.  14-     2 

5  9,8 

15.  59)  3 

7.     0.23 

38.  28.  38" 

8 

45-  3^-    9 

59,2 

15.  59- 

7.  22.48 

38.  28.  21 

12 

47      4-  34 

56. 

15.  58. 

8.  51.    7 

38.  c8.  29 

Maii 

A 

53.  44.     6 

43,8 

15.  53. 

J5-  30.41 

38.  28.  34 

luiiii 

5 

60.  49.  56 

33,  I 

15.  47. 

22.  3<5.  17 

38.  28.  53 

6 

60.  56.     5 

32,9 

15.  4<5,  8 

22.  42.33 

3  8.  28.  4<5 

8 

OJ.     7.  2^ 

32,6 

15.  46,0 

22.  53.52 

38.  28.  48 

IVlcdiiim 

38.28.37 

Adcoque  cleiiatio    poli 

51.  31-  23 

Erat  autcn^  eadcm  ex  altit.    fixiirum 

51.  31-  33 

Hiiic  latitudo  \rbis  Saratow 

51.3'-  28 

III. 

Pro  dctcrminanda  longitudine  huius  vrbis  ob' 
fcruaiiit  quidcm  vir  cel.  Kclypfin  Solarem  die  5?  Mar- 
tii  ;  fed  dolendum  e(l  motum  penduli  ob  frigus  eo 
tcmpore  in  aere  regans  minus  cxa^flum  ,  quin  indi- 
ccm  fcrupiilorum  ftcundorum  per  aiiquot  momenta 
quictum  fuiflc.  Quam  ob  cauflam  tempora  hiiius 
oblcruationis  vcra  crui  non  poflunt.  Interim  tamen 
■i  obfer- 


0B5ERV.  ASTR.  IN  SARATOW  HABITAE  6-5 

obferuauit  ille    poftea   Immcrfionem    prlmi    Satcllitis 
louis,  (Jie  nempe  7""'  lunii     i^-^ia'.  1 1"  Temp  Ytri 

Eadem  vcro  Immcrfio  Parifiis 

e  calculo         -       -        -      11.  17.29  

Vnde  longitudo  \rbis  Saratow 

a  Parifiis         ■-       -         -      2.  54  42  

vel  numero  rotundo    a''.  54.;',    adeoque    m    parnbus 

Circuli  43°.  40'  et    a    Mercdiano    primo    03^40' 

ftatui  potcfi. 

IV. 

'DiebuS5*5    Maii    et    V  Sl     Dedinationem    acus 
Magneticae  inuenit  3°.  2S'  verfijs  occidentem. 


Tom.XX.  Nou.Comir.        K  k  k  k       EPITOME 


6i6 


-^.■^  C  o  )  r?€< 


E  P  I  T  O  M  E 

OBSERVATIONVlM    METEOROLOGICA- 
RVM  PEIROPOLI  ANNO  MDCCLXXV^. 

SECVNDVM     CALENDARIVM    CORR^ClV  M 
INSTITVTARVM. 

Auctore. 

lOANN.E    ALBERTO   EVLEK. 

I.  Baromctrum. 

I.  BiUometri  altitiidines  maximac,  minimae,  et  me* 
diae,  vna  cum  vaciatione  maxima  et  ftatu  medio , 
pro  fingulis   racnfibus  anui    1775, 


Meiife 

Altilu 
Dig.  p.c. 

io  ma.xima 
die  hora 

Altitudo  miiiima 
Di^   p.  c.'    die   hora 

Variatio 
Dig.p.  c. 

Medium 
Dig.  p.  c. 

Altitudo 

media 

Dig.  p.c. 

I.inujr. 

29  11 

25.  IX.   p.   m. 

2  7- .30    1 
27-22    1 

27.  12 

1 

9.  IX.  a.  m. 

1-81    1 

28.  ^i 

:8^  25 

Februar. 

28-  83 

28-58 

27.    meridie 

$.  VI  a.  m. 

1.61 

I.  45 

28.  02 

27.  99 

Mart. 

7.  IX'.  p.    m. 

8.  X.    a.    m 

25.  VILa.m 

2  7-85 

27.88 

AprJ: 

28-4+ 

15.  IX    a.    m. 
■5.   VI.   a.  m. 
26.   IX.  p     m. 

1 
1 

12.  VI.  3.  m. 

I    00 

-7.  04 

28.  10 

M.iii 

28-53 

2.  X.   a.    m. 
29.    IX.   a.  m. 

27.33 

17  iir  p-  m. 

1.  20 

27-93 

28.  07 
28-  09 

luuii 
Fuhi 

Augult 

28.  ,-s9 

3.   \"I.   a.  m. 

27.48 

2+   IX.  p.  m. 

0.  91 

27.54 

28.43 
28.  62 

23.VlII.a.m. 

27.  62 

17.    meridie 

0.  8i 

28.  03 

28.  II 

9-    X.    a.    m. 

27.  88 

25.JX-a  m. 

0.74 
0.69 

I.   3o 

28.  25 

i8.  29 
28.  24 

:8.  J5 

28-26 

Sept. 

28.  57 

1 6.    X.     a.   m. 

27.88 

21.  VI.  a.  m. 

28.  22 

2?..  05 

2y.  2  1 

28.    21 

2  8.  14 

06l.)br. 

28.  48 
2  8.  83 

3.    meridie 
31.   VI,  a.   m. 

27.63 
2T.  5<^ 

i^VllI.a.m. 

Nouembr. 

28-  88 

28.  72 

28.  62 

I.    maridie 
21.   meridie 

lO.  IIL  p.m. 

I.    32 

I.    Ifl 

t.36 
I.  pP 

Di-cembr. 

i<5.   III.    p.  m  {  zy.  lO 

14.  IV.  a.  m 

M-ufe 
Maitii 

27.  94 

2  8-  ot 
2S.    12 

A  n  11  0 

29.  1 1 

1        .Mcnle 
J.iMiiarii. 

27.  12 

2.  Numc- 


EPITOME  OBSERV.  METEOROL.      (5^7 

2.   Nurrcrus  dieriim  quibiis  aititudo  Bsrometri   fupc- 
rabat   t'.rminos  quosdam  ■circa  akitudinem  28  poll. 


fupia       [     fupra 

fupra           fupia 

fupra 

per  dimidium 

28- 

10          28. 

0,5 

28.  DO        27.   95 

27. 

90 

mcnfis 

(upra 

Menfe 

Dies 

horaeDies, 

horae 

Dies,  liorae  Dies,  horae 

Dics, 

horae 

Dig. 

p.  c. 

lan. 

ai. 

0 

2  :• 

12 

24.     i> 

25.      6 

2  5. 

15 

28- 

25 

Febr. 

1 1 . 

6 

12. 

C 

14-      3 

15.    12 

i5. 

IJ 

28. 

01 

Mart. 

8- 

C 

9- 

'5 

12.      0 

'3-    12 

i5. 

I  2 

2  7- 

P2 

April. 

16. 

18 

19. 

3 

20.    18 

22.       9 

24- 

0 

28- 

14 

Maii 

1". 

6 

19- 

3 

20.     6 

^I.        3 

21. 

21 

28. 

17 

lunii 

14. 

15 

17- 

9 

iO     I  2 

II.     21 

25. 

0 

28. 

09 

lul. 

17. 

IS 

21. 

5 

23.    15 

25-    18 

29. 

9 

28. 

13 

Aug. 

27. 

J5 

2P. 

IS 

30.      0 

30.       9 

30. 

18 

28. 

28 

Sepb 

21. 

12 

2,5. 

3 

25.    21 

28-     9 

29. 

i3 

2  8. 

28 

Oft. 

19. 

15 

21. 

0 

21.    21 

23.    21 

2,5- 

3 

28- 

i5 

Kou. 

2.^- 

20 

=  5. 

P 

2<r.    2  I 

26.        0 

25. 

3 

2  8- 

27 

Dcc. 

H- 

0 

15- 

J5_ 

17-   '5 

18.    21 

20. 

6 

23. 

o5 

Anno 

:il. 

0 

2  3.S- 

0 

257.    21 

272.    21 

;p2. 

0 

28. 

20 

1775 

Duac  priores  figurae  altitudinum  barometricarum 
poliiccs  intc^ros  defignant,  quorum  duodccim  pedem 
regium  parifinum  conftituunt  ,  porteriores  vero  pjr- 
tcs  centcfimas  vnius  pollici*.  Tum  vero  moncndum 
eil  3.  m-  lignificarc  witi:  mehdiein  ,  p.  m.  vero  pojl 
meridiem, 

Colligitiir  cx  his  binis  tabulis ,  pro  totoanno: 

I.  Altitudo  maxima  baromctri  29.  i  i  :  menfe  la- 
inuniidic  £5  hora  IX  anie  mcridiem.  TlTcrmom. 
Dclibl.  182.  "Coelum  terenum  ct  venius  (atis 
vehemL::^  c  regionc    N  — W. 


K  kkk   a 


2. 


<j£8  EPimME  OBSERVATIONVM 

2.  Altitudo  minima  baromctri  27.12:  menfe 
Miirtii  die  26  honi  Vil  mututina.  Thermom. 
Dk^lisl.  154-'.  co-lum  luibibus  tx  parte  obJudum, 
et  uebulolum:   nix  et  vciitus  e  regioue  NNW. 

3.  Variatio  maxima   i.  99  fcu  fere   z  pollicum. 

4.  Medium  intcr  maximam  ahitudinem  et    mini- 
mam   28133. 

5.  Aiiitudo  media  inter  omnes  obferuatas  aSiaV 

C.  Porro  mercurius  in  tubo  barometri  fe  fulkn- 
tabat  fupra 

zSi',   poll.   per  dies  21  j 

2  8j|i  poll.   per  dies   238 

23        poll.  per  dics  257J 

27. Id  poll.  pi-r  dies  272J  ct  fupra 

27i'ii  poll.  pcr  dics   292 

vnde  concluditiir  mcrcurium  fc  fuflentafTe  pcr 
intcru.illum  dimidii  anni  vel  18 2^  dierum  fu- 
pra   altitudincm    2 8 '43   poll. 

3.  Dcfcenlus  et  afcenfus  mercurii  m  tubo  baro- 
nictri    notabiliores. 

Menfe  lanuario. 

d.  7.  hora  3.  p.  m.  28.  29 
d.  9.  hora  9.  a  m.  27.  30 
d.   10.  hora  9.  p.  m,   28.  19. 

Ergo 


METEOROLOGICARVM.  629 

Ergo  primo  interuallo  temporis  42  horarum  baro- 
metriim  defceiidit  t"!  pollicis ,  dfinde  interuallo  3<J 
horarum  iterum  alcendit  tVj  poll.  Co(.Uim  plane 
obduftum,  nix  copioHi,  et  procella  e  re^ijione  S— W, 
tum  vero  coeUim  ncbulofum  et  tantum  ex  parte 
nubibus  obJuclum  vent.  N— W. 
Keliqui  defcerifus  et  afcenfus  notabiliores  ex  figura 
hic  adiuiida  perfpiciuntur. 

Meiife  Febriiario. 

d.  5.  hora  6.  a.  m.  27.  22 
d.  7.  hora  2.  p.  m.  28.45 
d.   9.   hora    8.  p.  m.   27.  2(5. 

Hinc  pcr  tempus  $6  hnrarum  afcendit  barometrum 
interuallo  \ll  poll.  tum  vero  per  horas  54  iterum 
defcendit  interuallo  \^^,  poll.  Coelum  primo  erat 
lcrenum  ,  vento  vehementer  flante  ex  N.  ct  NW  , 
deinde  obJucbarur  coelum  nubibus ,  procella  flabat 
c  regione  SW.  vna  cum  niue  abunJaqte 

d.    13.  hora   8.  a.   m.  27.32 
d.    15.   hora   2.  p.  m.  28.17. 

Afccndit  igitur  mercurius  in  tubi  barometri  inter- 
vallo  54  horarum  ,  per  fpatium  '3%  poli.  Coclum 
obdu(flum  ,  nebulofum  ,  nix  ^  ventus  NW ,  tum 
SW  ,  tandem   malacia 

d.   24,   hora  6.   p.   m.   27.  ^g 
d.   27.  meridie  28.  83. 

K  k  k  k  3  Coo- 


©30         £P1T0ME   OBSEKVATIOXVM 


•  4. 

T55 


Confequentcr  fempore  <i6  hoiaruni  afcenfus  fuit 
puU.  Coelum  obdudum  ,  poika  fcrenum  et  tum 
iterum  obdudum.  Vcnto  liante  priirio  e  regione 
NO  ,  deinde  veheRieniius   c>:  occidentc. 

JMeiife  Maitio. 

d,   5.  hora  i.   p.    m.    ^7.  82 
d.  7.   hora  9.  p.   m.  cS,  58. 

Ergo  intcruailo  55  horarum  afcendit  merciirius  per 
tc*,   poll.     Coclum  (erenum.     Eurus 

d.    14.   hora  3.  a.   m.   27.  60 
d.    15.  hora   5.   p.  m.   2.8.  35, 

Vnde  per  tempus  38  horarum  afccndit  interaallo 
7^5  poli.     CoeJum  obdudum  ,  nix  ,  vcnL    N— W 

d.   18.  hora  c.  a.   m.   i7.  85 

d.   18.  hora  6.  p.  ni.  27.  38 

d.   19.  hora  6.  p.   m.    ::8.  1 1 

d,   21.    hora  2.  p.    W.    27.  27 

d.  22.  hora  11.  p.    m.  27.83 

d.   23.  hora  4.  p.    m.   27.  27. 

Primum  ergo  interualio  temporis  18  hofarum  de- 
i;enrus  fuit  -Z  poU.  Coclum  obduaum  ,  Procclia 
cx  occidentc. 

D>.inde   tcmpore    24  horarum  nfcendit  mercurius  per 
-.Vj  poll.      Coehim   fereuum  ,   vtnt.   NW. 
Tum    tcmpore   44    horarum    dclcendit    interuallo  ua 
pull.      Coclum   cbuu(ftum  ,  nix  ,  pluuia  ,  Zcphirus. 

Porro 


METEOROLOGICARVM.  6:^x 

Porra  temporc  33  horarum  afccndit  per  -^  poH- 
Coelum  ferenum.   Vento  leaiier  flante  e  regione  NW. 

TanJcm  per  17  honis  iterum  defcenJit  interuallo  /*• 
poll.  Coelum  obdudum  ,  nix  ,  procella  ex  plaga  NO 
et  occidentc. 

Menfe  Aprili. 

d.  10.  meridie  2S.  14. 

d.  i2.  hora  6.  a.  m.  27.  4.4. 
d.   15.  hora  p.  a.  m.  28.44.. 

Confequenrer  primum  tempore  42  hornrum  defcenfus 
fuit  {/3  poll.  Coelum  nubeculofum  ;  procclia  ex  oc- 
cidente.  Tum  vero  per  75  horas  mercurius  iterum 
afccndit  imerualk)   i    pollicis ,  nix  :    vent,  N— W. 

d.  28.  hora  6.  a.  m.  28.  38 
d.  29.  hora  3.  p.  m.  27.  8<J 
d.   31.  hora    3..  p.  m.   28.  4.8.  ,. 

Delcenfus  i^itur  primo  fuit  /,3  poll.  interuallo  tem- 
poris  33.  horarum,  cum  pluuia  et  Euro.  Tum  tem- 
pore  48  horarum  mcrcurius  iterum  arceudit  per  tVa 
poU.     Pluuia  et  procella  e  plaga  NO. 

Menfe  Maio. 

d.  2.  hora  10.  a.  m.   28.  53 

d.  4.   hora  8.   a,  m.   27.  80 

d.  5.    hora  i  r.   p.  m.   28.34. 

d.  7.   iiora  10.  a.  m.   27.  63 

d.  8\   hora  4.   p.  m.    28.  10 

d;  10.  hora  2.   p.  m.  27.  48.                   •J 

Hinc 


^3*         EPlTOiME  OBSFRVATIONVM 

Hinc  mercurius  in  tubo  baromctri 

1.  defcendit  per   U^  poll.   interuallo  temporis  ^6  ho- 
rarum :   coelum   ferenum  ,  Eurui',  polka  pluuia 

2.  afcendit   per  /oa  poll.  tempore  39  horarum  :  coc- 
lum  (ercnum  et  procella  e  NW 

3.  defcendit  per  {3^  poH.  tempore  35   horarum:coe- 
lum  obduiftum,  pluuia  et  procella  ex   regione  SW 

4.  afcendit  pcr  135  poli.   tempore  30  horarum,  plu- 
via  cum   Zephyro ,  tandem 

5.  defcendit   per    -,lj    poll.     tcmpore    ^6    horarum  ; 
pluuia  cum   Zephyro 

d.  II.  hora   8.  3.  m.  17-49 

d.  12.  meridie  28.  25 

d.  14.  hora  9.  a.  m.  28.4-7 

d.  16.  hora  9.  a.  m.  21.  6j 

d.  17.  hora  3.  p.  m.  27.  33. 

Primiim  igitur  tempore  73  horarum  afcendit  met- 
curius  pcr  j^l-  poll.  Pluuia  ,  nix  ,  procclla  ex  occi- 
dentc ;  deinde  coclum  fercnum  et  malacia.  Tum 
•vero  tempore  78  horarum  itcrum  dtlccndit  per  ilss 
poil.     Pluuia  et  ventus  ex  occidcnte. 

Mcnfc  Scptcmbri, 

d.   £1.  hora     6.  a.   m.   27.  88 
d.    23.  hora   10.   a.   m.   28.  53. 

Ergo  tempore  52  horarum  afcendit  mcrcurius  in 
Barometro  per  */,  poll.  Coclum  obdudum:  Euri.s; 
tum  vero  pluuia  ,  vcnio  vehemcntcr  flante  ex  oc- 
cidente.  Mcnfe 


METEOROLOGICARVM.  633 

Menfc  Oclobri. 

d.   15.   horii  6.  a.   m.   27.  80 
d.   15.   nieJia  noclc       2S.  17. 

Hinc  per  tempus  18  honiriim  afcenfus  fuit  /Js  poll. 
Piuuia  abundans  et  procella  cx    oricnte 

d.    21.  hora  9.   p.   m,   27.99 
d.    22.  hora  6.  n.   m.   27.   72. 

Intcruallo  igitur  9  horarum  defccnfus  fuit  Us  poll. 
Pluuia  abundans  et  procella  c  rc^ione  SW 

d.  23.  hora  9.  p.   m.   28.  13 

d.  24.   hora  6.   p.  m.  27.71 

d.  25.   meridie  28.  12. 

Primum  ergo  per  21  horas  mcrcurius  defcendit  in- 
teruallo  /53)  tum  vero  per  18  lioras  iterum  alcenclit 
intcruallo  ~  poll.  Pluuia  abundanter  cecidit ,  pro- 
cclla  cx  meridie  flante 

d.   28.  hora  9.  p.  m.   27.  8a 

d.   31.  hora  6.  a.  m.    28.  83. 

Vnde  per  iiueruailum  temporis  57  horarum,  afcen- 
fus  fuit  ir,,  poll.  Coeium  nebulofum  ex  partc 
aubibus  obdudum.  Pluuia  parca  :  vento  flante  pri- 
mum  e  meridie  ,  tum  vero  ex  oriente. 


Mcnfe  Nouembri. 

d. 

14. 

hora   9.  a.  m.   28.  24. 

d. 

14. 

media  nocle       28.  10 

d. 

15. 

media  node        27.  62 

d. 

16. 

hora   3.  p.   m.   27.  5<?. 

Tom.XX.Nou.Comm.  LIU  Con- 


<r34-        EPITOME  OBSERVATIONVM 

Confequenter  tcmpore  54  horarum  per  ,Vo  poU.  ct 
quidem  per  24.  horas  ,  interuallo  iVo  polL  dcfccndit. 
Coekim  obJudtam  ,  nix  ct  veiuus  mediocritcr  ve- 
hemens  ex  occidente 

d.  i<5.  hora    3.  p,  m.  27.  5<5" 

d.  I  8.  mcridic  27.  70. 

d.  19,  media  no<fle  28.  45 

d.  ar.  mcridie  28.  72. 

Hinc  afcc.ifus  mcrcurii  in  tubo  baromctri  per  in- 
tcruallum  temporis  117  horarum  fuit  iVfo  poll.  et 
quidcm  per  36  horas  ,  l',  poll.  Coelum  obdudumf 
■ventofum    prirao  e  regione   SW  ,  dcinde  cx  SO 

d,    21.  meridie  28.  72 
d.  22.  meridie  28.  27. 

Defcendit  igitur  mercurius  iterum  fequentibns  24 
horis  per  interualUim  *-'-,  poll.  Coelum  obduilum  , 
Ijebulofum  ,  nix  et  vcnt.  SO» 

Menfc  Dcccmbri.. 

Pro  hoc  menfe  hbuit  fi^uram  addere  ex  qiia 
^ariat^iones  barometricae  ipfie  porfpici  poflunt  :  vbi 
ctiam  pro  quauisdie  altitudincm  Thermometri  maxi- 
mam  ct  minimam  ,  feu  (btum  caloris  ct  frigoris  , 
nec  non  dircjiftionem  vcnti  ct  condituiionem  cocli 
;idiunxi.. 


H..  Ther- 


METEOROLOGICARVM. 
n.  ThermomerriinL 


<S3S 


I.  Thcrmomerri  altitudincs  minimiic  et  maximae 
pro  fingulis  mcnfibus  antii  1775  fecuadum  Cii- 
lendarium    corredlum. 


Menfe 

Ainiudo  minima 

Altitudo  maxima 

Ditfcrentia 

Graduf^ 
191 

die      iiora 

Gradui 

die    hoia 

laniiar. 

^4.    V.,  a.  m. 

147 

12.  11.  p.  m. 

44 

Gr. 

Fcbruar. 

185  jsi.  VII.  a.  m. 

1 

J^II.p.m. 

39 

Mart. 

175 

8.   VI.  a.  mJ 

143 

12.  II.  p.  m. 

32 

April. 

168 

15.   VI.  a.  m. 

135 

28.   11.  p.  m. 

33 

Maii 

157 

I.  VI.  a.  m. 

116 

^^^11.  p.  m. 

41 

lunii 

1+7 

3.  VI.  a.  m. 

116 

21.  11.  p.  m. 

31 

lulii 

^31 

1.  VI.  a.  m. 

107 

24.   II.  p.  m 

24 

Augnlt. 

141 

26.  VI.  a.  m. 

105 

10.    ll.p.  m. 

36 

Scptcmbr. 

1  +  2 

23.  VI.  a.  m. 

116 

10.  11.  p.  m. 

2<5 

Odobr. 

153 

30.  Vlll.a.m. 

123 

5.   11.  p.  m. 

30 

Nouembr. 
Dccembr. 

173 

j^.  VII.  a.  m. 

142 

4.  11.  p.  m. 

31 

178    Ji.  VI.  n   m 

143 

3.   X.  p.m. 

55 

Anno 

1775. 

191    Mcnfe  laiiuar. 

105 

Menfe  Aug. 

8^ 

Gr. 

13c  Thermomctri  vti  «t  Baromctri  connrudione  et 
expofitione  ,  plura  in  Tomo  XVIII.  horum  Com- 
mentariorum  Ie^u.ntur  j  quare  hic  cadem  rcpctcre 
fupcrfluum  forcc. 

LUl   2  2.  Sta- 


6:^6 


EPITOME   OBSERVATIONVM 


2.  Status  frigoris  et  caloris. 


Menfe 

Dies  frigidiores  gr.idibus 

Dics  calidiores  gradibus 

ipc 

3 

I  8o  *7o  i<Jo  I  5< 

dIi4C 
3    31 

1  1 IC 

I2C 

130 

i4o;i5C 

,160 

laiuidr. 

C 

•    loj    £4    3c 

3 

13 

Februar. 

1 

p    16    «4|  28 

1 1 

18 

Mart. 

i\   11    zi\  31 

20 

3' 

April, 

6;     2  2,'    30 

7    25 

3; 

vlaii 

^    23 

r\ 

9 

26    31 

3' 

lunii 

3 

5 

27 

30 

30 

3c 

lulii 

c 

8    25 

31 

31 

31 

31 

Auguft. 

I 

7    23 

31 

31 

31 

3» 

S'^ptembr. 

I 

3 

29 

30 

30 

30 

OAobr. 

I 

14 

6 

2  + 

31 

31 

Ni)ucmbr. 

3 

8    24 

30; 

12 

25 

Dcccmbr. 

6 

T9    27 

^    T     ' 
^   I     1 

6 
261 

2  ) 
322 

Anno 

nis- 

3 

8 

29 

84159 

223 

15 

58 

133179 

Ex   labula   priori  intclligitur ,   pcr  totuni  annuai 
fuifle : 

I.  Altitudincm  Thcrmomctri  minimam  ,  fcu 
gradum  frigoris  maximi-  191  grad.  Deli^l.  mcnfe  la- 
nuarii  dic  24,  hora  matuiina  V'^.  Bjromctro  tunc 
temporis  momcnto  28,',',;  Coclo  fcrcno  exideute  et; 
vcnto  lcnitcr  fluitc  ex  fcptcntrione.  Hic  ert^o  fri- 
goris  maximi  gradus  cum  illo  anni  praetcriti  pror- 
fus  conuenit  ,  ndeoque  multo  minor  fuit  annis  prac- 
cedentibus :  quibus  lcilictt  fcmper  gradum  200*"" 
fuperauit. 

2.  Alti- 


METEORQLOGICAIIVM.  ^37 

£.  Altitudinem  Thcrmoinetri  m:iximam ,  feu 
gradiim  ciloris  maximi  105  grad.  Uclisl.  die  lo""'* 
menfis  Aii^Liiti  ct  qaiJcm  liora  11'^''  poll  meriJiem. 
Baromctrum  aS/Ji.  Coelam  fcrenum.  Vcntus  ex 
orientc.  Practcrito  1774  anno  calor  maximas  ob- 
fcruatus  fuit  106  grad.  et  annis  1773  et  1772  , 
ilte  tantum    104.  grad.  depreheafus  fuit. 

3.  Vndc  variatio  Thermometri  maxima  per 
totum  annum  eruitur  85  graduum  fecundum  Thsrm. 
D-Hsl.  fuit  autem  ifta  variatio  anno  praeterlapfo 
1774-  j   85   graduum. 

Per  tabulam  poftcriorem  intelligimus  ,  hoc 
1775  anno  ,  fLiiffe  159  dies  ,  quibus  frigus  fuperabat 
gradum  150,  vel  congelationis  aquae  naturaiis :  in- 
ter  lios  autem  deprehendimus  84.  dies  frigidiores 
gradu  160  et  29  dies  frigidiores  gradu  170.  Vnde 
patet  hyemen  hoc  anno  tam  refpedu  duratio.iis 
quam  vehemcntiae  multo  miiiorem  fuifiTe  annis  prae- 
cedeniibus. 

Deinde  patet  ex  hac  fccunda  Tabula  hoc  anno 
1775  fuiflfe  161  dies  calidiorcs  gradu  150  ,  porro 
179  dies  caUdiores  gradu  14.0,  intcrquos  133  dies 
an:iotauimus  qn  bus  calor  fuperabat  gradum  130  et 
58  dies  quibus  luperabat  120  gradum.  Vnde  in- 
tclligitur  aertatem  hoc  1775  anno  multo  calidiorcm 
quoad  durationem  fuilfe  quam  anno  praeccdente,  vbi 
tantum  239  dies  cahdiores  graiu  150  et  J28  dies 
cahdiores  gradu   133  numcrabaatur. 

L  1 1 1  3  Specia- 


dsS         EPITOME   OBSERVATIONVM 
Spcciatim  frigus  obfaTiatujn  fuit  iiitra  gradus. 


dies 

x3 


190  ct  200  dic  23.  24.  et  nC.  lanunrii  -  - 
i8o  et   190  die  j22.  25.  27.  lanuaiii  et  die  6. 

21.  Februarii  _  -  -  - 
170  et  i8o  die   2.   lo.  20.  21.  lan.  die^.  ip. 

20.   22.  23.   24..   z6.   Febr.  dic  8. 

Martii  ^  die  11,    12.  14.  Nouemb. 

et  die   10.   11.  19.    21.    22.    25. 

Dccembris  ^  _  „  .  _ 
i6q  et  170  dic   i.   2  ~  ^-   15  —  19.    28  —  31. 

lan.   dic  5.  8.   ji,    i^.    25.  27.  28. 

Febr.  die  6.   7.  9.  10.  15.  22.  23. 

25.  27.   30.   Mart.  die  1  —  3.  lo. 

J4.    15.   April  ^    die    lO.    13.    15. 

23.  24.  Nou. ;  et  dic  6.  7.  12—18. 

24.  29—31.  Dccembris       -       -  55 

Calor  autcm    deprehenfus   fuit  intra  gradus. 


iio  ct   loo  die   9.    10.    15.   23  —  2(f.    30.  lul. 

ct   dic  <S  —  12,    Augiift. 
120  et    Jio   die  26.  27.  Maii  i  die  12.  20—23. 

lunii ,  die   2—4.  7.    8.    ir.     13. 

14.    \6.    17.    20—22.    27  —  29. 

31.    lulii  ;    dic    i  —  5.    13  —  17. 

21  —  24.  30.   31.  Aug.   et  die  2. 

4.    10.  Septembris         -       -       - 


dics 
15 


43 


X30 


METEOROLOGICARVM, 


dies 


130  et   120 


die  6,  24.  25.  28  —  31.  Maii  ; 
die  I.  4-- II.  13.  14.  15—19. 
24—30.  lunii ;  die  i.  5.  6.  12. 
18.  19.  lulii ;  die  18—20.  ti.s—2(^ 
Aug.  f  die  I.  3.^  5  —  9.  11  —21. 
23  —  30.  Septembris  et  dic  i.  2. 
5.   7  —  9.  Odobris        -       -       'I7S 

Frigus  n-edium  vero  hoc  anijt)  ftatni  potcft 
147  graduum  et  calor  mcdius  139  graduum.  Id 
eft  per  diniidium  anni  vel  per  jSzsdies,  altitudo 
Thermometri  minor  fuit  147  grad.  et  iterum  per 
idem  temporis  interuallum  niaicir  grada  139.  Ac 
li  menfes  aertiuos ,  Maium  —  O£lobrem  ,  ab  hiema- 
libus  ,  lan.  —  April.  Nou.  —  Decembr,  feparamus  , 
inuenimus  in  illis  calorem  medium.  fuifTe  124  grad, 
at  frigus  incdiutn  in  his  i^o  graduum.. 


III.  Vcntus 


6^0  EPITOME  OBSERVATLONVM 

III.  Vcntns  et  Ventorum  Dirc6liones. 


Mala 

Vclit. 

V  cilt. 

f.OCel- 

Nord  N  UUft  i 

S-C 

nid 

S-W 

Welli 

N-W 

Varia- 
bilis 
dies 

cia 

dies 

knis   ! 

Fortis 

lofus 

dies  dies 

Menfe 

dies 

dies 

dies 

dies 

dics 

dies 

d.es 

dies 

dies 

lan. 

o 

12 

10 

9 

10 

1 

O 

+ 

I 

o 

6 

7 

o 

1  Febr. 

I 

P 

13 

S 

4- 

9 

O 

o 

2 

5 

4 

3 

o 

Nlait 

4 

i6 

5 

6 

5 

1 

I 

o 

1 

<J 

c; 

8 

3 

Apr. 

3 

19 

6 

2 

10 

I 

o 

0 

o 

o 

<J 

lO 

o 

Maii 

8 

1 1 

P 

3 

4 

2 

o 

o 

I 

6        8 

lO 

o 

lunii 

,5 

II 

10 

4- 

2 

4 

2 

o 

3 

(J 

<5 

3 

4 

lul. 

lo 

13 

5 

o 

•     O 

0 

7 

I 

o 

3 

1  + 

5 

r 

Aug. 

6 

17 

1 

1 

O 

O 

9 

4 

5 

1 1 

o 

o 

Sept. 

7 

12 

lO 

I 

I 

I 

3 

2 

4 

8 

6 

3 

2 

oa 

5 

I  I 

8 

7 

O 

O 

6 

3 

5 

9 

5 

3 

O 

Nou. 

5 

i6 

8 

I 

1 

O 

+ 

6 

3 

6 

9 

I 

0 

Dec. 

2 

i6 

7 

6 

8 

I 

1 

4 

I 

P 

f> 

8 

O 

Amio 

S^ 

i6l 

98 

48 

45 

20 

o  n 

25 

«3 

S(5 

5i 

lO 

1775- 

1 

1 

! 

Viide  patet  hoc  anno  n  axime  rcgnafle  \cntum  ex 
occidente  vel  Zephiium  ,  tiim  vero  venti  e  regio- 
nibus  S— W  et  N  — W;  minime  autem  \cnti 
N  -  O  ,  S  —  O  et  Aulkr. 

Porro  pcrfpicitur  hunc  annum  minus  vcnto- 
fum  fuide  anno  practerljpfo  1774- i  malaciae  ob- 
feruatae  fuerunt  frcquentius  mcnfibus  lulii  ,  Maii  tt 
Septcmbris  :  proccllae  et  vcnti  vchcmentiores  frc- 
Quentius  occurrunt  menfibus  lanuarii  ,  Fcbruari  , 
Odubris  ct  lunii. 


In 


METEOROLOGICARVM.  ff^i 

In  fpecie  autem  hoc  anno   procellae  flabant 

e  regione. 


Nord     die  4.  lan.   aa.  Febr.    18.  Apr.      -     - 

N  — O   die  24..  Febr.  23.  Mart.  2.  lun.     -     - 

Oft  die  9.  Mart.  3.  lul.  15.  27.  Odobr. 
9.   Nouembr,   14..  Dcccmbr.    -       -       - 

S  — O  die  <5".  7.  lan.  12.  Septembr.  24..  25. 
26,  Decembr.  _       -       -       -         - 

Sud        die  8.  lan.    13.   Mart.   23.   Aug.  - 

S  — W  dic  9.  31.  lan.  3.  8.  Febr.  12.  Mart. 
II.  Apr.  7.  Maii.  24.  25.  lun.  17. 
lul.     14.   20.   21.   22.   24.    Odobr.    13 

Decembr.    -  -  -  -  - 

Weft  die  18.  31.  Marr.  11.  Maii.  2.6.  lun. 
18.   lul.   3.  Decembr.  ^        _         _ 

N  — W   die     II.    20.    21.    lan.    7.    Mart.  4 

Maii  _---., 


dies 
3 

3 


6 


16 


Tom.XX.Nou.Comm,  M  m  m  m  IV. 


^4-«         EPITOME  OBSERVATIONVM 
nrrrncf^  -■'   IV.  ConftitLitio  Coeli. 


.•.1  - 

iVlenfe 

Cockiin 
fcrenum 

Cuelum 
ibdudum 

Mcbulofum 

Pluuia 

Nix 
dics 

dies 

dies 

uies 

dics 

lauuur. 

5 

18 

6 

I 

I  2 

Fcbruar, 

4 

17 

I 

0 

13 

Marr. 

6 

14- 

4 

3 

15 

Apri!. 

11 

3 

0 

4 

8  , 

Mui 

15 

3 

I 

16 

I 

lunii 

9 

4 

0 

13 

I 

lulii 

•14- 

3 

2 

I  2 

— 

Auguft> 

18 

3 

10 

8 

— 

Septcmbr. 

S 

8 

5 

14 

— 

Oaobr. 

I 

14 

9 

16 

— 

Noueinbr. 

3 

16 

8 

8 

8 

Decembr. 

I 

17 

3 

3 

»9 

Anno 
1775 

95 

120 

49 

100 

77 

^Jumcrus  dicrum  (crenorum  multo  minor  fuit  lioc 
anno  quarn  pracrcrito  1774-,  "vbi  eorum  127  nu- 
merabjntur.  Ac  frcquentius  pluit  ct  ninxit  ^  prac- 
fcrtim  pluuia  valde  abundantcr  menfe  Maii  ,  OlIo- 
bris ,  Scptcmbris  et  lunii  ,  et  nix  copiofa  menfe 
Deccmbris  ct  Martii  cccidit. 


.VI 


ti. 


V. 


METEOROLOGICARVM. 
V.  Reliqua  phocnomena. 


<^43 


Grando  decidit  diebus  2  ;  die  fcilicct  17.  ct  21.  Mdii. 
Tonuit  tantum  7"  et  quidem  longinque  die  14,  ai. 

lunii  ,  d.   27.  lulii  ,  d.   6.  Au^iufli  ,   d.    28. 

Septembris ,  d.   15.  Odobris    et    denique    d. 

27.   Nouembris. 
Aurorae  boreales  obleruatae  fuerunt  21  :  et  quidem  5.' 

pcrlucidae  d,   26.  lan.  d.   19.    20.    Febr.  d. 

22.    Martii  ,  d.    27.   Augufti.      Keliquac    16 

aurore  borealcs  debiliores   annotabantur  d.    i. 

21.   22.   23.   25.   27.   29.    lan.    d.    21.    23. 

Febr.  d.  24.  30.  Martii  ;  d.  x.  2.  23.  Aprilisj 

d.   24.  Aug    et  denique  d.   13.    Odobris. 
Parhelion  die  4.    lanuarii. 
Flumen  Neva  a  glacie  liberabatur  die    22.    Aprills , 

et  die   12.  Nouembris  -vbiquc  glacie  obduce- 

batur. 


1 

Fia  7. 

/ 

^ 

k 

J 

\ 

\ 
\ 

1)    I 

i 

D' 

Jio.8. 


A   D' 


Tiq.8. 


Ticf  6. 


a:      A 


i^ 


E/T'  \ 


\ 


\ 


;e 


Y 


Aai'.  C  'omTTient.^iciu/.  Sc .  Pehvpot.  Tom.  JCX .TaLlI. 


Iiu  J 


Fi^  2 


B  ■■-::- 


ri,7  3 


Fitf   S 


^' 


f      x:        ^'"      A 


Ficf .  7. 


Fia     <3 


A 
p 
E 
C 


vV.T  OvTvmeni  Jc<i?  Jc PdTvpol  TomXX  TaJpUI. 


^-^ 


Fu,.f. 


Txj.l 


Tlq    g. 


tV-t,  OmtmcTii  Acad  Jc  Pdmpo  L  Tom  XX  Tiim. 


l4ov. CvTrimLaUoalSc.PclTopcL:ro-mXXTa.b  LY 


Fid  3. 


^l^S 


Idov.  CammLntJctilJcPdrojjolTo-mXX.Tiii.  lY 
2C- 


G 


t 

/T 
P 


if 


.  3 


-B 


F.^      J 


CVov  .  Continent .  ^cad  ,Sc    J?et/~cjf>ol .  Tmn  .XXL   Tai     v. 


jr^.2 


a     .n 


-P 


^      ^ 


ci^ 


nrmni.  AccuL.  Jc. FctrofoC.  TorrhXX.  Tcbb.VI. 


J 


Tig.  6- 


ir-^A" 


rB 


i 


fl/ 


-t 


J\ov.  CoTnmmi.  AcaA..  Jc.  PctropoC.  TomXX.  Ta2).Vl. 


Tzg.J 


— X 


Fi(!.3. 


A  X     -1 


"f  M    xo 


Iw.  5. 

\ 
B 


CSN 


/r 


Thj.e. 


:;^' 


tB 


JVc 


'"    (or>n,U'nt.^caJ.Sc.  Tetiox^ol .  Tom. 


XX.Tah    lai. 


N 


^-S' 


.K 


^7= 

JC. 


-;%nc^  / , 


^t^.     .->. 


Jfov.  Conmunt.^cad.Sc.  Ttti-o-Dol.  To-nr.XX.Jab   TOl 


'^f&fyi^-:.^ 


•«■■■■v-^^r^  ^ 


,^ ...... 


j^-X.Tjyr^j 


<.-r-' 


Qj:,..l 


.  ^'^■•■■■■•^i-li:V--^ 
^(•■■«^■^•^---^'■^■■*~" 


■■^v 


.> 


Nov.  Comment  Jcad.  Sc  Fetrop.  Tonv.Xk.Jah.Ylll 


troj>. 


D 


^^ 


1.      -^      ^ 

w .r- -•     <      r 


»:>■• -t^ 

O^^ —  ',  }  / 

■iSiv^.^...V..h  f; 


Fui    7, 


Nov  ComTmnt  JcadSc-Fetrov.  loTrt.XX  3ai  VJJ2 


..z..::.%-:^W 


r. -A..- 


A 


Fia    7, 

j 


~c:^.\ 


2^ox>.  Cornment.Aca.d.  Sc .  Fetrop  TomXX.rab.JX. 


X7 


c 

m 


-»  ^ 


w 


i 


j- 


\ 


^ 


^•/f' 


/ 


3. 


3 


\ 


31i?'   Comment^cad  Sc.  Fctrci^  TomXXTab  IX. 


-*^' 


1(3  < 


^ 

'f| 


m 


m 


w  i 


■ 


JVov.   CommeTit   Aca^    Sc  Tetrop.  To-m.XX.Tab.  JH 


JVov    Ccmme-nt  ^caJ    Se  Fetrcp    TcTn  XX  Tah  JU 


Nav   Camment  ^cad  Sc  Feti'cnj  TornJOCTdb  XII 


Fzp.  5. 


'^ 


Nov  Corwnent  ^icad  Sc  Fctiov  ToTnJOCTah  XU 

t 


T-iQ  1 


^jR^^-n 


OM 


Fiq.  2>. 


^^. 


(-l^innw/u  ^cad  S^c  1 


JSTcv   Coimnent  ^Jcad  Sc  J'circw   Tom  Jix  'lat'  ^u 


J'lJ.  b. 


-Aoi 


'■  CommenL^4cad.  Sc.  retroj,.rom.XX.Tab. 


Nov  CoTmmntAcad.  Sc.retrapol.  Tam.XX.Tah.-m.' 


10  %. 


A 


li 


/ 


Nov  Co-nvnmtAcad.Sc.TetrojolJmiXK.TdbSyi: 


i^.  1 


Fia  3   1 


M- 


t  "3 


riq.6.  &^ 


0 


n: 


B 


Ifov  CoTrvment  Acad   Sc.THroj>ol.Tom.X^.Tal-'.  XVJJ. 


/ 


JV<?r  Conanent  AcaS   Sc  Tetrovol.TomJCS..Tah.  XVll 


A  M 


J^or.  Cjmmnf.  Acaxi.  Sc.TdrcpctiTcTnXX^TahliVlIf 
uvrncMBiroj^ohjcrTRcrhf-aaTaiuuwuainS  fflscrva.taricni 


V 

13 

w 

2J 

^ 

%'■ 

.  ^ 

if- 

15 

i 

.S 

27 

^8 

19 

3d 

Z>1 

\ 

1 

rH 

\ 

T 

'■ 

'  'X- 

,  -^ 

\ 

t 

'/* 

/ 

\ 

"9-9-00 

/ 

\ 

/ 

\. 

r 

\ 

\ 

*"- 

'  \ 

7 

\ 

" 

^R  ^Q 

1 — 

\ 

f^ 

y 

\ 

f 

l 

/ 

—^ 

K 

\ 

\ 

\ 

L__ 

1 

\l 

V 

-<ld.O  D 

1 

1 

1 

■ 

, 

1 

1 

^ 

1 

1 

1 

1 

. 

1 

1 

1 

1 

1 

_ 

- 

1 

1 

1 

f? 

1 

1 

, 

1 

1 

1 

V 

•ii. 

S? 

^^^ 

"^> 

>> 

Vo  <o 

5$ 

g  ■ 

:5 

2 

O 

o 

g 

^ 

^ 

o 

o 

1 

c 

"^=9 

^    ^ 

o 

r 
(/2 

-^ 

^ 

VD 

1 

0 

ll 

7; 
i 

11 

9 

/// 

// 

d. 

^.6. 

7.5 

.& 

J 

i.ji 

IJ3 

2 

J: 

8 

< 

16 

10 

■/ 

.1^.20 
.51 

J^ov.  Comurwnt.  AcaR. Sc.TctrirpotLTimhXXTailiVJn . 
TahJa.  Funahmim  BanmdriBirirpo  Ujcnaah.rcnLJamumna  .lUS  olsa-Dntimwi 


/ 

j2 

3 

f^ 

s 

ff 

7 

p 

,0 

-/ 

(),  7/ 

^'i 

1?    H    JJ 

r^ 

r/ 

,7,? 

^     2i^ 

17    f 21  W    af-,2J 

; 

-<■ 

27 

ii 

i3 

/1 

3/ 

1 

1 

1 

1 

j 

,  ! 

1 

' 

r  ■ 

-.'^lVr- 

_ 

, 

1 

X3 

K 

1 

- 

- 

- 

- 

/ 

1      1 

"1? 

s^  1 

--W 

^ 

N 

/ 

-j — 1 

"^ 

f  4 

\, 

es.jo 

^ 

N       j 

/ 

^ 

1 

T, 

/ 

r 

J—  ^ 

^ 

\ 

•f^ 

r 

^ 

1 

A 

, 

— ■ 

/ 

■ 

\ 

J/ 

i 

M 

, 

/ 

\ 

,- 

/ 

\ 

/ 

t      S- 

4 

- 

\ 

) 

^ 

/ 

\ 

/ 

\ 

t 

V 

^ 

\ 

\ 

/ 

1 

1 

l 

\ 

-' 

1' 

^^ 

^ 

-^dm 

^.00 

iT.JO 

- 

- 

-T 

-- 

, 

it  i 

i 

-i 

y 

J 

E 

1   1  1 

1 

1 

! 

j 

! 

p 

^J 

!     j    t 

1 

itii:-.. 

1 

1 

1 

1 

S 

•-o»t 

^ca 

.-1 

tM>f.  ^j^vv  ^'<-- 
-^  ^,   N  N  -  N 

--■ijg 

•^j  ■f j  *=*  r.  -^     "^ 

-^  *-*  ~-  %.  %    V 

-1    '^--, 

N  ~ 

"^•-a 

^'i 

21 

1 

If 

o 

o 

— 1 
g 

^ 
» 

1 

2;  ^  f2! 

g 

o 

» 
z 

9 

o 

03 

fe 

<« 

1 

J'cntlUf  LOUJ-  lu  12.  .17>.l±.23.19.^1.i-i!.t6.n.iS.13.jO. 
7 'critusjoritsdui.  2,.3 .5,^^ .76 .77.^,:?. 25 . ^5 . 
TrocdLooiif  ii^  4.6 .J.  Ls.iL^o.^i.di. 

CoilumvlantJerenum  dic  Q.9,.^.i-i.9J.iff.  et  plme  obiiiidian  dies6.7.b9.n.jai3i-iW.!7.i8.is.2o. 
yitbuLOJuma.xi  lo.js.n.u.JS.iB. 

Syixd.it  S.11  .li .16 .16 .10 .^x.id.so  ■■51  iMlrcofio6a  iii  a.g:^/iul  dieil. 
Farhehon    du     *  • 
Auroj'^  horeaies    die  i .  21  .o.^.. 23.9.^.^6:9.7.  ^s. 


c^^CT'.   a}r:lvi4;m\.Lric;  ^\    "-■rcpoi.Tirm.JiXTab. 


yuen  Jhrcm-byis  ,i.rns      oTxm^vaT^nim 


^;LJS^J0^   -  -:,  u  '2,;  io  2  7  -8  1.1  -^O  ol 


8  JiO 


%8.C0 


47.  ^-»3 


JtJX. 


^■^^■liI6ll.<L^.^b\l.%8.^9.2>0.Z>l. 


idies.id.o9.:bi. 


^. 


<7!'.  Cbtiinimi.Uiad 


:  p<fi  Torn .  JCX  Tab ,  XiX 


c^mbula  Variaiionum  Smvmetri.retrapob,  per  ^Uaueni   JhxcmJnis   J.  r/7/)      olscrvatanim 


cii&r 


5    ±    S  e 


8     9  10    JI  IZ  Ib  M  16  16  11  18  Jfl   20  il    22  i''  Z±  tfi  i6  27  "iS  1p  ?(i  S^l 


18.  JO 


^8  00 


27  JO 


S.J-0 


as  tv 


a7.  so 


KUi  di£  18  le. 

Vemur  lenis  die  lS.6S.lZ.lSJ617.iO.il  ZZZ^&8  tS.hO.  2>i. 
VenmfoTtiidzetii.eiouiT 
FrocelbsTis-  die  aiiU.tt.^&ie. 

Coelumvlane  serenvm  iie^i.etvlane  olducUandiei^^.isP.in^.iiieii.^^ib.^it&^B.^bO-^l- 
Jfebutosiini  die  id  le.^Li 

JVix  Sie  1.  i.^,.  i.a.u.ili^Jie.ii  ^o.  %6.  %-j.18.  ^bO.Nix,  ccmiosa  die  s. 18.19. 3i. 
Thcvia  dze  1. 1  5. 


f 


Ul 


^
Internet Archive Audio

Featured

Top

Images

Featured

Top

Software

Featured

Top

Texts

Featured

Top

Video

Featured

Top

Mobile Apps

Browser Extensions

Archive-It Subscription

Save Page Now

Full text of "Novi commentari Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae"

See other formats
